Оптимальные квадратурные формулы приближённого вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна

• Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна

Введение

Глава I. Оптимизация приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых малой гладкости

§1.1. Постановка задачи и предварительные факты

1.1.1. Классы функций

§1.2. Наилучшая квадратурная формула для класса функций

Ж0(12 (К; Q) и класса кривых

§1.3. Наилучшая квадратурная формула приближенного вычисления криволинейного интеграла для классов функций

^(К; Q), 1 < р < ж и кривых Щ(Ь)

§1.4. Наилучшая квадратурная формула с весом для приближен-

ного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным вариацией и кривых NQ(L)

Глава II. Наилучшие квадратурные формулы для классов функций WÍ2)(X; Q), 1 < р < ж, ^(К; Q), 1 < р < ж,

[0, V] и кривых ЩЩ

§2.1. О наилучших квадратурных формулах вида (1.1.3) для классов

(2)

функций Wf, (К; Q) и кривых NQ(L)

§2.2. Оценки погрешности усложненных квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов на классах функций W^)HШ [0, V] и кривых

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные квадратурные формулы приближённого вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых»

Общая характеристика работы Актуальность темы

Известно, что задача приближенного вычисления определенных интегралов возникла сразу же после создания Ньютоном и Лейбницом теории интегрального исчисления. С тех пор возникло множество приближенных методов вычисления определенных интегралов. И сегодня указанная задача является одной из наиболее важных задач численного анализа и не утратила свое актуальности.

Развитие методов приближенного интегрирования привело к известным экстремальным задачам отыскания наилучших (оптимальных) квадратурных формул в смысле С.М.Никольского [9-11] и А.Сарда [15,16]. К середине восьмидесятых годов прошлого столетия в решении экстремальных задач теории квадратур наблюдался значительный прогресс. Для соболевских классов периодических дифференцируемых функций с ограниченной по норме старшей производной в пространстве Ьр (1 < р < ж) и классов функций, задаваемых модулями непрерывности г-й производной, задача отыскания наилучших квадратурных формул полностью была решена. Эти и другие наиболее важные результаты приведены Н.П.Корнейчуком в „Добавлении" к известной монографии С.М.Никольского [11]. Н.П.Корнейчук, наряду с значительным успехом в этой области, отмечает, что решение аналогичных задач для других типов определенных интегралов, таких как определенные интегралы с весовой функцией, сингулярные интегралы с фиксированной особенностью, криволинейные интегралы, поверхностные интегралы, не решены, а для многомерных определенных интегралов наилучшие кубатурные формулы известны в очень редких случаях. Поэтому решение экстремальных задач отыскания наилучших квадратурных и кубатурных формул для перечисленных интегралов является актуальным. Частично этот пробел — нахождение оптимальных квадратурных формул для криволинейных интегралов — вос-

полняется в данной диссертационной работе.

В диссертационной работе рассматриваются экстремальные задачи отыскания оптимальных квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода

N

/ I(М)(в = ^ЛкI(Ык) + RN(I;Г), (0.0.1)

Г к=1

для которой выполнено условие Л1 + Л2 + • • • + ЛN = Ь.

Сформулируем экстремальную задачу отыскания наилучшей (или оптимальной ) квадратурной формулы приближенного вычисления криволинейного интеграла в смысле С.М.Никольского [11, с.128] и в смысле А.Сарда [15, 16] применительно к квадратурной формуле (0.0.1), зависящей как от кривой Г, так и от произвольных коэффициентов Ак и расположения узлов {Мк}. Если кривая Г задана параметрическими уравнениями х = х(в), у = у (в), в Е [0,Ь], то формула (0.0.1) приобретает следующий вид

» N

/ I(х(в),у(в))(в = ^ЛкI(х(вк),у(вк)) + RN(I). (0.0.2)

О к=1

Всякая квадратурная формула вида (0.0.2) задается векторами узлов S = |вк : 0 < в1 < в2 < • • • < вN-1 < вN < Ь| и коэффициентов Л = {Лк^=1; RN(I; Г) := RN(I, Г; Л- погрешность формулы (0.0.2) на функции I(М) := I(х(в),у(в)). При фиксированном целом N > 1 через А обозначим множество векторов ($, Л) узлов и коэффициентов, для которых формула (0.0.2) имеет смысл. Погрешность формулы (0.0.2)

» N

RN(I, Г; Л^)= I(х(в),у(в))(в ЛкI(х(вк),у(вк))

О к=1

имеет вполне определенное числовое значение. Пусть Жд(Ь) — класс плоских спрямляемых кривых Г с непрерывной кривизной, целиком лежащей в области Q = {х2(в) + у2(в) < Ь2}, длины которых равны Ь.

Если М — некоторый класс функций I(х(в),у(в)), определенных в точках кривой Г и интегрируемых как сложная функция Г (в) := I (х(в),у (в))

параметра в Е [0,Ь], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности на всем классе М на заданной кривой Г примем величину

Ям (М;Г; А,5)=вир{\Ям (/, Г; А,5)\ : / Е м} • (0.0.3)

Аналогично, за величину, характеризующую наибольшую погрешность квадратурной формулы (0.0.2) на классах функций М и кривых NQ(L), следует взять величину

Ям (М; Щ(Щ); Л, 5) = вир { Ям (М; Г; А, Я): Г Е Щ(Щ)}. (0.0.4)

Задача состоит в отыскании величины

Ем(М, ЩЩ) = т£ {Ям(М; Щ(Щ); А, 5) : (А, 5) с л}. (0.0.5)

Если существует (А°,5°) = ({Ак}м=1, {вк}м=^ — вектор коэффициентов и узлов, для которых выполняется равенство

ЕМ(М, Щ(Щ)) = Ям(М; Щ(Щ); А°,5°),

то квадратурная формула (0.0.2) с векторами коэффициентов и узлов (А0,50) называется наилучшей (или оптимальной) квадратурной формулой в смысле С.М.Никольского на классах функций М и кривых NQ(L), а вектор (А0,50) называется наилучшим или оптимальным вектором коэффициентов и узлов. Теперь предположим, что в квадратурной формуле (0.0.2) вектор 5* = {в*к}^=1 заранее зафиксирован и требуется найти величину

Ям(М; ЩЩ; 5*) = {Ям(М; ЩЩ; А, 5*): А с л} (0.0.6)

и если существует вектор коэффициентов А0 с А, для которого

Ям(М; ЩЩ; 5*) = Ям(М; ЩЩ; А0, 5*),

то говорят, что квадратурная формула (0.0.2) с вектором коэффициентов А0 и фиксированным вектором узлов 5* является наилучшей (или оптимальной) по коэффициентам в смысле А.Сарда [15].

Если же в квадратурной формуле (0.0.2) заранее зафиксирован вектор коэффициентов А* = {Ак}м=1 и требуется вычислить величину

Ям(М; ЩЩ; А*) = {Ям(М; ЩЩ; А*, 5) : 5 с Л^ (0.0.7)

и при этом существует вектор узлов 50 с л, для которого

Ям(М; Щ^; А*) = Ям(М; ЩЩ; А*, 5°), то говорят, что квадратурная формула (0.0.2) с вектором узлов 50 и фикси-

{ 1 м

рованным вектором коэффициентов А* = | Ак | является наилучшей (или оптимальной) по узлам в смысле А.Сарда [15].

В этой работе мы находим наилучшие (оптимальные) квадратурные формулы вида (0.0.2), как в смысле С.М.Никольского, так и в смысле А.Сарда, для некоторых классов функций и классов кривых. Цель работы

1. Найти наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов в смысле С.М.Никольского и А.Сарда для классов функций с ограниченным по норме градиентом || V / Ць < К и класса кривых NQ(L).

2. Найти наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций с ограниченной по норме пространства Lp[0,L} (1 < р < ж) градиента и кривых NQ(L).

3. Найти наилучшие весовые квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для классов функций с ограниченными вариациями.

4. Найти наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций, у которых норма 1V 2/1Т < К (1 < р <ж), и кривых ЩЩ.

II II Тр

5. Найти асимптотически точные оценки погрешности усложненных квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций, у которых градиент V / Е Нш[0, Ь], и кривых

щщ.

Научная новизна исследований

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов в смысле С.М.Никольского и А.Сарда

для классов функций с ограниченным по норме градиентом || VIЦь < К и класса кривых Жд(Ь).

2. Найдены наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций с ограниченным по норме пространства Ьр[0,Ь] (1 < р < сю) градиентом и класса кривых

Пя(Ь).

3. Найдены наилучшие весовые квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для классов функций с ограниченными вариациями.

4. Найдены наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций, у которых норма ||V2I|| т < К (1 < р <с), и кривых Жп(Ь).

II II тр ^

5. Получены асимптотически точные оценки погрешности усложненных квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций, у которых градиент VI Е Иш[0,Ь], и кривых NQ (Ь).

Основные методы исследования

В диссертации используются современные методы решения экстремальных задач теории аппроксимации и функционального анализа, а при нахождении оптимальных квадратурных формул приближенного вычисления криволинейных интегралов для различных классов функций и кривых используется известный метод Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Результаты диссертации могут быть использованы при приближенном вычислении поверхностных интегралов. Главы диссертации в отдельности могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на:

• семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан под руководством академика АН РТ М.Ш.Шабозова (Душанбе, 2012-2017 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций" (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания", посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.);

• международной научной конференции, посвященной 80-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан, доктора физико-математических наук, профессора Стеценко Владислава Яковлевича

Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г.);

• международной летней математической Школе-Конференции С.Б. Стеч-кина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертационной работы опубликованы в 8 работах [20-26,32]. Из них 4 статьи опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК Российской Федерации, а 4 статьи в трудах международных конференций. В совместной работе [32] научному руководителю М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательств.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 35 наименований, занимает 86 страниц машинописного текста и набрана на Х^ТеХ. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в

которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Краткое содержание работы

В диссертационной работе найдены наилучшие (оптимальные) квадратурные формулы вида (0.0.2) как в смысле С.М.Никольского, так и в смысле А.Сарда для некоторых классов функций и классов кривых.

Отметим, что наилучшие квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого вида ранее найдены, например, в работах С.Б.Вакарчука [4], М.Ш.Шабозова [27,33], М.Ш.Шабозова и Ф.М.Мирпоччоева [30], М.Ш.Шабозова и Д.С.Сангмамадова [31], Д.С.Сангмамадова [17, 18], Ф.М.Мирпоччоева [7, 8], М.Ш.Шабозова и К.Тухлиева [34], К.Тухлиева [19], Г.А.Юсупова и А.А.Шабозовой [35].

В первом параграфе первой главы приведена постановка задач и определение классов функций {/(х(в), у (в))}, задаваемых и непрерывных на классе кривых для которых решена задача отыскания наилучших квадра-

турных формул (0.0.5) в смысле С.М.Никольского для формул вида (0.0.2).

Пусть w(l\X] О) := W(1)Ьр(К; О), 1 < р < о — класс функций {I(х(в),у(в))}, у которых почти всюду в области О = {х2(в) + у2(в) < Ь2} существуют частные производные д//дх и д//ду с ограничением

1/р

дгЫ/(х(^,у()

ь

р[0,Ь]

дI (х дI (у дх (в ду (в

(в

< К, 1 < р< о,

дга(/(х(),у())

ь

>[0,Ь]

= впрутаг

{

дI йх дI (у дх (в ду (в

}

< К, р = о,

где, как обычно,

дта(/(х(в),у(в))

дI (х(в),у(в))_у + ^ дI(х(в),у(в)Г2

дх

ду

)

при условии, что (йх/йв)2 ' + ((у/(в)2 = 1.

р

Через W^i]l(X; Q) обозначим множество функций / Е wP1^(X; Q), удовлетворяющих условию /(х(0),у(0)) = 0.

Аналогичным образом через wP2\X; Q) := W^^^Х; Q), 1 < р < ж обозначим множество функций {/(х(в),у(в))}, у которых почти всюду в области Q существуют частные производные

д2/

д2 гхдуг

(г = 0,1, 2),

удовлетворяющие условиям

V2/(х(в),у(в))

Тр[0,Т]

V2/(х(в),у (в))

1/р

¿в | < К, 1 < р< ж,

V2/(х(в),у(в))

:= впрутаг

V2/(х(в),у(в))

< К, р = ж.

(2) (2)

Через W°p(К; Q) := W°pLP(X; Q), 1 < р < ж обозначим множество

(2)

функций / Е WP^)(X; Q), у которых

/ (х(0),у(0)) = /'х (х(0),у(0)) = /у (х(0),у(0)) = 0.

Одним из результатов второго параграфа первой главы является

Теорема 1.2.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.2) для приближённого вычисления криволинейного интеграла первого типа на классе функций W0(12(K; Q) и классе кривых NQ(L) наилучшей является формула

м

/ (М )йв =

2L

Т/(х( у(-

2Ы + \2Ы + 1)'У\2Ы + 1

к—1

х I ,у( ^^1 ) + Ям/ Г). (0.0.8)

При этом погрешность формулы (0.0.8) на всем классе W0(12(X; Q) и классе NQ(L) равна

К Т 3/2

Ем(Н$(Х; Q), = , (0.0.9)

где L — длина кривой Г.

В этом же параграфе рассматривается следующая задача: исходя из наилучшей квадратурной формулы С.М.Никольского (0.0.8), построить наилучшую по коэффициентам в смысле Сарда квадратурную формулу следующего вида

¡/ (Ф),У = Е / (* (-у{ +

Г к—1

N

+ ^ Вк/(х(тк),у(тк)) + ВЬ(/, Г), (0.0.10)

к—1

где тк (к = ) - заранее заданные узлы, а Вк подлежат определению из условия минимизации погрешности формулы (0.0.10).

Таким образом, для рассматриваемого класса функций W^i2i(K; Q) и класса кривых Жд(Ь) требуется построить удлиненную наилучшую по коэффициентам квадратурную формулу вида (0.0.10), то есть найти значения коэффициентов Вк при заданных тк = кЬ/(2Ы + -) (к = 1, N) так, чтобы величина погрешности ЯЬ (/, Г) на указанных классах функций и кривых была наименьшей.

Наилучшая по коэффициентам квадратурная формула (0.0.10) в смысле А.Сарда, получаемая удлинением наилучшей квадратурной формулы (0.0.8) в смысле С.М.Никольского, имеет вид

^ N

// ш,у ш*=N+-1Е/ (х (¿тг) -у( 2^)) +

0 к—1

Учитывая (0.0.8) и значение погрешности (0.0.9) для формулы (0.0.11), получаем точную на классе w0(i2)(K; Q) оценку погрешности

К Г3/2 I 3

ЕЬ^У (К; Q), Щ(Ь)) = - - 3

ж 02V )) ^ + + 1)

= Ем(Wo(V(X; Q), Ь -

1

4(2Ы + 1)'

В первом параграфе мы определили w0lP)(Х;; Q), 1 < р < ж как подкласс функций {/(х(в),у(в))} класса wP1^(Х; Q), имеющих в области Q непрерывные частные производные д//дх и д//ду с ограничением

дта(/(х(^),у(^))

Т

Р[0,Ь]

Т \ 1/р

д/ (х д/ ¿у р

дх (в ду (в

(в | < К, 1 < р< ж.

В третьем параграфе доказано, что для класса W^i])(Х; Q), 1 < р < ж и класса кривых NQ(L) имеет место следующая

Теорема 1.3.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.1) наилучшей для классов функций W0( ^(К; Q) и кривых NQ(L) является формула

г 2Т м

/ (М )(в / (Мк*) + Ям (/;Г), (0.0.12)

Г + к—1

где М* := М ^+ , х = x(в), у = у(в) — параметрические уравнения кривой Г, L — ее длина. Для минимальной оценки погрешности формулы (0.0.12) на указанных классах функций и кривых имеет место точная оценка

XL1+1/q 1 1

^ГДЖЛУ, р + Я

К I 1 + 1^ 1 1

Ем^(Х; Q); ЩЩ) = „^^^ , ^ + ^ = 1, 1 < Я <ж.

Из данной теоремы при р = 1, 2, ж выводятся конкретные следствия. В четвертом параграфе первой главы рассмотрен вопрос оптимизации

приближенного вычисления криволинейного интеграла с весом первого рода

м

3(д; /;Г)= д(М)/(М)(в ^ Ак/(Мк), (0.0.13)

Г к—1

где весовая функция д(М) > 0 на Г — произвольная спрямляемая кривая с конечной длиной L, кривизна которой кусочно-непрерывна, а /(М) = /(х,у) - произвольная непрерывная на Г функция.

Предположим, что кривая Г задана параметрическими уравнениями х = х(в), у = у (в) (0 < 8 < Ь) и функция я(х(8),у(8)) > 0, 0 < 8 < Ь. Обозначая тогда через 8к Е [0,Ь] (к = 1, 2,...,Ы) значения длины дуги 8 кривой Г, которые соответствуют точкам Мк Е Г, перепишем квадратурную формулу (0.0.13) в следующем виде

» N

/ д(х(8),уШ(х(8),у(8)Цз = ^ ЛI(х(8к),у(вк)) + RN(я, I; Г). (0.0.14)

0 k=l

Будем предполагать, что квадратурная формула (0.0.14) является точной для постоянной функции f (x(s),y(s)) = C = const. Тогда очевидно выполняется условие

L N

( я(х(8),у(8))й8 = ^2 Ак. (0.0.15)

о к=1

Пусть V(Ь; М) — класс заданных на отрезке [0, Ь] функций

^(8) := I(х(8),у(8)),

полная вариация которых на отрезке [0, Ь] не превосходит числа М :

) = У(1) < М.

оо

Для класса функций V(Ь, М) требуется найти величину

Ем (я; V (Ь, М), Щ(Ь)) =

= т£ {RN(я; V(Ь, М); Щ(Ь); А, 5) : (А, 5) С л} (0.0.16)

и указать векторы коэффициентов и узлов реализующих точную

нижнюю грань в (0.0.16).

Основным результатом четвертого параграфа первой главы является Теорема 1.4.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.14) наилучшей для классов функций V(Ь,М) и кривых NQ(Ь) является формула, у которой векторы узлов и коэффициентов (А°,8°) определяются по весовой

функции д(х(в),у(в)) из соотношения

2 J я(х(в),у(в))(в = ! д(х(в),у(в))(в = 0 «0

Т

^у Я(х(в),у(в)( = 2у я(х(в),у(в)( = в(5°), (0.0.17)

зд- 1

Ак = в (5°), к = 1^. (0.0.18)

При этом для погрешности наилучшей формулы на указанных классах функций и кривых справедлива оценка

Ем(V(ЦМ), ЩЩ) = М в(5

Рассмотрены конкретные частные случаи:

I. Пусть, например, д(х(в),у(в)) = ва, а > -1. Тогда из равенства (0.0.17) и (0.0.18) находим узлы и коэффициенты наилучшей для классов V^,М) и N,Q(L) квадратурной формулы:

4 = (^) ^ Ак , к =

к V 2Ы ) ' к N (а + 1)

Таким образом, в этом случае наилучшая квадратурная формула имеет вид:

Т

I ва/(х(в),у(в))(в = 0

(а + 1)N

При этом для погрешности наилучшей квадратурной формулы на всем классе VМ) справедлива оценка

МТа+1

0

в

в

1

2

II. Пусть д(х(з),у(з)) = еВ этом случае узлы и коэффициенты наилучшей формулы имеют вид:

* (еЬ - И = ^ = ™

При этом

ЕМ(V(Ь,М) ЩЩ) = .

Также рассмотрен случай, когда в сформулированной задаче заранее зафиксированы в качестве узлов квадратурной формулы концы промежутка

[0, Ь] : з0 = 0, зж = Ь, а узлы в\, з2,..., зж-1 и коэффициенты Ак (к = 1, N) требуется выбрать оптимальным образом. Такими квадратурными формулами в литературе называются квадратурные формулы типа А.А.Маркова (см., например, [11, с.156]). Итак, считая

# = {Зк : 0 = зо <51, • • • < зж-1 < зж = Ь},

рассмотрим квадратурную формулу типа Маркова общего вида Ь N-1

/ д(х(з),у(з))!(х(з),у(з)Цз = Ао!(х(0),у(0)) + ^ Ак!(х(зк),у(зк)) + 0 к=

+Аж!(х(Ь),у(Ь)) + Яж(!; Г, А, 5). (0.0.19)

Для погрешности наилучшей формулы типа Маркова (0.0.19) получено следующее утверждение.

Теорема 1.4.2. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.14) наилучшей для классов функций V(Ь,М) и кривых NQ(Ь) является формула, у которой векторы узлов и коэффициентов (А, Б) определяются по весовой функции д(х(з),у(з)) из соотношения

«1 «2

J Я(х(з),у(з))^ = ! Я(х(з),у (з)Цв = ••• 0

« N -1 ь

••• = ! д (х(з),у (з)Цв = ! д (х(з),у (з)Цв = в (Б), (0.0.20)

'sN-2 SN -1

А =1 д(х(з),у(з))й8 = 2 в (Б), А* = д(х(з),у(з))й8 = 1 в (Б);

а -1 t к+1

(0.0.21)

Лк = ! д(х(8),у(8)Цз = в(Б), (к = 1,М — 2),

Iк

где 10 = 0,1 N = Ь, а числа ~Ьк определяются из равенства

гк ёк

у д(х(8),у(8))д,8 = ^ д(х(8),у(8))д^8, (к = 1,М — 1).

ёк-1 г к

При этом

(V (Ь, М), Щ(Ь)) = М в (Б). (0.0.22)

Рассмотрены частные случаи наилучших квадратурных формул типа Маркова для рассмотренных выше конкретных весовых функций:

I. Пусть д(х(8),у(8)) = 8а, а > —1. Из соотношений (0.0.20) - (0.0.22) находим узлы, коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей квадратурной формулы типа Маркова (0.0.19) на классах функций V(Ь,М) и кривых NQ(Ь) :

1

к \ а+1

(к)

8к = ^ Ь, (к = 1,М — 1),8о = 0,8* = Ь;

Ьа+1 Ьа+1

Р = =2(а + 1)М'Р =а+Т)М {к =1'М — 1);

Таким образом, наилучшая квадратурная формула типа Маркова (0.0.19) имеет вид

М (х(8),у(8)К, = (Х(0)'у(0))+2 / (Х(Ь)-у (Ь)) +

о

О Ь ^ Т7 Ь + ** / О-

__М Та+1

Е N (V (Ь.М). ЩЩ)=^•■а+щ.

II. д(х(з),у(з)) = ей, 0 < з < Ь. В этом случае узлы, коэффициенты и точная оценка погрешности наилучшей квадратурной формулы имеют вид:

1

5о = 0,зж = Ь, Зк = Nе - 1) + 1 ) , (к = 1N - 1);

к

,

Ро = Рж =

еь - 1 2N '

Рк =

еь - 1 N

(к = 1N - 1);

_ м еь - 1

Е N (V (Ь,М), =

Переходим к краткому изложению результатов второй главы.

В первом параграфе второй главы рассматривается вопрос отыскания наилучших квадратурных формул вида (0.0.2) для классов функций {!(х(з),у(з))} с ограниченной в пространстве Ьр (1 < р < ж) нормой второго градиента

V2 ! (х( •),у( •))

Ьр

< К, 1 < р <ж

вдоль произвольной кривой Г С NQ (Ь), длина которой равна Ь.

(2)

Прежде всего напомним, что через Wp (К; О), 1 < р < ж в параграфе 1.1 мы обозначали класс функций {/(х(з),у(з))}, у которых всюду в области О существуют непрерывные частные производные

д2!

д2-кхдук ( , , удовлетворяющие условиям

ь

V2! (х( • ),у( •))

Ьр[0,Ь]

1/р

V2 ! (х(з),у(з))

(з

< К, 1 < р< ж,

V2! (х( • ),у( •))

Ьж[0,Ь]

:= е.з.зпр<

V2!(х(з),у(з)) : з е [0

),Ь]|

< К, р = ж,

где оператор «V» определяется равенством

у := д . 6Л + д . 6Л и V2 := V(V),

дх 6,8 ду 68

У*/(х(8),у(8)):= +2 . 6х . 61 + .

дх2 \ 68) дхду 68 68 ду2 \ 68)

В первом параграфе второй главы найдены наилучшие квадратурные

(2) (2)

формулы для классов функций Wp (К; Я) и W0p (К; Я) при всех 1 < р < о и кривых NQ(Ь). Приведем формулировку результата для классов функций WÍ2)(X; О) (1 < р <о) и кривых Щ(Ь).

Теорема 2.1.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.1) наилучшей для класса функций WР2)(К; Я), 1 < р < о и класса кривых NQ(Ь) является квадратурная формула

N

/ /(М)68 = ^Лк/(Мк) + ЯN(/;Г), (0.0.23)

Г к=1

где Л к = рк Ь, Мк := М(х(а*кЬ),у(а1 Ь)), х = х(.в), у = у (8) — параметрические уравнения кривой Г, Ь — её длина, коэффициенты ркк и узлы ак определены равенствами

р1 = Р* = ( ^^^; (0.0.24)

1

й=, к=^—1 (°.°.25)

2(к — 1) + ^

ак = ^-7 / - , к = 1,М. (0.0.26)

к 2{М — 1 + ,/ЫГ))

При этом для погрешности наилучшей формулы (0.0.23) на указанных классах функций и кривых справедлива точная оценка

Е ^ яу, = У—Т+кш), (°.°.27)

18

(р-1 + д-1 = 1, 1 < д <ж).

Из теоремы 2.1.1 вытекает ряд утверждений.

Следствие 2.1.1. Пусть ! е W'¡(1\X; О) и Г С NQ(Ь). В этом случае д = ж и многочлен наилучшего приближения в Ьж есть многочлен Чебышева первого рода

_ , ч ео8(2агеео8 I) 2 1 , ч _ , ч 1

Ш = ^-2- := ^ - 2, Р2ж(1) = Т2(1) = 2.

Коэффициенты и узлы наилучшей формулы имеют вид

(V2 + 1)Ь

А1 = Аж =

2(1 + у/2№ - 1))'

лДЬ

Ак =-^-, к = 2 N - 1;

к 1 + у/2№ - 1) [1 + 2^2(к - 1)

зк = -^-, к = 1N.

к 2[1 + л/2(М - 1)]' '

При этом погрешность наилучшей формулы на классах функций

(2)

W( (К; О) и кривых NQ(L) равна

(2)^ ^ ~ КЬ2

Еж(^(2)(К; О); Щ(Ь)) =

8[1 + у/2N - 1)]'

Следствие 2.1.2. Пусть ! е W¡2)(X; О) и Г С Щ(Ь). Тогда д = 2 и многочлен р22(Ь) есть многочлен Лежандра

3/2 _ 1 2

£2^) = —3—, Р22(1) = £2(1) = 3,

а коэффициенты и узлы наилучшей формулы имеют вид

(V2 + лД)Ь

Р1 = Рж =

2[л/2 + лД(М - 1)]'

лДЬ

рк = V-V-, к = 2 N - 1;

у/2 + у/3№ - 1)

[л/2 + 2л/3(к - Ь

Як = г ^-^-^, к = 1,М.

к 2[у/2 + у/г№ -1)]

При этом минимальная погрешность наилучшей квадратурной формулы равна

к г 5/2

ЕмО); Щ(Ь)) = ^2•

4^/Ь[^/2 + у/3(Ы - 1)

Следствие 2.1.3. Пусть f е W{¿\X; О) и Г С Щ(Ь). Тогда д = 1 многочлен р2\ есть многочлен Чебышева второго рода

ТТ , , вт^Загссов г) 2 1 3

и2(г) =—v , ; := г2 --, р21(1) = -.

В этом случае коэффициенты и узлы наилучшей формулы имеют вид

(^2 + V3)Ь

и

Р1 = Рм =

2(у/3 + 2№ - 1))'

2Ь

рк = ^-, к = 2,Ы - 1;

у/3 + 2(Ы - 1)

[V3 + 4(к - 1)Ь

вк = —--^, к = 1,М.

к 2[у/3 + 2№ - 1)]

При этом погрешность наилучшей формулы на классах функций

(2)

WЖ (К; О) и кривых Жд(Ь) равна

Ем^2)(К; О); Щ(Ь)) К

8[лД + 2(М - 1)

2

В этом же параграфе найдены наилучшие квадратурные формулы для

(2)

классов функций W0\p (К; О), 1 < р < ж и кривых Ж^(Ь).

Теорема 2.1.2. Среди всех квадратурных формул вида (0.0.2) наилучшей для классов функций W^2]l('X; О), 1 < р < 2 и кривых Жд(Ь) является формула, у которой коэффициенты и узлы имеют вид

2Ь

рк =-, , к = 1,М - 1;

р = (2 + УЫ!))Ь;

2N + '

2кЬ

зк =-, , к = 1N.

2N +у/Р2ЛХ)

При этом для точной оценки погрешности наилучшей формулы на ука-

7р

ливо равенство

(2)

занных классах функций Wp (К; Я), 1 < д < ж и кривых NQ(Ь) справед-

Еж Я); Щ(ЬУ) = о .

Из этой теоремы также при р = 1, 2, ж выведен ряд следствий. Во втором параграфе второй главы рассматривается задача нахождения асимптотически точных усложненных квадратурных формул для класса

функций W^)HШ[0,Ь] и кривых NQ(Ь), вдоль которых градиент V/(х(з),у(з)) для любых двух точек з',з'' е [0,Ь] удовлетворяет условию

V/(х(з''),у(з'')) - V/(х(з'),у(з'))| < и(\з" - з'|),

где ш(Ь) - произвольно заданный модуль непрерывности на отрезке [0,Ь].

Для изложения результатов второго параграфа второй главы нам понадобятся некоторые определения. Напомним правило построения усложненных квадратурных формул для приближенного вычисления обычного определенного интеграла

1

J /(х)йх (0.0.28)

о

от произвольной интегрируемой функции /(х), заданной на отрезке [0,1]. С целью приближенного вычисления интеграла (0.0.28) отрезок [0,1] делят на

п равных частей точками Хк = к/п (к = 0,п) и на каждом из интервалов

(хк-1,хк) (к = 1,п) применяют заранее выбранную квадратурную формулу

с узлами xk-1 < t1 < t2 < • • • tm < xk и коэффициентами pi (i = 1, m). В результате получим усложненную квадратурную формулу

1 n

/ f (x)dx = L(xk-i,xk; f ) + Rn(f ) = Ln(f ) + Rn(f ), (0.0.29) о k=1

где

m

L(xk-i,xk; f ) = ^Pif (ti).

i=i

Многие известные квадратурные формулы имеют именно такое происхождение. Так, например:

а) усложненная квадратурная формула прямоугольников имеет вид:

i n

if (x)dx = '-y: f( Rnn(f );

о к=1 V 7

б) усложненная квадратурная формула трапеций имеет вид:

i

f (x)dx=i и(0)+- Е /(¡¡)+f а)} +R-'t(/);

о

в) усложненная квадратурная формула Симпсона имеет вид:

i

о

/ (x)dx=1{/(°)Е / ( ^+- g /(^+/ m]+Rn,o(f ).

Пусть теперь требуется приближенно вычислить криволинейный интеграл

ь

11(м)йз = ! /(х(8),у(з)Цз (0.0.30)

Г 0

в предположении, что кривая Г задана параметрическими уравнениями

х = х(в), у = у (в), 0 < в < Ь.

Для приближённого вычисления интеграла (0.0.30), построим аналоги усложнённых квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсо-на. Для этого отрезок [0, Ь] делим на N равных частей точками

зк = кН, Н = Ь/N, к =0N

и на каждом интервале (зк-1,3к) применяем заранее выбранную квадратурную формулу с узлами

Зк-1 < б < б < • • • <£т < 8к, к =1N

и коэффициентами г = 1,т. В результате получим усложненную квадратурную формулу

Ь N

/ I(х(з),у(з)№ = ^ Ь(вк-1,8к; I) + RN(I, г), (0.0.31)

о к=

где

т

Цвк-ъвк;1) = ^2 ^

%=1

а RN(I, Г) - погрешность формулы (0.0.31) на функцию I(М), определенная в точках М(х,у) на кривой Г, длина которой равна Ь.

По аналогии с формулами а) - в) построим следующие усложненные квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейного интеграла:

1) квадратурная формула прямоугольников ь

N

N

о к=

I (х(з),у(з))6з = -,у( 2к—)) + RNM^ Г);

(0.0.32)

2) квадратурная формула трапеций ь

{

I(х(з),у(з))6з = Ь{ I(х(0),у(0))+ I(х(Ь),у(Ь)) +

+2 ЕI (х(кЬ) 'у(кЬ))} + RN■ Г); (0.0.33)

3) квадратурная формула Симпсона

{

ь

/1(х(з),у(з))6з = I(х(0),у(0))+ I(х(Ь),у(Ь)) +

к—1

+2Е I (х^) + RNcС (I.Г). (0.0.34)

Основным результатом второго параграфа второй главы является следующая Теорема 2.2.1. Для погрешности усложнённых квадратурных формул прямоугольников (0.0.32), трапеций (0.0.33) и Симпсона (0.0.34) для классов функций W(J)HLJ[0,Ь] и кривых NQ(Ь) справедливы оценки

1

л(К1>н[°>Ь]; щщ) < * + Щ2, (°.° 35)

о

1

М<)н"[0щъЪ(Ь)) <¿Ит)А+!ё, (°.°.36)

о

1

RN,W41)н"[0,Ь]; Щ(Ь)) < (2 + г)и(^ (0.0.37)

о

В заключение этого параграфа отметим, что оценки (0.0.35) - (0.0.37) справедливы при любом модуле непрерывности ш(Ь). Но если ш(Ь) - выпуклый вверх модуль непрерывности, то повторяя схему рассуждений, приведенную в статье С.А.Агаханова [1], можно получить следующие асимптотические точные оценки для класса функций WyL)Hw[0,Ь] и класса кривых NQ(Ь) :

SN

i

/ Ч N dt - Rn^WH [0,L]; NQ

i

<NÍJ N)dt+

SN J " V 2N ) ' 32N2 о

i

1t

SN 2N о

^jdt - Rn,т(W^H[O, L]; NQ(L)^ -

i

1 í í t \ , 3ш(1)

SñM ÑT+áÑ

о

1

t

18N J Ш V 3N о

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна, 2017 год

Список литературы

1. Агаханов С.А. О точности некоторых квадратурных и кубатурных формул // Сибир. матем. журнал. 1965. T.VI, №1. С.3-15.

2. Бусарова Т.Н., Борисенко А.А. Наилучшие квадратурные формулы с весом для класса функций ограниченной вариации // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. - Сборник научных трудов. Днепропетровский государственный университет. Днепропетровск. 1982. С.13-19.

3. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. — Саратов: Из-во Саратовского университета. 1983. 210 с.

4. Вакарчук С.Б. Оптимальная формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Укр. матем. журнал. 1986. Т.38, №5. С.643-645.

5. Гиршович Ю.М. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.наук. 1975. Т.24, №1. С.121-123.

6. Кузмина А.Л. Об одной наилучшей квадратурной формуле для интегралов с ядрами Коши // Изв. вузов. Математика. 1980, №5. С.28-31.

7. Мирпоччоев Ф.М. О приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода // ДАН РТ. 2012. Т.55, №5. С.359-365.

8. Мирпоччоев Ф.М. К вопросу об оценках квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах кривых, задаваемых модулями непрерывности // ДАН РТ. 2012. Т.55, №6. С.448-454.

9. Никольский С.М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // Успехи мат. наук. 1950. Т.5, №2. С.165-177.

10. Никольский С.М. Квадратурные формулы // Изв. АН СССР. Серия матем. 1952. Т.6. С.181-196.

11. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука. 1988. 256 с.

12. Онегов Л.А. Некоторые квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Изв. вузов. Математика. 1978, №4(191). С.64-78.

13. Онегов Л.А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью // Изв. вузов. Математика. 1981, №9. С.76-79.

14. Парвонаева З.А. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов функций малой гладкости // ДАН РТ. 2008. Т.51, №2. С.87-96.

15. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas // American J. of Math. 1949. LXXI. P.80-91.

16. Sard A., Meyers F. Best approximate integration formulas //J. Math. and Phys. 1950. XXIX. P.118-123.

17. Сангмамадов Д.С. Наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода // ДАН РТ. 2011. Т.54, №9. С.709-714.

18. Сангмамадов Д.С. К вопросу об оценках квадратурных формул для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода некоторых классов функции // Изв. АН РТ. Отд. физ-мат., хим., геол. и техн. н. 2011, №3(144). С.7-13.

19. Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.2. Ч.1. С.50-57.

20. Файзмамадова Л.Г. О численном интегрировании криволинейных интегралов первого рода // ДАН РТ. 2012. Т.55, №7. С.533-539.

21. Файзмамадова Л.Г. Об одной наилучшей квадратурной формуле для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода // ДАН РТ. 2012. Т.55, №9. С.701-706.

22. Файзмамадова Л.Г. Об одной оптимальной квадратурной формуле для вычисления криволинейного интеграла первого рода // «Современные проблемы математического анализа и теории функций» - Материалы международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозова (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.). С.165-167.

23. Файзмамадова Л.Г. Об оптимальных квадратурных формулах для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых // ДАН РТ. 2013. Т.56, №4. С.265-271.

24. Файзмамадова Л.Г. Наилучшая квадратурная формула для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода // Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания", посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (г. Худжанд, 28-29 июня 2014). С.93-95.

25. Файзмамадова Л.Г. Об одной оптимальной квадратурной формуле приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода на классе функции W0( ^(К, Q) // Материалы международной научной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (г. Душанбе, 27-28 апреля 2015). С.49-51.

26. Файзмамадова Л.Г. Об одной наилучшей квадратурной формуле для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода // Труды международной летней математической Школы-Конференции С.Б.Стечкина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016). С.252-254.

27. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр. матем. журнал. 1995. Т.47, №9. С.1300-1305.

28. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С.С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // ДАН РТ. 1998. Т.41, №10. С.69-75.

29. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С., Хамдамов Ш.Дж. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве Щ1[а,Ь] // ДАН РТ. 2009. Т.52, №1. С.5-9.

30. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // ДАН РТ. 2010. Т.53, №6. С.415-419.

31. Шабозов М.Ш., Сангмамадов Д.С. О наилучших квадратурных формулах приближенного вычисления криволинейных интегралов первого типа // ДАН РТ. 2012. Т.55, №11. С.847-852.

32. Шабозов М.Ш., Файзмамадова Л.Г. Наилучшая формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2012. №2(147). С.7-15

33. Шабозов М.Ш. О наилучших квадратурных формулах для вычисления криволинейных интегралов на некоторых классах функций и кривых // Матем. заметки. 2014. Т.96, №7. С.637-640.

34. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. 2015. Сер.1. Т.2(60), Вып.4. С.72-85.

35. Юсупов Г.А., Шабозова А.А. Точные оценки приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых // ДАН РТ. 2013. Т.56, №7. С.509-514.