Операторные оценки в задачах усреднения вырождающихся эллиптических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тихомирова, Светлана Викторовна
- Специальность ВАК РФ01.01.02
- Количество страниц 95
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихомирова, Светлана Викторовна
Введение
1 Задача с вырождающейся симметрической матрицей
§1 Постановка задачи об усреднении Я-решений.
§2 Постановка задачи об усреднении W-решений.
§3 Некоторые весовые неравенства и теоремы вложения
§4 О представлении соленоидальных векторов.
§5 Усреднение Я-решений.
§6 Усреднение ^-решений.
§7 Об усредненных матрицах в модельном примере.
2 Задача с неограниченной кососимметрической матрицей
§1 Постановка задачи и предварительные сведения
§2 Случай ограниченной кососимметрической матрицы
§3 Усреднение аппроксимационных решений
§4 Вопросы единственности.
§5 Переход к эллиптической системе.
§6 Усреднение эллиптической системы.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Операторные оценки многомасштабного усреднения для эллиптических уравнений2017 год, кандидат наук Тихомиров, Роман Николаевич
Периодические дифференциальные операторы. Пороговые свойства и усреднения2004 год, доктор физико-математических наук Суслина, Татьяна Александровна
Операторные оценки погрешности в задачах усреднения дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами2018 год, кандидат наук Мешкова Юлия Михайловна
Об усреднении нелинейных эллиптических задач в средах с двойной пористостью2004 год, кандидат физико-математических наук Шульга, Светлана Борисовна
Об усреднении монотонных эллиптических операторов второго порядка2000 год, кандидат физико-математических наук Рычаго, Михаил Евгеньевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторные оценки в задачах усреднения вырождающихся эллиптических уравнений»
Настоящая работа посвящена усреднению неравномерно эллиптических уравнений дивергентного типа
-div pe(x)a£(x)Vu£ + р£(т)ие = /, f 6 C^°(IRd). (0.1)
Здесь а£(х) = a(f), где а(у) - измеримая периодическая симметрическая матрица, подчиненная условию ограниченности и эллиптичности
А£2 < • £ < ГЧ2 V£eIRd, 0 < А < 1, (0.2) вес р£(х) = р(|), р(у) - неотрицательная периодическая измеримая функция, подчиненная условию Стампаккья peLr(D), р-1 6 § = - + -, (0.3) а г s причем г > 1 при d = 2, □ = [— |)d - ячейка периодичности.
Уравнение (0.1) относится к типу вырождающихся, поскольку функция р£ не отделена от нуля и бесконечности.
В работе изучается также другого типа задача
-div AeW + ие = /, А£(х) = а(-) + £(-), (0.4) £ где а(у) удовлетворяет прежним условиям (0.2), а кососимметрическая матрица В (у) периодична и
BeLp(□), р = d для d>2> и р = 2 + 6, S > 0 для d = 2. (0.5)
Важной чертой уравнений (0.1) и (0.4) является особого рода неединственность. В случае симметрического уравнения (0.1) это связано с тем, что гладкие функции не плотны в весовом соболевском пространстве, данное явление называется эффектом Лаврентьева. Известно, что если вес принадлежит так называемому Лг-классу Макенхаупта (см. [1]), то эффекта Лаврентьева нет, и в большинстве работ по усреднению вырождающихся уравнений периодический вес этому условию удовлетворяет (см. [2] - [4]). Другое условие, которое ещё не использовалось в усреднении, у/р £ И7^ (см. [5]), позволяет корректно определить весовое соболевское пространство и доказать плотность гладких функций. В несимметрическом случае (0.4) также возможна неединственность, обнаруженная недавно В.В. Жиковым в работе [6].
Одной из целей теории усреднения является получение оценок разности между решением исходной задачи и решением соответствующих усредненных задач, а также оценок разности между решением исходной задачи и различного рода приближениями к решению исходной задачи. Для этого обычно используется метод двухмасштабных разложений, широко представленный в монографиях [7]-[12].
Поясним этот метод на примере классической задачи усреднения, когда р = 1. Имеем и£ е Wlt2(Md), -diva(-)Vu£ + u£ = f, / e C0°°(IRd). (0.6)
Согласно методу двухмасштабных разложений решение ие ищется в виде и£{х) — и°(х) + eu\(x, -) + £2и2(х, -) + .
Нулевое приближение и0 является решением усредненной задачи, а для определения функций щ, щ, . имеется рекуррентная процедура. Напомним, как определяется усредненная матрица и первое приближение и0 + ЕЩ.
Пусть Wp^((H) - соболевское пространство периодических функций. Введем периодические задачи
F 6 ^(D), diva{VNj + ej) = О, (Nj) = 0, j = l,2,.,d, (0.7) где е1, е2., ed - канонический базис в ШД (•) = f -dy- среднее по ячейке периодичности. Усредненная матрица, заданная равенствами a°ej = {a(VNj + ej)), (0.8) является симметрической и положительно определенной. Первое приближение v£ имеет вид v£{x) = и°{х) + у = е~1х, (0.9) dxj где и0 - решение усредненной задачи diva Vw + и = f. (0.10)
Второе слагаемое в (0.9) называется корректором.
В книгах по усреднению [7]-[11] доказаны оценки вида u£-u°\\L2 <Се, (0.11) и£ — и0 — £Ui\\l* < Се2 и т.д., однако константы С зависели от достаточно высоких соболевских норм нулевого приближения it0, что эквивалентно гладкости правой части /. Для операторной интерпретации оценка (0.11) должна иметь вид u£-u°\\L2<Ce\\f\\L2, (0.12) где константа С не зависит от /. В таком случае, если ввести действующие в L2 операторы
Ле = -div a(j)V, Л = —div a°V, то (0.12) принимает вид где I - единичный оператор.
Традиционные методы позволяют доказать оценку (0.12) только в случае, когда коэффициенты являются достаточно гладкими. Для случая измеримых коэффициентов в литературе по усреднению отсутствует не только оценка (0.12), но и, вообще, важные утверждения типа "норма разности резольвенты исходного и усредненного операторов имеет порядок эпсилон". Лишь за последние годы произошел существенный поворот к операторной точке зрения. М.Ш. Бирман и Т.А. Суслина, (см. [13]-[23]), используя спектральный или блоховский метод, доказали операторную L2-оценку (0.12), в которой константа С зависит лишь от постоянной эллиптичности А и размерности пространства. Именно такими оценками мы и будем интересоваться. В настоящее время операторными оценками занимаются в нескольких научных центрах в России и за рубежом, при этом используются различные методы. Французские математики D. Cioranescu, G. Griso [24], применяя особые интерполяционные методы (unfolding), получают £2-оценку для скалярных уравнений в ограниченной области.
В.В. Жиков предложил метод получения операторных оценок, основанный на специальном анализе первого приближения и интегрировании по дополнительному параметру [25], [26]. Этот подход, в отличие от спектрального, позволил изучать задачи теории упругости и скалярные задачи по единой схеме. Отметим, что идея интегрирования по дополнительному параметру трансформировалась также в новое понятие сглаженного корректора. Оно не только полезно технически, но и представляет возможность написать первое приближение к точному решению в тех случаях, когда классическое первое приближение не работает. Примерами служат задачи теории упругости для размерности пространства большей, чем 2, а также типичные вырождающиеся эллиптические уравнения. Опишем кратко этот метод, поскольку мы будем следовать ему в основном тексте.
1. Рассмотрим первое приближение (0.9). Имеем
W(«) = (VvN'(y) + eOjgJ + ^vg, f)ii° fhi° a(y)W(x) - a°Vu°(x) = gi(y)— + ea(y)N3(y)4— = re, (0.13) где дз = a{y)(4yNj(y) + e?) - aV. (0.14)
В силу (0.7), (0.8) периодические векторы g3(j = 1,., d) соленоидальны, принадлежат L2(□) и имеют нулевые средние. Запишем вектор д3 в виде дивергенции от кососимметрической матрицы, g3(y) = divyG3{y), Gjk = -Gi GjlkeW^(D).
Тогда выполнено равенство dxj dxj dxj причем первое слагаемое справа есть соленоидальный вектор, что следует из кососимметричности матрицы G3. Это позволяет получить для невязки divr£ (см.(0.13)) содержащее множитель е выражение f)n chr divr£ = -ediv(GJV(^—)) + ediv(aW'V(^—)). (0.15)
С/Х j C/«vj
2. Пусть ue - решение исходного уравнения. По построению имеем ди° div atV{ve - ие) + (v£ - и6) = -divaVve + и0 + sN3---/ =
СsJu j
Jli </77 —diva°Vw° + u° - / + eN3 ---divr£ = eN3---divr£. ox; ox;
Воспользуемся теперь энергетической оценкой
IWlUdR") < Co(||/o|li2(Rrf) + \\П1Чп*))' (°-16) в которой 2е - решение уравнения — divaeVz£ + ^ = /о + div F. Полагая z£ = v£ — и£ (с учетом основного соотношения (0.15)) получим
6(s-^)|2(|VU°(x)|2+|WW|2)^, (0-17) где b(y) - это функции вида GJik(y). Функции b(y) в общем случае не принадлежат L°°(lRd) и поэтому их нельзя исключить из полученной оценки.
3. Наряду с исходной задачей (0.6) рассмотрим также задачи, отвечающие "сдвинутой"матрице а(и + у), где ш Е IRd,
-di va(u> + £-1x)Vue(x,w) + uE{x,w) = f(x) (0.18) с одной и той же правой частью /. Уравнение (0.6) получается при и = 0, т.е. и£(х) — и£{х, 0), а усредненная матрица не зависит от о;, поскольку функции Ni(y, ш), как и остальные функции b{y,uS) получаются из исходных с помощью сдвига: b(y,u) = Ь(у + си).
В связи с этим первое приближение определяется равенством v£ (х, ш) = и°(х) + eN>{y + у = e~lx (0.19) и dxj ди°{х)• f(x,u)duj= (u°(x) + eNj{y + Lu)-^-l)duj = u0{x). (0.20) v . . . , . , , ^ □
При каждом и 6 □ справедлива оценка (0.17), т.е
Iи£(х,и) - v£(x,uj)\2 + IVu£(x:oj) - Vv£(x,u)I2) dx < R c0e2 J IЬ(ш + £~1х)ф(х)\2 dx,
Itd где |Ф|2 = |Vw°|2 + |V2u°|2. Интегрирование этой оценки по ш Е □ исключает функции |6|2, заменяя их на (|6|2), так как
J J \b(uj + £-1x)<P(x)\'2dxdu = J J \Ь(ш + £-1х)Ф(х)\Ч^х = nd IV* □ (|6|2) f Ф2{x)dx.
JR' d
Важно, что величины (\b\2), т.е. (|Л^'|2) и (\G3ik\2) оцениваются через d и Л. Действительно, из вспомогательного уравнения (0.7) имеем
J aVNJ ■ Vipdx = - J aVip • eJdx. □ □
Полагая <p = N^, получим
A J \VNj\2dx < A"1 J |WNj\dx < IVA^'I2^, □ □ □
J\VW\2dx < 1 □ 1 где использовано неравенство Пуанкаре для периодических функций. Из
0.14) видно, что f\gi\2dx оценивается через А и f \VNi\2dx. Матрицы □
G\k также оцениваются через d и А. Действительно, из представления матрицы через вектор gi в виде ряда Фурье (см. [11], стр. 15; глава I, §4) следует оценка
J \&\Чх < i J W\2dx. □
Так как величина НФН^к^ оценивается через Н/Н^д^ в силу уравнения (0.10), то в результате получаем
J J(\ие(х,ш) - v£(x,uS)\2 + \Vue{x,u) - \7v£(x,uj)\2) dxduj < Rd (0.21) ci£2 J fdx. ~s\d
4- Остается сравнить решение и£(х,ш) задачи (0.18) с функцией и£(х + ercj), где и£(х) - решение исходной задачи (0.6). Заметим, что и£(х + еш) есть решение задачи (0.18) с правой частью / = f(x + ew). Поэтому достаточно сравнить правые части f(x) и f(x + ей;), а далее воспользоваться энергетической оценкой (0.16) и утверждением (0.23) следующей леммы.
Лемма 0.1. (см., например, [25]). Имеют место неравенства
J\j f{x + £Li)du - f{x) fdx<^ J\Vf\2dx, (0.22) + еа;)-/(.)||я-1(н-) < ФН1/1Ь(н«), (0-23) где H~l(lRd) - пространство, сопряженное к Hl(JRd) = W1,2(IRd). Отсюда и из энергетической оценки получим неравенство (Iи£(х,ш) - и£(х + ей)I2 + \Vu£(x,cu) - Vu£{x + еш)\2) dx < nd
C£zJfzdx VweD, nd которое позволяет в оценке (0.21) заменить функцию и£(х, и) на и£(х + £и). Тем самым приходим к проинтегрированной оценке
J J(\и£(х + £ш) -v£(x,lj)\2 + \Vu£(x + £uj) - Vv£(x,lu)\2) dxdu < Iid
C£2 J fdx, nd
0.24) или - с помощью замены переменной х ecu = t, t = х - к оценке
J J(|и£(х) - ve(х - £uj,uj)|2 + |Vu£(x) - Vv£(x - £cj,oj)\2) dxdco < Rd
Ce2 j fdx. nd
0.25)
Из (0.24) можно выводить различные следствия. Например, отбрасывая слагаемые с градиентом, по неравенству Коши - Буняковского, получается оценка Бирмана - Суслиной (0.12). Действительно, согласно (0.20), имеем хsuj)duj — и°(х)\2 dx — J J(и£(х + £lu) — ve(x,Lu))duj\2 dx < -(x + £uS) - У£(х,ш)^и)2 dx < J j \u£(x + EuS) — ve(x,Lo)\2duo dx и
Rd □ </(/
Rrf □
Rrf □
J J I u£(x + euj) - v£(x,u)\2dxdw < C£2 j fdx, Rd
II т.е.
11J u£(x + £u})du;-u0{x)\2dx < Ce2 j fdx. (0.26)
Функция f u£{x + £U))du представляет собой сглаживание по Стеклову □ исходного решения и£(х).
Из энергетического неравенства (0.16) имеем l!v«l2bW) < c0\\f\\l4Rdy следовательно,
J | J и£(х + еш)ды - U£(x) |2 dx < J fdx (0.27)
Ud □ Tid в силу оценки (0.22). Тогда из (0.26) и (0.27) по неравенству треугольника получаем оценку Бирмана - Суслиной (0.12).
Оценка (0.24) естественно приводит к понятию "сглаженного" первого приближения. Определим "сглаженное" первое приближение г г .г ди°(х - ecu)
Vе (х) = / v£(x-suj,uj)duj = / и°(х-еи) duj + ENJ(y) / -^--du = □ □ 3 + (0.28) где u°'£(x) - сглаживание по Стеклову функции и°(х). Тогда непосредственно из (0.25) получаем оценку
J{\u£{x)-v£{x)\2 + \V{ue(x)-v£{x)\2)dx<C£2 J fdx. (0.29)
Iid R"'
Отдельно в скалярном случае В.В. Жиков доказал [26], что оценка (0.29) справедлива если сглаженное первое приближение vе заменить обычным первым приближением v£ (см. (0.9)): ие -vF\\wv <Ce\\f\\v.
Важную роль при выводе проинтегрированной оценки (0.21) играет представление соленоидального вектора в виде дивергенции от ко-сосимметрической матрицы. Между тем, в задачах усреднения в перфорированных областях такое представление вызывает трудности. С.Е. Пастухова предложила модификацию метода В.В. Жикова, (см. [27] -[31]). Предложенный С.Е. Пастуховой подход не использует представление соленоидального вектора. Альтернативой служит доказанная С.Е. Пастуховой лемма об оценках интеграла, содержащего произведения осциллирующих функций и средние по Стеклову. Метод С.Е. Пастуховой непосредственно приводит к оценке (0.29), минуя проинтегрированную оценку. Необходимый для техники оценок дополнительный параметр интегрирования присутствует здесь в свернутом виде в средних по Стеклову, за счет чего осциллирующие множители исключаются из оценок.
В настоящей диссертации методом Жикова доказываются операторные оценки вида (0.24), (0.29) для уравнения (0.1) и уравнения (0.4), при этом учитывается явление неединственности и осуществляется подходящий выбор решения.
В главе 1 мы исследуем уравнение (0.1). С этим уравнением связываем весовое соболевское пространство
W£ = W(Ud, р£) = € W^OR*). J Ре(\и\2 + |Vw|2) dx < оо},
IM\we = (j Pe(\u\ + |Vu| )dxj , nd в котором и ищется решение задачи.
Определение 0.1. Функцию ие Е We назовем W-решением уравнения (0.1), если выполнено интегральное тождество j p£{a£Vu£ -V(p + u£(p)dx = J fipdx (0.30) для любой ip £ W£.
Заметим, что в весовом И^-пространстве гладкие функции, вообще говоря, не плотны. Поэтому решения уравнения (0.1) можно искать и в подпространстве Не = H(]Rd,pe), которое является замыканием множества гладких функций в пространстве W£.
Определение 0.2. Функцию и£ € Н£ назовем Н-решением уравнения (0.1), если интегральное тождество (0.30) выполнено для любой функции (р £ Н£.
Существование и единственность Я-решений и VF-решений следуют из теоремы Рисса о представлении линейного функционала. В общем случае эти решения различны. Получается, что с одним и тем же формальным дифференциальным выражением можно связать две однозначно разрешимые задачи.
Для 1У-решений выполнения тождества (0.30) на гладких функциях недостаточно, но достаточно выполнения этого тождества на финитных функциях из W£. В обоих случаях в качестве пробной функции можно взять сами решения и получить энергетическое равенство
J p£(a£Vue -Vu£ + и£ -u£)dx = J fu£dx.
Определим также соболевские пространства периодических функций WPer(D,p) = {и 6 j udx = 0, j p\Vu\2dx < оо}, □ где И^^(П) - классическое соболевское пространство периодических функций, суммируемых по □ вместе с градиентом. В качестве нормы в Wpег(Цр) возьмем (f p\Vu\2dx)^. Пусть Ярег = Ярег(П,Р) - замыкание множества гладких периодических функций по указанной норме.
Введем задачи на ячейке периодичности, с помощью которых будет определена усредненная матрица. Эти задачи обобщают классическую задачу и формально имеют вид div (pa{VNj + ej)) = 0, j = 1,2,., d, где e1, e2,., ed - канонический базис в JRd. В случае Я-решений точная формулировка понимается так:
Nj еЯрегр,р), J pa{VNj + ej)-V<pdx = 0 У^Ярег(Цр), в случае И^-решений: е Wper(D, р), jpa(VNj + ej) ■ dx = 0 V<£> G Wper(D, p).
Решения этих задач, вообще говоря, различны, усредненная матрица в обоих случаях задается равенством а°е? = {pa{VNj + ej)), является симметрической и положительно определенной. Кроме того, а°н > a°w > (р-'а-1)-1 > А (/Г1)"1/, где I - единичная матрица.
Для решения задачи (0.1) получена проинтегрированная оценка
J j(|u£(x) - v£(x - £u,u)\2 + IVu£(x) - Vv£(x - eu,uj)\2)pedxduj < □ itd
Слагаемое ||w° 11^2,2^) в правой части можно оценить через Ц/Ц^г воспользовавшись усредненным уравнением (0.10). Здесь важно, что а0 - постоянная эллиптическая матрица. Имеет место Теорема 0.1. Пусть и£ - есть W- или Н-решение задачи (0.1), v£ -приближенное решение, определенное равенством (0.9), вес ре = р£(х) удовлетворяет условию (0.3). Тогда справедлива оценка
J J(Iи£(х) - v£(x - |2 + |Vti£(ir) - Vv£(x - EW, w)\2)pedxdu < Rd c^ll/ll^,), где константа С зависит от размерности пространста, постоянной эллиптичности А и норм ЦрЦь^ H/^Ul*
Напомним классический результат, касающийся представления соле-ноидального вектора в дивергентной форме.
Определение 0.3. Периодический вектор g 6 L!(D) называется соле-ноидалъным, div g = 0, если jg ■ \7(р dx = 0 □
Теорема 0.2. Если д £ ЬР(П), р > 1, (д) = 0, д - соленоидален, то справедливо представление g = divG: Gij = -Gji, G{j e
Кроме того, можно указать линейный оператор g -» G, дающий по заданному g единственную матрицу G, причем выполнена оценка
G\\wig < co\\g\\Lp.
Теорема 0.3. В предположении (0.3) соленоидалъный вектор g £ L2{\2,p~l), (g) = 0 допускает представление в виде g = div G, где G - кососимметрическая матрица, удовлетворяющая условию
1 + г
Для линейного оператора g —> G выполнена оценка
G\\Lz(n,p-i) < со\\д\\Ь2{а,р-1).
При доказательстве теоремы 0.1 мы используем весовое неравенство Пуанкаре
Лемма 0.2. В предположении (0.3) имеет место неравенство
J pu2dx <С J p\Vu\2dx, и £ И^1Д(П), j udx = О, □ □ □ в котором константа С зависит от размерности пространства, показателей г, s и норм ||p||Lr; \\p~1\\l°-Имеет место
Теорема 0.4. Пусть и6 - есть W- или Н-решение исходной задачи (0.1), и0 - решение усредненной задачи, vе (х) - сглаженное первое при-блиэюение, определенное равенством (0.28). Тогда справедлива оценка
И*) - v£(x)\2 + |W(z) - VF(x)\2)pedx < Cs2\\f\\2L2{udr
Rd где С зависит от размерности пространства, постоянной эллиптичности А и норм ||p||Lr,
В доказательстве этой теоремы существенно используется следующая лемма Жикова - Пастуховой, установленная авторами в [28]. Лемма 0.3. В предположении (0.3) справедливо неравенство
J \ф + еи)-ф)\2р{^-)<1х<Се2 j |Vv>(z)|2p{~)dx Vw G ¥td где постоянная С определяется только величинами (рг), (р~*).
Вторая глава диссертации посвящена уравнениям вида (0.4). Прежде всего, определим понятие решения, считая для упрощения, что в уравнении (0.4) е = 1.
Определение 0.4. Функцию и Е H/1,2(IRd) назовем решением уравнения (0.4), если выполнено интегральное тождество
J aVu-Vipdx + J BVu-W(pdx + Jucpdx = J fpdx V</? E CJ°(IRd).
Ud nd Rd Iid
Определение имеет смысл, если В £ Ь2(П). Это же условие обеспечивает существование решения. Действительно, рассмотрим аппроксимацию Bft матрицы В,
Bh Е Ь°°(П), Bh —В в 1/2(П), Bh — кососимметрична.
Аппроксимирующее уравнение
-div (a(x)Wuh + Bh{x)Vuh) + uh = f однозначно разрешимо в смысле выполнения интегрального тождества
J аЧщ ■ V</? dx + J BhViih -Vpdx + J Uftipdx =
Rd nd Rd (0.31)
- J fpdx V<p <E C0°°(IRd).
Rd
По замыканию в этом тождестве можно взять <р = щ и получить энергетическое равенство
J ah4uh ■ Vuh dx + J BhVuh-Vuhdx + J \uh\2 dx = J fuhdx
R^ Rd Rd Rd для любой Lp G Со°(Ш,^). Второе слагаемое слева равно нулю, благодаря кососимметричности матрицы Вь, поэтому приходим к равенству aVu/j • Vuu dx + J \uh\2dx = J fuhdx.
Iid Rd Rd
Отсюда следует, что последовательность u/t ограничена в H/1'2(IRc/) и можно считать, что последовательность щ слабо сходится в И/1'2(И'/), щ и. Переходя к пределу в интегральном тождестве (0.31), получим, что предельная функция и есть решение задачи (0.4). Видим, что процедура аппроксимации всякий раз приводит к решению задачи, которое принято называть аппроксимационным. Условие В е Ь2(П) не гарантирует единственности аппроксимационного решения. Кроме того, помимо аппроксимационных могут существовать и другие решения, которые нельзя получить путем аппроксимации.
Операторные оценки для аппроксимационных решений получаем следующим способом. Сначала доказываем оценки в случае ограниченной матрицы В: когда проблем с единственностью не возникает; важно, что константы в оценках зависят только от нормы Н-ВЦ^щ, а не от ||-^IU°°(D)ld
Затем переходим к пределу Bft -> В, В^ £ Ь°°(П), при этом усредненная матрица определяется также как предел соответствующих усредненных матриц
А1 А°.
Решение периодической задачи N получается как предел решений Nfг соответствующих периодических задач
Nh^N в
Nhewg{□), divAK + ViVft) = o £elRd.
Теорема 0.5. Пусть матрица В ограничена, удовлетворяет условию (0.5) и£(х) - решение исходной задачи (0.4), v£(x, и) - первое приближение (0.19) к решению задачи (0-4). Тогда справедлива оценка
J J(\u£(x+£Uj)-v£(x,uj)\2+\Vu£{x+euj)-Vv£{x,u)\2) dx du < Се2 J f2dx, ]Rd Rd в которой константа С зависит только от размерности пространства, константы эллиптичности А и нормы Ц-ВЦ^п). Эта теорема, а также оценки для усредненной матрицы
Л°>Л/, \А°\ < \\А\\Ь. + \~1\\А\\12 позволяют получить оценки для аппроксимационных решений Теорема 0.6. Пусть и£ - аппроксимационное решение задачи (0.4), и0 - решение соответствующей усредненной задачи. Тогда имеет место оценка u£-u°\\L2<Ce\\f\\l2, где константа С зависит от размерности пространства, постоянной эллиптичности А и нормы || 51| £,?>(□)•
Помимо аппроксимационного подхода имеются и другие способы однозначного выделения решения в условиях неединственности. В диссертации рассматривается способ, основанный на переходе от уравнения к специальной системе, решение которой можно определить единственным образом.
Для простоты положим в задаче (0.4) симметрическую часть а единичной,
Ае(х) = I + В£, где I — единичная матрица размера d х d, и вместо уравнения
-div (Vtt£ + B£Vu£) + u£ = f е L2(IRd) рассмотрим систему уравнений div (Vuf + B£Vu2) + u\ = /iEL2(IRd), -div(Vu! + BeVuf) + «§ - f2EL2(lRd), где B£ = Bg{x) = B{e~lx). Определим решение такой системы, полагая для простоты е = 1. Запишем систему (0.32) в операторной форме
Aui + Su2 — и\ = —/i,
0.33)
A u2-S*ui-u2 = -/2, «ьИзбГЭД.
Здесь 5 - оператор, действующий из Wl'2(\Rd) = Hl(lRd) в Я^(IR/*), определен равенством
Su, </?) = - j BVuVip dx Vtp e W^QR?) ud для произвольной функции и € Co°(IRd), а затем продолжен до замкнутого оператора. Через S* обозначен сопряженный к S оператор. Операторная система (0.33) имеет единственное решение, поскольку "матрич О s\ кососамосопряжен на своей области опреу -S* 0 J деления dom S* х dorn S в силу классической теоремы Неймана из спектральной теории. Это решение называем вариационным решением исходной системы (0.32). Вообще говоря, оператор S* имеет более широкую ный" оператор область определения, чем 5, так что сам оператор S не является косо-самосопряженным. Таким образом, определение вариационного решения системы (0.32) выглядит так: щ Е VT1'2 (IIId), и2 Е domS* - замыкание C0°°(lRd) по норме IHI^1'2 + \\BVu\\H-i, и выполнены интегральные тождества / (Vui + BVu2) • Vy?i dx+ f ицрф = f fmdx Vpi E C0°°(IRd),
Itd Kd ]Rd f (Vu2 + BVu 0 • V<p2 dx+ J u2ip2dx = f f2ip2dx V</?2 <E C0°°(]Rd).
Теперь обратимся к задаче усреднения для системы (0.32). Первое приближение к вариационному решению будем искать в виде
Щ(х) =щ{х,у) = и^х) +evi(x,y), йе2(х)=й2{х,у) - u°2(x) + £v2(x,y), у = е~гх, где пара v\(x,-), v2(x,-) - вариационное решение следующей задачи на ячейке периодичности divjV^i + В(у)(& + Vyu2)] = 0, divy[Vyi72 + B(y)fa + V„wi)] = 0, где условия нормировки добавлены для однозначного выделения решения. Усредненная 2d х 2с?-матрица
А0 определена равенством
Отметим, что усредненная матрица удовлетворяет соотношению
Усредненная система имеет вид и о (W^i IRrf))2, f (A°S7u°4<p + u°.ip)dx= f f ip dx
0.34) ty> = Q e (^(IR"))2, где/=(/.),7ио = 0.
Доказана
Теорема 0.7. Пусть матрица В удовлетворяет условию (0.5), и\, и\ -решение задачи (0.32), и\,и\ - решение усредненной задачи (0.34). Тогда имеет место оценка где константа С зависит только от размерности пространства, постоянной эллиптичности нормы ||#||ьр(П)
В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову и доктору физико-математических наук, доценту Светлане Евгеньевне Пастуховой за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.
IK - ||L2 + - ul\\L2 < Се(Ш\ь2 + H/2||L2),
Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Усреднение краевых задач в областях, содержащих внутреннюю перфорированную границу или тонкие каналы малой длины2004 год, кандидат физико-математических наук Яблоков, Виктор Владимирович
Осреднение нестационарных уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами1998 год, доктор физико-математических наук Сандраков, Геннадий Викторович
Усреднение нестационарных периодических уравнений2021 год, кандидат наук Дородный Марк Александрович
О параболическом уравнении на стратифицированном множестве2002 год, кандидат физико-математических наук Куляба, Виктория Витальевна
Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа2003 год, доктор физико-математических наук Брусенцев, Александр Григорьевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихомирова, Светлана Викторовна, 2007 год
1. Muckenhoupt В. Weighted norm inequalities for Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol.165. - P. 207-226.
2. Serra Cassano F. On the Local Boundedness of Certain Solutions for a Class of Degenerate Elliptic Equations // Boll. Unione Math. Italiana. -1996. Vol. 7. No.lO-B. - P. 651-680.
3. De Arcangelis, Serra Cassano F. On the homogenization of degenerate elliptic equation in divergence form // J. Math. Pures Appl. 1992. -Vol.71. - P. 1-20.
4. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах // Матем. сборник. 1998 - Т. 189. Вып. 8. - С. 27-58.
5. Gallo^t Т., Lederer J., Lewandowski R., Murat F., Tartar L. On a turbulent system with unbounded eddy viscosities // Nonlinear Analysis. 2003. - Vol.52. - P. 1051-1068.
6. Жиков В.В. Замечание о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами // Функц. анализ и его приложения. 2004. - Т.38. Вып. 3. - С. 15-28.
7. Bensoussan A., Lions J.L., Papanikolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structur. Amsterdam: North Holland, 1978.
8. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.
10. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.
11. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.
12. Пятницкий A.JL, Чечкин Г.А., Шамаев А.С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике Т. 3. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская", 2007.
13. Бирман М.Ш., Суслина T.A. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения // Алгебра и анализ. 2003. - Т. 15. Вып.5. - С. 1-108.
14. Суслина T.A. Усреднение стационарной периодической системы Максвелла // Алгебра и анализ. 2004. - Т.16. Вып.5. - С. 162-244.
15. Суслина Т.А. Об усреднении периодической системы Максвелла // Функц. анализ и его прил. 2004. - Т.38. № 3. - С. 90-94.
16. Суслина Т.А. Усреднение периодических параболических систем // ПОМИ препринт № 15/2004.
17. Суслина Т.А. Об усреднении периодических параболических систем // Функц. анализ и его прил. 2004. - Т.38. № 4. - С. 86-90.
18. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора // Алгебра и анализ. 2005. - Т. 17. Вып.6. - С. 1-104.
19. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного семейства с учетом корректора // Алгебра и анализ. 2005. - Т. 17. Вып.5. - С. 69-90.
20. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева Я^ГО/*) // Алгебра и анализ. 2006. - Т. 18. Вып.6. -С. 1-130.
21. Griso G. Error estimate and unfolding for periodic homogenization // Asymptotic Analysis. 2004. - No.40. - P. 269-286.
22. Жиков В.В. Об операторных оценках в теории усреднения // Доклады Академии Наук. 2005. - Т.403. № 3. - С. 305-308.
23. Жиков В.В. О некоторых оценках из теории усреднения // Доклады Академии Наук. 2006. - Т.406. № 5. - С. 597-601.
24. Zhikov V.V., Pastukhova S.E. Operator Estimates for Some Problem in Homogenization Theory // Russian Journal of Mathematical Physics. -2005. Vol.12. No. 4. - P. 515-524.
25. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение вырождающихся эллиптических уравнений // Сибирский математический журнал. 2008. -Т.49. № 1.
26. Пастухова С.Е. О некоторых оценках из усреднения задач теории упругости // Доклады Академии Наук. 2006. - Т.406. № 5. - С. 604608.
27. Пастухова С.Е. О вырожденных уравнениях монотонного типа: эффект Лаврентьева и вопросы достижимости. Матем. сборник. 2007. - Т.198. № 10. - С. 89-118.
28. Пастухова С.Е., Тихомиров Р.Н. Операторные оценки повторного и локально периодического усреднения // Доклады Академии Наук. -2007. Т.415. № 3. - С. 304-309.
29. Жиков В.В. Эффект Лаврентьева и усреднение нелинейных вариационных задач // Дифференц. уравнения. 1991 - Т. 27. № 1. -С.42-50.
30. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций: Пер. с англ. М.: Мир, 1973.
31. Jikov V.V., Lukkassen D. On Two Types of Effective Conductivities // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2001. - No.256. -P. 339-343.
32. Жиков В.В. Диффузия в несжимаемом случайном потоке // Функц.1.анализ и его приложения. 1997. - Т.31. Вып. 3. - С. 10-22.
33. Жиков В.В., Тихомирова С.В. Об операторных оценках в несимметрических задачах усреднения // Современная математика и ее приложения. Т. 33. Суздальская конференция 1, 2004. Тбилиси, 2005. -С. 124-128.
34. Жиков В.В., Пастухова С.Е., Тихомирова С.В. Об усреднении вырождающихся эллиптических уравнений // Доклады Академии наук. 2006. - Т.410. № 5. - С. 587-591.
35. Пастухова С.Е., Тихомирова С.В. Эллиптическое уравнение с несимметрической матрицей. Усреднение "вариационных решений"// Математические заметки. 2007. - Т.81. Вып.4. - С. 631-636.
36. Тихомирова С.В. Об усреднении эллиптического уравнения с неограниченной кососимметрической матрицей // Сборник трудов молодых ученых В ГПУ. 2006. - Вып.6. - С. 90-94.
37. Тихомирова С.В. О представлении соленоидального вектора в дивергентной форме // Вестник ВГПУ. 2007. - Вып. 14. - С. 27-29.
38. Тихомирова С.В. Об операторных оценках в несимметрических задачах усреднения // Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения": Тез. докл. Самара, 2005.С. 88-89.
39. Тихомирова С.В. Об оценках усреднения эллиптических уравнений с весом // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тез. докл. Суздаль, 2006. -С. 212-214.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.