Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Захарова, Юлия Фридриховна

• Захарова, Юлия Фридриховна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захарова, Юлия Фридриховна

Содержание.

Введение.

1. О сновные определения . 1 о

2. Постановка задачи

3. Классы функций.

4. Обзор методов построения поперечников и локальных сплайнов.

5. Обзор методов: вычисления интегралов с весом и сингулярных интегралов

6. Обзор методов решения сингулярных уравнений.

7. Обозначения, используемые в диссертации.

Глава 1. Вычисление поперечников и построение локальных сплайнов функций из некоторых классов.

1.1. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса [0, сю), М)

1.2. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса WJ([0, оо)р,М)

1.3. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса W[s((—оо,оо),М)

Глава 2. Оптимальные весовые квадратурные и кубатурные формулы вычисления регулярных интегралов.

2.1. Оптимальные весовые квадратурные формулы на классе H^)S((-oo, оо), М) .:. бб

2.2. Квадратурные формулы вычисления интегралов на классе [0, оо) . .—.

2.3. Кубатурные формулы вычисления интегралов на классе В*п[0,оо)р.

Глава 3. Оптимальные весовые кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов.

3.1. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью для функций из класса W{s((—oo,oo)p,M)

3.1.1. Случай гиперсингулярных интегралов

3.1.2. Случай сингулярных интегралов

3.1.3. Случай слабосингулярных интегралов.

3.2. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов с переменной особенностью для функций из класса оо, оо)р, М)

Глава 4. Проекционные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений

4.1. Проекционный метод приближенного решения линейных сингулярных интегральных уравнений вида a(t)x(t) + J ip(t,S)x(T)dT = /(£)

4.2. Проекционный метод приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений вида a(t,X(t))+dr=т. ш

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений»

Актуальность темы. Поскольку точные методы вычисления различного рода сингулярных интегралов в неограниченных областях возможны только в исключительных случаях [83]1 [84]2, возникает необходимость приближенного вычисления регулярных и сингулярных интегралов на бесконечных многообразиях.

Актуальность разработки приближенных методов вычисления сингулярных интегралов связана как с необходимостью доведения до численных значений решений сингулярных интегральных уравнений, полученных с помощью некоторых приближенных методов, так и с тем обстоятельством, что и сингулярные интегралы различных типов находят широкое применение в многочисленных областях естествознания и техники: в операционном исчислении [46]3, в теории упругости [79]4, гравиразведке [87]5, ядерной физике [71]6, астрофизике [93]7.

Анализ численных методов решения сингулярных интегральных уравнений и вычисления сингулярных интегралов показал, что в этом направлении остается ряд нерешенных проблем. В частности, во-первых, при конструировании вычислительных алгоритмов представляют значительный интерес оценки точности аппроксимации компактов, к которым принадлежат решения уравнений, конечными подпространствами. Во-вторых, практически отсутствуют численные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечных областях интегрирования. В-третьих, численные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений практически отсутствуют, за исключением единичных работ, в частности, работы [74]8, посвященной обоснованию метода моментов для сингулярных интегральных уравнений на плоскости Е2 и не существует обоснованных методов для конеч

1См. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

2См. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

3См. Диткин В.А., Прудникова А. Интегральные преобразование и операционное исчисление. М., Физматгиз, 1961.

4См. Общий курс физики. Часть I. // Под ред. Чертова К.И. М., Наука, 1978 г.

5См. Соболев СЛ. Уравнения математической физики (учебник для мех.-маг. факультетов гос. университетов). М., Наука, 1996.

См. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М., Агомиздат, 1974.

7См. Чиндрасекар С. Перенос лучистой энергии. М., Изд-во иностр. лит., 1953.

8См. Михлин С.Г., Раднева Р.К. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Изд. ВУЗов, Математика. 1974. №5. С. 158-162. ных областей интегрирования произвольной формы. Проекционные методы решения нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений также до сих пор не рассматривались.

Цель работы. Целью работы является: во-первых, вычисление поперечников классов функций с весами и построение локальных сплайнов, погрешность которых зависит только от числа узлов, определенных на Е2, во-вторых, построение оптимальных методов вычисления слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностями, рассматриваемых на бесконечных многообразиях, в-третьих, построение оптимальных методов вычисления регулярных интегралов с весом, рассматриваемых на бесконечных многообразиях и в-четвертых, построение проекционных методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались методы теории приближения функций, функционального анализа, теория квадратурных и кубатурных формул, методы оптимизации, теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. Построение пассивных алгоритмов восстановления функций и вычисления интегралов основано на концепции оптимальности, гарантирующей получение наилучших результатов при наихудшей на взятом классе исходной информации. Эта концепция положена в основу построения оптимальных по порядку пассивных алгоритмов аппроксимации функций с особенностями, вычисления интегралов от функций с особенностями и вычисления сингулярных интегралов.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко некоторых классов функций одной и нескольких переменных, определенных на бесконечных многообразиях;

- построены локальные сплайны для функций одной и нескольких переменных, определенных на бесконечных многообразиях;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весами, определенных на бесконечных областях интегрирования в одномерном и многомерном случаях;

- построены оптимальные по порядку методы вычисления одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных областях интегрирования;

- построены оптимальные по порядку методы вычисления одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с переменной особенностью на бесконечных областях интегрирования;

- построены проекционные методы решения линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в построении оптимальных по порядку алгоритмов вычисления регулярных интегралов с весом, а также слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированными, и переменными особенностями на бесконечных областях интегрирования; построении алгоритмов восстановления функций одной и нескольких переменных различных классов; построении проекционных методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений в ограниченных областях произвольной формы.

Полученные результаты находят применение при построении оптимальных методов вычисления интегралов с различными сингулярностями и решении интегральных уравнений.

Практическая ценность работы обусловлена тем, что построенные методы применимы к численному решению прикладных задач гидро-и аэродинамики, теории упругости и теории излучения, при решении которых необходимо вычисление сингулярных интегралов, регулярных интегралов с весом и решение многомерных сингулярных интегральных уравнений.

По предложенным алгоритмам разработан пакет прикладных программ вычислений регулярных и сингулярных интегралов (одномерных и многомерных) и решений линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений на различных классах функций на языке Паскаль.

Защищяемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

- построены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций W^s({-oo-,oo)p,M) и В^((—оо;оо)р, М), р —1,2,. при различных соотношениях параметров Л и s;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весом на бесконечных областях интегрирования для функций из классов W£s((—оо; оо)р, М) и оо; оо)р, М), р = 1,2,. при различных соотношениях параметров Лиз;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления слабосингулярных интегралов с весом на классе оо; оо)р, М), р — 1,2,. с фиксированной и переменной особенностью;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с весом на классе оо; оо)р, М), р = 1,2,. с фиксированной и переменной особенностью;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с весом на классе оо; оо)р, М), р = 1,2,. с фиксированной и переменной особенностью;

- построены и обоснованы проекционные методы решения линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Краткое содержание работы. Работа посвящена оптимальным методам вычисления регулярных и сингулярных интегралов на бесконечных многобразиях и решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. Во введении приводятся основные определения и используемые классы функций, постановка задачи, а также обзор основных методов по

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захарова, Юлия Фридриховна, 2004 год

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965.- 407 с.

2. Бабенко К.И. Несколько замечаний о приближении функций многих переменных // Математический сборник. -1971.- Т.86. № 4.- С. 179-180.

3. Бабенко К.И. О некоторых задачах теории приближения и численного анализа // Успехи математических наук. -1985 Т.40. -№ 1. - С. 3-28.

4. Бахвалов Н.С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1970. Т.10. - N 3. - С.555 - 568.

5. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1971.-T.11.N4.-C. 1014-1018.

6. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 244 с.

7. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях/ С.М. Белоцерковский , И.К. Лифанов. -М.: Наука, 1985. 256 с.

8. Бойков И.В. О приближенном решении нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970.-С. 61-72.

9. Бойков И.В. О приближенном решении некоторых типов интегральных уравнений с особенностями // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 73-81.

10. Бойков И.В. О применении метода механических квадратур к приближенному решению нелинейных сингулярных интегральных уравнений // Функц. анализ и теория функций. Сб.- Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 3-12.

11. Бойков И.В. Об одном методе приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений // Функц. анализ и теория функций. Сб.- Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 13-21.

12. Бойков И.В. О приближенном решении сингулярных интеграль-. ных уравнений// ДАН СССР, 1972.- Т. 203.- N 3.- С. 511-514.

13. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений// Матем. заметки, 1972.- Т. 12.- N 2.- С. 177-186.

14. Бойков И.В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972.- Т.12.- N 6.- С. 1381-1390.

15. Бойков И.В. Приближенное решение интегро-дифференциальных уравнений с интегралом в смысле Адамара // Ученые записки Пенз. политехи, ин-т.- Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т.- Вып. 4, 1973.- С. 42-61.

16. Бойков И.В. Принцип компактной аппроксимации в возмущенном методе Галеркина// ДАН СССР, 1974.- Т. 215.- N 1.- С. 11-14.

17. Бойков И.В. Приближенные методы решения задач гравиметрии // Вопросы теории и методики гравитационных измерений на движущемся основании. Сб.- Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1976. С. 112-121.

18. Бойков И.В. О приближенном решении особых интегральных уравнений гравиметрии// Исслед. по динамич. гравиметрии. Сб.-Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1977.- С. 118-152.

19. Бойков И.В. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений и их приложения // Применение вы-числ. методов в научно-техн. иссл. Межвуз.сб. Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т.- Вып. 2, 1980. С. 3-18.

20. Бойков И.В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования.- Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т, 1983.- 96 с.

21. Бойков И.В. Аналитические методы идентификации динамических систем.- Пенза: Изд-во Пенз. политех, ин-т, 1992.- 112 с.

22. Бойков И.В. Асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов// Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1982.-Вып.4-С.З-10.

23. Бойков И.В. Оптмальные по точности алгоритмы вычисления интегралов // Оптимальные методы вычисления и их применение: Межвузовский сборник научных трудов. Пенза: Пензенский политехнический ин-т, 1987. Вып. 8. - С. 4 - 22.

24. Бойков И.В. О вычислении сингулярных интегралов, встречающихся в задачах гравиметрии // Методы обработки гравиметрической информации.-Москва: Институт физики Земли АН СССР-1978.-С.71-90.

25. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Пенза: Пензенский государственный технический ун-т, 1995. Ч 1,2.

26. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф., Домнин JT.H. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. унта, 1996.- 188 с.

27. Бойков И.В.,Руденко А.К. Об оптимальных квадратурных формулах для вычисления сингулярных интегралов// Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1979.-Вып.1-С.21-30.

28. Бойков И.В. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений/ И.В. Бойков, И.И. Жечев // Сб.аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во Казан, гос. унта, 1972.- С. 169-174.

29. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений 1 линейные уравнения] / И.В. Бойков, И.И. Жечев // Дифференциальные уравнения, 1973.-Т.9.- N 8 .- С. 1493-1502.

30. Бойков И.В. Некоторые вопросы приближенного решения нелинейных операторных уравнений методом Ньютона-Канторовича // Сб. аспир. работ. Точные науки, изд-во КГУ, Казань, 1970. С. 82-94.

31. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции . М.: ГИФМЛ, 1959.- 628 с.

32. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.

33. Ворович И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости/ И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. - 456 с.

34. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967, 576 с.

35. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963.- 640 с.

36. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки/Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский . М.: Наука, 1978. - 296 с.

37. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1. М.: ГИФМЛ. - 1958. - 439 с.

38. Глускин Е.Д. Об одной задаче о поперечниках // Доклады АН СССР, 1974. Т.219. - N 13. - С.527 - 530.

39. Гохберг И.Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов/ И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник.- Кишинев: Штинца, 1973.- 426 с.

40. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения/ И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. М.: Наука, 1971. - 352 с.

41. Гусейнов А.И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений/ А.И. Гусейнов, Х.Ш. Мухтаров . -М.: Наука, 1982. 414 с.

42. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1979. Т. 19.- N 5. - С. 1149-1161.

43. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1981. Т. 21.- N 2. - С. 355-362.

44. Диткин В.А., Прудникова А. Интегральные преобразование и операционное исчисление. М., Физматгиз, 1961.

45. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложение к задачам механики. Тбилиси: Мецниереба, 1979. - 137 с.

46. Жечев И.И. Приближенное решение систем нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования// Nature. Пловдив, 1973.- Т. 6.- N 1.-С. 19-25.

47. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

48. Иванов В.В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных интегральных уравнений// Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа.-Москва: Наука,1972.-С.209-219.

49. Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими полиномами // Успехи математических наук, 1974. Т.79. - N 1. - С. 161 - 178.

50. Какичев В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных.- Тюмень: Тюменский гос. ун-т, 1973.- 124с.

51. Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Серия математическая, 1977. Т. 41. - N 1. - С. 334 - 351.

52. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс М.: Мир, 1987. - 311 с.

53. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.: Наука, 1976. 320 с.

54. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 с.

55. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур. Добавление к книге: Никольский С.М. Квадратурные формулы. -Москва: Наука,1974.- 136 с. 100. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.-М.: Наука, 1984. 352 с.

56. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Наука, 1967. 498 с.

57. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения.- Л.: ГИТТЛ, 1950.- 280 с.

58. Купрадзе В.Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости/ В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гечелиа ,М.О. Башелейншвили , Т.В. Баргуладзе , М.: Наука, 1976. - 664 с.

59. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1968 210 с.

60. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ, 1932. Т. 118. - С. 3 - 56.

61. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. - 448 с.

62. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

63. Лифанов И.К. Обоснование численного метода "дискретных вихрей" решения сингулярных интегральных уравнений/ И.К. Лифанов , Я.Е. Полонский // Прикладная математика и механика, 1975. Т. 39.- N 4. - С. 742-746.

64. Лебедев В.И., Бабурин О.В. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов кадратурных формул Гаусса // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965. Т. 5.- № 3. С. 454 - 462.

65. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений Киев: Наукова думка, 1980. - 264 с.

66. Майоров В.Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи математических наук, 1975. Т.ЗО. - N 6. - С. 179 - 180.

67. Маковоз Ю.И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве // Математический сборник, 1972. Т. 87. - N 1. - С. 136 - 142.

68. Маковоз Ю.И.,Шешко М.А. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла// Известия АН БССР.-Сер.физ.-мат.наук.-1977.-К6.-С.36-41.

69. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1974.

70. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами// Труды АН Тадж. ССР. Душанбе, 1963. -Т. 1. - 126 с.

71. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

72. Михлин С.Г., Раднева Р.К. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Изд. ВУЗов, Математика. 1974. №5. С. 158-162.

73. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

74. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 612 с.

75. Никольский С.М. Квадратурные формулы // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1952. Е. 16. С. 181-196.

76. Никольский С.М. Квадратурные формулы.-Москва: Наука,1979.-224 с.

77. Общий курс физики. Часть I. // Под ред. Чертова К.И. М., Наука, 1978 г.

78. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М: Мир, 1979. - 494 с.

79. Половинкин В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сибирский математический журнал. 1971. № 1. С. 177196.

80. Половинкин В.И. Ассимпотически наилучшие весовые квадратурные формулы: Статья деп. в ВИНИТИ. Рег.№ 7938. 1984. 24 с.

81. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

82. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

83. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Изд. Ростовского университета, 1984.

84. Соболев C.J1. Введение в теорию кубатурных формул.- М.: Наука, 1974. 808 с.

85. Соболев C.JI. Уравнения математической физики (учебник для мех.-мат. факультетов гос. университетов). М., Наука, 1996.

86. Стечкин С.Б. О наилучших приближениях заданных классов функций любыми полиномами // Успехи математических наук, 1954. Т.9. - N 1. - С.133- 134.

87. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной. М.: Наука, 1986. - 111 с.

88. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики // Под ред. К.И.Бабенко. М.: Наука, 1979. - 196 с.

89. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений// Успехи математических наук, 1960. Т.15. - N 13. - С.81 - 120.

90. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения// Труды Тбилисского математического института АН Груз.ССР, 1958.- Т. 23.- С. 3-158.

91. Чиндрасекар С. Перенос лучистой энергии. М., Изд-во иностр. лит., 1953.

92. Чикин Л.А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений // Ученые записки Казанского государственного университета.- 1953.-т.113,-К.10.-С.57-105.

93. Atkinson К.Е. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. Journal on Numerical Analysis, 1972. - V. 9. - P. 284-299.

94. Golberg M.A. A Superconvergence Result For the Generalized Airfoil Equation with Application to the Flap Problem / M.A. Golberg, M. Lea , G. Miel// Journal of Integral Equations, 1982. V. 5.- ь 2. -P. 175-186.

95. Hadamard J. Theorie des equations aux derivees partielles lineaires hyperboliques et du probleme de Cauchy // Acta Math.,1908.-V.31.-P.331-380.

96. Jen E. Cubic splines and approximate solution of singular integral equations/E. Jen, R.P. Srivastav // Math. Сотр., 1981.- V. 37.- N 156.- P. 417-423.

97. Junghanns P. Kollokationverfahren zur naherungsweisen Losung singularer Integralgleichungen mit unstetegen Koeffizienten // Math. Nachr., 1981.- V. 102.- P. 17-24.

98. Junghanns P. Numerical analysis for one dimensional Cauchy singular integral equations/ P. Junghanns, B. Silbermann // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000.- V. 125.- N 1-2 .P. 395-421.

99. Kolmogoroff A. Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionen klasse // Analysis Mathematica. Vol. 37. -1936. P. 107-117.

100. Michlin S.G. Singulare Integraloperatoren/ S.G. Michlin, S. Prossdorf. Berlin: Acad. - Verl., 1980. - 514 p.

101. Prossdorf S. Approximation Methods for Solving Singular Integral Equations. Berlin, 1981.- Preprint.- P. - Math. -12/81.- 31 p.

102. Prossdorf S. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations/ S. Prossdorf, G. Shmidt // Math. Nachr., 1981. V. 100. - P. 33-60.

103. Prossdorf S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations/ S. Prossdorf, B. Silbermann.- Berlin.: Acad. Verl., 1991-544 p.

104. Ramm AG. Theory and Applications of Some New Classes of Integral Equations.- Berlin: Springer- Verlag, 1980. 343 p.

105. Wiener N. Uber eine Klasse Singularer Integralgleichungegen / N. Wiener, E. Hopf // Berlin: Sitz. Acad. Wiss., 1931.- P. 696-706.Цитированные работы по теме диссертации

106. Захарова Ю.Ф. Аппроксимация локальными сплайнами некоторых классов функций на бесконечных многообразиях // Деп. ВИНИТИ № 1424-2000, 28.11.2000.

107. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Деп. ВИНИТИ № 1326-2001, 24.05.01.

108. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Труды конференции "Надежность и качество -2001", Пенза, стр. 129-131.

109. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси. // Труды VI-го международного семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения", Уфа, БГПУ,ИМВЦ УНЦ РАН, 2001. С. 58-62.

110. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Вопросы математического анализа. Вып. 5, 2002, стр. 18-35.

111. Захарова Ю.Ф. Весовые кубатурные формулы. // Труды VI-го международного семинара "Кубатурные формулы и их приложения", Уфа, БГПУ, ИМВЦ УНЦ РАН, 2002. С. 61-68.

112. Захарова Ю.Ф. Приближенные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечной области. // Труды международной конференции по вычислительной математике, СОР АН, Новосибирск, 2002. Том 1. С. 182188.

113. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений // Деп. ВИНИТИ № 1539-2002, 13.09.02.

114. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Об одном приближенном методе решения многомерных сингулярных интегральных уравнений / / Труды конференции "Надежность и качество 2002", Пенза, стр. 185 - 187

115. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений // Вопросы математического анализа. Красноярск, ИПЦ КГТУ, Вып. 6, 2003, стр. 30-50

116. Захарова Ю.Ф. Кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью для функций из класса ВдД—оо, оо)р // Труды Труды VII-го международного семинара "Кубатурные формулы и их приложения", Красноярск, 2003.

117. Захарова Ю.Ф. Приближенное вычисление регулярных и сингулярных интегралов // Труды Средневолжского математического общества, 2003. Т. 5, № 1, стр. 292-299.

118. Захарова Ю.Ф. Весовые кубатурные формулы на числовой оси // Труды международного семинара-совещания, Харьков, 2003.

119. Захарова Ю.Ф. Оптимальные методы вычисления многомерных весовых сингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностью в неограниченной области интегрирования Саранск: Средневолжское математическое общество, 2004, препринт № 66.