Оптические приложения атомных и молекулярных столкновений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор наук Герасимов Владислав Владимирович

• Герасимов Владислав Владимирович
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Герасимов Владислав Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЕЧЕНИЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕДАЧИ ВОЗБУЖДЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ АТМОСФЕРЫ ЧИСТО ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ

РАМАНОВСКИМИ ЛИДАРАМИ

1.1 Традиционные методы определения сечений столкновительной

передачи возбуждения

1.1.1. Столкновительные реакции

1.1.2. Общие формулы вычисления сечений СПВ

1.1.3. Экспериментальные трудности и ошибки измерения

сечений СПВ

1.1.4. Поправка на диффузию излучения и каскадные переходы,

1.1.5. Примеры столкновительных реакций

1.2. Измерение температуры атмосферы с помощью чисто вращательных рамановских лидаров

1.2.1. Принципиальная схема лидар а

1.2.2. Лидарное уравнение

1.2.3. Спектр чисто вращательного рамановского рассеяния молекул

азота и кислорода

1.2.4. Интенсивность линий чисто вращательного рамановского

спектра молекул азота и кислорода

1.2.5. Чисто вращательный рамановский лидарный метод

1.2.6. Калибровка чисто вращательных рамановских лидаров

1.3. Метод матрицы рассеяния,

1.4. Выводы к Главе

ГЛАВА 2. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЕЧЕНИЙ ПЕРЕДАЧИ ВОЗБУЖДЕНИЯ

В СТОЛКНОВЕНИЯХ АТОМОВ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ

МЕЖДУ СОБОЙ И С АТОМАМИ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ

2.1 Лазеры на парах РЗМ со столкновительным заселением верхних

лазерных уровней

2.1.1. Систематизация резонансных переходов в атомах РЗМ по типу

конфигурации верхнего состояния

2.1.2. Особенности передачи возбуждения в столкновениях с участием

атомов РЗМ

2 1 О Т __и с» и

.1.3. Т емпературныи диапазон и условия устоичивои работы

газоразрядных лазеров на парах РЗМ

2.2 Описание метода

2.2.1. Процессы заселения и опустошения уровней атомов,

2.2.2. Формулы для оценки сечений СПВ в случае одного

резонансного уровня-донора

2.2.3. Экспериментальные величины для оценки сечений СПВ

2.2.4. Сечение передачи возбуждения в случае нескольких резонансных уровней-доноров

2.3. Преимущества и недостатки метода

2.4. Экспериментальная оценка сечений СПВ с участием атомов РЗМ

2.4.1. Пленение резонансного излучения в лазерах

на парах Тт, Но, Бу, Бг

2.4.2. Сечение передачи возбуждения в столкновениях Бу-Бу

2.4.3. Сечение передачи возбуждения в столкновениях Tm-Бr

2.4.4. Сечения передачи возбуждения в столкновениях

Тт-Тт и Тт-Не

2.5. Выводы к Главе

ГЛАВА 3. ДВУХУРОВНЕВЫЕ СИСТЕМЫ С ТЕПЛОВЫМ СОЗДАНИЕМ

ИНВЕРСИИ НАСЕЛЕННОСТЕЙ И ПЕРЕХОДАМИ

В ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ

3.1 Модель двухуровневых лазеров на парах редкоземельных металлов

3.1.1. Особенности электронного строения поверхности

и термического испарения РЗМ

3.1.2. Инверсия населенностей в приповерхностном слое паров РЗМ,

3.2. Энергетические характеристики вынужденного излучения

двухуровневых систем

3.2.1. Удельные энергетические характеристики

3.2.2. Анализ переходов и численная оценка энергетических характеристик вынужденного излучения в парах

Рг, N4 8ш, Ей, ТЬ, Бу, Но, Бг и Тт

3.2.3. Спектр спонтанного излучения испарившихся атомов 8ш_

3.3. Столкновительное расселение верхних уровней

двухуровневых систем

3.4. Выводы к Главе 3,

ГЛАВА 4. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ФУНКЦИИ В ЧИСТО ВРАЩАТЕЛЬНОМ

РАМАНОВСКОМ ЛИДАРНОМ МЕТОДЕ

4.1 Калибровочная функция в общем аналитическом виде

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Функции пропуская спектральных фильтров

4.1.3. Профиль и ширина ЧВР линий

4.1.4. Общая калибровочная функция

4.2. Частные случаи общей калибровочной функции

4.2.1. Правила отбора для частных калибровочных функций

4.2.2. Линейная функция с двумя калибровочными коэффициентами

4.2.3. Функции с тремя калибровочными коэффициентами

4.2.4. Функции с четырьмя калибровочными коэффициентами

4.3. Абсолютные и относительные статистические погрешности восстановления температуры

4.3.1. Сглаживание лидарных сигналов и статистические погрешности

4.3.2. Абсолютные и относительные погрешности

в аналитическом виде

4.4. Выводы к Главе

ГЛАВА 5. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

5.1. Модельное сравнение функций восстановления температуры

для разных наборов спектральных фильтров

5.1.1. Отношение интенсивностей ЧВР линий

5.1.2. Исходные данные моделирования,

5.1.3. Результаты моделирования для X = 354,67 нм

5.1.4. Результаты моделирования для X = 532 нм

5.2 Ошибки абсолютной калибровки, вызванные столкновительным уширением линий

5.3 Экспериментальная апробация функций восстановления температуры

на примере данных зондирования лидаром ИМКЭС СО РАН

5.3.1. Лидар ИМКЭС СО РАН

5.3.2. Общая схема алгоритма восстановления температуры

из сигналов ЧВР лидаров

5.3.3. Сглаживание исходных сигналов лидара ИМКЭС СО РАН

5.3.4. Эталонные температурные точки для калибровки лидара

ИМКЭС СО РАН

5.3.5. Пример измерения температуры лидаром ИМКЭС СО РАН

от 1 апреля 2015 г

5.3.6. Пример измерения температуры лидаром ИМКЭС СО РАН

от 2 октября 2014 г

5.3.7. Сравнение средних ошибок калибровки

5.3.8. Причины ошибок измерения температуры лидаром

ИМКЭС СО РАН

5.3.9. Измерение температуры лидаром ИМКЭС СО РАН

от 6-8 апреля 2015 г

5.4. Выводы к Главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию атомных и молекулярных столкновений и их влиянию на точность измерения физических величин оптическими методами. В диссертации разрабатываются комплексный подход к определению сечений передачи возбуждения в столкновениях атомов редкоземельных металлов (РЗМ) между собой и с атомами инертных газов, теоретически оцениваются энергетические характеристики вынужденного излучения двухуровневых систем на переходах в основное состояние в парах РЗМ с учетом столкновительной передачи возбуждения, а также развиваются методы восстановления температуры атмосферы из сигналов чисто вращательных рамановских (ЧВР) лидаров с учетом столкновительного уширения линий ЧВР спектра молекул азота и кислорода.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптические приложения атомных и молекулярных столкновений»

Актуальность исследований

Столкновительная передача возбуждения (СПВ) является одним из наиболее изучаемых процессов неупругого рассеяния атомов и молекул. Процесс передачи возбуждения, при котором столкновение возбужденной частицы (атома или молекулы) с невозбужденной частицей такого же или другого сорта приводит к безызлучательному переходу первой частицы в основное состояние, а вторую частицу - в некоторое возбужденное состояние называется «сенсибилизированной флуоресценцией» [1-4], «активизированной флуоресценцией» [5] или «косвенным возбуждением» [6]. Указанный процесс в общем виде можно записать следующим образом:

А* +В ^Л + В* ±АЕ, (1)

* *

где А, В, и А*, В* - сталкивающиеся частицы в основном и возбужденных состояниях, ЛЕ - разница (дефект) энергии между возбужденными состояниями атомов А и В.

Первые экспериментальные работы по изучению процессов СПВ в смесях Н^-Сд, И§-2и, И§-И2, Щ-Ие, И§-№, Щ-Аг и др. и качественное их описание были сделаны немецкими физиками Франком и Карио в 1922 и 1923 гг. [1-4, 7]. Позже, в 1920-30 гг., эксперименты по сенсибилизированной флуоресценции были продолжены в основном в смесях Щ-Сд и [5, 6, 8-20]. Интерес к процессам СПВ значительно возрос

в начале 1960-х годов в связи с созданием лазеров, развитием квантовой электроники, изучением верхней атмосферы, плазмы, космоса [21-23]. Оказалось, что процессы СПВ

играют большую роль при формировании инверсии населенностей во многих лазерных средах.

Первый лазер, в котором верхние лазерные уровни заселяются в столкновительной реакции (1), реализовал А. Javan с соавторами в смеси Не и № в 1961 г. [24]. В Не-№ лазере энергия возбуждения передается от метастабильного уровня атома Не (2 нескольким 2^-уровням атома №. Добавление молекул N2 в лазер

[25], генерирующий на колебательно-вращательных переходах 0001-1000 и 0001-0200 молекулы С02, привело к значительному повышению мощности лазерного излучения

[26]. Первое колебательное состояние (у =1) молекулы N отстоит от резонансного верхнего лазерного уровня 0001 молекулы С02 на АЕ = 18 см-1. Это приводит к эффективной передаче возбуждения в столкновениях С02 и N 2:

N2 (у=1) + С02 (00°0) ^ N2 (у=0) + С02 (0001) - АЕ. (2)

Высокая эффективность СПВ в реакции (2) в смеси С02-^ объясняется тем, что тепловая энергия кв Т (кв - постоянная Больцмана, Т - температура) данных молекул при комнатной температуре ~210 см-1, поэтому выполняется условие АЕ < квТ [26], при котором процессы СПВ происходят с наибольшими сечениями [21-23, 27]. К увеличению мощности генерации также привела добавка атомов Лг в лазер, генерирующий на трех длинах волн 337,1; 357,7 и 380,5 нм на переходах

33

с квазирезонансного состояния С Пи (у' = 0) на нижние лазерные состояния В Пя (у'' = 0, 1, 2) молекулы N [28]. Энергия возбужденных атомов Лг в состоянии

3pD4s

дополнительно передавалась в столкновениях Лг-^ верхнему лазерному состоянию молекулы Дефект энергии между данными состояниями и сечение процесса СПВ

-15 2

составили величины ~0,1 эВ и ~10 см соответственно. В химическом поперечно-

22

проточном 02*-1 лазере, генерирующем на спин-орбитальном переходе Р1/2 ^ Р3/2 атома йода, верхний лазерный уровень заселяется в процессе СПВ от близкорасположенного состояния молекулы 02(1А):

02^А) + 1(2Р3/2) ^ 02(3Е) + I*(2Р/2). (3)

В реакции (3) атомы йода из нижнего лазерного состояния 1(2Р3/2) переводятся в верхнее состояние 1( Р1/2), что обеспечивает непрерывную лазерную генерацию [29, 30]. Другие примеры лазерных сред с передачей возбуждения в столкновениях даны в обзоре [31].

С начала 1960-х гг. процессы СПВ наиболее интенсивно исследуются с участием атомов металлов [32-38]. Значительный вклад в исследование и определение сечений передачи возбуждения в столкновениях атомов разных металлов между собой, а также с атомами и молекулами различных газов внесли канадские исследователи во главе

с L. Krause [39-70]. В экспериментах по изучению реакции (1) для перевода атома

*

металла в возбужденное состояние A использовалась главным образом оптическая накачка от ламп или лазеров, настроенных на резонансный переход. Регистрация

спонтанной флуоресценции производилась на переходах с возбужденного уровня атома

*

B на его нижележащие уровни. В Советском Союзе передача возбуждения активно изучалась в Проблемной лаборатории спектроскопии Латвийского государственного университета им. П. Стучки под руководством Э.К. Краулиня в сотрудничестве с Ленинградским государственным университетом им. А.А. Жданова [21-23, 71-76]. Сечения передачи возбуждения оценены для столкновений щелочных и щелочноземельных металлов между собой и с атомами инертных газов, в различных смесях паров переходных металлов, например, Hg-Hg, Cd-Cd, Cd-Sc, In-Hg, Tl-Hg, Pb-Hg, Sn-Hg, Cd-Hg, Zn-Hg, Sr-Ca, Mg-Na и других смесях.

Анализ работ [21-23, 27, 32-76] показал, что фактором, определяющим величину сечений СПВ, можно считать дефект энергии AE: сечения быстро убывают с ростом AE

(за исключением некоторых столкновительных переходов в атоме Rb). Наибольшие

2 2

сечения имеют место при внутримультиплетном перемешивании ( P3/2 О P1/2 в парах

2 2 _14 _12 2

Na и D5/2 О D3/2 в парах Rb и Cs), которые достигают значений ~10 -10 см при AE = 0,7-17 см1 [23]. Сечения СПВ превышают 1015 см2 при AE = 200-300 см1 между разными электронными конфигурациями. Поэтому как прямые (возбуждающие), так и обратные (тушащие) процессы СПВ эффективны при условии |AE| < kBT. При одинаковых или близких значениях AE сечения передачи возбуждения в столкновения атомов щелочных металлов между собой на 1-2 порядка больше, чем в столкновениях с атомами инертных газов. Сечение в столкновениях Cs-Cs даже на 5 порядков больше, чем в столкновения Cs-He при AE = 554 см1 [44, 77].

Передача возбуждения в столкновениях атомов РЗМ (Ce-Yb) к настоящему моменту остается наименее изученной. Фундаментальные исследования столкновительных процессов с участием атомов РЗМ в нашей стране проводились под руководством член-корр. (ныне академика) Е.Б. Александрова в Лаборатории

радиооптической спектроскопии атомов Государственного оптического института. В основном работы были посвящены уширению и сдвигу атомных линий РЗМ при столкновениях типа РЗМ-РЗМ и РЗМ-инертный газ [78-84]. Отличительной особенностью атомов РЗМ является наличие у них достраивающейся 4/-оболочки. Возбуждение валентных 6s и 4f электронов приводит как к неэкранированным состояниям 6s6p, так и к состояниям 5d6s2, экранированным внешней заполненной 6s2-оболочкой. Такая экранировка приводит к меньшим значениям уширения и сдвига (атомами инертных газов) линий поглощения на резонансных переходах 4f ^ 5d по сравнению с переходами 6s ^ 6p в атомах Tm и Sm [79, 80, 82, 84]. Определение сечений СПВ с участием атомов РЗМ осложнено сильным взаимодействием между термами разных электронных конфигураций [79]. Уровень энергии в атоме РЗМ может быть отнесен к двум и более конфигурациям [85], проявляющим разные свойства при столкновениях. Вследствие чрезвычайной насыщенности и плотности уровневой структуры возникают трудности с селективным оптическим возбуждением отдельных уровней атомов РЗМ. Известна только одна работа, в которой сделана экспериментальная оценка сечений СПВ в столкновениях атомов Tm с атомами Ne и Xe при возбуждении резонансного уровня лазерным излучением [86]. Сечения составили

_17 2 _1

величину ~10 см для |AE| = 215-657 см .

Процессы передачи возбуждения в столкновениях атомов РЗМ между собой и с атомами инертных газов являются основным механизмом формирования инверсии населенностей также в лазерах на парах РЗМ. Основные критерии эффективных столкновительных лазерных сред на парах металлов предложили в 1965 г. W.R. Bennett и G. Gould [87, 88]. Первую лазерную генерацию в парах Tm и Yb получил в 1968 г. Ph. Cahuzac [89]. В 1970 г. им же получена генерация в парах еще двух элементов _ Eu и Sm [90]. С 1973 г. исследования лазеров на парах РЗМ ведутся в Институте оптики атмосферы (ИОА) СО АН СССР (сейчас _ им. В.Е. Зуева СО РАН) [91]. К наиболее исследованным лазерам на парах РЗМ можно отнести лазеры на парах атомарного Eu и ионизированного Eu+ [91-100]. Хорошо изучены лазеры на парах Yb и Yb+ [101, 102] и Tm [103-112]. Отметим, что лазеры на парах Eu и Eu+ также исследовались в Институте физики полупроводников им. А.В. Ржанова в Новосибирске под руководством П.А Бохана [113-118]. Всего лазерная генерация была получена в парах семи РЗМ, причем на трех из них (Ho, Dy и Er) - В.А. Герасимовым с соавторами в ИОА [119-121].

В работах [101, 102] в качестве основного механизма создания инверсии населенностей в лазере на парах УЪ впервые была предложена передача возбуждения с резонансного уровня 1Р°1 на близкорасположенные нерезонансные верхние лазерные уровни 3Б 2 и 303 в процессах СПВ с атомами УЪ и Не в основном состоянии:

УЪ*(1 р0) + Не(Х) ^ УЪ*(3 А,з) + Не(^)+ЛЕ, (4)

УЪ* (1 р0) + УЪ( %) ^ УЪ(Х) + УЪ* (3 В2 Ъ) + ЛЕ (5)

с дефектами энергии ЛЕ = 316,274 и -202,68 см-1 соответственно. Аналогичные процессы СПВ заселяют верхние лазерные уровни в лазерах на парах Тт, Но, Бу и Ег [103-112, 119-121].

Структура энергетических уровней в атомах РЗМ все еще является нерешенной задачей. Например, известные на настоящий момент уровни атомов Тт и Бу [85, 122133] не позволяют идентифицировать три экспериментально зарегистрированных лазерных перехода с длинами волн 1101,00; 1305,40 и 1309,45 нм в атоме Тт [108] и один переход с длиной волны 917,2 нм в атоме Бу [120]. В работе [126] была предпринята попытка идентифицировать переходы в Тт, однако энергии предложенных верхних уровней данных переходов, вероятно, сильно завышены. При указанных в [108] условиях работы лазера возбуждение столь высоких резонансных уровней, с которых предположительно заселяется верхний лазерный уровень перехода, неэффективно. Переход в атоме Бу до сих пор неизвестен [133].

Лазеры на атомных переходах (включая лазеры на парах металлов) обладают узкой шириной линий генерации, высокими монохроматичностью и коэффициентом усиления, большим диапазоном длин волн. Поэтому такие лазеры нашли широкое применение в навигации, медицине, научных исследованиях, накачке лазеров на красителях, и т.д. При столкновении частиц сечение процесса является фундаментальной характеристикой, определяющей эффективность (вероятность) их взаимодействия. Знание сечений СПВ (1) с участием атомов и молекул (включая атомы РЗМ), происходящих в активных средах столкновительных лазеров [31, 87, 88], позволит прогнозировать и путем варьирования параметров активной среды достигать максимальных (оптимальных) выходных характеристик лазерного излучения, таких как энергия импульса, мощность, плотность мощности, коэффициент полезного действия. Таким образом, исследование процессов СПВ с участием атомов РЗМ и определение их

сечений актуальны как для физики лазеров, так и с точки зрения электронного строения атомов и их взаимодействия.

Поиск новых лазерных сред и создание новых типов лазеров с генерацией на разных длинах волн так же актуально с точки зрения их применения в научных исследованиях, промышленности, медицине. В работе [134] было установлено, что атомы РЗМ в процессе их термического испарения отрываются от поверхности в определенном возбужденном состоянии - наиболее низколежащем состоянии конфигурации 4fN-15d6s2 (кроме Ce и Gd, для которых это состояние - основное). На основании данного факта в [135, 136] была предложена модель нового типа лазеров -поперечно-проточных двухуровневых лазеров на парах РЗМ с тепловым созданием инверсии населенностей и генерацией на переходах на подуровни основного состояния 4 fN 6 s2. Ввиду большой стоимости РЗМ с высоким содержанием основного вещества перед экспериментальной реализацией данного типа лазера крайне важно, во-первых, теоретически оценить энергетические характеристики вынужденного излучения двухуровневых систем для определения металлов, потенциально наилучших для проведения экспериментов, и, во-вторых, исследовать влияние процессов СПВ с участие атомов РЗМ (в возбужденном состоянии 4fN-15d6s2) на инверсию населенностей в двухуровневых системах.

Эффект уширения линий спектра лазерного излучения, рассеянного молекулами атмосферы (в том числе назад), учитывается и/или используется при дистанционном определении ее состава и параметров с помощью лидаров (LIDAR - Light Detection and Ranging) [137-140]. Контуры спектральных линий рассеяния и поглощения света молекулами уширяются главным образом за счет эффекта Доплера и столкновений молекул. Контуры спектральных линий, неоднородно уширенных за счет эффекта Доплера, описываются функцией Гаусса (нормальным распределением), тогда как контуры линии, однородно уширенных за счет столкновений, описываются функцией Лоренца (распределением Коши). При учете обоих эффектов контур линии описывается функцией Фойгта, которая представляет собой свертку функций Гаусса и Лоренца, а ее значения определяются только численно [141-148]. Для приближенных вычислений функция Фойгта аппроксимируется различными функциями, в том числе - функцией псевдо-Фойгта - линейной комбинацией функций Гаусса и Лоренца [149-157].

Для описания уширения линий также используется квадратичный контур Фойгта и контур Hartmann-Tran [158-162].

Эффект Доплера приводит к уширению как упруго, так и неупруго рассеянных линий. Принцип работы аэрозольного лидара высокого спектрального разрешения (ЛВСР, High Spectral Resolution Lidar - HSRL) основан на разной ширине линий спектра упруго рассеянного лазерного излучения молекулами (рассеяние Рэлея-Бриллюэна) и частицами аэрозоля (рассеяние Ми). Впервые данная лидарная методика была предложена G. Fiocco с соавторами в 1971 г. [163]. Тяжелые аэрозольные частицы движутся в атмосфере с меньшими скоростями по сравнению со скоростями молекул, поэтому ширина линии, спонтанно рассеянной частицами вследствие эффекта Доплера гораздо меньше, чем ширина линии, рассеянной молекулами. В молекулярном канале приемной системы ЛВСР имеется фильтр (кювета с парами йода), который вырезает узкий аэрозольный сигнал. Йодный фильтр подавляет аэрозольный сигнал более чем на три порядка и одновременно удаляет молекулярный сигнал на 80%. Оставшиеся 20% молекулярного сигнала используется для калибровки аэрозольного канала [164-171].

Упругий сигнал рассеяний Рэлея и Ми играет роль паразитного сигнала в ЧВР лидаре (Pure Rotational Raman Lidar - PRRL), с помощью которого измеряются профили температуры тропосферы и стратосферы. Принцип работы температурного ЧВР лидара впервые был предложен J.A. Cooney в 1972 г. [172]. В данном методе температура T определяется из обратно рассеянных атмосферой лидарных сигналов по отношению интенсивностей Q(T) двух участков ЧВР спектра (спектра спонтанного комбинационного рассеяния - СКР) молекул N2 и O2 с противоположными температурными зависимостями [172, 173]. Спектральные фильтры в блоке спектральной селекции лидара выделяют по нескольку линий в каждом из этих участков. Для выделения линий одновременно в антистоксовой и стоксовой ветвях ЧВР спектра используются полихроматоры на основе дифракционных решеток [174-178]. Интерференционные фильтры [179-186], волоконные решетки Брэгга [187] и интерферометры Фабри-Перо [188-191] выделяют линии в антистоксовой или в стоксовой ветви. Вторая функция указанных спектральных фильтров - подавление паразитного упругого сигнала в обоих участках ЧВР спектра. Степень подавления паразитного сигнала может достигать восьми порядков, что позволяет измерять температуру при наличии перистых облаков [181].

Отношение интенсивностей Q(T) представляет собой трансцендентную функцию [173], из которой невозможно аналитически выразить обратную зависимость T(Q) для извлечения температуры атмосферы на практике (за исключением отношения интенсивностей двух отдельных линий), поэтому Q(T) необходимо калибровать [192]. Для этого lnQ(T) аппроксимируется некоторой простой функцией fc(T), называемой калибровочной [140]. Коэффициенты функции fc(T) - калибровочные коэффициенты -определяются, например, методом наименьших квадратов с использованием значений Q(T), определенных из лидарных измерений, и эталонного профиля температуры. В качестве эталонного профиля, как правило, выступает профиль температуры модели атмосферы или профиль, полученный с помощью радиозонда, запускаемого одновременно с лидарными измерениями.

Из теории ЧВР лидарного метода следует, что простая температурная зависимость может быть получена только для логарифма отношения интенсивностей двух любых индивидуальных линий ЧВР спектра молекул N2 и/или O 2 [172, 173, 192]:

ln Qindiv- (T) = A + B/T о y = A + Bx, (6)

где x = 1/T - обратная температура и y = lnQindlv(T), а константы A и B точно определяются из теории. Искомая температура легко вычисляется из отношения интенсивностей. В работе [192] было предложено использовать линейную по 1/T функцию (6) в качестве калибровочной для аппроксимации отношения интенсивностей двух порций ЧВР линий. Такая калибровка приводит к большим ошибкам измерения температуры [193]. Для уменьшения ошибок в работе [179] была применена калибровка в виде полинома второго порядка по 1/T с тремя калибровочными коэффициентами A , B и C:

ln Q(T) = A + B/T + C/T2 о y = A + Bx + Cx2. (7)

Квадратичная калибровка (7) давала меньшие абсолютные и относительные статистические погрешности, но разность между эталонными и лидарными значениями температуры (ошибка калибровки) оставалась велика и могла превышать 3 K в тропосфере [194]. Другие виды калибровочных функций представлены в работах [140, 182, 185, 195].

Предложенные калибровки основывались на допущении, что ЧВР линии молекул атмосферы не уширены (либо столкновительное уширение игнорировалось [195]), т.е. их профили описываются 8-функцией Дирака. В действительности столкновение

молекул приводит к уширению линий ЧВР спектра и вращательных компонент колебательно-вращательных спектров [143, 144, 196, 197]. В тропосфере столкновительное уширение преобладает над доплеровским, при этом крылья лоренцева контура лежат выше крыльев гауссова контура даже при одинаковой ширине линий на полувысоте их максимума [138]. Благодаря длинным лоренцевым крыльям контура Фойгта, каждая ЧВР линия, находящаяся за пределами полос пропускания спектральных фильтров, даёт паразитный вклад в оба лидарных канала. С другой стороны, столкновительное уширение любых ЧВР линий, попадающих в лидарные каналы, приводит как к паразитному вкладу в соседний лидарный канал, так и к потере полезного сигнала в обоих каналах. В 2019 г. был предложен алгоритм восстановления температуры из сигналов ЧВР лидара с помощью «оптимального метода оценки» [198]. Однако данный алгоритм не показал преимущества в точности измерения температуры в тропосфере.

Точность измерения температуры тропосферы и стратосферы критически важна для метеорологических приложений, таких как мониторинг и прогнозирование изменения климата и глобального потепления, определение температурных инверсий в атмосфере. Принимая во внимание большую разность (>3 °С) между эталонными и лидарными значениями температуры, получаемыми при использовании калибровочных функций (6) и (7), актуальным является определение калибровочных функций, способных восстанавливать температуру с высокой точностью. Одной из вероятных причин ошибок измерений температуры (помимо известных) может быть игнорирование столкновительного уширения линий ЧВР спектра молекул наиболее плотной части атмосферы - тропосферы. Поэтому актуальной является разработка методов минимизации ошибок лидарных измерений температуры, в том числе учитывая столкновительное уширение линий.

Точность, погрешности и ошибки измерений

В диссертационной работе используются понятия «точность измерений», «погрешность измерений» и «ошибка измерений». Согласно ГОСТ 16263-70 [199]:

• Точность измерений - качество измерений, отражающее близость их результатов

к истинному значению измеряемой величины; высокая точность измерений

соответствует малым погрешностям всех видов, как систематических, так и случайных (п. 8.23);

• Погрешность измерения (ошибка измерения) - отклонение результата от истинного значения измеряемой величины (п. 8.1); Абсолютная погрешность измерения - погрешность измерений, выраженная в единицах измеряемой величины (п. 8.2); Относительная погрешность измерения - отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины (п. 8.3).

Согласно ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002: Точность - степень близости результата измерений к принятому опорному значению (п. 3.6) [200].

В части диссертации, посвященной измерениям температуры (Главы 1, 4 и 5), понятия «погрешность измерений» и «ошибка измерений» разделены, как это принято в англоязычной литературе по ЧВР лидарам. Определения абсолютной и относительной статистических погрешностей (absolute and relative statistical uncertainties) даны в разделе 4.3, определение ошибки калибровки (calibration error) - в разделах 1.2.6 и 5.1.3.

Цель диссертационной работы: разработка методов исследования процессов передачи возбуждения при столкновении атомов для создания перспективных лазерных источников и методов минимизации ошибок измерения температуры ЧВР лидарами, вызываемых столкновительным уширением линий ЧВР спектра молекул атмосферы. Задачи диссертационной работы

Для достижения указанной цели требуется решение следующих задач:

1. Разработать и апробировать метод определения сечений передачи возбуждения в столкновениях атомов одинаковых и разных РЗМ и атомов РЗМ с атомами инертных газов из параметров активных сред газоразрядных лазеров на парах РЗМ.

2. Теоретически оценить максимальные энергетические характеристики вынужденного излучения двухуровневых систем в парах РЗМ для определения металлов, наиболее подходящих для создания двухуровневых лазеров на переходах в основное состояние с тепловой накачкой. Определить условия экспериментальной реализации таких лазеров с учетом атомных столкновений РЗМ-РЗМ и РЗМ-инертный (буферный) газ.

3. Исследовать влияние столкновительного уширения линий ЧВР спектров молекул N и 02 на аналитическую калибровочную функцию, аппроксимирующую отношение сигналов ЧВР лидаров.

4. Исследовать влияние уширения линий на точность измерения температуры атмосферы для длин волн 355 и 532 нм исходящих сигналов ЧВР лидаров, наборов спектральных фильтров в их приемных системах, способов калибровки лидаров и калибровочных функций.

5. Модернизировать алгоритм восстановления температуры из лидарных сигналов с учетом столкновительного уширения линий для минимизации ошибок измерения.

6. Экспериментально апробировать калибровочные функции, учитывающие столкновительное уширение линий, на данных зондирования реальной лидарной системы.

Методы исследований

В работе используются как теоретические, так и экспериментальные методы исследования. В теоретических исследованиях используется теория ударов второго рода (сенсибилизированной флуоресценции), теории рассеяния Рэлея и Ми, спонтанного комбинационного (рамановского) рассеяния, методы статистической физики. Также применяются численное моделирование, методы описания уширения спектральных линий (распределения Гаусса, Лоренца и Фойгта), приближение функции псевдо-Фойгта. Измерения температуры тропосферы проводились с помощью ЧВР лидара, разработанного в лаборатории геосферно-биосферных взаимодействий Института мониторинга климатических и экологических систем Сибирского отделения Российской академии наук (ИМКЭС СО РАН).

Положения, выносимые на защиту

1. Разработанный метод определения сечений позволяет оценивать сечения передачи возбуждения с нескольких уровней-доноров на уровень-акцептор в столкновениях атомов редкоземельных металлов (РЗМ) между собой и с атомами инертных газов. Парциальные сечения в столкновениях Бу-Бу, Тт-Ег, Тт-Тт и Тт-Не составляют см2, эффективные сечения - см при

разностях энергий между уровнями-донорами и уровнем-акцептором 27-971 см-1.

2. В модели двухуровневых систем с тепловым созданием инверсии населенностей в парах РЗМ три элемента ^т, Ей и Тт) дают системы с лучшими энергетическими характеристиками (мощность, плотность мощности и коэффициент преобразования энергии (КПЭ)) и являются наиболее подходящими для экспериментальной реализации двухуровневых лазеров. Максимальные теоретические КПЭ и удельная плотность мощности непрерывного излучения

5 7 2

в парах данных РЗМ достигают 50% и -10-10' Вт/см2 соответственно. Атомы буферных инертных газов уменьшают инверсию населенностей, и в указанных двухуровневых системах их использование неэффективно.

3. Логарифм отношения сигналов Q чисто вращательного рамановского (ЧВР)

да

лидара аппроксимируется рядом 1п Q = ^ апТпП2 (Т - абсолютная температура),

и=—а>

учитывающем столкновительное уширение линий ЧВР спектра молекул N и 02. Нелинейные по обратной температуре члены ряда ответственны за вклады от столкновительно-уширенных линий в регистрируемые лидарные сигналы, что позволяет предложить новые калибровочные функции (частные случаи ряда), уменьшающие ошибки измерения температуры.

4. Игнорирование столкновительного уширения линий при абсолютной калибровке ЧВР лидаров по спектроскопическим параметрам приводит к двум независимым ошибкам, первая из которых вызвана смещением значений отношения лидарных сигналов, рассчитанных без учета уширения линий, относительно значений отношения, полученных с учетом уширения. Вторая ошибка определяется выбором калибровочной функции, аппроксимирующей отношение сигналов.

5. Наиболее точный учет столкновительного уширения ЧВР линий N и 02

обеспечивает функция вида T =-т-;-, независимо от типа

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Герасимов Владислав Владимирович, 2022 год

/ / / /

/ / 1

\ \ \ \

\ \

•4-4-

У О V, V; V: VJ У|5 VI V4

Волновое число V , см-1

Рис. 4.2. Схематическое изображение (не в масштабе) профилей Фойгта уширенных ЧВР-линий ,, у, к и функций пропускания СФ температурных каналов ) и ЕЬщЬ( V),

аппроксимированных прямоугольной функцией Е = 1. Волновое число Vо соответствует лазерной линии, интервалы (V 1;у2) и (Vз 4) соответствуют ширинам полос пропускания СФ каналов У1оте и Уы^ [А7, А12, А14]

С другой стороны, уширение любых ЧВР линий , и к, попадающих в каналы /1ош и соответственно, приводит как к паразитному вкладу в соседний температурный канал, так и к потере полезного сигнала в обоих каналах. Поэтому для учета влияния уширения линий на величину отношения сигналов (интенсивностей) вместо отношения (4.3) следует записать [А6, А7]:

^ ^ [(/т)• ,,Т)

(т) — 11о-№(Т) — __(4 7)

* й(тГ х I [I(/,т)• X(V,,т)]• ( • )

/ 1-Щ,°2

Здесь суммирование проводится по всем вращательным квантовым числам /, начальных состояний ЧВР переходов в молекулах N и О2; ■V, - V(/,) - волновое число ,-ой ЧВР линии, соответствующей числу /,; /,(/,, V) - интегральная интенсивность ,-ой отдельной уширенной линии как из стоксовой, так и из антистоксовой ветвей ЧВР спектров N и °2; функции Х0те и описывают доли интенсивности /,(/,, Е), попадающие в

полосы пропускания СФ каналов /1ош и соответственно; !^(т) и /^ь(т) -

интегральные интенсивности, регистрируемые в каналах /1ош и с вкладами от всех

уширенных линий. Отношение (4.7) имеет еще более сложный вид, чем выражение (4.3), и так же не выражается простой функцией температуры.

Для того чтобы аппроксимировать отношение (4.7) простой аналитической функцией (с учетом вкладов от уширенных линий) сделаем следующие упрощающие предположения. Во-первых, считаем, что интенсивности обратно рассеянных линий Ми и Рэлея, уширенных только за счет эффекта Доплера, блокированы спектральными фильтрами в каналах Jlow и Jhigh в той мере, что их паразитными вкладами в оба канала можно пренебречь (рис. 4.2). Во-вторых, полагаем, что все элементы оптического тракта лидара термически стабилизированы, поэтому смещение полос пропускания СФ относительно ЧВР спектра N2 и O2 отсутствует. В-третьих, следуя работе [192], рассматриваем интенсивность всех ЧВР линий N2 и O2, попадающих в полосу пропускания СФ канала Jlow, как интенсивность одной линии с суммарной

интенсивностью l^w(vlow ,T). Соответствующее этой линии волновое число vlow совпадает с волновым числом максимума функции пропускания СФ канала Jlow (на рис. 4.2 "v, = v low и = l^w( v low ,T)). Аналогично, интенсивность всех ЧВР линий N2 и O2, попадающих в полосу пропускания СФ канала Jhigh, заменяем интенсивностью одной линии с суммарной интенсивностью lhgh( v high, T). Соответствующее этой линии

волновое число vhigh совпадает с волновым числом максимума функции пропускания СФ канала Jhigh (на рис. 4.2 v k = v high и lk = lhigh( v high, T)).

С учетом предложенных допущений интегральная интенсивность l^ (T), регистрируемая в канале Jlow, может быть выражена как [A7]:

law (T) = llow (v low, T). [1 - XDwL (T)]+E [lk (Jk, T) • Xlkow (T)]. (4.8)

k ,Jk

Здесь X^(T) описывает потери полезного сигнала линии vlow, т.е. часть суммарной интенсивности l^w(vlow, T), выходящей за пределы полосы пропускания СФ из-за уширения данной линии (DSL - desired signal losses); lk(Jk,T) и Х^(Т) -интенсивность k-ой уширенной ЧВР линии, лежащей за пределами полосы пропускания СФ, и ее вклад в канал Jiow соответственно. Иначе говоря, сумма в правой части уравнения (4.8) описывает паразитный вклад в сигнал, регистрируемый в канале Jlow, от всех ЧВР линий, не попадающих в данный канал.

C(T ) = lbw(v low ,T )

Перепишем (4.8) в следующем виде [A7]:

lk(Jk ,T)

low

(T)

1 - XDwL (T) + E

k Jk

Xlkow (T )

, (4.9)

=lL (v low, T) • [1 - xDwL (T)+E k ^lokw (T)]=iL (T) • [1 - xDwL (T)+y- (t );

где функции Ykw(T) и ^^(T) определяются уравнением (4.9) и описывают паразитный вклад в канал Jlow от k-ой отдельной ЧВР линии и всех линий, не попадающих в данный канал, соответственно (PS - parasitic signal).

Аналогично получаем для регистрируемой в температурном канале Jhigh

интегральной интенсивности l^h(T) [A7]:

high

lh1gh(T) = lhigh( v high ,Т)

high

1 - xDSL (т)+I

k, Jk

lk (Jk ,T ) yk (T)

rZ (T ) "^high^J ihigh(T )

. (4.10)

=lhigh (v high, T) • [1 - xhgsL (T)+E k Yhkgh (T)]=lhigh (T) • [1 - xDSL (т)+(т);

Подставляя уравнения (4.9) и (4.10) в уравнение (4.7), для отношения сигналов имеем:

С(т) _ l\ow (vlow ,т)

Qall (т) =

1 - XlDwL(T)+От)

1 - XhDShL(T)+ypsd(T )

high v

(4.11)

lhigh(T) lhigh( v high ,T)

С учетом (4.3) и (4.6) заменим отношение lfow( v low ,T )j lhigh (vv high ,T) в (4.11) экспонентой с соответствующим рядом Тейлора в показателе ее степени [A7]:

lt(T)

Qall (т )

idid(T )

exp

high

A B C ]

A + — + + — IT T2 )

1 - XDSL(T) + YlPS(T)

low V / low V /

1 - xDSL(T )+YPh(T)

high

(4.12)

Числовые функции Xlow (T), Ylow (T), Xhigh (T), Yhigh (T) являются малыми поправками

(много меньшими единицы) к суммарным интенсивностям l^w(vlow, Т) и l]^gh(^high, Т),

поэтому выражение в знаменателе правой части (4.12) можно упростить, воспользовавшись разложением в ряд [308, с.9]:

(1 + z)-1 = 1 -z + z2 -z3 + z4 -.„ [z2 < 1] (4.13)

и, поскольку z << 1, ограничиться только линейным членом, т.е. (1 + z) 1 =1 - z. Тогда в правой части (4.12) сделаем замену:

1 + У

1 + z

(1 + y)(1 - z) = 1 + У - z - yz * 1 + У - z,

(4.14)

т.к. z << 1 и y << 1 (пренебрегаем вторым порядком малости yz). Итак, вместо (4.11) имеем:

0а11 (T) = exp (A + B + C + • • •) [ + (T) - (T) + Y1(pW (T) - (T)] . (4.15)

Таким образом, для получения калибровочной функции в общем аналитическом виде, учитывающем столкновительное уширение ЧВР линий, нужно определить

температурные зависимости малых поправочных функций Х^(Т ), YPW(T ), XD^T ) и

rPS ,

-DSL,

high

От )■

4.1.2. Функции пропускания спектральных фильтров

Функции и , описывающие в отношении (4.7) доли интенсивности

и(1и Т), которые попадают в каналы У1ош и Уыёь определяются следующими выражениями [195, А7]:

X,w(v„r> = j Fbw(v)V(v,,v,T)dv,

J —да

Xhigh(v i,T) = j_<d Fhigh(v)• V(v ,,v,T)dv,

(4.16)

(4.17)

где FJow(v) и Fhigh(-V) - функций пропускания СФ каналов Jbw и Jhigh (рис. 4.2),

V (Vi, v ,T) - профиль Фойгта i-ой линии.

Существует несколько способов аппроксимации функции пропускания СФ аналитической функцией. Например, каждая из Flow( v) и Fhigh( v) заменяется функцией Гаусса [195] или модифицированной функцией Гаусса [183, 309]:

f ft) = ^exp

2(Х — Xcwl )В

V A^fwhm у

(4.18)

где XcwL - длина волны, соответствующая максимуму функции пропускания А; ДХ^нм - ширина СФ (ПШПМ); константа В описывает форму функции пропускания. Однако это усложняет вычисление интегралов (4.16) и (4.17) и, следовательно, отношения (4.7).

Для оценки вклада от уширенных ЧВР линий в регистрируемые сигналы, функцию пропускания СФ можно аппроксимировать кусочно-постоянной (ступенчатой) функцией с любой наперёд заданной точностью (рис. 4.3).

V,,

V2

Волновое число v, см 1

Рис. 4.3. Функция пропускания СФ, аппроксимированная кусочно-постоянной (ступенчатой) функцией [A7]

Для упрощения вычислений, ступенчатую функцию можно заменить константой на интервале, на котором фильтр пропускает основную часть обратно рассеянного сигнала (рис. 4.2) [A12, A14]. Например, в случае канала Jlow

0, v < v1

Flow(v) = j F = const, v e(v!;v 2), (4.19)

0, v > v2

где (v1;v2) - полоса пропускания данного канала. Без потери общности также можно положить F = 1 для обеих функций пропускания, тогда вместо (4.16) и (4.17) получаем:

XiwK Т) = Г V (v.,v,T )d v, (4.20)

J v1

Xh igh( v<, T) = £ V (v i,v,T )d v, (4.21)

где (v3;v4) - полоса пропускания канала Jhigh. Например, в качестве полос пропускания

температурных каналов (v1;v2) и (v3 ;v4) можно рассматривать ПШПМ функций пропускания соответствующих СФ.

4.1.3. Профиль и ширина ЧВР линий

Неоднородно уширенная только за счёт эффекта Доплера /-ая ЧВР линия описывается профилем Гаусса (нормальным распределением) [138]:

о( V / ,у, Т) = . V- ехр

Уол/ 2п

(V - Ц/)2

/ \2

(4.22)

2( Ус )2

Здесь цI = 'V/ (см1) - математическое ожидание (волновое число максимума профиля /-ой линии); у'с (см1) - стандартное отклонение, определяемое уравнением

КТ_

2

УО = V иНЧ, (4.23)

где с - скорость света; та;г - средняя масса молекул воздуха; кв - постоянная Больцмана. Соответствующая ПШПМ профиля Гаусса:

~FWHM I—-

Ду/,о = 2л/21п2 • у'0. (4.24)

Однородно уширенная только за счёт столкновений /-ая ЧВР линия описывается профилем Лоренца, определённым для круговой частоты ю (рад/с) [138]:

Ь(щ ,ю, Т) =1 • --^^, (4.25)

П (ю - Ю/) + уь

где уц (рад/с) - полуширина на полувысоте максимума. Тогда ПШПМ профиля Лоренца (рад/с) определяется как:

Дю™ = 2уь . (4.26)

После замены ю = 2псV профиль Лоренца (4.25) можно выразить как функцию волнового числа:

¿Т) = 1 • 2 2 ,Ч 2 2 = 1 • , , ^А2пс) ^ (4.27)

п 4п2с2(V-V/)2 + у2ь п (у-V/)2 +(у(2пс))2

с соответствующими полушириной уц/(2пс) и ПШПМ в см-1:

Л FWHM

~ FWHM Дю. у.

Д\1 =—ц-= 1ц, (4.28)

2пс пс

где с - скорость света в см/с.

Для двухкомпонентного газа (к которому можно отнести воздух, состоящий на более чем 99% из молекул N2 и 02) формулу для численной оценки ПШПМ (4.28) в см1 можно записать в виде [А7, А12, А14]:

~Fwнм 2 2 I 8кТ т2 I 8кТ 2 т2 I 8кТ

Ау£ = р ^^ -^ + 2^2^О-^ + р^^ -^, (4.29)

у яцхс у пц12с у пц2с

Здесь па1г - численная плотность молекул (концентрация) воздуха; d1, d2 и d12 = + d2)l2 -эффективные оптические диаметры в столкновениях 02-02 и N2-02

соответственно; ^ 1 = т112, ^2 = т2/2 и ^12 = т 1т21(т1 + т2) - приведённые массы сталкивающихся молекул в столкновениях 02-02 и N2-02; т 1 и т2 - массы

молекул N и О 2. Относительное содержание р 1 = 0,7809 и р2 = 0,2095 молекул N и 02 в воздухе можно рассматривать как вероятности обнаружить эти молекулы в гомосфере (0-100 км). Поэтому в формуле (4.29) рх2 - вероятность столкновения молекул р^ -вероятность столкновения молекул 02 и 2 р1 р2 - вероятность столкновения N и 02.

Температурная зависимость эффективных оптических столкновительных диаметров описывается полуэмпирической формулой Сазерленда. Принимая в расчёт только двойные (парные) столкновения молекул, для /-го атмосферного газа имеем [310, с. 116]:

df(T) = dfJl + , (4.30)

V ЯТ У

где константа dicc - эффективный оптический столкновительный диаметр при Т ^ да;

Ф/ - константа, имеющая размерность энергия/моль; Я - универсальная газовая

постоянная. Подставляя уравнение (4.30) в (4.29) и приводя подобные члены, для

температурных зависимостей ПШПМ (4.29) и полуширины (в см-1) можно записать:

~FWHM V I— В Уг А I— В

AvL == А-4Т ^ = -4Т + —=, (4.31)

пс у!Т 2пс 2 2у1Т

где А и В - константы, определяемые из уравнений (4.29) и (4.30).

Уширенная за счёт эффекта Доплера и столкновений /-ая ЧВР линия описывается профилем Фойгта [138, 195], который представляет собой свёртку профилей Гаусса и Лоренца:

V(у„у,Т) = Р О(Т,\/,\*)Ь(Т,У,У*^У*. (4.32)

у —да

Подставляя (4.22) и (4.27) в (4.32), профиль Фойгта можно выразить в следующем общем виде:

и0у г® ехр(-г2)Л

V (V / ,У ,Т)

п

(х - г)2 + у2

(4.33)

где

1п2

и0 =

~FWHM \

Ду /,о ' п

Д~ FWHM ~ ~

, У = >/1п2, х = 2л/1п2

' FWHM

Ду / ,о

' FWHM

Ду / ,о

(4.34)

Значения интеграла (4.33) определяются только численно [141-148]. Для приближенных вычислений функция Фойгта аппроксимируется различными функциями, в том числе функцией псевдо-Фойгта - линейной комбинацией функций Гаусса и Лоренца [149-157]. Для определения ПШПМ функции псевдо-Фойгта (с точностью 0,02%) можно использовать приближённую формулу, предложенную в работе [150]:

~FWHM ~FWHM I ^^ ~FWHM ,

ДV^ « 0,5346ДVь +4(ДVг,о )2 + 0,2166(ДVь )2 .

(4.35)

"FWHM

Данное приближение даёт нулевую ошибку для чисто гауссова профиля при Ду ь = 0

~ FWHM

и 0,000305% для чисто лоренцева профиля при Ду/,о = 0 .

В крыльях ЧВР линий форма профиля Фойгта практически совпадает с формой профиля Лоренца [138]. Поскольку выход полезного сигнала из полосы пропускания СФ и попадание паразитного сигнала в эту полосу происходят за счет крыльев линий

(рис. 4.2), для описания формы линий можно использовать профиль Лоренца Ь( V / ,у ,Т)

(4.27) вместо профиля Фойгта V(V/,у,Т). Поэтому формулы (4.20) и (4.21) можно переписать в виде [А7, А12, А14]:

ХЮЛ V/, т) = Г2 .(V „V ,т )ё V=1Г

» V! ТГ •'I

Уь/ (2пс)

arctg

/ ~ ~ л

У 2 - V/

Уь/ (2пс)

п ^ (у - у, )2 +(у./ (2пс)) arctg

V

~~ У1 - V/

Уь/ (2пс)

(4.36)

х 1gh( V/, т)=г; 4 ь(у „V, т )а V=1

п

аг^

/ ~ ~ л

У 4 - V/

Уь/ (2пс)

aгctg

~~ У3 - V/

Уь/ (2пс)

(4.37)

Данные интегралы выражаются аналитически и легко вычисляются.

4.1.4. Общая калибровочная функция

Для получения КФ в общем аналитическом виде сначала определим температурные зависимости функций X1^^) и XhghXT), отвечающие в (4.15) за

потери полезного сигнала в каналах Jlow и Jhigh. Функция X^^T) представляет собой

вероятность того, что произвольно выбранное значение волнового числа v профиля уширенной суммарной линии T^w( v low, T) обратно рассеянного сигнала с центральным

волновым числом vlow будет меньше Vi или больше v2, т.е. окажется за пределами полосы пропускания СФ канала Jlow (v i;v 2) при заданной температуре T:

yl (2пс) dv -1 J2 Yl/D

ТГ Jv

X

DSL low

(T)=i-J

ТГ J -

П (v - vlow )2 +(yL(2nc)) п vi (v - Vlow )2 +(YL/(2nc))

■d v

=1 -1

п

arctg

/ v v л

V2 — Vlow

y/(2nc)

arctg

/ v v л

Vi — Vlow

y/(2nc)

. (4.38)

Иначе говоря, X^fT) - это площадь под кривой лоренцева профиля /(v low ,v ,T) при

интегрировании по интервалам (—w;vi) и (v 2 .

Поскольку края полосы пропускания СФ (vi;v2) достаточно далеки от vlow,

разности vi — vlow и v2 — vlow в (4.38) превышают полуширину уL/(2пс) профиля Лоренца и аргументы обоих арктангенсов больше единицы. Поэтому можно воспользоваться следующим разложением арктангенса [308, с. 103]:

/ ч п 1 1 1 1 г

arctg(z) = --- + — - — + — - ... [Z> 1],

2 z 3z 5z 7z

(4.39)

тогда

arctg

r ~ ~ \

V - Vlow

Y//(2nc)

2 v - v lo

- + -

3

Г Y/I (2пс) | 3 -1 ГY//(2пс)|

V v - v low У 5 V v - V low У

(4.40)

Почленно вычитая уравнение (4.40) при V = V1 из него же при V = V2, приведем (4.38) к следующему виду:

-DSL .

1 ( 1 1 Л Yl 1 + - 3 ( 1 I л Yl ]

П VAV2 AV1 J 2nc vAV2 AVi3 У v 2nc j

1 -

YL

a ——+a

1 2

2nc

v 2nc

+ a

^! v 2nc J

+ a

7

v 2nc j

+ ...

(4.41)

где Ау1 = VI - , АУ2 = У2 - Vlow и а1 - константы, определяемые из данного уравнения. Подставляя (4.31) в (4.41) и объединяя подобные члены, для Х^Ь(Т) имеем:

xDWL(T ) = 1 -

a

A4T + г

2 2У1Г

B

+ a

U T + B I3 +

—vr +--т= + a

2 2VT

4/T +» Y+...

2 2Vf J

h h J^f h ^

= "•+TW + +1+++"• = yb+h„Tn—2

, (4.42)

где h-n и hn - константы, определяемые из данного уравнения.

Применяя ту же самую процедуру к функции Xhghf) с заменой интервала

(V1;V2) на (V3 ;V4) и волновое число viow на v high, получаем:

f c \

c - -n_12

xhDghL(f)=1+1

n=1

T

)-1/2

+ cTn

(4.43)

где константы с-п и сп определяются аналогично константам Ь-п и Ьп. Вычитая уравнение (4.42) из (4.43), определяем температурную зависимость разности потерь полезных сигналов в каналах и в уравнении (4.15):

XDSL (т) - X0WL (т) = +dnTn-1/2 Л

n=1 vT

(4.44)

где п с-п Ь—п и ^п сп Ьп-

Для определения температурной зависимости функции паразитного вклада в канал У^(Т) в (4.9) и (4.15) воспользуемся уже полученными результатами.

Во-первых, поскольку мы рассматриваем /^ (Т) как интенсивность одной (суммарной) линии, каждое отношение интенсивностей /к (/к, Т)//^(Т) в (4.9) можно заменить выражением (4.1), т.е.

!к (J, T)

iL(T )

= exp

f E Л (E Л

Ck + Ek- - E

k T J

v

= exP(Ck ) ■ exP ~fr = Dk exP

v 1 J

E flk

v T j

(4.45)

где Ск, Ак и Ек - константы, соответствующие к-му отношению интенсивностей. Во-вторых, каждая функция Х^(Т) в (4.9) определяется уравнением (4.36) и, учитывая разложение арктангенса (4.40), может быть выражена аналогично (4.42) без единицы:

ХОлг) = 1

( гк

У-п + гк^п-^2 ^ п

п=1

т

1-1/2

(4.46)

где /_кп и - константы, определяемые аналогично Ь-п и Ьп в (4.42). Разлагая

экспоненту в правой части (4.45) в ряд Тейлора, имеем

От) = 1лк«хг) = 1 =1

А.

Е Е

к ¿к 2

1к (¿к ,Т) _ хк (г)

т2 /гр\ ' к™ )

1low(T )

1+^ + 2

Т 2Т2

+ ...

Л ж ^ гк V-п

X

п=1

Т

1-1/2

+/пт

кт-тп-1/2

\ ж /

=х(

У. п=1 V

, (4.47)

Т

1-1/2

+

1-1/2

где константы и определяются из (4.47). То же самое справедливо для функции паразитного вклада в канал Л^ь

ж / А,

КР8Ь(Т) = У|-^ + кТ"-1'2

> ^ грп-12 п

п=1

Т

(4.48)

где константы к_п и кп определяются аналогично и .

Легко заметить, что температурные зависимости малых поправочных функций ХЦО^(Т), ^(Т), X^(Т) и 7^(Т) одинаковы. Данный факт неудивителен, поскольку

является прямым следствием столкновительного уширения ЧВР линий, адекватно описываемого в тропосфере профилем Лоренца [311]. Следовательно, сумма уравнений (4.44), (4.47) и (4.48) даст такую же зависимость с соответствующими константами 1-п и 1п:

2 (Т) = Х% (Т) - XГ (Т) + С (Т) - (Т) = X

I

.1 \Т

1-1/2

+

I Ти-1/2

(4.49)

Прологарифмируем обе части уравнения (4.15)

1п ба11(Т) = А + В + С + А + ... + 1п [1 + 2 (Т) ]

(4.50)

и, поскольку сумма поправок (4.49) 2(Т) << 1, логарифм в (4.50) разложим в ряд [308, с. 120]

2 3 4 5

1п(1 + -) = 2- — + ---— + ---... [-1 < 2 < 1].

2 3 4 5

(4.51)

Далее подставим 2 = 2(Т) из (4.49) в (4.51)

1п [1 + 7 (Т) ] = £

—I Т

=1 ч ^

1 Л 1

1-п . +1 Т"-1!2 1

1-1/2

У

X

Т =1 ч1

1-1/2

+

1 тп-1/2