Оптимальное движение тела с подвижной внутренней массой в среде с сопротивлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Жучкова Ольга Сергеевна

• Жучкова Ольга Сергеевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Жучкова Ольга Сергеевна

Введение

Глава 1. Оптимальное управление движением виброробота в

среде со степенным законом сопротивления

1.1 Постановка задачи

1.2 Решение задачи об оптимальном движении виброробота

1.2.1 Оптимальное движение корпуса

1.2.2 Оптимальное движение внутренней массы

1.2.3 Результаты

1.3 Выводы

Глава 2. Аналитические подходы к решению задачи

оптимизации движения сферического виброробота в

вязкой жидкости

2.1 Квазистационарное оптимальное движение сферического виброробота в вязкой жидкости

2.1.1 Определение энергетического коэффициента

2.1.2 Решение задачи об оптимальном движении тела

2.1.3 Результаты расчетов

2.2 Учет наследственных сил сопротивления

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Оптимальное движение корпуса

2.2.3 Оптимальное движение внутренней массы

2.2.4 Результаты

2.3 Выводы

Глава 3. Численное моделирование движения виброробота в

вязкой жидкости

3.1 Математическая модель движения виброробота в вязкой жидкости

3.1.1 Моделирование взаимодействия с вязкой жидкостью

3.1.2 Двухфазный закон движения корпуса

3.1.3 Условие установившегося движения виброробота

3.2 Численная схема

3.2.1 Итерационный алгоритм решения

3.2.2 Дискретизация области решения

3.2.3 Дискретизация системы уравнений

3.2.4 Дискретизация граничных условий

3.2.5 Устройство гидродинамического решателя

3.3 Верификация численной модели

3.4 Результаты

3.4.1 Гидродинамика вокруг робота

3.4.2 Анализ сил сопротивления

3.4.3 Показатель энергетической эффективности движения

3.4.4 Закон движения внутренней массы

3.5 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное движение тела с подвижной внутренней массой в среде с сопротивлением»

Введение

История исследования механики осцилляциошюго движения насчитывает многие десятилетия. В настоящее время она имеет несколько основных векторов развития, один из которых направлен на разработку эффективных вибрационных движителей для перемещения мобильных микророботов в вязкой жидкости. Значимость этой области исследований многократно возросла с появлением возможностей для практической реализации таких устройств [1; 2]. Ожидается, что развитие микроробототехники в ближайшем будущем произведет революцию во многих прикладных областях [1;3].

В настоящее время существуют несколько популярных концепций по реализации вибрационных движителей для микроустройств. Многие из них, например [1; 2; 4 7], основаны на способах передвижения, применяемых в живой природе, таких как движение за счет плавников, крыльев, деформаций тела и др. В настоящей работе мы рассмотрим концепцию передвижения в сопротивляющейся среде за счет использования подвижной внутренней массы.

Рассматриваемый вибрационный движитель представляет собой многомассовую систему, состоящую из герметичного корпуса, помещенного в сопротивляющуюся среду, и подвижных внутренних частей, обладающих значительной массой. Приводясь в движение специальным источником энергии, внутренние массы взаимодействуют с корпусом, инициируют его движение во внешней среде и возникновение реакции со стороны среды на корпус. Если такое сопротивление оказывается различным при движении корпуса в положительном и обратном направлении, то возникает ненулевая средняя сила, способствующая перемещению всей системы в сторону меньшего сопротивления. Задавая специальные периодические законы движения внутренних масс, можно регулировать возникающие силы реакции среды, обеспечивая движение в выбранном направлении.

Исследования многомассовых вибрационных устройств проводились ранее для сред с различными законами сопротивления. В работе [8] Р.С. Байтап рассмотрел возможность движения в идеальной жидкости при движении внутренней массы и сопутствующих деформациях внешнего корпуса.

Формирование научного подхода к вопросам оптимизации движения вибрационных самодвижущихся устройств связано с именем Ф.Л. Черноусько. В своих работах он ввел термин «виброробот» для класса мобильных устройств, способных перемещаться в сопротивляющейся среде без использования подвижных внешних элементов (колес, ног, гусениц и т.п.). В его работах [3;9; 10] впервые был поставлен вопрос об оптимальном движении системы тел посредством перемещения внутреннего тела для случая прямолинейного движения по горизонтальной шероховатой плоскости недеформируемого твердого тела с полостью, содержащей подвижную внутреннюю массу. Построены периодические режимы управления движением внутренней массы вдоль прямой параллельной линии движения тела, при которых виброробот проходит в заданном направлении фиксированное расстояние за один период движения с периодически изменяющейся скоростью, обращающейся в ноль в начале и конце каждого периода. Предложенные законы движения можно разделить на два типа: виброударные законы законы, задающие две различные постоянные скорости движения массы при движении в направлении перемещения корпуса (на «прямой фазе» движения) и в противоположном направлении (на «возвратной фазе» движения), и трехфазные законы, содержащие три интервала с постоянными ограниченными значениями ускорения внутренней массы. При налагаемых ограничениях на смещение, скорость и ускорение относительного движения подвижной массы автором определены оптимальные параметры относительного движения для данных видов простейших законов движения, при которых достигается максимальная средняя скорость движения тела.

Изучением вибрационных мобильных устройств (вибророботов) в настоящее время занимаются многочисленные отечественные и зарубежные ученые: Ф.Л. Черноусько, H.H. Болотник, Т.Ю. Фигурина, Д.В. Баландин, И.М. Зей-дис, С. Ф. Яцун, К. Zimmermann, Е. Papadopoulos, А. Fidlin, К. Furuta, Н. Li, J. J. Thomsen [3;9 25] и другие. Технически такие механизмы реализуются в России (Институт проблем механики РАН, Курский государственный технический университет), Германии (Технический университет г. Ильменау), Японии и других странах. В работе [11] рассматривается движение по твердой поверхности виброробота с двумя внутренними массами, одна из которых движется вдоль линии движения корпуса, а вторая - по линии перпендикулярной последней.

Такая механическая система позволяет управлять не только движущей силой сухого трения, возникающей между плоскостью и корпусом, но и силой нормального давления. Оптимизация движения двух внутренних масс позволяет авторам строить режимы движения, обеспечивающие максимальную скорость движения всей системы. Рассмотрению вопросов оптимизации движения вибрационного робота в средах с другими идеализированными нелинейными законами сопротивления посвящена работа [12]. Критерий оптимизации и ограничения, накладываемые на законы движения внутренней массы, идентичны [11].

В работе [13] рассматривается робот, в котором внутренний груз прикреплен к корпусу пружиной, что принципиально отличает его устройство от прежде упомянутых моделей, где предполагалось наличие специального привода, непосредственно управляющего движением внутренних масс. Изучены различные режимы управления движением робота по горизонтальной поверхности при наличии сил сухого трения и влияние эффекта резонанса на движение системы, также предложен оптимальный режим, позволяющий регулировать среднюю скорость робота во всем доступном диапазоне.

В [14; 15] изучается движение двухмассового вибрационного робота между двумя плотно прилегающими наклонными параллельными плоскостями. Внутренняя масса, соединенная с корпусом пружиной с демпфером, колеблется относительно него вблизи резонансной частоты. Используемые авторами способы приближённого аналитического решения дифференциальных уравнений движения устройства согласуются с результатами численного решения полной системы дифференциальных уравнений движения. Исследовано влияние параметров механизма и наклонных шероховатых плоскостей на скорость движения.

Управление движением сферического робота с маятниковым приводом моделируется в работах [16; 17] для слачаев движения по горизонтальной и наклонной плоскостям. Встроенный в корпус маятник закреплен в геометрическом центре оболочки посредством сферического шарнира. Авторами получены законы управления роботом , обеспечивающие асимптотическое приближение его центра к задаваемым траекториям. Также проведены оценки влияния коэффициента трения на процесс приближения центра сферического робота к заданной траектории.

В [18] показана возможность использования вибрационного принципа движения для создания роботов высокоточного позиционирования. Для модели такого устройства даны выражения для расчета максимальной достижимой точности позиционирования. В рамках этой же работы создан экспериментальный прототип робота, на тестировании которого проверялись теоретические выводы. Показана хорошая согласованность теоретических и экспериментальных данных. Достигнута точность порядка десятка нанометров за шаг.

В работах [19 25] также предлагаются варианты технической реализации вибророботов, перемещающихся за счет движения внутренних масс, и с использованием экспериментов и аналитических исследований подбираются оптимальные параметры представленных прототипов. Работы [24; 25] моделируют трехмассовый виброробот, плавающий по поверхности вязкой жидкости. Робот представляет собой платформу с прямоугольным основанием, в которую встроены две внутренние массы, способные перемещаться вдоль своих направляющих, параллельных длинной стороне основания платформы и симметрично расположенных относительно горизонтальной оси симметрии корпуса. Платформа удерживается над поверхностью жидкости с помощью нескольких поплавков. Взаимодействие с жидкостью моделируется по идеализированному закону, линейному по скорости движения платформы. Возможность направленного движения виброробота обеспечивается анизотропией коэффициента сопротивления, инициируемой поворотом выступающих) элемента каждого поплавка относительно вертикальной оси на фиксированный угол.

Столь активное и широкое обсуждение вопросов конструирования вибророботов и моделирования их движения в различных средах объясняется наличием ряда преимуществ таких устройств перед традиционными мобильными аппаратами. Вибрационные роботы просты по конструкции и не требуют наличия внешних подвижных элементов, обеспечивающих движение. Простота устройства позволяет конструировать прототипы очень малых размеров, а отсутствие внешних движущихся частей позволяет добиться полной их герметичности, что является важным фактором для многих практических приложений. Так, представляется возможным использовать роботы в работе со сложными технологическими и биологическими системами для перемещения по их каналам, внутреннее пространство которых сильно ограничено, а материал стенок

характеризуется своей хрупкостью или «ранимостью» [11]. Примерами таких систем являются системы трубопроводов и сердечно-сосудистая система живых существ. Целью движения по этим системам может являться внутренняя диагностика - обследование на наличие пораженных участков системы, доставка необходимых грузов (лекарств) к требуемому участку, устранение непроходимости каналов. Также в [19] упоминалось о возможности использования таких устройств для диагностирования заболеваний пищеварительного тракта. Результаты [18] о достижимой точности позиционирования вибророботов позволяют говорить о применимости их в микро- и нанотехнологическом оборудовании. Аналогичный принцип моделирования движения использовался при описании движения лишенных конечностей живых существ (черви, змеи) [26;27]. Помимо этого вибророботы, как представители класса автоматизированных мобильных роботов, незаменимы при использовании в работе с труднодоступными объектами, проникновение к которым классическими средствами передвижения невозможно для человека или опасно (например, химически зараженные зоны или зоны повышенной радиоактивности).

Класс плавающих вибророботов может быть использован для решения экологических задач, таких как мониторинг состояния окружающей среды, забор проб воды с поверхности водоемов и аналогичных задач. В то же время для изучения состояния подводного мира, исследования рельефа дна и состояния технологических подводных объектов, таких как газо- и нефтепроводы и газо- и нефтедобывающие конструкции, необходимы устройства, способные двигаться на глубине в жидкости. Большинство подводных роботов используют в качестве движителя вращающийся винт или колеблющийся плавник [28; 29]. Однако в ряде случаев необходимы устройства, способные интегрироваться в изучаемую среду, не нарушая происходящих в ней процессов. В качестве таких устройств могут выступать вибрационные роботы в силу описанных выше конструкционных особенностей. Также для решения задач о движении по заполненным каналам технических и биологических систем (сердечно-сосудистая система) нужно моделировать робот, способный перемещаться в вязкой среде (вода, кровь и др.).

Работа [4] рассматривает вопрос движения деформируемого эллиптического тела, содержащего гармонически осциллирующую внутреннюю массу, в

идеальной и вязкой жидкости. Авторы показывают, что при одном и том же режиме движения внутреннего тела и деформации корпуса средняя скорость устройства в вязкой жидкости при средних числах Рейнольдса существенно (в разы) выше, чем в идеальных условиях. По мере уменьшения числа Рейнольдса скорость устройства стремится к нулю. Однако при близких к нулю числах Рейнольдса движение деформируемого тела с подвижной внутренней массой возможно при определенных условиях. При конечных числах Рейнольдса анизотропия сопротивления способствует движению тела в жидкости. Многие из знакомых способов передвижения в природе, например, с помощью волнообразных движений жгутиков бактерий или от взмаха крыльев, конечно же эффективны только в определенных диапазонах числа Рейнольдса (см., например, [30]). Рассмотренный авторами механизм движения, напротив, не ограничен и может быть эффективным средством перемещения тела на всех числах Рейнольдса. Таким образом, вибрационный принцип движения в жидкости может быть эффективен как в условиях медленных Стоксовских течений, при которых другие технические формы движения непригодны, так и для умеренных и высоких чисел Рейнольдса.

В недавних работах [31; 32] представлен ряд попыток моделировать при высоких числах Рейнольдса (порядка 104) движение в вязкой жидкости двух-массового робота со сферической и каплеобразной формами корпуса с использованием аппарата вычислительной гидродинамики. Проведено численное моделирование движение двух вибророботов с разной формой корпуса для некоторого негармонического закона движения внутренней массы. Показано преимущество каплеобразной формы корпуса в сравнении со сферическим корпусом. Тем не менее объем проведенных исследований не носит исчерпывающего характера и вопрос моделирования движения виброробота остается открытой проблемой.

В работе [33] моделируется движения клиновидного двухмассового виброробота в вязкой жидкости, внутренняя масса которого совершает колебания по гармоническому закону. Несимметричность формы корпуса обеспечивает различную реакцию внешней среды на фазах прямого и возвратного движения, обеспечивая поступательное направленное перемещение системы в жидкости. Численное решение задачи проводится с использованием методов вычислительной гидродинамики и осуществляется на базе програмного пакета ОрепРоат.

В работе рассматривается движение в диапазоне низких чисел Рейнольдса, где справедлива гипотеза о плоском ламинарном течении. Показано, что формирующиеся в жидкости течения при движении робота способствуют возникновению различных режимов движения при одних параметрах колебания внутренней массы.

Основываясь на вышеизложенном, можно сделать заключение об актуальности темы исследования, а также отметить степень ее слабой разработанности, поскольку основное число имеющихся исследований посвящено вопросам движения виброробота по твердой поверхности и лишь малая часть затрагивает вопросы движения в вязкой среде. Вопрос оптимизации движения виброробота в вязкой жидкости не рассматривался в работах, упоминаемых выше.

В соответствии с этим целью диссертационной работы ставится исследование процесса взаимодействия двухмассового вибрационного робота с окружающей вязкой средой и вопросов оптимизации его движения в жидкости. Для достижения поставленной цели требуется последовательное решение следующих задач:

1. построение аналитической модели движения виброробота произвольной формы в среде с нелинейным относительно скорости законом сопротивления, выбор критерия оптимизации и постановка задачи оптимизации движения виброробота;

2. оптимизация движения сферического виброробота в вязкой жидкости в рамках аналитических моделей гидродинамических сил сопротивления;

3. проведение численного эксперимента по движению сферического виброробота в вязкой жидкости; анализ гидродинамических сил, действующих на корпус, и оценка справедливости аналитических представлений и результатов.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы оптимизации и вариационного исчисления, итерационные алгоритмы численного решения нелинейных систем алгебраических и интегральных уравнений, а также методы вычислительной гидродинамики.

и

В первой главе диссертации с использованием методов оптимизации и вариационного исчисления решается задача об оптимальном движении виброробота при наличии нелинейной реакции со стороны внешней среды. В параграфе 1.1 строится модель движения виброробота в сопротивляющейся среде, приводится постановка задачи оптимизации его движения и вводится понятие коэффициента эффективности движения, которые будут использоваться с некоторыми модификациями на протяжении всей работы применительно к различным законам сопротивления. В качестве критерия оптимизации предлагается критерий минимизации энергетических затрат на движение за счет колебаний внутренней массы, обосновывается его удобство для решения поставленной задачи. В параграфе 1.2 для степенного по скорости закона сопротивления с коэффициентом, задающим анизоторпную реакцию со стороны среды, описывается ход решения задачи, который делится на два этапа. На первом этапе (параграф 1.2.1)находится множество оптимальных законов движения корпуса, определяется зависимость его характеристик и эффективности от задаваемых свойств среды. На втором этапе (параграф 1.2.2) из множества оптимальных законов выделяется простейший («базовый») закон и восстанавливается соответствующий ему закон движения внутренней массы, даются оценки для максимальной скорости и размаха колебаний внутренней массы. В рассматриваемом случае и для иных квазистационарных законов сопротивления задача нахождения оптимального закона движения корпуса является алгебраической, а оптимальный закон движения внутренней массы восстанавливается простым интегрированием. В параграфе 1.3 приводятся основные выводы по результатам проведенного исследования.

Во второй главе диссертации рассмотрены подходы к исследованию энергетически оптимального движения сферического виброробота в вязкой жидкости. Данные подходы основаны на различном представлении сил, действующих на корпус виброробота. В параграфе 2.1 задача, сформулированная в главе 1, решается применительно к случаю движения сферического виброробота в вязкой несжимаемой жидкости в рамках квазистационарной модели. Закон сопротивления был выбран на основе известных экспериментальных данных по обтеканию сферы стационарным потоком вязкой жидкости. В этом слу-

чае задача нахождения оптимального закона движения корпуса также является алгебраической.

Квазистационарное приближение в задаче оптимального управления движением виброробота в вязкой жидкости ограничено случаем низких частот колебаний внутренней массы. В общем случае силы гидродинамического сопротивления определяются теми течениями, которые были сформированы роботом в жидкости за все время движения. Поэтому они не могут быть описаны исключительно в терминах мгновенной скорости, но должны определяться всей предысторией движения. Учет этого обстоятельства проводится в несколько этапов. На первом из них (в параграфе 2.2) учет предыстории осуществляется посредством нелокальной по времени силы сопротивления Бассе. Сила Бассе задается в своей простейшей, классической форме, имеющей строгое обоснование лишь для случая медленного движения виброробота. Тем не менее указанная постановка представляется полезной по двум причинам: как необходимый первый шаг при рассмотрении более реалистичных законов для наследственных сил сопротивления и как средство качественной оценки границ применимости квазистационарного приближения. Математически учет сил Бассе приводит к необходимости решения не алгебраического (как в квазистационарном приближении), но интегрального уравнения. Основные выводы по полученным результатам собраны в параграфе 2.3.

В третьей главе диссертации реализуется второй этап исследования, на котором на базе пакета OpenFoam (Open Field Operation and Manipulation) [34; 35] проводится прямое численное моделирование движения сферического виброробота в вязкой жидкости и анализ гидродинамических сил, действующих на корпус. Для изучения структуры гидродинамических сил и исследования механизмов их воздействия на движущийся робот предлагается способ их разложения на квазистационарную, наследственную силы и силу присоединенных масс. Параграф 3.1 содержит математическую модель движения виброробота в вязкой жидкости, которая включает в себя описание взаимодействия корпуса с вязкой жидкостью (параграф 3.1.1) и задаваемого закона движения корпуса (параграф 3.1.2), а также условие установившегося движения (параграф 3.1.3). В параграфе 3.2 описывается способ построения численной модели в пакете OpenFoam, состоящий из следующих этапов: создание геометрии и дискрети-

зация области решения, выбор методов дискретизации управляющей системы уравнений, задание граничных условий, выбор численных методов решения (методов решения линейных уравнений, предобуславливателей и их параметров), задание управляющих параметров задачи. Используемые методы дискретизации управляющей системы уравнений, способ задания граничных условий и численные методы решения предложены А.Н. Нуриевым в работах [33; 36]. Задача решается как в двухмерной, так и в трехмерной постановке. Двухмерное моделирование базируется на свойствах осевой симметрии геометрии корпуса и формирующихся течений при движении в жидкости на невысоких средних скоростях. Трехмерное моделирование, являющееся ресурсоемкой проблемой, необходимо, поскольку только оно позволяет подтвердить наличие осевой симметрии течений в исследуемом диапазоне параметров задачи и, следовательно, доказать применимость двухмерной модели. Вспомогательные расчеты и визуализация результатов выполнялись с использованием пакета прикладных программ M AT LAB. Трехмерное моделирование проводилось на высокопроизводительном кластере с применением технологии MPI. Верификация представленной численной модели проводится в параграфе 3.3. В параграфах 3.4 и 3.5 собраны основные результаты численного моделирования и выводы соответственно.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

1. Для постановки задачи оптимизации движения виброробота впервые предложен критерий минимизации энергетических потерь, позволяющий в ходе решения находить энергетически эффективные законы движения корпуса в сопротивляющейся среде. Найдено множество энергетически оптимальных законов движения корпуса для анизотропного степенного закона сопротивления. Установлено, что при оптимальном движении скорость корпуса кусочно-постоянная функция времени, принимающая два положительное и отрицательное значения. Величины этих скоростей и суммарные меры интервалов, на которых они принимаются, определяются однозначно, а само оптимальное движение неоднозначно. Подробно исследовано простейшее оптимальное движение, при котором период разбивается на два участка с положительной и отрицательной скоростью движения корпуса. Показано, что

среди всех оптимальных движений оно характеризуется максимальным размахом колебаний внутренней массы относительно корпуса.

2. Впервые задача оптимизации решалась для случая движения сферического виброробота в вязкой жидкости. В рамках квазистационарной модели сил сопротивления получены энергетически оптимальные законы движения сферического робота в вязкой жидкости для различных значений средней скорости движения. Затем впервые был сделан переход от условий квазистационарности к учету предыстории движении - учету влияния течений, формирующихся за все время движения в жидкости. В данном случае силы сопротивления включают в себя не только квазистационарное сопротивление, но и нелокальные по времени силы Бассе. Показано, что наличие наследственных сил приводит к понижению эффективности движения в разы.

3. В области невысоких чисел Рейнольдса проведено двухмерное и трехмерное прямое численное моделирование движения сферического виброробота по двухфазным законам, оптимальным с точки зрения теоретических оценок, полученных по квазистационарной модели сопротивления. Анализ гидродинамических сил позволил выделить различные составляющие силы и изучить механизм влияния квазистационарных, наследственных и инерциальных сил на движение робота и на показатель эффективности движения. Показано, что течения, формирующиеся при движении виброробота, обладают свойством осевой симметрии и оказывают существенное влияние на вид сил сопротивления, формируя действующий на фазах постоянного движения вклад наследственных сил сопротивления, сопоставимый с квазистационарной силой. Также показано, что эффективность движения существенно зависит от параметров движения робота (периода и средней скорости движения, соотношения длительности фаз прямого и обратного движения), его конструкционных характеристик (соотношения массы внутреннего движителя и корпуса, массы робота и массы вытесненной жидкости) и свойств окружающей жидкости. Характер данных зависимостей таков, что результаты квазистационарной аналитической модели служат верх-

ней оценкой и асимптотой энергоэффективности при неограниченном росте периода колебаний.

Научная и практическая значимость. Работа носит, в основном, теоретический характер. Вместе с тем полученные результаты могут использоваться как научный задел для реального проектирования устройств, способных перемещаться в низкорейнольдсовых диапазонах при высокой вязкости жидкости, когда использование классических, например, винтовых, движителей неэффективно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жучкова Ольга Сергеевна, 2018 год

Список литературы

1. К oilier J., Ehlers К., Montgomery R. Problems and progress in mi-croswimming // Journal of Nonlinear Science. — 1996. — Nov. — Vol. 6, no. 6. — Pp. 507-541.

2. Ehlers К. M.. К oilier J. Micro-swimming without flagella: Propulsion by internal structures // Regular and Chaotic Dynamics. — 2011. — Dec. — Vol. 16, no. 6. - Pp. 623-652.

3. Черпоусъко Ф.Л. Оптимальные периодические движения двухмассо-вой системы в сопротивляющейся среде // ПММ. — 2008. — Т. 72. Л'° 2.

С. 202-215.

4. Childress S., Spagnolie S.E., Tokieda Т. A bug on a raft: recoil locomotion in a viscous fluid // Journal of Fluid Mechanics. — 2011. — Vol. 669. — P. 527-556.

5. Карманов С.П., Черпоусъко Ф.Л. Моделирование плавания стилем «брасс» // Доклады Академии Наук. — 2014. — Т. 454, № 6. — С. 661-664.

6. Blake J.R. Self propulsion due to oscillations on the surface of a cylinder at low Reynolds number // Bulletin of the Australian Mathematical Society. — 1971. - Vol. 5, no. 2. - P. 255-264.

7. Tallapragada P., Kelly S.D. Dynamics and self-propulsion of a spherical body shedding coaxial vortex rings in an ideal fluid // Regular and Chaotic Dynamics. - 2013. - Jan. - Vol. 18, no. 1. - Pp. 21-32.

8. Saffman P. G. The self-propulsion of a deformable body in a perfect fluid // Journal of Fluid Mechanics. - 1967. - Vol. 28, no. 2. - P. 385-389.

9. Черпоусъко Ф.Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // Докл. РАН. - 2005. - Т. 405, № 1. - С. 56-60.

10. Черпоусъко Ф.Л. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы // ПММ. — 2006. — Т. 70, № 6. — С. 915-941.

11. Болот,ник Н.Н., Фигурина Т.Ю. Оптимальное управление прямолинейным движением твердого тела по шероховатой плоскости посредством перемещения двух внутренних масс // ПММ. — 2008. — Т. 72, № 2. — С. 216-229.

12. Болотник H.H., Фигурина Т.Ю., Черноусъко Ф.Л. Оптимальное управление прямолинейным движением системы двух тел в сопротивляющейся среде // //Л/Л/. - 2012. - Т. 76, № 1. - С. 3-22.

13. Болотник H.H., Нунупаров A.M., Чащухин В.Г. Капсульный вибрационный робот с электромагнитным приводом и возвратной пружиной: динамика и управление движением // Изв.РАН. ТиСУ. — 2016. — № 6. — С. 146-160.

14. Thorns en J.J. Vibration-Induced Displacement Using High-Frequency Resonators and Friction Layers // IUTAM / IFToMM Symposium on Synthesis of Nonlinear Dynamical Systems: Proceedings of the IUTAM / IFToMM Symposium held in Riga, Latvia, 24-28 August 1998 / Ed. by E. Lavendelis, M. Zakrzhevsky. — Dordrecht: Springer Netherlands, 2000. — Pp. 237-246.

15. Fidlin A., Thomsen J.J. Predicting vibration-induced displacement for a resonant friction slider // Eur. J. of Mech. - A/Solids. — 2001. — Vol. 20, no. 1. — Pp. 155-166.

16. Баландин Д.В., Комаров М.А., Осипов Г.В. Управление движением сферического робота с маятниковым приводом // Изв.РАН. ТиСУ. — 2013. — ..V« 4. - С. 150-163.

17. Баландин Д.В., Скучилин М.Ю. Управляемые движения сферического робота на наклонной плоскости // Журнал Средневолжского математического общества. — 2013. — Т. 15, № 4. — С. 47-56.

18. Vartholomeos P., Papadopoulos Е. Dynamics, Design and Simulation of a Novel Microrobotic Platform Employing Vibration Microactuators // ASME. J. Dyn. Sys., Meas., Control. - 2005. - Vol. 128, no. 1. - Pp. 122-133.

19. Li H., Furuta K., Chernousko F.L. Motion Generation of the Capsubot Using Internal Force and Static Friction // Proc. of the 45th IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, CA, USA, 2006. - 2006. - Pp. 6575-6580.

20. Zimmermann К., Böhm V., Zeidis I. Vibration-driven mobile robots based on magneto-sensitive elastomers // 2011 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM). - 2011. - Pp. 730-735.

21. Akharimajd A., Sotoudeh N. Design and motion analysis of vibration-driven small robot Rizeh // Advanced Robotics. — 2014. — 01. — Vol. 28, no. 2. — Pp. 105-117.

22. Гранкин А.Н., Яцун С.Ф. Исследование виброударных режимов движения мобильного микроробота с электромагнитным приводом // Изв.РАН. ТиСУ - 2009. - № 1. - С. 163-171.

23. Черепанов А.А., Яцун С.Ф. Исследование движения вибрационного робота по вертикальной феррромагнитной поверхности // Изв.РАН. ТиСУ. — 20Ц. С. 138-156.

24. Волкова Л.К)., Яцун С.Ф. Управление движением трехмассового робота, перемещающегося в жидкой среде // Нелинейная динамика. — 2011. — Т. 7, № 4. - С. 845-857.

25. Яцун С.Ф.j Волкова Л.Ю. Моделирование динамических режимов вибрационного робота, перемещающегося по поверхности с вязким сопротивлением // Спецтехника и связь. — 2012. — № 3. — С. 25-29.

26. Zimmerman К., Zeidis I., Steigenberger J. Mathematical model of wormlike motion systems with finite and infinite degree of freedom // Romansy 14: Theory and Practice of Robots and Manipulators Proc. of the Fourteenth CISM-IFToMM Symp. - 2002. - Pp. 507-515.

27. Miller G. The Motion Dynamics of Snakes and Worms // SICCRAPH Comput. Graph. - 1988. - Vol. 22, no. 4. - Pp. 169-173.

28. Viba J., Fontaine J.-G., Kruusmaa M. Motion control optimization of robotic fish tail // J. of Vibroengineering. — 2009. — Vol. 11. — Pp. 607-616.

29. Расчет сил, возникающих на плавниковом вибродвижителе / С.Л. Цы-фанский, Я.А. Виба, О.В. Кононова, Якушевич В.А. // Управляемые вибрационные технологии и машины / Под ред. С.Ф. Яцун. — Т. 1. — Курск: Курск, гос. техн. ун-т, 2010. — С. 18-23.

30. Childress S. Mechanics of Swimming and Flying. — Cambridge: Cambridge University Press, 1981. — P. 155.

31. Ветчанин E.B., Тененев В.А., Мамаев И.С. Движение тела с переменной геометрией масс в вязкой жидкости // Нелинейная динамика. — 2012.

_ т. 8, № 4. - С. 815-836.

32. Ветчанин Е.В., Тененев В.А. Движение каплеобразного и сферического тел с переменной геометрией масс в вязкой жидкости // Интеллектуальные системы в производстве. — 2012. — № 1. — С. 11-23.

33. Нуриев А. Н., Захарова О. С. Численное моделирование движения клиновидного двухмассового виброробота в вязкой жидкости // Вы,ч. Механик,а сплошных сред. 2016. Т. 9, № 1. С. 5 15.

34. Open FOAM User Guide. 2017. Last visited on 28.05.2017. URL: https://www.openfoam.org/docs/user/.

35. Unofficial OpenFOAM wiki. Last visited on 28.05.2017. URL: https: //openfoamwiki.net/index.php/Main_Page.

36. Нуриев A.H. Течение вязкой жидкости вокруг осциллирующих) цилиндра: численный эксперимент, асимптотический и бифуркационный анализ: Ph.D. thesis / Казанский (Приволжский) федеральный университет. 2013.

37. Захарова О. С. Об оптимальном по энергозатратам движении виброробота в среде с сопротивлением // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2009»; Казань, 1-6 ноября 2009 г.; Казан, матем. об-во.

Казань: Казан, матем. об-во, 2009. Т. 39. С. 225 227.

38. Егоров А. Г., Захарова О. С. Оптимальное по энергетическим затратам движение виброробота в среде с сопротивлением // ПММ. 2010. Т. 74, № 4.

С. 620 632.

39. Захарова О. С. Оптимальное движение виброробота в среде с немонотонным законом сопротивления // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского: Материалы Десятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2011»; Казань, 31 октября 4 ноября 2011 г.; Казан, матем. об -во. Казань: Казан. матем. об-во, 2011. Т. 44. С. 138 140.

40. Захарова О. С. Оптимальное по энергетическим затратам квазистационарное движение виброробота в среде с немонотонным сопротивлением // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского Университета 2011 года: Сборник статей. Казан, ун-т. Казань: Казан, ун-т, 2011. С. 86 89.

41. Захарова O.G. Оптимальные по энергетическим затратам периодические движения виброробота в среде с сопротивлением // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки. М.: Изд-во РГСУ, 2011. С. 62 95.

42. О. Zakharova. The energy-optimal quasi-stationary motion of a vibration-driven robot in a resistive medium // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского Университета 2011 года: Сборник статей. — Казань: Казан, ун-т, 2011. — Pp. 318-321.

43. Егоров А. Г., Захарова О.С. Оптимальное квазистационарное движение виброробота в вязкой жидкости // Изв. Вузов. Мат,ем,. — 2012. - № 2. -С. 57-64.

44. Захарова О. С. Оптимальное движение тела с подвижной внутренней массой в среде с сопротивлением // Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук: сборник работ победителей / Под ред. А.С. Андреева. — Ульяновск: УлГУ, 2012. - С. 106-109.

45. Егоров А. Г., Захарова О. С. Энергетически оптимальное движение виброробота в вязкой жидкости // Труды IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 24-29 сентября2012 г.) / Под ред. Д.В. Баландина, В.И. Ерофеева, И.С. Павлова. — Нижний Новгород: Издательский дом «Наш дом», 2012. — С. 358-367.

46. Егоров А. Г., Захарова О. С. Об энергетически оптимальном движении виброробота в сопротивляющейся среде // Вест,п. ИНГУ: Матем. Моделирование. Оптимальное управление. — 2013. Т. 1. Л'° 3. С. 258-264.

47. Захарова О. С. Оптимальное управление движением сферического виброробота в вязкой жидкости // Международная конференция «Восьмые Оку-невские чтения». 25-28 июня 2013 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов. — СПб.: Балт. гос. техн. ун-т., 2013. — С. 140-143.

48. Захарова О. С. Оптимальное движение тела с подвижной внутренней массой в среде с сопротивлением // Ученые записки УлГУ. Сер. математика и инф. технологии. — 2013. — Т. 1, № 5. — С. 41-61.

49. Нуриев А. И., Захарова О. С. Разработка численной модели движения виброхода в вязкой жидкости // Материалы конференции «Обратные краевые задачи и их приложения». — Казань: Изд -во Казан. ун-та, 2014. С. 6. 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

50. Захарова О.С., Нуриев А. И. Моделирование движения виброробота в вязкой жидкости // Современные проблемы аэрогидродинамики: Тезисы до-

кладов XVII школы-семинара, посвященной памяти академика Г.Г. Черного и 55-летию со дня основания НИИ механики МГУ. — М.: Изд-во Московского университета, 2014. — С. 61-62.

51. Nuriev А., О. Zakharova. Modeling of a vibration-driven robot motion in a viscous fluid // 9th OpenFOAM Workshop. — Zagreb, Croatia: 2014. — P. 15.

52. Егоров А. Г., Захарова О. С. Энергетически оптимальное движение виброробота в среде с наследственным законом сопротивления // Изв. РАН. ТиСУ. - 2015. - № 3. - С. 168-176.

53. Захарова О. С., Нуриев А. И. Об оптимальном движении сферического виброробота в вязкой жидкости // Теория управления и математическое мо-делирование:Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, Россия,9-11 июня 2015 г.). — Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет, 2015. — С. 248-250.

54. Зайцева О.И., Захарова О.С., Нуриев А. И. Использование пакета OpenFoam в образовательном процессе // Математика. Образование. Информатизация: сборник тезисов XXIII Международной конференции, Казань, 27-31 мая 2015 года. — Казань: Изд -во Казан. ун-та, 2015. — С. 29.

55. Захарова О. С., Егоров А. Г., Нуриев А. И. Об оптимальном движении виброробота в среде с сопротивлением //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теор. и прикл. механики. Аннотации докладов. (Казань, 20-24 августа 2015г.). — Казань: Издательство Академии наук РТ, 2015.

_ с. 110.

56. Захарова О. С., Егоров А. Г., Нуриев А. И. Об оптимальном движении виброробота в среде с сопротивлением //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов (Казань, 20 - 24 августа 2015 г.). — Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета, 2015. — С. 1458-1460. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

57. Nuriev A., Zakharova О. The optimal control of a multi-mass vibration propulsion system in a viscous incompressible fluid // VII European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS Congress 2016) Crete Island, Greece, 5-10 June 2016. - Vol. 4. - 2016. - Pp. 7121-7129.

58. The study of the wedge-shaped vibration-driven robot motion in a viscous fluid forced by different oscillation laws of the internal mass / A. N. Nuriev, O. S. Zakharova, O. N. Zaitseva, A. I. Yunusova // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. — 2016. — Vol. 158, no. 1. — Pp. 1-8.

59. Захарова О. С., Нуриев А. H. Численное исследование оптимальных законов движения сферического виброробота в вязкой жидкости // Тезисы докладов III Международного научного семинара «Динамическое деформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной физической природы». — М.: ООО «ТР-принт», 2016. — С. 61-62.

60. Захарова О. С., Нуриев А. Н. Численное и аналитическое исследование оптимального движения системы с вибрационным движителем в вязкой жидкости // Труды X Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 26-29 сентября2016 г.). — Нижний Новгород: Издательский дом «Наш дом», 2016. — С. 370-379.

61. Захарова О. С., Нуриев А. Н. Решение задачи оптимизации движения двухмассового виброробота в вязкой жидкости // Материалы XI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. (NPNJ'2016) 25-31 мая 2016 г. Алушта. - М.: Изд-во МАИ, 2016. - С. 337-338.

62. Жучкова О. С. О роли наследственной составляющей гидродинамической силы при движении сферического виброробота в вязкой жидкости // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 55. Лобачевские чтения

- 2017: материалы Шестнадцатой молодежной научной школы-конференции (Казань, 24-29 ноября 2017 г.)/ сост. А.А. Агафонов. — Казань: Изд -во Казан, ун-та, 2017. - С. 49-52.

63. Шлихтипг Г. Теория пограничного слоя / Под ред. Л.Г. Лойцянский.

- Москва: Наука, 1974. - С. 712.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. T. VI. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. — 736 с.

65. Coy С. Гидродинамика многофазных сред. - М.: Мир, 1971. - С. 527.

66. Kim I., Elghobashi S., Sirignano W.A. On the equation for spherical-particle motion: effect of Reynolds and acceleration numbers // Journal of Fluid Mechanics. - 1998. - Vol. 367. - P. 221-253.

67. Mei R. Velocity fidelity of flow tracer particles // Experiments in Fluids. _ 1996. _ Vol. 22, no. 1. - Pp. 1-13.

68. Mei R., Adrian R.J. Flow past a sphere with an oscillation in the free-stream velocity and unsteady drag at finite Reynolds number /j Journal of Fluid Mechanics. - 1992. - Vol. 237. - P. 323-341.

69. Mei R., Lawrence C.J., Adrian R.J. Unsteady drag on a sphere at finite Reynolds number with small fluctuations in the free-stream velocity // Journal of Fluid Mechanics. - 1991. - Vol. 233. - P. 613-631.

70. Odar F., Hamilton W.S. Forces on a sphere accelerating in a viscous fluid // Journal of Fluid Mechanics. - 1964. - Vol. 18, no. 2. - P. 302-314.

71. Odar F. Verification of the proposed equation for calculation of the forces on a sphere accelerating in a viscous fluid // Journal of Fluid Mechanics. — 1966. - Vol. 25, no. 3. - P. 591-592.

72. Proudman I., Pearson J.R.A. Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a sphere and a circular cylinder /j Journal of Fluid Mechanics. — 1957. - Vol. 2, no. 3. - P. 237-262.

73. Dorgan A.J., Loth E. Efficient calculation of the history force at finite Reynolds numbers // International Journal of Multiphase Flow. — 2007. — Vol. 33, no. 8. - Pp. 833-848.

74. Loth E., D org an A.J. An equation of motion for particles of finite Reynolds number and size // Environmental Fluid Mechanics. — 2009. — Vol. 9, no. 2. — Pp. 187-206.

75. Jasak H. Error analysis and estimation for the Finite Volume method with applications to fluid flows: Ph.D. thesis / Imperial College, University of London. — 1996.

76. Jasak H., Weller H.G., Gosman A.D. High resolution NVD differencing scheme for arbitrarily unstructured meshes /j Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1999. _ v0i. 3i. _ pp. 431 449.

77. Ferziger J.H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. — 3rd rev. edition. — Berlin: Springer, 2002. — P. 424.

78. Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method. — New York: Longman, 1995. — P. 258.

79. Нуриев А.Н., Зайцева О.Н. Решение задачи об осциллирующем движении цилиндра в вязкой жидкости в пакете OpenFOAM // Вестник Казанского технологического университет,а. — 2013. — № 8. — С. 116-123.

80. Численное моделирование трехмерного течения около осциллирующего круглого цилиндра / А.Н. Нуриев, О.Н. Зайцева, Е.Е. Мощева, А.И. Юнусо-ва // Вестник Казанского технологического университета — 2014. — Т. 17, Л" 21. - С. 375-378.

81. Теоретико-экспериментальный метод определения параметров демпфирования на основе исследования затухающих изгибных колебаний тест-образцов. 2. Аэродинамическая составляющая демпфирования / А.Г. Егоров, A.M. Камалутдинов, А.Н. Нуриев, В.Н. Паймушин // Механика ко,м,позит,ны,х материалов. - 2014. - Т. 50, № 3. - С. 379-396.

82. Johnson Т.A., Patel V.C. Flow past a sphere up to a Reynolds number of 300 // Journal of Fluid Mechanics. - 1999. - Vol. 378. - P. 19-70.

83. Chang E.J., Maxey M.R. Unsteady flow about a sphere at low to moderate Reynolds number. Part 1. Oscillatory motion // Journal of Fluid Mechanics. — 1994. _ v0i. 277. - P. 347-379.

84. Le Clair B.P., Hamielec A.E., Pruppacher H.R. A Numerical Study of the Drag on a Sphere at Low and Intermediate Reynolds Numbers // Journal of the Atmospheric Sciences. — 1970. — Vol. 27, no. 2. — Pp. 308-315.

85. Dennis S. C.R., Walker J.D.A. Calculation of the steady flow past a sphere at low and moderate Reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. — 1971. — Vol. 48, no. 4. - P. 771-789.

86. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, Drops, and Particles. — New York: Academic, 1978. - P. 381.

87. Rivero M.. Magna,u,d,et J., Fabre J. Quelques resultants nouveaux concernant les forces exercees sur une inclusion spherique par en icoulement accelkre // C.R. Acad. Sci. Pans. - 1991. - Vol. 312, no. 2. - Pp. 1499-1506.

88. Chang E.J., Maxey M.R. Unsteady flow about a sphere at low to moderate Reynolds number. Part 2. Accelerated motion // Journal of Fluid Mechanics. — 1995. _ v0i. 303. _ p. 133-153.

89. Wakaba L., Balachandar S. On the added mass force at finite Reynolds and acceleration numbers // "Theoretical and Computational Fluid, Dynamics. —

2007. - Vol. 21, no. 2. - Pp. 147-153.

90. Lawrence C.J., Mei R. Long-time behaviour of the drag on a body in impulsive motion /j Journal of Fluid Mechanics. — 1995. — Vol. 283. — P. 307-327.

91. Mei R. Flow due to an oscillating sphere and an expression for unsteady drag on the sphere at finite Reynolds number /j Journal of Fluid Mechanics. — 1994. _ v0i. 270. - P. 133-174.

92. Нуриев A.H., Зайцева O.H., Юнусова А.И. Численное исследование наследственной силы и силы присоединенных масс, действующих на сферическую микрочастицу при поступательном движении в случае конечных чисел Рейнольдса // Учен. зап. Каз. ун-т,а. Сер. Физ.-матем. Науки — 2017. — Т. 8, № 4. — принята к печати.