ОПТИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРАФЕНОВЫХ СТРУКТУР В СИЛЬНЫХ ВНЕШНИХ ПОЛЯХ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, доктор наук Кухарь Егор Иванович

• Кухарь Егор Иванович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Кухарь Егор Иванович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение_6

ГЛАВА 1. Сверхрешетки на основе графена - новый класс материалов современной микроэлектроники_25

§1.1. Графен на подложке с чередующимися материалами в

электростатическом поле с пространственной периодичностью_25

§1.2. Электронный спектр графеновой сверхрешетки в приближении

сильной связи_42

§1.3. Графеновая сверхрешетка в магнитном поле.

Магнитные минизоны_49

§1.4. Графен со слабой периодической модуляцией ширины щели в

квантующем магнитном поле_58

§1.5. Слабосвязанные состояния в графеновых сверхрешетках, помещенных

в квантующее магнитном поле_62

§1.6. Графеновая сверхрешетка, сформированная за счет чередующихся

магнитных барьеров_69

Выводы_72

ГЛАВА 2. Статическая и динамическая проводимости графеновых сверхрешеток_74

§2.1. Влияние поперечного электрического поля на продольную статическую

вольт-амперную характеристику графеновой сверхрешетки_74

§2.2. Влияние поперечного электрического поля на продольную

динамическую проводимость графеновой сверхрешетки_94

§2.3. Отрицательная динамическая проводимость графеновой

сверхрешетки_98

§2.4. Поперечная проводимость графеновой сверхрешетки_106

§2.5. Влияние поперечного переменного поля на продольную вольт-

амперную характеристику графеновой сверхрешетки_110

§2.6. Влияние продольного переменного синусоидального электрического

поля на поперечную проводимость графеновой сверхрешетки_114

§2.7. Абсолютная отрицательная проводимость структур со сверхрешеткой,

индуцированная электромагнитным излучением_117

Выводы_128

ГЛАВА 3. Нелинейный электромагнитный отклик в графеновых сверхрешетках_130

§3.1. Генерация постоянного электрического тока в графеновой сверхрешетке за счет суперпозиции синусоидальных электрических

полей с ортогональными векторами напряженности_130

§3.2. Генерация постоянного тока в графеновой сверхрешетке за счет суперпозиции синусоидальной и кноидальной электромагнитных волн с ортогональными векторами напряженности

электрических полей_147

§3.3. Влияние постоянного электрического поля на генерацию постоянного тока в графеновой сверхрешетке, вызванную суперпозицией

синусоидальной и кноидальной электромагнитных волн_155

§3.4. Влияние электромагнитного излучения кноидальной формы на

поперечную проводимость графеновой сверхрешетки_164

§3.5. Светоэлектрический эффект в полупроводниковой и графеновой

сверхрешетках_168

Выводы_182

ГЛАВА 4. Уединенные электромагнитные волны в графеновых свехрешетках_184

§4.1. Электромагнитный 2п-импульс в графеновой сверхрешетке_184

§4.2. Увлечение носителей заряда уединенными электромагнитными волнами в графеновых сверхрешетках. Влияние магнитного поля на

эффект увлечения_190

§4.3. Квазиэнергия электронов в графеновой сверхрешетке, подверженной

действию высокочастотного электрического поля_197

§4.4. Влияние высокочастотного электрического поля на форму уединенных

электромагнитных волн в графеновых сверхрешетках_206

§4.5. Распространение диссипативного электромагнитного солитона в

графеновой сверхрешетке_213

§4.6. Ренормализация уравнения для потенциала электромагнитного поля в сверхрешетке, вызванная действием высокочастотного электрического

поля или тока_221

§4.7. Хаотическое поведение потенциала электромагнитного поля в

графеновой сверхрешетке в случае заданного переменного тока_231

§4.8. Хаотическое поведение потенциала электромагнитного поля в графеновой сверхрешетке, подверженной действию переменного

электрического поля_235

§4.9. Хаотическое поведение систем, описываемых уравнением double sine-

Gordon_239

Выводы_247

ГЛАВА 5. Электрические и оптические свойства щелевой модификации графена_249

§5.1. Поглощение электромагнитной волны, поляризованной по кругу,

щелевым графеном_249

§5.2. Магнитопоглощение электромагнитных волн щелевым графеном. Ширина резонанса циклотронного поглощения_258

§5.3. Влияние поперечного электрического поля на ширину резонанса

циклотронного поглощения в биграфене_272

§5.4. Динамическое наведение щели в графене, помещенном в высокочастотное электрическое поле. Проводимость графеновых

структур в условиях динамически наведенной щели_274

§5.5. Влияние высокочастотного электрического поля на энергию носителей

заряда графена в квантующем магнитном поле_281

§5.6. Влияние высокочастотного электрического поля на эффект де Гааза

ван Альфена в графене_286

§5.7. Влияние высокочастотного электрического поля на эффект Шубникова

- де Гааза в графене_292

Выводы_297

Заключение_299

Список сокращений_307

Список литературы

309

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ОПТИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРАФЕНОВЫХ СТРУКТУР В СИЛЬНЫХ ВНЕШНИХ ПОЛЯХ»

Актуальность темы

Развитие микро- и наноэлектроники тесно связано с созданием новых материалов [1-20] и стимулирует исследования оптических и электрических свойств структур на основе графена [4-7,9,21-28]. Графен, представляющий собой монослой углерода, получен в лаборатории относительно недавно [1] и является перспективным в электронике материалом. Внимание инженеров и исследователей к графеновым структурам вызвано также интенсивным развитием методов изготовления полупроводниковых и других твердотельных структур различной размерности - молекулярно-лучевой эпитаксии, газофазной эпитаксии, реактивного плазменного травления, нанолитографии, использование явления самоорганизации наноструктур [20,23]. Такие технологии позволяют создавать низкоразмерные структуры любого профиля с точностью до одного атомного слоя, в том числе - графен [3,14-17]. Развитие экспериментальных методов изучения электрических и оптических свойств графеновых структур привело к тому, что эти материалы приобретают все больший интерес в области физики электронных систем с пониженной размерностью [4-12,29-32].

Исследования электронных свойств графеновых структур в настоящее время имеют как фундаментальное, так и прикладное значение [22,33-37]. Экспериментально показано [1], что длина свободного пробега электрона в графене имеет порядок микрометра. Этот факт позволяет использовать графен для создания микрометровых приборов, работающих в баллистическом режиме [1,33,38,39]. Носители заряда в графене обладают высокой подвижностью даже при комнатных температурах [2]. Высокая электрическая проводимость делает графен перспективным материалом для использования его в наноэлектронике наряду с углеродными нанотрубками [40]. На основе этого материала уже разработан ряд электронных приборов

[37,39,40-48], в том числе - образцы полевых транзисторов [49-51]. Основная трудность в создании таких транзисторов - отсутствие щели между валентной зоной и зоной проводимости графена. Однако в [13,52] показали, что если графеновый лист помещен на подложку (например, 8Ю), то в его зонной структуре возникает запрещенная зона - так называемая щелевая модификация графена.

Графен является перспективным материалом для приложений в оптике [40,46,47,53,54]. Оптические свойства графена и структур на его основе изучались теоретически и экспериментально в [6,21,26,27,54-64]. Нелинейные электродинамические свойства графеновых структур открывают новые перспективы в оптоэлектронном приборостроении, основанном на использовании этих материалов [46,47,54]. Нелинейная зависимость коэффициента поглощения от интенсивности падающего на графен света позволяет создавать поглотители, способные уменьшать длительность лазерного импульса [46,47,54]. Используя теоретическую модель поглотителя на основе однослойного графена [54], исследователи создали новый высокочувствительный детектор, использующий в своей работе графеновые квантовые точки [47]. Такой детектор может стать базой различных приложений: световых сенсоров, инфракрасных камер ночного видения, биомедицинских томографов. Недавние исследования выявили множество других возможных применений графена: изготовление солнечных батарей [65], жидкокристаллических устройств [66], одномолекулярных детекторов [67] и т.д. Получаемые низкоразмерные структуры, такие как графеновые наноленты [37,50,68-72] и квантовые точки [3,9,25,73-85], рассматриваются как основа будущих квантовых наноустройств.

Исследования физических свойств графена способствуют также открытиям фундаментального характера в области теории твердого тела [8688]. Особенности зонной структуры графена приводят к тому, что материалы на его основе обладают рядом уникальных свойств [4,5,63,64,87-94], которые интенсивно изучаются как теоретически [22,82,86,95-103], так и

экспериментально [1-3,10-13,21,53,104-107]. Для бесщелевой модификации графена вблизи так называемых конусных или дираковских точек зоны Бриллюэна закон дисперсии линеен по абсолютной величине квазиимпульса. В связи с этим носители заряда в графене имеют динамику, характерную для двумерных (2D) безмассовых фермионов [89,101,108]. Этот факт дает возможность использовать графен для проверки релятивистских эффектов. В [86] предсказан так называемый парадокс Клейна в графене. В [2,104,109] исследованы особенности целочисленного квантового эффекта Холла, несвойственные обычному 2D электронному газу. Эти особенности предсказаны теоретически в [22,95] и наблюдались в [110] при комнатных температурах. Дробный квантовый эффект Холла в графенаовых структурах исследован в [98,111,112]. В [22,25,26,96,113-116] изучены магнитные осцилляционные эффекты в структурах на основе графена. В [26,96,113,114] показано, что период осцилляций по обратному магнитному полю в графене имеет иную зависимость от химического потенциала, чем в 2D структурах с квадратичным законом дисперсии. Квантовая теория динамической (оптической) магнитопроводимости развита в [26,96,117,118]. Особенности циклотронного резонанса в графеновых структурах исследованы в [56,61,92,106,117,119-123]. Теория квантовых осцилляций магнитной восприимчивости (эффект де Гааза - ван Альфена) и магнитопроводимости (эффект Шубникова - де Гааза) в 2D системе с дираковским спектром развита в [113,114]. Помимо прочих необычных физических свойств [124-128]

графен, также как и углеродные нанотрубки, способен выдерживать большие

8 2

плотности тока, превышающие 108 А/см2 [1], что на несколько порядков больше предельных плотностей токов в обычных металлах. Однако перед углеродными трубками графен имеет большие преимущества относительно возможностей его создания и обработки при помощи методов современной литографии [15,18,23,43,45,51,69,88,129,130].

Как показано в [12,36,131,132] внешнее силовое поле, в которое помещен графен, способно модифицировать его электронный спектр, что

дает возможность для управления параметрами этого спектра, не вмешиваясь во внутреннее строение той или иной графеновой структуры. Последнее важно для создания приборов с перестраиваемыми характеристиками. В [133] показано, что низкоэнергетические электроны в графене, помещенном в периодическое силовое поле, ведут себя как безмассовые частицы с анизотропным законом дисперсии. Аналогичное свойство проявляет графен, подверженный действию высокочастотного (ВЧ) электромагнитного (ЭМ) излучения [132,134-140], которое, в частности, приводит к динамическому наведению щели вблизи конусной точки энергетической зоны изначально бесщелевого графена.

Непараболичность и неаддитивность электронного спектра графена дает возможность для проявления ряда нелинейных кинетических и электродинамических эффектов в этом материале. В [27,57,64,92,97,141-143] нелинейный ЭМ отклик в графене исследован в рамках квазиклассического подхода. Применение углеродных систем, в частности - графена, для генерации ЭМ волн терагерцового (ТГц) диапазона обсуждались в [6,27,32,57,97,144,145].

Возможность использования сверхрешеток (СР) в качестве рабочей среды генераторов и усилителей ЭМ излучения [146-156] стимулирует исследования электронных и оптических свойств углеродных систем с дополнительным СР потенциалом [10,70,144,157-160]. Брэгговские отражения от границ минизоны СР в сильном электрическом поле являются причиной существования в вольтамперной характеристике (ВАХ) СР участка отрицательной дифференциальной проводимости (ОДП) [148-150]. Чтобы достичь эффекта ОДП для структур с СР требуются электрические поля со значительно меньшей напряженностью

(~103 В/см) чем для объемных однородных полупроводников [161-165]. Это делает структуры с СР привлекательными для исследователей в связи с созданием на их основе так называемых ТГц блоховских генераторов [146-150,155,166].

Более того, структуры с СР рассматриваются как подходящие среды для формирования нелинейных волн [161-165,167-171], а также для экспериментального изучения уединенных ЭМ волн, имеющих как фундаментальное, так и практическое значение [171-178]. Явления, связанные с распространением солитонов в СР могут стать основой работы таких электронных приборов, как, например, солитонные ячейки памяти [177]. Вышесказанное объясняет повышенный в настоящее время интерес исследователей к электронным свойствам СР на основе графена (ГСР) [25,32,62,70,133,157-160,179-200].

Зонная структура ГСР с периодически расположенными рядами вакансий и линиями адсорбированных атомов водорода рассчитана соответственно в [179] и [180] с использованием методов молекулярной динамики и теории функционала плотности. Аналитически закон дисперсии ГСР исследован в [133,182,184,195] в рамках модели Кронига-Пенни. В [133,182] ГСР формировалась за счет приложения к графену периодического электростатического потенциала, в [184] - за счет нанесения графенового листа на периодическую подложку (И-БК^Юг), а в [195] - за счет пространственной периодической модуляции скорости Ферми. В [10,11,23,24] ГСР получены в лабораторных условиях. В [184] наличие полосчатой подложки приводило к периодической модуляции щели в графене. В этом случае ширина энергетических минизон зависела от поперечной по отношению к оси ГСР компоненты квазиимпульса.

Неаддитивность электронного спектра ГСР проявляется в зависимости друг от друга движений электрона вдоль взаимно перпендикулярных направлений [189]. Эта особенность приводит, например, к влиянию электрического поля, приложенного перпендикулярно оси ГСР, на ее продольную ВАХ [201,202]. В [189,201-203] показано, что эффекты ОДП и абсолютной отрицательной проводимости (АОП) возможны в ГСР при одновременном действии постоянного и переменного электрических полей различной взаимной ориентации. Несмотря на большое количество работ,

посвященных нелинейному ЭМ отклику графена [27,57,64,92,97,141-143], а также электронным свойствам графена, обусловленным «релятивистским» характером его электронного спектра [2,86,104,109] и принципиально отличающим графен от других 2Б структур, влияние неаддитивности электронного спектра и несинусоидальности минизоны проводимости ГСР на транспортные свойства таких структур остается пока малоизученной.

Таким образом, вызванная как современным состоянием теории низкоразмерных систем, так и последними достижениями в области нанотехнологий, необходимость в изучении нелинейных оптических и электрических свойств графеновых структур, в частности - ГСР, показывает важность теоретического исследования электронного транспорта в этих материалах, подверженных действию интенсивных ЭМ полей. Вышесказанное обосновывает актуальность темы настоящего диссертационного исследования.

Степень разработанности

К настоящему времени существует достаточно большое количество работ, посвященных исследованию зонной структуры ГСР [133,159,179,180186,198,261], нелинейному ЭМ отклику графена и ГСР [27,57,64,92,97,141143,189], а также электронным свойствам графена, обусловленным «релятивистским» характером его электронного спектра [2,86,104,109]. В [179,180] зонная структура ГСР исследовалась численно методами молекулярной динамики и теории функционала плотности. В [133,159,182] аналитически исследован закон дисперсии ГСР, полученной приложением к бесщелевому графену электростатического потенциала, имеющего вид периодически чередующихся прямоугольных барьеров (модель Кронига-Пенни). В [184] предложена ГСР, образованная нанесением графенового листа на периодическую подложку, составленную из чередующихся слоев 8Ю2 и И-ЭК В [10,11,23,24] ГСР получены в лабораторных условиях.

Данная диссертация является законченной научно-квалифицированной работой, в которой совокупность разработанных теоретических положений можно квалифицировать как новое крупное научное достижение - выявление новых электрических и оптических свойств нового класса материалов современной наноэлектроники, а именно 2D твердотельных структур, обладающих неаддитивным электронным спектром (структур на основе графена) и подверженных действию интенсивных ЭМ полей.

Цель и задачи работы

Построить последовательную теорию, учитывающую влияние интенсивных ЭМ полей на электронный спектр, динамику носителей заряда, кинетические и оптические свойства структур на основе графена, в частности - ГСР. Исследовать роль неаддитивности электронного спектра и несинусоидальности минизоны проводимости ГСР в нелинейном ЭМ отклике таких структур. Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи.

1) Аналитическое вычисление в приближении сильной связи явного вида электронного спектра графена с периодически модулированной щелью.

2) Расчет статической ВАХ ГСР в условиях поперечного по отношению к оси ГСР электрического поля и исследование зависимости положения начала участка статической ОДП от напряженности поперечного поля.

3) Вычисление продольной и поперечной по отношению к оси ГСР динамической проводимости. Исследование условий возникновения динамической ОДП.

4) Расчет постоянной составляющей плотности тока, возникающей вдоль оси ГСР, в условиях одновременного действия постоянного электрического поля с напряженностью, составляющей с осью ГСР некоторый угол, и продольного переменного поля. Исследование зависимости плотности постоянного тока от поперечной составляющей

напряженности постоянного поля, от частоты и амплитуды переменного поля.

5) Вычисление поперечной проводимости ГСР в условиях продольных переменного и постоянного электрических полей. Исследование зависимости поперечной проводимости от амплитуды переменного и напряженности постоянного электрического полей.

6) Вычисление плотности постоянного тока, возникающего в ГСР при наложении двух синусоидальных электрических полей, осциллирующих во взаимно перпендикулярных направлениях с частотами, отличающимися в два раза. Изучить особенности генерации постоянного тока в ГСР в указанных условиях.

7) Вычисление плотности постоянного тока, возникающего в ГСР под действием двух переменных электрических полей, осциллирующих во взаимно перпендикулярных направлениях, одно из которых представляет собой поле кноидальной волны. Исследование зависимости постоянной составляющей плотности тока от амплитуды кноидальной волны. Изучить условия и особенности генерации постоянного тока в ГСР в указанных условиях.

8) Расчет плотности постоянного тока, возникающего в ГСР в условиях постоянного и двух переменных электрических полей, осциллирующих во взаимно перпендикулярных направлениях, одно из которых является полем кноидальной волны. Исследование зависимости плотности постоянного тока от напряженности постоянного поля.

9) Нахождение потенциала ЭМ поля уединенной волны, распространяющейся в ГСР.

10) Расчет плотности тока увлечения носителей заряда уединенной ЭМ волной, распространяющейся в ГСР. Вычисление заряда, увлекаемого уединенной ЭМ волной в ГСР в направлении своего распространения. Исследование зависимости этого заряда от напряженности постоянного магнитного поля, перпендикулярного графеновой плоскости.

11) Аналитическое определение явного вида квазиэнергетического спектра ГСР, подверженной действию ВЧ электрического поля.

12) Исследование зависимости формы уединенных ЭМ волн от амплитуды ВЧ электрического поля, действующего на электронную подсистему ГСР. Изучение возможности распространения диссипативного солитона в ГСР. Исследование зависимости формы диссипативного солитона от амплитуды ВЧ электрического поля.

13) Вычисление мощности ЭМ волны, поглощаемой щелевым графеном, и исследование зависимости этой мощности от амплитуды волны.

14) Аналитическое определение явного вида квазиэнергетического спектра графена, помещенного в квантующее магнитное и ВЧ электрическое поля.

15) Учет влияния ВЧ электрического поля на магнитные осцилляции проводимости и дифференциальной магнитной восприимчивости щелевого графена. Определение зависимости периода магнитных осцилляций от амплитуды ВЧ электрического поля.

Научная новизна

В диссертации впервые получены следующие результаты.

1) Аналитически в приближении сильной связи получен явный вид электронного спектра графена, с периодически модулированной щелью.

2) Исследовано влияние поперечных по отношению к оси ГСР электрических полей на продольную статическую ВАХ ГСР. Показано, что с увеличением напряженности поперечного электрического поля максимум продольной ВАХ ГСР сдвигается в область более сильных полей.

3) С помощью кинетического уравнения Больцмана вычислены продольная и поперечная динамические проводимости ГСР. Найдены условия возникновения дополнительных интервалов динамической ОДП, несовпадающих по положению с интервалами динамической ОДП, характерными для полупроводниковых СР на основе ОаЛБ/ЛЮаЛБ.

4) Показано, что поперечное переменное электрическое поле модифицирует продольную ВАХ ГСР таким образом, что в области статической ОДП вблизи значения напряженности продольного поля, для которого блоховская частота равна частоте поперечного переменного поля, возникает интервал напряженностей, в пределах которого плотность тока резко возрастает.

5) Установлено, что зависимость поперечной проводимости ГСР, помещенной в продольные переменное и постоянное электрические поля, от напряженности постоянного поля имеет вид чередующихся резонансов: всплеск проводимости возникает вблизи значений напряженности, для которых блоховская частота кратна частоте переменного поля.

6) Показано, что зависимость поперечной проводимости ГСР, помещенной в продольные переменное и постоянное электрические поля, от амплитуды переменного поля имеет характер осцилляций.

7) На основе кинетического уравнения Больцмана вычислена плотность постоянного тока, возникающего в ГСР при наложении двух синусоидальных электрических полей, осциллирующих во взаимно перпендикулярных направлениях с частотами, отличающимися в два раза. Показано, что постоянная составляющая плотности тока осциллирует с изменением амплитуды продольного переменного поля. При определенных значениях амплитуды колебаний продольного поля возможна смена направления постоянного тока.

8) Вычислена плотность постоянного тока, возникающего в ГСР под действием двух переменных электрических полей, осциллирующих во взаимно перпендикулярных направлениях, одно из которых представляет собой поле кноидальной волны.

9) Показано, что величина и направление поперечного постоянного тока, возникающего при наложении двух переменных электрических полей, одно из которых является полем кноидальной волны, меняются с увеличением

абсолютного значения напряженности электрического поля, приложенного вдоль оси ГСР.

10) Проведено сравнение эффектов смены знака тока увлечения носителей заряда в ГСР и в СР с аддитивным спектром.

11) Найден потенциал ЭМ поля уединенной волны (2р-импульса), распространяющейся в ГСР.

12) Вычислена плотность тока увлечения носителей заряда ЭМ 2р-импульсом в ГСР, помещенной в дополнительное постоянное магнитное поле. Вычислен заряд, увлекаемый такой волной за время своего распространения.

13) Найден явный вид квазиэнергетического спектра ГСР, помещенной в ВЧ электрическое поле.

14) Показана возможность распространения диссипативного солитона в ГСР, помещенной в ВЧ электрическое поле. Вычислен заряд, увлекаемый диссипативным солитоном за время своего распространения в ГСР. Величина заряда, увлекаемого диссипативным солитоном, немонотонно зависит от амплитуды ВЧ поля.

15) Установлено, что амплитуда и ширина уединенных ЭМ волн (2р-импульса, диссипативного солитона) в ГСР немонотонно зависят от амплитуды ВЧ электрического поля, действующего на электронную подсистему ГСР.

16) С помощью метода Мельникова определены условия хаотического поведения потенциала ЭМ поля, формируемого в ГСР, подверженной ВЧ возмущениям.

17) Показано, что мощность ЭМ волны, поглощаемая единицей площади щелевого графена, пропорциональна квадрату амплитуды волны для слабого излучения и пропорциональна первой степени амплитуды в случае сильного излучения.

18) Найдена формула, определяющая величину ширины резонанса циклотронного поглощения для чистого щелевого графена.

19) Определен явный вид квазиэнергетического спектра графена, помещенного в квантующее постоянное магнитное и ВЧ электрическое поля.

20) Вычислены дифференциальная магнитная восприимчивость и проводимость щелевого графена, помещенного в квантующее магнитное и ВЧ электрическое поля.

21) Установлено, что период квантовых осцилляций дифференциальной магнитной восприимчивости и проводимости графена по обратному магнитному полю является функцией амплитуды ВЧ поля, в которое помещен графен.

Теоретическая и практическая значимость

Установленные в исследовании закономерности электронного переноса в ГСР дают важные сведения о характерных электронных свойствах узкозонных материалов и представляются ценными для теории твердого тела и физической электроники. Результаты могут применяться для диагностики кинетических свойств графеновых структур, для изучения формы уединенных ЭМ волн, а так же в электронной и оптоэлектронной инженерии при создании наноэлектронных устройств на основе графена (усилителей излучения, солитонных линий задержки, солитонных ячеек памяти). Участки ОДП обнаруженные в ВАХ ГСР в условиях воздействия ВЧ поля могут быть использованы при проектировке генераторов ТГц излучения.

Данное исследование выполнено при финансовой поддержке Минобрнауки России на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания № 2014/411 (код проекта: 522).

Работа также проводилась при финансовой поддержке

- Минобрнауки России на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания в 2013 г. № 2.8298.2013;

- РФФИ, грант № 13-02-97033 р_поволжье_а.

Методы исследования. В работе использовались следующие методы и приближения:

• метод кинетического уравнения Больцмана;

• приближение постоянного времени релаксации;

• приближение сильной связи;

• методы теории возмущений;

• метод усреднения по быстрым осцилляциям;

• унитарные преобразования;

• методы теории функций комплексной переменной, в частности - теории вычетов;

• метод Мельникова.

В качестве объектов исследования выбраны

1) ГСР, подверженная воздействию сильных электрических и магнитных полей и представляющая практический интерес для нано-, микро- и оптоэлектроники (детекторы, усилители, генераторы излучения и т.д.);

2) щелевая модификация графена, биграфен (двухслойный графен);

3) уединенные ЭМ волны, имеющие приложения в нелинейной оптике.

На защиту выносятся следующие положения

1) В приближении сильной связи получено явное выражение для электронного спектра ГСР, образованной за счет периодической модуляции ширины щели в графене. Электронный спектр ГСР является неаддитивным, минизона проводимости ГСР - несинусоидальной. Область минизоны проводимости ГСР, соответствующая отрицательным эффективным массам носителей заряда, уменьшается с увеличением поперечного по отношению к оси ГСР квазиимпульса.

2) Поперечное по отношению к оси ГСР постоянное электрическое поле так модифицирует продольную ВАХ ГСР, что положение участка ОДП зависит от напряженности поперечного поля. С увеличением напряженности

поперечного поля максимум ВАХ смещается в сторону более сильных полей. Абсолютные значения статической и динамической проводимостей уменьшаются с увеличением напряженности поперечного электрического поля. В сильном поперечном постоянном электрическом поле ГСР имеет такую продольную проводимость, как если бы 2Б-электроны обладали модифицированной эффективной массой, пропорциональной напряженности поперечного поля.

3) В ГСР генерируется постоянный электрический ток в результате суперпозиции двух переменных электрических полей, осциллирующих во взаимно перпендикулярных направлениях с частотами, отличающимися в два раза. Зависимость постоянной составляющей плотности тока от амплитуды продольного переменного поля имеет характер осцилляций. Существуют значения амплитуды колебаний продольного поля, для которых постоянный электрический ток меняет направление.

4) В ГСР возможно распространение уединенных ЭМ волн (2р-импульсов). В случае, когда имеют место межминизонные переходы в ГСР возможно распространение диссипативного солитона (р -импульса), стабильность которого обеспечивается за счет энергии носителей заряда в инвертированной минизоне. Инверсная населенность в ГСР достигается внешним ВЧ излучением.

5) Мощность ЭМ волны, поглощаемая единицей площади щелевого графена, пропорциональна квадрату амплитуды волны для слабого излучения и пропорциональна первой степени амплитуды в случае сильного излучения.

6) Действие ВЧ электрического поля приводит к динамической модификации структуры энергетических уровней носителей заряда графена, помещенного в квантующее магнитное поле. Изменение амплитуды ВЧ электрического поля, в которое помещен графен, приводит к изменению периода квантовых осцилляций дифференциальной магнитной восприимчивости и проводимости графена по обратному магнитному.

Достоверность результатов и выводов

Достоверность результатов и выводов обеспечена использованием разработанных ранее и хорошо зарекомендовавших себя физических методов, а также строгим соблюдением пределов применимости используемых подходов, моделей и приближений, совпадением частных случаев с известными ранее результатами, использованием адекватных математических методов вычислений. В ряде случаев теоретические результаты проверялись в численных экспериментах.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кухарь Егор Иванович, 2016 год

- -

- / 2 -

4 ■ ■ ч 1

■ ■ | 1 1 # 1 ' | 1 ■ 1 ■ 1 ■ 1 ■ 1 1 Ш ■

*

10

20

Рис. 2.27 - Зависимость статической поперечной проводимости ГСР от напряженности продольного постоянного электрического поля. сот = 10. 1) а = 1; 2) а = 3

где < = п0 е 2Урт/А - статическая поперечная проводимость ГСР в отсутствие

продольных полей. После подстановки потенциала переменного поля в (2.100) и вычисления интегралов получим для постоянной составляющей

плотности тока следующее выражение:

% = < Е

ёе 1 Е1

1+ У V Л (а) 1 ~(О в + ""К "

(1 + (О в + по)1? )

2

(2.101)

Здесь обозначено: а = еЕ0d|Но. Из (2.101) найдем поперечную проводимость ГСР в присутствии продольного поля [214]:

< =<1

У Т2(Л 1-Овт ,У

1 + ± Л (а)

2

(1+ Овт2 )2 2 п=1

+ £ V Л (а)х

х

1 -(Ов + по)2т2 1 -(Ов -по)2т2

\\

(1 + (Ов + по)2т2 ) (1 + (Ов - пм)2т2)

(2.102)

//

Оуу / G_L

0.82

0.80

0.78

0.76

/ -

1 * ______________2 " 1

я A » \ ' i .

I * f * # # f * f * Ш + * /^k * # X t / Д * / 1 Y 4 \ ♦i \

# ♦ " # ♦ / ♦ ♦ \ xV ♦V ♦ X - V

0

10

Ео/Ю В/см

Рис. 2.28 - Зависимость статической поперечной проводимости ГСР от амплитуды переменного электрического поля. стт = 10. 1) Wвт = 10; 2)

W вт = 20

Графики зависимостей поперечной проводимости ГСР от напряженности постоянного продольного поля Е//с и от амплитуды переменного поля Е0, построенные по формуле (2.102), показаны на рисунках 2.27 и 2.28, соответственно. Из рисунка 2.27 видно, что

зависимость <г от напряженности имеет вид чередующихся резонансов:

всплеск проводимости возникает вблизи значений напряженности постоянного продольного поля, удовлетворяющих условию: □ в = пю, где п - целое число. Зависимость < от амплитуды Е0 имеет характер

осцилляций. Влияние продольных полей на поперечную проводимость -следствие неаддитивности спектра ГСР.

В отсутствие продольного постоянного поля (□ вг = 0) поперечная проводимость ГСР в условиях переменного продольного поля равна:

s = s,

yy -

1 - n Wt

^^,(1 + nw)2

1 + g J2 (a J (a)

(2.103)

В отсутствие переменного поля (а = 0) из (2.102) следует:

< = <1

1 уОвт2 (3 + Овт2 )

2 (1+ОВТ2 )2 .

Если О вт << 1, то вместо (2.104) можно приближенно записать:

<уу =<1

1 - — О2вт2 2 в

(2.104)

(2.105)

Как видно формулы (2.104) и (2.105) для статической проводимости ГСР в поперечном направлении по отношению к оси ГСР совпадают соответственно с формулами (2.86) и (2.87), полученными в низкочастотном пределе для динамической проводимости.

§2.7. Абсолютная отрицательная проводимость структур со сверхрешеткой, индуцированная электромагнитным излучением [225]

Известно, что при определенных условиях сильное электрическое поле, приложенное вдоль оси СР, приводит к кардинальному изменению электронного спектра [131,334-340]: непрерывный спектр преобразуется в набор эквидистантных энергетических уровней (так называемая штарковская лестница). В [146,341] обсуждаются возможности использования электронных переходов между такими уровнями для генерации ЭМ излучения. Экспериментально состояния Ванье-Штарка изучались в [342346].

В [347,348] построена общая теория электропроводимости полупроводников, учитывающая конечность зоны проводимости и электрон-фононное взаимодействие. Отметим, что электрон-фононное взаимодействие в условиях штарковского квантования изучено в [340,349]. Используя общий метод, развитый в [347,348], в [350] вычислена плотность тока, возникающая вдоль оси 2Б материала с СР в условиях квантующего электрического поля.

Расчеты в [350] показали возможность электро-фононного резонанса (ЭФР), предсказанного в [351] для объемных полупроводников.

Влияние ВЧ электрического поля, напряженность которого осциллирует в направлении, перпендикулярном оси СР, на продольную проводимость 2Б материала с СР, помещенного в квантующее электрическое поле, исследовано в [352,353]. Причем в [353] пренебрегалось поглощением и испусканием квантов ВЧ поля. В [352] отмечалось, что в условиях ВЧ поля в узкозонных полупроводниках возможен эффект отрицательной проводимости, при котором ток течет в направлении, противоположном постоянному электрическому полю. Существенным обстоятельством здесь было наличие конечной ширины зоны проводимости, как в продольном, так и в поперечном по отношению к тянущему полю направлению. Изменение знака проводимости, индуцированное ВЧ токами, экспериментально наблюдался в джозефсоновских контактах [354]. Эффект смены знака проводимости, индуцированный микроволновым излучением в полупроводниках, помещенных в квантующее магнитное поле исследовано в [355,356].

Ниже вычислена плотность тока, возникающего вдоль оси квантовой СР, помещенной в квантующее электрическое поле и в поле ЭМ излучения. Показана возможность смены знака проводимости. Найдены условия проявления такого эффекта. В отличие от [355,356] магнитное поле отсутствует. В настоящей работе учитываются процессы поглощения и излучения квантов ВЧ излучения, что делает полученные результаты отличными от [353].

Рассмотрим 2Б структуру со СР, помещенную в плоскости ху таким образом, что Ох - ось СР. В приближении сильной связи динамика электронов в минизоне в ряде полупроводниковых СР описывается следующим законом дисперсии:

(р ) = £ру + 2есвт2 ^, (2.105)

где £Ру = рЦ2т, т - постоянная эффективная масса, соответствующая

движению электрона в направлении Оу, ес - полуширина минизоны, d -период СР. Например, (2.105) описывает движение электронов в минизоне СР на основе ОаА8/АЮаА8 [350,357]. Кроме того, выражение (2.105) может описывать динамику электронов в ГСР, если у<< 1. В этом случае

Ру

необходимо сделать замену: е ® д/А2 + Цр2, ес ® А2 /ер .

Рис. 2.29 - Схема электронного перехода. Ов = со0 (ЭФР)

Пусть монохроматическая ЭМ волна падает на рассматриваемую структуру так, что напряженность электрического поля волны совершает осцилляции в плоскости 2Б структуры перпендикулярно оси СР с амплитудой Е0 и частотой с. Кроме того предполагаем, что СР расположена в квантующем электрическом поле с вектором напряженности Е, параллельным оси СР. Абсолютная величина Е удовлетворяет следующим условиям:

е >> НОв, Овг>> 1. (2.106)

Первое условие (2.106) позволяет использовать одноминизонное приближение. Второе неравенство (2.106) является условием квантования энергии движения носителей заряда вдоль оси СР [334-339]:

е = ер + Швк, п= 0, ± 1, ± 2, ....

ру в ' ' ' '

(I) 'и Штарковский уровень

Рис. 2.30 - Схема электронного перехода. Ов = со0 -с

Согласно общей теории ток ]х, возникающий вдоль оси СР под действием указанных выше полей, равен [347]: ]х = у+ + у_, где

2лednr

Н

0 ЕЕЕЕп (^ К| 2| им, )|

X

П Я Ру р ]

x

Е & <Яу)

N. + -±- |^(гр.-е. ±Ню

Я 2 2) у ру Я

_ зПс^ ,ру_ . (2.107)

С

= Я Ч , я

Здесь N. - число фононов с волновым вектором . константа связи электронов с фононами [349], п0 - поверхностная концентрация свободных электронов, Ип(чх) и О^ = с0 +ю - матричные элементы операторов, учитывающих влияние квантующего электрического поля и ЭМ излучения соответственно. В приближении сильной связи [352]:

\К(Чх)2 = У

— 81П х

ЙЛ,

2

(2.108)

и в приближении эффективной массы [352]:

еЕ0 Чу

& (Чу) = У

к тс )

(2.109)

где Уу(д) - функция Бесселя. Функция распределения электронов /(ру)

зависит от поперечных составляющих квазиимпульса электронов, учитывает разогрев электронного газа, вызванный ВЧ ЭМ излучением, и является решением уравнения баланса [347,348].

Рис. 2.31 - Схема электронного перехода. W B = w0 + w

Температура t предполагается малой (T << Hwq) так, что выполнено

условие Nq << 1. В этом случае, как видно из (2.107), можно пренебречь

влиянием процессов, идущих с поглощением фононов. Кроме того, считаем энергию поперечного движения, усредненную по каноническому ансамблю, значительно меньшей чем HW B. Это позволяет пренебречь поперечной

дисперсией электронов. Полагая также g = const, HWB >>ec и пренебрегая

дисперсией фонона (wq = w0 = const), перепишем (2.107):

jx =

mdn. g

/ \2

2H

V W в J

iii..

n=±1 5 q 4.

n • 2

sin

qj_ 2

x

x J2(a0_qy )S(w0 -nWB -sw),

(2.110)

где обозначено: а0 = вЕ0!то2d. Из (2.110) следует, что плотность тока испытывает резонанс, если о0 = в. В частности, если Ов = о0, то

возникает ЭФР [350,351]: резонанс тока, вызванный переходами электронов между штарковскими уровнями с излучением фонона (рис. 2.29). На рисунках 2.30 и 2.31 проиллюстрированы случаи, соответствующие равенствам: Ов = о0 - о и Ов = о + о0.

► \х -е

Рис. 2.32 - Схема электронного перехода. Ов = ю-ю0 (АОП)

Если же выполняется условие:

з+ю = ю0 в, (2.111)

где - положительное целое число, то значение плотности тока ]х в резонансе, согласно (2.110), оказывается отрицательным. Эта ситуация соответствует АОП: электрический ток течет против направления вектора постоянного электрического поля Е. Электронные переходы, ответственные за этот эффект, сопровождаются поглощением квантов ВЧ поля и излучением фонона. Этот случай проиллюстрирован на рисунке 2.32 для *+ =1.

Для количественного анализа ВАХ СР в рассматриваемой ситуации необходимо учесть конечность ширины резонансов и значений тока в них. Уширение резонансов может быть вызвано, например, столкновениями носителей с акустическими фононами, наличием дисперсии оптических фононов и т.д. В связи с этим заменим в (2.110) £-функции их лоренцевскими представлениями. Производя также замену суммирования по q интегрированием, запишем вместо (2.110):

Л = 4 /

г л2

ЕЕ--п—-х

щ

V О в у

22

V=±\s =-¥

1 + (ю0 -V в - ю)2г2

0 V2

х | а (оХМи21|1 Хх. (2.112)

х

Здесь обозначено: у0 = ed Зес2 п0 gт| 8Р2 Н 4о(

.2+4^2

П (а ¥ Пя(аХ) = | 1 + и2

(2.113)

Ниже мы рассмотрим две ситуации: 1) СР подвержена слабому ЭМ излучению (а0 << 1), 2) СР подвержена интенсивному ЭМ излучению

( а0 >> 1).

Рис. 2.33 - ВАХ СР, подверженной ЭМ излучению. а0 = 0.1, о0т = 10. а) о = 3о0; б) о = 4о0; в) о = 5о0; г) о = 6о0

Если а0 << 1, то в сумме по я в формуле (2.112) мы можем оставить слагаемые только с я = 0, ± 1. При этом П0 (а0Х) ~ р/2. Чтобы вычислить П (а0Х) в первом неисчезающем приближении по параметру а 0, воспользуемся следующими интегральными представлениями:

л Р л Р

Л И— Г СС8(2£)/0 (20в1п£ Л0 И = 1Г ег*8Ш . (2.114)

Таким образом, вместо (2.113) для я = 1 имеем:

1 р , ~ р /. с, \, ~+¥ ехр(2/ап4и в1п£ в1п£ Ми ,, ^ч

П1 (ас#) = РГ X[ СС8(2^1 [ ^ -21-. (2.115)

2р * * 1 + и

0 0 -¥

Используя следующую формулу:

Í

eiqudu 1 + и2

= pe

перепишем (2.115):

1 Р Р

Q1 (a0X) = y jX jexP(- 2a0X sin £ sin £ )cos(2£ )d£. (2.116)

2p 0 0

Интегрирование в (2.116) в линейном по параметру a0 приближении дает:

Зр

(2.117)

После подстановки s = 0, ± 1, формулы (2.117) в (2.112) и интегрирования по переменной £ получим [225]:

Jx = 2/

г \

w

V wb у

Р

4an

1

1 + (w0 -WB )V 3 1 1 + (w0 -WB -wft2

+

1 + (w0 -W B +w)V 1 + (w0 + WB -w)2t2

(2.118)

Графики ВАХ, построенные по формуле (2.118) для различных значений частоты ЭМ волны с, изображены на рисунке 2.33. Пусть значение напряженности квантующего поля далеко от условий возникновения ЭФР (|с0 -^в|т>> 1). Тогда плотность тока в резонансе, соответствующем условию с = с0 + равна [225]:

J

e2d \ gt

ANC

V WB у

E,

0

(2.119)

3р2ш% 4с2

Таким образом, вблизи значения напряженности квантующего электрического поля Е, отвечающего условию с = с0 + , вектор плотности тока направлен против вектора Е, что соответствует АОП. В поле слабого ЭМ излучения данный эффект мал по сравнению с ЭПР. Действительно при а0 = 0.1, отношение абсолютных значений плотности тока в резонансах, соответствующих отрицательной проводимости (2.119) и ЭФР

q

2

1

1

2

( Уеря), составляет порядок: ^'А№С/ЛРК|~10-2. Для увеличения абсолютного значения плотности тока jANС необходимо подвергать СР интенсивному ЭМ излучению.

Рис. 2.34 - ВАХ СР, подверженной ЭМ излучению. а0 = 10, со0т = 10, с = 2.3с0

Теперь рассмотрим случай сильной ЭМ волны ( а0 >> 1). Для этого используем следующее асимптотическое поведение функции (2.113) при

а0 >> 1:

1 ( рА

1

5 + -V 2 у у

(2.120)

где у(х) - дигамма-функция. После подстановки (2.120) в (2.112) получаем следующее выражение для плотности тока [233]:

j =А

J X

с \

с

а

V ^в у

1п(2а0 )

+Е| 1п(2а0 )-у

5=1

/ 1

1

5 + —

V 2 уу

1 + (С0 -Ой )1 1

+

1 + (с0 - ^в - с)!

2

1 1

(2.121)

1 + (о0 -Ов + о)2г2 1 + (о0 +Ов - о)2г2

График зависимости плотности тока от напряженности Е квантующего электрического поля, построенный по формуле (2.121), показан на рисунке 2.34 (здесь Е1 ° Но0/ ed). Как видно из этого графика существует значение

Е, для которого плотность тока меняет знак. Резонанс отрицательного тока возникает, если выполнено условие (2.111).

Из рисунка 2 также видно, что при использовании интенсивного ЭМ излучения абсолютные значения токов jE?R и jNC становятся сравнимыми по порядку величины.

Как указывалось выше, отрицательная плотность тока на рисунке 2.34 соответствует тому, что ток течет против направления квантующего электрического поля. Из рисунка 2.34 видно, что резонанс отрицательного тока возникает при выполнении условия (2.121). Эффект смены знака проводимости СР не зависит от вида статистики и степени разогрева электронного газа. Возможность такого эффекта является следствием закона сохранения энергии в условиях штарковского квантования. Действительно, при выполнении условия (2.121) возникают электронные переходы между штарковскими уровнями с поглощением квантов ЭМ излучения и излучением фонона (рис. 2.32). В результате энергия электрона повышается, и соответствующий ток направлен против вектора напряженности квантующего электрического поля Е. Таким образом, необходимым условием возникновения смены знака проводимости СР является передача энергии электронной подсистеме СР. Последнее достигается за счет облучения образца интенсивной ЭМ волной. Данный эффект исчезает в отсутствие ЭМ излучения (Е0 = 0) и увеличивается с повышением

интенсивности излучения. Эффект смены знака проводимости СР аналогичен эффекту поглощения света атомом. При этом электрон переходит на более

высокий энергетический уровень, «перемещаясь» в направлении

противоположном направлению кулоновской силы.

Сделаем численные оценки параметров структуры СР и интенсивностей

полей, при которых возможно наблюдать описанное явление в эксперименте.

Одним из условий наблюдения отрицательной проводимости СР является

выполнение неравенств (2.106). Для типичных значений параметров СР [341_1 2 _6 _28

344] % ~10 с, d ~10 см, т ~10 г, £§~0.1 эВ напряженность

постоянного электрического поля, приложенного вдоль оси СР должна

3 5

лежать в пределах: 10 В/см<< Е << 10 В/см. На рисунке 2 представлены резонансы плотности тока для амплитуды ЭМ излучения, равной Е0 = 104

В/см, и частоты, равной с = 2.3с0. Из последнего равенства следует, что для

13 _1

Нс0 = 6 мэВ (с0 ~ 10 с ) энергия квантов ЭМ излучения должна быть равна Нс = 13.8 мэВ. Согласно условию (2.111), блоховская частота составляет = 1.3с0 и соответствует напряженности квантующего поля Е = 8-10 В/см. Другим условием наблюдения эффекта является использование низких температур: Т << Нс0. Из последнего неравенства следует, что температура не должна превышать 10 К, что может быть достигнуто использованием, например, жидкого гелия.

Отметим, что описанный для 2Б структур со СР эффект АОП должен иметь место и в ГСР. Однако для того, чтобы применить приближение постоянной поперечной эффективной массы, ВЧ ЭМ поле должно быть достаточно слабым, а именно: ви¥Е0/сД << 1, чтобы избежать существенного изменения поперечной энергии электрона, равной:

9 9 9 13 _1

ep =уЛ +uFpy . Для D= 0.1 эВ, w= 10 с амплитуда такого излучения

должна удовлетворять условию: E << 104 В/см. В ситуации низких температур и слабого ЭМ излучения последнюю формулу можно заменить ее разложением в ряд по квазиимпульсу py с точностью до квадратов py:

ep ~ Л + p^/lm^ , где ш± = Л/ц2. Таким образом, для ГСР в случае g << 1 и

слабого ЭМ излучения формулы (2.117) и (2.118) остаются в силе, если при этом сделать замены: ш ® ш±, ес ® Д^/А.

Выводы

1) Поперечное по отношению к оси ГСР постоянное электрическое поле так модифицирует продольную ВАХ ГСР, что положение участка ОДП зависит от напряженности поперечного поля. С увеличением напряженности поперечного поля максимум ВАХ смещается в сторону более сильных полей.

2) В сильном поперечном постоянном электрическом поле (Ь >> 1) при низких частотах (стт << 1) продольного переменного поля ГСР имеет такую проводимость, как если бы 2Б-электроны обладали модифицированной эффективной массой, пропорциональной напряженности поперечного поля: шей. ~ Е^с [201,202].

3) В сильном поперечном постоянном электрическом поле (Ь >> 1) и в случае высоких частот переменного поля (с >> и стт >> 1) динамическая проводимость ГСР обратно пропорциональна первой степени частоты: охх гс о"1. Данная особенность проводимости ГСР обеспечивается неаддитивностью электронного спектра и отличает ГСР от полупроводниковых СР, где ВЧ проводимость уменьшается с ростом частоты как с"2 [318].

4) Если напряженность продольного постоянного поля лежит в области статической ОДП, то для ГСР также как и для полупроводниковых СР всегда существует диапазон частот с переменного поля, а именно 0 < с < , для которых имеет место динамическая ОДП [149,150].

5) Существует такое критическое значение параметра у = Д1/А, равное ушш, что при у > уш[п в окрестности частот, удовлетворяющих условию (2.65), возникают дополнительные диапазоны, соответствующие динамической

ОДП. Указанные дополнительные интервалы частот могут быть расширены за счет увеличения параметра у. Данный эффект обусловлен негармоничностью блоховских осцилляций электронов в минизоне проводимости ГСР.

6) С увеличением напряженности продольного постоянного поля критическое значение уменьшается.

7) В продольной статической ВАХ ГСР, модифицированной действием продольного ВЧ электрического поля, кроме максимумов и участков ОДП, характерных для полупроводниковых СР с аддитивным спектром, появляются дополнительные максимумы, а вместе с ними _ дополнительные участки ОДП, которые тем существеннее, чем больше параметр у.

8) В области ОДП продольной ВАХ ГСР, модифицированной действием поперечного ВЧ электрического поля, возникает резкое возрастание плотности тока, если частота переменного поля приближается к частоте блоховских осцилляций.

9) Зависимость поперечной проводимости ГСР, помещенной в продольное переменное электрическое поле, от напряженности продольного постоянного поля имеет вид чередующихся резонансов, возникающих при совпадении блоховской частоты с целым кратным частоты переменного поля.

10) В СР, помещенной в ВЧ ЭМ поле и постоянное продольное электрическое поле, для которого выполнены условия штарковского квантования, возможен эффект АОП: электрический ток течет против направления напряженности электрического поля. Для эффекта АОП необходимо выполнение равенства (2.111). Плотность тока в резонансе в условиях АОП равна (2.119).

ГЛАВА 3. Нелинейный электромагнитный отклик в графеновых

сверхрешетках

§3.1. Генерация постоянного электрического тока в графеновой сверхрешетке за счет суперпозиции синусоидальных электрических полей с ортогональными векторами напряженности [203,207]

Возросший в последнее время интерес к изучению нелинейного ЭМ отклика в графене [27,57,63,64,92,97,136-143,324,358] и в полупроводниковых СР [151-156,165,166,168,169,325,326,329,332,359-362] делает актуальным исследование нелинейных ВЧ явлений в ГСР [189]. В [363-367] изучены нелинейные эффекты в волоконных световодах, а именно - так называемые эффекты когерентного смешивания волн [326]. Важной задачей, возникающей при изучении смешивания ТГц волн, является исследование взаимного влияния мощных излучений различных частот, распространяющихся в нелинейной среде [368-370]. Одно из проявлений взаимного влияния ЭМ излучений - так называемый эффект взаимного выпрямления ЭМ волн - генерация постоянной составляющей электрического тока при наложении нескольких ЭМ волн, частоты которых относятся как четные числа [323,325,326,359].

Данный эффект представляет интерес для исследователей, изучающих полупроводниковые и графеновые структуры с помощью техники СВЧ [359]. Внимание к этому эффекту обусловлено его непосредственной связью с диагностикой кинетических свойств указанных материалов, детектированием, генерацией и усилением ТГц излучения [363-367,371]. В [152-154,320,329,332,360,361,372] для усиления ТГц излучения предлагалось использование в СР сильного полихроматического поля накачки. Эффект усиления четных гармоник поля накачки сопровождается в этом случае возникновением постоянной составляющей тока. В [373] исследован эффект

оптического выпрямления в п-Ое, помещенном в сильное переменное электрическое поле волновода, в котором помимо основного колебания присутствовала также и вторая гармоника.

Рис. 3.1 - Схема процесса

Возможность выпрямления тока, наведенного синусоидальной ЭМ волной, смешивающейся с ее второй гармоникой в полупроводниковой СР, показана в [325,359,374]. Причем в [325,359] рассмотрена ситуация, когда плоскости поляризации волн совпадали с осью объемной СР. В средах с неаддитивным электронным спектром, таких как графен или ГСР, генерация постоянного тока оказывается возможной и в том случае, если плоскости поляризации волн ортогональны. Суперпозицию переменных полей, осциллирующих с частотами, отличающимися в два раза, будем называть также как в [359] бихроматическим полем.

Рассмотрим ГСР, образованную графеновым листом, расположенным на периодической подложке в плоскости ху (рис. 3.1). Пусть выполнено неравенство: у<< 1, позволяющее воспользоваться приближенным выражением для электронного спектра ГСР (1.74). Вектор скорости электрона в ГСР имеет следующие компоненты:

уМ 8Ш дх и д

V = -—, V =

у

'1 У1 - СОЭ дх

2йл/1+дУу л/1+д21 2 1+д>2 у

(3.1)

где дх = руД!Н, ду = иру/А. Считаем, что вдоль оси ГСР приложено

бихроматическое электрическое поле. Одна компонента бихроматического поля совершает осцилляции в графеновой плоскости поперек оси ГСР с частотой с. Другая компонента такого поля совершает осцилляции вдоль оси ГСР с вдвое большей частотой 2с. Таким образом, векторный потенциал бихроматического поля в плоскости ГСР имеет вид:

Здесь Е01 и Е02 - амплитуды напряженностей переменных полей, ( и (2 -начальные фазы колебаний проекций напряженности электрического поля на оси Ох и Оу соответственно. Переменное электрическое поле, описываемое потенциалом (3.2), можно реализовать, если поместить графеновую плоскость в поле двух синусоидальных ЭМ волн, распространяющихся перпендикулярно плоскости ху и имеющих ортогональные плоскости поляризации.

Исследуем теперь возможность генерации постоянного тока в ГСР под действием указанных полей. Как уже сказано, для объемной СР этот эффект изучен в [325,359], где рассмотрены две синусоидальные ЭМ волны, частоты которых отличались в два раза, а напряженности их электрических полей совершали осцилляции вдоль одного направления - оси СР. В [325,359] возникновение постоянной составляющей плотности тока объяснялось нелинейностью среды. Напряженности электрических полей обеих волн совершали колебания в одном направлении, и их суперпозиция приводила к тому, что максимальные абсолютные значения вектора напряженности результирующего поля оказывались разными для противоположных направлений этого вектора. За счет нелинейности ВАХ СР, проявляющейся в большей степени для больших значений напряженности, отклик на положительный «полупериод» бихроматического поля уменьшался, а отклик

постоянное электрическое поле с напряженностью

и

(3.2)

на отрицательный «полупериод» практически не искажался (или наоборот, в зависимости от начальных фаз накладываемых друг на друга синусоидальных полей).

Как уже сказано выше эффект взаимного выпрямления имеет место в среде, для которой характерна нелинейная ВАХ, в том числе и для ГСР. Однако как показано ниже отличительной особенностью ГСР перед полупроводниковыми СР является возможность данного эффекта и в том случае, когда направления колебаний напряженностей переменных полей ортогональны [207]. В этой ситуации эффект генерации постоянного тока не связан с нелинейностью ВАХ ГСР. Появление постоянной составляющей плотности тока в случае, когда напряженности электрических полей совершают колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, можно объяснить, исходя из свойства неаддитивности электронного спектра данного материала. Это удается сделать, даже если пренебречь нелинейной зависимостью плотности тока от напряженности электрического поля.

Сначала для выявления физической причины появления постоянного тока в ГСР вместо компоненты электрического поля, осциллирующего в поперечном по отношению к оси ГСР направлении и описываемого потенциалом Ау (?), рассмотрим электрическое поле, временная зависимость

напряженности которого имеет вид периодической последовательности

прямоугольников (меандроподобные колебания):

'+ Е02 , - я/ 4 <Ш < я/4 ;

0, я/4 <0 < 3я/4, 5я/4 <0 < 7я/4; (3.3)

- Е02, 3я/ 4 < о < 5я/4 .

Период этих колебаний равен 2я/о, а среднее значение напряженности за период колебаний равно нулю. На рисунке 3.3 показаны временные зависимости напряженностей полей, осциллирующих вдоль осей Ох (рис. 3.2а) и Оу (рис. 3.2б).

Рис. 3.2 - Временная зависимость напряженностей электрических полей, осциллирующих в плоскости ГСР. ( = (р2 = 0. а) Гармонические колебания частоты 2т, создаваемые вдоль оси ГСР; б) меандроподобные колебания (3.3), создаваемые поперек оси ГСР; в) гармонические колебания частоты т, создаваемые поперек оси ГСР

На интервале 0 < т < ж поле с напряженностью Е™ совершает одно полное колебание, а поперечное поле Е™ - половину колебания так, что ЕС = 0 на интервале ж/4 <т < 3ж/4 (область I). На интервалах 0 <М < ж/4 и 3ж/4 <т < ж поперечное поле отлично от нуля и является константой

(область II). Как показано в главе 2 поперечное поле модифицирует продольную ВАХ ГСР, причем с увеличением абсолютного значения напряженности поперечного поля (не зависимо от знака проекции напряженности на ось Оу) абсолютное значение плотности тока убывает

(например, рис. 2.3 или рис. 2.11).

Из рисунков 3.2а и 3.2б видно, что во время отрицательного

полупериода колебаний напряженности продольного поля Е//0 поперечное поле отсутствует. За это время в отрицательном направлении оси Ох протечет заряд численно равный площади Q- фигуры, образованной в

области отрицательных значений функции ]х) (рис. 3.3). Во время

положительного полупериода Е|с ф 0, и, как следствие, отклик на поле Е//0

будет меньше (ветвь II зависимости ]х (Е//), изображенной на рисунке 3.3). За

это время в положительном направлении оси Ох протечет заряд численно равный площади Q1+ + Q2 + фигуры, образованной в области положительных

значений функции ]х (?). Здесь величина Q1+ соответствует первой четверти периода колебаний напряженности Е//0, а Q2+ - последней четверти (рис. 3.3). Из-за того, что линия, изображающая ВАХ ГСР при Е|с ф0 (ветвь II), проходит ниже линии ВАХ, соответствующей случаю Е|с = 0, заряд, протекающий за отрицательный полупериод колебаний напряженности Е//0 в отрицательном направлении оси Ох, оказывается больше заряда, протекающего в обратном направлении: Q- > Q1+ + Q2 +. Таким образом, для рассмотренной ситуации среднее значение электрического тока, создаваемого вдоль оси Ох синусоидальным полем с напряженностью Е//0, будет отрицательным, т.е. отличным от нуля.

Рис. 3.3 - Механизм возникновения постоянной составляющей плотности тока

Сделаем теперь аналитический расчет, позволяющий оценить значение постоянной составляющей плотности тока. Для простоты считаем продольные и поперечные поля слабыми так, что справедливо: jx = J^E™, где Jxx - динамическая проводимость, равная (2.76), а в низкочастотном

пределе - (2.77). Считаем выполненным условие: сот << 1, что не скажется на общности выводов. Таким образом:

jx (t )=( (i - зь2± )e; (t), (3.4)

где bL= еЕ^ит/Д, E//c (t) = E01cos2ct, E|c - напряженность поперечного поля, меняющегося по закону (3.3). Используя (3.3) и (3.4) найдем для отрицательного полупериода:

Q-

и для положительного полупериода:

J// Е01 с

(3.5)

Q1+ + Q2+

(E

// 01

с

(1 - 3Ео22 ) .

(3.6)

Среднее значение плотности тока ]х за период колебаний напряженности Е//0 равно:

£ = о (21+ + Q2 + _ Q-) = _^. (3.7)

я я

Таким образом, анализ ситуации, когда зависимость от времени напряженности поперечного поля представляет собой периодическую последовательность прямоугольников, показал, что в случае (р1 = ф2 = 0 в отрицательном направлении оси Ох течет постоянный электрический ток. В случае слабых полей плотность тока пропорциональная первой степени амплитуды продольного поля и пропорциональна квадрату амплитуды поперечного поля. Отметим, что для объяснения эффекта появления постоянного тока в ГСР при наложении двух электрических полей, осциллирующих во взаимно перпендикулярных направлениях, не обязательно учитывать нелинейность продольной ВАХ ГСР, а достаточно рассмотреть тот участок, где ]х ^ Е//0. Этого оказывается достаточным также для получения количественного результата (3.7). Определяющим здесь является влияние поперечного поля на продольную ВАХ, т.е. зависимость коэффициента пропорциональности между плотностью тока ]х и

напряженностью Е//0 в формуле (3.3) от параметра Ь±.

Эффект будет иметь место, если вместо меандроподобных колебаний в поперечном направлении рассматривать гармонические колебания, происходящие с частотой о, в два раза меньшей частоты гармонических колебаний продольного поля (рис. 3.2в). Как и в случае меандроподобных колебаний во время отрицательного полупериода колебаний Е//0 напряженность поперечного поля Е|е имеет меньшие абсолютные значения (область I рисунка 3.2в) по сравнению с напряженностями Е|е, приходящимися на положительный полупериод Е//0 (область II рисунка 3.2в). Это приведет к тому, что линии продольных ВАХ ГСР, соответствующих

отрицательным полупериодам Е//0, будут иметь больший угол наклона по сравнению с линиями ВАХ ГСР, соответствующих положительным полупериодам Е//0. Как следствие перенос заряда полем Е//0 в отрицательном направлении оси Ох будет происходить интенсивнее его переноса в положительном направлении, что вызовет появление постоянного тока, текущего против оси Ох .

Пользуясь аналогичными рассуждениями можно показать, что в случае (р1 = ф2 = я/ 2 постоянный ток будет отсутствовать.

Сделаем теперь количественный расчет постоянной составляющей плотности тока, учитывающий также нелинейность продольной ВАХ ГСР. Будем также считать, что кроме переменных полей, описываемых векторным потенциалом (3.2), имеется еще и постоянное поле с напряженностью Ейе = (Е/(к,0). Вычисления произведем на основе кинетического уравнения Больцмана, записанного в приближении постоянного времени релаксации т. Согласно (2.8) плотность электрического тока, возникающего вдоль оси Ох под действием указанных выше полей, равна:

Л() = —тг- I /0(Р)—/ / /\2 , (3.8)

2Н 0 р л/1 + 4 +Ь-Ь)2

где а) = edAx^)/сН, р(г) = еи¥Лу(г)/сД, Ы = а($-т£), Ь = р($-Х). Введем также следующие обозначения: а = edE01/2йw, Ь = еи¥ Е02/ соД. Далее считаем поперечное поле слабым так, что выполняется: Ь << 1. С точностью до слагаемых, содержащих вторую степень параметра Ь выражение (3.8) имеет вид:

ЛЬ) = ^яп(ДвХ + а - /0 (р-

2Н 0 р л/1 + 42

о)2 (о е , , )(1 -2д2у)еовд

4Н

I- Ь)2 вт(^вТХ + а - /0(р) / Г х . (3 9)

0 р (1 + ду)

При получении формулы (3.9) учтена также четность равновесной функции распределения /0 (р). Считаем, что выполнено условие (2.11), позволяющее считать электронный газ в ГСР неврожденным. В связи с этим функция распределения /0 (р), входящая в формулу (3.9), имеет вид (2.12). С учетом этого перепишем (3.9):

Л (Г ) = ,0 *УА/ Т) Ь*--

(у, а т)

|е * Бт(0.в£т + а - а)&£-

7 * (у, А/ Т) 2 (у, А/Т)

| е~* (Ь - Ь)2 бЬ(Пв* + а - а)ё*, (3.10)

где обозначено:

(у,в) = ] 10

0Л1 + Я

ув

2Л 1 + д

2

ехр(- в 1 + я2

(3.11)

V V у а

I

ув

V У1 + Я2 у

ехр(- , (3.12)

¥

(У, в) = |

1 - 2д2

(1+д2У)

52

11

ув

2ЛА+д

ехр

(-вА^ К

(3.13)

у у

1п(*) - модифицированная функция Бесселя [268]. Перепишем формулу (3.10) для низких температур (Т << А):

Ь

2

Ф. - у Ф2

Л () = 70 где введены обозначения:

¥

Ф1 = | е~* в* + а- а)с*.

0

(3.14)

Ф 2 = 4|<

Ь2

-8ш(Ов* + а - а)с*.

(3.15)

(3.16)

Подставим в (3.15) и (3.16) потенциалы переменных электрических полей, выраженные в безразмерных единицах: а) = -а и

0

0

0

2

0

0