Оптические вихри в циркулярных оптических волокнах с изгибными регулярными и вихревыми акустическими модами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Викулин Дмитрий Вячеславович

• Викулин Дмитрий Вячеславович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Викулин Дмитрий Вячеславович

Реферат

Synopsis

Введение

ГЛАВА 1. LP моды и оптические вихри в циркулярных оптических волокнах с фундаментальной изгибной волной

1.1 Модель циркулярного волокна с фундаментальной линейно-поляризованной изгибной волной с учетом квадратичных по деформации членов

1.2 Резонансные оптические моды циркулярного волокна в режиме нелинейного акусто-оптического взаимодействия

1.3 Акусто - оптическая конверсия CP мод и инверсия топологического заряда оптических вихрей высшего порядка

1.4 Управляемая поляризацией акусто - оптическая инверсия знака топологического заряда оптического вихря

1.5 Логический элемент «Управляемое - НЕ» для состояний оптических вихрей

1.6 Топологический эффект Фарадея для оптических вихрей в магнитных пленках

1.7 Основные результаты главы

ГЛАВА 2. Оптические вихри в циркулярных волокнах с циркулярно-поляризованным изгибным акустическим вихрем с единичным топологическим зарядом

2.1 Упругие моды цилиндра в форме изгибиых акустических вихрей

2.2 Модель циркулярного волокна с бегущим циркулярно-поляризованным изгибным акустическим

вихрем с единичным топологическим зарядом

2.3 Резонансные оптические моды циркулярного волокна в присутствии циркулярно - поляризованного изгибного акустического вихря с единичным топологическим зарядом

2.4 Акустически индуцируемая генерация оптических вихрей

2.5 Фотон - фононное орбитально - орбитальное и спин-орбитальное взаимодействие

2.6 Основные результаты главы

ГЛАВА 3. Оптические вихри в циркулярных волокнах с циркулярно-поляризованными изгибными акустическими вихрями высших порядков

3.1 Модель циркулярного волокна с бегущим циркулярно-поляризованным изгибным акустическим

вихрем высшего порядка

3.2 Резонансные оптические моды циркулярного волокна в присутствии циркулярно - поляризованного изгибного акустического вихря высшего порядка

3.3 Акустически управляемая генерация оптических вихрей высших порядков

3.4 Фотон-фононное орбитально-орбитальное и спин-орбитальное взаимодействие

3.5 Основные результаты главы

Заключение

Список литературы

Приложение А Тексты статей

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптические вихри в циркулярных оптических волокнах с изгибными регулярными и вихревыми акустическими модами»

Актуальность темы

Волоконно-оптические линии связи, как основа информационно-телекоммуникационных технологий, претерпели значительный рост пропускной способности с начала их масштабного развертывания. За четыре десятилетия пропускная способность каналов передачи информации увеличена на пять порядков [1-3]. В то же время, объем передаваемой информации продолжает экспоненциальный рост. Поскольку пропускная способность одномодовых оптических волокон быстро приближается к пределу Шеннона, обусловленному эффектом Керра [4], все более актуальной становится проблема качественного увеличения скорости обработки и передачи данных.

В настоящее время, основные подходы в масштабировании пропускной способности каналов передачи данных включают в себя различные методы мультиплексирования, модулирующие оптическое излучение по длине волны, фазе, состоянии поляризации как по отдельности, так и в различных комбинированных многоуровневых методах [4-6]. Многообещающим подходом является метод пространственного мультиплексирования, заключающийся в физическом разделении потоков данных в различных сердцевинах много-сердцевинных волокон [7-9] или в возбуждении набора волоконных мод в многомодовых волокнах [10-13]. Последний метод также известен как модовое мультиплексирование. Несмотря на впечатляющий прогресс в исследовании много-сердцевинных волокон, данный подход обладает существенными неустранимыми недостатками: значительные перекрестные помехи, ограниченное количество сердцевин, общая хрупкость волокна, сложность изготовления. В случае модового мультиплексирования модовые состояния в волокне имеют значительное пространственное перекрытие, приводящее к паразитным перекрестным взаимодействиям, в

результате требующее применения сложных алгоритмов обработки информации [14; 15].

Один из способов уменьшения нежелательных межмодовых связей заключается в использовании в качестве базиса переносящих орбитальный угловой момент (ОУМ) [16; 17] мод высших порядков взамен стандартных ЬР мод. Потенциальным преимуществом техники кодирования информации в значениях ОУМ - ОУМ-мультиплексирования [18-22] - является возможность кодирования и передачи информации посредством теоретически неограниченного числа состояний с различными значениями ОУМ одновременно, поскольку такие состояния взаимно ортогональны, что позволяет добиться существенного увеличения пропускной способности каналов передачи данных. Кроме того, переносящие ОУМ состояния являются собственными модами волокна (в отличии от используемых ЬР мод), что позволяет достичь значительного уменьшения паразитного межмодо-вого взаимодействия [22].

Основным классом переносящих ОУМ структурированных оптических пучков являются оптические вихри (ОВ) - скалярные дислокации волнового фронта электромагнитного поля. Благодаря геликоидальной структуре волнового фронта, вихревые пучки содержат точку с неопределенностью фазы и нулевым значение интенсивности на оси распространения. Количество ветвей геликоида I определяет величину топологического заряда (ТЗ) вихря. Особые физические свойства вихревых пучков обусловили их широкое практическое применение в таких областях как астрофизика [23; 24], микроскопия [25-27], оптические пинцеты [28-31], нанотехнологии [32;33], метрология [34-36] и т.д.

Взаимная ортогональность ОУМ состояний позволяет успешно применять ОВ для моделирования квантовых вычислительных алгоритмов [3739] и квантовой запутанности [40-43] посредством классических оптических полей. Кроме того, переносящие ОУМ пучки позволяют достичь качественно новый уровень защиты информации [44; 45] в силу проде-

монстрированного принципа неопределенности погрешности измерения величины ОУМ и угловой апертуры пучка.

Несмотря на существенный прогресс в демонстрации передачи информации, закодированной в значениях ОУМ в пустом пространстве [20; 21; 46-48], данный подход испытывает сильное деструктивное влияние атмосферы [49-52]. В то же время, волоконно-оптические устройства лишены данного недостатка и имеют ряд весомых преимуществ для эффективной передачи данных, а именно снижение потерь излучения при сопряжении элементов, увеличение эффективности преобразования пучков, достижение высокой модовой чистоты. Таким образом, научно значимой проблемой является изучение создание полнополных устройств для эффективного генерирования и управления характеристиками топологически-заряженных пучков.

Такого типа задачи могут быть успешно решены при помощи волоконных решеток [53], в частности, путем использования периодически возмущенных оптических волокон. Предыдущие исследования показывают возможность применения функционирующих в режиме длиннопериод-ной [54-59] или брэгговской решетки [60-63] волокон, микрорезонаторов различных типов [59; 64-66] и волоконных массивов [67-70] для эффективного создания и управления характеристиками вихревых пучков высших порядков. Однако, перечисленные статичные волоконные решетки не способны осуществлять динамическое во времени управление параметрами вихревых пучков для различных длин волн, поскольку изготавливаются с фиксированными параметрами для определенной длины волны.

В то же время, из основополагающих работ по волоконной акусто-оптике известно, что оптические волокна способны направлять на значительные расстояния как оптические, так и акустические моды, тем самым обеспечивая высокоэффективное взаимодействие между ними. Бегущие изгибные акустическое моды способны обеспечить эффективное спаривание состояний с различными азимутальными числами, сопровождаемое повышением или уменьшением частоты оптического излучения. В пионерской работе

1986 года [71] была продемонстрирована конверсия возбуждаемой I = 0 фундаментальной моды в моду высшего порядка I = 1 в волокне с бегущей линейно-поляризованной изгибной акустической волной (ИАВ) основного порядка. Дальнейшее развитие данной идеи привело к демонстрации резонансного взаимодействия между оптическими ЬР^ модами высших порядков с азимутальными числами, сдвинутыми на единицу [72], а также возможность создания высшей ЬР2 моды посредством метода каскадного акусто-оптического спаривания [73], основанного на одновременном возбуждении в волокне акустических волн с отличными частотами. На основе волокон с бегущей линейно-поляризованной фундаментальной акустической волной были реализованы устройства дли динамического управления регулярными пучками такие как настраиваемые фильтры [74-77], преобразователи частоты и переключатели мод [78-81], волоконные ответвители и маршрутизаторы [82-84].

В последние годы, бурное исследование структурированных оптических пучков вдохнуло новую жизнь в волоконную акусто-оптику благодаря направлению, посвященному генерации и управлению топологически заряженными оптическими пучками. Так недавно предсказана [85] и экспериментально продемонстрирована [73] эффективная конверсия фундаментальной моды в О В единичного ТЗ в режиме векторного акусто-оптического резонанса, при этом знак ТЗ определяется направлением циркулярной поляризации возбуждаемой гауссоподобной моды в волокне. Предложенная в работе [86] последовательная модель акусто-оптическо-го взаимодействия в оптических волокнах позволила полностью описать наблюдаемую экспериментально конверсию скалярных ЬР мод волокна, а также предсказать новый эффект зависимости длины преобразования пучка от направления входной поляризации - анизотропию модовой конверсии. Дальнейшие применение такой модели позволили продемонстрировать возможность управления знаком ТЗ проходящего вихревого пучка направлением входной линейной поляризации [87; 88] в волокне с бегущей ИАВ основного порядка. Одновременное возбуждение двух акустических

волн, лежащее в основе метода каскадной акусто-оптнческой генерации, позволило продемонстрировать генерацию вихревых пучков с ТЗ ±2 на фотон [73], однако такое возбуждение волновода приводит к значительным техническим сложностям, приводящим к невозможности динамической подстройки системы.

При всем множестве работ по волоконной акусто-оптике к настоящему времени изучены механизмы динамического управления характеристиками лишь вихревых пучков с единичным ТЗ. Для полноценной реализации потенциала структурированного света в телекоммуникационных системах необходимо располагать методами генерации и управления параметрами пучков высших порядков. Предложенный недавно последовательный подход в описании АО В [86] допускает концептуальную возможность существования целого класса новых эффектов в волоконной акусто-оптике в волокне со стандартной бегущей фундаментальной ПАВ с линейной поляризацией, обусловленных дальнейшим разложением диэлектрической проницаемости в ряд по степеням вектора деформации. Таким образом, первый аспект актуальности данной работы заключается в необходимости установления новых физических механизмов для осуществления волоконного динамического управления характеристиками оптических пучков высших порядков в оптических волокнах с акусто-оптическим взаимодействием индуцированным фундаментальной ПАВ с линейной поляризацией.

С другой стороны, такой метод учета влияния акустических деформаций позволяет построить построения диэлектрической проницаемости среды для случая распространения любых акустических мод цилиндра, являющихся решениями уравнения движения упругой среды. Особый интерес вызывает исследование возможности применения в волоконной акусто-оптике ПАВ высших порядков в форме акустических вихрей (АВ), переносящих наряду со спиновым угловым моментом (СУМ) орбитальный, поскольку свойства угловых моментов таких акустических мод оказываются аналогичны таковым для волноводных оптических мод [89].

В пионерской работе [90] была экспериментально продемонстрирована передача ОУМ ИАВ высшего порядка в форме АВ фундаментальной цир-кулярно-поляризованной моде с образованием ОВ. Недавно в работе [91] на основе метода связанных мод выполнен теоретический анализ преобразования переносящих ОУМ мод в градиентном волокне с бегущим АВ. Необходимо отметить, что в настоящее время в литературе отсутствует удовлетворительная последовательная теория влияния переносящих ОУМ акустических мод высших порядков на резонансные преобразования волоконных мод. Кроме того, в настоящее время остается неизвестным механизм фотон-фононного рассеяния, при котором циркулярно-поляризо-ванный фонон обладает наряду со спиновым ОУМ, а фотон может иметь ненулевое значение ОУМ. Таким образом, второй аспект актуальности данной работы состоит в необходимости установления новых физических механизмов динамического управления параметрами вихревых пучков высших порядков в диэлектрических волноводах с АОВ, индуцированным ИАВ высшего порядка в форме АВ.

Целью данной работы является установление новых закономерностей распространения оптических регулярных и топологически-заряженных пучков в оптических волокнах с акусто-оптическим взаимодействием, индуцированным изгибными акустическими волнами различных порядков.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи исследования:

1) сформулировать физическую модель акусто-оптического взаимодействия в циркулярных слабонаправляющих оптических волокнах с линейно-поляризованной бегущей ИАВ основного порядка с учетом квадратичных членов разложения диэлектрической проницаемости по степеням вектора деформации;

2) выполнить анализ решения уравнения движения упругой среды для определения структуры акустических мод цилиндра в форме изгибных акустических вихрей;

3) сформулировать физическую модель акусто-оптического взаимодействия в циркулярных слабонаправляющих оптических волокнах бегущей ИАВ высшего порядка в форме акустического вихря;

4) исследовать процессы преобразования и передачи угловых моментов в процессе вихрь-вихревого акусто-оптического взаимодействия, а также сопутствующие их процессы генерирования топологически-заряженных пучков высших порядков.

Объектом исследования являлись возмущенные изгибными регулярными и вихревыми акустическими модами циркулярные слабонаправляющие оптические волокна со ступенчатым профилем диэлектрической проницаемости.

Предметом исследования являлась структура резонансных оптических мод и спектр их постоянных распространения.

Методы исследования.

Диэлектрическая проницаемость системы получена аналитически в рамках развитого подхода, в основу которого положено истинное распределение акустически-индуцированного в материале волокна вектора деформации акустической волны.

Структура резонансных мод и спектра постоянных распространения была получена аналитически путем решения векторного волнового уравнения с установленной нестационарной диэлектрической проницаемостью при помощи нестационарной теории возмущений.

Такой метод исследования значительно упрощает дальнейшее решение практически важных задач об эволюции возбуждаемых в таких акустических возмущенных волокнах различных оптических мод.

Научная новизна

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1) Построена теория акусто-оптического взаимодействия в циркулярных оптических волокнах с бегущей изгибной акустической волной основного порядка с учетом нелинейной модификации диэлектрической проницаемости, которая предсказывает существование таких новых эффектов в волоконной акусто-оптике, как генерация ЬР с азимутальным числом 2 и инверсия знака топологического заряда I = ±2 оптических вихрей.

2) Установлено, что моды циркулярного волокна с циркулярно-поляри-зованной изгибной акустической волной основного порядка сформированы идентично-поляризованными фундаментальной модой и оптическим вихрем с топологическим зарядом, определяемым направлением акустической поляризации. Показано, что такая модовая структура позволяет реализовать логический элемент "Управляемое НЕ в котором роль управляющего кубита играет радиальное состояние, а управляемого - топологический заряд.

3) Теоретически и экспериментально показан эффект управляемой направлением линейной поляризации инверсии единичного топологического заряда оптического вихря в циркулярных волокнах с изгибной акустической волной основного порядка, который может быть положен в основу двухкубитного логического элемента "Управляемое НЕ в котором роль управляющего кубита выполняет направление линейной поляризации, а управляемого - орбитальный угловой момент пучка.

4) Установлено, что высшие упругие моды однородного изотропного цилиндра вблизи определенных частот отсечек с поперечным характером деформации представлены изгибными акустическими вихрями с определенным топологическим зарядом и целыми на фонон спиновым и орбитальным угловыми моментами.

5) Построена теория акусто-оптического взаимодействия в циркулярных оптических волокнах с изгибным акустическим вихрем произвольного топологического заряда, предсказывающая новые эффектов в волоконной акусто-оптике, таких как генерация оптических вихрей с топологическим зарядом равным сумме или разности топологического заряда и

поляризационного числа акустического вихря, взятой с противоположным знаком. Установлены процессы трансформации угловых моментов в процессе акусто-оптического (фотон-фононного) взаимодействия, обуславливающие процессы генерации вихревых пучков.

Научные положения, выносимые на защиту:

1) Циркулярные волокна с бегущей фундаментальной линейно-поляризованной изгибной акустической волной основного порядка осуществляют акустически управляемую генерацию регулярных пучков с азимутальным числом \l\ ^ 2, а так же инверсию знака топологического заряда оптического вихря с зарядом I = ±1, ±2.

2) Циркулярные волокна с циркулярно-поляризованной изгибной акустической волной осуществляют управляемую акустической поляризацией генерацию оптических вихрей, а также реализуют логику работы двухку-битного вентиля CNOT (Управляемое - НЕ) для вихревых мод.

3) Теоретически и экспериментально продемонстрирована модификация эффекта Фарадея - топологический эффект Фарадея - дополнительное вращение плоскости поляризации проходящих через магнитную пленку топологически-заряженных пучков, зависящее от величины топологического заряда, радиального числа и радиуса перетяжки пучка.

4) Циркулярные волокна с бегущим циркулярно-поляризованным из-гибным акустическим вихрем осуществляют генерацию оптического вихря высшего порядка, обусловленную взаимной трансформацией спинового и орбитального угловых моментов фонона в орбитальный угловой момент фотона.

5) В циркулярных волокнах с бегущим циркулярно-поляризованным изгибным акустическим вихрем высшего порядка имеет место взаимная передача спинового и орбитального момента от фотона к фонону, а также индуцируемая акусто-оптическим взаимодействием оптическая спин-орби-

тальная конверсия, сопровождаемая динамически управляемой генерацией оптического вихря из фундаментальной моды.

Практическая значимость

Практическая значимость полученных результатов состоит в том, что предсказан ряд новых не наблюдаемых ранее явлений, на основе которых возможно создание акустически управляемых полностью волоконных устройств для генерации и динамического управления регулярными и топологически-заряженными пучками высших порядков, в частности, модуляторов интенсивности, преобразователей частоты, частотных фильтров, а также двухкубитных логических элементов для состояний оптических вихрей.

Достоверность

Достоверность и обоснованность представленных в диссертации результатов обеспечивается использованием современных методов исследования, соответствующих теоретических моделей. Экспериментальные данные с высокой точностью описываются теоретическими моделями и не противоречат известным результатам.

Значительная часть результатов получена в ходе выполнения научных проектов: «Нанофотоника феррит-гранатовых пленок и структур для нового поколения квантовых устройств» (министерство науки и высшего образования Российской Федерации, мегагрант №075-15-2022-1108), «Новые физические механизмы управления пучками оптических вихрей как основа волоконно-оптических устройств ОУМ-фотоники» (РНФ, грант №20-12-00291), «Интерференционные и динамические механизмы управле-

ния угловым моментом света в волоконных резонаторах и акусто-оптиче-скнх решётках» (грант Президента Российской Федерации МК-329.2020.2), в которых соискатель являлся исполнителем.

Апробация результатов работы

Результаты исследований по теме диссертации сообщались на публичных докладах на следующих конференциях: International Conference Days on Diffraction (Санкт-Петербург, Россия, 2023), International Conference on Information Technology and Nanotechnology ITNT (Самара, Россия, 2022; Самара, Россия, 2021), International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO (Санкт-Петербург,Россия,2020), International Conference Digital Singular Optics:Applications and Fundamentals (Севастополь, Россия, 2018), V Международный научный Форум профессорско-преподавательского состава и молодых ученых «Цифровые технологии: наука, образования, инновации» (Симферополь, Россия, 2022), VII Всероссийский молодежном научный форум «Наука будущего - наука молодых» (Новосибирск, Россия, 2022).

Личный вклад автора

Данная диссертация является результатом исследований, проведенных в соавторстве. В работах [1,5,6,7,8] автором выполнена часть теоретических расчетов по определению структуры резонансных оптических мод и соответствующих спектров постоянных распространения. В работах [2,3] автором выполнены расчеты по эволюции оптического пучка в магнитной пленке в конфигурации Фарадея. В работе [4] автором исследована эволюция вихревого пучка в волокне с акусто-оптическим взаимодействием,

индуцированным линейно-поляризованной изгибной акустической волной основного порядка.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, оригинальной части в трех главах, заключения, списка используемой литературы. Основной объем диссертации — 233 страницы, диссертация включает 26 рисунка, 1 таблицу и 1 приложение. Список литературы содержит 151 позицию.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор литературы в области применения переносящих орбитальный угловой момент оптических пучков для кодирования и передачи информации. Дополнительная степень свободы оптического излучения позволяет значительно увеличить пропускную способность волоконно-оптических линий передачи данных.

Приведен краткий анализ проблем и задач в области генерации и динамического управления характеристиками таких пучков с помощью оптических волокон для нужд современных телекоммуникационных сетей.

В первой главе исследуется распространение оптических пучков изотропных слабонаправляющих оптических волокнах с круглым поперечным сечением с изгибной акустической волной основного порядка в скалярном случае.

В вводной части первой главы приведен краткий обзор современного уровня исследований линейного акусто-оптического взаимодействия в обычных оптических волокнах. Отмечены современные достижения волоконной акусто-оптики на изгибных акустических волнах.

В первом разделе первой главы сформулирована модель акусто-оптн-ческого взаимодействия в циркулярных слабонаправляющих оптических волокнах с изгибной акустической волной основного порядка с линейной поляризацией с учетом квадратичных членов разложения диэлектрической проницаемости по степеням вектора деформации, в основу которой положено решение уравнения движения упругой среды в реализующимся на практике длинноволновом приближении. Установлена, что в основе модификации диэлектрической проницаемости бегущей акустической волной лежит два различных физических механизма. Первый механизм заключается в малом смещении физических точек поперечного сечения волокна на вектор деформации. Второй механизм обусловлен фотоупругим эффектом вследствие наведения акустической волной механических напряжений в материале волокна и наведения оптической анизотропии. Установлен вид квадратичной по деформации поправки к диэлектрической проницаемости невозмущенного волокна и показано, что данное слагаемое описывает ранее неизвестное проявление волоконного акусто-оптического взаимодействия нелинейного характера.

Во втором разделе первой главы установлена структура резонансных оптических мод циркулярного оптического волокна с учетом нелинейной модификации проницаемости под влиянием изгибной линейно-поляризованной акустической волны основного порядка. Из системы уравнений Максвелла дополненной материальными уравнениями для случая непроводящей немагнитной среды получено векторное волновое уравнение, наиболее точно описывающее распространение оптического излучения в среде с заданным распределением диэлектрической проницаемости. Оценка практически реализуемых параметров волокна и акустической волны позволили пренебречь влиянием оптического спин-орбитального взаимодействия на эволюцию света в системе и сосредоточиться на изучении акусто-оптического взаимодействия в скалярном приближении. Применение Фурье - преобразования позволило привести скалярное волновое уравнение с нестационарной и пространственно неоднородной проницаемостью моде-

ли к виду спектрального уравнения на собственные функции и собственные значения, в котором первый оператор дает скалярное приближение для мод невозмущенного волокна с круглым поперечным сечением, второй и третий соответствуют влиянию акусто-оптического взаимодействия, которое можно интерпретировать как малое возмущение. Для учета влияния акусто-оптического взаимодействия на структуру оптических волокна вблизи акустического резонанса была применена нестационарная теория возмущений к скалярному волновому уравнению с нестационарной и периодической по продольной координате диэлектрической проницаемости модели. Естественные, для эффективного акусто-оптического спаривания волоконных мод должны выполняться два условия резонанса. Кинематическое условие заключается в случайном вырождении постоянных распространения спариваемых мод с различными частотными и азимутальными числами. Динамическое условие требует наличие ненулевого значения интеграла перекрытия для этих состояний. Базис резонансных точек образован состояниями оператора нулевого приближения, удовлетворяющим данным условиям. Поскольку строгое выполнение условия резонанса практически неосуществимо, для учета влияния акусто-оптического взаимодействия на структуру мод волокна вблизи точек случайного вырождения спектра следует использовать теорию возмущений в общем случае. Такой подход предполагает построение матрицы полного оператора путем его усреднения по всем базисным состояниям. Собственные вектора такой матрицы являются искомыми резонансными модами, а собственные значения - постоянными распространения.

Обусловленная акусто-оптическим взаимодействием нелинейная модификация диэлектрической проницаемости волокна формирует такую структуру резонансных мод, при которой они представлены взвешенной суперпозицией смещенных по частоте идентично циркулярно-поляризо-ванных фундаментальной моды и четной моды с азимутальным числом 2. Распределение энергии между парциальными состояниями управляется параметром, отражающим конкуренцию между отстройкой от резонанса

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Викулин Дмитрий Вячеславович, 2023 год

Список литературы

1. Dense space-division multiplexed transmission systems using multi-core and multi-mode fiber / Takayuki Mizuno, Hidehiko Takara, Akihide Sano, Yutaka Miyamoto // Journal of lightwave technology. — 2016. — Vol. 34, no. 2. - Pp. 582-592.

2. Tkach Robert W. Scaling optical communications for the next decade and beyond // Bell Labs Technical Journal. — 2010. — Vol. 14, no. 4. — Pp. 3-9.

3. Capacity limits of optical fiber networks / René-Jean Essiambre, Gerhard Kramer, Peter J Winzer et al. // Journal of Lightwave Technology. _ 2010. - Vol. 28, no. 4. - Pp. 662-701.

4. Winzer Peter J. Modulation and multiplexing in optical communications // Conference on Lasers and Electro-Optics / Optica Publishing Group. _ 2009. - P. CTuL3.

5. Optical multiplexing techniques and their marriage for on-chip and optical fiber communication: a review / Svetlana Nikolaev-na Khonina, Nikolay Lvovich Kazanskiy, Muhammad Ali Butt, Sergei Vladimirovich Karpeev // Opto-Electronic Advances. — 2022. — Vol. 5, no. 8. - Pp. 210127-1.

6. High-capacity optical transmission systems / Alan H Gnauck, RW Tkach, AR Chraplyvy, T Li // Journal of Lightwave Technology. — 2008. — Vol. 26, no. 9. - Pp. 1032-1045.

7. Richardson David J, Fini John M, Nelson Lynn E. Space-division multiplexing in optical fibres // Nature photonics. — 2013. — Vol. 7, no. 5. — Pp. 354-362.

8. Puttnam Benjamin J, Rademacher Georg, Luis Ruben S. Space-division multiplexing for optical fiber communications // Optica. — 2021. — Vol. 8, na 9 _ pp. 1186-1203.

9. Design and fabrication of ultra-low crosstalk and low-loss multi-core fiber / Tetsuya Hayashi, Toshiki Taru, Osamu Shimakawa et al. // Optics express. _ 2011. - Vol. 19, no. 17. - Pp. 16576-16592.

10. Ultra-high-density spatial division multiplexing with a few-mode multicore fibre / Roy GH Van Uden, R Amezcua Correa, E Antonio Lopez et al. // Nature Photonics. - 2014. - Vol. 8, no. 11. - Pp. 865-870.

11. Direct fiber vector eigenmode multiplexing transmission seeded by integrated optical vortex emitters / Jun Liu, Shi-Mao Li, Long Zhu et al. // Light: Science & Applications. — 2018. — Vol. 7, no. 3. — Pp. 17148-17148.

12. Roadmap on multimode photonics / Ilaria Cristiani, Cosimo Lacava, Georg Rademacher et al. // Journal of Optics. — 2022. — Vol. 24, no. 8. - P. 083001.

13. Communicating using spatial mode multiplexing: Potentials, challenges, and perspectives / Abderrahmen Trichili, Ki-Hong Park, Mourad Zghal et al. // IEEE Communications Surveys & Tutorials. — 2019. — Vol. 21, no. 4. - Pp. 3175-3203.

14. Capacity enhancement in coherent optical MIMO (COMIMO) multimode fiber links / Rick CJ Hsu, Alireza Tarighat, Akhil Shah et al. // IEEE Communications letters. — 2006. — Vol. 10, no. 3. — Pp. 195-197.

15. Arik Sercan O, Kahn Joseph M, Ho Keang-Po. MIMO signal processing for mode-division multiplexing: An overview of channel models and signal processing architectures // IEEE Signal Processing Magazine. — 2014. — Vol. 31, no. 2. - Pp. 25-34.

16. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes / Les Allen, Marco W Beijersbergen, RJC Spreeuw, JP Woerdman // Physical review A. — 1992. — Vol. 45. 110. 11. P. 8185.

17. Yao Alison M, Padgett Miles J. Orbital angular momentum: origins, behavior and applications // Advances in optics and photonics. — 2011. — Vol. 3, no. 2. - Pp. 161-204.

18. Orbital angular momentum of light for communications / Alan E Willner, Kai Pang, Hao Song et al. // Applied Physics Reviews. — 2021. — Vol. 8, no. 4. - P. 041312.

19. Wang Jian. Advances in communications using optical vortices // Photonics Research. - 2016. - Vol. 4, no. 5. - Pp. B14-B28.

20. Terabit free-space data transmission employing orbital angular momentum multiplexing / Jian Wang, Jeng-Yuan Yang, Irfan M Fazal et al. // Nature photonics. - 2012. - Vol. 6, no. 7. - Pp. 488-496.

21. Terabit-scale orbital angular momentum mode division multiplexing in fibers / Nenad Bozinovic, Yang Yue, Yongxiong Ren et al. // science. — 2013. - Vol. 340, no. 6140. - Pp. 1545-1548.

22. Ramachandran Siddharth, Kristensen Poul, Yan Man F. Generation and propagation of radially polarized beams in optical fibers // Optics letters. _ 2009. - Vol. 34, no. 16. - Pp. 2525-2527.

23. Harwit Martin. Photon orbital angular momentum in astrophysics // The Astrophysical Journal. — 2003. — Vol. 597, no. 2. — P. 1266.

24. Foo Gregory, Palacios David M, Swartzlander Grover A. Optical vortex coronagraph // Optics letters. - 2005. - Vol. 30, no. 24. - Pp. 3308-3310.

25. Spiral phase contrast imaging in microscopy / Severin Fiirhapter, Alexander Jesacher, Stefan Bernet, Monika Ritsch-Marte // Optics Express. — 2005. - Vol. 13, no. 3. - Pp. 689-694.

26. Overcoming the Rayleigh criterion limit with optical vortices / Fabrizio Tamburini, Gabriele Anzolin, G Umbriaco et al. // Physical review letters. - 2006. - Vol. 97, no. 16. - P. 163903.

27. High-resolution wide-field standing-wave surface plasmon resonance fluorescence microscopy with optical vortices / PS Tan, X-C Yuan, GH Yuan, Q Wang // Applied Physics Letters. — 2010. — Vol. 97, no. 24. — P. 241109.

28. Direct observation of transfer of angular momentum to absorptive particles from a laser beam with a phase singularity / H He, MEJ Friese, NR Heckenberg, H Rubinsztein-Dunlop // Physical review letters. — 1995.

- Vol. 75, no. 5. - P. 826.

29. Controlled rotation of optically trapped microscopic particles / Lynn Pa-terson, Michael P MacDonald, Jochen Arlt et al. // Science. — 2001. — Vol. 292, no. 5518. - Pp. 912-914.

30. Creation and manipulation of three-dimensional optically trapped structures / Michael P MacDonald, Lynn Paterson, K Volke-Sepulveda et al. // Science. - 2002. - Vol. 296, no. 5570. - Pp. 1101-1103.

31. Grier David G. A revolution in optical manipulation // nature. — 2003.

- Vol. 424, no. 6950. - Pp. 810-816.

32. Integrated compact optical vortex beam emitters / Xinlun Cai, Jian-wei Wang, Michael J Strain et al. // Science. — 2012. — Vol. 338, no. 6105. - Pp. 363-366.

33. Orbital angular momentum microlaser / Pei Miao, Zhifeng Zhang, Jing-bo Sun et al. // Science. - 2016. - Vol. 353, no. 6298. - Pp. 464-467.

34. Using a complex optical orbital-angular-momentum spectrum to measure object parameters / Guodong Xie, Haoqian Song, Zhe Zhao et al. // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42, no. 21. - Pp. 4482-4485.

35. Singular phase nano-optics in plasmonic metamaterials for label-free single-molecule detection / VG Kravets, F Schedin, R Jalil et al. // Nature materials. - 2013. - Vol. 12, no. 4. - Pp. 304-309.

36. Fu, Shiyao, Gao Chunqing. Influences of atmospheric turbulence effects on the orbital angular momentum spectra of vortex beams // Photonics Research. - 2016. - Vol. 4, no. 5. - Pp. B1-B4.

37. Cerf Nicolas J, Adami Christoph, Kwiat Paul G. Optical simulation of quantum logic // Physical Review A. — 1998. — Vol. 57, no. 3. — P. R1477.

38. Lee KF, Thomas JE. Experimental simulation of two-particle quantum entanglement using classical fields // Physical review letters. — 2002. — Vol. 88, no. 9. - P. 097902.

39. Fu Jian. Quantum computations with optical waveguide modes // Quantum Information and Computation / SPIE. — Vol. 5105. — 2003. — Pp. 225-233.

40. Twisted photons: new quantum perspectives in high dimensions / Manuel Erhard, Robert Fickler, Mario Krenn, Anton Zeilinger // Light: Science & Applications. — 2018. — Vol. 7, no. 3. — Pp. 17146-17146.

41. Higher-dimensional orbital-angular-momentum-based quantum key distribution with mutually unbiased bases / Mhlambululi Mafu, Angela Dudley, Sandeep Goyal et al. // Physical, Review A. — 2013. — Vol. 88, no. 3. — P. 032305.

42. Quantum storage of orbital angular momentum entanglement in an atomic ensemble / Dong-Sheng Ding, Wei Zhang, Zhi-Yuan Zhou et al. // Physical review letters. - 2015. - Vol. 114, no. 5. - P. 050502.

43. Chen Lixiang, Lei Jijin, Romero Jacquiline. Quantum digital spiral imaging // Light: Science & Applications. — 2014. — Vol. 3, no. 3. — Pp. el53-el53.

44. Uncertainty principle for angular position and angular momentum / Sonja Franke-Arnold, Stephen M Barnett, Eric Yao et al. // New Journal of Physics. - 2004. - Vol. 6, no. 1. - P. 103.

45. Troha Tinkara, Ostatnicky Tomás, Kuzel Petr. Improving security in terahertz wireless links using beam symmetry of vortex and Gaussian beams // Optics Express. - 2021. - Vol. 29, no. 19. - Pp. 30461-30472.

46. Bouchai Zdenek, Celechovskij Radek. Mixed vortex states of light as information carriers // New Journal of Physics. — 2004. — Vol. 6, no. 1. — P. 131.

47. Free-space information transfer using light beams carrying orbital angular momentum / Graham Gibson, Johannes Courtial, Miles J Padgett et al. // Optics express. - 2004. - Vol. 12, no. 22. - Pp. 5448-5456.

48. 100 Tbit/s free-space data link enabled by three-dimensional multiplexing of orbital angular momentum, polarization, and wavelength / Hao Huang, Guodong Xie, Yan Yan et al. // Optics letters. — 2014. — Vol. 39, no. 2.

- Pp. 197-200.

49. Paterson Carl. Atmospheric turbulence and orbital angular momentum of single photons for optical communication // Physical review letters. — 2005. - Vol. 94, no. 15. - P. 153901.

50. Influence of atmospheric turbulence on states of light carrying orbital angular momentum / Brandon Rodenburg, Martin PJ Lavery, Mehul Malik et al. // Optics letters. - 2012. - Vol. 37, no. 17. - Pp. 3735-3737.

51. Influence of atmospheric turbulence on optical communications using orbital angular momentum for encoding / Mehul Malik, Malcolm O'Sullivan, Brandon Rodenburg et al. // Optics express. — 2012. — Vol. 20, no. 12.

- Pp. 13195-13200.

52. Free-space propagation of high-dimensional structured optical fields in an urban environment / Martin PJ Lavery, Christian Peuntinger,

Kevin Giinthner et al. // Science Advances. — 2017. — Vol. 3, no. 10. — P. el700552.

53. Erdogan Turan. Fiber grating spectra // Journal of lightwave technology. _ 1997. _ v0i. 15. no. 8. - Pp. 1277-1294.

54. Alexeyev Constantine N, Lapin Boris P, Yavorsky Maxim A. Helical core optical fibers maintaining propagation of a solitary optical vortex // Physical Review A. - 2008. - Vol. 78, no. 1. - P. 013813.

55. Helical-core fiber analog of a quarter-wave plate for orbital angular momentum / CN Alexeyev, BP Lapin, AV Volyar, MA Yavorsky // Optics Letters. - 2013. - Vol. 38, no. 13. - Pp. 2277-2279.

56. Reciprocal optical activity in multihelicoidal optical fibers / CN Alexeyev, EV Barshak, BP Lapin, MA Yavorsky // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 2. - P. 023824.

57. Spin-orbit-interaction-induced generation of optical vortices in multihelicoidal fibers / CN Alexeyev, AN Alexeyev, BP Lapin et al. // Physical Review A. - 2013. - Vol. 88, no. 6. - P. 063814.

58. Spin-dependent OAM flipping in multihelical optical fibres / MA Yavorsky, EV Barshak, DV Vikulin, CN Alexeyev // Journal of Optics. — 2018. - Vol. 20, no. 11. - P. 115601.

59. Alexeyev CN, Lapin BP, Yavorsky MA. Resonance optical activity in multihelicoidal optical fibers // Optics Letters. — 2016. — Vol. 41, no. 5. — Pp. 962-965.

60. Alexeyev CN, Volyar AV, Yavorsky MA. Multi-helix chiral fibre filters of higher-order optical vortices // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2007. - Vol. 9, no. 5. - P. 537.

61. Alexeyev Constantine N. Narrowband reflective generation of higher-order optical vortices in Bragg spun optical fibers // Applied Optics. — 2013.

- Vol. 52, no. 3. - Pp. 433-438.

62. Generation and conversion of higher order optical vortices in optical fiber with helical fiber Bragg gratings / Xiaoqiang Zhang, Anting Wang, Ruis-han Chen et al. // Journal of Lightwave Technology. — 2016. — Vol. 34, na 10 _ Pp. 2413-2418.

63. Generation of optical vortices using a helical fiber Bragg grating / Zhongxi Lin, Anting Wang, Lixin Xu et al. // Journal of lightwave technology. - 2014. - Vol. 32, no. 11. - Pp. 2152-2156.

64. Transmission of optical vortices through fiber loop resonators / CN Alexeyev, EV Barshak, BP Lapin, MA Yavorsky // Optics Letters. — 2019. — Vol. 44, no. 16. - Pp. 4044-4047.

65. Topological resonances, superefficient orbital-angular-momentum control, and spin-orbit-interaction enhancement in fiber-loop resonators / CN Alexeyev, EV Barshak, BP Lapin, MA Yavorsky // Physical, Review A. — 2020.

- Vol. 101, no. 6. - P. 063801.

66. Super-efficient control of angular momentum and mode conversion in snake-type fiber resonators / CN Alexeyev, SS Aliyeva, EV Barshak et al. // J OS A B. - 2021. - Vol. 38, no. 12. - Pp. F29-F37.

67. Alexeyev CN, Volyar AV, Yavorsky MA. Linear azimuthons in circular fiber arrays and optical angular momentum of discrete optical vortices // Physical Review A. - 2009. - Vol. 80, no. 6. - P. 063821.

68. Leykam Daniel, Konotop Vladimir V, Desyatnikov Anton S. Discrete vortex solitons and parity time symmetry // Optics Letters. — 2013. — Vol. 38, no. 3. - Pp. 371-373.

69. Leykam Daniel, Malomed Boris, Desyatnikov Anton S. Composite vortices in nonlinear circular waveguide arrays /j Journal of Optics. — 2013. — Vol. 15, no. 4. - P. 044016.

70. Transmission of fractional topological charges via circular arrays of anisotropic fibers / CN Alexeyev, AO Kovalyova, AF Rubass et al. // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42, no. 4. - Pp. 783-786.

71. All-fiber acousto-optic frequency shifter / Byoung Yoon Kim, JN Blake, HE Engan, HJ Shaw // Optics Letters. — 1986. — Vol. 11, no. 6. — Pp. 389-391.

72. Zhao Jianhui, Liu Xiaoming. Fiber acousto-optic mode coupling between the higher-order modes with adjacent azimuthal numbers /j Optics letters. _ 2006. - Vol. 31, no. 11. - Pp. 1609-1611.

73. High-order optical vortex generation in a few-mode fiber via cascaded acoustically driven vector mode conversion / Wending Zhang, Lig-ang Huang, Keyan Wei et al. /j Optics Letters. — 2016. — Vol. 41, na 21. - Pp. 5082-5085.

74. Ostling Dan, Engan Helge E. Narrow-band acousto-optic tunable filtering in a two-mode fiber // Optics letters. — 1995. — Vol. 20, no. 11. — Pp. 1247-1249.

75. Low-loss all-fiber acousto-optic tunable filter / DO Culverhouse, SH Yun, DJ Richardson et al. /j Optics letters. — 1997. — Vol. 22, no. 2. — Pp. 96-98.

76. Dimmick Timothy E, Satorius Duane A, Burdge Geoffrey L. All-fiber acousto-optic tunable bandpass filter // Optical Fiber Communication Conference / Optica Publishing Group. — 2001. — P. WJ3.

77. Park Hyun Chul, Kim, Byoung Yoon, Park Hee Su. Apodization of elliptical-core two-mode fiber acousto-optic filter based on acoustic polarization control // Optics letters. - 2005. - Vol. 30, no. 23. - Pp. 3126-3128.

78. Askautrud Jan Ove, Engan Helge E. Fiber-optic frequency shifter with no mode change using cascaded acousto-optic interaction regions // Optics letters. - 1990. - Vol. 15, no. 11. - Pp. 649-651.

79. 40-MHz all-fiber acoustooptic frequency shifter / DO Culverhouse, TA Birks, SG Farwell et al. // IEEE Photonics Technology Letters. — 1996. - Vol. 8, no. 12. - Pp. 1636-1637.

80. A compact all-fiber LPG-AOTF frequency shifter on single-mode fiber and its application to vibration measurement / Hon M Chan, Rong Huang, Fares Alhassen et al. // IEEE Photonics Technology Letters. — 2008. — Vol. 20, no. 18. - Pp. 1572-1574.

81. Switching in multicore fibers using flexural acoustic waves / Gil M Fernan-des, Nelson J Muga, Ana M Rocha, Armando N Pinto // Optics Express. _ 2015. - Vol. 23, no. 20. - Pp. 26313-26325.

82. Four-port fiber frequency shifter with a null taper coupler / TA Birks, SG Farwell, P St J Russell, CN Pannell // Optics letters. - 1994. -Vol. 19, no. 23. - Pp. 1964-1966.

83. Birks Tim A, Russell P St J, Culverhouse DO. The acousto-optic effect in single-mode fiber tapers and couplers // Journal of lightwave technology. _ 1996. _ Vol. 14, no. 11. - Pp. 2519-2529.

84. 2 x 2 single-mode fiber routing switch / TA Birks, DO Culverhouse, SG Farwell, P St J Russell // Optics letters. - 1996. - Vol. 21, no. 10. - Pp. 722-724.

85. Yavorsky MA. All-fiber polarization-dependent optical vortex beams generation via flexural acoustic wave // Optics Letters. — 2013. — Vol. 38, na 16 _ Pp 3151^3153.

86. Revised model of acousto-optic interaction in optical fibers endowed with a flexural wave / MA Yavorsky, DV Vikulin, EV Barshak et al. // Optics letters. - 2019. - Vol. 44, no. 3. - Pp. 598-601.

87. All-fiber polarization-dependent optical-vortex-controlling via acousto-op-tic interaction / M Yavorsky, D Vikulin, E Barshak et al. // 2019 Days on Diffraction (DD) / IEEE. - 2019. - Pp. 238-243.

88. Polarization-dependent orbital angular momentum flipping in fibers with acousto-optic interaction / MA Yavorsky, DV Vikulin, EV Barshak et al. // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Vol. 1368. - 2019. - P. 022067.

89. Bliokh Konstantin Y. Elastic spin and orbital angular momenta // Physical Review Letters. - 2022. - Vol. 129, no. 20. - P. 204303.

90. Dashti Pedram Z, Alhassen Fares, Lee Henry P. Observation of orbital angular momentum transfer between acoustic and optical vortices in optical fiber // Physical review letters. — 2006. — Vol. 96, no. 4. — P. 043604.

91. Shoro Takuya, Kishikawa Hiroki, Goto Nobuo. Analysis of optical OAM mode conversion using elastic vortex wave in graded-index optical fiber // Japanese Journal of Applied Physics. — 2019. — Vol. 58, no. SG. — P. SGGA04.

92. Design, fabrication and validation of an OAM fiber supporting 36 states / Charles Brunet, Pravin Vaity, Younes Messaddeq et al. // Optics express. _ 2014. - Vol. 22, no. 21. - Pp. 26117-26127.

93. Orbital-angular-momentum mode-group multiplexed transmission over a graded-index ring-core fiber based on receive diversity and maximal ratio combining / Junwei Zhang, Guoxuan Zhu, Jie Liu et al. // Optics express. _ 2018. - Vol. 26, no. 4. - Pp. 4243-4257.

94. OAM mode multiplexing in weakly guiding ring-core fiber with simplified MIMO-DSP / Shi Chen, Shuhui Li, Liang Fang et al. // Optics express. _ 2019. - Vol. 27, no. 26. - Pp. 38049-38060.

95. Scalable mode division multiplexed transmission over a 10-km ring-core fiber using high-order orbital angular momentum modes / Guoxuan Zhu,

Ziyang Hu, Xiong Wu et al. // Optics express. — 2018. — Vol. 26, no. 2.

- Pp. 594-604.

96. Stable transmission of 12 OAM states in air-core fiber / P Gregg, P Kris-tensen, SE Golowich et al. // CLEO: 2013 / IEEE. - 2013. - Pp. 1-2.

97. Li Shuhui, Wang Jian. A compact trench-assisted multi-orbital-angular-momentum multi-ring fiber for ultrahigh-density space-division

x

no. 1. - P. 3853.

98. Alexeyev CN, Volyar AV, Yavorsky MA. Transformation of optical vortices in elliptical and anisotropic optical fibres // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2007. — Vol. 9, no. 4. — P. 387.

99. Optical angular momentum and mode conversion in optical fibres with competing form and material anisotropy / CN Alexeyev, AN Alexeyev, BP Lapin, MA Yavorsky // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. _ 2008. - Vol. 10, no. 5. - P. 055009.

100. Controlling the optical angular momentum by elliptical anisotropic fibres / CN Alexeyev, AN Alexeyev, BP Lapin, MA Yavorsky // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2009. - Vol. 11, no. 10. - P. 105406.

101. Alexeyev CN, Yavorsky MA. Berry's phase for optical vortices in coiled optical fibres // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2006.

- Vol. 9, no. 1. - P. 6.

102. Alexeyev CN, Yavorsky MA. Hybridization of the topological and dynamical phase in coiled optical fibres // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2006. - Vol. 8, no. 8. - P. 647.

103. Alexeyev CN, Yavorsky MA. Topological phase evolving from the orbital angular momentum of 'coiled' quantum vortices // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2006. — Vol. 8, no. 9. — P. 752.

104. Ulrich R, Simon A. Polarization optics of twisted single-mode fibers // Applied optics. - 1979. - Vol. 18, no. 13. - Pp. 2241-2251.

105. Smith AM. Birefringence induced by bends and twists in single-mode optical fiber // Applied optics. - 1980. - Vol. 19, no. 15. - Pp. 2606-2611.

106. Brillouin Léon. Diffusion de la lumière et des rayons X par un corps transparent homogène // Annales de physique. — Vol. 9. — 1922. — Pp. 88-122.

107. Lucas R, Biquard P. Optical properties of solids and liquids under ultrasonic vibrations // J. Phys. Rad. — 1932. — Vol. 3. — P. 464.

108. Debye P, Sears FW. On the scattering of light by supersonic waves // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1932. — Vol. 18, no. 6. - Pp. 409-414.

109. Thurston RN. Elastic waves in rods and optical fibers // Journal of sound and vibration, - 1992. — Vol. 159, no. 3. — Pp. 441-467.

110. Coherent acousto-optic mode coupling in dispersion-compensating fiber by two acoustic gratings with orthogonal vibration directions / PZ Dashti, Q Li, C-H Lin, HP Lee // Optics letters. - 2003. - Vol. 28, no. 16. -Pp. 1403-1405.

111. Dashti Pedram Z, Li Qun, Lee Henry P. All-fiber narrowband polarization controller based on coherent acousto-optic mode coupling in single-mode fiber 11 Optics letters. - 2004. - Vol. 29, no. 20. - Pp. 2426-2428.

112. Cylindrical vector beam generation in fiber with mode selectivity and wavelength tunability over broadband by acoustic flexural wave / Wending Zhang, Ligang Huang, Keyan Wei et al. // Optics express. — 2016. — Vol. 24, no. 10. - Pp. 10376-10384.

113. All-fiber cylindrical vector beams laser based on an acoustically-induced fiber grating / Xuecheng Zhang, Wending Zhang, Chenyang Li et al. // Journal of Optics. - 2018. - Vol. 20, no. 7. - P. 075608.

114. Dynamic mode-switchable optical vortex beams using acousto-optic mode converter / Jiafeng Lu, Linghao Meng, Fan Shi et al. // Optics letters. — 2018. - Vol. 43, no. 23. - Pp. 5841-5844.

115. Generation of cylindrical vector beams and optical vortex by two acoustically induced fiber gratings with orthogonal vibration directions / Keyan Wei, Wending Zhang, Ligang Huang et al. // Optics Express. — 2017. - Vol. 25, no. 3. - Pp. 2733-2741.

116. Снайдер Алан, Лав Джон. Теория оптических волноводов. — Радио и связь, 1987.

117. Goodier James Norman, Timoshenko Stephen. Theory of elasticity. — McGraw-Hill, 1970.

118. Ярив Am,нон, Юх Пони. Оптические волны в кристаллах. — 1987.

119. Liherman VS, Zeldovich В Ya. Spin-orbit interaction of a photon in an inhomogeneous medium // Physical Review A. — 1992. — Vol. 46, no. 8.

_ p. 5199.

120. Spin-orbit interactions of light / Konstantin Yu Bliokh, Francisco J Rodriguez-Fortuno, Franco Nori, Anatoly V Zayats // Nature Photonics. — 2015. - Vol. 9, no. 12. - Pp. 796-808.

121. Perturbation theory approach for the wave equation in fibre acousto-op-tics / CN Alexeyev, EV Barshak, AV Volyar, MA Yavorsky // Journal of Optics. - 2010. - Vol. 12, no. 11. - P. 115708.

122. Orbital angular momentum control by a multihelicoidal fibre with a twist defect / CN Alexeyev, Yu A Fridman, BP Lapin, MA Yavorsky // Journal of Optics. - 2013. - Vol. 15, no. 12. - P. 125401.

123. Polarization-controlled topological charge inversion of optical vortices in multielliptical optical fibers / CN Alexeyev, EV Barshak, DV Vikulin

et al. // Optics and Spectroscopy. — 2018. — Pp. 560-566.

Vol. 124, no. 4. -

124. Zvezdin Anatolii Modern magnetooptics and magnetooptical materials.

125. Scott GB, Lacklison D. Magnetooptic properties and applications of bismuth substituted iron garnets // IEEE Transactions on Magnetics. — 1976_ _ Vol. 12> no. 4. _ Pp. 292-311.

126. Microcavity one-dimensional magnetophotonic crystals with double layer iron garnet / Mikhailova TV, Karavainikov AV, Prokopov AR et al. // Journal of the Magnetics Society of Japan. — 2012. — Vol. 36, no. 1_2.

- Pp. 42-45.

127. Study on magnetophotonic crystals for use in reflection-type magneto-optical spatial light modulators / K Takahashi, F Kawanishi, S Mito et al. // Journal of Applied Physics. - 2008. - Vol. 103, no. 7. - P. 07B331.

128. Transformation of mode polarization in gyrotropic plasmonic waveguides / AN Kalish, DO Ignatyeva, VI Belotelov et al. /j Laser Physics. — 2014.

- Vol. 24, no. 9. - P. 094006.

129. Magnetoplasmonic crystals for highly sensitive magnetometry / Grig-ory A Knyazev, Pavel O Kapralov, Nikolay A Gusev et al. // ACS Photonics. - 2018. - Vol. 5, no. 12. - Pp. 4951-4959.

130. Magnetophotonics for sensing and magnetometry toward industrial applications / Conrad Rizal, Maria Grazia Manera, Daria O Ignatyeva et al. // Journal of Applied Physics. - 2021. - Vol. 130, no. 23. - P. 230901.

131. Lenz James E. A review of magnetic sensors // Proceedings of the IEEE. _ 1990. _ Vol. 78, no. 6. - Pp. 973-989.

132. Lenz James, Edelstein S. Magnetic sensors and their applications // IEEE Sensors journal. — 2006. — Vol. 6, no. 3. — Pp. 631-649.

133. Nano-and micro-scale Bi-substituted iron garnet films for photonics and magneto-optic eddy current defectoscopy / VN Berzhansky, AV Kara-vainikov, TV Mikhailova et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2017. - Vol. 440. - Pp. 175-178.

134. High-Q surface modes in photonic crystal/iron garnet film heterostruc-tures for sensor applications / DO Ignatyeva, Pavel Olegovich Kapralov, Grigorii Alekseevich Knyazev et al. // JETP letters. — 2016. — Vol. 104.

- Pp. 679-684.

135. Magneto-Optical properties of noble-metal nanostructures: functional nanomaterials for bio sensing / Maria Grazia Manera, Adriano Colombel-li, Antonietta Taurino et al. // Scientific reports. — 2018. — Vol. 8, no. 1. _ pp. 1-12.

136. Takeda, Hiroyuki, John Sajeev. Compact optical one-way waveguide isolators for photonic-band-gap microchips // Physical Review A. — 2008. — Vol. 78, no. 2. - P. 023804.

137. Magneto-optical circulator designed for operation in a uniform external magnetic field / Wojciech Smigaj, Javier Romero-Vivas, Boris Gralak et al. // Optics letters. - 2010. - Vol. 35, no. 4. - Pp. 568-570.

138. Zamani Mehdi, Ghanaatshoar Majid. Adjustable magneto-optical isolators with flat-top responses // Optics Express. — 2012. — Vol. 20, no. 22.

- Pp. 24524-24535.

139. Dmitriev Victor, Kawakatsu Marcelo N. Nonreciprocal optical divider based on two-dimensional photonic crystal and magneto-optical cavity // Applied Optics. - 2012. - Vol. 51, no. 24. - Pp. 5917-5920.

140. Terahertz vortex beam as a spectroscopic probe of magnetic excitations / Andrei A Sirenko, P Marsik, Christian Bernhard et al. // Physical review letters. - 2019. - Vol. 122, no. 23. - P. 237401.

141. All-optical vectorial control of multistate magnetization through anisotropy-mediated spin-orbit coupling / Shirong Lin, Zhongquan Nie, Weichao Yan et al. // Nanophotonics. — 2019. — Vol. 8, no. 12. — Pp. 2177-2188. - URL: https://doi.org/10.1515/nanoph-2019-0198.

142. Magneto-optical Intensity Modulation for Optical Vortex Beams with Orbital Angular Momentum / MA Yavorsky, EV Barshak, VN Berzhansky et al. // Physical Review Applied. - 2022. - Vol. 18, no. 5. - P. 054008.

143. Topological Faraday Effect for Optical Vortices in Magnetic Films / MA Yavorsky, MA Kozhaev, A Yu Fedorov et al. // Physical Review Letters. - 2023. - Vol. 130, no. 16. - P. 166901.

144. Lax Melvin, Louisell William H, McKnight William B. From Maxwell to paraxial wave optics // Physical Review A. — 1975. — Vol. 11, no. 4. — P. 1365.

145. Thurston Ro N. Elastic waves in rods and clad rods // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1978. — Vol. 64, no. 1. — Pp. 1-37.

146. Propagation and optical interaction of guided acoustic waves in two-mode optical fibers / Helge E Engan, Byoung Yoon Kim, James N Blake, Herbert J Shaw // Journal of Lightwave Technology. — 1988. — Vol. 6, no. 3. - Pp. 428-436.

147. Berry Michael V. Paraxial beams of spinning light // International conference on singular optics / SPIE. — Vol. 3487. — 1998. — Pp. 6-11.

148. Angular momenta, helicity, and other properties of dielectric-fiber and metallic-wire modes / MF Picardi, KY Bliokh, FJ Rodriguez-Fortuno et al. // Optica. - 2018. - Vol. 5, no. 8. - Pp. 1016-1026.

149. Mendonça José T, Thidé Bo, Then Holger. Stimulated Raman and Brillouin backscattering of collimated beams carrying orbital angular momentum // Physical review letters. — 2009. — Vol. 102, no. 18. — P. 185005.

150. Reversible orbital angular momentum photon-phonon conversion / Zhi-han Zhu, Wei Gao, Chunyuan Mu, Hongwei Li // Optica. — 2016. — Vol. 3, no. 2. - Pp. 212-217.

151. Photon-phonon spin-orbit interaction in optical fibers / Maxim Yavorsky, Dmitriy Vikulin, Constantine Alexeyev, Vladimir Belotelov // Optica. — 2021. - Vol. 8, no. 5. - Pp. 638-641.

194

Приложение А Тексты статей

Check for updates

optica

Photon-phonon spin-orbit interaction in optical fibers

Maxim Yavorsky,1* Dmitriy Vikulin,1 Constantine Alexeyev,1 and Vladimir Belotelov

2,3

1 V.I. Vernadsky Crimean Federal University, 295007 Simferopol, Russia 2Quantum Center, Skolkovo, 143025 Moscow, Russia 3Lomonosov Moscow State University, 119991 Moscow, Russia *Corresponding author: [e-mail]

Received 1 December 2020; revised 21 March 2021; accepted 21 March 2021 (Doc. ID 416498); published 4 May 2021

Spin—orbit interaction (SOI) is a striking physical phenomenon in which spin and orbital features of a particle or a wave field affect each other. Recently, there has been significant interest in the SOI of light as it accompanies a number of fundamental light—matter interaction processes, enabling intriguing applications. We demonstrate the spin-orbit coupling between photons and phonons, in contrast to recently reported studies dealing with a "single-field" SOI. We show that the spin angular momentum of phonons can be transformed into the orbital angular momentum of photons, and vice versa, during the fiber acousto-optic interaction. This results in the acoustic-spin-dependent, dynamically tunable generation of topologically charged optical vortex beams directly from a Gauss-like mode. This type of optical mode conversion can be useful in such vortex-based photonics applications as micromechanics, classical and quantum information technologies, and simulation of quantum computing. This particular example of a "two-field SOI" shows that the concept of spin-orbit coupling can be generalized to describe the interaction between elementary excitations of different physical nature. Our findings indicate that SOI-assisted effects might be found in physical systems with photon-phonon, magnon-phonon, electron-phonon, and other interactions, enabling tailored topologically charged multiparticle states in photonics, spintronics, plasmonics, etc. © 2021 Optical Society of America under the terms of the OSA Open Access Publishing Agreement

https://doi.org/10.1364/OPTICA.416498

It follows from Noether's theorem that any classical or quantum vectorial field can possess a special dynamic variable, angular momentum (AM), which is associated with the symmetry of the field with respect to certain rotations. A striking example is a vector electromagnetic field [1], for which it is shown that its total AM can be separated in two physically meaningful parts to be termed spin angular momentum (SAM) and orbital angular momentum (OAM) [2]. Such a division is especially instructive for paraxial optical beams. In this case, SAM, being associated with intrinsic polarization degrees of freedom, is ±h per photon for right- and left-hand circular polarizations a = ± 1, respectively. The OAM is connected with the spatial field distribution and for optical vortex

beams (OVBs) with helical wavefronts [3] of topological charge i = 0, ±1, ±2, ... equals ih per quantum. The concepts ofSAM and OAM have been extensively studied over the past decades both from the fundamental point of view [4] and practical vistas ranging from optical micromechanics [1] to classical and quantum information technologies [5—8].

In the early 1990s, an outstanding optical phenomenon— the spin—orbit interaction (SOI) of a photon— was unveiled by Zel'dovich et al. [9], in which the spin and orbital features of a laser beam were found to be influencing each another. Since then there has been a huge interest in studying the SOI of light, which was proven to be analogous to its quantum relativistic counterpart. Being an inherent property of Maxwell's equations, the SOI accompanies a number of fundamental light—matter interaction processes [10] such as inducing optical activity in photonic crystal fibers [11-13], spin-to-orbital AM conversion in crystals [14,15], the spin Hall effect oflight [16,17] and spin-dependent OVB generation in acoustically perturbed fibers [18], and at strong focusing and scattering [19,20]. Such effects have been shown to enable spin-dependent controlling of OAM-bearing beams as well as high-resolution probing of optical media at subwavelength scales.

Naturally, along with electrons and photons, other particles or waves can also be prepared in the states with nonzero AM, thereby being subject to the SOI. As an example, a considerable progress in studying spin and orbital AM of acoustic waves has been made [21-24], including demonstration that SAM and OAM of transverse phonons can be coupled in inhomogeneous elastic media [25]. Up to now, only a "single-field" SOI has been under consideration, which has been limited to the description of interplay between spin and orbital degrees of freedom of the only given wavefield (or the corresponding quasiparticle). Meanwhile, photon-phonon, magnon-phonon, electron-phonon, and other multiparticle interactions are at the heart of the most promising physical phenomena.

In this Letter, we report on the first demonstration of conversion of SAM of phonons to OAM of photons and vice versa in optical fibers with the acousto-optic interaction (AOI). We show that this AM transformation is accompanied by the generation of OVBs directly from a topological-charge-free Gauss-like mode. Moreover, the produced topological charge i = ±1 appears to be governed by the direction of circular polarization of a sound wave. It allows us to introduce the notion of the photon-phonon SOI as

2334-2536/21/050638-04 Journal ©2021 Optical Society of America

the underlying physical mechanism. This particular example of a "two-field" SOI shows that the concept of the spin-orbit coupling can be generalized to the description of interaction between elementary excitations of different physical nature. In practice, this can provide qualitatively new tools for controlling dynamic states in photonics, spintronics, plasmonics, etc.

We consider a standard circular fiber with an axially symmetric permittivity £0 (r) and a weak optical contrast A = (£co — £cl)/ 2£co between core £co and cladding £cl, which ensures the paraxial character of light propagation. Acoustically, the fiber is viewed as a homogeneous isotropic circular rod of radius a, for which the wave equation, at low acoustic frequency Ka ^ 1, is known to have a solution in the form of fundamental transverse linearly polarized flexural acoustic waves (FAWs) with displacement vectors ux,y = u0 cos(Kz — fit) [26]. Here u0 is the amplitude of the FAW of the frequency Q and the z-directed wavevector K, the subscript specifies the Cartesian components, and (r, <, z) are the cylindrical coordinates. Utilizing the known K-vector degeneracy of the orthogonally polarized waves, we introduce the circularly polarized transverse FAWs u(E) as the n/2-shifted sum of uxand uy:

u XS) = u 0cos( Kz — fit), uf] = —u 0 E sin( Kz — fit), (1)

where E =±1 specifies the direction of acoustic polarization. Note that this expression describes a transverse SAM-bearing FAW, which in the quantum picture corresponds to spin-1 phonons with SAM E H along the propagation direction [25] in a complete analogy with a circularly polarized optical beam.

We consider here the FAWs with the frequencies Q that are several orders of magnitude less than the frequencies w of optical fiber modes Q/w ^ 1, so that a fast optical subsystem can be treated as the adiabatically driven by a slow external acoustic perturbation. As was recently recognized [27], the FAW modifies the unperturbed fiber permittivity £0 (r) in two ways: (i) it renders the physical points of the unperturbed fiber a pure geometrical displacement and shifts them through the displacement vector Eq. (1), thus changing £0 (x, y) for £0 (x — ux, y — uy), and (ii) it changes the optical properties of a fiber material via the photoelastic effect [28]. In our case, the last effect appears to be negligible for the paraxial optical modes. Following the procedure in [27], one obtains the following permittivity of the fiber model under consideration [Fig. 1]:

£(r, t) = £0(r) + 2£(r) cos(E< + Kz — fit),

(2)

where £(r) = Asco(u0/r0) f, f(r) is the fiber's profile function [29], the prime stands for the derivative with respect to the argument, and r0 is the fiber's core radius.

Making use of the standard ansatz for the electric field E, E = J2~=_oo em (r, <)ei[(P +mK)z—(w+mQ)t] (see Supplement 1 for

(a) 4y

Fig. 1. The model of a circular step-index fiber endowed with the FAW [see Eq. (1)] of (a) the right-handed E = +1 and (b) left-handed E = — 1 circular polarization. The deformation of the fiber's core determined by the acoustic amplitude u0 is enlarged for illustrative purposes.

details), where P is the desired propagation constant and m, being the frequency mode number, defines the constituent optical modes em order in the frequency domain, one can bring the waveguide equation to the form of the eigenvalue equation

(//0 + VAOI )|* >= P 2>.

(3)

Here >= em(r, <)|m>, |m> = (..., 0, 1, 0, ...)T,

m =—<X)

where T stands for transposition and the unity is placed at the mth position. The eigenfunctions of the zero-order operator H0 =

E [V? + k2m£0(r) — 2mKP — (mK)2]|m>{m| are the optical

m =—<X)

modes of an unperturbed fiber with the frequencies wm = w + m Q and km = wm /c, c being the speed of light. These modes can be chosen in the form of circularly polarized OVBs |m, tf, £>, the spatial distribution of which in the basis of linear polarizations E = (Ex, Ey )T reads as

|tf, £> = Ft(r) exp(i£<)(!, itf)T,

(4)

where Fi(r) is the known radial function [29]. The operator of AOI is given by

VAOI = VS+I + ,

(5)

with

VO = £ exp(±iE<) ^ k2T1 \n){n ^ 1|. (6)

n = — (Xl

The effect of the AOI on the zero-order states in Eq. (4) can be allowed for by making use of the perturbation approach [30] (see Supplement 1 for details). In this paradigm the resonance optical modes are formed via an efficient coupling of accidentally degenerate zero-order states |m, o, I) by the perturbation operator in Eq. (5). From Eqs. (4) and (5) it is easy to see how the operators VSO transform the basis vectors

K^|m,or, £>= k2m|m ± 1,or,£ ± E>

(7)

Thus, an initial topological charge I of the OVB happens to be shifted by polarization number E of the acoustic beam simultaneously with the corresponding increase or decrease of the optical frequency. Also, operators Koi provide specific selection rules for the coupled optical modes {tf', VOi ~ ^^',£±e, where the integration over the fiber's cross section is implied, which describe hybridization of the acoustic spin and optical orbital degrees of freedom through the second Kronecker symbol. Yet the perturbation matrix elements give rise to the appearance of the AOI-induced corrections to the zero-order propagation constants. These features indicate that the operator of the AOI Eq. (5) should be recognized as the Hamiltonian of the photon-phonon SOI completely similar to the Hamiltonians of the SOIs of electrons, photons, and phonons.

Following [30], we arrive at the expressions of the optical resonance modes of a two-mode optical fiber in question (see Supplement 1 for details):

Fig. 2. (a) The transmission spectra Wk = \ck |2 for the incident W1 and generated W2 states in Eqs. (10) and (13) for the optimal fiber's length L0 = 2.8 cm and the acoustic power P = 10 mW. Note that W1 + W2 = 1. (b) The dependence of the generated OAM of the state in Eq. (10) on the acoustic power at fiber's length £ = 4.6 cm, the wavelength X = 632.8 |Mm. The fiber's and acoustic wave's parameters: r0 = 6.3 |Mm, outer fiber diameter a = 80 |Mm, A = 0.001, waveguide number V = 4.14, and Q = 4.997 Mhz.

|*;ct)> = [sin e\0, a, 0) + cos e\ - 1, a, -E>]e^£, |^2a)> = [cos e\0, a, 0) - sin e\ - 1, a, -E>]ei/2£,

\^3a)> = [sin e\0, a, -E> - cos e\ + 1, a, 0>]e

i fo £

\^4a)> = [cose\0, a, -E> + sin e\ + 1, a, 0>]e

i ^4 £

(8)

As is seen, the modes in Eq. (8) are formed by the superposition of the identically polarized frequency-shifted fundamental modes \a, 0> and the OVBs \a, - E >. The energy distribution within the resonance modes is governed by the parameter 0 < e < n/4 defined as cos2e = (e/^e2 + Q2). Here 6 = K - K, and the resonance value of the acoustic wavevector K = /30 - /31 is defined through the well-known scalar propagation constants [29] and the mode coupling strength for the step-index fibers Q a k Au0/r0.

The propagation constants of modes [Eq. (8)] are found to be

/1,2 = /^0 + e±,

3,4 = P1 - e±,

(9)

where e± = (1/2)(e ± y e2 + Q2). Naturally, at the resonance e = 0 the strongest splitting of the propagation constants ± Q as well as the strongest hybridization of the partial states within modes in Eq. (8) at e = n/4 take place. Now let the circularly polarized fundamental mode at frequency w be propagating in the fiber endowed with the E-polarized FAW: \^in> = \0, a, 0>. The optical beam in the fiber, save for a common phase factor, can be expressed as

!*(*)> = c 1 (£)\0, a, 0> + c2(£)\ - 1, a, -E>, (10) where the coefficients c 1,2 (£) are given by

c 1 (£) = cos(n£) + i cos2e sin(n£), c2(£) = i sin 2e sin(n£),

_ (11)

with n = 0.5^62 + Q2. Note that \c 1 \2 + \c2\2 = 1, which implies the energy conservation. From Eqs. (10) and (11) it follows that when (i) the resonance regime e = 0 is implemented and (ii) the fiber has the optimal length Lm = (2m+1)n, all the incident energy becomes accumulated in the generated frequency downshifted optical vortex mode [see Fig. 2(a)]

\0, a, 0> ^ \ - 1, a, -E>.

(12)

Analogously, for the incident OVB of topological charge : = - E at frequency w, \ ^> = \ 0, a, - E >, Eqs. (8) and (9) give

!*(£)> = c 1 (£)\0, a, -E> + c2(£)\ + 1, a, 0>, (13)

and the upcoming optical beam can be completely converted into the frequency-upshifted topological-free mode at s = 0 and £= Lm:

\0, a, -E> ^ \ + 1, a, 0>.

(14)

From the classical point of view, the fiber mode transformations in Eqs. (12) and (14) can be regarded as a result of the diffraction of the incident optical beams on the acoustically induced long-period fiber grating. Importantly, the circularly polarized FAW Eq. (1) considered here appears to produce in the fiber a helical fiber grating [the second term in Eq. (2)] that possesses the acoustically defined E -fold rotational symmetry. As it has been previously shown [31], a helically shaped lattice has the topological activity— the ability to change the incoming topological charge by E units, i' = i ± E as in Eqs. (12) and (14) at (i) i = 0 and the lower sign and (ii) i = - E and the upper sign, respectively.

Obviously, the described topological charge shifting gives rise to the corresponding change in the optical OAM L opt [32] by E h per photon:

L opt = L opt ± E h.

(15)

Given that the FAW has zero OAM and the second orbital term is governed by the handedness of acoustic polarization, Eq. (15) conveys the conversion of acoustic SAM to optical OAM in Eq. (14) and vice versa in Eq. (12), which is a direct manifestation of the photon-phonon SOI.

As follows from Eq. (12), the acousto-optic SOI provides an additional means to the all-fiber effective stable generation oftopo-logical charge ± 1 OVBs directly from the fundamental Gauss-like mode. In addition, this process gives the possibility of electronically controlled continuous changing of OAM of the generated OVB from 0 to ±h via varying the acoustic power as well as fast dynamic switching from - h to h simply by changing the sign of the excited acoustic polarization [see Fig. 2 (b)]. These effects can be useful while developing new acousto-optic devices for optical vortex control in modern classical and quantum telecommunication systems [5,7,8], optical trapping and micromanipulation [33], and simulation of quantum computing [6]. Note that OVBs of higherorder OAM can be also generated via the described acousto-optic SOI using the principle of a cascaded mode conversion [34], which implies the simultaneous excitation of two or more FAWs with different frequencies.

To gain a deeper physical insight into the established spin-to-orbital AM transformation, one has to involve the quantum considerations, thereby treating the AOI as a photon-phonon scattering process. It should be pointed out that the total energy, linear momentum, and angular momentum of the interacting particles are the conserved quantities. In this way, the optical mode conversion in Eq. (14) can be conceived as follows [see Fig. 3]: a photon in the vortex state with energy hw, momentum h/31, and OAM - hE absorbs a phonon in a state \ E > carrying energy hQ, momentum hK, and SAM hE and becomes the fundamental mode photon of upshifted energy h(w + Q) and momentum h/30, and zero OAM. Since during this process the SAM of the photons remains unchanged, which is owing to a scalar nature of the AOI in the problem, and the phonon has no orbital constituent of its AM, the OAM of the resulting photon can originate only from the acoustic SAM in compliance with Eq. (15), where the upper sign

Fig. 3. Illustration of the photon-phonon creation and annihilation processes accompanied by the spin-to-orbital AM transformation for (a) right E = +1 and (b) left E = — 1 circularly polarized phonons excited in the fiber. The two arrows directed from the t = 0 photon show the processes of generation of the vortex photons with helical wavefronts of topological charge t = — E accompanied by the phonon emission. The other two arrows correspond to the phonon absorption resulting in the emergence of the photon with plane wavefront of zero vorticity.

is used. Analogously, the optical state transformation expressed by Eq. (12) can be treated as emission by a fundamental mode photon of energy Hw, momentum H/30, and zero OAM the phonon |E >, and conversion into a downshifted in energy H(w — Q) and impulse Hp31 vortex photon with OAM —HE. Naturally, the SAM of the created phonon can originate only from the difference in the OAM of the initial and final photon states according to Eq. (15) taken with the lower sign. In this way, the photon-phonon creation and annihilation processes accompanied by the spin-to-orbital AM conversion look like

K 0) ^ |or, -E) + |E>

(16)

Please note that since (i) the propagation constant KL of the acoustic mode | E, L > in the cylinder is dependent on the azimuthal number L and (ii) the momentum conservation entails Kl = /30 — /31 for the above implied fiber parameters, then one gets L = 0 and the stimulated emission scenario for the zero-OAM phonons |E> = |E, 0> used in Eq. (16) is the only possible one. We also note that during the AOI of this type [35], the emerging photon is always forward scattered so that the linear momentum conservation is provided due to a significant change in its propagation constant /3t via the incident photon transition to the t -shifted optical states. Such an AOI scenario drastically differs from the well-known backward Brillouin scattering and forward Brillouin localized acoustic-wave scattering in waveguides [36], where a principal scattering direction is dictated by optical and acoustic dispersion laws.

As a final remark, we note that the mode conversion established here can be easily verified by using the standard measurement technique [35].

In conclusion, we study the light propagation in circular optical fibers endowed with a travelling flexural acoustic wave carrying the SAM by obtaining the analytical solution of the wave equation. We unveil that the SAM of the acoustic wave can be transformed into the OAM of the optical modes and vice versa during the photon-phonon interaction. A novel method of the all-fiber effective generation and dynamic wavelength tunable control ofoptical vortices via acoustic spin is predicted. We introduce the notion of the photon-phonon spin-orbit interaction as the underlying physical mechanism. Our results generalize the notion of the spin-orbit coupling to the case of interaction between elementary excitations of different nature and thus might pave the way to new approaches in tailoring multiparticle topologically charged states in photonics, spintronics, plasmonics, etc.

Funding. Russian Science Foundation (20-12-00291, formulating the model, studying the photon-phonon SOI); Ministry of Education and Science of the

Russian Federation, Megagrant project (075-15-2019-1934, developing the perturbation theory for the waveguide equation).

Disclosures. The authors declare no conflicts of interest.

Data Availability. Data underlying the results presented in this paper are not publicly available at this time but may be obtained from the authors upon reasonable request.

Supplemental document. See Supplement 1 for supporting content.

REFERENCES

1. A. Yao and M.Padgett, Adv. Opt. Photon. 3,161 (2011).

2. A. Bekshaev, K. Y. Bliokh, and M. Soskin, J. Opt. 13, 053001 (2011).

3. Y. Shen, X. Wang, X. Zhenwei, C. Min, X. Fu, Q. Liu, M. Gong, and X. Yuan, Light Sci. Appl. 8, 90 (2019).

4. S. M. Barnett, L. Allen, R. P. Cameron, C. R. Gilson, M. J. Padgett, F. C. Speirits, and A. M. Yao, J. Opt. 18, 064004 (2016).

5. G. Molina-Terriza, J. P. Torres, and L. Torner, Phys. Rev. Lett. 88, 013601 (2001).

6. K. F. Lee and J. E. Thomas, Phys. Rev. Lett. 88,097902 (2002).

7. N. Bozinovic, Y. Yue, Y. Ren, M. Tur, P. Kristensen, H. Huang, A. E. Willner, and S. Ramachandran, Science 340,1545 (2013).

8. A. E. Willner, H. Huang, Y. Yan, Y. Ren, N. Ahmed, G. Xie, C. Bao, L. Li, Y. Cao, Z. Zhao, J. Wang, M. P. J. Lavery, M. Tur, S. Ramachandran, A. F. Molisch, N. Ashrafi, and S. Ashrafi, Adv. Opt. Photon. 7,66 (2015).

9. V. S. Liberman and B. Y. Zel'dovich, Phys. Rev. A46, 5199 (1992).

10. K. Y. Bliokh, F. J. Rodríguez-Fortuño, F. Nori, and A. V. Zayats, Nat. Photonics 9, 796(2015).

11. X. M. Xi, T. Weiss, G. K. L. Wong, F. Biancalana, S. M. Barnett, M. J. Padgett, and P. St.J. Russell, Phys. Rev. Lett. 110,143903 (2013).

12. C. N. Alexeyev, B. P. Lapin, G. Milione, and M. A. Yavorsky, Phys. Rev. A 92, 033809 (2015).

13. C. N. Alexeyev, E. V. Barshak, B. P. Lapin, and M. A. Yavorsky, Phys. Rev. A 98, 023824(2018).

14. A. Ciattoni, G. Cincotti, and C. Palma, Phys. Rev. E 67,036618 (2003).

15. L. Marrucci, C. Manzo, and D. Paparo, Phys. Rev. Lett. 96, 163905 (2006).

16. K. Y. Bliokh and Y. P. Bliokh, Phys. Rev. Lett 96, 073903 (2006).

17. K. Y. Bliokh, J. Opt. A11, 094009 (2009).

18. M. A. Yavorsky, Opt. Lett. 38,3151 (2013).

19. Y. Gorodetski, A. Niv, V. Kleiner, and E. Hasman, Phys. Rev. Lett. 101, 043903 (2008).

20. K. Y. Bliokh, E. A. Ostrovskaya, M. A. Alonso, O. G. Rodríguez-Herrera, D. Lara, andC. Dainty, Opt. Express 19,26132(2011).

21. R. Marchiano and J.-L. Thomas, Phys. Rev. Lett. 101, 064301 (2008).

22. A. Anhauser, R. Wunenburger, and E. Brasselet, Phys. Rev. Lett. 109, 034301 (2012).

23. K. Y. Bliokh and F. Nori, Phys. Rev. B 99,174310 (2019).

24. C. Shi, M. Dubois, Y. Wang, and X. Zhang, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 114, 7250(2017).

25. K. Y. Bliokh and V. D. Freilikher, Phys. Rev. B 74,174302 (2006).

26. H. E. Engan, B. Y. Kim, J. N. Blake, and H.J.Shaw, J. Lightwave Technol. 6,428(1988).

27. M. A. Yavorsky, D. V. Vikulin, E. V. Barshak, B. P. Lapin, and C. N. Alexeyev, Opt. Lett. 44,598 (2019).

28. A. Yariv and P. Yeh, Optical Waves in Crystals (Wiley, 1984).

29. A. W. Snyder and J. D. Love, Optical Waveguide Theory (Chapman and Hall, 1985).

30. C. N. Alexeyev, E. V. Barshak, A. V. Volyar, and M. A. Yavorsky, J. Opt. 12, 115708(2010).

31. C. N. Alexeyev, B. P. Lapin, and M. A. Yavorsky, Phys. Rev. A 78, 013813 (2008).

32. M. F. Picardi, K. Y. Bliokh, F. J. Rodríguez-Fortuño, F. Alpeggiani, and F. Nori, Optica 5,1016(2018).

33. O. M. Marag, P. H. Jones, P. G. Gucciardi, G. Volpe, and A. C. Ferrari, Nat. Nanotechnol. 8,807 (2013).

34. W. Zhang, L. Huang, K. Wei, P. Li, B. Jiang, D. Mao, F. Gao, T. Mei, G. Zhang, and J. Zhao, Opt. Lett. 41, 5082 (2016).

35. J. Lu, F. Shi, J. Xu, L. Meng, L. Zhang, P. Cheng, X. Zhou, F. Pang, and X. Zeng, Nanophotonics 10, 983 (2021).

36. A. Kobyakov, M. Sauer, and D. Chowdhury, Adv. Opt. Photon. 2, 1 (2010).

Editors' Suggestion

Topological Faraday Effect for Optical Vortices in Magnetic Films

M. A. Yavorsky©,1 M. A. Kozhaev©,2 A. Yu. Fedorov©,2,3 D. V. Vikulin©1 E. V. Barshak©,1 V. N. Berzhansky,1 S. D. Lyashko©,1 P. O. Kapralov©,2,3 and V. I. Belotelov1,2,4 1V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Vernadsky Prospekt, 4, Simferopol, 295007, Crimea 2Russian Quantum Center, Skolkovo, Moscow Region 143025, Russia 3Moscow Institute of Physics and Technology, Dolgoprudny, Moscow Region 141701, Russia 4Photonic and Quantum Technologies School, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University,

Leninskie gori, 119991 Moscow, Russia

(Received 17 June 2022; accepted 17 March 2023; published 18 April 2023)

Here we experimentally demonstrate the topological Faraday effect—the polarization rotation caused by the orbital angular momentum of light. It is found that the Faraday effect of the optical vortex beam passing through a transparent magnetic dielectric film differs from the Faraday effect for a plane wave. The additional contribution to the Faraday rotation depends linearly on the topological charge and radial number of the beam. The effect is explained in terms of the optical spin-orbit interaction. These findings underline the importance of using the optical vortex beams for studies of magnetically ordered materials.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.130.166901

Magneto-optical effects mediate interplay between optics and magnetism and provide efficient tools for a vast range of applications including imaging of magnetic patterns and control of light at gigahertz and even terahertz rates. The Faraday effect is the most well-known magneto-optical effect, which is rotation of linear polarization of light upon light propagation through a magnetized medium [1]. The Faraday rotation is due to a phenomenon of magneto-optical circular birefringence—a difference of refractive indices of right- and left-handed circularly polarized light propagating through a transparent magnet along its magnetization. From a quantum mechanics view in magnetic solids the difference originates due to the Zeeman splitting of energy levels of electrons in the external magnetic field.

Bismuth substituted rare-earth iron garnet thin films are the most popular magneto-optical materials, since Faraday rotation in them can reach several and even 10° per micron depending on the light wavelength and bismuth concentration [2,3]. The iron garnet band gap is at around 530 nm; therefore, this material is transparent in the long wavelength visible light and in the infrared including telecommunication frequencies. For these reasons, the iron garnet films serve as key elements in magnetophotonics, ultrafast magnetism, and spintronics [4-8]. On the basis of iron garnet films, isolators, circulators, magneto-optical light modulators, and magnetic sensors with outstanding performance have been demonstrated [9,10].

Up until now, the most studies of the magneto-optical effects in the films have been restricted to the usage of optical waves with the plane wave front. Such beams are able to bear only spin angular momentum (SAM), which, being associated with intrinsic polarization degrees of freedom, can take only two values ±h per photon for

right- and left-handed circular polarization, respectively. Only quite recently, the interaction between optical vortex beams (OVBs) with helical wave fronts [11] of topological charge l = ±1,±2,..., which can additionally carry orbital angular momentum (OAM) [12-14] €h per quantum, and a magnetic system was considered. Thus, in [15,16], it was experimentally demonstrated that a coupling of a terahertz vortex OAM to a magnetized medium results in a dichroism that differs from that for a wave with only SAM. This finding proves that involving OVBs in the standard Faraday configuration can invoke principally novel magneto-optic phenomena.

In this Letter, we experimentally show a new magneto-optical effect of the Faraday rotation for the linear polarized OVBs passing through a transparent magnetic film magnetized out of plane. The Faraday effect becomes dependent on the topological charge l, radial number m, and beam radius w0 of a normally incident optical vortex state. As a result of a theoretical analysis, the optical spin-orbit interaction (SOI) [17,18] is identified as the underlying physical mechanism. Moreover, we show that the SOI manifests in a spin-dependent scale transformation of the fundamental Gouy phase of the circularly polarized OVBs.

The transparent magnetic film used in the experimental studies is represented by 2 ^m thick iron garnet film Bi1.25Y1.5Eu0.2La0.05Fe3.5Al1.1Ga0.4O12 epitaxially grown on top of the gadolinium gallium garnet (GGG) substrate (see Supplemental Material [19]). The film of such composition has diminished saturated magnetization and, therefore, it has out-of-plane uniaxial magnetic anisotropy and, in the absence of external magnetic field, it stays in a polydomain state with domains magnetized out of plane. The conventional Faraday effect of the film measured with

0031-9007/23/130(16)/166901(6) 166901-1 © 2023 American Physical Society

FIG. 1. Schematic of the normal incidence of optical vortex beams with helicoidal wave fronts of topological charge 1 = ± 1 on the film, which is placed alternating along the z-axis external magnetic field. The topological Faraday effect Sa has the opposite sign with respect to the conventional one a0. w0 is the beam waist.

the unfocused laser beam is 1.4° at a wavelength of 633 nm, which is comparable with iron garnets with similar concentration of bismuth [20].

The measurements were performed with linearly polarized OVBs at a wavelength of 633 nm, which were obtained out of a Gaussian beam via a spatial light modulator (see Supplemental Material [19]). These vortices passed through the system of mirrors and were focused by a objective on the sample, which was placed in alternating along the z-axis external magnetic field as shown in Fig. 1. Then optical beam was collimated by a second objective and divided by a nonpolarizing beam splitter into two parts. The first one was used to detect its intensity by power meter, while the second one was split into two parts by a Wollaston prism and used to analyze polarization rotation by a balanced photodetector.

In this Letter, we generated OVBs with topological charges 1 = 0, ±1, ±2. For each 1 we fixed the position of the focusing beam waist, moved the sample relative to this waist with a step of 1.25 ^m, and measured the polarization rotation for each sample position. Figure 2 shows the experimental data for the normalized Faraday angle an = a/a0 of the OVBs, which equals the ratio of the observed Faraday angle a to the Faraday angle a0 for the sample position far from the beam waist (the regime of a plane wave).

As is seen from Fig. 2, there is a nonmonotonic dependence of the Faraday effect on the position of the sample center z relative to the beam waist (z = 0). When the waist is located in the middle of the film depth, the deviation of the Faraday effect for the OVBs from the Faraday effect of a plane wave gets maximal. For the focused beam with 1 = 0 the Faraday angle becomes about 0.14% lower than the one for the plane wave (Fig. 2, black squares). If the beam carries angular momentum with the topological charge of 1 = ±1 then the Faraday angle decreases by 0.31% and of 1 = ±2 by 0.52% relative to

-20 0 20 40

Sample position (um)

FIG. 2. The normalized Faraday angle an — a/a0 of the OVBs with the beam waist w0 — 1.5 ^m for different topological charges as a function of the position of the sample z relative to the beam waist (z — 0). Solid curves represent theoretical results obtained from Eq. (7) for 1 — 0 (yellow line), 1 — ±1 (purple line), 1 — ±2 (red line). The inset compares the topological Faraday effect for the 1 — 1 vortices with different beam waists: w0 — 1.5 ^m (green dots and line) and w0 — 2.0 ^m (brown dots and line). The residual Faraday effect from GGG substrate is presented in the Supplemental Material [19].

the plane wave. The effect does not depend on the sign of the topological charge: the experimental points for 1 — ±1, ±2 coincide within the measurement accuracy (Fig. 2, dark yellow and blue, orange and violet symbols, respectively).

Note that the 100x and 50x objectives were used in order to obtain relatively small values of the beam waist w0 — 1.5 ± 0.1 and w0 — 2.0 ± 0.1 ^m, respectively, which were determined by the "knife-edge" method [21]. As follows from both the experimental measurements and theory developed below, it allows us to essentially enlarge a quite small topologically dependent contribution to the total polarization rotation, thereby making it possible to obtain reliable results with a high signal-to-noise ratio. At that, it is important that the generated optical beams are paraxial upon propagation in the magnetic film with a refractive index n — 2.49 as the standard criterion of paraxiality (i0/w0n) ^ 1 is satisfied [22]. Thus, a relatively strong focusing does not cause the appearance of topological rotation per se, but simply is used to magnify its value. Also, the low cw laser power of only 50 ^W was used to eliminate the unwanted optical heating effects in the magnetic film as well as nonlinear-optical effects of all sorts. The experimentally obtained, on the CCD matrix, intensity distribution in the transverse plane of the OVBs after the film and the corresponding intensity distribution with some astigmatism along the horizontal direction show the magnitude and sign of topological charge 1 [23] in Fig. 3. Importantly, these results indicate that the topological charge (and OAM) of the OVBs is conserved upon the propagation through the film.

FIG. 3. (a)-(e) The experimentally detected intensity distribution in the transverse plane of the optical beams after the film and (f)-(j) the corresponding intensity distribution with some astigmatism along the horizontal direction: (c),(h) 1 = 0; (d), (i) 1 = 1; (b),(g) 1 = -1; (e),(j) 1 = 2; (a),(f) 1 = -2.

To support theoretically the above presented experimental results, we consider the dielectric permittivity tensor that describes the investigated magnetic film in the visible spectral range with the transverse part [1]: e = e3o — 8e3-2, where ck stands for the Pauli matrices, the magnetically induced optical birefringence 8e ^ e, and the magnetic field is directed along the beam propagation, i.e., along the z axis (see Fig. 1). Note that we use the standard electric dipole approximation, within which the magnetic permeability is not changed ^ = 1. Let a monochromatic, E a e—iat, circularly polarized OVB of an arbitrary integer topological charge 1, Ec(r, p, 0) = Ff(r) exp(ilp), be normally incident on the film, where c = ±1 stands for the right and left circular polarization, respectively, and the basis of circular polarizations with E± = (1/\/l)(Ex iEy) is implied. The optical beam propagating through the film can be then presented, save for a common phase factor e^k0z, as the following integral over the transverse wave vector of a plane wave spectrum (see Supplemental Material [19]):

E0(r, y, z) = exp (ify) exp

io8e

2^

k±dk± Jf (kj_r)

x exp ( -^^z )Ff(k±),

2\/eko

E_0(r, y, z) = _io exp [i(f + 2o)y]

k3

topological charge 1 as the incident state. In contrast, the emerged in the medium orthogonally polarized component E—c(z) comprises a generated optical vortex state with the shifted by the two polarization numbers topological charge 1 + 2c, which is the direct manifestation of the SOI of light in anisotropic media. Here, for the implied paraxial beams E—c(z)/Ec(z) a (k^/ek0)2 ^ 1, so that, independent of a particular form of the incident radial field distribution Ff(r), the energy of the new vortex state turns out to be negligible at any propagation distance z. It means that circularly polarized optical vortices prove to be inherent eigenstates for the media with the considered magnetically induced optical anisotropy in the sense that the incident polarization and SAM as well as topological charge and OAM remain unchanged during the propagation, which is confirmed experimentally (Fig. 3). Please note that this feature is in sharp contrast as compared with the previously well-studied processes of the OVB generation in uniaxial [24,25] and biaxial crystals [26,27] as well as in the Pancharatnam-Berry phase elements [28,29]. The second important peculiarity of the SOI-mediated propagation of the beam Ec (z) is the dependence of the diffraction process on the SAM of the incident field through

in the integrand in Eq. (1).

Let us now consider the relevant case of the incidence of the cylindrically symmetric circularly polarized Laguerre-

Gauss (LG) OVBs E(r, p, 0) = 1$^),

= ecX'1' L^X2) exp (—X2/2 + i1p), (2)

where L^' (r) is the generalized Laguerre polynomials, m is the radial number, X = \/2r/w0 with the beam waist w0, and ec are the unit vectors of circular polarization. Substituting Eq. (2) into Eq. (1), we obtain the following expressions for the optical beam propagating in the film (see Supplemental Material [19]):

l^ftXz) = eofo(r, z) exp [i(fy _ aaz + nor2 + )],

fo (r,z) =

Wo Wo (z)

xOf|Llf|(X2) exp (_X2/2).

(3)

I TO

x / dkj

o

P 1 & 4 = 1 _ 0 ,

2ek0'

Jf+2o(k±r) sin(ökz)Ff(k±), Here X = \flr/wa, (z)= + (Poz/zo)2 is the

Ff(k±) = rdrJf(kLr)Ff(rL). o

(1)

Here 8k = (8ek0/2^/£)[1 — (k2/2ek0)] with the vacuum wave number k0 = 2n/X, and Jf is the Bessel function of the first kind and order 1.

It is seen that the beam component of the incident polarization Ec (z) in Eq. (1) bears the OVB of the same

beam radius, z0 = ny/£w0/X is the Rayleigh distance, nc(z) = {k0P£/[2Rc(z)]g, Rc(z) = 4z + (z2/4z) is the radius of the wave front curvature, ac = —ck0(8e / 2^/e) is the standard Faraday term, and is the Gouy phase [30].

It is seen that beam parameters inside the film appear to be modified as compared to the free-propagating LG OVBs (|c = 1), so that they become dependent on the field's SAM (ch) and magnetically induced circular birefringence 8e through the factor Here, the most important effect is the SOI-mediated spin-dependent scale transformation of the fundamental Gouy phase for the

00

x

o

OVBs. Since 8e ^ 1, the Gouy phase takes the following form (see Supplemental Material [19]):

4>a (z)=0(z)+|| + 2m + 1)

Sez

koe3/2w2(z)'

(4)

where 0(z) = — (|1| + 2m + 1) arctan (z/z0) and w(z) = w0V/1 + (z/z0)2 are the standard polarization-independent Gouy phase for the LG beams and the beam radius, respectively. The last term in Eq. (4) is an additional (with respect to the Faraday term aa) magneto-optical correction to the propagation constant of the LG vortices, which proves to be dependent on the modulus of the topological charge and the radial mode number and has the opposite signs for orthogonal circular polarizations. Its dependence on the propagation distance z is shown in Fig. 4. Despite its smallness, for the first time demonstrated here, the SOI-induced modification of the Gouy phase for the topologically charged optical beams might be relevant to various research fields ranging from the laser cavities [31], high-order harmonic generation [32], and ultrashort pulses in a laser focus [33] to gravity wave detection antennas [34] and relativistic quantum physics [35].

The obtained phase correction in Eq. (4) gives rise to a new magneto-optic effect. Indeed, let a linearly polarized along the x axis OVB |¥in) = + 1«) be normally

incident on the film. Disregarding an insignificant polarization dependence of the beam amplitude in Eq. (3), the optical beam in the medium, save for a common phase factor, looks like

l Y(z)> = f(r,z) exp (i1^)(cos a, — sina)T, (5)

where T stands for transposition, with an angle of linear polarization rotation

a(z) = -k

,o ^ + ( | 1 | + 2m + 1)

Sez

2e

ko e3/2 w2(z)

• (6)

CO 03 c. CL

>■ -0.01 o <3 as

£ -0.02

f / / / / / J ^V^o^+l^^____

\ <7=-i

• /

■ t

. /

\ !

V

-10 -SO 5 10

The propagation distance (zIzq)

FIG. 4. The difference between the SOI-modified and standard Gouy phase for the right and left circularly polarized OVBs with topological charge 1 = 1 and radial number m = 0.

Here the first term represents the conventional Faraday effect for a plane wave a0, while the second one describes a novel effect of an additional optical SOI-induced OAM-dependent polarization rotation, to which we refer to as the topological Faraday effect. Noticeably, this magneto-optic effect should exist even for the regular optical beams with the zero topological charge l = 0 given that the beam radius w(z) is finite, which is consistent with the experimental results (see Fig. 2, black dots and yellow curve).

Please note that, unlike the standard Faraday effect, the additional topological Faraday correction in Eq. (6) does not increase linearly with the z coordinate, but reaches its maximal value 5amax = ( | 1 | + 2m + 1)5e/4e at a film thickness d equal to the Rayleigh distance d = z0 (Fig. 4). Using the reciprocity of the propagation of an optical beam, the expression for the topological Faraday effect in Eq. (6) normalized to a0 can be directly adopted to the experimental scenario, in which the position of the beam focus z can be either inside or outside the film,

a„ = 1 -

2( | 1 | +2m + 1) e(ko wo)2

z/d

u + (zo)

■ +

1 - z/d