Определение динамических характеристик упругих конструкций методами теории интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Ананьев, Александр Иванович

• Ананьев, Александр Иванович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ананьев, Александр Иванович

ВВЕДЕНИЕ

ШВА I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

§1.1. Классическая теория Фредгольма.

§ 1.2. Интегральное уравнение собственных изгибных и крутильных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами

§ 1.3. Решение систем интегральных уравнений на основе теории Фредгольма.

§ 1.4. Функции Грина в задачах колебаний упругих систем и методы их определения

§ 1.5. Обзор работ по расчету колебаний на основе теории интегральных уравнений.

§ 1.6. Постановка задач исследования

ШВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ

ЗНАЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§2.1. Вывод детерминантных формул для коэффициентов

Фредгольма с помощью дельта-функции Дирака

§2.2. Получение рекуррентных формул для коэффициентов Фредгольма применительно к расчету высших тонов собственных колебаний упругих систем с сосредоточенной массой и их модификация.

§2.3. Распространение рекуррентных формул

§ 2.2 для расчета собственных значений на случай произвольного числа сосредоточенных масс.

§ 2.4. Модификация рекуррентных формул с учетом симметризации ядер интегрального уравнения

§ 2.5. Разработка рекуррентных формул для решения систем интегральных уравнений

§ 2.6. Вариант решения задач на собственные значения, основанный на сочетании метода Фредгольма и метода Гильберта-Шмидта

§ 2.7. Расчетный алгоритм для решения задач о собственных колебаниях упругих механических систем, основанный на методе рядов Фредгольма и численном интегрировании.

§ 2.8. Матрицы функций Грина упругих балок при численной реализации квадратур в методе интегральных уравнений

ГЛАВА. 3. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ с С ОБОСНОВАНИЕМ ИНЖЕНЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ТЕОРИИ

РЯДОВ ФРЩГШЬМА.

§ 3.1. Сходимость приближений к собственным значениям в методе рядов Фредгольма

§ 3.2. Сравнительный анализ применения различных рекуррентных формул для определения коэффициентов Фредгольма

§ 3.3. О совпадении результатов решений, даваемых методами интегральных и дифференциальных уравнений

§ 3.4. Свойство корней характеристического уравнения

§ 3.5. О необходимости симметризации ядер при решении задачи о собственных крутильных колебаниях пустотелых конусов.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 4.1. Расчет собственных частот изгибных колебаний консольно заделанных балок переменного сечения

§ 4.2. Расчет высших тонов собственных крутильных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами

§ 4.3. Минимизация веса пилона (усеченного конуса) при заданной частоте крутильных колебаний.

§4.4. Расчет методом интегральных уравнений собственных частот системы "крыло-упруго прикрепленный двигатель" с учетом упругости заделки крыла в фюзеляж III 4.4.1. Функция Грина дал балки с одним свободным концом и другим концом упруго заделанным относительно поперечных и угловых перемещений

4.4.2. Функция Грина на кручение стержня с одним свободным концом и другим концом упруго заделанным относительно крутильных перемещений

4.4.3. Уравнения колебаний прямого крыла с упруго закрепленным двигателем. ИЗ

4.4.4. Вывод приближенных уравнений частот с помощью рядов Фредгольма.

4.4.5. Пример расчета

§4.5. Расчет собственных частот совместных колебаний вертолетных лопастей

4.5.1. Дифференциальные уравнения колебаний лопасти.

4.5.2. Граничные условия задачи о колебаниях лопасти. а) случай консольно заделанной лопасти, имеющей упругую заделку на кручение б) случай шарнирно закрепленной лопасти, имеющей жесткую заделку относительно кручения.

4.5.3. Расчет консольно заделанной лопасти

4.5.4. Расчет шарнирно закрепленной лопасти

4.5.5. Пример расчета

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение динамических характеристик упругих конструкций методами теории интегральных уравнений»

На современном этапе тенденция к увеличению мощности и скоростей машин при одновременном снижении веса конструкций обуславливает большую актуальность проблемы колебаний механических систем и повышает роль их динамического расчета. Динамический расчет конструкций довольно сложен и трудоемок, требуется изучение протекающих колебательных процессов и совершенствование методов исследования динамики.

С точки зрения, учитывающей специфику инженерной постановки задач колебательного происхождения, недостатки разных методов теории колебаний, потребность для широкого применения в методах, позволяющих значительно уменьшить трудоемкость и повысить точность вычислений, наиболее рациональным является внедрение в практику расчетов, основанных на использовании теории интегральных уравнений. Методы теории интегральных уравнений имеют более широкую область применения и многие другие достоинства по сравнению с методами теории дифференциальных уравнений, что позволяет рекомендовать их широкое внедрение в практику расчетов, связанных с иследованиен динамики конструкций. Среди достоинств аппарата интегральных уравнений общность и высокая универсальность, однообразность подхода к различным задачам, четкость физической интерпретации и возможность характеризовать изучаемое явление в целом, простота и надежность операций интегрирования при численном их осуществлении по сравнению с операциями дифференцирования и другие. Метод интегральных уравнений Фредгольма (или метод рядов Фредгольма) как один из методов решения линейных интегральных уравнений 2-го рода является особенно важным и перспективным (сходимость при любых значениях характеристического параметра в отличие, например, от метода последовательных приближений, отсутствие необходимости предварительного определения собственных форм колебаний при определении частот, пригодность для симметричных и несимметричных ядер интегральных уравнений).

Можно указать такие направления исследования и применения метода интегральных уравнений Фредгольма.

1. Для приложений большое значение имеет разработка универсальных методов расчета конструкций с нерегулярными характеристиками, дискретно-континуальными параметрами. Интегральные методы, основанные на решении нагруженных уравнений Фредгольма, представляют универсальное средство исследования систем с дискретно-континуальными параметрами. Однако эти методы пока мало используются на практике и имеется необходимость доведения теории интегральных уравнений до инженерных расчетов.

2. Развитие техники сопровождается потребностью к расширению класса рассматриваемых нагрузок. Сейчас значительно воз-расла актуальность изучения динамических нагрузок, требуются более сложные и тонкие методы исследования новых явлений. Сошлемся, например, на неконсервативные задачи механики, которые содержат рассмотрение неконсервативных сил и представляют математически несамосопряженные задачи, отвечающие, вообще говоря, случаю несимметричных ядер интегральных уравнений. Метод Фредгольма не использует свойство симметричности ядра, поэтому его можно считать средством решения неконсервативных задач механики. Теория несамосопряженных операторов, как отмечает в известной монографии по неконсерватившш задачам В. В.Болотин, не обладает достаточно эффективными методами фактического построения решений, поэтому исследование метода интегральных уравнений в плане несамосопряженных задач актуально.

3. Большие мощности и высокие обороты современных реактивных двигателей с особой остротой ставят задачу обеспечения динамической прочности системы двигатель-самолет и обеспечения виброустойчивой работы аппаратуры. Известно, что вдали от резонанса в силу больших мощностей современных двигателей, высоких оборотов компрессора и турбины возникают колебания хотя и небольших амплитуд, но приводящие к рекламациям. Эти микровибрации приносят большие неприятности, происходят о высокими частотами, поэтому нужно исследовать высшие тона колебаний. Метод Фредгольма, обладающий хорошей сходимостью, позволяет разработать инженерный способ расчета высших тонов колебаний двигателя и смонтированных на нем агрегатов.

4. Благоприятные возможности для применений метода интегральных уравнений Фредгольма связаны с особенностью структуры и связи функций Грина системы и составляющих ее элементов. Известно, что анализ собственных колебаний сводится с помощью функций Грина к определению собственных значений и функций интегральных уравнений; функции Грина, позволяющие наиболее экономно описывать сложные системы, формируют ядра этих уравнений. Имеется возможность поэтапно усложнять рассматриваемые конструкции, накапливая "библиотеку" функций Грина систем и трактуя эти системы как подсистемы более сложных систем. Такой подход отвечает усложнению машин, позволяя расширять область решаемых задач при небольших изменениях разработанной методики.

Рассмотрение доказало, что несмотря на наличие общей математической теории решения линейных интегральных уравнений, число работ по применению рядов Фредгольма на практике невелико и не отработана инженерная реализация метода Фредгольма. Существует необходимость доведения общей теории интегральных уравнений до инженерных расчетов. В этом плане желательны формулы по существу простые, алгебраические, но обладающие высокой точностью, малой трудоемкостью и исключающие возможность ошибок в процессе проведения расчетов ввиду отсутствия сложных выкладок. Поэтому была предпринята разработка методики решения задач на собственные значения с помощью метода Фредгольма. Предметом исследования являлось решение задач на собственные значения колебательного происхождения для линейных интегральных уравнений Фредгольма 2 рода (и их систем), особенностью которых является наличие внеинтегральных сумм, где фигурируют скачки неизвестных функций (упругие системы с непрерывно-распределенными и сосредоточенными массами). Требовалось получить удобные расчетные формулы для коэффициентов ряда Фредгольма, что позволяло бы решать различные прикладные задачи (определение собственных частот и форм колебаний) с требуемой точностью и способствовало бы дальнейшему внедрению интегрального подхода в практику инженерных расчетов. Причем при разработке этих формул следовало стремиться к явному включению в их структуру функций Грина и производных от них итерированных ядер для возможности построения эффективных решений.

Работа содержит введение, 4 главы, выводы и список литературы.

В первой главе проводится обзор и анализируются работы до решению задач колебаний на основе теории интегральных уравнений, рассматриваются формулы, разработанные для решения инженерных задач, и определяются задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке методики решения задач на собственные значения с помощью рядов Фредгольма. Получаются различные формулы и строятся расчетные алгоритмы для нахождения коэффициентов ряда Фредгольма упругих систем с распределенными и сосредоточенными массами.

В третьей главе рассматриваются некоторые математические вопросы и особенности применения метода интегральных уравнений - изучаются вопросы точности и сходимости, проводится апробация методики на примерах, выполняется сравнение расчетных формул.

В четвертой главе методом интегральных уравнений решаются некоторые задачи на колебаний упругих конструкций. Получаются непосредственные расчетные формулы для определения частот собственных раздельных и совместных колебаний.

В выводах излагаются основные результаты исследования.

Основные положения, которые выносятся на защиту, сформулированы следующим образом.

1. Разработан приближенный алгоритм для решения задач на собственные значения с помощью метода рядов Фредгольма (инженерная реализация теории Фредгольма).

2. Выполнено обоснование и апробация предлагаемой инженерной реализации метода интегральных уравнений. Доказана сходимость определяемых при обрывании ряда Фредгольма дриближений к собственным значениям краевой задачи, описываемой линейным интегральным уравнением 2 рода. Показано удобство входящих в алгоритм расчетных формул дня коэффициентов ряда.

3. Алгоритм применен к решению инженерных задач колебаний, что позволило разработать методики расчетного характера на определенном уровне постановки задач.

4. Выяснены возможности метода рядов Фредгольма и его предложения для широкого использования в современных задачах проектирования и расчета конструкционных систем и элементов, тем самым внесена ясность в вопросе практической полезности рядов Фредгольма.

5. Выяснен ряд моментов в теоретическом плане. Обращено внимание на особую роль итерированных ядер и их следов в аппарате интегральных уравнений, введенных формально, и необходимость их всесторонней оценки, в частности, исследования их возможного физического смысла. Обнаружено глубокое свойство корней характеристического уравнения в методе Фредгольма, заключающееся в появлении комплексных значений при обрывании ряда. Эти значения, являющиеся характеристиками итерированных ядер, подлежат учету как несущие важную информацию о колебаниях.

ШАБА I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИССВДОВАНШ

§ I.I. Классическая теория Фредгольма

Одним из наиболее важных классов линейных интегральных уравнений является класс уравнений Фредгольма. По терминологии Гильберта различают интегральные уравнения Фредгольма I и 2 рода, причем последние более интересны и важны дою приложений [27]. Уравнение Фредгольма 2 рода с параметром X имеет вид в

U(x)=x\K(xi)u(t)cti +- frocj),

Ol где неизвестная функция U(x:) зависит от действительной переменной ,а ядро уравнения и свободный член j(x) - либо непрерывны, либо удовлетворяют условиям

6£ 2 f I2

K(xfi\cUcLt<^ 7 \ |#х)| dx <+- оо aa а

Как известно, если при Л =ЛЛ существует тождественно не равное нулю решение интегрального уравнения

-/

U fx) = H(xtt)U(i)cl± (I.I) о значение \ называется собственным значением ядра интегрального уравнения.

В теории линейного интегрального уравнения (I.I), развитой Фредгольмом, предполагалось: ядро H(xi) вещественно, непрерывно и ^ О в области , O^t^/ .После перехода к пределу в определителе из коэффициентов при неизвестных функциях аппроксимирующей системы линейных алгебраических уравнений [40| , получается целая трансцендентная функция параметра 1 со п=1

1.2) где

4 1 dA \ J.J

О о

Hfa**) d^A.J^ (1.3)

Степенной ряд (1.2) абсолютно сходится при всех значениях . Собственные значения определяют как корни уравнения Приравнивая нулю сумму и членов ряда, получают приближенное уравнение п -го порядка для определения X .

Отметим, что коэффициенты d^ можно найти также при помощи рекуррентных формул ч

1.4а) при dol*,*) - И(ъ/z) . Предварительно ищется вспомогательная величина dn(if$) по формуле

-I dn{2s)(1.46) при

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Ананьев, Александр Иванович

- 145 -ВЫВОДЫ

1. Выполнено исследование и усовершенствование метода интегральных уравнений Фредгольма и на его основе решены некоторые задачи на колебания, как служащие для отработки и практического проведения метода, так и имеющие самостоятельный интерес. Развитая методика и полученные результаты позволяют решать различные сложные задачи на колебания и могут быть использованы непосредственно или с небольшой модификацией при проектировании и оценках в разных отраслях техники.

2. На основе теории интеграла Стильтьеса и метода интегральных уравнений получены удобные расчетные формулы для произвольных коэффициентов ряда Фредгольма, что позволяет вычислять старшие тона собственных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами с требуемой точностью и способствует дальнейшему внедрению интегрального подхода в практику инженерных расчетов. При разработке этих формул в их структуру явно включены функции Грина и производные от них итерированные ядра для возможности построения эффективных решений.

3. На конкретных примерах, взятых с целью апробации решения, показано применение выведенных формул для определения частот. Выведены простые, но точные алгебраические формулы для расчета коэффициентов Фредгольма и проведено доказательство их справедливости для произвольного номера коэффициента. Показано совпадение решений, даваемых методом интегральных уравнений при бесконечном числе коэффициентов и методом дифференциальных уравнений, а также проанализировано влияние числа членов ряда на точность при отыскании частот собственных колебаний. Анализ показал, что небольшое число приближений дает достаточную точность. Точность расчетов по методу Фредгольма выше в случае наличия сосредоточенной массы.

4. На примерах показано общее свойство корней уравнения частот, составленного методом интегральных уравнений. В теории интегральных уравнений имеется теорема о вещественности корней уравнения для симметричных ядер, поэтому исходным симметричным ядрам должны соответствовать действительные характеристические числа. Однако, как видно из расчетов, при усечении ряда Фредгольма получаются и мнимые корни. Комплексные характеристические числа необходимо анализировать при расчете.

5. Разработан способ расчета пространственных колебаний балок с переменными параметрами, идеализирующих вертолетные лопасти, в поле центробежных сил с учетом совместности крутильных колебаний и изгибных колебаний в плоскостях взмаха и вращения. Полученные результаты позволяют разрабатывать на основе теории интегральных уравнений Фредгольма методики расчетного характера для решения краевых задач на собственные значения вертолетных лопастей.

6. Подтверждена возможность создания на основе теории интегральных уравнений Фредгольма универсального метода решения краевых задач на собственные значения систем с дискретно-континуальным распределением масс. Удобные расчетные формулы, ориентированные на использование быстродействующих ЭВМ, позволяют повысить эффективность метода интегральных уравнений.

7. Существует потребность в перспективных методах, которые наилучшим образом смогут отвечать запросам будущих исследований и задач. В этом шгане представляет интерес развитие в методическом и прикладном отношениях такого классического метода как метод интегральных уравнений Фредгольма. Подход, сочетающий возможности классического математического аппарата и возможности быстродействующих ЭВМ, очень эффективен. Метод интегральных уравнений успешно применялся в приложениях, однако его возможности остались не исчерпанными и мало выясненными. Разработка методики способствует дальнейшему внедрению результатов фундаментальных наук в работах по машиностроению и другим областям техники.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ананьев, Александр Иванович, 1984 год

1. Азаров В.Л., Луличев Л.Н., Тавризов Т.А., Математические мето-ды исследования сложных физических систем,- М.: Наука, 1975, 342 с.

2. Азиз-Кариева Н.С., Гегель Э.И., Метод неопределенного множителя для уравнений Фредгольма. -Изв. АН УзССР. Сер.физ.-мат. наук, 1982, №4, с.6-8.

3. Ананьев А,И., Расчет цилиндров, усеченных конусов, мембран ипластин минимального веса при заданных нагрузках и частотах собственных колебаний. В кн.: Прочность материалов и конструкций. -Новосибирск: НЭШ, 1973, с.71-82.

4. Ананьев А.И., Сходимость приближений к собственным значениямв методе рядов Фредгольма. -Вестник МГУ. Сер.I.Математика. Механика, 1982, М, с.41-43.

5. Ананьев И.В., Решение задачи о собственных колебаниях крыльевс сосредоточенными массами методом интегральных уравнений. Труды ДАШ, 1938, вып.348, 76 с.

6. Ананьев И.В., Справочник по расчету собственных колебанийупругих систем.-М.-Л.: ОЛИЗ-Гостехиздат, 1946 , 224 с.

7. Ананьев И.В., Тимофеев П.Г., Колебания упругих систем и ихдемпфирование. -М.: Машиностроение, 1965, 526 с.

8. Ананьев И.В., Серебрянский Н.П., Анализ точностей расчетаколебаний упругих систем различными методами. Труды ДАШ, 1969, вып. 1147, 46 с.

9. Ананьев И.В., Колбин Н.М., Серебрянский Н.П., Динамика конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1972,416с.

10. Бидерман В.Л., Прикладная теория механических колебаний.- М.: Высшая школа, 1972, 416 с.

11. Биргер И.А., Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956, 152 с.

12. Бисллингхофф Р.Л., Эпши X., Хал$мэн Р.Л., Аэроупругость.- М.: ИЛ, 1958, 799 с.

13. Болотин В.В., Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961, 339 с.

14. Верлань А.Ф., К вопросу об определении частот собственныхколебаний на электронных моделях. -ДАН УССР, 1963, №6, с.17.

15. Ваарда Г., Интегральные уравнения.-М.^й.:ГТТИ, 1933, 192 с.

16. Воробьев Ю.С., Уточненные уравнения свободных колебанийвращающихся стержней. В кн.: Рабочие процессы в турбо-машинах и прочность их элементов. -Киев: Наукова думка,1965, с.11-27.

17. Гавела С.П., Кононенко Н.И., Использование функций Грина приисследовании собственных колебаний двумерных конструкций. В кн.: Вычисл. и прикл. мат. Межвед. науч. сб., 1972, выл.18, с.117-124.

18. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г., Осцилляционные матрицы и малыеколебания механических систем. -M.^Ql. :01ИЗ, 1941,220 с.

19. Голубенцев А.Н., Интегральные методы в динамике. -Киев:1. Техника, 1967, 350 с.

20. Горошко О.А., Савин Г.Н., Введение в механику деформируемыходномерных тел переменной длины. -Киев: Наукова думка, 1971, 224 с.23. l^ypoB А.Ф., йзгибные колебания деталей и узлов авиационныхгазотурбинных двигателей. -М.: Оборонгиз, 1959, 359 с.

21. Дольберг М.Д., 0 разложении позитивного ядра в билинейныйряд. -Доклады АН СССР, 1958, т.120, Л5, с.945-948.

22. Дольберг М.Д., К вопросу о решении интегрального уравненияс помощью рядов.-Доклады АН СССР, I960, т.134,с.25-28.

23. Ефименко В .А., О приближенном вычислении собственных значений краевых задач обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 4 порядка с переменными коэффициентами. ПММ, 1937, т.1, №2, с.155-176.

24. Завриев К.С., Динамика сооружений. М.: Трансжелдориздат,1946.

25. Зволинский Н.В., Приложение метода интегральных уравненийк одной задаче устойчивости цилиндрической оболочки.

26. Труды ДАШ, 1937, вып.320, 18 с.

27. Калайда А.Ф., Середа В.Ю., Об одном методе решения интегральных уравнений 2 рода.-Диф.уравнения, 1968,4,№5,с.938-942.

28. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976, 576 с.

29. Карман Г., Еио М., Математические методы в инженерном деле.-4!.: Гостехиздат, 1946, 424 с.

30. Коллатц I., Задачи на собственные значения.-М.: Наука, 1968,504 с.

31. Комай А.И., Совместные колебания крыла с сосредоточеннымигрузами. -Труды ДАШ, 1940, выл.472, 67 с.

32. Корн Г.Дорн Т., Справочник по математике. -М.: Наука, 1968,720 с.

33. Костицын В.А., Интегральные уравнения с интегро-логарифшческим ядром и сродные интегральные уравнения. В кн.: Мат.сборник (ММО).-М.: Госуд.издат.,1922, т.31, вып.2, с.188-207.

34. Краснов М.Л., Интегральные уравнения. Введение в теорию.- М.: Наука, 1975, 304 с.

35. Купрадзе В.А., Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.-Л.; Гостехиздат, 1949, 280 с.

36. Кухта К.Я., Кравченко В.П., Нормальные фундаментальные системы в задачах теории колебаний. Киев: Наукова душа, 1973, 208 с.

37. Кухта К.Я., Кравченко В.П., Непрерывно-дискретные граничныезадачи в теории колебаний. -Киев: Наукова думка, 1976, 256 с.

38. Ловитт 7.В., Линейные интегральные уравнения. -М.-Л.: ГТТЙ,1933, 212 с.

39. Марченко В.М., Сармина Л.А., Вронский Г.В., Расчет собственных колебаний лопастей с помощью интегральных уравнений на быстродействующих вычислительных машинах. В кн.: Упругие колебания лопасти. - Труды ДАШ, 1964, вып.898, с.72-135.

40. Меляховецкий А.С., Интегральное уравнение свободных колебаний криволинейного стержня. Доклады АН СССР, Новая серия, 1952, т.85, №3.

41. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Механика. Новое в зарубежной науке. Сер.15. - М.: Мир, 1978, 216 с.

42. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б., Интегральные многообразияв нелинейной механике. М.: Наука, 1973, 512 с.

43. Михлин С.Г., О сходимости рядов Фредгольма. ДАН СССР,1944, 42, №9, е.387-390.

44. Михлин С.Г., Интегральные уравнения. -М.-^Л.: ОШЗ-Гостехиздат, 1947, 304 с.

45. Михлин С.Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям.- М.: Физматгиз, 1959, 232 с.

46. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л., Приближенные методы решениядифференциальных и интегральных уравнений. -М.: Наука, 1965, 383 с.

47. Шнтц Г., Интегральные уравнения. -Л.-М.: ОНШ ГТТИ, 1934,т.1, 330 с.

48. Некрасов А.В., Расчет форм и частот собственных изгибнокрутильных колебаний лопасти вертолета в пустоте. -В кн.: Упругие колебания лопасти. Труды ЦА1И, 1964, выл.898, с.28-39.

49. Некрасов А.И., Применение теории интегральных уравнений копределению критической скорости флаттера крыла самолета. -Инженерный сборник, 1947, т.4, вып.1, с.3-45.

50. Некрасов А.И., Собрание сочинений. -М.: Изд. АН СССР, 1962,т.2, 706 с.

51. Нудельман Я.Л., Методы определения собственных частот икритических сил для стержневых систем. -Л.-М.: Гостехиздат, 1949, 176 с.

52. Пархомовский Я.М., Фролов В.М., 0 влиянии стесненности кручения на частоты и формы крутильных колебаний балок. -Трут ЦА1И, 1959, вып.733, 12 с.

53. Пархомовский Я.М., 0 приближенном решении некоторых краевыхзадач прочности самолетов. -Ученые записки ЦАШ, 1977, т.8, Я6, с.93-106.

54. Петровский М.Г., Лекции по теории интегральных уравнений.- М.: Наука, 1965, 127 с.

55. Попов Л.С., 0 влиянии фюзеляжа и хвостового оперения самолета на вибрации кршга. -Труды ЦАШ, 1938,выл.343,42 с.

56. Привалов И.И., Интегральные уравнения. -М.-Л.: ОНТИ, 1933,248 с.

57. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математическойфизики. -М.: Наука, 1966, 724 с.

58. Трикоми Ф., Интегральные уравнения. -М. :ИЛ, I960, 299 с.

59. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интезтральногоисчисления. М.: Наука, 1966, т.З, 656 с.

60. Фомин В.М., Применение методов теории линейных представлений групп к расчету и исследованию колебаний стержневых систем. Автореф. дис. на соиск. уч. ст. к.т.н.- Одесса: 1971, 16 с.

61. Цлаф Л.Я., Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1970, 191 с.

62. Шалов В.М., Вариационный метод решения несамосопряженныхуравнений. ДАН СССР, 1963, 151, J63, с.511-512.

63. Hajdin Nicola, Krajcinovic Dusan, Integral equation methodfor solution of boundary value problems of structural mechanics. Part 1. Ordinary differential equations.- Int. J. burner. Meth. Eng.", 1972, 4, n.4,p.509-522.

64. SchwerinE., Verh. d.2. Intern.Kongr.f.techn.Mech.1. Zurich, 1926.

65. Van den Dungen F.H., Les problems generaux de la technique dee vibrations. Paris: Gauthier-Villars, 1928, 60 p.