Описание пространственной структуры области взаимодействия сталкивающихся частиц в формализме функции Вигнера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Перевалова, Ирина Александровна

• Перевалова, Ирина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Перевалова, Ирина Александровна

Оглавление

Введение

1 Обзор современного состояния формализма функции Вигнера

1.1 Функция Вигнера для чистого состояния

1.1.1 Распределение Вигнера для квантового осциллятора

1.2 Функция Вигнера для смешанного состояния

1.3 Обобщение распределения Вигнера

1.3.1 Функция Вигнера в представлении вторичного квантования

1.3.2 Адронная функция Вигнера

Выводы

2 Построение пространства состояния с определенным параметром вылета в приближении малых поперечных импульсов

2.1 Состояние с определенным параметром вылета

2.1.1 Фазовое пространство сопряженных величин Д и

2.2 Приближение малых поперечных импульсов

2.2.1 Собственные функции оператора Казимира в приближении малых поперечных импульсов

2.2.2 Решение уравнения унитарности в приближении малых поперечных импульсов

Выводы

3 Построение функции Вигнера для описания упругих процессов

3.1 Функция Вигнера в приближении малых поперечных импульсов

3.2 Связь (Ь2){±) с амплитудой рассеяния

3.3 Модель одночастичного обмена в ¿-канале

3.4 Обмен кратным полюсом Померанчука (дипольный померон) 80 Выводы

Заключение

Список иллюстраций

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Описание пространственной структуры области взаимодействия сталкивающихся частиц в формализме функции Вигнера»

Введение

Функция Вигнера, введенная в 1932 г. [1], определяет квазивероятностное распределение в фазовом пространстве канонически сопряженных (в квантово-механическом смысле) динамических величин „координата - импульс". Основным объектом при ее построении является волновая функция системы в координатном или импульсном представлении. Знание функции Вигнера позволяет вычислять средние значения любых динамических величин, а также определять явный вид квантово-механических операторов, соответствующих данным динамическим величинам [2]. Изначально функция Вигнера была введена для изучения квантовых поправок к классической статистической механике. В 1949 г. МоуаГом было замечено [3], что правило упорядочивания Вейля, которое устанавливает связь между некоторым оператором в гильбертовом пространстве и соответствующей функцией в фазовом пространстве [4], может быть применено к распределению Вигнера. В результате этого стало возможным вычислять средние значения произвольных квантовых величин. Таким образом, функция Вигнера является квантовым аналогом классической статистической функции распределения в фазовом пространстве и сводится к ней в пределе К —» 0.

Функция Вигнера представляет собой полезный инструмент для изучения квантовых систем. В современной физике существует два различных подхода к описанию внутренней структуры материи. Первый подход основан на построении пространственного распределения материи или заряда внутри исследуемой системы. Пространственное распределение может быть построено на основе изучения упругих процессов рассеяния (электронов, фотонов, нейтронов и т.д.). При этом строится форм-фактор системы который зависит от передачи трехмерного импульса. Фурье-образ от структурного форм-фактора дает пространственное распределение объек-

тов, составляющих систему:

Р(Г) = ! ¿3Д . (1)

Здесь р(г) есть плотность вероятности: р(г) = \ф(г)\2, ф(г) - волновая функция системы.

Во втором подходе к изучению структуры материи вычисляются распределения составных частей системы по импульсу. Плотность импульса выражается через квадрат модуля волновой функции системы в импульсном представлении: п(р) — [</?(/?)|2. Экспериментальной базой для этого случая являются квазиупругие и неупругие процессы рассеяния. Оба эти подхода являются весьма полезными, на каждом из них основываются соответствующие отрасли современной физики частиц. Однако по отдельности данные подходы не дают полного описания состояния материи в изучаемой системе. По измеренному форм-фактору нельзя судить о таких динамических характеристиках системы, как импульсы ее составных частей. И обратно, распределение по импульсам не дает информации о пространственной локализации той или иной составляющей системы.

Наиболее полная информация о структуре изучаемой системы содержится в совместном распределении и по импульсу, и по координатам. Такое распределение без труда можно построить для классической системы, однако в квантовом случае нельзя говорить об одновременной локализации частицы по импульсу и координате (принцип неопределенности Гейзен-берга). Тем не менее, функции, которые описывают случаи одновременно неизмеримых величин, были введены как обобщение понятия обычных вероятностных функций распределения. Их называют квазивероятностными функциями распределения. Такие распределения оказались весьма полезными не только для вычисления различных величин в квантовых системах, но и в качестве связующего звена между классической и квантовой механикой. Одним из наиболее часто используемых примеров таких функций является так называемая функция Вигнера.

Диссертация посвящена построению формализма, основанного на аналоге функции Вигнера для чистого состояния, в применении к описанию двухчастичных процессов столкновения. Обычно функция Вигнера

строится как Фурье-образ произведения двух волновых функций системы, взятых в разных точках пространства. В данной работе показывается, что дифференциальное сечение упругого процесса А + В —> Л + Б по импульсным и пространственным переменным имеет вид вигнеровского распределения, построенного из амплитуды данного процесса в импульсных переменных на гиперболоиде. Такое распределение сохраняет все основные свойства функции Вигнера и может служить средством для вычисления средних значений динамических величин, характеризующих упругий процесс. Кроме того, по известной профильной функции упругого процесса можно с помощью уравнения унитарности ^-матрицы восстанавливать неупругие вклады в упругий процесс. Это делает возможным вычислять динамические характеристики неупругих процессов, например, среднеквадратичный радиус области рождения частиц в процессе 2 —» п или среднюю множественность в зависимости от пространственного параметра (при соответствующем учете динамики взаимодействия).

В рамках разработанного формализма мы получаем аналитическое выражение для среднеквадратичного радиуса области рождения частицы в упругом процессе через амплитуду такого процесса. Расчет указанного параметра представлен для двух физических моделей амплитуд - одноча-стичного обмена в /-канале и для модели двухполюсного реджеона.

В первой главе диссертации дан обзор современного состояния формализма вигнеровского распределения, указаны основные свойства функции Вигнера. Показано, что эта функция может быть использована для вычисления средних значений любых динамических величин, определяющих состояние изучаемой квантовой системы. В качестве наглядной иллюстрации функция Вигнера построена для различных возбужденных состояний гармонического осциллятора, описаны обобщения вигнеровского формализма на некоторые важнейшие физические случаи.

Вторая глава посвящена построению фазового пространства неком-мутирующих между собой величин „поперечный импульс - параметр вылета" в приближении малых поперечных импульсов. Показана необходимость и физическая обоснованность указанного приближения, получено

новое ядро перехода между импульсными и пространственными переменными, получены выражения для амплитуды и профильной функции в этом приближении. Представлено решение уравнения унитарности в приближении малых поперечных импульсов, получено локальное уравнение на профильную функцию позволяющее оценивать неупругие вклады в

упругую амплитуду.

В третьей главе представлен разработанный формализм, основанный на понятии аналога функции Вигнера для описания упругих процессов в приближении малых поперечных импульсов. Получено выражение для функции Вигнера как дифференциального сечения по импульсным и пространственным переменным. Рассмотрены основные свойства этой функции, показано, что с ее помощью можно вычислять средние значения динамических величин, описывающих упругий двухчастичный процесс. С помощью вигнеровского распределения получено выражение для среднеквадратичного радиуса области рождения частиц в упругом процессе А + В —> А + В через амплитуду такого процесса. Данное выражение проанализировано на примерх модели амплитуды одночастичного обмена в /-канале и модели дипольного померона.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Перевалова, Ирина Александровна

Выводы

В этой главе диссертации разработан формализм, основанный на понятии, аналогичном понятию функции Вигнера, описывающей чистое состояние, но для случая описания пространственной структуры области взаимодействия частиц. При этом аналогом функции Вигнера является дифференциальное сечение по импульсной переменной и пространственному параметру вылета. Такая функция Вигнера характеризует процесс упругого взаимодействия и представляет собой квазивероятностную функцию распределения в фазовом пространстве величин „поперечный импульс -параметр вылета". Было показано, что в приближении малых поперечных импульсов эти величины являются канонически сопряженными в обычном квантово-механическом смысле. Исследованы основные свойства построенной функции Вигнера: ее вещественность, согласование распределения по двум переменным с распределением по одной переменной, возможность вычисления с ее помощью средних значений динамических характеристик области взаимодействия.

Получено аналитическое выражение среднеквадратичного радиуса области рождения частицы в упругом процессе через амплитуду такого процесса. Таким образом, была получена связь между пространственным параметром вылета, характеризующим область взаимодействия, и величиной, которую можно извлекать из экспериментальных данных (амплитуда).

Разработанный формализм был применен к двум физическим моделям: модель одночастичного обмена в ¿-канале и модель дипольного поме-рона. В случае ¿-канального обмена было получено, что средний радиус области рождения конечной частицы в переднюю полусферу определяется комптоновской длиной волны обменной частицы. В модели дипольного померона получено подтверждение выполнения геометрического скейлинга - вид зависимости упругого сечения от энергии (логарифмический) определяется зависимостью квадрата радиуса области взаимодействия. Это известные факты, и их получение дает основание считать разработанный формализм эффективным инструментом для дальнейшего изучения про-странсвтенной структуры области взаимодействия частиц.

Заключение

Диссертация посвящена построению формализма, основанного на понятии аналога функции Вигнера для случая описания пространственной структуры области взаимодействия сталкивающихся частиц. Базовым элементом построения служит амплитуда рассеяния (угловое распределение) и распределение конечных состояний по пространственному параметру вылета. Квазивероятностное распределение в таком фазовом пространстве позволяет вычислять такие характеристики конечных состояний процесса столкновения, как средний радиус области рождения частиц, пространственное распределение неупругой функции перекрытия в процессах 2 —> п\ исследовать томографический образ пространства конечных состояний (преобразование Радона).

В первой главе диссертации введено понятие функции Вигнера, представлен обзор современного состояния формализма вигнеровского распределения. Рассмотрены основные свойства этого распределения и показано, что оно не обязательно положительно определено во всех точках, и поэтому носит название квазираспределения. Показано также, что с помощью функции Вигнера можно вычислять средние значения любых динамических величин, определяющих состояние изучаемой системы. Рассмотрены частные примеры вигнеровского распределения и приведены примеры вычисления средних значений определенных динамических величин. Указаны области физики, в которых применяется понятие функции Вигнера, затронут вопрос о способах измерения вигнеровского распределения на эксперименте. В последнем пункте рассмотрена функция Вигнера, описывающая распределение партонов в адроне. Обозначены проблемы, возникающие при построении такого распределения, связанные с тем, что партоны подчиняются релятивистским законам. Показано, что адронная функция

Вигнера является более широким понятием, чем обобщенное партонное распределение (йРО), и несет в себе более полную информацию об изучаемой системе.

Вторая глава диссертации посвящена построению фазового пространства величин „поперечный импульс - параметр вылета" в приближении малых поперечных импульсов. Для этого был модифицирован существующий формализм описания пространственной структуры области взаимодействия частиц и получено новое ядро перехода между пространством поперечного импульса и пространством параметра вылета. Приближение малых поперечных импульсов является физически обоснованным, поскольку амплитуда рассеяния быстро падает при д± д (угол в « 7г/2). В отличие от эй-конального приближения, это приближение не связано с предположением о больших значениях параметра Д. В данном приближении показано, что импульсная переменная и и пространственный параметр Д являются канонически сопряженными величинами. В рамках этого приближения решено уравнение унитарности и получено локальное уравнение на профильную функцию и(р). Это позволило получить выражение для учета неупругих вкладов в упругую амплитуду и выражение для средних значений динамических величин, характеризующих неупругий процесс.

В третьей главе разработан формализм, основанный на аналоге понятия функции Вигнера для чистого состояния, в случае описания упругих процессов в приближении малых поперечных импульсов. Аналог функции Вигнера построен как дифференциальное сечение по импульсным и пространственным переменным. Рассмотрены основные свойства этой функции, показано, что с ее помощью можно вычислять средние значения динамических величин, описывающих упругий двухчастичный процесс. С помощью введенного вигнеровского распределения получено выражение для среднеквадратичного радиуса области рождения частиц в упругом процессе А + В ^ А + В через амплитуду такого процесса.

Осуществлена проверка применимости разработанного формализма. Для этого вычислен среднеквадратичный радиус области рождения частицы в двух физических случаях. Для модели амплитуды одночастичного

-канального обмена получено подтверждение известного факта, что средний радиус области рождения частицы в переднюю полусферу определяется комптоновской длиной волны обменной частицы. В случае обмена кратным полюсом Померанчука (дипольный померон) получено подтверждение выполнения геометрического скейлинга - вид зависимости упругого сечения от энергии (логарифмический) определяется зависимостью квадрата радиуса области взаимодействия. Получение известных фактов дает основание считать разработанный формализм эффективным инструментом для дальнейшего изучения пространсвтенной структуры области взаимодействия частиц.

Разработанный формализм описания упругих процессов рассеяния в терминах построенной функции Вигнера позволяет вычислять средние значения геометрических характеристик области взаимодействия. Вычисленный средний радиус области рождения частицы в упругом процессе является одним из самых общих примеров таких характеристик. При дальнейшем описании неупругих процессов разработанный формализм может выступать основой для вычисления такой характеристики области взаимодействия, как средняя множественность рождения частиц (при соответствующем учете динамики взаимодействия). Измерение множественности в зависимости от энергии является одной из задач ЬНС. На основе разработанного нами формализма возможно исследование зависимости этой величины от пространственного параметра вылета. Такое пространственное распределение средней множественности позволит детально изучить структуру области взаимодействия частиц. Кроме того, построенная нами функция Вигнера лежит в основе реконструкции томографических образов пространственной структуры области взаимодействия частиц с помощью преобразования Радона. Такая томографическая картина несет информацию о распределении вещества в области взаимодействия частиц при вы-сокоэнергетичных столкновениях. Оба указанных направления являются перспективой дальнейших исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Перевалова, Ирина Александровна, 2012 год

Литература

[1] Wigner Е. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium / E. Wigner // Phys.Rev. - 1932. - Vol. 40. - P. 749 - 759.

[2] Curtright T.L. Quantum mechanics in phase space / T.L. Curtright, C.K. Zachos // arXiv:l 104.5269vl [physics.hist-ph], - 2011. - 15 p.

[3] Moyal J.E. Quantum mechanics as a statistical theory / J.E. Moyal // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1949. - Vol. 45. - P. 99 - 124.

[4] Weyl H. Quantenmechanik und Gruppentheorie / H. Weyl // Z Phys. - 1927. - Vol. 46. - P. 1 - 46.

[5] Casas M. On the Wigner transforms of some simple systems and their semiclassical interpretations / M. Casas, H. Krivine, J. Martorell // Eur. J. Phys. - 1991. - Vol. 12. - P. 105 - 111.

[6] Robinett R.W. Analytic results for Gaussian wave packets in four model systems: I. Visualization of the kinetic energy / R.W. Robinett, L.C. Bassett // Found. Phys. Lett. - 2004. - Vol. 17.-22 p.

[7] Татарский В.И. Вигнеровское представление квантовой механики / В.И. Татарский // Успехи физических наук. - 1983. - Т. 139, вып. 4. - С. 587 - 619.

[8] Hudson R.L. When is the Wigner quasi-probability density non-negative? / R.L. Hudson // Rep. Math. Phys. - 1974. - Vol. 6, Issue 2. -P. 249 - 252.

[9] Belitsky A. V. Unraveling hadron structure with generalized parton distributions / A. V. Belitsky, A. V. Radyushkin // Phys. Rept. -2005. - N 418. - P. 1 - 387.

[10] Distribution functions in physics: fundamentals / M. Hillery, R.F. O'Connell, M.O. Scully et al. // Phys. Rept. - 1984. - Vol. 106, N 3. - P. 121 - 167.

[11] Balazs N.L. Wigner's function and other distribution functions in mock phase spaces / N.L. Balazs, B.K. Jennings // Phys. Rep. - 1984. -Vol. 104. - P. 347 - 391.

[12] Groenewold H.J. On the principles of elementary quantum mechanics / H.J. Groenewold // Physica. - 1946. - Vol. 12, Issue 7. - P. 405 -460.

[13] Ландау JI.Д. Квантовая механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1972. - 368 с.

[14] Gradshtein I.S. Tables of Integrals, Series and Functions / I.S. Grad-shtein, I.M. Ryzhik // Pergamon. New York. - 1964. - 1100 p.

[15] Dragt A.J. How Wigner functions transform under symplectic maps / A.J. Dragt, S. Habib // Quantum aspects of beam physics. - 1998. -P. 651 - 669.

[16] Dias N.C. Deformation quantization and Wigner functions / N.C. Dias, J.N. Prata // Mod.Phys.Lett. - 2005. - Vol. A20. - P. 1371 - 1385.

[17] Von Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics / J. von Neumann. - Princeton univ. press., 1955. - 458 p.

[18] Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики / Д.И. Блохинцев. -М.: Наука, 1983. - 664 с.

[19] O'Connell R.F. The Wigner distribution / R.F. O'Connell // arXiv: 1009.4431 vl. - 2010. - 2 p.

[20] Атакишиев H.M. О функциях распределения Вигнера для релятивистского линейного осциллятора / Н.М. Атакишиев, Ш.М. Наги-ев, К.Б. Вольф // Теоретическая и математическая физика. - 1998. - Т. 114, № 3. - С. 410 - 425.

[21] Стратонович P.JI. Калибровочно-инвариантный аналог распределения Вигнера / Р.Л. Стратонович // ДАН СССР. - 1956. - Т. 109, № 1. - С. 72 - 75.

[22] Dodonov V.V. In Invariants and the Evolution of Nonstationary Quantum Systems / V.V. Dodonov, V.I. Man'ko // Physica A. - 1978. -Vol. 94. - P. 403 - 412.

[23] Remler E.A. Use of the Wigner representation in scattering problems / E.A. Remler // Annals of Physics. - 1975. - Vol. 95, Issue 2. - P. 455 - 495.

[24] Remler E.A. Inclusive quasielastic deuteron production / E.A. Remler, A. P. Sathe // Phys. Rev. C. - 1978. - Vol. 18. - P. 2293 - 2315.

[25] Irving J.H. The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes. V. Quantum Hydrodynamics / J.H. Irving, R.W. Zwanzig // J. Chem. Phys. - 1951. - Vol. 19. - P. 1173 - 1180.

[26] Trovato M. Quantum hydrodynamic models from a maximum entropy principle / M. Trovato, L.Reggiani // J. Phys. A: Math. Theor. -2010. - Vol. 43.-11 p.

[27] Carruthers P. Quantum collision theory with phase space distribution functions / P. Carruthers, F. Zachariasen // Rev. Mod. Phys. - 1983. - Vol. 55. - P. 245 - 285.

[28] Mendonca J.T. Wave kinetics of relativistic quantum plasmas / J.T. Mendonca // Phys. Plasmas. - 2011. - Vol. 18. - 6 p.

[29] Choi S. Quantum Corrections for Transport Coefficients / S. Choi, J. Ross // J. Chem. Phys. - 1960. - Vol. 33. - P. 1324 - 1331.

[30] Mori H. Transport equation in quantum gases / H. Mori, J. Ross // Phys. Rev. - 1958. - Vol. 109, N 6. - P. 1877 - 1881.

[31] Schleich W.P. Quantum Optics in Phase Space / W.P. Schleich. -Wiley-VCH, Germany, 2001. - 713 p.

[32] Scully M.O. Quantum Optics / M.O. Scully, M.S. Zubairy. -Cambridge University Press, 1997. - 652 p.

[33] Husimi K. Some Formal Properties of the Density Matrix / K. Husimi // Proc. Phys. Math. Soc. Jpn. - 1940. - Vol. 22. - P. 264 - 314.

[34] Kirkwood J.G. Quantum Statistics of Almost Classical Assemblies / J.G. Kirkwood // Phys. Rev. - 1933. - Vol. 44. - P. 31 - 37.

[35] Brown R.C. Classical Trajectory Approach to Photo-Dissociation -the Wigner Method / R.C. Brown, E.J. Heller // Journal of Medical Physics. - 1981. - Vol. 75, Issue 1. - P. 186 - 188.

[36] Alonso M.A. Wigner functions for curved spaces I: On hyperboloids / M.A. Alonso, G.S. Pogosyan, K.B. Wolf// arXiv:quant-ph/0205041vl. - 2002. - 25 p.

[37] Gel'fand I.M. Representation theory and automorphic functions / I.M. Gel'fand, M.I. Graev, I.I. Pyatetskii-Shapiro // Saunders, Philadelphia, 1968. - 426 p.

[38] Measurement of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: Application to squeezed states and the vacuum / D.T. Smithey, M. Beck, M.G. Raymer et al. // Phys. Rev. Lett. - 1993. - Vol. 70, N 9. - P. 1244 -1247.

[39] Vogel K. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase / K. Vogel, H. Risken // Phys. Rev. A. - 1989. - Vol. 40. - P. 2847 - 2849.

[40] Direct measurement of the Wigner function by photon counting / K. Banaszek, C. Radzewicz, K. Wodkiewicz et al. // Phys. Rev. A. -1999. - Vol. 60. - P. 674 - 677.

[41] Royer A. Wigner function as the expectation value of a parity operator / A. Royer // Phys. Rev. A. - 1977. - Vol. 15, N 2. - P. 449 - 450.

[42] Pasquini C. B. Quark Wigner distributions / B. Pasquini, C. Lorce // arXiv: 1107.3984 vl [hep-ph]. - 2011. - 4 p.

[43] Brittin W.E. The Wigner distribution function and second quantization in phase space / W.E. Brittin, W.R. Chappell // Rev. Mod. Phys. -1962. - Vol. 34, N 4. - P. 620 - 627.

[44] Feynman R.P. Photon-hadron interactions / R.P. Feynman. - New York: Benjamin, 1972. - 442 p.

[45] Wave functions, evolution equations and evolution kernels from lightray operators of QCD / D. Müller, D. Robaschik, B. Geyer et al. // Fortsch.Phys. - 1994. - P. 101 - 143.

[46] Ji X. Viewing the proton through „color" filters / X. Ji // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 91, N 6. - 062001. - 3 p.

[47] Belitsky A.V. Quark imaging in the proton via quantum phase-space distributions / A.V. Belitsky, X. Ji, F. Yuan // Phys. Rev. D. - 2004.

- Vol. 69. - 074014. - 12 p.

[48] Collins J. Light-cone Variables, Rapidity and All That / J. Collins // arXiv:hep-ph/9705393vl. - 1997. - 14 p.

[49] Burkardt M. Impact parameter dependent parton distributions and off forward parton distributions for ( —s► 0 / M. Burkardt // Phys.Rev.D.

- 2000. - Vol. 62. - 071503. - 5 p.

[50] Ji X. Generalized parton distribution / X. Ji // Annu. Rev. Nucl. Part. Sei. - 2004. - Vol. 54. - P. 413 - 450.

[51] Müller D. Theory and phenomenology of generalized parton distributions: a brief overview / A.V. Belitsky, D. Müller // arXiv:hep-ph/0105167vl. - 2001. - 6 p.

[52] Goeke K. Hard exclusive reactions and the structure of hadrons / K. Goeke, M.V. Polyakov, M. Vanderhaeghen // Prog. Part. Nucl. Phys.

- 2001. - Vol. 47. - P. 401 - 515.

[53] Sivers D. Single-spin production asymmetries from the hard scattering of pointlike constituents / D. Sivers // Phys. Rev. D. - 1990. - Vol. 41. - P. 83 - 90.

[54] Sivers D. Hard-scattering scaling laws for single-spin production asymmetries / D. Sivers // Phys. Rev. D. - 1991. - Vol. 43. - P. 261 - 263.

[55] Lorce C. Quark Wigner distributions and orbital angular momentum / C. Lorce, B. Pasquini // Phys. Rev. D. - 2011. - Vol. 84. - 17 p.

[56] Spatial description of the particle production region in elastic and quasi-elastic processes on the SOM(2.1) group / A.N. Vail, I.A. Perevalova, O.N. Soldatenko, A.A. Vladimirov // Phys. of Part, and Nucl. - 2009. - Vol. 40, N 7. - P. 1030 - 1058. Пространственное описание области рождения детектируемой частицы в упругих и квазиупругих процессах на группе 50^(2.1) / А.Н. Валл, И.А. Перевалова, О.Н. Солдатенко, А.А. Владимиров // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2009. - Т. 40, вып. 7. - С. 168 - 225.

[57] Glauber R.J. Lectures in Theoretical Physics / R.J. Glauber. - New York: Interscience Publisher's Inc., 1959. - Vol. 1. - 315 p.

[58] Zachariasen F. Theoretical models of diffraction scattering / F. Zachariasen // Phys.Rept. - 1971. - Vol. 2. - P. 1 - 76.

[59] Adachi T. An impact parameter representation of the scattering problem / T. Adachi, T. Kotani // Progr.Theor.Phys. (Kyoto). - 1968. - Vol. 39, N 3. - P. 785 - 816.

[60] Islam M.M. The optical model at high energies / M.M. Islam // Phys.Today. - 1972. - Vol. 25, N 5. - P. 23 - 27.

[61] Elvekjaer F. Geometrical Description of Binary Reactions and Large p(T) Phenomena / F. Elvekjaer, J.L. Petersen // Nucl. Phys. B. -1975. - Vol. 94, Issue 1. - P. 100 - 114.

[62] Jenkovszky L.L. An off-mass-shall Regge-pole amplitude for deeply virtual Compton scattering and nucleón structure / L.L. Jenkovszky, O.N. Soldatenko, A.N. Vail // Non-Euclidean Geometry In Modern Physics, Proceedings of the 5th internayional conference Bolyai-Gauss-Lobachevsky (BGL-5), Minsk, 10-13 oct. 2006. - P. 340 -348.

[63] Фок В.A. // Докл. АН СССР. - 1943. - Т. 39, № 7. - С. 279 - 283.

[64] Солдатенко О.Н. Переход из состояния с определенным импульсом в состояние с определенным параметром вылета бесспиновой частицы во внешнем поле / О.Н. Солдатенко, И.А. Перевалова, А.К. Едемская // Известия вузов. Физика. - 2010. - Т. 53, № 6. - С. 71 - 74.

[65] Валл А.Н. Плоские волны на группе прицельного параметра / А.Н. Балл // Ядерная физика. - 1978. - Т. 28, вып. 4(10). - С. 1091 -1097.

[66] Валл А.Н. Группа прицельного параметра и ее реализация / А.Н. Валл, H.A. Макеев // Ядерная физика. - 1978. - Т. 27, вып. 2. -С. 558 - 564.

[67] Представление для релятивистской амплитуды рассеяния при высоких энергиях / В.Р. Гарсеванишвили, В.Г. Кадышевский, P.M. Мир-Касимов и др. // ТМФ. - 1971. - Т. 7, № 2. - С. 203 - 216.

[68] Виленкин Н.Я. Инвариантные разложения релятивистских амплитуд / Н.Я. Виленкин, Я.А. Смородинский // ЖЭТФ. - 1964. - Т. 46, вып. 5. - С. 1793 - 1807.

[69] Шапиро И.С. Разложение волновой функции по неприводимым представлениям группы Лоренца / И.С. Шапиро // Докл. АН СССР. - 1956. - Т. 106. - 647 с.

[70] Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1984. - 2-е изд. - 384 с.

[71] Бейтман Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтман, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1973. - Т. 1.- 294 с.

[72] Валл А.Н. Теоретико-групповое описание пространственной области столкновения частиц / А.Н. Валл, О.Н. Солдатенко, А.А. Владимиров // Известия ВУЗов. Физика. - 2008. - Т. 51, № 3. - С. 92

- 96.

[73] Боголюбов Н.Н. Введение в теорию квантованных полей / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. - М.: Наука, 1984. - 4-е изд. - 603 с.

[74] Эксклюзивные процессы в формализме группы SO(2.1) / А.Н. Валл, И.А. Перевалова, О.Н. Солдатенко, А.А. Владимиров // Международная Байкальская молодежная научная Школа по Фундаментальной Физике: Труды XI Конференции молодых ученых "Гелио-и геофизические исследования". - Иркутск: изд-во ИСЗФ СО РАН, 2009. - С. 334 - 337.

[75] Soldatenko O.N. Unitarization of the elastic amplitude on the SO(2,l) group / O.N. Soldatenko, A.N. Vail, A.A. Vladimirov // Eur. Phys. J.

- 2008. - A 38. - P. 71 - 76.

[76] Solution of the Unitarity Equation in Cone Variables on the SO(2,l) Group in the Approximation for Small Transverse Momentum / A. K. Edemskaya, I. A. Perevalova, A. Yu. Sidorenkov, O.N. Soldatenko // Physics of Particles and Nuclei Letters. - 2011. - Vol. 8, N 7. - P. 794 - 796.

Решение уравнения унитарности в переменных конуса на группе SO(2,l) / А.К. Едемская, И.А. Перевалова, А.Ю. Сидоренков, О.Н. Солдатенко // Письма в ЭЧАЯ. - 2011. - Т. 8, № 7(170). - С. 1309

- 1312.

[77] Description of spatial characteristics of elastic processes within the formalism of the Wigner functions / A.N. Vail, I.A. Perevalova, M.V. Polyakov, O.N. Soldatenko // Russian Physics Journal. - 2011. - Vol. 54, Issue 1. - P. 47 - 53.

Описание пространственных характеристик упругих процессов в формализме функции Вигнера / А.Н. Балл, И.А. Перевалова, М.В. Поляков, О.Н. Солдатенко // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2011. - № 1. - С. 44 - 50. arXiv: 1008.1169vl [hep-ph],

[78] Гольданский В.И. Кинематические методы в физике высоких энергий / В.И. Гольданский, Ю.П. Никитин, И.Л. Розенталь. - М.: Наука, 1987. - 199 с.

[79] Коллинз П. Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий / П. Коллинз. - М.: Атомиздат, 1980. - 432 с.

[80] Gribov V.N. Moving branching points in the j-plane and Regge unitarity conditions / V.N. Gribov, I.Ya. Pomeranchuk, K.A. Ter-Martirosian // Phys.Rev. - 1965. - V. 139, N IB. - P. 184 - 202.

[81] Бертини M. Упругое рассеяние адронов при высоких энергиях / М. Бертини, М. Жиффон // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1995. - Т. 26, вып. 1. - С. 32 - 71.

[82] Lipatov L.N. The bare pomeron in quantum chromodynamics / L.N. Lipatov // Sov. Phys. JETP. - 1986. - V. 63, N 5. - P. 904 - 912.

[83] Грибов B.H. Свойства полюса Померанчука и связанных с ним ветвлений при малых переданных амплитудах / В.Н. Грибов, А.А. Мигдал // Ядерная физика. - 1968. - Т. 8, вып. 5. - С. 1002 - 1015.

[84] Jenkovszky L.L. The dipole pomeron and pp scattering / L.L. Jenkovszky, A.N. Wall // Czech.J.Phys. - 1976. - V. 26, N 4. -P. 447 - 450.

[85] Енковский Л.Л. Дифракция в адрон-адронных и лептон-адронных процессах при высоких энергиях / Л.Л. Енковский // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2003. - Т. 34, вып. 5. - С. 1196 - 1255.

[86] Saleem М. Proton Proton Elastic Scattering At High-Energies / M. Saleem, Fazal-e-Aleem // Hadronic J. - 1981. - Vol. 5. - P. 71 - 133.

[87] Jenkovszky L.L. Odd C Exchange In High-Energy Anti-P P And P P Scattering / L.L. Jenkovszky, B.V. Struminsky, A.N. Shelkovenko // Z.Phys.C. - 1987. - Vol. 36. - P. 495 - 502.

[88] Енковский JI.JI. Глюонный обмен в упругом рассеянии адронов / Л.Л. Енковский, Ф. Пакканони, З.Е. Чиковани // ЯФ. - 1991. - Т. 53. - С. 526 - 538.

[89] Proton-proton elastic scattering at the LHC energy of y/s = 7 ТеV / The TOTEM Collaboration: G. Antchev, P. Aspell, I. Atanassov, et. al. // arXiv:l 110.1385vl [hep-ex], - 2011. - 12 p.

[90] Jenkovszky L. The Pomeron and Odderon in elastic, inelastic and total cross sections at the LHC / L. Jenkovszky, A. Lengyel, D. Lontkovskyi // arXiv:1105.1202v2 [hep-ph], -2011.-16 p.