Оптимальные последовательные процедуры в задаче многократного наилучшего выбора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Полушина, Татьяна Владимировна

• Полушина, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полушина, Татьяна Владимировна

Введение

1 Математические модели задач последовательного выбора

1.1 Последовательный выбор в задачах экологии поведения

1.2 Выбор объектов в экономических задачах.

1.3 Нахождение объектов выборочной совокупности

1.4 Математическая модель многократного выбора

2 Теория задач наилучшего выбора

2.1 Выбор лучшего объекта.

2.2 Многократный выбор

2.3 Последовательный выбор нескольких объектов с заданными рангами

2.4 Задача Гусейн-Заде

2.5 Конечная память в задаче многократного наилучшего выбора.

2.6 Задача наилучшего выбора в случае неравновероятпых перестановок

3 Численные методы

3.1 Индукция назад

3.2 Метод последовательной минимизации расстояния Кульбака-Лейблера.

3.3 Выбор к объектов с заданными рангами.

3.4 Выбор двух объектов из трех лучших по качеству

3.5 Задача наилучшего выбора с конечной памятью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные последовательные процедуры в задаче многократного наилучшего выбора»

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При изучении явлений окружающего мира или при принятии peí пений приходится сталкиваться с процессами, течение которых по времени предсказать заранее в точности невозможно. Эта неопределенность вызвана наличием случайных факторов, влияющих на ход процесса. Подобные процессы могут быть описаны стохастическими моделями, основанными на теории случайных процессов. Стохастические модели находят применение в самых различных областях знания и сферах человеческой деятельности, включая экономику, финансы, биологию и экологию.

Математическая модель представляет собой аналог сложного реального явления или процесса, что позволяет заменить эксперимент с реальным процессом экспериментом с математической моделью данного процесса. Особенно велико значение математического моделирования тогда, когда проведение реальных экспериментов или невозможно, или приводит к большим издержкам. Модель процесса или явления отражает его основные характеристики. Она схожа с изучаемым объектом по определенному набору исследуемых признаков.

При построении математических моделей данных процессов существенной является роль среды, которая определяет структуру информации и от которой зависит тип принятия решения: немедленный выбор между альтернативами или последовательный выбор. Рассмотрим ряд задач, возникающих в экологии поведения и в экономике, связанных с проблемами выбора.

Так, например, животное, двигаясь в ареале обитания, последовательно выбирает наилучшее место питания [35, 83] или партнера для воспроизводства [42, 59]. Покупатель ищет продукт, наиболее соотвествующий его запросам, последовательно рассматривая различные предложения, или работодатель проводит собеседование для отыскания наилучшего кандидата па вакантную должность [31, 79, 82].

Для всех этих задач общей является следующая особенность — выбор осуществляется в несколько этапов, то есть происходит во времени. На процесс выбора наложены стратегические и информационные ограничения, связанные с недоступностью для выбора пропущенных вариантов и статистической неопределенностью качества будущих вариантов. Последовательный выбор в условиях неполной информации приводит к классу задач наилучшего выбора. Именно описываемая таким образом модель позволяет отразить существенные особенности реальных процессов выбора.

Паши построения будут существенно опираться па задачу наилучшего выбора, которая относится к теории оптимальной остановки. Основные подходы данной теории основаны на идее последовательного анализа Вальда [2].

Сформулируем задачу однократного наилучшего выбора. Пусть имеется N объектов, упорядоченных по качеству. Занумеруем объекты в таком порядке, как мы знакомимся с ними. Все объекты поступают в случайном порядке, то есть все N1 перестановок равновероятны. В некоторый момент t известны сравнительные качества объектов ai, cío,. ■ ■ , a¿, но ничего неизвестно о качестве остальных N — t объектов. После ознакомления с очередным объектом a¿ можно его либо принять (в этом случае выбор объекта сделай), либо отвергнуть и продолжить наблюдения (при этом вернуться к отвергнутому объекту невозможно). Необходимо найти оптимальную стратегию, обеспечивающую наибольшую вероятность выбора лучшего объекта.

Оптимальная стратегия имеет вид: нужно пропустить к]у — 1 вариантов, а затем остановиться на первом же объекте, который окажется лучше всех предыдущих [44].

Подробные обзоры истории развития задачи наилучшего выбора и ее обобщений приводятся в работах Фримана [40, 411, Фергисона (39], Роббинса [71], Самуельса [78]. Различные методологические подходы к решению классической задачи наилучшего выбора можно найти в книгах Де Гроота [4], Дынкина и Юшкевича [5], Роббинса, Сигмунда и Чао |24], Мостеллера [9], Березовского и Гнедина [1], Ширяева [26, 27|.

Дальнейшие исследования развивались в нескольких направлениях. Одно из них - выбор нескольких объектов. Николаев [10] отказался от необходимости выбирать единственный объект и рассмотрел обобщение классической задачи — задачу многократного наилучшего выбора. При этом необходимо найти стратегию, максимизирующую вероятность выбора к, к > 2 лучших объектов. Продолженные Николаевым исследования привели к решению более широкой задачи — задачи об оптимальной остановке случайной последовательности [11]. Многократный выбор рассматривался в работах Николаева и Софронова, Ано, Преатера, Тамаки, Вилсона, Вандербрея (13, 29, 56, 68, 87, 90, 91]. Софропов и Полушина рассмотрели задачу наилучшего многократного выбора с заданным распределением для перестановок [64]. Николаев, Софронов, Полу шина рассмотрели другое обобщение задачи многократного наилучшего выбора — задачу многократного наилучшего выбора с заданными рангами [14]. В данной постановке требуется выбрать несколько объектов с заранее заданными рангами гх, г2, ■ . . , г к

Другое обобщение задачи наилучшего выбора — выбор одного объекта из нескольких лучших, так как на практике может быть достаточно обладать вторым по качеству объектом, третьим по качеству и так далее. Гуссйн-Заде решил задачу, в которой успехом считался выбор любого из I лучших объектов [3]. В дальнейшем изучение этой постановки продолжали Кавай и Тамаки, Порошински, Сушвалко и Шайовски [52, 66, 85, 88].

Пресман и Сонин [23] отказались от условия о том, что число объектов известно. В своей статье авторы предположили, что число наблюдаемых объектов случайно. Известно лишь распределение числа наблюдаемых объектов N. При этом оказалось, что структура оптимального правила значительно сложнее. Дальнейшее развитие данное обобщение получило в исследованиях Пстручелли, Лехтинсна, Порошински, Ясудзы [53, 61, 66, 93].

В классической задаче наилучшего выбора предполагается, что объекты поступают один за другим в случайном порядке. Таким образом, все АЛ возможных порядков появления объектов равновероятны. Этот случай принято называть случаем отсутствия информации. Если поступающие объекты обладают какой-то количественной характеристикой их качества (например, ценой), то рассматриваются поступающие случайные величины. Это задача об остановке случайной последовательности. В простейшем случае естественно считать, что поступающие объекты являются независимыми случайными величинами с равномерным распределением. В той ситуации, когда априорно или в результате некоторых предварительных исследований стало известно, какому семейству распределений принадлежит распределение, поступающих объектов, по неизвестны параметры, задача называется задачей с частичной информацией. Когда наблюдателю точно известно распределение, в этом случае задача называется задачей с полной информацией. Бойдецки рассмотрел за,дачу оптимальной остановки последовательности случайных величин, имеющих пуассоновское распределение [33]. К задачам с частичной информацией относятся работы [34, 61]. Случай полной информации рассматривается в статьях [57, 62, 67, 84]. Софронов и Полушина рассматривали задачу наилучшего выбора с неравновероятными перестановками [15]. Позднее авторы обобщили эту задачу на случай многократного выбора [64].

Можно рассмотреть еще одно обобщение классической задачи. Пусть наблюдатель получает возможность возвращаться к просмотренным ранее объектам, но каждый пропущенный объект с некоторой вероятностью может быть уже недоступен [92]. Такие задачи с памятью рассматривались в статьях Роуза, Рубенса и Самульэса., Сайто [73, 74, 77].

Кроме того, существуют и другие различные обобщения задачи наилучшего выбора: несколько наблюдателей (Гликман [45], Роуз [721, Шайовски [86]), ПЛЕТЯ 38 наблюдения (Лорепсен [55], Роуз [73]), задача, в которой максимизируется время обладания относительно лучшим объектом (Тамаки, Пирс, Шайовски [87]), задача о минимизации ожидаемого ранга (Чао, Моригути, Роббинс и Самуэльс [36], Хилл и Кеннеди [49], Джианини-Петитт [43]) и суммарного ожидаемого ранга (Николаев [11]).

В настоящей работе исследуются обобщения задачи многократного наилучшего выбора — важного класса задач теории оптимальных правил многократной остановки. Для некоторых из исследуемых обобщений оптимальные правила получены в явном виде. Проблема состоит в том, что в отдельных случаях структура остановочных множеств существенным образом зависит от конкретной задачи (например, определенного набора рангов ?'],.,'/>). В этой ситуации необходимо прибегнуть к прямым вычислениям. Непосредственные рекурсивные вычисления методом индукции назад приводят к значительным временным затратам. Для задач, в которых N велико, их применение крайне затруднительно. В то же время метод Монте-Карло не дает достаточной точности и устойчивости результатов. Для отыскания наборов, характеризующих структуру остановочных множеств, и цены игры в программном комплексе реализуется метод последовательной минимизации расстояния Кульбака-Лейблера. Используемый алгоритм позволяет оценить оптимальное правило и цену игры даже при незначительных объемах выборок.

Решение поставленных обобщенных задач многократного наилучшего выбора является значимым для теории оптимальных правил многократной остановки. Каждый результат в области принятия решений является вкладом в теорию и практику. Именно поэтому, проблематика диссертации является актуальной как с точки зрения развития теории, так и с точки зрения практических применений.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является построение математической модели. основанной на оптимальных последовательных процедурах в случае многократного выбора, получение оптимальных правил для некоторых обобщений задачи многократного наилучшего выбора и оценивание оптимальных правил методами математического моделирования.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Впервые предложена математическая модель, описывающая процедуру многократного последовательного выбора в прикладных задачах.

2. Найдены оптимальные правила многократной остановки в задачах многократного наилучшего выбора с заданными рангами, Гусейн-Заде и в задаче с конечной памятью.

3. Получены расчетные формулы для нахождения цены игры методом последовательной минимизации расстояния Кульбака-Лейблера. Решение каждой из приведенных постановок связано с рассмотрением отдельной задачи оптимизации и требует специального подхода.

4. Разработан программный комплекс, позволяющий методами математического моделирования оценивать оптимальные правила для указанных задач.

Методы исследования

При решении перечисленных задач применялись результаты и методы математического моделирования, математического программирования, теории случайных процессов и теории вероятностей.

Для реализации программного комплекса основным алгоритмическим языком был выбран объектно-ориентироваипый язык С+ + .

Теоретическая и практическая значимость

Предлагаемые математические подходы позволяют изучать методами математического моделирования многие экономические и биологические процессы. Полученные в диссертации теоретические результаты являются дальнейшим развитием теории оптимальных правил многократной остановки. Разработанный программный комплекс дает возможность оценивать правила оптимальной остановки для рассматриваемого круга обобщений задачи многократного наилучшего выбора.

Достоверность результатов работы подтверждается

• математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных:

• апробацией этих результатов на международных, всероссийских конференциях и научных семинарах.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на международных, всероссийских и региональных научных конференциях и форумах:

1) Студенческой конференции МарГУ (г. Йошкар-Ола, 2005 г.);

2) Девятых Вавиловских чтениях (г. Йошкар-Ола, 2005 г.);

3) Международной конференции "Оптимальная остановка и стохастическое управление" (г. Петрозаводск, 2005 г.);

4) Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Йошкар-Ола, 2006 г.);

5) Шестой молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2007" ( г. Казань, 2007 г.);

6) Пятнадцатой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (г. Дубна, 2008 г.);

7) Седьмой молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2008" ( г. Казань, 2008 г.);

8) кафедральном семинаре "Теория оптимальных правил многократной остановки" при кафедре математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (рук. — проф. Николаев М.Л., доц. Софронов Г.Ю.).

Ряд исследований, приводимых в диссертационной работе, выполнялись в рамках проекта, поддержанного грантом Министерства образования и науки Российской Федерации "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 34173). Автор награжден именной стипендией Президента Республики Марий Эл.

Публикации По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ. Из них - 5 статей в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК, 2 — в тезисах докладов всероссийских симпозиумов и конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (94 наименования), приложения. Каждая глава разбита на параграфы. Работа проиллюстрирована 26 рисунками и изложена на 108 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Полушина, Татьяна Владимировна

Заключение

В диссертации исследуются задачи последовательного выбора. В частности, в первой главе рассматриваются модели однократного выбора, предложена модель многократного последовательного выбора. Вторая глава посвящена построению оптимальных последовательных процедур для некоторых обобщений задачи многократного наилучшего выбора. По структура оптимальных правил существенным образом зависит от решаемой задачи. Цель третьей главы состоит в построении алгоритма, позволяющего оценивать методами математического моделирования численные значения цены игры и находить вид остановочных множеств для данных задач, основываясь на теоретических результатах второй главы.

Основным итогом диссертации является построение модели многократного последовательного выбора и обобщение задач из класса теории оптимальных правил многократной остановки.

Положения, выносимые на защиту

1. Построена математическая модель, описывающая процедуру многократного последовательного выбора в прикладных задачах.

2. Получены оптимальные правила многократной остановки в задачах многократного наилучшего выбора с заданными рангами, Гусейн-Заде и в задаче с конечной памятью.

3. Найдены формулы для вычисления цены игры методом последовательной минимизации расстояния Кульбака-Лейблера. Решение каждой из указанных постановок связано с рассмотрением отдельной задачи оптимизации и требует специального подхода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полушина, Татьяна Владимировна, 2010 год

1. Березовский Б.А., Гнедин A.B. Задача наилучшего выбора. М.: Наука, 1984.

2. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960.

3. Гусейн-Заде С.М. Задана выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний // Теор. вер. и ее прим. 1966. Т. 11, вып. 3. С. 534-537.

4. Де Гроот М. Оптимальны,е статистические решения. М.: Мир, 1974.

5. Дынкин Е.Б, Юшкевич A.A. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.

6. Мазалов В.В., Фалько A.A. Задача наилучшего выбора и ее применение в рекламных кампаниях поисковой системы Яндекс // Материалы конкурса 'Интернет-Математика 2007. Яндекс1. 2007. С. 126-134.

7. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. М.: Наука, 1975.

8. Николаев M.JI. Об одном обобщении задачи наилучшего выбора // Теор. вер. и ее прим. 1977. Т. 22, вып. 1. С. 191-194.

9. Николаев М.Л. Оптимальные правила многократной остановки // Обоз, прикл. и пром. лштем. 1998. Т. 5, вып. 2. С. 309-348.

10. Николаев М.Л., Софронов Г.Ю. Оптимальная последовательная процедура в задаче "купли-продажи" с детерминированным трендом // Обоз, прикл. и пром. матем,. 2005. Т. 12, вып. 1. С. 167-168.

11. Николаев М.Л., Софронов Г.Ю. Многократные оптимальные правила для суммы независимых случайных величин // Дискретная математика. 2007. Т. 19, вып. 4. С. 42-51.

12. Николаев М.Л., Софронов Г.Ю., Полушина Т.В. Задача последовательного выбора нескольких объектов с заданными рангами // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав.регион. Ест.науки. 2007. Т.4. С. 11-14.

13. Полушина Т.В., Софронов Г.Ю. Задача наилучшего выбора в случае неравновероятных перестановок // Обоз, прикл. и пром. матем. 2004. Т. 11, вып. 3. С. 661-663.

14. Полушина Т.В. Оптимальные двукратные правила остановки для задачи наилучшего выбора с неравновероятными перестановками // Обоз, прикл. и пром. матем. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 449-450.

15. Полушина Т.В. Оптимальная процедура в задаче последовательного выбора двух объектов с заданными рангами // Обоз, приклад, и пром. матем. 2006. Т. 13, вып. 4. С.221-222.

16. Полу шина Т.В. Оптимальная последовательная процедура в задаче выбора лучшего и худшего объектов // Обозрениеприкладной и промышленной математики 2007. Т. 14, вып. 1. С. 77-78.

17. Полушина Т.В. Об одном обобщении задачи Гусейн-Заде // Обоз, прикл. и пром. матем. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 225-229.

18. Полушина Т.В., Софронов Г.Ю. Об одном способе моделирования в задаче многократного наилучшего выбора с заданными рангами // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. 2007. Т. 36. С. 171-173.

19. Полушина Т.В. О применении задачи многократного наилучшего выбора в экологии поведения // М.-Ижевск: Математика. Компьютер. Образование. Сборник научных трудов. 2008. Т. 3. С. 149-154.

20. Полушина Т.В. О моделировании в задаче многократного наилучшего выбора с минимальным ожидаемым суммарным рангом //Труды Математ'ического центра им,. Н.И. Лобачевского. 2008. Т. 37. С. 141-143.

21. Пресман Э.Л., Сонин И.М. Задача наилучшего выбора при случайном числе объектов // Тсор. вер. и ее прим. 1972. Т. 17, вып. 4. С. 695-706.

22. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. М.: Наука, 1977.

23. Софронов Г.Ю., Крузе Д., Киф Дж., Николаев М.Л. Об одном способе моделирования порогов в задаче многократного наилучшего выбора // Обозр. прикл. и промышл. математ. 2006. Т. 13, вып. 6. С. 975-983.

24. Ширяев A.PI. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976.

25. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

26. Amrhein V., Кипе Н., Naguib М. Non-territorial nightingales prospect territories during the dawn chorus // Proc.R.Soc.Lond B. 2004. V. 271. P. 167-169.

27. J29. Ano K. Multiple selection problem and ola stopping rule // Sci. Math. Jap. 2001. V. 53, N 2. P. 335-346.

28. Bakker T.C.M., Milinski M. Sequential female choice and the previous male effect in sticklebacks // Behav.Ecol.Sociobiol. 1991. V. 29. P. 205-210.

29. Bearden J. A new secretary problem with rank-based selection and, cardinal payoffs // J.of Math.Psych. 2006. V. 50. P. 58-59.

30. Bearden J., Murphy R., Rapoport A. Sequential observation and selection with rank-dependent payoffs: An experimental test // Manag. Sci. 2006. V. 52. P. 1437-1449.

31. Bojdecki T. On optimal stopping of a sequence of independent random variables probability maximizing approach // Stoch. An Int. J. of P'i'ob. and Stoch.Proc. 1979. V. 3 N 1. P. 61-71.

32. Campbell G., Samuels S. Choosing the best of the current crop // Adv.Appl.Prob. 1981. V. 13 N 3. P. 510-532.

33. Charnov E.L. Optimal foraging: the marginal value theorem // Theor.Popul.Biol. 1976. V. 9. P. 129-136.

34. Chow Y.S., Moriguti S., Robbins H., Samuels S. Optimal selection based on relative rank // Israel J.Math. 1964. V. 2. P. 81-90.

35. Dombrovsky Y., Perrin N. On adaptive search and optimal stopping mate choice //Am. Nat. V. 114. P. 355-361.

36. Dudey T., Todd P. Making good decisions with minimal information: simultaneous and sequenntial choice // Jour, of Bioecon. 2001. V. 3. P. 195-215.

37. Ferguson T.S. Who solved the secretary problem? // Stat.Sci. 1989. V. 4 N 3. P. 282-289.

38. Freeman P.R. The secretary problem and its extensions: a review // Int.Stat.review. 1983. V. 51, N 2. P. 189-206.

39. Freeman P.R. Who solved the secretary problem?: comment // Stat.Sci. 1989. V. 4, N 3. P. 294.

40. Gabor C., Halliday T. Sequential mate choice by multiply mating smooth newts: females become more choosy // Dehav. Ecol. 1997. V. 8. P. 162-166.

41. Gianini-Petitt J. Optimal selection based on relative ranks with a random number of individuals // Adv.Appl.Prob. 1979. V. 11. P. 720-736.

42. Gilbert J., Mosteller F. Recognizing the maximum of a sequence // J.of the Am.Stat.Ass. 1966. V. 61, N 313. P. 35-73.

43. Glickman H. A best-choice problem with multiple selectors // J.Appl.Prob. 2000. V. 37. P. 718-735.

44. Halliday T., Verrell P. Sperm competition and the evolution of animal mating systems, chapter Sperm competition in amphibians. New York: Academ Press, 1984. P. 487-508.

45. Hanski I., Gilpin M. Metapopulation Biology: Ecology, Genetics and Evolution. New York: Academic Press, 1999.

46. Hey J. Still searching // Jour, of econ.behav. and organ. 1987. V. 8. P. 137-144.

47. Hill T., Kennedy D. Minimax-optimal stragies for best-choice problem when a bound is known for the expected number of objects // Siam J. control and opt.im. 1994. V. 32, N 4. P. 937-951.

48. Hutchinson J.M.C., Halupka K. Mate choice when males are in patches: optimal strategies and good rules of thumb // J. Theor. Biol. 2004. V. 231. P. 129-151.

49. Janetos A. Strategies of female mate choice: a theoretical analysis // Behav.Ecol.Sociobiol. 1980. V. 7. P. 107-112.

50. Kawai M., Tamaki M. Choosing either the best or the second best when the number of applicants is random // Comp. a/nd Math, with Appl. 2003. V. 46. P. 1065-1071.

51. Lehtinen A. The best choice problem with an unknown number of objects // Math.Mcth. of Op.Res. 1993. V. 37, N 1. P. 97-106.54| Lippman S., McCall J. The economics of job search: a survey // Econ.Inq. 1976. V. 14. P. 155-189.

52. Lorenzen T. Optimal stopping with sampling cost: the secretary problem // The Ann. of Prob. 1981. V. 9, N 1. P. 167-172.

53. Mehrez A., Rabinowitz G. A note on the rule for sequential selection // Eur. J.of Oper.research. 1995. V. 81. P. 166-175.

54. Neumann P., Porosinski Z., Szajowski K. On two person full-information best choice problem with imperfect observation // Game Theory and Appl. 1996. P. 21-25.

55. Nikolaev M.L., Sofronov G.Yu., Polushina T.V. Multiple Best Choice Problems // Proceedings of The Second International Workshop on Sequential Methodologies. University of Technology of Troyes, Troyes, France. P. 1--6.

56. Parker G.A. Mate choice, chapter Mate quality and mating decisions. Cambridge: Cambridge University Press, 1983. P. 141-165.

57. Parker G.A. Sexual selection and reproductive competition in the insects, chapter Sexual selection and sexual confict. New York: Academic Press, 1979. P. 123-166.

58. Petruccelli J. On a best choice problem with partial information // The Ann.of Stat. 1980. V. 8, N 5. P. 1171-1174.

59. Petruccelli J. Full-information best-choice problems with recall of observations and uncertainty of selection depending on the observation // Adv.Appl.Prob. 1982. V. 14. P. 340-358.

60. Pitcher T.E., NeffB.D., Rodd F.H., Rowe L. Multiple mating and sequential mate choice in guppies: females trade up // Proc. R. Soc. Lond. B. 2003. V. 270. P. 1623-1629.

61. Polushina T.V., Sofronov G.Yu. Optimal multiple stopping rules for the best choice problem with nonuniform permutations // In Abstract of Workshop Optimal stopping and stochastic control. P. 5859. Petrozavodsk, 2005.

62. Porosinski Z. On optimal choosing of one of the k best objects // Stat, and Prob. Letters. 2003. V. 65. P. 419^432.

63. Porosinski Z., Szajowski K. Full-information best choice problem with random starting point // Math. J. 2000. V. 52. P. 57-63.

64. Preater J. On multiple choice secretary problems // Math.of Op-er.Research. 1994. V. 19, N 3. P. 597-602.

65. Real L. Search theory and mate choice, i. models of single sex-discrimination // Am. Nat. 1990. V. 136. P. 376 405.

66. Real L. Search theory and mate choice. II. mutual interaction, assortative mating, and equilibrium variation in male and female fitness // Am. Nat. 1991. V. 138. P. 901-917.

67. Robbins H. Who solved the secretary problem?: comment // Stat.Sci. 1989. V. 4, N 3. P. 291.

68. Rose J. Selection of nonextremal candidates from a random sequence // J. of Opt, Theory and Appl. 1982. V. 38, N 2. P. 207-219.

69. Rose J. Optimal sequential based on relative ranks with renewable call options // J. of the Am.Stat.Ass. 1984. V. 79, N 386. P. 430-435.

70. Rubin H., Samuels S.M. The finite-memory secretary problem // The Ann. of Prob. 1977. V. 5, N 4. P. 627-635.

71. Rubinstein R., Kroese D. Simulation and the Monte Carlo method. Wiley-Interscience, 2007.

72. Rubinstein R., Kroese D. The Cross-Entropy Method: A Unified Approach to Combinatorial Optimization, Monte-Carlo Simulation and Machine Learning. New York: Springer-Verlag, 2004.

73. Saito T. Optimal stopping problem with controlled recall // Prob. Eng and Inf. Sei. 1998. V. 12, N 11. P. 91-108.

74. Samuels M. Who solved the secretary problem? Who will solve the secretary problem? // Stat.Sei. 1989. V. 4 N 3. P. 289-291.

75. Seale D., Rapoport A. Sequential decision making with relative ranks: An experimental investigation of the 'secretary problem' // Organiz. Beh. and Human Decision Proc. 1997. V. 69. P. 221-236.

76. Smith M., Deely J. A secretary problem with finite memory // J. of the Am.Stat. Ass. 1975. V. 70, N 350. P. 357-361.

77. Sofronov G., Keith J.M., Kroese D.P. An Optimal Sequential Procedure for a Buying-Selling Problem with Independent Observations // J. Appl. Prob. 2006. V. 43. P. 454-462.

78. Stein W., Seale D., Rapoport A. Analysis of heuristic solutions to the best choice problem // Eur. J.of Op.Research. 2002. V. 151. P. 140-152.

79. Stephens D., Krebs J. Foraging theory. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1986.

80. Stewart T. The secretary problem with an unknown number of option // Oper.Res. 1981. V. 29, N 1. P. 130-145.

81. Suchwalko A,, Szajowski K. Non standard, no information secretary problems // Sei. Math. Jap. 2002. V. 56. P. 443-456.

82. Szajowski K. On stopping games when more than one stop is possible //In Probability Methods in Discrete Mathematics. Proc. of the Fifth Int. Petrozavodsk Conf. 2000. P. 57-72.

83. Tamaki M., Pearce C., Szajowski K. Multiple choice problems related to the duration of the secretary problem // RIMS Kokyuroku. 1998. V. 1068. P.75- 86.

84. Tamaki M., Shanthikumar J. A full-information best-choice problem with allowance // Prob. in the Eng. and Inf.Scien. 1996. V. 10. P. 41-56.

85. Uy J., Patricelli G., Borgin G. Complex mate searching in the satin bowerbird ptilonorhynchus violaceus // Am.Nat. 2001. V. 158. P. 530-542.

86. Vanderbrei R. The optimal choice of a subset of a population // Math.of Oper.Research. 1980. V. 5, N 4. P. 481-486.

87. Wilson J. Optimal choice and assignmentof the best m of n randomly arriving items // Stoch.Proc. and Appl. 1991. V. 39. P. 325-343.

88. Yang M. Recognizing the maximum of a random sequence based on relative rank with backward solicitation // J. of Appl.Prob. 1974. V. 11, N 3. P. 504-512.

89. Yasuda M. Asymptotic results for the best-choice problem with a random number of objects // J. Appl.Prob. 1984. V. 21. P. 521536.

90. Zwick R., Rapoport A., Lo A., Muthukrishnan A. Consumer sequential search: not enough or too much? // Mark, scien. 2003. V. 22. P. 503-519.