Оптимальные квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для многомерных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дадабоев Парвиз Абдусаломович

• Дадабоев Парвиз Абдусаломович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Дадабоев Парвиз Абдусаломович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Об асимптотически точных оценках погрешности приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых

§ 1.1. Определения, обозначения и постановка задач об оптимальных квадратурных формулах для приближенного вычисления криволинейных интегралов

§ 1.2. Вывод формулы Тейлора с интегральным остатком для сложной функции многих переменных, зависящих от параметра ... 15 § 1.3. Асимптотически точные оценки погрешности квадратурной формулы прямоугольников для криволинейных интегралов на классах функций Wи классах кривых Я[0,Ц .... 19 §1.4. Об асимптотически точной оценке погрешности квадратурной формулы Симпсона приближенного интегрирования криволинейных интегралов на классах функций, задаваемых модулями непрерывности

Глава II. Наилучшие квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейных интегралов 32 § 2.1. Постановка задач об отыскании оптимальных квадратурных

формул для криволинейного интеграла

§ 2.2. Оптимальная квадратурная формула типа Маркова для приближенного вычисления криволинейного интеграла для некоторых классов дифференцируемых функций и кривых

§ 2.3. О минимизации оценки остатка квадратурной формулы (1.1.4)

на классах функций С(г)[0, Ц (г = 1, 2) и Ж0(1)Ц[0, Ц

§ 2.4. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода на классах функций Жр(1)(Мр) и кривых Тд(Ц)

Заключение

Список литературы

Введение

Диссертационная работа посвящена приближенному вычислению многомерных криволинейных интегралов для некоторых классов функций малой гладкости и классов пространственных кривых.

В диссертационной работе рассматриваются две задачи численного интегрирования криволинейных интегралов:

1) нахождение асимптотически оптимальных квадратурных формул для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода на классе функций многих переменных и классе пространственных кривых, модуль непрерывности градиента которых сверху ограничен заданной мажорантой модуля непрерывности;

2) отыскание наилучших квадратурных формул приближенного интегрирования криволинейных интегралов в смысле С.М.Никольского для некоторых классов функций многих переменных малой гладкости и классов пространственных кривых, градиенты первого и второго порядка которых по норме пространства ограничены сверху заданным числом.

Таким образом, в первой главе диссертации рассматриваются вопросы нахождения асимптотически точных оценок погрешности приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых классов функций многих переменных и пространственных кривых; во второй главе рассматривается экстремальная задача отыскания наилучших квадратурных формул приближенного интегрирования многомерных криволинейных интегралов в смысле С.М.Никольского на классах функций многих переменных малой гладкости и классах пространственных кривых.

Актуальность и степень разработанности темы исследования

В пятидесятых годах прошлого столетия С.М.Никольский [17] впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул на заданном классе функций - задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы из условия минимальности точной оценки остатка формулы на этом же классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А.Сард [34, 35]. В дальнейшем теория построения наилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты по отысканию наилучших (оптимальных) квадратурных формул были получены учениками и последователями С.М.Никольского - Н.П.Корнейчуком [8], В.П.Моторным [14], А.А.Женсыкбаевым [5], В.Ф.Бабенко [1], Б.Д.Бояновым [2], А.А.Лигуном [11], К.И.Осколковым [18], М.И.Левиным, М.Ю.Гиршовичем [10] и многими другими. Все эти результаты приведены Н.П.Корнейчуком [8] в добавлении к книге С.М.Никольского [17]. В этом добавлении отмечается, что данная теория получила значительное развитие, но в ней остался ряд нерешенных проблем. Прежде всего, значительно менее развита теория построения многомерных наилучших кубатурных формул, построения наилучших квадратурных формул для сингулярных и криволинейных интегралов. Поэтому решение экстремальных задач отыскания наилучших квадратурных формул для вышеперечисленных интегралов является актуальным.

Частично этот пробел - нахождение оптимальных квадратурных формул для криволинейных интегралов - восполняется в данной диссертационной работе, а именно: здесь рассматривается задача построения наилучших квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций многих переменных, определенных в точках заданной пространственной кривой.

Отметим, что для некоторых классов многомерных функций и кривых наилучшие квадратурные формулы для криволинейных интегралов найдены С.Б.Вакарчуком [4], М.Ш.Шабозовым [27], М.Ш.Шабозовым и К.Тухлиевым [31], М.Ш.Шабозовым и М.К.Абдукаримзода [28], Д.С.Сангмамадовым [19, 20], Ф.М.Мирпоччоевым [12, 13], Л.Г.Файзмамадовой [23-25] и другими.

Несмотря на полученные результаты по оптимизации квадратурных формул для криволинейных интегралов, все же точные результаты для классов функций и кривых найдены в редких случаях.

В первой главе диссертации изучается задача об асимптотически точных оценках приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых.

Во второй главе диссертации изучается вопрос отыскания наилучших квадратурных формул для некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных малой гладкости и некоторых классов пространственных кривых, заданных параметрическими формулами.

Объект исследования и связь работы с научными программами (проектами) и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках реализации перспективного плана научно-исследовательских работы кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского национального университета на 2018-2023 гг. по теме "Теория приближения функций".

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для многомерных функций»

Общая характеристика работы

Цели и задачи исследования. Основные цели диссертационной работы заключаются в следующем:

• найти асимптотически точные оценки остатка квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов на классах функций W(1)Нт и классах кривых НШ1,-,Шга[0, Ц] при фиксированных векторах коэффициентов и узлов;

• найти оптимальную квадратурную формулу типа Маркова приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов дифференцируемых функций W(2)Ц2(М) и кривых Т(Ц);

• найти наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов на классах функций С(г)[0,Ц] (г = 1, 2) и W(1)Ц[0,Ц] (1 < д< ).

Основные методы исследования. В диссертации используются современные методы решения экстремальных задач вариационного содержания и метод Н.П.Корнейчука отыскания наилучших квадратурных формул на функциях, обращающих квадратурную сумму в нуль.

Научная новизна исследований. В диссертации получены следующие основные результаты:

• найдены асимптотически точные оценки остатка квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов на классах функций W(1)Д^ и классах кривых НШ1,-,Шга[0,Ц при фиксированных вектор-коэффициентах и узлах;

• найдены оптимальные квадратурные формулы типа Маркова приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов дифференцируемых функций W(2)Ц2(М) и кривых Т(Ц);

7

• найдены наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов на классах функций С(г)[0,Ь] (г = 1, 2) и W(1)Ьд[0,Ь] (1 < д < то).

Положения, выносимые на защиту:

• основные теоремы о нахождении асимптотически точных оценок остатка квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов на классах функций Wи классах кривых [0, Ь];

• основные теоремы об оптимальных квадратурных формулах типа Маркова для приближенного вычисления криволинейных интегралов на классах W(2)Ь2(М) и кривых Т(Ь);

• основные теоремы о наилучших квадратурных формулах вычисления криволинейных интегралов на классах функций С(г)[0,Ь] (г = 1, 2) и W(1)Ь[0,Ь] (1 < д < ).

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертационной работе результаты о приближенном вычислении криволинейных интегралов имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Приведенные в ней методы и результаты могут применяться при отыскании точных оценок погрешности приближенных интегралов для вычисления поверхностных интегралов. Главы диссертации по отдельности могут составить содержание специальных курсов для аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальности "Математика" и "Прикладная математика".

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные результаты, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованных работах. Все приведенные в диссертационной работе результаты получены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на:

• семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений и кафедры математического анализа и теории функций Таджикского национального университета под руководством академика НАН Таджикистана, профессора М.Ш.Шабозова (Душанбе, 20162022 гг.);

• международной летней математической Школе-Конференции С.Б.Стечкина по теории функций (Душанбе, 15-25 августа 2016 г.)

• международной научной конференции "Современные проблемы математики и ее приложений" (Душанбе, 14-15 марта 2018 г.);

• международной научной конференции "Сингулярные интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами" (Душанбе, 30-31 января 2020 г.);

• международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Душанбе, 25-26 декабря 2020 г.);

• международной научной конференции "Актуальные проблемы современной математики" (Душанбе, 25-26 июня 2021 г.);

• республиканской научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и их роль в формировании технического мировоззрения общества" (Худжанд, 29-30 октября 2021 г.);

• на международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и теории функций" (Душанбе, 24-25 июня 2022 г.).

Публикации. Результаты исследований автора по теме диссертационной работы опубликованы в 10 научных работах, из них 4 статьи опубликованы

в изданиях, входящих в действующий Перечень ВАК РФ, а 6 - в трудах международных и республиканских конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 45 наименований, занимает 68 страницу машинописного текста и набрана на МГЕХ. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Глава I. Об асимптотически точных оценках погрешности приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых классов

функций и кривых

В "Дополнение" Н.П.Корнейчука к монографии С.М.Никольский отмечается, что по экстремальным задачам теории квадратур получен ряд существенных результатов по минимизации погрешности квадратурных формул для соболевских классов функций одной переменной для классов функций, задаваемых модулями непрерывности (см. [17, с. 127-256]).

В то же время в указанном "Дополнение" отмечается, что до настоящего времени немало задач для многомерных случаев еще не решено. Можно полагать, что это замечание в полной мере также относится к задаче отыскания наилучших квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов. Для указанных интегралов задача отыскания наилучших квадратурных формул для различных классов функций находится на стадии разработки. Отметим, что задача приближенного вычисления криволинейных интегралов для функций двух переменных определенных на плоской кривой ранее изучена в работах К.Тухлиева [22], М.Ш.Шабозова и Д.С.Сангмамадова [30], М.Ш.Шабозова и Л.Г.Файзмамадовой [32], Г.А.Юсупова и А.А.Шабозовой [33] и др.

В перечисленных работах вычислены точные оценки погрешности на некоторых классах функций двух переменных и плоских кривых, задаваемых модулями непрерывности. Желая продолжить исследования по данной тематике, в первой главе диссертации вводим в рассмотрение аналог классических квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона для при-

ближенного вычисления многомерных криволинейных интегралов и найдены асимптотически точные оценки погрешности этих квадратурных формул для некоторых классов функций многих переменных и пространственных кривых, задаваемых модулями непрерывности. При этом при заданных значениях вектор-коэффициентов Р := и вектор-узлов Т = находятся асимптотически точные оценки погрешности рассматриваемых квадратурных формул на исследуемых классах функций.

§ 1.1. Определения, обозначения и постановка задач об оптимальных квадратурных формулах для приближенного вычисления криволинейных интегралов

Пусть функция /(М) = /(х^ х2,..., хт) определена и интегрируема вдоль кривой Г С Ят. Обозначим

3 (/;Г):=У / (М = 1 f (XI ,Х2,...,Хт)й. (1.1.1)

г г

Предположим, что на кривой Г установлено положительное направление так, что положение точки М = М(х1, х2,... , хт) на кривой может быть определено длиной дуги £ = АМ, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда, как известно, кривая Г параметрически выразится уравнениями

Х1 = Х2 = . . . , Хт = <£т(*), (0 < £ < Ь), (1.1.2)

а функция f (х1,х2,... ,хт), заданная в точках кривой, сведется к сложной функции f (^(£), ^2(£),... ,^>т(£)) от переменной Хорошо известно, что в этом случае интеграл (1.1.1) запишется в виде следующего определенного интеграла на отрезке [0, Ь]

ь

3(f; Г) = I f (^(¿), ... , (1.1.3)

0

Всякая квадратурная формула

N

3а; Г) « ^^; Г; Р, Т) := ^^f ), ^2(¿к),..., )) (1.1.4)

к=1

для приближенного вычисления интеграла (1.1.3) задается векторами коэффициентов Р = {рк}^, где р1,р2,... - произвольные действительные числа, и векторами узлов Т = {: 0 < ¿1 < ... < ^ < Ь}. Через

(f;Г)| := (f; Г; Р,Т)| = |3(f; Г) - ^(f; Г; Р,Т)|

13

обозначим погрешность квадратурной формулы (1.1.4).

Если М - некоторый класс функций {/(^>1(£), ^2(£),... ^т(£))}, определенных в точках кривой Г и интегрируемых как сложные функции параметра £ на отрезке [0, Ц], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности, примем верхнюю грань

Ям(М;Г; Р; Т) = 8ир{|Яя(/; Г; Р; Т)| : f е М}.

Пусть ЭД(Ц) - класс кривых Г, заданных параметрическими уравнениями (1.1.2), длина которых равна Ц. Наибольшую погрешность квадратурной формулы (1.1.4) всего класса функций М на классе кривых N обозначим

Ям(М; Ж(Ц); Р; Т) = 8ир{|Яж(М; Г; Р; Т)| :Г е Ж(Ц)}.

Обозначим через Нш := Нш[0, Ц] - множество функций е С[0,Ц], удовлетворяющих условию

^(¿0 - < ¿//|), ^¿"е [0,Ц],

где - заданный модуль непрерывности, то есть непрерывная неубывающая функция, удовлетворяющая соотношениям

0 < ^(¿//) - ^(¿/) < ^(¿// - ¿/), 0 < ¿/ < ¿// < Ц, ы(0) = 0.

Через Н[0,Ц] обозначим класс гладких пространственных кривых Г С Ят, длиною Ц, заданных параметрическими уравнениями (1.1.2), у которых координатные функции е Н^[0,Ц],г = 1,т, то есть

- < ¿/|), ^¿"е [0,Ц], г = 1~ш.

В случае = г = 1, т вместо Н[0, Ц] будем писать Н^[0, Ц]. Если ¡х>(£) = К£а, К > 0,0 < а < 1, то получим класс Гельдера с константой К порядка а, которую обозначим КНа'т[0, Ц]:

^(О - ^(¿/)| < К¿/|а, ¿/е [0,Ц], г = 1~т.

§ 1.2. Вывод формулы Тейлора с интегральным остатком для сложной функции многих переменных, зависящих от

параметра

Нам в дальнейшем понадобится новый вид формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, доказательство которой приводим в этом пункте. Чтобы вывести формулу Тейлора для сложной функции f (2(£),..., (т(£)), введем операторное обозначение

^ = 5/ ^ + . д» + + . (1 2 1)

Используя это обозначение для сложной функции

Р (¿) = f (( (¿),^2(^),...,^т(^)), (1.2.2)

запишем выражение первой производной функции (1.2.2) через оператор (1.2.1), полагая

У/ = У/(^(¿),(^(£),...,^т(£)) := = ^^ ^ + + + . =

Аналогично для второй производной (1.2.2) имеем:

у<2>/=У(У/) = (+ А.др +... + V;=

\д(1 от д(2 от д(т от у

и для г = 2,3,... получаем рекуррентную формулу

р(г)ф = У(г)/ := У(г)/((1(^),»2(^),..., (т(¿)) :=

:= У (У(г-1)/((1 (¿), (2(^),..., (т(*))). (1.2.3)

Пользуясь введенными обозначениями, запишем формулу Тейлора для разложения функций /(^(£), ^2(£),..., ^т(£)) в произвольной точке ¿0 е [0, Ц] по степеням разности (£ - ¿0). В самом деле, записав формулу Тейлора для функции ^(¿) по степеням £ - ¿0 в интегральной форме (см., например, [17, с.21])

г-1 ь

Р(¿) := £ - ¿о)1 + Т^ЙГ / (* - (г)(и)^и, (1.2.4)

1=0 У 7 Оо

где = [шах(0,и)] ; I е N и выражая производные ^(1)(£0) по формуле (1.2.3), получаем формулу Тейлора для функции ^(¿) := /(<£1Й, <£2(£),..., <£т(*)) в следующем виде

г-1 1

^(¿) := £ 1 М^), ^(¿0), ..., ^т(^0)) (* - ¿0)1+ 1=0 '

ь

+ (г-Г)! / (* - и)+-1 у(г)/(^1 (и), ..., ^т(и))^. (1.2.5)

0

Полученная обобщенная формула Тейлора (1.2.5) в дальнейшем будет основным нашим инструментом для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого типа вида (1.1.1) при помощи квадратурной формулы (1.1.4), при произвольном векторе коэффициентов Р = {Рк}^= и векторе узлов Т =

Найдем общий вид остатка формулы (1.1.4) в предположении точности этой формулы на множествах полиномов степени г - 1. Имеем:

ь N

ЯМ (/, Г) = /(^(¿), . . . , Рт (¿)) ^ - ^ Рк/(^1 (¿^), ^(¿к), . . . , )) 0 к=0

Ь / г-1 1

£ 1 V« / (Р1(*0), Р2(*>), . . . , Рт(^0)) (* - ¿0) + +

1=0 !

ь

(г - Т)!

(* - м)+Т1У(г)/ ((1 (и), (2(и), . . . , (т(и)) ¿и

N Г г-1

Х^М ^ ТУ(1) (»1(^0), (2(¿о), . . . , (т(^о)) ■ (¿к - *оУ +

к=0 к 1=0 ь

Т

(г - Т)!

(¿к - и)+ 1 У(г)/ ((1 (и), (2 (и), . . . , (т(и)) Зи

г—1

^ т У(1) ((1(^0), (2(¿0), . . . , (т(^>))

1=0 ь

" ь N

/ (* - ¿0)1 ^ - ^ Рк(¿к - ¿0) -0 к=0

+

Т

+ -Г г!

N

(Ь - и)г - г ^Рк (¿к - и) к=0

г—1

У(г)/((1(и), (2(и), . . . , (т(и))¿и

ь

(г - Т)!,

(Ь - и)

N

г

^Рк (¿к - и)+ 1

к=0 ь

У(г) Д(1(и), (2 (и), . . . , (т(и)) ¿и

(г - Т)!

Кг (¿)У(г) f ((1(^),(2(^), . . . , (т(*)Ц, (1.2.6)

где ядро Кг (¿) имеет вид:

Кг (¿) =

(Ь -

N

г

^>к (¿к - ¿)Г+-1

к=0

, < := [шах(0,и)]т (1.2.7)

Отметим, что ядро Кг является полиномиальном сплайном степени г - Т, дефектом 1 в узлах ¿к квадратурной формулы (1.1.4). Формулами (1.2.6) и (1.2.7) воспользуемся в последующих параграфах первой главы при выводе асимптотически точных оценок погрешности на классах функций многих переменных и классах пространственных кривых. Через

ж (г)нт := w (г)нт [0, ь] (г е w (0)нт = нт)

Т

Т

Т

обозначим множество функций /(М) := ^2(£),..., ^т(£)), у которых

почти всюду в области Q существуют частные производные

дг / _ _

о , =0,кй =0,г;

и для любых двух точек ¿/,£// е [0, Ц] удовлетворяющих условию

V(г) / МО, ^(0, . . . , ^т(О) - V(г)/ ((^1(^//),^2(^//)), . . . , ^т(О) <

тт

< £ |<л(0 - ^(Щ < £^ - ¿//|), (1.2.8)

¿=1 ¿=1

где (г = 1,т) - заданные модули непрерывности.

§1.3. Асимптотически точные оценки погрешности квадратурной формулы прямоугольников для криволинейных интегралов на классах функций W(1)Нт и классах кривых НШ1,,,,,Шт [0,Ц]

При приближенном вычислении криволинейных интегралов вида (1.1.1)

воспользуемся аналогом классической формулы средних прямоугольников

для криволинейных интегралов вида (1.1.1)

ь

I /(р1(£),^2(£), . . . = 0

= Ц £ / (^Ц) , (^Ц) ,..., Ц^Ц) ) +

(/;Г). (1.3.1)

В этой формуле вектор коэффициентов Р = |рк : рк = Ц/^}и вектор узлов Т = {¿к : ¿к = (2к - 1)Ц/(2Ж)}А;=1 заданы и требуется определить погрешность формулы (1.3.1) на классах функций W(1)Нт и классах кривых Н[0, Ц], удовлетворяющих неравенству (1.2.8). Таким образом, требуется найти точное или асимптотически точное значение следующей величины

^^(1)Нт; НШ!',,,'Шт [0, Ц]; Р,Т) = = вир{^(/;Г; Р,Т)| : / е W(1)Нт; Г е Н[0,Ц]} . (1.3.2)

Записав для произвольной функции /(^(£), ^2(£),..., ^т(£)) е W(1)Нт как сложной функции одного переменного

формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (1.2.5) в окрестности ¿0 = 0 , получим

/ (¿), . . . , Рт(*)) = / (^1(0), ^2(0), . . . , Рт(0)) +

19

ь

+ у/((1(и), (2(и), . . . , (т(и)) (£ - и)+(и,

(1.3.3)

где (£ - и)+ = [шах(£ - и, 0)]0. Подставляя формулу (1.3.3) в квадратурную формулу (1.3.1) с учетом точности формулы для постоянной функции,

остаток формулы запишем в виде

ь

(1

^ (/;Г; Р ,Т) =1 f ((1(^),(2(^),...,(т(^))З^

N

Ь у 2к-Т ь^л 2к-Т Ь

N

к=1

2N

2N

(т( ^ Ь

ь ь

/((х(0), (2(0), . . . ,(т(0))+/ 1 (и) , (2 (и) , . . . ,(т(и))(£ - и)+(и

(И-

Ь

N

N

У

к=1

/((1(0),(2(0),...,(т(0)) +

ь

+

1(и) (2(и) . . . , (т(и)) 2УЬ - ^

Ь

N

Ь/((1(0), (2(0), . . . , (т(0)) - Ь ^ /((1(0), (2(0), . . . , (т(0)) } +

+

к=1 N ,

(* - - Ь у ^

V N^1 2N

к=1

Ь — и > х

ь

хУ ((1 (и) , (2(и), . . . , (т(и)) (и

N ч 0

У/((1(и), (2(и), . . . , (т(и))(и =

Ь - и - Ь | 2к - Т Ь - и) (и

N ^ V 2N , +

к=1 +

ь

К1(и)У/((1(и), (2(и), . . . , (т(и)) (и,

(1.3.4)

где, ради краткости, положено

Ц N /

К1(и) = Ц - и -

к=1 ^

'2к - 1 "2Ж

Ц — и

(1.3.5)

+

Равенство (1.3.4) с учетом (1.3.5) после простых вычислений и упрошения для произвольной функции /(^(¿), р2(£),... , рт(£)) е W(1)Нт запишем

в

следующем виде

ь

^ (/;Г; Р ,Т)= / V/(pl(t),p2(í),...,Рm(í^ 9^.

(1.3.6)

Полагая ^ = 1/Ж, интеграл (1.3.6) запишем в виде

N ^

^ (/;Г; Р ,Т) = ^ у V/

к=^к-1)н

N / (к-1/2)Н кН \

Е

к=1

+

V/(pl(t),Р2(í),...,Рm(í^ 9

\(к-1)Н (к-1/2)Н /

где функция 9(^) определяется равенством

9(0 = <

г - (к - 1)й, (к - 1)й < £ < (к - 1/2)й, й = 1/Ж;

(1.3.7)

г - аЖ,

(к - 1/2)^ < £ < к^, к = 1,Ж.

Очевидно, что 9(к^ + ¿) = 9^) (0 < £ < к = 1,Ж). Отмеченные выше свойства (1.3.7) функции позволяют равенство (1.3.6) записать в

следующем виде

(/, Г; Р,Т)| = N

v/(pl (¿),...,рт(*)) 9^

(1.3.8)

н

н

Учитывая, что / = 0, а также то, что /((1(£),... ,(т(^)) е Ж(1)Я^,

из (1.3.8) получаем

(/, Г; Р,Т)| =

= N

У/((1(^), . . . , (т(¿)) - У/((1(й/2), . . . , (т(2/2)) д(£)(£

<

//2

< N

У/((1 (¿), . . . , (т (¿)) - У/((1(^/2), . . . , (т(Л/2))

+

//2

< N

У/((1 (¿), . . . , (т^)) - У/((1(^/2), . . . , (т(Л/2))

//2Г т ^ / Г т ^

/Ш Ч 2 - *)}* +/ {е «*( * - 2)}

(2 - <

^ I г - - =

//2 //2 тт

2N У I ыЛ 2 - Л = 2N У I

¿=1 А ¿=1 А

2 - ^ =

ь/^)

/ л

2N У !

¿=1 А

Ь Ь2

— - г) ыг = — 2N / 2N

У/(Т - ¿К(1.3

¿=1 А

1.9)

Так как модули непрерывности ¡x>i(Ьг/2N)) являются неубывающими функциями на отрезке [0, Т], то из правой части (1.3.9) получаем оценку сверху

Ь 2 т / Ь \ ^ (./, Г; Р ,Т)|< - у

¿=1 4 '

Докажем теперь, что для погрешности квадратурной формулы (1.3.1) на всем

классе функций Ж(1)Нт и классе кривых Я[0,Ь] справедлива оценка

т ь/(4N)

т С Т 5

Я^Ж(1)Ят; Я[0, Ь]; Р,Т) = /^й^, т < ^ < 5 (1.3.10)

2

2

1

В самом деле, сохраняя обозначение Н = Ц/Ж, определим на отрезке [0, Ц] функцию /0 (<1 (¿) , <2 (¿) , . . . , <т (¿) ) , у которой

v/о( ^й,^^),... ,<т(£)) =

=

1т

¿=1

1А / н

2

¿=1 4 7

V/о(<1 (Н - ¿),<2(Н - ¿), . . . ,<т(Н - ¿)) ,

0 < * < Н,

- - 4'

к к

-< £ < -. 4 < < 2

к

- < £ < Н 2 < <

и для которой

v/о( + Н), <2^ + Н),..., <т(£ + Н)) = v/о( <1Й, < (¿),..., <т(£)).

Пользуясь рассуждением, приведенным в [31], легко показать, что /0(Р^), <2(£),..., <т(¿)) е W(1)Нт. Простые вычисления показывают, что

т ( Н/4 Н/4 \

т1л 1 Г/Н \

^ (/о, Г; Р,Т) = 2Ж^ 1 I г^¿(í)dí + 1 I и - ¿М^

¿=1 ^ '

\

22

0

Ь/(4N)

Н/4 Ь/(4N)

Н т Г Ц т Г

2Ж • 4 £/ = ц £ ^¿(г)dí.

¿=1 п ¿=1 п

/

(1.3.11)

С другой стороны, из оценки (1.3.9) для всех г = 1,т имеем:

Н/2

"к

2Ж / ( 2- ¿Н^)^ = 2Ж

/ Н/4 Н/2 \

/ - (¿)^ + [ (2 - чw¿(í)dí

0

<

V

Н/4

/

Н/4

< 2Ж

/ Н/4

2 У + 2^ - 2г)^(2г)dг

\ 0 Н/8

<

/

< 2N

/ //4 //4 \

2 У ы¿(í)dí + ^ ^ - 2í^i(í)dí

\ 0 //8

<

/

//4

< 2N

( //4

— о^)^ + 2 I о^)^

V

//8

\ //4 //4

= ^у ^(¿^ + 2Ь у о^)^. (1.3.12)

0 //8

/

Последний интеграл в правой части неравенства (1.3.12) оценим при помощи следующего неравенства, справедливого при любом 2 > 0:

//2

/ //2 о^)^ = у о^)^ - J о^)^ 00

< 3 I о(£)(£,

поскольку ^¿(¿/2) > (Т/2)^^(¿). Таким образом, из неравенства (1.3.12) окон-

чательно находим //2

2

//4

//4

2 / ( 2 - Чwi(г)dг < М ыi(г)dг + 2М ^(¿^ <

0

//4

//8

//4 ь/ (4N)

< ь / о^)^ + 2Ь ■ 3 [ ы^)^ = ^Ь [ ыi(г)dг.

(1.3.13)

0 0 0 Сравнивая оценки (1.3.11) и (1.3.13) для произвольной функции / е

Ж(1)Ят и кривой Г е Я, запишем двустороннюю оценку

Ь 2

ь/^)

ь/^)

/ * V Л Iшг -Г I I О л

У У "¿(¿Э < ^ (/,Г;Р,т) < ту у

¿=1 А ¿ = 1 А

0 '=1 0 откуда и вытекает требуемое равенство (1.3.10).

Отметим, что соотношение (1.3.10) справедливо для произвольных

модулей непрерывности. Если же о^) (г = Т,т) являются выпуклыми вверх модулями непрерывности, то аналогичным образом доказывается

неравенство

/

/

/

L m L/(2N)

-E J ^(t)dt < rn(W(1)Hm; ; P,t) < i=1 0

L/(2N)

— m „ —2 m

< - E <*(*)<« + E <*w. c1-3-14)

¿=1 о i=1

Отсюда сразу следует предельное равенство

4nrn(W«Hm; ; P,TT) lim -^--- 7 = 1. (1.3.15)

m

— E /

i=1 о

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1.3.1. Для погрешности квадратурной формулы прямоугольников (1.3.1) на классах функций W(1)Hm и классах кривых Г £ справедливы оценки

m L/(4N)

m /* 1 5

rn(W(1)h-; ; P,TT) = 0N — e i 1 < ^N < 5.

i=1 о

Если же ^¿(t) (i = 1, m) - выпуклые вверх на отрезке [0, L] модули непрерывности, то имеет место предельное равенство

(W(1)Hm; Я^1—^; P, T)

lim ---- = 1.

L ^ / ^(t)dt ¿=1 0

Следствие 1.3.1. В условиях теоремы 1.3.1 при ^¿(t) = ¡x>(t)(i = 1,m) справедливы равенства

L/(4N)

rn(wWh;-; Hw'm; P, TT) = 0N m— i w(t)dt, Q < ^ < ^ . (1-3-16)

Если - выпуклый вверх модуль непрерывности, то из (1.3.14) следует ( )

, 4^(Ж(1)Ят; Я<^т,Р,Т)

Нш —^-т-= Т. (1.3.17)

ь/ (2N) V 7

тЬ J о^)^ 0

Из (1.3.16), в частности, если о(¿) = К£а, К > 0, 0 < а < Т, то имеем:

(КЖ «ят; К я а>т, Р ,т) = (Ь Г', 2 < < 5,

а из асимптотического равенства (1.3.17) получаем

4^ (КЖ(1)Яа'т, Яа'т, Р, ТР)

Нш ---л- =

N^то Т Ь \ "+1

тКЬ •

а + U2N

J

9«+^ (а + 1)

=-( + ) lim N(KW(1)яа'т,Яа'т,рР, Т) = 1.

Из последнего равенства следует асимптотическое равенство

1 mK L а+2

(kw(1)Hm; Яат,P,г) - N1+T ■ 2а+з(а + 1), при N ^ «>.

§ 1.4. Об асимптотически точной оценке погрешности квадратурной формулы Симпсона приближенного интегрирования криволинейных интегралов на классах функций, задаваемых модулями непрерывности

В этом параграфе решим задачу приближенного интегрирования интеграла (1.1.3) при помощи квадратурной формулы Симпсона, имеющей вид

ь Г

I / ((1Й, . . . , (т(*)) ^ = / Ы0), . . . , +

0

N

+4 £ /(«( ^ Ь

2к - 1 Л /2к - 1 , ,

('Ч +

к=1

-1 - чь\ пь

+2 £ 44;

] +

^=1 \ \ / \

+/ ((1 (Ь),..., Сш(Ь)) | + ^(/, Г), (1.4.1)

для классов функций W«ят и классов кривых Я. Записав для произвольной функции / ((^£),..., (т(£)) ^ W(1)Ят формулу Тейлора (1.2.5) с остаточным членом в интегральной форме в случае г = 1 и, принимая во

внимание структуру формулы Симпсона, получаем

ь

^ (/, Г) = У V/ ((1 (*),..., (т(*))К (1.4.2)

0

где на этот раз ядро К(£) имеет вид:

^ Г 2Ь " /2к -1 \0 Ь N-1 /кЬ \0

К(¿) = Ь - £---> -— Ь - Л---> — - Л . (1.4.3)

к=1 4 7 + к=1 4 7 + Легко проверить, что остаток (1.4.2) с учетом (1.4.3) можно записать в

виде [3]

ь

^ (/, Г) = V/((1Й,...,(т(*)Ы*)^, 0

где

91 СО = <

Очевидно, что

t - (6к + 1)Н, если 6кН < t < 6кН + 3Н, t - (6к + 5)Н, если 6кН + 3Н < t < 6кН + 6Н,

к = 0,Ж - 1, Н = 1/6Ж.

91 (6кН + 3Н - и) = —91 (6кН + 3Н + и), (к = 0, N - 1, 0 < и < 3Н),

кЦ

Ц

91 I N + и) = 91 (и), (0 < и < к = 0,Ж - 11 . (1.4.4)

Положим

ак = [6кН, (6к + 2)Н], вк = [(6к + 2)Н, (6к + 4)Н], к = 0,Ж - 1 и, учитывая отмеченные выше свойства функции 91 (¿), имеем:

(/, Г)| < 2Ж

V/(<1(0,..., (^(0)91 (¿)^

ак

+

(¿),..., ^т^))91^

вк

(1.4.5)

Для 6кН < t < (6к + 2)Н, полагая t = 2(6к + 1)Н - и и учитывая соотношения (1.4.4), для произвольной функции / (<4^),..., ^т,^)) е W(1)Нт буде

м

иметь

I V/(<1(0,..., (^(0)91 (¿)^

к

/ (6к+1)Н (6к+2)Н\

+

\ бк (бк+1)Н у

(^<1 (¿),..., ^т^))91^

<

(6к+2)Н

< у |91 (¿)| /<1(2(6к + 1)Н - ¿),..., <т(2(6к + 1)Н - ¿))

(6к+1)Н

(6к+2)Н

т

-V/(<1(0,..., <т(0)91(0^| < £ 91^2^ - (6к + 1)Н)]^ =

¿=1(6к+1)Н

т Н т Н т 1

£ / 9^ + (6к + 1)НЦ(20^ = £ / ¿^¿(2^ = £ Н2 / ^¿(2Н0^

¿=1

¿=1

¿=1

1 (Ц

36 V N

2 т „

I ^^ /

¿ = 1 п

3Ж

(1.4.6)

Аналогичным образом, оценивая второй интеграл в правой части неравенства (1.4.5) и полагая (6к + 2)Н < t < (6к + 3)Н, t = 2(6к + 3)Н - и для произвольной / (<^0,..., <т(¿)) е W(1)Нт, получим:

V/(<1(0,..., (^(0)91(0^

вк

<

<

/ (6к+3)Н (6к+4)Н\

+ J V/(<l(t),...,<m(t)) 91(0^

\(6к+2)Н (6к+3)Н у (6к+3)Н

JV/(<1 (2(6к + 3)Н - ¿),..., <т(2(6к + 3)Н - ¿))91 [2(6к + 3)Н - ¿Ц-

(6к+2)Н

(6к+3)Н

- I V/(<1(0,...,<т(0)91(0^ <

(6к+2)Н

(6к+3)Н

< ^ 191 (¿)| • (<1 (2(6к + 3)Н - ¿),...,<т(2(6к + 3)Н - ¿))-

(6к+2)Н

(6к+3)Н

т

-V/(<1(0, . . . , <т(¿)) < ^ у 191 (¿) |[2((6к + 3)Н) - ¿Ц =

¿=1

(6к+2)Н

НН т [ ] т

£ / 91[(6к + 3)Н - ¿Ц(20^ = £ / (2Н - 0^(20^

¿ = 1 п ¿=1 п

1 ( Ь)2 ™ 1 /Ь

36 з^(2 - (1.47)

%= 0

Подставляя найденные оценки (1.4.6) и (1.4.7) в правую часть неравенства (1.4.5), для произвольной функции /((1(^),..., (т(У)) ^ W(1)Ят и Г е я-1—-™ [0,Ь] имеем:

1

Ь 2 т 1 / \

К(/, Г)|< з^£/ Ц3-) (2 + ()<й. (1.48)

г=1 0

Заменив под интегралом ¡х>% ^^у) на ^^ъ) , будем иметь

(/, г)|< тй £(з/).

%=1 4 х

Укажем еще оценку остатка на классе W(1)Д-, усложенной квадратурной формулы трапеций, имеющей вид:

ь Г

[ / ((1(У), . . . , (т(У))^У = / ((1(0), . . . , (т(0)) + / ((1 (Ь), . . . , (т(Ь)) +

+2 £ /((^ кЬ),...,(^ кЬ)) >+ ^ (/, Г) (1.4.9)

и являющейся точной для многочленов первой степени.

С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, можно получить следующую оценку погрешности формулы (1.4.9) для любой функции / ((1(у),..., (т(у)) е W«Я- и Г е Я-1'-'-™[0, Ь]:

1 2

г)1< ^ £/ +!(£) £ -.(!)• (1.41°)

%—1 0 %—1

Отметим, что оценка (1.4.10) справедлива для произвольных модулей

непрерывности ы%(У), г = 1,т. Если же ы%(У), г = 1,т - выпуклые вверх

модули непрерывности, то, как и выше, легко доказать, что

1

/ ™ 1 / /7 ■

8Ж£ Ы 21у ) dt < ^ (и'(1)я,т; Н"......"т) <

¿=1 о

< ± £ /« (Ц) * + ^ (Ц)2 £>(1). (1.4.11)

] Ч2Ю 32 ч_ 7

¿=1 0 ¿=1

Из неравенства (1.4.10) сразу следует предельное равенство

1;т 8ЖДдГ(Ж"»ят; Я-,,,,,"т) = 1 (14 12)

г ^ 1 (/ ) , . ^

¿=1 0

Таким образом, имеет место

Теорема 1.4.1. Для погрешности квадратурной формулы трапеций (1.4-9) справедливо предельное равенство (1.4-12). В частности, если

«¿(¿) = «(¿), г = 1,т, то имеем:

8ЖЯЛW(1)Нт; Нт

тт

Нт -^-^ = 1. (1.4.13)

^то 1

т/ [ « ( —^ ) ^

У V 2ЖУ

0

Если в (1-4-13) полагать «(¿) = К^ (К > 0, 0 < а < 1), то получаем

Ит ^^^ (W(1)Нт; Нт) = 1.

Глава II. Наилучшие квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейных

интегралов

§ 2.1. Постановка задач об отыскании оптимальных квадратурных формул для криволинейного интеграла

В этом параграфе рассматривается экстремальная задача об отыскании наилучшей (оптимальной) квадратурной формулы в смысле С.М.Никольского [16, 17] для приближенного вычисления криволинейного интеграла общего вида

3 (/, Г) = У / (Ж1,Ж2,...,Жт)^ (2.1.1)

Г

некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных и кривых в предположении, что функции /(х1, х2,..., хт) определены и интегрируемы вдоль пространственной кривой Г, принадлежащей т-мерному евклидову пространству Ят.

Предположим, что на кривой установлено положительное направление таким образом, что положение точки М = М(х1, х2, ..., хт) на кривой Г определяется дугой У = АМ, отсчитываемой от начальной точки А до точки М. В этом случае, как мы ранее отметили, кривая Г сводится к параметрическому виду и выразится уравнениями

Х1 = (1(У), Х2 = (2(У), . . . , Хт = (т(У), 0 < У < Ь, (2.1.2)

а определенная на кривой Г функция /(х1,х2, ... ,хт) сведется к сложной функции /((1(У), (2(У),..., (т(У)) от переменной У. При этом интеграл при-

обретет вид следующего определенного интеграла

ь

3(/; Г) = У /((1(У), (2(У),..., (т(*Ж (2.1.3)

0

В этом случае произвольная квадратурная формула

N

3(/; Г) « ^(/; Г; Р, Т) := ^рк /((х(УЛ), (2&),..., (т(Ук)) (2.1.4)

к=1

для приближенного вычисления интеграла (2.1.3) задается векторами коэффициентов Р = {рк},., и векторами узлов Т ={ Ук : 0 < ¿1 <...<^ < Ь}, где р1,р2,... ,pN - произвольные действительные числа.

Погрешность квадратурной формулы (2.1.4) по аналогии с монографией С.М.Никольского [15, 17] определим равенством

^(/;Г)| := ^(/; Г; Р,Т)| = 13(/; Г) - ^(/;Г; Р,Т)|.

Если М := {/((1(У), (2(У),..., (т(£))} - некоторый класс функций, определенных в точках кривой Г и интегрируемых как сложные функции переменной У на отрезке [0, Ь], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности квадратурной формулы на классе М, примем верхнюю грань

^ (М;Г; Р,Т) = 8пр { ^ (/; Г; Р,Т)| : / е М}.

Через Т := Т(Ь) обозначим класс пространственных кривых Г, заданных параметрическими уравнениями (2.1.2), длина которых равна Ь. Максимальную погрешность квадратурной формулы (2.1.4) всего класса функций М и кривых Г обозначим

^(М; Т(Ь); Р,Т) = вир^(М; Г; Р,Т) :Г С Т(Ь)}.

Чтобы найти оптимальную квадратурную формулу на классах функций М и кривых Т(Ь), потребуем, чтобы формула (2.1.4) была точна на функции

/(<i(t), <2(t),..., <m(t)) = const, то есть выполнялось равенство

L N

/ dt = £ Pk = L. 0 k=i

Нижнюю грань

En(M, T(L)) = inf {Rn(M; T(L),P,T) : (P,T)} (2.1.5)

будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратурной формулы (2.1.4) на классах функций M и кривых T(L). Если существует вектор (P°,T°) коэффициентов P° = {р°)1=° и узлов T0 = {tk}^, для которого

En(M, T(L)) = RN(M; T(L),P°,T0), (2.1.6)

то указанный вектор определяет наилучшую квадратурную формулу (2.1.4) на указанных классах функций M и кривых T(L).

В первой главе диссертационной работы мы изучили асимптотические точные оценки приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых гладких классов функций f (M) = f (x1, x2,..., xm) и кривых Г, имеющих параметрические уравнения

Xi = <l(t), X2 = <2(t), . . . , Xm = <m(t), (0 < t < L).

При этом для приближенного вычисления криволинейного интеграла

L

J (f, Г)=| f (<i(t),<2(t),...,<m(t))dt 0

использовалась квадратурная формула

N

J(f, Г) « Ln(f; Г; P, T) := £pk f (<i(tk), ^(tk),..., <m(tk)). (2.1.7)

k=i

Отметим, что значение остатка квадратурной формулы (2.1.7)

Яж(/; Г) = 13(/; Г) - ^(/; Г; Р,Т)| =

(2.1.8)

Ч N

/ /(^(¿), (2(¿), . . . , (ш(£))^ - У Рк), (2^), . . . , ))

зависит как от выбора квадратурной формулы, которая определяется векторами коэффициентов Р = {рк} и векторами узлами Т = {¿к}, так и от свойств интегрируемой функции /. Формула (2.1.8) есть одно из возможных представлений остатка, но оно недостаточно в том отношении, что при помощи него часто бывает весьма трудно проследить, какое влияние на Яж(/; Г) оказывают структурные свойства функции / или кривой Г. Выражение (2.1.7) рассчитано на весьма широкий класс функций. Оно верно при любых функциях / и кривых Г, для которых имеет смысл интеграл 3(/, Г) и которое имеет конечные значения в узлах вектора Т = {¿к}. Ввиду своей общности, оно не учитывает другие свойства функции f. Чтобы удостоверить задачу исследования остатка Яж (/, Г) на классах функций и кривых, полезно построить представления остатка в интегральном виде, чтобы легко проследили структурные свойства функции /, а затем и класса функций, чтобы можно было в дальнейшем учесть влияние на величину остатка Яж(/, Г) таких свойств, как: порядок дифференцируемости класса, влияние особых точек функции ], ограниченность наибольшей производной в норме пространства и др. Среди представлений остатка этого вида особое значение имеют представления, учитывающие структурные свойства класса функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дадабоев Парвиз Абдусаломович, 2023 год

Список литературы А) Список использованных источников

[1] Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем. заметки.

- 1976. - Т.20, №4. - С.589-595.

[2] Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН

СССР. - 1977. - Т.232, №6. - С.1233-1236.

[3] Бусарова Т.Н. Точные оценки приближенного интегрирования на некоторых классах дифференцируемых функций // В сб.: Вопросы теории приближений функций и ее приложений. ИМ АН УССР. - Киев. - 1976.

- С.40-45.

[4] Вакарчук С.Б. Оптимальная формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и

кривых // Укр. матем. журнал. - 1986. - Т.38, №5. - С.643-645.

[5] Женсыкбаев А.А. О наилучших квадратурных формулах для некоторых

классов непериодических функций // ДАН СССР. - 1977. - Т.236, №3. -С.531-534.

[6] Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных // Матем. заметки. - 1968 - Т.3, №5. -С.565-576.

[7] Корнейчук Н.П., Лушпай Н.Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение // Изв. АН СССР. Сер. математика. - 1969. - Т.33, №6, -С.1416-1437.

[8] Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур // Добавление к монографии С.М.Никольского. М.: Наука. -

1988. - С.127-255.

[9] Левин М.И. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН

СССР. - 1977. - Т.236, №6. - С.1303-1306.

[10] Левин М.И., Гиршович Ю.М. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв. АН Эст. СССР. Серия физ.-мат.

- 1977. - Т.26, №2. - С.114-122.

[11] Лигун А.А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем. заметки.

- 1976. - Т.19, №6. - С.913-926.

[12] Мирпоччоев Ф.М. О приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода // ДАН РТ. - 2012. - Т.55, №5. - С.359-365.

[13] Мирпоччоев Ф.М. К вопросу об оценках квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах кривых, задаваемых модулями непрерывности // ДАН РТ. - 2012. - Т.55, №6. - С.448-454.

[14] Моторный В.П. О наилучшей квадратурной формуле вида ^П=1 Pf (x«) для некоторых классов периодических дифференцируемых функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1974. - Т.38, №3. - С.583-614.

[15] Никольский С.М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // Успехи мат. наук. - 1950. - Т.5, №2. - С.165-177.

[16] Никольский С.М. Квадратурные формулы // Изв. АН СССР. Серия матем. - 1952. - Т.6. - С.181-196.

[17] Никольский С.М. Квадратурные формулы // М.: Наука. - 1988. - 256 C.

[18] Осколков К.И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функций // ДАН СССР. - 1979.

- T.249, №1. - С.49-52.

[19] Сангмамадов Д.С. Наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода // ДАН РТ. - 2011. - Т.54, №9. - С.709-714.

[20] Сангмамадов Д.С. К вопросу об оценках квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода некоторых классов функции // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и

техн. н. - 2011, №3(144). - С.7-13.

[21] Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены // М.: Наука. -

1979. - 416 С.

[22] Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Известия ТулГУ. Естественные науки. - 2013. -

Вып.2, - Ч.1. - С.50-57.

[23] Файзмамадова Л.Г. О численном интегрировании криволинейных интегралов первого рода // ДАН РТ. - 2012. - Т.55, №7. - С.533-539.

[24] Файзмамадова Л.Г. Об одной наилучшей квадратурной формуле для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода //

ДАН РТ. - 2012. - Т.55, №9. - С.701-706.

[25] Файзмамадова Л.Г. Об оптимальных квадратурных формулах для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых // ДАН РТ. - 2013. - Т.56, №4. -С.265-271.

[26] Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр. матем. журнал. - 1995. - Т.47, №9. - С.1300-1305.

[27] Шабозов М.Ш. О наилучших квадратурных формулах для вычисления

криволинейных интегралов на некоторых классах функций и кривых //

Матем. заметки. - 2014. - Т.96, №4. - С.637-640.

[28] Шабозов М.Ш., Абдукаримзода М.К. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых // Чебышевский сборник. - 2020. - Т.21, вып. 3. -С.250-261.

[29] Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // ДАН РТ. - 2010. - Т.53, №6. - С.415-419.

[30] Шабозов М.Ш., Сангмамадов Д.С. О наилучших квадратурных формулах приближенного вычисления криволинейных интегралов первого типа // ДАН РТ. - 2012. - Т.55, №11. - С.847-852.

[31] Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности // Вестник СПбГУ, Сер.1. - 2015. - Т.2(60), вып.4. - С.563-575.

[32] Шабозов М.Ш., Файзмамадова Л.Г. Наилучшая формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Известия АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. - 2012, №2(147). - С.7-15

[33] Юсупов Г.А., Шабозова А.А. Точные оценки приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых // ДАН РТ. - 2013. - Т.56, №7. - С.509-514.

[34] Sard A. Best approximation integration formulas, Best approximate formulas // American J. of Math. - 1949. - LXXI. - P.80-91.

[35] Sard A., Meyers F. Best approximate integration formulas //J. Math. and

РЬуэ. - 1950. - XXIX. - Р.118-123. Б) Работы автора по теме диссертации

1. В журналах, входящих в перечень ВАК Российской Федерации:

[36] Шабозов М.Ш., Дадабоев П.А. Об асимптотически точных оценках приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых классах функций и кривых // Проблемы вычислительной и прикладной матем. - 2015. -№201. - С.3-10.

[37] Дадабоев П.А. Асимптотически точные оценки приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых // Труды международной летней математической школы-конференции С.Б.Стечкина по теории функций. - 2016. - С.98-102.

[38] Дадабоев П.А. Оценка остатка усложненных квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на классах функций малой гладкости // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. - 2018, №3(172). - С.19-27.

[39] Дадабоев П.А. Оптимальная квадратурная формула типа Маркова для приближенного вычисления криволиненйного интеграла для некоторых классов дифференцируемых функций и кривых // ДАН РТ. - 2020. -Т.63, №11-12. - С.672-680.

2. В других изданиях:

[40] Хамдамов Ш.Дж, Дадабоев П.А. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых // Материалы международной научной конференции " Современные проблемы математики и её приложений" (Душанбе, 14-15 марта 2018 г.). - С.53-55.

[41] Дадабоев П.А. Об одной оптимальной квадратурной формуле для вычисления криволиненых интегралов // Материалы международной научной конференции " Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Душанбе, 25-26 декабря 2020 г.) - С.97-101.

[42] Дадабоев П.А. Точная оценка для погрешности квадратурных формул

// Материалы международной научной конференции " Сингулярные интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами" (Душанбе, 30-31 января 2020 г.) - С.83-86.

[43] Дадабоев П.А. Оптимальная квадратурная формула типа Маркова для приближенного вычисления криволинейных интегралов // Материалы международной научной конференции "Актуальные проблемы современной математики" (Душанбе, 25-26 июня 2021 г.) - С.49-53.

[44] Дадабоев П.А. Квадратурная формула типа Маркова для приближенного вычисления криволинейного интеграла для некоторых классов дифференцируемых функций и кривых // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и их роль в формировании технического мировоззрения общества" (Худ-жанд, 29-30 октября 2021 г.) - С.16-20.

[45] Мирпоччоев Ф.М., Файзмамадова Л.Г., Дадабоев П.А. О наилучших квадратурных формулах для вычисления криволинейных интегралов на некоторых классах функций и кривых // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и теории функций', посвященной 70-летию академика НАН Таджики-стаана М.Ш.Шабозова (Душанбе, 24-25 июня 2022 г.). - С. 106-109.