Операторные методы построения бифуркационных формул в задачах нелинейной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Фазлытдинов Марат Флюрович

• Фазлытдинов Марат Флюрович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Фазлытдинов Марат Флюрович

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Аппроксимация центрального многообразия

2.1.3 Вспомогательные обозначения и утверждения

2.1.4 О гомологическом уравнении

2.1.5 Спектральные свойства оператора Ь

2.1.6 Доказательство теоремы

2.1.7 Алгоритм построения обратного оператора Ь-1

2.1.8 Случай 81: Формулы для центрального многообразия: случай нулевого собственного значения

2.1.9 Случай Б2: Формулы для центрального многообразия: случай пары чисто мнимых собственных значений

2.2 Построение аппроксимаций центральных многообразий для динамических систем с дискретным временем

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Аппроксимация центрального многообразия

2.2.3 О гомологическом уравнении

2.2.4 Спектральные свойства оператора Л

2.2.5 Доказательство теоремы

2.2.6 Случай Р1. Формулы для центрального многообразия: случай простого собственного значения

2.2.7 Случай Р2. Формулы для центрального многообразия: случай простого собственного значения

2.2.8 Случай РЗ. Формулы для центрального многообразия: случай пары простых собственных значений где

0 < ^о < я"

3 Операторные методы вычисления ляпуновских величин

3.1 Вычисление ляпуновских величин для динамических систем с непрерывным временем

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Бифуркация кратного равновесия

3.1.3 Седло-узловая бифуркация

3.1.4 Транскритическая бифуркация и бифуркация типа вилки

3.1.5 Бифуркация Андронова-Хопфа

3.2 Вычисление ляпуновских величин для динамических систем с дискретным временем

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Бифуркация кратного равновесия

3.2.3 Седло-узловая бифуркация

3.2.4 Транскритическая бифуркация и бифуркация типа вилки

3.2.5 Бифуркация удвоения периода

3.2.6 Бифуркация Андронова-Хопфа

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ

Список основных обозначений

К - множество вещественных чисел;

^^ - линейное вещественное Ж-мерное пространство;

N

||ж|| - евклидова норма в ектора х € т.е. ||ж|| = \ х2 ;

У г=1

||А|| - евклидова норма квадратной матрицы А размера п с элементами из

/ п

поля К, т.е. ||А|| = < V" а- ;

Т(х0,5)- ^-окрестность точки х0 € К ^ т.е.Т(х0,д) = {||ж0-ХИ ^ х € }; Ст(0) - линейное пространство функций, заданных в области И С и имеющих непрерывные производные всех порядков до т включительно; Функцию /(х) € Ст(В) будем называть От-гладкой функцией в области И] Функцию /(х) € С 1(0) будем называть гладкой функцией в области И.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторные методы построения бифуркационных формул в задачах нелинейной динамики»

Введение

Актуальность темы. Важную роль в теории бифуркаций динамических систем и ее приложениях играют так называемые бифуркационные формулы. Этим термином можно объединить различные формулы для вычисления числовых характеристик, знание которых позволяет провести качественный анализ различных сценариев бифуркаций. К бифуркационным формулам можно отнести формулы, позволяющие вычислять коэффициенты нормальных форм уравнений вблизи особых точек, формулы для вычисления ляпуновских величин, показатели транскритичности бифуркаций, формулы для аппроксимаций центральных многообразий негиперболических точек равновесия или циклов и др. Особую популярность бифуркационные формулы приобрели при изучении бифуркации Андронова-Хопфа. Здесь важны такие характеристики как д2, т"25 позволяющие определить направленность бифуркаций, значения периода и устойчивость возникающих решений [50]. Вопросам построения бифуркационных формул посвящена обширная литература.

В задаче построения бифуркационных формул условно следует выделить два подхода. Первый подход связан с получением бифуркационных формул в терминах исходных уравнений. Хотя получаемые при этом формулы, как правило, достаточно сложны, но основным их преимуществом является именно тот факт, что они позволяют проводить анализ бифуркаций непосредственно в терминах исходных уравнений.

Второй подход является классическим. Этот подход связан с применением восходящих к В.А. Плиссу и А. Келли теоремам о центральном многообразии (см. [43,44,82]) и восходящему к А. Пуанкаре, А.Д. Брюно, К.Л. Зигелю методу нормальных форм (см., [7,8,10,17,89,90]). Указанный подход позволяет для задач об основных сценариях локальных бифуркаций преобразовать исходные уравнения к весьма простому (каноническому) виду. Получаемые при

этом уравнения позволяют достаточно просто изучать задачу о вычислении ляпуновских величин (см., например, [15,53]), задачу о построении нормальных форм (см., например, [3,13,51,95,98,99]). Получаемые при этом бифуркационные формулы оказываются достаточно простыми и эффективными для анализа бифуркации, что продемонстрировано в ряде работ [10, 37, 69, 75]. Здесь особо следует выделить работы [15,53] и [84], в которых проведено детальное исследование основных сценариев бифуркаций в зависимости от значений ляпуновских величин. Однако, следует отметить, что использование этих формул для исследования конкретных уравнений, как правило, требует предварительного преобразования исходных уравнений, что далеко не всегда является тривиальной задачей.

Вопрос о том, какой из подходов лучше, не имеет однозначного ответа, так как разные классы задач обладают различными свойствами, следовательно, в одних ситуациях какие-либо методы предпочтительнее других, а в других - наоборот. Следует также помнить, что применяемые различные подходы дают одни и те же окончательные формулы (если, конечно, их правильно сравнивать).

Особо важными в задачах исследования локальных бифуркаций динамических систем являются соответствующие ляпуновские величины и центральные многообразия. Ляпуновские величины, позволяют определить такие важнейшие свойства бифуркации, как устойчивость возникающих решений, направленность бифуркаций и др. Вычисление ляпуновских величин важно и с точки зрения приложений, например, при изучении вопроса о поведении динамической системы при значениях параметров, близких к границе области устойчивости (опасные и безопасные границы). Понятие ляпуновских величин было введено в классических работах А. Пуанкаре [89,90] и A.M. Ляпунова [34].

Важным объектом изучения нелинейных динамических систем является центральное многообразие негиперболической точки равновесия. В фазовом пространстве системы это многообразие локально инвариантно для ее траекторий; оно содержит точку равновесия и касается в ней соответствующего подпространства линеаризации системы. В естественном смысле вся нетри-

виальная динамика системы в окрестности точки равновесия сосредоточена на центральном многообразии. Этот факт следует из теоремы о центральном многообразии и принципа сведения А.Н. Шошитайшвили [54].

Так как центральное многообразие и динамика системы на нем, как правило, не могут быть точно рассчитаны, то актуальным является разработка соответствующих аппроксимаций. При этом практический интерес, как правило, представляют аппроксимации второго и третьего порядков. Теория центрального многообразия находит многочисленные приложения во многих задачах теории динамических систем, нелинейной динамики, механики, теории управления и др. Ограничимся здесь ссылками на работы Е.В. Ни-кульчева, J. Carr, В. Hamzi, W. Kang, A.J. Krener, В. Sandstede, A. Scheel, С. Wulff и др., в которых методы этой теории использовались в задачах моделирования управляемых процессов, в задачах параметрической идентификации [40-42, 64, 65, 73, 78, 87, 88, 94]. Сочетание теории центрального многообразия с теорией нормальных форм Пуанкаре [3, 10, 53] широко используется и для изучения задач о бифуркациях в динамических системах [10,15,37,53,69,74,84,97,100,101].

В научной школе профессора М.А. Красносельского были предложены новые подходы исследования локальных бифуркаций динамических систем, основанные на топологических и операторных методах изучения нелинейных задач с параметрами (см., например, [25,30,31]). Эти подходы позволили получить как новые общие признаки различных сценариев бифуркаций, так и привели к формулам и алгоритмам, позволяющим (в терминах исходных уравнений) провести детальное исследование бифуркаций, включая анализ устойчивости решений и их приближенное построение. Оказалось, что многие полученные при этом формулы идейно близки к бифуркационным формулам.

Представляется актуальным дальнейшее развитие указанных операторных методов с целью получения новых бифуркационных формул для основных сценариев локальных бифуркаций как в непрерывных, так и дискретных динамических системах. Здесь особо важными представляются разработки общих подходов в задаче построения новых формул для ляпуновских величин, показателей транскритичности, второй и третьей аппроксимаций централь-

ных многообразий негиперболических точек равновесия или циклов.

В настоящей работе предлагается общая схема, позволяющая получить новые бифуркационные формулы в задачах об основных сценариях локальных бифуркаций динамических систем в терминах исходных уравнений.

Степень разработанности темы. Задаче построения бифуркационных формул посвящены исследования Л.А. Калякина, Ю.А. Кузнецова, Л.П. Шильникова, J. Guckenheimer, B.D. Hansard. N.D. Kazarinov, J.E. Marsden, M. McCracken, U.-H. Wan, Sli-.V Chow, Ch. Li, D. Wang и др. (см., например, [10,15,21,32,37,47,50,53,79,80,84]). Особое внимание в их исследованиях уделяется получению формул для расчета коэффициентов нормальных форм уравнений вблизи особых точек, ляпуновских величин, аппроксимаций центральных многообразий.

В задаче вычисления ляпуновских величин в первую очередь следует указать на подходы, связанные с применением теоремы о центральном многообразии и метода нормальных форм (В.И. Арнольд, А.Д. Брюно, С.М. Воронин, В.А Плисс, S.-E. Chow, A. Kelley, С. Li, D. Wang и др.) [3,6,8,10,13,43,51,82]. Эти подходы позволяют для задач об основных сценариях локальных бифуркаций преобразовать исходные уравнения к весьма простому (каноническому) виду, коэффициенты нелинейности которого и определяют ляпуновские величины.

Другое направление исследований связано с вычислением ляпуновских величин в терминах исходных уравнений, которому посвящены работы многих авторов (Н.Н. Бахтин. Д.В. Тураев, Л.П. Шильников, L.O. Chua, J. Guckenheimer, P. Holmes, J.E. Marsden, M. McCracken и др.) [6,15,35,37,52,63,83,85].

Следует также отметить подходы, основанные на применении современной компьютерной техники и пакетов символьных вычислений, которые позволили существенно продвинуться в изучении ляпуновских величин. Для многих сценариев бифуркаций явные выражения первой ляпуновской величины были получены еще в 1940-е гг. в работе [6], а вторая ляпуновская величина вычислена в 1950-х гг. в работе [48]. С ростом номера ляпуновской величины возрастает сложность их вычисления в связи с чем естественным развитием расчета ляпуновских величин является разработка программ их компьютерного вы-

числения. Для первой и второй ляпуновских величин такие программы были созданы в 1960-1970-е гг. (см. работы [55-57]). Вычисления ляпуновских величин третьего и более высоких порядков в виде символьных выражений были получены относительно недавно (см., например, [11,12,33,35,36,86] и имеющуюся там библиографию).

Теорема о существовании центрального многообразия в окрестности особой точки была доказана в работах [44,77,82]. Дальнейшему исследованию задачи о центральном многообразии посвящено множество работ [4,37,41,50, 67,72,76,91,96] и др. В работах Ю.А. Кузнецова, Л.П. Шильникова, Е. Freire, J. Guckenheimer, B.D. Hassard, P. Holmes и др. был предложен ряд эффективных подходов, позволяющих получать приближенное представление центрального многообразия (см. [15,50,53,68,75,84,92] и имеющуюся там библиографию). В частности, детально изучены ситуации, когда матрица линеаризации имеет простое нулевое собственное значение или пару простых чисто мнимых значений. Отметим также ряд работ [68,84,92,93], основанных на применении современной компьютерной техники и пакетов символьных вычислений. Эти подходы позволили существенно продвинуться в построении центральных многообразий, в частности, в задаче вычисления аппроксимаций третьего и более высоких порядков. Существует подход основанный на многократном численном моделировании траекторий динамической системы и анализе этих данных для построения аппроксимаций центральных многообразий [71].

В задачах исследования поведения динамических систем в окрестностях особых точек широкое распространение получили подходы, основанные на применении методов функционального анализа, топологических и геометрических методов и в частности, метода функционализации параметра. Эти подходы, которые можно называть операторными, показали свою эффективность в работах М.М. Вайнберга, П.П. Забрейко, М.А. Красносельского, B.C. Ко-зякина, Э.М. Мухамадиева, Д.И. Рачинского, E.H. Розенвассера, В.А. Треногими. М.Г. Юмагулова и других математиков (см. [1,2,9,18,20,23,24,26,27, 29-31,38,39,46,49,58-62,66]). На основе разработанных ими методов удалось решить ряд важных для теории и практики задач, в частности, классифици-

ровать основные типы локальных бифуркаций в нелинейных динамических системах, получить эффективные признаки различных ветвлений и бифуркаций, провести анализ устойчивости решений, предложить методы построения решений и др.

Цели и задачи. Основной целью настоящей работы является разработка общих подходов для получения новых формул для вычисления ляпунов-ских величин, показателей транскритичности и аппроксимаций центральных многообразий, основанных на операторных методах исследования локальных бифуркаций в нелинейных динамических системах. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: обосновать операторные методы исследования локальных бифуркаций в задаче получения новых бифуркационных формул в терминах исходных уравнений, получить бифуркационные формулы в задачах об основных сценариях локальных бифуркаций точек равновесия нелинейных динамических систем с непрерывным и дискретным временем.

Методы исследования. В работе использованы методы теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений, теории локальных бифуркаций, методы малого параметра, операторные методы решения нелинейных уравнений с параметрами.

Научная новизна: Все полученные в работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. В работе предложен и обоснован общий подход для вычисления ляпуновских величин и приближенного построения центральных многообразий нелинейных динамических систем в терминах исходных уравнений. Полученные бифуркационные формулы могут быть использованы для анализа локальных бифуркаций в динамических системах с непрерывным и дискретным временем. Полученные результаты доведены до расчетных формул и программ численного построения бифуркационных формул.

Основные положения, выносимые на защиту. В работе получены следующие результаты:

1. Дано обоснование операторным методам исследования локальных би-

фуркаций в окрестностях негиперболических точек равновесия нелинейных динамических систем, позволяющих получить новые бифуркационные формулы в терминах исходных уравнений.

2. Получены новые формулы для вычисления ляпуновских величин и показателей транскритичности в задачах об основных сценариях локальных бифуркаций в нелинейных динамических системах с непрерывным и дискретным временем.

3. Получены новые формулы для второй и третьей аппроксимаций центральных многообразий в основных случаях негиперболичности точек равновесия нелинейных динамических систем с непрерывным и дискретным временем.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность обеспечивается строгостью математических доказательств полученных утверждений. Приводятся примеры, иллюстрирующие применение полученных бифуркационных формул в задачах исследования локальных бифуркаций динамических систем с непрерывным и дискретным временем. Результаты работы докладывались:

1. на Всероссийской конференции с международным участием "Теория управления и математическое моделирование", посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (г. Ижевск, Удмуртский государственный университет, 09-11 июня 2015 г.);

2. на Международной научной конференции "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ" (г. Уфа, БашГУ, 01-03 октября 2015г.);

3. на 3-ей международной конференции "Устойчивость и процессы управления", посвященная 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В. И. Зубова (г. Санкт-Петербург, 5-9 октября 2015 г.);

4. на Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (г. Уфа, БашГУ, 27 сентября-01 октября 2015 г.);

5. на Международной научной конференции "Уфимская осенняя математическая школа-2019" (г. Уфа, БашГУ, 16-19 октября 2019 г.);

6. на Международной научной конференции "Уфимская осенняя математическая школа-2020" (г. Уфа, БашГУ, 11-14 ноября 2020 г.);

7. на семинарах кафедр математического анализа и дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (руководители: профессор З.Ю. Фазуллин, профессор М.Г. Юмагулов, г. Уфа, БашГУ, 2018-2023 гг.);

8. на семинаре отдела динамических систем Института математики и механики имени H.H. Красовского УрО РАН (руководители: член-корреспондент РАН В.Н. Ушаков, профессор A.M. Тарасьев, г. Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2021 г.);

9. на Международной научной конференции "Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения" (г. Уфа, Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, 14-18 марта 2022 г.);

10. на общегородском семинаре им. A.M. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с вычислительным центром УФИЦ РАН (руководители: профессор Л.А. Калякин, профессор В.Ю. Новокшенов, г. Уфа, ИМВЦ УФИЦ РАН, 18 октября 2022 г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК и индексируемых Web of Science и Scopus [100-103], 1 - в научно-техническом журнале [105], 9 - в тезисах докладов [106-114]. Также получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ [104] (см. также Приложение 1).

Личный вклад. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. В работах [101,102], выполненных в соавторстве с научным руководителем, соискателю принадлежат доказательства утверждений, а также разработка и обоснование алгоритмов приближенного построения центральных

многообразий. При выполнении работы [100], опубликованной в соавторстве, соискателю принадлежат обоснование бифуркационных формул в задачах об основных сценариях локальных бифуркаций в дискретных динамических системах (п. 3), о бифуркации положения равновесия в непрерывных динамических системах (п. 2.2), а также обоснование независимости бифуркационных формул от выбора нормировки векторов в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа в непрерывных динамических системах (п. 2.3, в теоремах 5 и 6). Из совместной работы [100] в диссертации для полноты изложения приведены формулировки вспомогательных утверждений - лемма 3.1 и следствия 3.1, 3.2, которые были получены соавторами.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы разбиты на параграфы. Нумерация формул двойная — первая цифра означает номер главы, вторая — номер формулы в главе. Такая же нумерация принята для лемм, теорем, замечаний, примеров и рисунков. Полный объем диссертации 130 страниц текста с 10 рисунками. Список литературы содержит 114 наименований.

Краткое содержание диссертации. Глава 1 содержит необходимые вспомогательные сведения из теории динамических систем, а также развернутые постановки основных задач.

В §1.1 приводятся необходимые сведения из теории о центральном многообразии для непрерывной динамической системы

х' = ^(х) , ж е ,

где функция Р(ж) является От-гладкой в т ^ 4. Предполагается, что эта система имеет негиперболическую точку равновесия х = 0, т.е. Р(0) = 0 и матрица Якоби А = ^ (0) имеет хотя бы одно чисто мнимое собственное значение. В этом случае система (1.1) в окрестности точки равновесиям = 0 имеет так называемое центральное многообразие. Вся нетривиальная динамика системы в окрестности такой негиперболической точки равновесия сосредоточена на этом центральном многообразии. Исследование качественного поведения системы в окрестности точки равновесия х = 0 можно свести к исследованию редуцированной на центральное многообразие системы, которая будет обладать особенностями исходной системы.

В §1.2 рассматривается непрерывная динамическая система, зависящая от скалярного параметра д :

х' = ^(х,^), ж е , ц, е К,

где функция Р(х, д) является От-гладкой в х К, т ^ 4. Предполагается, что при некотором д = д0 система имеет негиперболическую точку равновесия х = 0, т.е. Р(0,До) = 0 и матрица Якоби А0 = ^(0,д0) имеет хотя бы одно чисто мнимое собственное значение. В этом случае значение д0 является точкой бифуркации системы. При переходе параметра д через д0 в системе в окрестности точки х = 0 возможны различные сценарии бифуркации.

Одними из важнейших характеристик, позволяющих проводить качественный анализ бифуркаций, являются ляпуновские величины. В указанном параграфе приведены понятия ляпуновских величин в следующих основных случаях негиперболичности системы, когда матрица Якоби А0 = Р'х(0,д0) име-

0

±ш0, ш0 > 0. При этом предполагается, что остальные собственные значения матрицы А0 имеют ненулевую вещественную часть.

В §1.3 приводятся известные сведения из теории о центральном многообразии для дискретной динамической системы:

хп+1 = Р (хп), п = 0,1, 2,... , ж е ,

где функция Р (ж) являет ся От-гладкой в т ^ 4. Предполагается, что система имеет негиперболическую точку равновесия х = 0, т.е. Р(0) = 0 и матрица Якоби А = ^Х(0) имеет хотя бы одно собственное значение, равное 1 по модулю. В этом случае, также как и для непрерывной системы, в окрестности точки равновесия х = 0 система имеет центральное многообразие.

Далее, в §1.4 рассматривается дискретная динамическая система, зависящая от скалярного параметра д

хп+1 = Р (хп,ц), п = 0,1,..., х е , д е К,

где функция Р (х,р) являет ся От-гладкой в х К, т ^ 4.

Предполагается, что при некотором д = д0 система (1.17) имеет негиперболическую точку равновесия х = 0, т.е. Р(0,д0) = 0 и матрица Якоби

А0 = ^(0, до) имеет хотя бы одно собственное значение, равное 1 по модулю. В этом случае значение д0 является точкой бифуркации соответствующей системы. При переходе параметра д через д0 в системе (1.17) в окрестности точки х = 0 возможны различные сценарии бифуркации.

Приведены понятия ляпуновских величин в следующих основных случаях негиперболичности системы, когда матрица Якоби А0 = ^(0,д0) имеет либо простое собственное значение 1, либо простое собственное значение —1, либо пару простых собственных значений е±г2эт00, где 90 - иррационально или 00 = р/д^ Гд£ р/д ............. рациональная несократимая дробь, причем д ^ 5. При этом

предполагается, что остальные собственные значения матрицы А0 не равны 1 по модулю.

В §1.5 приводятся развернутые постановки основных задач, изучаемых в диссертации. А именно: задача получения новых формул для построения аппроксимации центрального многообразия; задача получения формул для расчета ляпуновских величин и показателей транскритичности для основных сценариев локальных бифуркаций динамических систем в терминах исходных уравнений.

Основные результаты работы содержатся в главах 2 и 3.

Глава 2 посвящена разработке общей операторной схемы построения аппроксимаций второго и третьего порядка центральных многообразий динамических систем с непрерывным и дискретным временем.

§2.1 посвящен вопросам построения аппроксимаций центрального многообразия для непрерывных динамических систем. В пп. 2.1.1, 2.1.2 приведены постановка задачи и вспомогательные сведения. В тт.2.1.3, 2.1.4 приводятся вспомогательные обозначения и понятие гомологического уравнения, которое возникает в задаче аппроксимации центрального многообразия. П.2.1.5 посвящен спектральным свойствам гомологического уравнения. В п.2.1.6 приводится доказательство теоремы о разрешимости гомологического уравнения. На основе этого утверждения в работе получены новые формулы для аппроксимации центрального многообразия в окрестности негиперболической точки равновесия системы.

В п. 2.1.7 описан алгоритм решения гомологического уравнения. В пп.

2.1.8, 2.1.9 рассмотрены частные случаи негиперболичности точки равновесия системы. Получены формулы аппроксимаций второго и третьего порядка центрального многообразия. Продемонстрировано применение предложенной схемы на модельных примерах.

В §2.2 приведены результаты в задаче построения центральных многообразий дискретных динамических систем. Структура параграфа аналогична структуре параграфа, посвященной непрерывным динамическим системам.

Глава 3 посвящена разработке общей операторной схемы исследования локальных бифуркаций в динамических системах со скалярным параметром, позволяющей вычислять ляпуновские величины и показатели транскритичности в терминах исходных уравнений.

§3.1 посвящен задаче получения формул для расчета ляпуновских величин и показателей транскритичности для непрерывных динамических систем. В п. 3.1.1 дана постановка задачи. В п. 3.1.2 приведены схемы получения формул расчета ляпуновских величин для бифуркации кратного равновесия. В пп. 3.1.3 - 3.1.4 рассмотрены основные возможные сценарии бифуркации кратного равновесия, предложены формулы расчета показателей транскритичности. На основе полученных новых формул приведены утверждения, которые позволяют проводить качественный анализ бифуркаций системы. Далее в п. 3.1.5 рассматривается случай бифуркации Андронова Хопфи. Здесь также получены формулы расчета ляпуновских величин и показателей транскритичности. На основе полученных новых формул приведены утверждения, позволяющие проводить качественный анализ бифуркации Андронова-Хопфа.

В §3.2 исследуется задача получения формул для расчета ляпуновской величины и показателя транскритичности для дискретных динамических систем. Структура параграфа аналогична структуре параграфа§3.1, посвященной непрерывным динамическим системам.

.....I......I с^Т^с"^1 -в-

Бифуркационные формулы в задачах нелинейной динамики

В главе приводятся необходимые вспомогательные сведения из теории динамических систем. Приводятся понятия центральных многообразий для непрерывных и дискретных динамических систем. Для систем, зависящих от параметра, описаны основные сценарии локальных бифуркаций в окрестностях негиперболических точек равновесия. Приведены понятия ляпуновских величин. В конце главы приводятся постановки основных задач, изучаемых в диссертации.

1.1 Теорема о центральном многообразии: непрерывные динамические системы.

Рассмотрим непрерывную динамическую систему:

х' = ^(м) , х е , (1.1)

где функция Р(ж) является От-гладкой в т ^ 4.

Пусть система (1.1) имеет точку равновесиям = 0, т.е. Р(0) = 0. Предполагается, что точка равновесиям = 0 системы (1.1) является негиперболической, т.е. матрица Якоби А = Р'х (0) имеет хотя бы одно чисто мнимое собственное значение1. В этом случае в окрестности точки равновесиям = 0 системы (1.1)

1 Здесь и ниже под термином "чисто мнимое собственное значение" будет пониматься собственное значение вида Л = гш, где ш е Д; в частности, собственное значение Л = 0 также будет считаться чисто мнимым.

существует так называемое центральное многообразие. Приведем в краткой форме соответствующие сведения.

Пусть спектр а матрицы А состоит из двух непустых частей: а = а0 и а0, где а0 содержит собственные значения, вещественные части которых равны нулю, а а0 - остальные собственные значения. Множество а0 также состоит из двух частей (одна из которых может быть пустой): а0 = о— и а+, где множество о— содержит собственные значения, вещественные части которых отрицательны, а а+ - собственные значения, вещественные части которых положительны. Обозначим через Е0, Е— и Е + - корневые подпространства матрицы Д отвечающие, соответственно, частям а"0, о— и а+ ее спектра. Пусть к0, к- и - это размерности подпространств Е0, Е— и Е + ; тогда к0+к—+к+ = Ж и 1 < к0 < Ж - 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фазлытдинов Марат Флюрович, 2023 год

Список литературы

[1] Айзенгендлер, П.Г. О ветвлении периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием, I / П.Г. Айзенгендлер, М.М. Вайн-берг // Изв. вузов. Матем. - 1969. - № 10. - С. 3-10.

[2] Айзенгендлер, П.Г. О ветвлении периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием, II / П.Г. Айзенгендлер, М.М. Вайн-берг // Изв. вузов. Матем. - 1969. - № 11. - С. 3-12.

[3] Арнольд, В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. - Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 400 с.

[4] Арнольд, В.И. Лекции о бифуркациях и нереальных семействах / В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. - 1972. - Т. 27, № 5. - С. 119-184.

[5] Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнений / В.И. Арнольд. - Москва: МЦНМО, 2014. - 341 с.

[6] Баутин, H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости / H.H. Баутин. - Москва-Ленинград: О Г ИЗ Гостехиздат, 1949. - 164 с.

[7] Брюно, А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений / А.Д. Брюно // Труды ММО. - 1971. - Т. 25. - С. 119-262; - 1972. -Т. 26. - С. 199-239; - 1974. - Т. 216. - С. 253-256.

[8] Брюно, А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А.Д. Брюно. - Москва: Наука, 1979. - 252 с.

[9] Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. - Москва: Наука, 1969. - 527 с.

[10] Ван, Д. Нормальные формы h бифуркации векторных полей на плоскости / Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. - Москва: МЦНМО, 2005. - 416 с.

[11] Волокитип, Е.П. О поведении ляпуновских величин сложного фокуса для систем, близких к системе с нильпотентной линейной частью / Е.П. Волокитип, С.А. Тресков // Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31, № 10. - С. 1704-1706.

[12] Волокитин, Е.П. Об условиях невырожденности для бифуркации Андронова Хопфи / Е.П. Волокитин // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. - 2011. - Т. И, № 1. - С. 3-14.

[13] Воронин, С.М. Секториальная нормализация полугиперболических отображений / С.М. Воронин, П.А. Фомина // Вестник ЧелГУ. - 2013.

16. - С. 94-113.

[14] Вышинский, A.A. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах / A.A. Вышинский, Л.С. Ибрагимова, С.А. Муртазина, М.Г. К).ми-гул on // Уфимск. матем. журн. - 2010. - Т. 2, № 4. - С. 3-26.

[15] Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

[16] Емельянов, C.B. Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации / C.B. Емельянов, С.К. Коровин, H.A. Бобылев. - Москва: Едиториал УРСС, 2002. - 120 с.

[17] Зигель, К.Л. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия / К.Л. Зигель // Математика. - 1961. - Т. 5, № 2. - С. 119-128.

[18] Ибрагимова, Л.С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем / Л.С. Ибрагимова, М.Г. Юмагулов // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 4. -С. 3-12

[19] Ибрагимова, Л.С. Коразмерность локальных бифуркаций динамических систем и их операторных аналогов / Л.С. Ибрагимова, С.А. Муртазина, М.Г. Юмагулов // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН. - 2008.

- № 1. - С. 93-99.

[20] Ибрагимова, Л.С. Асимптотические формулы в задаче построения областей гиперболичности и устойчивости динамических систем / Л.С. Ибрагимова, И.Ж. Мустафина, М.Г. Юмагулов // Уфимск. матем. журн.

- 2016. - Т. 8, № 3. - С. 59-81.

[21] Калякин, Л.А. Асимптотика решения дифференциального уравнения при динамической бифуркации типа "седло-узел" / Л.А. Калякин // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 2019. - Vol. 59, № 9. -Р. 1516-1531.

[22] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - Москва: Мир, 1975. - 740 с.

[23] Козякин, B.C. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации / B.C. Козякин, М.А. Красносельский // Докл. АН СССР.

- 1980. - Т. 254, № 5. - С. 1061-1064.

[24] Красносельский, A.M. О числе неограниченных ветвей решений в окрестности асимптотической точки бифуркации / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Функциональный анализ и его приложения.

- 2005. - Т. 39, № 3. - С. 37-53.

[25] Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. - Москва: Наука, 1966. -332 с.

[26] Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко [и др.]. - Москва: Наука, 1969. - 456 с.

[27] Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. - Москва: Наука, 1975. - 512 с.

[28] Красносельский, М.А. Бифуркационные значения параметров в вариационных задачах / М.А. Красносельский, Э.М. Мухамадиев, A.B. Покровский // Докл. АН СССР. - 1980. - Т.255, № 2. - С. 282-286.

[29] Красносельский, М.А. Функционализация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа / М.А. Красносельский, H.A. Кузнецов, М.Г. Юмагулов // Автоматика и телемеханика. - 1996. Л'° 11. С. 22-28.

[30] Красносельский, М.А. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений / М.А. Красносельский, М.Г. Юмагулов // ДАН России. - 1999. - Т. 365, № 2. - С. 162-164.

[31] Красносельский, A.M. Нелинейная бифуркация Хопфа / A.M. Красносельский, H.A. Кузнецов, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. - 2000. -Т. 372, № 4. - С. 455-458.

[32] Кузнецов, H.A. Алгоритм исследования устойчивости периодических колебаний в задаче о бифуркации Андронова Хопфа / H.A. Кузнецов, М.Г. Юмагулов, И.В. Шарафутдинов // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 12. - С. 47-52.

[33] Кузнецова, O.A. Шестая и седьмая ляпуновские величины для системы Льенара / O.A. Кузнецова // Вестник Санкт-Петербургского университета. - 2010. - Т. 10, № 4. - С. 25-29.

[34] Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. - Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1950. - 472 с.

[35] Леонов, Г.А. Прямой метод вычисления ляпуновских величин двумерных динамических систем / Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, Е.В. Кудряшова // Тр. И ММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 1. - С. 119-126.

[36] Леонов, Г.А. Современные методы символьных вычислений: ляпуновские величины и 16-я проблема Гильберта / Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, Е.В. Кудряшова, O.A. Кузнецова // Труды СПИИРАН. - 2011. - Т. 1, ..V« 16. - С. 5-36.

[37] Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. - Москва: Мир, 1980. - 368 с.

[38] Мухамадиев, Э.М. О вычислении индекса особой точки конечномерного векторного поля / Э.М. Мухамадиев // Доклады АН Тадж.ССР. - 1967.

- Т. 10, № 3. - С. 6-9.

[39] Мухамадиев, Э.М. Приближенный метод построения почти периодических решений систем линейных дифференциальных уравнений в случае резонанса / Э.М. Мухамадиев, М. Собиров, М.Г. Юмагулов // Доклады АН Респ.Тадж. - 2006. - Т. 49, № 7. -С. 607-612.

[40] Никульчев, Е.В. Качественное исследование управляемых систем с нелинейной динамикой на центральном многообразии / Е.В. Никульчев // Вести. МГАПИ. Естеств. и техн. науки. - 2006. Л'° 1. С. 150-161.

[41] Никульчев, Е.В. Геометрический подход к моделированию нелинейных систем по экспериментальным данным / Е.В. Никульчев. - Москва: МГУП, 2007. - 162 с.

[42] Никульчев, Е.В. Построение алгоритмов программного управления редуцированными на центральное инвариантное многообразие системами / Е.В. Никульчев // Автоматизация и современные технологии. - 2007.

- № 1. - С. 20-24.

[43] Плисс, В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений / В.А. Плисс. - Москва: Наука, 1977. - 304 с.

[44] Плисс, В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения /

B.А. Плисс // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1964. - Т. 28, № 6. -

C. 1297-1324.

[45] Ризниченко, Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. 2-е изд. испр. и доп. / Г.Ю. Ризниченко. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. - 560 с.

[46] Розенвассер, E.H. Операторные методы и колебательные процессы / E.H. Розенвассер, С.К. Воловодов. - М.: Наука, 1985. - 312 с.

[47] Ряшко, Л.Б. Стохастические аттракторы нелинейных динамических систем Л.Б. Ряшко, H.A. Башкирцева. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2010. - 252 с.

[48] Серебрякова, H.H. О поведении динамической системы с одной степенью свободы вблизи тех точек границы области устойчивости, где безопасная граница переходит в опасную /H.H. Серебрякова // Известия АН СССР. ОТН Механика и машиностроение. - 1959. - Т. 2. - С. 178-182.

[49] Треногин, В.А. Возмущение линейного уравнения малым нелинейным слагаемым / В.А. Треногин // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 140, № 2. -С. 311-313.

[50] Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэс-сард, Н. Казаринов, И. Вэн. - Москва: Мир, 1985. - 280 с.

[51] Шайхуллина, П.А. Функциональные инварианты типичных ростков полугиперболических отображений / П.А. Шайхуллина, С.М. Воронин // Челябинский физико-математический журнал. - 2017. - Т. 2, № 4. -С. 447-455.

[52] Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л.О. Чуа. -Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2004. - 416. с.

[53] Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л.О. Чуа. -Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 548 с.

[54] Шошитайшвили, А.Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки / А.Н. Шошитайшвили // Тр. семинара имени И. Г.Петровского. - 1975. ..V« 1. С. 279-309.

[55] Щуко, С.Д. Вычисление ляиуновских величин с помощью ЭВЦМ / С.Д. Щуко // Труды Горьковского инст. инж. водн. трансп. - 1968. -№ 94. - С. 97-109.

[56] Щуко, С.Д. К проблеме различения центра и фокуса / С.Д. Щуко // Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 203, № 5. - С. 1008-1010.

[57] Щуко, С.Д. Реализация на ЭВМ алгоритма различения центра и фокуса / С.Д. Щуко // Труды Горьковского инст. инж. водн. трансп. - 1973. -№ 342. - С. 62-69.

[58] Юмагулов, М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах / М.Г. Юмагулов // Доклады АН. - 2009. - Т. 424, № 2. - С. 177-180.

[59] Юмагулов, М.Г. Локализация языков Арнольда дискретных динамических систем / М.Г. Юмагулов // Уфимск. матем. журн. - 2013. - Т. 5, № 2. - С. 109-131.

[60] Юмагулов, М.Г. Исследование основных сценариев бифуркаций функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа / М.Г. Юмагулов, Д.А. Якшибаева // Уфимск. матем. журн. - 2014. -Т. 6, № 2. - С. 104-112.

[61] Юмагулов, М.Г. Метод функционализации параметра в задаче о седло-узловых бифуркациях динамических систем / М.Г. Юмагулов, Э.С. Имангулова, // Автомат, и телемех., - 2017. - № 4. - С. 63-77.

[62] Юмагулов, М.Г. Методы исследования устойчивости линейных периодических систем, зависящих от малого параметра / М.Г. Юмагулов, Л.С. Ибрагимова, А.С. Белова // Итоги науки и техн. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. - 2019. - Т. 163. - С. 13-126.

[63] Юмагулов, М.Г. Первые ляпуновские величины и основные сценарии бифуркаций для неавтономных периодических динамических систем / М.Г. Юмагулов, C.B. Акманова // Вестник Башкирского университета. - 2021. - Т. 26, №3. - С. 560-564.

[64] Bergeot, B. Scaling law for the slow flow of an unstable mechanical system coupled to a nonlinear energy sink / B. Bergeot // Journal of Sound and Vibration. - 2021. - Vol. 503. - P. 116109.

[65] Carr, J. The application of centre manifolds to amplitude expansions. I. Ordinary differential equations / J. Carr, R.G. Muncaster // Journal of Differential Equations. - 1983. - Vol. 50, № 2. - P. 260-279.

[66] Diamond, P. Stability of large cycles in a nonsmooth problem on the Hopf bifurcation at infinity / P. Diamond, D. Rachinskii, M. Yumagulov // Nonlinear Anal. Theory. Meth. Appl. 2000. - Vol. 16, № 4. - P. 79-92.

[67] Diekmann, O. Delay equations: functional, complex, and nonlinear analysis. Applied mathematical sciences / O. Diekmann, S.A. Van Gils, S.M.V. Lunel, H.-O. Walther. - New York:Springer-Verlag, 1995. - 536 p.

[68] Freire, E. An algorithm for symbolic computation of center manifolds / E. Freire, G. Estanislao, E. Ponce, L.G. Franquelo // ISSAC: International symposium on symbolic and algebraic computation. - Rome (Italy), 1988. -P. 218-230.

[69] Dong, T. Hopf bifurcation analysis of reaction-diffusion neural oscillator system with excitatory-to-inhibitory connection and time delay / T. Dong, W. Xu, X. Liao // Nonlinear Dynamics. - 2017. - Vol. 89, № 4. -P. 2329-2345.

[70] Gine, J. Center problem in the center manifold for quadratic differential systems in R3 / J. Gine, C. Vails // Journal of Symbolic Computation. -2016. - Vol. 73. - P. 250-267.

[71] Haasdonk, B. Greedy kernel methods for center manifold approximation / B. Haasdonk, B. Hamzi, G. Santin, D.Wittwar // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. - Springer, Cham, 2020. -P. 95-106.

[72] Hale, J.K. Theory of functional differential equations. Applied mathematical sciences / J.K. Hale. - New York: Springer-Verlag, 1977. - 366 p.

[73] Hamzi, B. Control of center manifolds / B. Hamzi, W. Kang, A.J. Krener // Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control. - Maui(USA), 2003. - Vol. 3. - P. 2065-2070.

[74] Iooss, G. Topics in Bifurcation Theory and Applications / G. Iooss, M. Adelmeyer. - Singapore: World Scientific, 1992. - 168 p.

[75] Haragus, M. Local bifurcations, center manifolds and normal forms in infinite-dimensional dynamical systems / M. Haragus, G. Iooss. - London: Springer, 2011. - 340 p.

[76] Henry, D. Geometric theory of semilinear parabolic equations. Lecture notes in mathematics / D. Henry. - Berlin: Springer-Verlag, 1981. - 350 p.

[77] Hirsch, M.W. Invariant manifolds. Lecture notes in mathematics / M.W. Hirsch, C.C. Pugh, M. Shub. - Berlin: Springer-Verlag, 1977. - 150 p.

[78] Hooton, E. Sliding Hopf bifurcation in interval systems / E. Hooton, Z. Balanov, W. Krawcewicz, D. Rachinskii // Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2017. - Vol. 37, № 7. - P. 3545-3566.

[79] Kalyakin, L.A. Asymptotics of Andronov-Hopf Dynamic Bifurcations / L.A. Kalyakin // Journal of Mathematical Sciences. - 2022. - № 260.

- P. 756-773.

[80] Kalyakin, L.A. Asymptotics of Dynamical Saddle-node Bifurcations / L.A. Kalyakin // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. - 2022. - Vol. 18, №1.-P. 119-135.

[81] Kang, W. Bifurcation control via state feedback for systems with a single uncontrollable mode / W. Kang // SIAM J. Control Optimization. - 2000.

- Vol. 38, № 5. - P. 1428-1452.

[82] Kelley, A. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds / A. Kelley // Journal of Differential Equations. - 1967. - Vol. 3, № 4. - P. 546-570.

[83] Kuznetsov, N.V. Lyapunov quantities, limit cycles and strange behavior of trajectories in two-dimensional quadratic systems / N.V. Kuznetsov,

G.A. Leonov // Journal of Vibroengineering. - 2008. - Vol. 10, № 4. -P. 460-467.

[84] Kuznetsov, Y.A. Elements of applied Bifurcation Theory / Y.A. Kuznetsov.

- 2nd ed. - New-York: Springer, 1998. - 593 p.

[85] Li, J. Hilbert's 16th problem and bifurcation of planar polynomial vector fields / J. Li // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2003. -Vol. 13, № 1. - P. 47-106.

[86] Lynch, S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert's sixteenth problem / S. Lynch // Differential equations with symbolic computations. - 2005. - P. 1-26.

[87] Moirogiannis, D. A Center Manifold Reduction Technique for a System of Randomly Coupled Oscillators / D. Moirogiannis, K. Hayton, M. Magnasco // Cornell University Preprints. arXiv: 1904.00892 [math.DS], - 2019. -P. 1-43.

[88] Nechak, L. Robust analysis of uncertain dynamic systems: combination of the centre manifold and polynomial chaos theories / L. Nechak, S. Berger, E. Aubry // WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS. - 2010. - Vol. 9, № 4. - P. 386-395.

[89] Poincare, H. Memoire sur les courbes definies par lesequations diffeentielles / H. Poincare // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. - 1881.

- Vol. 8. - P. 251-286; - 1882. - Vol. 7. - P. 375-422; - 1885. - Vol. 1. -P. 167-244; - 1886. - Vol. 2. - P. 151-217.

[90] Poincare, H. Sur les problem des trois corps et les equations de la dinamique / H. Poincare // Acta Mathematica. - 1890. - Vol. 12. - P. 1-270.

[91] Potzsche, C. Taylor approximation of integral manifolds / C. Potzsche, M. Rasmussen // Journal of Dynamics and Differential Equations. - 2006.

- Vol. 18, № 2. - P. 427-460.

[92] Qesmi, R. Center manifolds and normal forms for a class of retarded functional differential equations with parameter associated with Fold-Hopf

singularity / R. Qesmi, M. Ait Babram, M.L. Hbid // Applied Mathematics and Computation. - 2006. - Vol. 181, № 1. - P. 220-246.

[93] Qesmi, R. Symbolic computation for center manifolds and normal forms of Bogdanov bifurcation in retarded functional differential equations / R. Qesmi, M. Ait Babram, M.L. Hbid // Nonlinear Analysis. - 2007. -Vol. 66, № 12. - P. 2833-2851.

[94] Sandstede, B. Dynamics of spiral waves on unbounded domains using center-manifold reductions / B. Sandstede, A. Scheel, C. Wulff // Journal of Differential Equations. - 1997. - Vol. 141, № 1. - P. 122-149.

[95] Siegmund, S. Normal forms for nonautonomous differential equations / S. Siegmund // Journal of Differential Equations. - 2002. - Vol. 178, № 2. -P. 541-573.

[96] Van Strien, S.J. Center manifolds are not / S.J. Van Strien // Mathematische Zeitschrift. - 1979. - Vol. 166. - P. 143-145.

[97] Vanderbauwhede, A. Centre manifolds, normal forms and elementary bifurcations / A. Vanderbauwhede // Dynamics Reported. - 1989. - Vol. 2. - P. 89-169.

[98] Yoccoz, J.-C. Linearisation des germes de diffeomorphismes holomorphes de (C, 0) / J.-C. Yoccoz // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. - 1988. - Vol. 306, ..V" 1. P. 55-58.

[99] Yu, P. Computation of normal forms via a perturbation technique / P. Yu // Journal of Sound and Vibration. - 1998. - Vol. 211, № 1. - P. 19-38.

Публикации автора диссертации

[100] Гусарова, Н.И. Операторные методы вычисления ляиуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем /Н.И. Гусарова, С.А. Муртазина, М.Ф. Фазлытдинов, М.Г. Юмагулов // Уфимск. матем. журн. - 2018. - Т. 10, № 1. - С. 25-49.

Переводная версия:

Gusarova, N.I. Operator methods for calculating Lyapunov values in problems on local bifurcations of dynamical systems / N.I. Gusarova, S.A. Murtazina, M.F. Fazlytdinov, M.G. Yumagulov // Ufa Math. J. - 2018.

- Vol. 10, № 1. - P. 25-48.

[101] Юмагулов, М.Г. Бифуркационные формулы и алгоритмы построения центральных многообразий дискретных динамических систем / М.Г. Юмагулов, М.Ф. Фазлытдинов // Изв. вузов. Матем. - 2019. - № 3.

- С. 72-89.

Переводная версия:

Yumagulov, M.G. Bifurcation formulas and algorithms of constructing central manifolds of discrete dynamical systems. / M.G. Yumagulov, M.F. Fazlytdinov // Russ. Math. (Iz. VUZ). - 2019. - Vol. 63, № 3. -P. 62-77.

[102] Юмагулов, М.Г. Приближенные формулы и алгоритмы построения центральных многообразий динамических систем / М.Г. Юмагулов, М.Ф. Фазлытдинов // Автомат, и телемех. - 2020. 1. О. 34-51.

Переводная версия:

Yumagulov, M.G. Approximate formulas and algorithms for constructing central manifolds of dynamic systems / M.G. Yumagulov, M.F. Fazlytdinov // Autom. Remote Control. - 2020. - Vol. 81, № 1. -P. 27-40.

[103] Fazlytdinov M.F. On Solvability of Homological Equations in the Problem of Center Manifold Approximation / M. F. Fazlytdinov // Lobachevskii Journal of Mathematics - 2023. - Vol. 44, № 3. - P. 1153-1161.

[104] Фазлытдинов, М.Ф. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2021617184 "Численное построение центрального многообразия нелинейной динамической системы в окрестности негиперболической точки равновесия"/ М.Ф. Фазлытдинов // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). Зарегистрировано 11.05.2021.

[105] Фазлытдинов, М.Ф. Признаки устойчивости циклов в задаче о языках Арнольда / М.Ф. Фазлытдинов, М.Г. Юмагулов // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах.

- 2014. - № 2. - С. 19-23.

[106] Фазлытдинов, М.Ф. Признаки бифуркаций субгармонических колебаний нелинейных динамических систем / М.Ф. Фазлытдинов // Теория управления и математическое моделирование: Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова, Ижевск, 09 - 11 июня 2015 г. - Ижевск: Удмуртский государственный университет, 2015.

- С. 137-138.

[107] Фазлытдинов, М.Ф. Бифуркации и устойчивость субгармонических колебаний динамических систем / М.Ф. Фазлытдинов // Устойчивость и процессы управления: материалы III международной конференции, Санкт-Петербург, 05-09 октября 2015 г. - Санкт-Петербург: Издательский дом Федоровой Г.В., 2015. - С. 95-96.

[108] Фазлытдинов, М.Ф. Бифуркация субгармонических решений систем дифференциальных уравнений / М.Ф. Фазлытдинов // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: Тезисы докладов VIII Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 27 сентября - 01 октября 2015 г. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2015. - С. 238-239.

[109] Фазлытдинов, М.Ф. Бифуркация субгармонических решений систем дифференциальных уравнений / М.Ф. Фазлытдинов // Спектральные

задачи, нелинейный и комплексный анализ: Сборник тезисов международной научной конференции. Ответственный редактор Фазуллин З.Ю., Уфа, 01-03 октября 2015 г. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2015. - С. 137-138.

[110] Фазлытдинов, М.Ф. О разрешимости гомологических уравнений в задаче приближенного построения центральных многообразий. /М.Ф. Фазлытдинов // Уфимская осенняя математическая школа: Сборник тезисов Международной научной конференции. Ответственный редактор З.Ю. Фазуллин, Уфа, 16-19 октября 2019 г. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2019. - С. 244-245.

[111] Юмагулов, М.Г. О приближенном построении центральных многообразий динамических систем /М.Г. Юмагулов, М.Ф. Фазлытдинов // Уфимская осенняя математическая школа: Сборник тезисов Международной научной конференции. Ответственный редактор З.Ю. Фазуллин, Уфа, 16-19 октября 2019 г. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2019. - С. 266-267.

[112] Фазлытдинов, М.Ф. Центральное многообразие в математической модель реакции Белоусова-Жаботинского /М.Ф. Фазлытдинов // Уфимская осенняя математическая школа - 2020: Сборник тезисов Международной научной конференции. 2 ч,- Уфа: Изд-во Общество с ограниченной ответственностью "Аэтерна", 2020. - С. 125-126.

[113] Фазлытдинов, М.Ф. О гомологическом уравнении в задаче аппроксимации центрального многообразия / М.Ф. Фазлытдинов // Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения: сборник материалов Международной научной конференции. Ответственный редактор Р.Н. Гарифуллин, ИМВЦ УНЦ РАН (Южный Урал, оз. Банное), 14-18 марта 2022 г. - Уфа: "Аэтерна", 2022. - С. 71-72.

[114] Фазлытдинов, М.Ф. Вопрос об устойчивости бифурцирующих точек равновесия в седло-узловой бифуркации /М.Ф. Фазлытдинов // Уфимская осенняя математическая школа. Материалы Международной научной конференции. Отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа, 2022. С. 266-267.

Приложение 1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ