Оптические волны в неэрмитовых системах с антилинейными симметриями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор наук Зезюлин Дмитрий Александрович

• Зезюлин Дмитрий Александрович
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Зезюлин Дмитрий Александрович

IQverview of the dissertation I

IQverview of the main content of the dissertation I

IMain results and conclusions of the dissertation I

List of the publications of the author on the topic of dissertation!

Введение!

1 Краткий обзор предметной области!

1.1 РТ-симметрия: Определение и основные свойства

1.2 Пример: Оператор Шредингера с РТ-симметричным параболичес-

ким потенциалом]

1.3 «Фазовый переход» и исключительные точки|

1.4 VT-симметрия как частный случай антилинейной симметрии

1.5 Спектральные особенности, режим лазера и антилазера!

1.6 Оптическая реализация комплексных потенциалов!

1.6.1 Волноводы с потерями и усилением!...............ЮЗ

И .6.2 Нелинейность и оптические солитопы!

1.6.3 Комплексные потенциалы в газах многоуровневых атомов]

1.6.4 РТ-симметричные микрокольцевые резонаторы

1.7 Особенности нелинейных волн в РТ-симметричных системах

2 Эффекты, связанные с «фазовым переходом» в оптических вол-

новодах!

2.1 Модель волновода с потерями и усилением

120

120

2.2 Аномальное поведение плотности поперечного потока энергии в VT-

симметричных волноводах

122

2.3 Фазовый переход через расщепление самодвойственной еисктраль-I пой особенности!

2.3.1 Случай нланариого волновода с антилииейной симметрией! ■

2.3.2 Фазовый переход в оптической системе с «фермионной» VI

симмстриси

146

2.4 Краткие итоги главы 2|

3 Нелинейные моды в комплексных оптических потенциалах

171

3.1 Нелинейные моды в РТ-симметричном параболическом потенциале

3.2 Непрерывные семейства нелинейных мод в не-РТ-симметричных

потенциалах!

3.3 Оптические солитоны в нелинейных РТ-симметричных потенциалах

3.4 Краткие итоги главы |3|

4 Дискретные моды в массивах РТ-симметричных волноводов

4,1 Линейные и нелинейные моды в конечных массивах ТТ

симметричных волноводов

4,2 Дискретные солитоны в РТ-симметричных решетках

4.3 Краткие итоги главы [1

5 Режим лазера и антилазера для нелинейных волн

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптические волны в неэрмитовых системах с антилинейными симметриями»

5.1 Мотивация работы

216 227 238

241

241

5.2 Лесвдоеисктральныс особенности в нелинейном кольцевом волноводе|243 5.2.1 Модсль|...............................243

5.2.2 Линейный спектр и исключительные точки|..........245

5.2.3 Нелинейные спектральные особенности!.............250

5.2.4 Нелинейные периодические решения!..............253

5.3 Лазер и антилазер дня нелинейных воли в массиве оптических волноводов! ...................................264

5.4 Краткие итоги главы |5|..........................278

¡Заключение!

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Тексты публикаций

282 286

316

317

Реферат

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Направление, связанное с разработкой гетерогенных оптических сред с новыми свойствами, привлекает все возрастающее внимание в течение нескольких последних десятилетий. Хорошо известными примерами синтетических сред с искусственными свойствами являются фотонные кристаллы |1-4|, фотошю-кристаллические оптические волокна |5,6 , оптические метаматериалы |Г| и метановерхности |8|, нанон.иазмонные системы из металлических и диэлектрических слоев |9|, материалы с нетривиальными топологическими |10] и киральиы-

ми |11| характеристиками. Еще один класс синтетических оптических материалов с необычными свойствами соответствует системам с так называемой симметрией «чётность-время», то есть с РТ-симметрией (от англ. parity-time). Простейшая РТ-симметричная система состоит из усиливающего элемента, связанного с поглощающим элементом. При этом пространственное распределение и амплитуда оптических потерь и накачки задаются таким образом, что достигается «банане» между ними, то есть комн.некснозначный показатель преломления удовлетворяет соотношению n(r) = n*(-r), где звездочка обозначает комплексное сопряжение, а эффективный гамильтониан получающейся системы коммутирует с антилиией-ным РТ-оператором, где V и Т это операторы, которые могут быть интерпретированы как пространственная инверсия и обращение времени.

Быстрый рост интереса к системам с РТ-симметрией начался около двадцати

.нет после серии работ Карла Бендера и соавторов 12 13 , посвященных неэрмито-

вой квантовой механике, при рассмотрении комплексных квантовомеханических потенциалов, удовлетворяющих свойству и (г) = Ы *(-г). Было обнаружено, что несмотря па то, что оператор Шредипгера с потенциалом такого вида не является самосопряженным (но отношению к стандартным образом определенному скалярному произведению), спектр его собственных значений энергии тем не менее может быть полностью вещественным при условии, что амплитуда мнимой части потенциала достаточно мала. Вещественность спектра комплексного потенциала было предложено объяснить тем, что соответствующий квантовомеханический гамильтониан является РТ-симметричным, то есть коммутирует с произведением операторов обращения пространства и времени. При увеличении амплитуды мнимой части комплексного потенциала РТ-симметричный гамильтониан может совершать так называемый «фазовый переход» от полностью вещественного спектра к комплексному. Возможность систематического изучения иеэрмитовых гамильтонианов с вещественным спектром подняла вопрос о создании РТ-симметричных

и — с более общей точки зрения — иеэрмитовых |14 альтернатив стандартной, эрмитовой квантовой механике. В то время как математический аппарат для ТТ-еимметричпой квантовой механики хорошо развит, ее физическая непротиворечи-

вость является в настоящее время предметом довольно активного обсуждения 115

подробное описание которого находится далеко за пределами настоящей работы.

Действительно важное для настоящей диссертации обстоятельство заключается в том, что эффективные РТ-симметричные гамильтонианы можно изучать и па классическом уровне. Во.лповодпая оптика является одним из главных претендентов для реализации РТ-симметрии в силу математической эквивалентности между кваптовомехапическим уравнением Шредипгера и параболическим уравнением, описывающим волновую дифракцию параксиального .луча в оптическом волноводе. Роль комплексного квантовомеханического потенциала в оптике играет модуляция комплексного показателя преломления п(г) = пи (г) + гщ (г), которая ведет к появлению в волноводе областей со сбалансированными потерями

и накачкой. Именно эта идея была использована в первых работах но реализа-

ции РТ-симметрии в системах связанных оптических волноводов [16-19]. Вскоре после этого РТ-симметрия была экспериментально реализована в других фотон-

ных системах, таких как синтетические решетки 20 , кольцевые микрорезонато-

ры [21, 221, связанные кварцевые микротороиды [23 24, одномерные оптические метаматериалы [251, терагерцовые метаповерхности из РТ-симметричных мета-

атомов |26|, атомарные газы в .лазерных полях |27 и проч., см. обзоры 128—32

Потери присутствуют в .любой реальной оптической системе и зачастую рассматриваются как нежелательный фактор. Поэтому тем бо.лее интересна ситуация, при которой компенсация потерь искусственно внесенным усилением ведет к появлению целого ряда новых эффектов, отсутствующих в «обычном» эрмитовом случае. К числу таких существенно неэрмитовых явлений можно отнести «фазовый

иеклю-

переход» от вещественного к комплексному спектру собственных мод [18

чите.льные точки в пространстве параметров 33 , спектральные особенности [34

и связанные с ними когерентное идеальное поглощение |35 36 и режим лазера-

анти.лазера [37-39], а также многое другое. Помимо фундаментального интереса к упомянутым явлениям, в .литературе также формулируются конкретные предложения с возможностью практического применения РТ-симметричных систем.

Последние включают реализацию одномодовых .лазеров [21 22 , создание мета-

материалов с односторонней безотражателыюетыо на оптических частотах [25

технологии невидимости 40.41

Оператор ТТ антилинейный, то есть включает комплексное сопряжение. Важно отметить, что РТ-симметричные системы представляют лишь частный случай

бо.лее общего класса псевдоэрмитовых систем |42 , то есть систем, эффективный

гамильтониан которых коммутирует с анти.линейным оператором [43 . Оптические системы с анти.линейными еимметриями обладают аналогичным набором уникальных свойств, включающим существование вещественного спектра собственных мод, возможность фазового перехода через исключительные точки, спектральные

и

особенности и резонансы нулевой ширины.

Свойства неэрмитовых оптических систем оказываются еще более интересными при учете нелинейных эффектов. Источником оптической нелинейности, как правило, при этом является изменение свойств среды иод действием распространяющегося в ней электромагнитного ноля, что приводит к нетривиальной зависимости протекания оптических процессов от интенсивности света и других па-

раметров оптического пучка [44 47 , К числу хорошо известных нелинейных яв-

лений относится самофокусировка и «ехлонываиие» оптического пучка 48

нерация второй гармоники 144 , оптическая биетабилыюеть |49 , модуляционная

неустойчивость |46|, формирование пространственных и временных оптических

еолитонов |3, 50] и разнообразных нелинейных волн |51 , бифуркации нарушения симметрии |52| — многие из этих явлений уже были исследованы в контексте РТ-симметричной и неэрмитовой оптики. Значительная часть исследований нелинейных волн в РТ-симметричных системах пока ведется на теоретическом уровне. При этом во многих случаях используемые физические модели базируются на различных обобщениях хорошо известного нелинейного уравнения Шре-

дингера [53,541. Однако в течение последних .нет был также получен ряд важных экспериментальных результатов в области нелинейной РТ-симметричной оптики, К числу наиболее интересных результатов можно отнести наблюдение оптических

и изучение

еолитонов в синтетических РТ-симметричных фотонных решетках [55

фазового перехода в системе двух связанных нелинейных микрорезонаторов 156 Таким образом, изучение нелинейных эффектов в неэрмитовых оптических системах также представляет актуальный интерес.

Степень разработанности темы. Быстрый рост интереса к пеэрмитовым оптическим системам, начавшийся около десяти .нет назад, привел к активной разработке этого направления со стороны большого количества научных груш: но всему миру. Прогресс, достигнутый в области за последние десяти .нет действительно впечатляет. К числу наиболее важных в контексте настоящей диссертации резуль-

татов следует отнести первые работы по теории связанных РТ-симметричных оптических структур [16|, первые эксперименты по реализации РТ-симметрии и «фазового перехода» с нарушением РТ-симметрии в системах связанных оп-

тических волноводов |18.19 , теоретическое предсказание оптических еолитонов

в РТ-симметричных решетках [57 и экспериментальное наблюдение дискретных

оптических еолитонов в синтетических комплексных фотонных решетках 155 , Получить более полное и актуальное представление о развитии области за последнее десятилетие можно с помощью недавних обзоров работ и сборников статей, по-

иеключительных точи онтиче-

священных неэрмитовой оптике и фотонике 130 32 58 59 ках

331 и ангилазерах [35| в оптике и фотонике, нелинейных волнах [28 ских солитонах [291 в РТ-симметричных системах. Краткому описанию предметной области посвящена также первая глава настоящей диссертации.

Научная проблема, на решение которой направлено данное исследование, связана с тем, что свойства неэрмитовых оптических систем существенно отличаются от свойств их .лучше изученных консервативных (эрмитовых) аналогов. К числу существенно неэрмитовых оптических явлений следует отнести возможность фазового перехода от полностью вещественного к комплексному спектру собственных частот (постоянных распространения), возникновение иск.лючитальных точек и спектральных особенностей, режим когерентного идеального поглощения («анти.лазер»), .локализованные стационарно распространяющихся оптических моды с ненулевым поперечным потоком мощности. С точки зрения нелинейных оптических волн неэрмитовые свойства проявляются в возникновении ТТ-симметричных оптических еолитонов и нелинейных мод, свойства которых представляют собой замечательную комбинацию свойств диссинативных оптических |60,61| и «обычных», консервативных еолитонов 13 50 . К числу дру-

ео.литонов

гих явлений, проявляющихся в нелинейных РТ-симметричных волноводах, следует отнести возможность когерентного идеального поглощения нелинейных волн и распространение оптических пучков в волноводах с РТ-симметричной модуля-

цией нелинейного показателя преломления. Изучению перечисленных явлений в значительной степени посвящена настоящая диссертационная работа.

Целью работы является теоретическое исследование новых свойств линейных и нелинейных оптических волн в РТ-еимметричных волноводах и в более общих неэрмитовых оптических системах с антилинейными еимметриями.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1, Формулировка и изучение физических моделей, описывающих распространение света в линейных и нелинейных волноводах с потерями и накачкой,

2, Исследование различных сценариев спонтанного нарушения оптической ТТ-симметрии, то есть «фазового перехода» от вещественного к комплексному спектру при изменении параметров волновода,

3, Изучение свойств оптических мод вблизи «фазового перехода»,

4, Исследование вопроса о существовании и устойчивости нелинейных оптических мод в волноводах в РТ-еимметричным распределением комплеке-нозначного линейного и/или нелинейного показателя показателя. Изучение структуры множества соответствующих нелинейных мод и солитонов а также взаимосвязи между линейными и нелинейными волнами,

5, Рассмотрение роли дискретности при распространении оптических нелинейных мод и солитонов в системах связанных волноводов с РТ-еимметричным распределением потерь и некачки,

6, Изучение возможности обобщения понятия спектральных особенностей и соответствующего режима когерентного идеального поглощения на случай нелинейных неэрмитовых волноводов.

Методы исследования включают аппарат подходов, используемых при теоретическом исследовании линейных и нелинейных оптических систем на основе

уравнений Гельмгольца, линейного и нелинейного уравнения Шредингера е комплексными оптическими потенциалами. Основные подходы включают себя такие методы нелинейной физики как асимптотический анализ, теория возмущений и бифуркаций, численные методы для нахождения оптических еолитонов и моделирования их распространения в нелинейных волноводах.

Научная новизна исследования заключается в предсказании ряда новых физических явлений, проявляющихся в неэрмитовых оптических волноводах и разработке их теоретического описания, что включает: предсказание немонотонного поведения плотности поперечного потока энергии, переносимого оптической модой, при увеличении амплитуды потерь и накачки; описание нового сценария фазового перехода от вещественного к комплексному спектру через расщепление самодвойственной спектральной особенности в непрерывном спектре; описание бифуркаций РТ-еимметричных нелинейных оптических мод от их линейных аналогов; обнаружение непрерывных семейств локализованных нелинейных мод для класса не РТ-еимметричных комплексных оптических потенциалов; развитие теории дискретных нелинейных мод и еолитонов и обнаруженное существование устойчивых нелинейных мод в линейно-неустойчивых РТ-еимметричных волноводах; обнаружение нового типа оптических еолитонов, формирующихся в волноводах с РТ-еимметричным распределением нелинейного показателя преломления; расширение понятия когерентного идеального поглощения на случай нелинейных волн.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация вносит существенный вклад в теорию неэрмитовых оптических систем. Предсказывается ряд новых эффектов, относящихся как к области линейной, так и нелинейной оптики. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для разработки новых экспериментов с РТ-еимметричными неэрмитовыми волноводами, а также для создания перспективных оптических и фотонных устройств. Разработанное в диссертации обобщение когерентного идеального поглощения на случай нелинейных оптических волноводов открывает путь для даль-

нейшего развития этого направления в других областях нелинейной физики, что включает конденсаты Бозе-Эйнштейна из атомов и экеитонов-поляритонов, акустические системы и другие области физики, где проявляются нелинейные волновые свойства.

Положения, выносимые на защиту:

1, Плотность поперечного потока оптической мощности, переносимая стационарно распространяющейся локализованной модой в РТ-еимметричном волноводе, немонотонно ведет себя при увеличении амплитуды потерь и накачки, При малых амплитудах потерь и накачки плотность поперечного потока растет вместе с ними; однако при приближении стационарной моды к непрерывному спектру или при приближении к слиянию двух мод в исключительной точке увеличение амплитуды потерь и накачки ведет к уменьшению плотности поперечного потока,

2, В комплексных оптических потенциалах с антилинейными симметриями реализуется «фазовый переход» (спонтанное нарушение симметрии) через возникновение самодвойственной спектральной особенности в непрерывном спектре. При расщеплении самодвойственной спектральной особенности пара собственных мод с комплексно сопряженными постоянными распространения появляется из внутренней точки непрерывного спектра,

3, Устойчивость малоамплитудных нелинейных мод, стационарно распространяющихся в волноводе с РТ-еимметричным распределением потерь и накачки, может быть улучшена за счет параметра, характеризующего амплитуду потерь и накачки: нелинейные моды РТ-еимметричного волновода моды могут стать устойчивыми, даже если их аналоги в консервативном волноводе неустойчивы,

4, Существует отдельный класс комплексных оптических, вообще говоря, не

РТ-еимметричных потенциалов, допускающий существование непрерывных семейств стационарных локализованных нелинейных мод,

5, В РТ-еимметричных массивах связанных оптических волноводов существуют устойчивые нелинейные моды, которые могут быть найдены, даже если распространение в соответствующем линейном массиве неустойчиво, то есть даже если спектр его собственных мод содержит комплекенозначные постоянные распространения,

6, В нелинейных РТ-еимметричных периодических потенциалах существуют непрерывные семейства светлых оптических еолитонов,

7, Кольцевой волновод с дефокуеирующей средой и узкими усиливающими и поглощающими слоями имеет собственные моды в виде спектральных особенностей для нелинейных волн. При этом усиливающий и поглощающий слой работают в режиме лазера и антилазера для нелинейных волн. Когерентный идеальный поглотитель (антилазер) для нелинейных волн может быть реализован в массиве связанных волноводов, содержащем один поглощающий волновод.

Апробация работы. Результаты исследований по теме диссертации сообщались автором на публичных докладах на следующих международных конференциях: Third International Workshop on Laser-Matter Interaction (Поркероль, Франция, 2012), SIAM Conference on Nonlinear Waves and Coherent Structures (Сиэтл, США, 2012; публичный доклад и постер), Nonlinear Waves (Пекин, Китай, 2013), The 10th AIMS Conference on Dynamical Systems Differential Equations and Applications (Мадрид, Испания, 2014), III Dynamic Days South America (Винья-дель-Мар, Чили, 2014), XVII International Conference on Foundations & Advances in Nonlinear Science (Минск, Белоруссия, 2014), The International Congress on Industrial and Applied Mathematics ICIAM 2015 (Пекин, Китай), Recent Trends in Modern Optics

(Порту, Португалия, 2016), МЕТАХАХО'17 (Владивосток, 2017), а также на семинарах Московского института электронной техники (Зеленоград, 2014), Лаборатории математической механизации Китайской академии наук (Пекин, 2015), физико-технического факультета Университета ИТМО (Санкт-Петербург, 2017, 2018, 2019), Восточно-китайского педагогического университета (Шанхай, 2019),

Достоверность научных положений и полученных результатов, представленных в настоящей диссертации, подтверждается корректной и обоснованной постановкой задач и публикацией основных результатов в ведущих физических журналах с обязательным рецензированием, а также значительным количеством цитирований, полученных публикациями автора. Предсказанная в диссертации возможность обобщения когерентного идеального поглощения нелинейных воли со случая оптических воли в область нелинейных воли вещества была подтверждена в экспериментах но реализации аитилазера в атомных конденсатах Бозе-Эйнштейна,

Внедрение результатов работы. Часть результатов, полученных в диссертации (в частности, материалы третьей главы), использовались автором дня чтения курса лекций и семинаров «Нелинейные волны» дня магистров-физиков в Лиссабонском университете в 2014/2015 и 2015/2016 учебных годах.

Накопленный в процессе работы над диссертацией опыт изучения предметной области, а также собственные результаты автора но теме диссертации использовались при написании большой обзорной работы по нелинейным волнам в ТТ-

симметричных системах, опубликованной в Reviews of Modern Physics, см. [ 28 ,

Значительная часть основных результатов диссертации была получена в ходе выполнения научного проекта «Нелинейные моды в РТ-симметричных структурах» (Nonlinear modes in parity-time-symmetrie structures), в котором соискатель был руководителем. Проект финансировался португальским фондом Fnndagao para а Cieneia е a Teenologia (FCT); место и период выполнения проекта: Лиссабонский университет, 2013-2015 годы, код проекта: PTDC/FIS-OPT/1918/2012, общий бюджет около 82000 евро. Некоторые результаты диссертации получены в

рамках проекта РНФ «Спектры, резопапеы и локализация в математических моделях волновых процессов» (код проекта 17-11-01004), где соискатель участвовал в качестве исполнителя.

Публикации по теме работы. Основное содержание диссертации опубликовано в в двадцати шести статьях, вышедших в рецензируемых журналах, индексируемых в базах Scopus и Web of Science, в том числе: Physical Review Letters (две статьи), Optics Letters (восемь статей), Physical Review А (пять статей), Xew Journal of Physics, Science Advances, IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics (по одной статье), Enrophysics Letters (две статьи). Список публикаций

соискателя но теме диссертации приведен на стр. I-fM

Личный вклад автора. Автор диссертации внес определяющий вклад в формулировку и постановку задач, выбор методов, проведение аналитических и численных исследований и но.лучение основных научных результатов, представ.лепных в диссертации, а также в подготовку научных публикаций по результатам работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация называется «Оптические волны в неэрмитовых системах с антплинейными еимметриями». Основной текст диссертации написан на русском языке, состоит из введения, пяти глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений и списка .литературы. Основной текст содержит око.ло двухсот страниц, включает око.ло пятидесяти рисунков и одну таблицу. Список цитируемой .литературы содержит двести семьдесят пять наименований.

Обзор основного содержания работы

Во введении обоснована актуальность работы, представлена ее цель, показаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также перечислены положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер и содержит краткую сводку сведений, необходимых дня представления основных результатов диссертации,

В разделе 1.1 РТ-симметрия вводится для уравнения Шредингера в кванто-вомехническом контексте, что соответствует хронологии развития предметной области. Рассматривается система, эволюция которой описывается уравнением Шредингера

д Ф

гН — = Н Ф(г,г), (1)

где Н это неэрмитовый гамильтониан. Фундаментальные физические симметрии задаются оператором пространственной инверсии V, определенным как VФ(г,£) = Ф(—г,£), и оператором обращения времени в смысле Вигнера, определенным как ГФМ) = Ф*(г, —¿) = £Ф(г, — ¿). Здесь и ниже К это оператор поэлементного комплексного сопряжения: ^Ф = Ф*. Оператор V линейный, а оператор Т антилинейный, то есть Т(^Ф + Ф) = ^*ТФ + ТФ для любых Ф и Ф и любого комплексного числа Таким образом, оператор РТ также является ан-тилииейным.

Оператор Н называется РТ-симметричным, если

[РТ, Н] = ГГН — НРТ =0. (2)

Говорят, что оператор Н обладает ненарушенной РТ-симметрией, если помимо определения (|2]) выполняется следующее свойство: каждая собственная функция оператора Н одновременно является собственной функцией оператора РТ. В этом случае из соотношения Нф = £ф следует, что существует такое число что ТТф = ^ф. Из определения (|2|) следует, что существует вещественная константа <р такая, что ^ =

В отличие от самосопряженности, свойство РТ-симметричности (2) не является достаточным дня вещественности спектра. Однако, оно становится достаточным, если дополнительно потребовать, чтобы РТ-симметрия была ненарушенной. Действительно, пусть £ это собственное число оператора Н с собственной функцией ф, то есть Нф = £ф. Применяя оператор РТ к обеим сторонам последнего

равенства, мы получаем Н (ТТф) = £ *(ТТф). Таким образ ом, £ * также является собственным числом. Но если РТ-симметрия не нарушена, то Нф = £*ф,

£

ственным числам, мы получаем, что спектр оператора Н полностью вещественный, Если условие ненарушенной РТ- симметрии не выполняется, то говорят, что РТ-симметрия является нарушенной. Спектр гамильтониана с нарушенной РТ-симметрией содержит одну или несколько комплексно сопряженных пар (£, £*), несмотря па то, что условие (|2| по-прежнему выполняется.

В разделе 1.2 рассматривается важный пример неэрмитового РТ-симметричного гамильтониана в виде оператора Шредингера с комплексным потенциалом и (ж):

й2

Н = -— + и (г), и (ж) = Ке и (ж) + Дт и (г). (3)

ах2

Условие РТ-симметрии эквивалентно требованию четности вещественной части комплексного потенциала и нечетности его мнимой части:

КеМ (ж) = Ке и (-ж), 1т Ы (ж) = -1т И (-ж). (4)

В разделе 1.3 обсуждается понятие так называемого «фазового перехода» от полностью вещественного к комплексному спектру для РТ-симметричного гамильтониана при изменении контрольного параметра и описывается наиболее хорошо изученный сценарий такого фазового перехода в виде перехода через исключительную точку, что соответствует столкновению двух изолированных вещественных собственных чисел с последующим расщеплением на комплексно сопряженную пару, см. график (а) на рисунке |1]

В разделе 1.4 рассмотрение обобщается с класса РТ-симметричных гамильтонианов на случай неэрмитовых систем с произвольными анти.иинейными сим-метриями. Для неэрмитового гамильтониана Н условие антилинейной симметрии соответствует нулевому коммутатору Н] = 0 оде ^ это некоторый линейный оператор. При этом РТ-симметрия оказывается частным случаем с ^ = V. Важ-

1т £

(а)

0

1

->—о—<—о-►

I 11е£

о

1т £

(б)

о

Г

^ 11е5

о

Рисунок 1 Схематичное изображение фазовохх) перехода через исключительную точку (рисунок а) и через самодвойственную спектральную особенность (рисунок б). Красные стрелки соответствуют трансформациям при изменении уеловжнх) контрольнохч) параметра 7. В первом случае два изолированных вещественных собственных числа сталкиваются и расщепляются на комплексно сопряженную пару. Во втором случае комплексно сопряженная пара изолированных собственных чисел возникает из внутренней точки непрерывжих) спектра (который показан толстой синей линией). В зависимости от рассматриваемой физической системы собственные числа имеют смысл энергии, постоянной распространения, химических) потенциала и проч.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Зезюлин Дмитрий Александрович, 2019 год

- о -

0 10 20 Ие к2 30 40

Рисунок 2.9 Вещественные и мнимые части спектра постоянных распространения [Ь = —к2} для разных комбинаций параметров, обозначенных точками а-и на Рис. 2.8(а).

Толстая линия показывает непрерывный спектр, и кружки показывают изолированные постоянные распространения.

увеличение у1 приводит к фазовому переходу через расщепление самодвойствен-

ной спектральной особенности. На Рис, а) это соответствует пересечению между пунктирной вертикальной линией и непрерывной кривой, которое происходит между точками б и в, В результате пара комплексно сопряженных постоянных рас-

пространения появляется из непрерывного спектра, см. Рис, 2ЛЗ в). Дальнейшее увеличение у1 ведет к переходу через новую спектральную особенность, которая соответствует пересечению между вертикальной пунктирной линией и непрерыв-

ной кривой между точками в и г па Рис, В результате дня достаточно

больших значений у1 спектр содержит две комплексно сопряженные пары, как

показано на Рис, 2,9(г).

Поведение системы становится более сложным при больших значениях коэффициента связи у2 [см, точки д-и на Рис, 2,8(а) и соответствующие диаграммы на Рис, 2,9|, Как только у1 становится больше нуля, двойное изолированное вещественное собственное число немедленно расщепляется па комплексно сопряженную пару |точка е па Рис, |2.9(а)|. Таким образом, происходит фазовый переход с нулевым порогом по амплитуде потерь и накачки. Однако при дальнейшем увеличении параметра у1, комплексно сопряженная пара возвращается на вещественную ось — это соответствует самодвойственной спектральной особенности, которая происходит при пересечении между пунктирной вертикальной линией и непрерыв-

ной кривой у2(у1) между точками еижна Рис, 2.8(а). Таким образом, в данном случае мы имеем интересную и редкую ситуацию, при которой увеличение «степе-пи пеэрмитовости» системы ведет фазовому переходу от нарушенной |точка е па

Рис, 2.8(а) и Рис, 2,9(е)[ к ненарушенной [точка ж на Рис, 2,8 ^а) и Рис, 2,9 ^ж)[ ТТ-симметрии. Дальнейшее увеличение у1 ведет к новой спектральной особенности [на

пересечении, расположенном между точками ж и з па Рис, 2,8 а)|, в результате чего происходит новый фазовый переход с появлением комплексно сопряженной

пары из непрерывного спектра [см. Рис, 2,9 ^з)[. Увеличивая у1 далее, мы встречаем еще одну спектральную особенность, где еще одна комплексно сопряженная

пара появляется в спектре постоянных распространения |ем. Рис, 2,9 и)|,

Решения типа аптилазера и лазера представляют собой суперпозицию пеевдоепип-поляризоваппых состояний. Амплитуды разных поляризаций связаны

друг с другом через соотношение

а1 Ьз _ Ми(к.)

а2 Ь4 Мп(к.)

дня моды типа «аптилазер» и через соотношение

аз _Ь1 _ М*1(к.)

(2.83)

(2.84)

а4 Ь2 М*2(к.)

дня моды типа «лазер».

Численные результаты показывают, что | а4/а3| = | Ь2/Ь 1| < 1 [соответствующие графики показаны па Рис. |2.8(в)|. Этот результат говорит о том, что дня моды типа «лазер» рассеиваемые состояния конструктивно интерферируют в состоянии то есть в волноводе с накачкой. Наоборот, решение типа «антилазер» доминирует в компоненте и интенсивность соответствующего решения больше в волноводе с потерями.

Вычисление коэффициентов отражения и прохождения показывает, что все они имеют резонанс в момент, соответствующий самодвойственной спектральной особенности, см. Рис. |2.8(г), где показаны амплитуды всех шестнадцати коэффициентов гар и в зависимости от к при остальных параметрах, соответствующих спектральной особенности

при к. ~ 2.451 (заметим, что амплитуды некоторых из коэффициентов рассеяния оказываются тождественно равны друг другу, и поэто-

му число кривых, видимых па Рис. ^8 у) меньше, чем шестнадцать). «Потенциальная яма», у0 < 0

о

гда вещественная часть показателя преломления в центральной области, где вол-поводы локально связаны, больше чем она же слова и справа от центра. Поведение системы оказывается в этом случае существенно другим. Характерные результа-

ты (соответствующие ь0 = —3) показаны на Рис. 2.10 и Рис. 2.11 В эрмитовом

20 0 10 20 0 амплитуда связи, у2

Рисунок 2.10 — Спектральные особенности в системе с «фермионной» РТ-симметрией. Случай потенциальной ямы с Ьо = — 3 и I = 1. (а) Значения ы и Ь2, соответствующие спектральным особенностям, показаны в виде кривой па плоскости (щ,-^). Черные точки а,б,в соответствуют диахраммам (а,б,в) на Рис. 2.1Ц (б) Спектральные особенности к* как функции коэффициента связи Ь2- (в) Отношение \0,4/0,3 \ между амплитудами двух поляризаций для решения типа «лазер». Здесь РТ-симметрия нарушена при любом ы > 0, то есть спектр содержит одну (или более) пару комплексно сопряженных постоянных распространения.

1

(М

5£

а 0

1—1

-1

(а) о

3

о

-3

(б)

10

20

0 10 Яе к2

20

Рисунок 2.11 Вещественные и мнимые части спектра постоянных распространения для

разных комбинаций параметров, обозначенных точками а,б,в на Рис. 2.10(а). Толстая линия показывает непрерывный спектр, и кружки показывают изолированные постоянные распространения.

1=0

постоянную распространения, см, точку а на Рис, 2.10 а) и соответствующий ей

1

немедленно приводит к расщеплению этой вырожденной моды на пару комплексно сопряженных постоянных распространения, см, точку б на Рис, 2.10[а) и еоот-

1

ствешюй еиектралыюй особенности, расщепление которой приводит к появлению повой комплексно сопряженной нары в спектре, см, точку в па Рис, 2.10[а) и

Рис, 2,11 (в). Таким образом, в рассматриваемом случае расщепление самодвойственной спектральной особенности также происходит, но оно не приводит к фазовому переходу от вещественного спектра к комплексному, так как спектр содержит комплексные постоянные распространения до еиектралыюй особенности,

В качестве других характерных особенностей этого случая, можно заметить, что зависимость гДу2), соответствующая спектральным особенностям, монотонно

к.

2

2

Сравнение со случаем «стандартной» РТ-симметрии

Для того, чтобы лучше понять особенности, привнесенные фермионной ТТ-еимметрией, полезно сравнить полученные выше результаты с более стандартным случаем, когда система связанных волноводов удовлетворяет «стандартной» (четной) РТ-симметрии с (ТТ)2 = X. Для этого мы рассмотрим аналогичную систему волноводов, по с одним отличием: будем считать, что волноводы локально связаны через однородную среду (а не через анти-РТ-симметричную среду, как считалось рапсе). Получившаяся система описывается уравнениями (2.77)-(2.54), по с четной функцией У2(х) = У2(—х). В качестве примера мы рассмотрим локализованную в поперечном направлении связь, дня которой уравнение (2.82) заменяется

У2(Х)

{

(2.85)

следующим:

У2 х е (—1/2,1/2), 0 М >1/2

Получающая после такой модификации система инвариантна относительно преобразования ТТ, где оператор V = а1 меняет местами волноводы, и Т = К это обычное «бозоппое» обращение времени в виде поэлементного комплексного сопряжения. Для такого РТ-оператора полу чаем (ТТ)2 = I. Вместе с тем, получившаяся система более не инвариантна относительно фермионной РТ-симметрии введенной выше.

Для случая потенциального барьера с Уо > 0 полученные результаты показаны на Рис. |2.12|и |2.13|. В эрмитовом пределе у1 = 0 спектр полностью вещественный и непрерывный для относительно слабой связи у2. Для больших значений у2 спектр содержит одну или несколько изолированных постоянных распространения. В отличие от случая фермионной РТ-симметрии, в настоящем случае изолированные собственные числа простые. В качестве иллюстрации, рассмотрим безразмерную амплитуду связи у2 = 10, что соответствует единственной изолированной постоянной распространения в эрмитовом пределе |точка а на Рис. 2,12 ^а) и Рис. 2.13[а)|. Когда амплитуда потерь и накачки у1 становится больше нуля, изолированная постоянная распространения остается вещественной и движется по направлению к

краю непрерывного спектра |точка б на Рис. 2.12 ^а) и Рис. 2.13 б) | и затем сливается с непрерывным спектром. В момент этого слияния спектр становится полно-

стью непрерывным |точка в на Рис. 2.12 а) и Рис. 2.13 в)|. Дальнейшее увеличение у1 от точки в до точки г ведет к возникновению самодвойственной спектральной особенности, в результате которой происходит фазовый переход с появлением комплексно сопряженной пары постоянных распространения из непрерывного спектра |точка г на Рис. 2.12|(а) и Рис. 2.13|(г)|.

Описанное поведение имеет несколько характерных отличий от рассмотренного выше аналогичного случая с фермионной РТ-симметрией, Во-первых, для четной РТ-симметрии зависимость у1(у2), которая соответствует спектральным

особенностям и разделяет области с нарушенной и ненарушенной РТ-симметрией, монотонна, см. Рис, 2.12|(а), Этот результат физически ожидаем, так как дня четной РТ-симметрии система РТ-симметрична «локально», то есть при каждом х

2 1

к.

2

ду амплитудами излучающихся волн |а4| и |а3|, полученное для решения-лазера, монотонно растет при увеличении силы связи,

1 = 0

яппых распространения, то постепенное увеличение амплитуды потерь и пакач-1

1

1

через спектральную особенность. Таким образом, в рассматриваемом случае фазовый переход всегда происходит через расщепление спектральной особенности,

что также видно па Рис, 2.12 а), где положение спектральной особенности разделяет серую и белую области, то есть области с ненарушенной и нарушенной РТ-симметрией.

Наконец, для случая потенциальной ямы с «0 < 0 в эрмитовом пределе спектр содержит две или более изолированных постоянных распространения (в завиеимо-

| о|

1

ведет к фазовому переходу через исключительную точку: при некотором норого-1

понарпо сталкиваются и затем расщепляются па комплексно сопряженные пары. Характерные диаграммы, полученные для у0 = — 3 (что соответствует ровно двух

изолированным собственным числам в эрмитовом продело) показаны па Рис, 2,14

» 10

(а) ; / 4

г: V 3

■к - !£

У**

б* 1

а; - 0

0 10 20 0 10 20 0 амплитуда связи, ь2

Рисунок 2.12 — Спектральные особенности в потенциале с четной РТ-симметрией. Случай потенциального барьера с щ = 8 и I = 1. (а) Значения щ и Ь2, соответствующие спектральным особенностям, показаны в виде кривой на плоскости (щ,-^) и разделяют области с ненарушенной (серая область) и нарушенной (белая область) РТ-спмметрпей. Черные точки а,б,в,г соответствуют графикам (а,б,в,г) на Рис. |2.13|. (б) Спектральные особенности к* как функции коэффициента связи Ь2- (в) Отношение \04/03 \ между амплитудами двух поляризаций для решения типа «лазер».

1

1М

а 0

н-1

-1

20

(М

а 0

н-1

20

(а)

Яе к2

(в)

10

Ее к2

30

1

е

а 0

-I

-1

5

е

ч о

-I

-5

40

(б)

11е к2

(г)

О

10

Яе к'

30

40

Рисунок 2.13 Вещественные и мнимые части спектра постоянных распространения для разных комбинаций параметров, обозначенных точками а,б,в,г на Рис. 2.12(а). Толстая линия показывает непрерывный спектр, и кружки показывают изолированные постоянные распространения.

10

-(а) ! / 4

3

— б- -к

1

а; 0

0 10 20 0 10 20 0 амплитуда связи, г>2

Рисунок 2.14 — Спектральные особенности в потенциале с четной РТ-симметрией. Случай потенциальной ямы с ьо = — 3 и I = 1. (а) Значения Ь1 и Ь2, соответствующие спектральным особенностям, показаны в виде кривой на плоскости (ь1,У2)- Серая и белая область соответствуют ненарушенной и нарушенной РТ-симметрии. Черные точки а,б,в соответствуют графикам (а,б,в) на Рис. 2.15. (б) Спектральные особенности к. как функции коэффициента связи Ь2- (в) Отношение 10,4/0,31 между амплитудами двух поляризаций для решения тина «лазер».

(в)

5 10 15 20 Ие к2

10 15 20

Рисунок 2.15 Вещественные и мнимые части спектра постоянных распространения для

разных комбинаций параметров, обозначенных точками а,б,в на Рис. 2.14(а). Толстая линия показывает непрерывный спектр, и кружки показывают изолированные постоянные распространения.

и Рис. |2.Щ Фазовый переход соответствует границе между серой и белой областями па Рис. 2.14(а). Спектры постоянных распространения, соответствующие точкам а и б па Рис. 2.14|(а) показаны па соответствующих графиках па Рис. 2.15

1

спектральная особенность с появлением повой комплексно сопряженной пары, см.

соответствующую кривую и точку в па Рис. 2,14 4) и график Рис. 2.15 в)

Заключительные комментарии к разделу

В этом раздело было подробно рассмотрено рассеяние па локализованном оптическом комплексном потенциале, описывающимся фермионной (нечетной) ТТ-

симметрией. Рассеиваемое поле содержит две поляризации, и получающийся эффективный гамильтониан имеет матричную структуру. Это требует обобщения стандартных аргументов теории рассеяния, В частности, матрица перехода имеет размер 4 х 4, и иечетная РТ-симметрия связывает ее два диагональных и два антидиагональных блока размера 2 х 2. Показано, что спектральные особенности могут реалпзовываться двумя разными способами: в первом случае обращается в ноль определитель диагонального матричного блока матрицы перехода, а во втором случае все элементы блока обращаются в ноль. Однако второй сценарий пока остается гипотетическим и не был обнаружен при непосредственных вычислениях, В силу РТ-еимметрии каждая спектральная особенность самодвойственная.

Рассматривая в качестве примера систему двух связанных волноводов, мы подробно изучили спектральные особенности, показали возможность фазового перехода через расщепление самодвойственной спектральной особенности, а также встретили довольно интересную ситуацию, когда увеличение амплитуды потерь и накачки ведет не к нарушению РТ-еимметрии (как случается в большинстве ситуаций), а к восстановлению РТ-еимметрии, то есть к фазовому переходу от комплексному спектру постоянных распространения к вещественному. Было также встречено два других сценария фазовый перехода: 1) через исключительную точку и 2) беспороговый фазовый переход, при котором сколь угодно малая амплитуда потерь и накачки ведет к расщеплению двойной постоянной распространения на комплексно сопряженную пару. Для последнего сценария нечетная ТТ-симметрия особенно важна, так как соотношение (РТ)2 = —I гарантирует, что каждое вещественное собственное число является как минимум двойным.

Полученные результаты для нечетной РТ-еимметрии были также сопоставлены с поведением аналогичной системы волноводов с «обычной», четной ТТ-симметрией, и были выявлены и описаны наиболее характерные отличия, С другой стороны можно также выделить несколько довольно общих свойств, которые имеют место как для нечетной, так и для четной РТ-симметрии, В частности,

анализируя все рассмотренные случаи, можно заметить, что в параметрической окрестности каждой сисктралыюй особенности спектр либо полностью непрерывный либо содержит комплексно сопряженные нары. Другими словами, если спектр содержит изолированную вещественную постоянную распространения, то спектральная особенность не происходит (аналогичное наблюдение дня однокомно-нентного рассеяния на потенциале с четной РТ-симметрией было недавно описано в |206|), Также интересно заметить, что во всех встреченных случаях комплексно

сопряженные пары никогда по сосуществуют с вещественными изолированными собственными значениями. Кроме этого, отметим, что при рассеянии па потенциальной яме расщепление спектральной особенности по является границей между ненарушенной и нарушенной РТ-симметрией: это расщепление лишь ведет к появлению новых комплексно сопряженных пар вдобавок к тем, что уже появились в спектре в результате других механизмов фазового перехода. При рассеянии па потенциальном барьере фазовый переход действительно может происходить через расщепление спектральной особенности.

2.4 Краткие итоги главы 2

В этой главе было описано несколько эффектов, связанных с «фазовым переходом» от вещественного спектра постоянных распространения к частично комплексному (или наоборот) в неэрмитовых волноводах с РТ-симметричным распределением потерь и пакачки, а также с более общими аптилипейпыми еиммет-риями.

Первый результат заключается в описании аномального (немонотонного) поведения плотности поперечного потока энергии в волноводе при увеличении амплитуды потерь и пакачки. Показано, что такое немонотонное поведение наблюдается в двух достаточно общих ситуациях: 1) когда при увеличении амплитуды потерь и пакачки одна из изолированных вещественных постоянных распространения приближается к краю непрерывного спектра или 2) при приближении к

исключительной точке, переход через которую ведет к спонтанному нарушению ■РТ-симметрии.

Второй результат заключается в описании фазового перехода через расщепление самодвойственной сиектралыюй особенности в непрерывном спектре на пару комплексно сопряженных постоянных распространения. Фазовый переход такого типа существенного отличается от лучше изученного перехода через исключительную точку. Эффект проиллюстрирован для планарных волноводов с ТТ-симметричным (более обще говоря — с апти.нипейпо-симметричпым) распределением потерь и накачки, а также дня системы из двух связанных волноводов, которая характеризуется нечетной, «фермионной» РТ-симметрией, В качестве интересного побочного результата для последней системы описана ситуация, когда увеличение амплитуды потерь и накачки ведет к фазовому переходу от нарушенной к ненарушенной РТ-симметрии (то есть от частично комплексного к полностью вещественному спектру постоянных распространения). Таким образом, показано, что увеличение потерь и накачки может «улучшить» устойчивость системы, в противоположность стандартному сценарию, при котором увеличение иеэрмитовости ведет к нарушению РТ-симметрии, то есть возникновению комплексных постоянных распространения в спектре распространяющихся мод.

Наконец отметим, что понятие сиектралыюй особенности можно также ввести и дня локализованных иеэрмитовых оптических потенциалов, образующихся за счет одного |207| или нескольких |208 кольцевых микрорезопаторов с потерями или накачкой, связанных с волноводом, но которому распространяется свет. Получающийся рассеиватель также может реализовывать режим «лазера-аитилазера», а также «фазовый переход» и резонансы коэффициентов рассеяния.

ГлЯВ8) 3

Нелинейные моды в комплексных оптических потенциалах

В этой главе будут подробно изучены локализованные моды в нелинейных оптических волноводах с комплексными потенциалами. В качестве основной рабочей модели дня первых двух разделов этой главы будет использоваться нелинейное уравнение Шредипгера с оптическим потенциалом (1.23), см. разданы 1.6.2 и 1.6.3

В последнем раздело главы будет рассмотрена другая ситуация, когда комплексный оптический потенциал соответствует проетрапетвеппо-пеодпородпой нелинейности.

Представление оеповпых результатов следует работам 190-92 (раздел 3.1 , 1209

210 (раздел 3.2 ) и | 211 212|(раздел 3.3

3.1 Нелинейные моды в ТТ-симметричном параболическом потенциале

Модель

В качестве примера для описания нелинейных оптических мод в ТТ-еимметричпых потенциалах рассмотрим случай, когда распределение комплекс-позначного показателя преломления в поперечном направлении соответствует параболическому оптическому потенциалу вида

и (х) = — (х2 — 2гуж)

(3.1)

в уравнении (1,23), Такая ситуация соответствует максимуму вещественной части

показателя преломления при х = 0. Вещественный параметр у > 0 описывает амплитуду пространственно распределенных потерь и накачки, так что область х < 0 является усиливающей, и область х > 0 является поглощающей. Отметим, что бесконечный рост потерь и усиления, описывающихся линейным профилем 2^х, строго говоря, невозможен, но для локализованных состояний, рассматриваемых в этом разделе, линейно растущий профиль может быть со сколь угодно хорошей точностью приближен ограниченным распределением потерь и накачки, которое линейно растет только в некоторой окрестности х = 0, где сосредоточена большая часть мощности локализованной моды, см, например оптический потен-

циал на Рис, L2(b), Мы рассматриваем стационарно распространяющиеся моды в виде ^(x,z) = ф(х)ег^г, оде ß это вещественная постоянная распространения, и ф(х) описывает стационарное распределение интенсивности луча, локализованное в поперечном направлении:

lim ф(х) = 0. (3.2)

Локализованные моды несут конечную мощность, которая в рамках рассматриваемой обезразмеренной модели может быть охарактеризована величиной

/те

Щ2йх. (3.3)

-те

Дня дальнейшего анализа удобно ввести «сдвинутую» постоянную распространения b = ß + 72. Тогда для функции ф(х) получается нелинейное стационарное уравнение

rl2ih

-ф - Ъф - (х - i1)2ф + д1ф12ф = 0. (3.4)

Напомним, что здесь и далее д = ±1 это безразмерный коэффициент перед нелинейностью. Случаи д = 1 и д = —1 соответствуют нелинейным волноводам с фокусирующей и дефокусирующей средой.

Линеиныи случаи

Перед тем, как переходить к нелинейным модам, опишем наиболее важные свой-

ства линейного сну чая |87-89|

¿2

£пфп = о, Сп = — ьп — (х — ъ^)2, (3.5)

который может быть формально получен из уравнения (р.4), полагая в нем д = 0

Линейная модель (3.5) описывает распространение луча ф(х) инфинитезимально малой амплитуды, когда нелинейный член 1ф12ф становится пренебрежимо малым

но сравнению с остальными, В уравнении (3.51 и далее в этом раздело тильда соответствует решениям линейной задачи. Множество собственных чисел задачи ([3.5] не зависит от у и состоит го эквидистантной последовательности Ьп = — (2п + 1), п = 0,1,.... Соответствующие собственные функции могут быть выписаны как фп(х) = спфп(х — г^), оде фп(х) = Нп(х)е~3,2/2 это мода Гаусса-Эрмита с номером п, / фп(х)ф*п(х)в,х = 5п,ту/тг2пп\, Нп(х) это многочлен Эрмита с номером п, и сп это положительная константа нормировки, выбранная так, чтобы удовлетворялось условие / фп(х)фп(х)в,х = 1 (здесь и далее в этом разделе знак интеграла означает интегрирование по всей прямой х).

В отличие от консервативного случая су = 0 Для 1 > 0 собственные функции фп(х) не взаимно ортогональны. Используя соотношение (см., например,

213

Нп(х + х0) = Х^п=о ^п(2х0)п кНк(х), оде Скп = п\/[к\(п — к)!] это биномиальные коэффициенты, для любых пит можно вычислить

г- Р

(хмт(х)ах = спсте~ ^ ^СккС^2к^<-^п~к<^п+т~2к

фп(х)ф*т (х)йх = спстеа2 2к к!(—1)п~к (2ъ1 )п

к=о

спсте^2 ^ г3п+™у {—212),

где р = шш(п,т), 8 = |п — га|, и это обобщенный многочлен Лагерра |93

Полагая п = т, мы получаем выражение для коэффициенте в нормировки сп:

е ~12/2

Сп = ,--==. (3.6)

При 7 = 0 собственные функции фп(х) вещественнозначные (с точностью до тривиального фазового сдвига а ег1р). Более того, если у = 0, то фп(х) это четная (нечетная) функция х для четного (нечетного) п. При у = 0 собственные функции комн.некснозначные и больше не являются ни четными ни нечетными. Однако, выбирая правильный фазовый сдвиг, можно добиться того, что собственные функции будут РТ-симметричными, то есть обладать четной вещественной частью и нечетной мнимой частью (или наоборот).

Бифуркации нелинейных мод

Возвращаясь к нелинейной задаче (3^1, мы будем использовать теорию бифуркаций дня того, чтобы отследить ветвления семейств нелинейных мод от тривиального нулевого решения ф(х) = 0 при изменении постоянной распространения. Эти ветвления происходят при значениях постоянной распространения Ь, соответствующих собственным числам линейной задачи, то есть значениям Ьп, п = 0,1,.... Нелинейные моды фп(х), принадлежащие семейству с номером п, обладают той же симметрией, что и собственная функция линейной задачи с тем же номером фп(х). В окрестности бифуркации нелинейные моды семейства с номером п могут быть описаны с помощью асимптотических разложений

фп(х) = ефп + £31^п3) + о(е3), Ьп = Ьп + де2 Ъ<$ + о{е2), (3.7)

где е ^ 1 это формальный малый параметр, который характеризует амплитуду нелинейной моды. Таким образом, в главном порядке форма нелинейной моды пропорциональна линейной, а в пределе е ^ 0 разложения (3,7) дают тривиальное

нулевое решение фп = 0, и значение постоянной распространения Ьп становится равно значению, соответствующему линейной задаче. Так как нормировка собственных функций линейной задачи фп(х) предполагает, что каждая из них несет единичную безразмерную мощность, то в главном порядке полная мощность нелинейной моды Рп = § 1фп(х)124х равна £2. В окрестности бифуркации зависимость

мощности нелинейной моды от постоянной распространения Ьп имеет вид

Рп(Ьп) = , Ьп ^ Ьп. (3.8)

д Ьп'

Так как разложения (3.7) описывают малоамплитудиые нелинейные моды, которые но форме близки к линейным, будем говорить, что эти разложения описывают бифуркации нелинейных мод из линейного предела. Коэффициенты разложения 'Ып^ и Ьп' подлежат определению. Для вещественных потенциалов разложения

вида (3.7) использовались в |214.215|,

Отметим, что особенность параболического потенциала заключается в том, что в линейном пределе спектр постоянных распространения полностью дискретен, то есть непрерывный спектр отсутствует. Однако дня оптических потенциалов с непрерывным спектром малоамнлитудные локализованные нелинейные моды также могут бифурцировать от границы последнего. Пример такой ситуации описан в 11341, Дня описания такой бифуркации разложения ([3.7| неприменимы.

Подставляя разложения (3/Г) в исходное уравнение ф.4| и собирая члены, но-

2

уравнения с е и е2 удовлетворяются автоматически, а в третьем порядке по е полу чается уравнение

С^' = дЪ^фп - дф2пф*п, (3.9)

где Сп это несамосопряженный линейный оператор, определенный в (3.51. Неод-

нородное линейное уравнение (3.9) разрешимо относительно 1Ип3, только когда выражение, стоящее в правой части, ортогонально всем функциям из ядра оператора, сопряженного Сп. Кроме нулевого вектора ядро оператора Сп, очевидно, содержит только функцию фп (с точностью до произвольного числового коэффициента). Сопряженный оператор получается взятием обычного комплексного сопряжения: С = С*, и его ядро натянуто на функцию ф*п. В результате требование ортогональности в Ь2 дает значение коэффициента разложения для постоянной

распространения:

^(2) = И Фи(х)Фп(х)^ ^

п 1гФп (х¥х

Так как постоянная распространения, соответствующая стационарной нелинейной моде, должна быть вещественной, разложения (3.71 имеют смысл только соли (2)

коэффициент Ьп) вещественен, При у = 0 собственные функции вещественнознач-пые, и условие веществеппости, очевидно, выполняется |214 215 , При ненулевом у собственные функции фп не являются вещественнозначными, и поэтому вещественность коэффициента Ъ^ может быть по очевидна заранее. Однако, используя тот факт, что функции ^„являют ся РТ-симметричными, то есть обладают вещественными и мнимыми частями противоположной четности, можно легко показать, что коэффициент Ьп)

и для всех п. Поэтому разложения (3,7) действительно имеют смысл и описывают бифуркации непрерывных семейств нелинейных мод от пулевого решения.

Следует подчеркнуть, что условие РТ-симметричности действительно важно для

(п )

комплексных потенциалов общего вида, можно видеть, что этот коэффициент, во-

обще говоря, комплексный, см, например, |216 217 , что еще раз иллюстрирует

особенность свойств РТ-симметричных потенциалов.

Используя явные выражения для собственных функций фп, для двух первых семейств (п = 0 и п =1) получаем

ъ? = , Ы2 = 1 + 212 —/. (3.11)

Из этих уравнений следует, что &02) положительно для всех у, Ь^ положительно для малых у, но становится отрицательным при у > л/1 + —2 ~ 1.55. Вычисляя значение коэффициента Ъ{2) дня следующих семейств, можно убедиться, что дня п = 2 этот коэффициент &22) меняет знак дважды, но для п = 3 коэффициент Ь^2) меняет знак только один раз, становясь отрицательным для больших у.

Уравнения (3.11) также показывают, что коэффициенты б01 быстро растут с

увеличением амплитуды потерь и накачки 7, Учитывая, что коэффициенты Ъ0?' и Ъ{2' имеют противоположные знаки при 7 » 1, исходя из уравнения (3.8), ко-

(2'

торое показывает, что угол наклона кривой Рп(Ьп) обратно пропорционален Ьп', можно ожидать, что для больших 7 и д < 0 нелинейные моды, бифурцируюшие из Ь0 и Ь\ сливаются при некотором значении мощности Р. Такая ситуация существенно отличается от известных результатов дня вещественного параболического потенциала, в котором нелинейные моды, бифурцирующие из разных состояний

линейной задачи, не сливаются 214.215.218 219

Численный подход для нахождения нелинейных мод

Дня того, чтобы проверить полученные выше на основе анализа асимптотических разложений предсказания, перейдем к рассмотрению нелинейных мод конечной амплитуды. Они могут найдены численно с помощью стандартных итерационных методов решения нелинейных краевых задач на основе метода Ньютона |143|, При

этом информация, полученная из асимптотических разложений ([3.7), может быть использована для задания подходящего начального приближения.

Однако более иллюстративным является численное нахождение нелинейных мод с помощью модификации метода стрельбы, применявшегося ранее дня нели-

нейных мод в вещественном параболическом потенциале 1219 222 . Действительно, рассматривая стремящиеся к нулю при х ^ ж решения уравнения (3.4), мы заключаем, что при достаточно больших х » 1 роль нелинейного члена становится пренебрежимо малой, и затухающий «хвост» нелинейной моды на самом деле описывается линейным уравнением

-Г^- Ьф - (х -%7)2ф = 0. (3.12)

ах2

Любое стремящееся к нулю при х ^ <х> решение последнего уравнения имеет

асимптотическое поведение (см. напр., 1219

ф(х) = (С + о(1))Р (х - г у), где Р (г) = г-(ь+1)/2е/2, (3.13)

где С это некоторая константа. Важно, что без потерн общности достаточно рассматривать только вещественные (и положительные) значения С, так как в силу вращательной [то есть и(1)] симметрии уравнения поворот константы С на любую фазу (С ^ Сегр) эквивалентен сдвигу самого решения на ту же константу ф ^ фегр, что, очевидно, не меняет физических свойств решения.

Рассматривая уравнение (3,13) как исходную точку дня численной процедуры, мы можем использовать его чтобы аппроксимировать значение решения ф и его производной дьф/дьх с любым С для некоторого достаточно большого х = х0 ^ 1, где асимптотика «работает» с необходимой точностью. Тогда решение ф(х; С) в оставшемся интервале (х1,х0), оде х1 — произвольное, может быть найдено численно непосредственным решением нелинейного уравнения ([3.4) с начальными данными ф(х0;С),фх(х0;С), полученными из (3,13), Конечно, для произвольного значения С найденное таким образом решение ф(х) не будет удовлетворять нулевому граничному условию при х ^ — ж, то есть не будет локализованной модой. Численный метод, таким образом, сводится к нахождению тех значений

С

щим ф ^ 0 при х ^ ж, Используя тот факт, что искомые нелинейные моды РТ-симметричны (что следует из асимптотических разложений для малоампли-тудпых решений), можно показать, что дня нахождения решения необходимо и достаточно найти значения С, при которых при х = 0 выполняется соотноше-

ш

¿ф(х; С)

пне

Кеф(0;С) Пе Л'Ф(Х]С)

+ Шф(0;С) 1т

х=0 ^х

= 0,

х=0

¿X

где Ие и 1т это вещественные и мнимые части, соответственно. Условие ([Ш] эквивалентно требованию

0. (3.15)

<!х х=0

то есть симметричности амплитуды поля 1ф(х) | относительно х = 0.

Таким образом, дня того чтобы пайти локализованные нелинейные моды, тре-

буется решить уравнение (3,14) относительно одного вещественного неизвестного

С

описанный подход не требует ни предварительной информации о форме нелинейных мод, ни начального приближения дня начала итерационной процедуры.

Семейства нелинейных мод

Используя описанный численный метод, мы построили семейства стационарных

показы-

мод для нескольких значений амплитуды потерь и накачки 7, Рисунок 3,1 вает результаты в виде зависимостей величины дР от постоянной распространения

оси дР = 0 (показана пунктиром), соответствуют стационарным модам под действием фокусирующей нелинейности, в то время как кривые ниже горизонтальной оси соответствуют дефокусирующей нелинейности. Толстые и тонкие фрагменты кривых соответствуют участкам с устойчивыми и неустойчивыми нелинейными модами (см, анализ устойчивости ниже).

График с 7 = 0 соответствует хорошо изученному консервативному случаю 214, 215, 218, 219]. Увеличивая амплитуду потерь и накачки сначала до 7 = 0.15

и затем до 7 = 1, мы получаем, что при последнем значении нелинейные моды, выходящие из Ь0 = -1 и Ь\ = -3 действительно сливаются в одно семейство в дефокусирующем случае, как и предсказывалось на основе анализа асимптотических разложений. Аналогичная ситуация происходит дня двух следующих семейств, выходящих из Ь2 = -5 и Ь3 = -7), Дальнейшее увеличение 7 (см, случай 7 = 2) ведет к еще более сложной структуре нелинейных мод, когда следующие семейства, выходящие из Ь4 = -9 и Ь5 = -11, оказываются объединены в одно «петляющее» семейство, которое проходит через различные линейные состояния сп = 2, 3, 4, и 5. При 7 = 2 можно видеть слияние различных семейств не только в дефокусирующей, но и в фокусирующей среде. Так как 7 = 2 > \] 1 + л/2, урав-

нение (3,11) подразумевает, что коэффициент Ь^ отрицателен для этого значения 7, и, соответственно, в отличие от случаев 7 = 0, 7 = 0.15 и 7 = 1, угол ¿(дР)/№ отрицателен в окрестности бифуркации из точки Ь\.

дР

дР

30 20 10 0 -10 -20

1111 7 = 0.15 1 А \ /

/ /\ /.....

-9-7-5-3-1 1 3 5

Ь

10

эр о

-5

дР

-9 -7 -5 -3-11 3

Ъ

Ь

Рисунок 3.1 — Несколько первых семейств локализованных нелинейных мод в РР-симметричном параболическом потенциале для различных значений параметра у. Семейства показаны в виде зависимостей дР от Ь, где д = ±1 это безразмерный нелинейный коэффициент, Р это безразмерная мощность нелинейной моды и Ь это безразмерная «сдвинутая» постоянная распространения. Случаи д = 1 и д = —1 соответствуют фокусирующей и дефокусирующей нелинейности. Номера семейств п = 0,1,... показаны на графике су = 0. Фрагменты кривых, соответствующие устойчивым и неустойчивым решениям, показаны толстыми и тонкими кривыми, соответственно. Решения, отмеченные

точками (а,б,в,г) на графике у = 1 показаны в явном виде на Рис. 3.2

1.5

2 1 •С-5

"¿Г

Х0.5

1.5 ^ 1

0.5 0

" Л 1 1

11 Л ~

-6 -з 0 3 6

X

1 1

, /

1

,-.0.75

•С-5 ^ 0.5 ^ ■ А

Ж 0.25 ■ V

0 , л, IV

-6-3 0 3

X

-6 -3 0 X

2 1

(г)

„_ч 1.5 -

н

1 -

о.

0.5 -

0 1

Рисунок 3.2 — Амплитуда р(х) = \ф\ и плотность поперечного поток а энергии ](х) для устойчивых нелинейных мод при 7 = 1, отмеченных точками (а,б,в,г) на соответствующем графике Рис. |З.Ц

На Рис. 3.2 показаны амплитуды р(х) = \ф\ и плотности поперечного потока энергии ](х) = p2d(aтg ф)/йх для нескольких устойчивых нелинейных мод при 7 = 1. Как р(х), так и ] (х) это четные функции. Для всех показанных решений ] (х) достигает максимума при х = 0, Положительное значение потока ](х) > 0 говорит о потоке энергии слова направо, что согласуется с расположением усиливающих и поглощающих областей при х < 0 и х > 0, соответственно. Амплитуда поля имеет максимум при х = 0 для мод, соответствующих точкам (а), (б) и (г), и локальный минимум при х = 0 для моды, соответствующей точке (в).

Отметим, что аналог «объединения» различных семейств нелинейных мод в одно семейство, обнаруженного на Рис. |3.1| можно также получить, если вместо

изменения постоянной распространения при фиксированной амплитуде потерь и накачки 7 рассмотреть, что происходит с решениями при фиксированной постоян-

ной распространения, но увеличивающемся у. Для различных РТ-симметричных

ви нелинейных моды попарно сталкиваются, образуя бифуркации типа «складка». Поело этого столкновения нелинейные моды перестают существовать. В некотором смысле этот процесс можно рассматривать как нелинейный «аналог» фазового перехода между ненарушенной фазой (до бифуркации) и нарушенной (поело бифуркации).

Устойчивость нелинейных мод

Оптические лучи, распространяющиеся в нелинейных средах, могут быть подвержены пеуетойчивоетям различного вида. Исследование устойчивости играет важную роль, т.к. последняя является необходимым условием экспериментальной достижимости соответствующего решения. Одним из традиционных подходов к анализу устойчивости является исследование линейной (спектральной) устойчивости нелинейной моды по отношению к малым возмущениям |143 144. 223]. Следуя

стандартной процедуре, мы рассматриваем распространение возмущенной стационарной моды в виде

Ф(х, г) = [фп(х) + и(х)е+ у*(х)е], (3.16)

где и(х) и у(х), \и, ь\ ^ 1, описывают поперечное распределение возмущения, и ш это комплексный параметр, спектр значений которого характеризует устойчивость нелинейной моды фп(х). Мода является неустойчивой, если имеется возмущение, соответствующее ш с отрицательной мнимой частью, 1т ш < 0.

Подставляя (3.16) в уравнение (1.23) и проводя линеаризацию относительно

и

'Ь + 2д\фп\2

(Ь + 2д\фп\2 дфП \ (и\ , ,

Ьр = ш р, гае Ь = , р = , (3.17)

V — 9 (ФП )* — Ь — 2д\фп\2)

п — — \ п

¿2

Ь = йХ2 — ьп — (х —%1)2- (ЗЛ8)

Линейный оператор Ь обладает следующими свойствами. Если ш это собственное число Ь, соответствующее собственному вектору (и(х), у(х))т, то —ш* это тоже собственное число с собственным вектором (у*(х),и*(х))т. Используя ТТ-симметрию нелинейных мод \фп(х) = ф**(—ж)], можно также увидеть, что ш* это тоже собственное число с собственным вектором (и*(—х),у*(—х)). Кроме этого, ш = 0 это собственное число Ь с собственным век тором (фп(х), —ф*п (х))т.

Исследование устойчивости малоамлитудных нелинейных мод

В общем сну чае задача на собственные значения (3.17|-(3.18| может быть решена

только численно

143|, Однако в ряде предельных случаев, она допускает аналити-

Ь

семейства непрерывных мод из линейного предела. В самой точке бифуркации с

номером п, то есть при е = 0 в разложениях (3.7), оператор Ь принимает вид

Ь = Ь» = ( С0 — аО • (ЗЛ9)

где оператор Ага определен в (3.5). Вследствие диагональной структуры операто-

ра Ьп его спектр состоит из объединения двух бесконечных последовательностей. Собственные числа и собственные вектора первой последовательности записываются как

= 2(п — к), р2> =(фк (х), 0)т, к = 0,1,.... (3.20)

Вторая последовательность записывается как

ш,

(11) = —2(п — к), р™ = (0,ФК*))Т, к = 0, 1}.... (3.21)

га,к

Таким образом, оператор Ьга имеет двойное нулевое собственное число ^га = = 0, которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора р^га и р^™ . В комплексном потенциале общей формы, при переходе от линейного предела е = 0 к ненулевому е > 0, двойное нулевое собственное число расщепляется на пару простых собственных чисел (см., например, |216|), Однако

в РТ-симметричном случае это расщепление произойти не может. Действительно,

свойства оператора Ь, описанные выше, означают, что если нулевое собственное число расщепляется па пару простых, по эти новые собственные числа будут либо вещественными и с противоположными знаками, либо комплексно сопряженными. Обе этих возможности означают, что при е = 0 нулевое собственное число ш = 0 более не принадлежит спектру оператора Ь, что невозможно. Таким образом, двойное нулевое собственное число останется таким и при е = 0.

Кроме двойного нулевого собственного числа спектр оператора Ьп содержит 2п двойных собственных чисел: Пп,к = ш^ = шЩ^п-к> гЛе ^ пробегает по всем целым числам от 0 до 2 п кроме к = п. В случае общего положения каждое из двойных собственных чисел Пп,к также расщепляется на пару простых, которые будут либо оба вещественными, либо комплексно сопряженными. При этом противоположное двойное собственное число Пп,2п-к = —Пп,к будет расщепляться таким же образом. Так как двойные собственные числа Пп,к и Ппу2п-ь ведут себя аналогично, то достаточно рассмотреть только п положительных собственных чисел Пп,к, которые соответствуют к = 0,... ,п — 1. Каждое двойное собственное число Пп,к является иолупроетым, так как линейное подпространство соответствующих собственных векторов натянуто на пару линейно независимых векторов \ = (фк, 0)т и

рп,2п-к = (0,Ф**п-к )Т■

Дня анализа расщепления двойных собственных чисел, будем использовать

уравнения (Зл ), которые ведут к следующему асимптотическому разложению для

оператора линейной устойчивости:

Ь = Ь п + д £ 2Ьп2) +о(е2), (3.22)

где

(2) / + 2\фп\ Ф1 .

Ьп2) = I -2 (2) _ I . (3-23)

— (ф1 )* № — 2\фп\

Следуя стандартным аргументам теории возмущения линейных операторов |В7

(см. также [224|, Добавление), расщепление двойного собственного числа Пп,к при

возмущении описывается разложением

^пки(е) = + де2^ + Ф2), е ^ 0, (3.24)

где ^га.'"2(£) эт0 паРа простых собственных чисел, появляющаяся в результате расщепления двойного, и ^ эт0 собственные числа следующей матрицы:

( /т(2)Р(/) р(/)п /т(2)Р(//) р(/)п \

\Ьп рга,к, рга,к ) \Ьп рп'2п-к, рп,к )

где \а, Ъ) = / Ъ^ (х)а(х)ё,х. Если оба собственных числа матрицы Мга,к вещественны, то простые собственные числа, расщепляющиеся из двойного ПП'к, также вещественны, по крайней мере, для достаточно малых е > 0. Если такая ситуация имеет место для всех к = 0,1,... ,п — 1, то можно утверждать, что нелинейные моды фп (х), принадлежащие семейству с номером п, устойчивы вблизи линейного предела. Если же для какого-либо к матрица Мга,к имеет комплекснозначное собственное число, то расщепление двойного собственного числа Пп,к ведет к появлению пары комплексно сопряженных собственных чисел в спектре оператора линейной устойчивости. Как минимум одно из этих собственных чисел будет иметь отрицательную мнимую часть, что означает, что нелинейные моды, принадлежащие семейству с номером п, неустойчивы вблизи линейного предела. Так как для п = 0 ни одного двойного собственного числа Пп,к не существует, мы заключаем, что решения, принадлежащие семейству с номером п = 0, всегда устойчивы вблизи линейного предела. Заметим также, что все эти рассуждения не зависят от знака коэффициента перед нелинейностью д. Это означает, что устойчивость малоамплитудных нелинейных мод одинакова в фокусирующей и дефокусирующей среде.

Учитывая РТ-симметрию собственных функций фп(х), элементы матрицы

Мп,к могут быть представлены в форме

(М ) = Л(2) +2 / \фп \2ф2Лх (М ) = ф*2п-к(х

(Мп,к )1,1 = — оп + 2-—-, (Мп,к )\,2 = --,