Определение коэффициентов потемнения диска к краю у звёзд, затмеваемых экзопланетами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.02, кандидат физико-математических наук Гостев, Николай Юрьевич

• Гостев, Николай Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гостев, Николай Юрьевич

Содержание

Введение

1 Модель классической двойной системы и двойной системы с экзопланетой

1.1 Описание модели

1.2 Расчёт кривой блеска

2 Оценка ошибок

2.1 Линейная модель и метод наименьших квадратов

2.2 Нелинейная модель и метод дифференциальных поправок

2.3 Метод Монте-Карло

2.4 Метод доверительных областей

2.5 Применение методов нахождения ошибок к кривой блеска на примере двойной звёздной системы YZCas

2.6 Соотношение между интервалами ошибок,

полученными разными методами

3 Многоцветные кривые затмения системы HD209458

3.1 Система HD209458

3.2 Интерпретация затменной системы звезды и экзопланеты

3.3 Наблюдательный материал

3.4 Интерпретация кривых блеска HD209458 в рамках линейного закона потемнения

3.5 Интерпретация кривых блеска HD209458 в рамках квадратичного закона потемнения

3.6 Применение приближенного метода оценки "внешних" ошибок параметров

3.7 Выводы относительно системы HD209458

4 Анализ кривых блеска систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b

4.1 Используемая модель

4 2 Наблюдательный материал

4.3 Интерпретация кривых блеска Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b в рамках

квадратичного закона потемнения

5 Интерпретация кривых блеска HD189733 в рамках линейного и

квадратичного закона потемнения

5.1 Наблюдательный материал

5.2 Метод интерпретации

5.3 Зависимость от длины волны радиуса планеты и коэффициента потемнения к краю звезды в линейном законе

5.4 Зависимость от длины волны коэффициентов х\ и у\ в квадратичном законе потемнения

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение коэффициентов потемнения диска к краю у звёзд, затмеваемых экзопланетами»

Введение

В последние годы, благодаря космическим миссиям (HST, CoRoT, Kepler) получены уникальные по точности кривые блеска затмения звезд экзопланетами (см. например [1]-[4]). В связи с запуском в марте 2009 года космического телескопа Kepler высокоточные наблюдательные данные покрытий звезд экзопланетами приобретают массовый характер [5]. Предполагаемый список объектов Kepler Input Catalog (KIC) составляет 50000 объектов [5]. Точность фотометрических данных достигает 10~4 — Ю-5 относительной интенсивности. Столь огромный массив высокоточных данных позволяет ставить новые задачи, а прежние решать на качественно ином уровне.

Фотометрический материал полученный обсерваториями Kepler, Corot, HST, а именно транзитные кривые блеска уже позволили определить радиусы звезд и экзопланет более чем в ста пятидесяти двойных систем (см. например каталог Interactive Extra-solar Planets Catalog [6]). Анализ кривой блеска HD 209458, полученной на HST в 2000 году, выполнен в работе Брауна и др. [1]. Анализ многоцветных кривых блеска HD 209458, полученных на HST в 2003 году выполнен в работе Кнутсона и др. [2]. В обеих работах были получены радиусы экзопланеты и звезды, наклонение орбиты и коэффициенты потемнения к краю для звезды. Наиболее детальное исследование данных рядов наблюдений с HST выполнил Соузворз [7]. Автор [7] получил значения радиусов экзопланеты и звезды, наклонение орбиты, а также значения коэффициентов потемнения к краю для звезды в различных законах потемнения.

Однако, в ряде случаев упускается из виду, что анализ транзитной кривой блеска позволяет получить не только геометрические параметры системы (радиусы звезды и экзопланеты, наклонение орбиты), но и получить информацию о потемнении звездного диска к краю. Двойная система с экзопланетой в этом отношении является идеальным лабораторным стендом позволяющим детально исследовать поверхностную структуру звезды. Вплоть до того, что можно восстановить распределение пятен на поверхности звезды [8]. Кроме того, часто оказывается, что результаты, полученные из анализа кривых блеска для различных эпох наблюдений, а также значения геометрических параметров для разных длин волн не вполне согласуются между собой в пределах своих ошибок.

В данной работе проводится статистический анализ транзитных кривых блеска двойных звездных систем с целью получения коэффициентов потемнения диска звезды к краю. В работах [9, 10, 11] проведен анализ наблюдательных данных указанных двойных систем, однако авторы выполнили интерпретацию кривых блеска при фиксированных коэффициентах потемнения к краю. В данной работе помимо определения геометрических параметров двойной системы исследован вопрос

потемнения диска звезды к краю в предположении линейного и квадратичного закона потемнения.

При этом анализ наблюдательных данных проведен на основе метода доверительных областей, который позволяет проверить адекватность модели и указать на основе конкретной реализации наблюдательных данных консервативные (внешние) ошибки искомых параметров, а также позволяет судить о надежности интерпретации наблюдательных данных в рамках используемой модели [12].

Цель диссертации.

В работе преследовались цели:

1. Построить максимально простой и эффективный алгоритм вычисления кривой блеска в модели классической двойной системы.

2. Проверить возможность использования различных методов оценки ошибок параметров при интерпретации кривой блеска в модели классической двойной системы.

3. Исследовать на качественном и количественном уровне соотношение между интервалами ошибок, получающихся различными методами.

4. Интерпретировать кривые блеска систем с экзопланетами HD 209458, Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b, HD 189733 различными методами в линейном и квадратичном законе потемнения к краю.

5. Сравнить полученные значения параметров со значениями, полученными другими авторами. Исследовать зависимость полученных значений коэффициентов потемнения к краю от длины волны и сравнить со значениями, полученными из теории тонких атмосфер. Для системы HD 189733 исследовать зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе описывается модель классической двойной системы и излагается эффективный алгоритм вычисления модельной кривой блеска, путём универсального для всех значений параметров выражения через эллиптические интегралы и кусочно заданные функции одной переменной. Рассматриваются линейный и квадратичный законы потемнения к краю.

Во второй главе излагаются применяемые в работе методы оценки ошибок, такие как метод дифференциальных поправок, метод доверительных областей, основанный на использовании статистик с законами распределения х2 и Фишера, метод Монте-Карло. Данные методы апробируются на примере кривой блеска YZ Cas и близких к ней модельных систем. Также исследуется количественное и качественное различие между различными методами оценки ошибок, в том числе между методами, в которых адекватность модели наблюдательным данным предполагается априори и теми, в которых адекватность модели наблюдательным данным проверяется одновременно с получением интервалов ошибок.

В третьей главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 209458. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных

методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется надёжность модели в линейном и в квадратичном законе потемнения к краю. Проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое увеличивается с ростом длины волны. Новым результатом является вывод о том, что это расхождение сохраняется даже при использовании наиболее консервативных методов оценок ошибок параметров модели, в рамках статистики с законом распределения Хм, гДе М - число точек наблюдения.

В четвертой главе описана интерпретация кривых блеска систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b различными методами для линейного и квадратичного законов потемнения к краю. Анализируется надёжность модели. Полученные значения коэффициентов потемнения к краю сравниваются с теоретически предсказанными значениями. Для звёзд в системах Kepler-5b, Kepler-7b эмпирическое значение линейного коэффициента потемнения диска звезды к краю х получается меньше теоретического значения х из таблиц коэффициентов в работе Кларе [13]. Для звезды системы Kepler-6b эмпирический коэффициент потемнения к краю х весьма близок к теоретическому значению из таблиц Кларе [13]. В случае предположения квадратичного закона потемнения к краю, значения коэффициентов потемнения звездного диска к краю в нелинейном законе, полученные при интерпретации наблюдаемых кривых блеска как методом дифференциальных поправок, так и методом доверительных областей с использованием статистики с законом распределения Хр> гДе Р ~ число искомых параметров, а в случае звезды Kepler-5b также и с использованием статистики, распределенной по закону Хм, на выбранном уровне доверия 7 = 0.95 в пределах интервала ошибок согласуются с теоретическими значениями из таблиц Кларе [13].

В пятой главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 189733. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны. Отмечено увеличение радиуса планеты с уменьшением длины волны, которое может объясняться релееевским рассеянием света и свидетельствовать о наличии у планеты атмосферы. Также проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом в линейном законе потемнения к краю обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое, в отличие от случая с системой HD 209458, уменьшается с ростом длины волны. В квадратичном законе потемнения к краю удаётся согласовать теоретические и найденные значения коэффициентов потемнения на уровне доверия 7 = 0.95.

Научная новизна. В работе впервые:

1. Построено аналитическое выражение кривой блеска через эллиптические интегралы и простейшие кусочно-заданные функции одной переменной, являющееся универсальным для всех рассматриваемых значений параметров.

2. Рассмотрено количественное и качественное соотношение между ошибками параметров, полученными разными методами.

3. Интерпретация кривых блеска проводится одновременно разными методами, что позволяет делать выводы о надёжности полученных результатов.

4. Показано значимое расхождение между теоретической и наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю в системах HD 209458 и HD 189733.

Практическая и научная ценность. Прежде всего представляет интерес комплексный подход к оценке ошибок параметров двойных звёздных систем путём интерпретации кривой блеска различными методами. Такой подход даёт возможность не только получить значения ошибок параметров, но и оценить адекватность модели наблюдательным данным, а также даёт возможность объяснить имеющие место расхождения между результатами, полученными для различных эпох наблюдений и между значениями геометрических параметров системы, полученными для различных длин волн.

Также предоставляет интерес полностью аналитический подход к расчёту кривой блеска, заданной с помощью универсального выражения через функции, для которых есть эффективные методы вычисления. Такой подход значительно облегчает практическую реализацию алгоритма вычисления кривой блеска и позволяет сделать работу этого алгоритма максимально быстрой. Полностью аналитический метод расчёта теоретической кривой блеска особенно важен при вычислении значений кривых затмения экзопланетами, поскольку в данном случае радиус затмеваемой планеты весьма мал, <0.1 радиуса звезды. Значительный интерес представляют значения эмпирических коэффициентов потемнения к краю для пяти звёзд, восстановленные из анализа кривых блеска при затмении звезды экзопланетой. Представляет также интерес выявленное наличие атмосферы у экзопланеты по зависимости радиуса экзопланеты от длины волны.

Апробация результатов. Результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:

Всероссийская астрономическая конференция (ВАК-2010) "От эпохи Галилея до наших дней"(Казань, CAO РАН 2010);

Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2010"(Москва, МГУ 2010);

Международная астрофизическая конференция "Новейшие методы исследования космических объектов"(Казань, КГУ 2010);

VII Конференция молодых учёных " Фундаментальные и прикладные космические исследования11 (Москва, ИКИ РАН 2010);

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011"(Москва, МГУ 2011);

VIII Конференция молодых учёных "Фундаментальные и прикладные космические исследования"

(Москва, ИКИ РАН, 2011);

Third IAU Symposium on searching for life signatures (Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2011) Institute of Applied Astronomy RAS.

Всероссийская конференция Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра (Москва, ИКИ РАН, 2011)

На Семинаре отдела звездной астрофизики (Москва, ГАИШ 2011);

На защиту выносятся:

1. Эффективный алгоритм расчёта кривой блеска классической двойной звёздной системы в модели с линейным и квадратичным законом потемнения к краю. Получено аналитическое выражение для падения блеска классической двойной звёздной системы при затмении, универсальное для всех значений искомых параметров.

2. Исследование соотношения между интервалами ошибок, полученными разными методами. В приближении линейной модели получено аналитическое выражение для функции плотности распределения интервалов ошибок, полученных в рамках статистики, распределённой по закону xïti где M - число точек наблюдений.

3. Результаты интерпретации классической затменной двойной звёздной системы YZ Cas. Получены надёжные значения радиусов звёзд, наклонения орбиты, и коэффициентов потемнения к краю.

4. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звёздной системы с экзопланетой HD209458. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (табл. 5.17, рис. 3.6). Показано, что имеется значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Новым результатом является то, что значимое расхождение между теорией и наблюдениями остаётся даже при использовании метода доверительных областей, когда получаются наиболее консервативные оценки ошибок параметров модели.

5. Результаты интерпретации транзитных кривых блеска двойных звёздных систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b (см. табл. 5.17). Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты и

значения коэффициентов потемнения к краю в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю.

6. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звёздной системы с экзопланетой НБ189733. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (рис. 5.4). Обнаружено значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Подтверждено увеличение наблюдаемого значения радиуса экзопланеты с уменьшением длины волны, что возможно свидетельствует о наличии атмосферы у экзопланеты, рассеивающей свет по релеевскому закону (рис. 5.3).

Заключение диссертации по теме «Астрофизика, радиоастрономия», Гостев, Николай Юрьевич

3.7 Выводы относительно системы НХ)209458

В работе определены параметры системы НБ209458 из анализа высокоточных спутниковых кривых блеска при затмении звезды экзопланетой. Определены радиусы экзопланеты и звезды, наклонение орбиты, а также значения линейных и нелинейных коэффициентов потемнения к краю звезды. При этом выполнен всесторонний анализ ошибок найденных параметров, рассмотрены как "внутренние", так и "внешние" ошибки параметров, которые получаются в 2 - 4 раза больше "внутренних". С учетом "внешних" ошибок, нам удалось согласовать значения геометрических параметров, соответствующих наблюдениям, полученным в разных

Заключение

Окончательно подводя итоги скажем, что в диссертации представлен статистический подход к интерпретации кривых блеска двойных звездных систем с экзопланетами. Интерпретация выполнялась в рамках линейного и квадратичного законов потемнения к краю. Отметим ещё раз наиболее важные с физической точки зрения результаты. Так, на рис. 3.6 и 5.4 представлены зависимости коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном законе потемнения для систем HD 209458 и HD 189733 соответственно. Видно, что расхождение между наблюдаемыми значениями коэффициента потемнения к краю и полученными из теории тонких атмосфер значительно. Для обоих систем наблюдаемые значения коэффициента потемнения к краю систематически меньше теоретических. При этом в случае с системой HD 209458 расхождение наблюдаемых и теоретических значений коэффициента потемнения к краю возрастает с ростом длины волны, в то время как в случае системы HD 189733 это расхождение максимально для наименьших длин волн. В случае квадратичного закона потемнения к краю данное расхождение уменьшается.

В таблице 5.17 приведены теоретические и наблюдаемые коэффициенты потемнения к краю для видимого диапазона длин волн, полученные в линейном и квадратичном законе для всех пяти рассмотренных в диссертационном исследовании систем. В последнем столбце приведены центральные длины волн, соответствующие наблюдаемым кривым блеска. Следует отметить, что большинство из приведённых линейных коэффициентов потемнения к краю меньше соответствующих теоретических коэффициентов. Это различие сохраняется при переходе от линейного к квадратичному закону потемнения диска звезды к краю. Объяснение указанного различия представляет собой отдельную физическую задачу.

Важным результатом является подтверждение уменьшения радиуса экзопланеты с увеличением длины волны (см. рис 5.3). Данная зависимость свидетельствует о релеевском рассеянии излучения звезды в атмосфере экзопланеты.

Результатом работы являются:

1. Развит эффективный, полностью аналитический алгоритм расчёта кривой блеска классической двойной звёздной системы, в том числе, и для затмения звезды экзопланетой.

2. Получено качественное и количественное соотношение между интервалами ошибок, найденных в рамках различных методов.

3. Даны надёжные оценки коэффициентов потемнения к краю и геометрических параметров систем HD 209458, Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b, HD 189733.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гостев, Николай Юрьевич, 2011 год

Литература

[1] Т. М. Brown, D. Charbonneau, R.L. Gilliland et al, Astrophys.J. 552, 699 (2001).

[2] H. A. Knutson, D. Charbonneau, R. W. Noyes, Т. M. Brown, R. L. Gilliland, Astrophys.J. 655, 564 (2007).

[3] I.A.G. Shellen, E.J.W. de Mooij, S.Albrecht, Nature. 459, 543 (2009)

[4] Eds. C. Bertout, T. Forveille, N.Langer, S.Shore, Astron & Astrophys 506, 1 (2009).

[5] D.G. Koch, et al., Astrophys.J. 713, L79 (2010).

[6] Interactive Extra-solar Planets Catalog, http://exoplanet.eu/catalog.php

[7] J. Southworth, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 386, 1644 (2008).

[8] F. Pont, R.L. Gilliland, C. Moutou, Astron & Astrophys 476, 1347 (2007).

[9] D.G. Koch, W.J. Borucki, J.F.Rowe et al., Astrophys.J. 713, 131 (2010).

[10] E.W. Dunham, W.J. Borucki, D.G. Koch et al, Astrophys.J. 713, L136 (2010).

[11] D.W. Latham, W.J. Borucki, D.G. Koch et al., Astrophys.J. 713, L140 (2010).

[12] Черепащук A.M., Астрон. журн. 70, 1157. (1993)

[13] A. Claret, Astron & Astrophys 428, 1001 (2004).

[14] Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. // Некорректные задачи астрофизики, М., Наука, 1985.

[15] Wyse А.В. // Licks Obs. Bull. 1939 V.19, Р.17.

[16] B.C. Carlson // arXiv: math.CA/9409227 vl

[17] Щиголев Б.М. // Математическая обработка наблюдений (М.: Физматгиз) 1962.

[18] Уилкс С. // Математическая статистика. (М.: Наука) 1967.

[19] Kron G.E. // Astrophys.J. 1942 Y.96 Р.173.

[20] Гончарский А.В., Романов С.Ю., Черепащук A.M., 1991, Конечнопараметрические обратные задачи астрофизики, М., МГУ.

[21] Kitamura M. // 1964 Adv. Astr. Ар. V.3. P.27.

[22] Budding E. // 1973 Ap. Spase. Sci. V.22. P.87.

[23] Kurutac V. // 1978 Ap. Spase. Sci. V.57. P.71.

[24] Mezzetti M., Predolin F., Giuricin G., Mardirossian F. 1980 Astron. Astrophys. Suppl. Ser. V.42. P. 15.

[25] Shulberg A.M., Murnikova V.P. // 1974 Variables Stars, V.19. P.421.

[26] Demircan 0. // 1978 Ap. Spase. Sci. V.56. P.389.

[27] Черепагцук A.M., Гончарский А.В., Ягола А.Г. // Астрон. журн. 1967 Т.44. С.1239.

[28] Lacy С.Н. // 1981 Astrophys.J. V.251. Р.591.

[29] A. Gimenez, Astron & Astrophys 450, 1231 (2006).

[30] D.M. Popper, P.B. Etzel, Astron.J. 86, 102 (1981).

[31] J. Southworth, P.F.L. Maxted, B.Smalley, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 351, 1277 (2004).

[32] D.M. Popper, Astron.J. 89, 132 (1984).

[33] A. Burrows, I. Hubeny, J. Budai, W.B. Hubbard, Astrophys.J. 661, 502 (2007).

[34] D. Charbonneau, T.M. Brown, D.W. Latham, M. Mayor, Astrophys.J. 529, L45 (2000).

[35] D. Naef, M. Mayor, J.L. Beurit et al., Astron & Astrophys 414, 351 (2004).

[36] A.B. Тутуков, Астрон. журн. 69, 1275 (1992).

[37] A.B. Тутуков, Астрон. журн. 72, 400 (1995).

[38] Eggleton P.P., Astrophys.J. 268, 368 (1983).

[39] F. Pont, H. Knutson, R. L. Gilliland et al., Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 385, 109 (2008).

[40] F. Bouchy, S. Udry, M. Mayor et al., Astron & Astrophys 444, 15 (2005).

[41] И. Кудзей, Астрон. Цирукляр N 1363 (1985).

[42] S. Kasuya, M.Honda, R. Mishima, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 411, 1863 (2011).

[43] A. Claret, Astron & Astrophys 335, 647 (1998).

[44] A. Claret, Astron & Astrophys 363, 1081 (2000).