Онтологические основания математики: категориальный анализ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.01, кандидат наук Букин, Дмитрий Николаевич

• Букин, Дмитрий Николаевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Букин, Дмитрий Николаевич

Введение........................................................................................3

Глава 1. Теоретико-методологические основы исследования онтологических оснований математики.............................................18

1.1. Соотношение математики и действительности как ключевая проблема онтологии математики.........................................................18

1.2. Объекты математики в истории философии...............................38

1.3. Онтологические основания математики: концептуализация понятия

....................................................................................................87

Глава 2. Атрибутивная система онтологических оснований математики: структура и развитие.....................................................................124

2.1. Качество, количество и пространство как фундаментальные категории, структурирующие математическое мышление........................124

2.2. Историческое развитие атрибутивной системы онтологических

оснований математики.....................................................................135

Глава 3. Модальная система онтологических оснований математики: структура и развитие.......................................,.......................»,..,.197

3.1. Необходимое и возможное как объекты математики......................197

3.2. Эволюция модальной системы онтологических оснований

математики...................................................................................223

Глава 4. Объекты математики в жизни человека и общества...............238

4.1. Социально-гуманитарные аспекты бытия объектов математики ,...23?

4.2. Онтологические проблемы современного преподавания

математики.......................................................................................265

Заключение.................................................................................296

Список использованной литературы................................................303

Приложения.................................................................................331

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Онтологические основания математики: категориальный анализ»

Введение

Актуальность исследования. Построение целостной научной картины мира, объединяющей философию, математику, естественные и гуманитарные науки представляет собой важную проблему, решение которой призвано помочь человеку найти ответы на актуальные во все времена мировоззренческие вопросы - о смысле жизни, о роли и месте человека в мире, о границах познания и т.д. В значительной степени ответы на эти вопросы связаны с представлениями об онтологических основаниях такой фундаментальной науки, как математика, на языке которой написана «книга природы» (Г. Галилей).

Традиционно изучением оснований математики занимается философия математики, в рамках которой решаются проблемы существования математических объектов, кризиса оснований математики и т.п. Ни по одному из этих вопросов, однако, до сих пор не достигнуто единства понимания. Во-первых, отсутствует единое мнение относительно природы математического объекта; во-вторых, продолжаются споры об универсальных принципах обоснования достоверности математического знания, в качестве которых рассматриваются самоочевидность, интуиция, логическая необходимость, формальная непротиворечивость и т.д. Отвечая на вопрос о природе математики, представители различных направлений либо видят в ней своеобразную «игру ума», порождающего особые конструкции в разуме субъекта (математический конструктивизм), либо связывают с особым трансцендентным миром абстрактных сущностей (платонизм), либо исходят из физикалистской трактовки ее оснований (математический натурализм, операционализм, номинализм).

В настоящее время связь математики с онтологией уже не выглядит столь естественной, как это было несколькими столетиями ранее. С одной стороны, признается, что идеальные по своей природе математические объекты, порождаемые человеческим разумом, имеют статус универсальных и

общезначимых инструментов эффективного описания различных сторон окружающей действительности; с другой стороны, остается открытым вопрос об онтологической укорененности таких объектов, как математические категории, функторы, псевдоструктуры и т.п. Представление о сути и роли онтологизации математики значительно изменилось, а современные математики, в отличие от их предшественников, таких, как Н.И. Лобачевский, А. Пуанкаре, Г. Кантор, А.Н. Колмогоров и др., все реже обращаются к философскому осмыслению своей деятельности. Использование сверхмощных ЭВМ в проверке и доказательстве фундаментальных положений теоретической математики подчас создают иллюзию бессмысленности их онтологического обоснования. Величайшая из точных наук утрачивает признаки объективного знания, все больше трансформируясь в некую прикладную научную: область, приоритетом которой является инструментальное преобразование мира,. но не его осмысление. Особенно это заметно в сфере преподавания математики,, где остро стоят проблемы математической дефиниции, интерпретации предмета математики, развития у учащихся аподиктического . и , вероятностного мышления и т.д. г ;

На фоне пристального внимания к математическому знанию как к эпистемологическому феномену открытым остается вопрос . о. внутренней логике самого .постигаемого бытия, наталкивающий на мысль;:. об онтологической обусловленности внеопытного математического .познания мира.. На наш взгляд, в современной философии назрела , необходимость «возвращения» структур реального мира в процесс обоснования математического знания. В этой связи особую актуальность приобретает .тема онтологических оснований математики как формы данности объективной реальности познающему, субъекту. .; • . ; . .- :•.•.-••'

Степень разработанности проблемы. Взаимосвязь математики.. и реального мира изучена в философии нё так глубоко, как, например, вопросы существования математического объекта, кризиса. оснований, математики. или

применимости математики в естествознании. Тем не менее, эта тема частично затрагивалась представителями многих философских систем, школ, направлений с древнейших времен до сегодняшнего дня.

Начиная с Античности, основными противоборствующими направлениями, в рамках которых рассматривался вопрос о соотношении математики и объективной реальности, являются априоризм и эмпиризм. Первая традиция восходит к пифагорейцам и Платону, вторая - к Аристотелю1. Некритическое развитие «линии» Платона и Аристотеля получают в Средние века. Платону следуют средневековые реалисты2, а основные положения математического эмпиризма Аристотеля практически без изменений мы

о

находим у Фомы Аквинского . С опорой на первую линию впоследствии были заложены основы программы всеобщей математизации науки4.

В Новое время априористскую традицию продолжили рационалисты5. Их оппонентом, стоящим на позициях математического эмпиризма, выступал Дж. Беркли6. Оригинальную версию математического априоризма предложил И. Кант, положивший начало конструктивистскому направлению в философии математики7.

В XIX—XX вв. проблема взаимосвязи математики и реального мира частично затрагивается в математическом эмпиризме Дж. Милля и Б. Рассела8,

1 См., например: Платон. Собрание сочинений. В 4 т. Т. 3. М. : Мысль, 1994. 654 е.; Аристотель. Метафизика. Переводы. Комментарии. Толкования. СПб. : Алетейя, 2002; Киев : Эльга, 2002. 826 е.; Ямвлцх. О пифагоровой жизни. М.: Алетейя, 2002. 192 с.

2 См., например: Гуго Сен-Викторский. Семь книг назидательного обучения, или Дидаскаликон. В 2 т. Т. 2 // Антология педагогической мысли христианского Средневековья. М., 1994. С. 49-92; Гайденко В. П., Смирнов Г. А. Западноевропейская наука в средние века. Общие принципы и учение о движении. М.: Наука, 1989. 352 с.

3 См.: Фома Аквинский. Сумма теологии. Часть 1. Вопросы 1-43. Киев : Ника-центр, Эльга, Элькор-МК, 2002. 560 с.

4 См., например: Галилей Г. Избранные труды. В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1964. 640 с.^Кузанский Н. Сочинения в:2 т, Т. 1. М. : Мысль, 1979. 488 е.; Леонардо да Винчи. Избранные произведения. В 2 т. Т. 1. М. : Изд-во Студии Артемия Лебедева, 2010. 444 с.

5 См.: Декарт Р. Сочинения. В 2 т. Т. 2. M. : Мысль, 1994. 663 е.; Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4 т. Т. 2. М. : Мысль, 1983. 686 е.; Спиноза Б. Избранные произведения. В 2 т. Т. 1. М. : Государственное издательство политической литературы, 1957.631 с.

6 См.: Беркли Дж. Сочинения. M.: Мысль, 1978. 556 с.

7 См.: Кант И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994. 591 с.

8 См.: Мнлль Дж. Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. M.: Издание Г. А. Лемана, 1914. 8.80 е.; Рассел Б. Введение в математическую философию. Избранные работы. Новосибирск : Изд-во Сибир. ун-та, 2007.264 с. - , "

неоэмпиризме Д. Пойа, М. Паша, А. Мостовского, Л. Кальмара9,

квазиэмпиризме И. Лакатоса10, математическом натурализме П. Мэдди и Ф.

11 1 ^ Китчера , операционализме Ж. Пиаже математическом номинализме С.

Лесневского, Т. Котарбинского, А. Тарского, У. Куайна, Н. Гудмена, Л.

I

Генкина, X. Филда .

Существование объективной математической реальности отстаивает основатель объект-платонизма Г. Фреге14, а также математики-платонисты Г. Кантор, К. Гёдель, Н. Гудман, А. Конн, Р. Пенроуз, Г. Харди, И.Р. Шафаревич, Ш. Эрмит15. Как науку об абстрактных структурах математику рассматривают структуралисты А. Картан, Ж. Дьёдоне, А. Вейль, К. Шевалле, Л. Шварц, Ж.-П. Серр, А. Гротендик и др., объединившиеся под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки16. Антиплатонистский вариант математического структурализма предлагают М. Резник и С. Шапиро17, отказывающие математическим объектам в онтологической независимости.

Математический конструктивизм получает значительное . развитие , в интуиционизме Л.. Брауэра, Г. Вейля и А. Гейтинга18, а также полуинтуиционизме Л. ' Кронекера, Э. Бореля, А. Лебега, А. Пуанкар.е,

9 См., например: Пома Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М. : Наука, 1975, 464 с.;. Pasph М. Vorlesungen uber neuere Geometric. Lpz., 1882. 204 s.; Kalmar L. Foundations of mathematics - whither now? // Problems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1967. P. 187-195. -

10 См.: Lakatos I. A renaissance of empirism in the recent philosophy of mathematics // Problems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1967. P. 199-203.

11 См.: Maddy P. Realism in Mathematics. Oxford : Clarendon Press, 1992. 216 p.; Kitcher Ph. The nature of mathematical knowledge. New York ; Oxford : Oxford University Press, 1984.287 p.

12 См.: Пиаже Ж. Избранные психологические труды. M.: Просвещение, 1969. 659 с.

13 См., например: Лесневский С. И. Логические рассуждения: I. Опыт обоснования онтологического закона противоречия. II. К анализу экзистенциальных предложений. СПб. : Тип. А. Смолинского, 1913. 91-е.; Гудме'н Н., Куайн У. В. О. На пути к конструктивному номинализму // Способы создания миров. М., 2001.,С. 289-317, Генкин Л. Номиналистический анализ математического языка // Математическая логика и ее применение. М., 1965 С. 216-223; Field Н. Science without numbers. A defence of nominalism. Princeton : Princeton UP, 1980. 130 p.

14 См.: Фреге Г. Основоположения арифметики. Томск : Водолей, 2000. 128 с.

15 См., например: Кантор Г. К учению о трансфинитном // Новые идеи в математике. Сборник шестой. СПб., 1914. С. 90-184; Godel К. What is Cantor's continuum problem? // Amer. Math. Monthly. 194-7. Vol. 54. N 9. P.-515-525, Goodman N.D. Mathematics as an Objective science //Amer. Math. Monthly. 1979. Vol. 86. N 7. P. 540-551.

16 См.: Бурбаки H. Архитектура математики // Математическое просвещение, 1960. № 5. С. 99-112.'. - -

17 См.: Resnik М. D. Proof as a Source of Truth // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. Princeton, 1998. P. 317-336.; Shapiro S. Talking about Mathematics Oxford : Oxford University Press, 2000.3Q8.p.-

18 См.: Brouwer L. E. J. Intuitionism and Formalism // Bullettin (New Series) of the American Mathematical Society Vol. 37. N 1. 1999. P. 55-64; Гейтинг А. Тридцать лет спустя // Математическая логика и ее применения. М., J 965. С. 224-228.; Вейль Г. О философии математики. М; Л. : Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. 128 с.

Ф. Кауфмана и др19. К более современным версиям математического конструктивизма можно отнести советскую школу конструктивной математики (A.A. Марков, H.A. Шанин, А.Г. Драгалин и их ученики)20, концепцию Э. Бишопа" , разработки представителей «брауэровского» (Д. Ван Дален, А. Троэлстра), предикативного (С. Фефермен, X. Фридман) и либерального (П. Мартин-Леф) конструктивизма"", а также исследователей возможностей компьютерного конструирования математических объектов (Т. Тимошко, Р. Херш и др.)23.

Приблизительно в одно время с интуиционистами формалисты Д. Гильберт, П. Бернайс, В. Аккерман и др. разрабатывают свою программу обоснования математики, сводящую суть последней к созданию формально

"24

непротиворечивых конструкции .

Критически восприняв идеи И. Канта и Д. Гильберта, Э. Гуссерль, в рроей философско-математической концепции настаивает на недопустимости рассмотрения математических сущностей как вне опыта, так и в качестве «вещей в себе», утверждая, что они становятся доступными нам благодаря интенциональности25.

Начиная с XIX века можно отметить тенденцию преодоления крайностей математического эмпиризма и математического априоризма в современной философии. Значительную роль в этом отношении сыграл диалектико-

19 См., например: Лебег А. Об измерении величин. M. : Учпедгиз. 1960. 204 е.; Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.530 с.

20 См., например: Марков А. А. О логике конструктивной математики. М. : Знание, 1972. 47 е.; Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М. : Наука, 1979.256 с.; Шанин H. А. О конструктивном понимании математических суждений // Проблемы конструктивного направления в математике. М.; Л., 1958. С. 226-311.

21 См.: Bishop Е. Foundations of Constructive Analysis. New York : McGraw-Hill, 1967. 370 p.

22 См., например: A. S. Troelstra, D. Van Dalen. Constructivism in mathematics. An Introduction. Vol. 1. Amsterdam ; New York ; Oxford ; Tokyo : North-Holland publishing company, 1988. 342 p.; S. Feferman, II. M. Friedman, P. Maddy, J. R. Steel. Does mathematics need new axioms? // The Bulletin of Symbolic Logic. 2000. Vol. 6. N. 4. P. 401446.; P. Martin-Lof. 100 years of Zermelo's axiom of choice: what was the problem with it? // The Computer Journal. 2006. N. 49(3). P. 345-350. - .

23 См.: Т. Tymoczko. The Four-Color Problem and Its Philosophical Significance //New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. Princeton, 1998. P. 243-266.; R. Ilersh. What is Mathematics, really9 NY; Oxford: Oxford University Press, 1999. 343 p.

24 См., например: Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: ОГИЗ ГОСТЕХИЗДАТ, 1948.491 е.; Bernays P. On Platonism in Mathematics // Philosophy of mathematics. New Jersey, 1964. P. 274-278.

25 См.: Гуссерль Э. Начало геометрии. Введение Жака Деррида. М.: Ad Marginem, 1996. 267 с.

материалистический подход. Идеи К. Маркса и Ф. Энгельса26 развили и критически дополнили советские математики и философы А.Д. Александров, М.С. Акперов, В.Ф. Асмус, И.Н. Бурова, Б.В. Гнеденко, Н.И. Жуков, О.И. Кедровский, А.Н. Колмогоров, В.А. Мейдер, В.Н. Молодший, B.C. Лукьянец,

A.Н. Нысанбаев, Ю.А. Петров, В.Я. Перминов, И. Ружа, К.А. Рыбников, Г.И.

Рузавин, Г.Г. Шляхин, С.А. Яновская и др" . Новый взгляд на математическое а

28

priori предложили неоаприористы Г.И. Челпанов, П.С. Юшкевич, Г. Динглер . Наиболее современной концепцией, отличающейся тщательной проработкой онтологического аспекта, выступает праксеологический априоризм

B.Я. Перми нова, согласно которому математическое знание в своей основе опирается на универсальную онтологию, структура которой определяется деятельностной ориентацией мышления29.

Различные аспекты онтологизации математики рассматривались Д.И. Алябьевым, Е.И. Арепьевым, А. Бадью, Н. Гартманом, В.Б. Губиным, Г.Б. Гутнером, С.Л. Катречко, В.Х. Хаханяном, В.В. Целищевщм,

"2 /л

АЛО. Цофнасом, А.Г. Черняковым, A.B. Чусовым, В.А. Янковым. и т.д..

26 См.. Маркс К Математические рукописи. M. : Наука, 1968. 640 е.; Маркс К., Энгельс Ф. M.: Политиздат, 1961. 827 с

27 См , например: Александров А.Д. Математика и диалектика // Сибирский математический журнал. 1970. Т. 11. № 2. С. 243-263.; Бурова И.П. Парадоксы теории множеств и диалектика. М. : Наука, 1976. 176 е.; Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития. Киев : Изд-во при Киевском гос. ун-те, 1974. 342 е.; Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М. : Наука, 1991. 224 е.; Мейдер В.А. Ф. Энгельс и методологические проблемы математики. Саратов : Издательство Саратовского университета, 1985. 111 е.; Нысанбаев А.Н. Диалектика и современная математика. Алма-Ата : Казахстан, 1982. 203 е.; Шляхин Г.Г. Математика и объективная реальность. Ростов : Издательство Ростовского университета, 1977. 144 с ; Ружа И. Основания математики. Киев : Вища школа, 1981. 350 с.

28 См.: Челпанов Г.И. Проблема восприятия пространства в связи с учением об априорности и врождённости. В 2-х ч. Ч. 2. СПб. : Издательство «Лань», 2013. 432 е.; Добронравов C.B. Проблема априоризма в русской философии математики начала XX в. // Математика и опыт. М., 2003. С. 205-219.; Динглер Г: Эксперимент. Его сущность и история // Вопросы философии. 1997 № 12. С. 96-134.

29 См., например: Перминов В.Я. Философия и основания математики. М. : Традиция, 2001. 320 е.-

30 См., например: Гартман H. К основоположению онтологии. М. : Наука, 2003. 640 е.; Губин В.Б. Об отношении математики к реальности // Математика и опыт. М., 2003. С. 106-125; Гутнер Г.Б. Число и онтологические допущения // Число: сб. статей. М., 2009. С. 99-115; Хаханян В.Х. О тезисе Чёрча и принципе униформизации (к заметкам по онтологии математики) // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. М., 2003. С. 203-206; Целшцев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. Новосибирск : Нонпарель, 2003. 240 е.; Черняков А.Г. Математика как формальная онтология. Философия математики: актуальные проблемы // Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. М., 2007. С. 8789.

Проблеме существования математических объектов посвящены работы X. Вана, С.Н. Жарова, К.В. Кирпичникова, В.В. Целищева, Ч. Чихары и др.31

Освещение исторического аспекта онтологических проблем математики проводится работах Р. Баума, Е.А. Беляева. М. Бунге, И.Н. Буровой, С.Н. Бычкова, Л.Я. Жмудя, С. Кенера, B.C. Лукьянца, В.Я. Перминова, К.А. Рыбникова, В.А. Шапошникова, Г.Г. Шляхина, А.П. Юшкевича и т.д.32 Акцент на рассмотрение современных школ при этом делают В.А. Бажанов, А.Г. Барабашев, В.А. Карпунин, В.А. Ладов, Г. Лолли, Н. Мулуд, В.А. Светлов, З.А. Сокулер, Д. Хэлман, Ч. Чихара и др.33

Вклад в категориальный анализ оснований математики, берущий начало в работах Г. Гегеля, внесли исследования А.И. Белоусова, В.П. Бранского, И.Н. Буровой, Н. Гартмана, П.М. Колычева, А.Ф. Кудряшева, И,Д. Невважая, В.Н. Сагатовского, И.С. Тимофеева и т.д.34 . ..

О социокультурной природе математического знания . писали Р.К. Кадыржанов, А.Н. Нысанбаев, Л. Роджерс, М.А. Розов, Р. Херщ'и др,35 Исследования в сфере математического образования, затрагивающие,, в том числе, вопросы онтологии и теории познания, были проведены И.Е, Берлянд, Б.В. Гнеденко, A.A. Ивановым, А.Н. Кричевцом, В.А. Крутецким, В_.А.

31

См., например: Ван X. Процесс и существование в математике // Математическая логика и се применение. М., 1965. С. 315-339; Жаров С.Н. Проблема бытия в контексте математического познания // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. М., 2003. С. 42-45.

32 См., например: Baum R. Philosophy and Mathematics. From Plato to the Present. San Francisco : Freeman, Cooper & Company, 1973. 320 p.; Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М. : Наука, 1987. 133 е.; Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994.495 с.

33 См., например: Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования*. М. : Йзд-во Моск. ун-та, 1991. 160 е.; Лолли Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия. II. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. II. И. Лобачевского. 2012. 299 е.; Мулуд H. Современный структурализм. М. : Прогресс, 1973. 376 е.; Светлов В.А. Философия математики: основные программы обоснования математики XX столетия. М. : КомКнига, 2010. 208 е., Chillara Ch. Nominalism // Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford, 2004. P. 483-514.

34 См., например: Белоусов А.И. Категория количества в «Науке логики Гегеля» и ее интерпретация в свете современной математики // Число: сб. статей. М., 2003. С. 35-66.; Колычев П.М. Онтологическое обоснование начал математики [Электронный ресурс]. URL: https.//sites.google.com/site/ontologica1societv/seminar • (дата обращения: 13.07.2011); Кудряшев А.Ф. Модальные онтологии в математике // Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб., 1999. С. 130-136.; Тимофеев И.С. Методологическое значение категорий «качество» и «количество». М.: Наука, 1972.216 с.

35 См., например: Кадыржанов Р.К. Социально-культурная природа математического познания: автореф. дис. ... д-ра филос. наук. Алма-Ата, 1992. 34 е.; Нысанбаев А.Н. Взаимосвязь оснований и развития математики // Методологический анализ оснований математики. М., 1988. С. 93-96.; Розов ' М.А. . Способ бытця математических объектов // Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. М., 1985. С. 20-35.

Мейдером, Ж. Пиаже, Д. Пойа, В.А. Успенским, А. Фоссом, П. Эрнестом и т.д.36

Подводя итог, можно сказать, что обилие работ по философским проблемам математики свидетельствует об очевидном интересе к данной

тематике. Вместе с тем, проблема отношения математики и объективной реальности

представлена достаточно фрагментарно - ни в одной из программ обоснования математики не было проведено всестороннего философского исследования бытия ее объектов. В современной научной литературе данная проблема не только не получила системной экспликации, но и не была ясно сформулирована на языке философских категорий. Таким образом, на данный момент отсутствует единая концепция онтологических оснований математики. Настоящее диссертационное исследование призвано восполнить-эти пробелы и дать содержательную онтологическую интерпретацию древнейшей из наук.

Объект исследования - математика как специфическая форма,познания мира. . ; ,:..'.. ; ... .

Предмет исследования - взаимосвязь математического знания и объективной действительности, выраженная в онтологических и модальных

категориях. - " . • . .....

Цель, исследования - используя возможности категориального анализа, выявить онтологические основания математического знания. ;.. ,7.-.'.■; ;;. : Для достижения поставленной цели необходимо решить, следующие

исследовательские задачи: ..7_____•....

- проблематизировать отношение между математическим. знанием и действительностью в качестве основного вопроса онтологии * математики, выявить и эксплицировать отношение между объектами математики; как .частью

j6 См., например: Гиедеико Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. М.: Просвещение, 1982. 144 е.; Кричевец А.Н. Кризис математических наук и математического образования:. . эпистемологический подход// Вопросы философии. 2004. № 11. С. 103-115.; Мейдер В.А. Учителю о философских проблемах математики. М.: Прометей, 1989. 213 е.; Успенский В.А. Апология математики. СПб.: Амфора, 2012. 554 е.; Ernest P. The Philosophy of Mathematics Education. London ; New York; Philadelphia : Falmer Press, 1991,341 p.

объективной реальности и математическими объектами как абстрактными конструкциями сознания;

- исследовать онтологическую природу оснований математики;

- уточнить сложившиеся в онтологии теоретические позиции по вопросу о границах доступности объективного мира математическому мышлению;

- осуществить концептуализацию онтологических оснований математики как формы данности объективного мира математическому мышлению;

- рассмотреть эволюцию представлений об онтологических основаниях математики в философском знании;

- определить социально-антропологический статус объектов математики в контексте их значимости для человека и.общества;

продемонстрировать роль математического образования. в формировании объектов математического мышления.

Теоретико-методологическая основа диссертации. В качестве теоретической и методологической базы исследования выступают концептуальные положения, разработанные в трудах отечественных и зарубежных ученых, по онтологии математики. Для решения. поставленных задач были использованы принцип объективности рассмотрения,: системный подход, а также общенаучные методы анализа, синтеза, абстрагирования, Сравнение подходов и тенденций, сложившихся в истории философии по вопросу об отношении математики и объективной реальности, осуществлялось с помощью историко-философского и компаративного методов. Для исследования структуры и особенностей исторического: развития онтологических оснований математики использовались принцип единства исторического и логического, дедуктивный метод, метод восхождения, от абстрактного к конкретному, а также категориальный . анализ. В работе применялись междисциплинарный подход и экстраполяция, предполагающие использование философских, логических и математических . понятий. контексте математического, естественнонаучного и социально-гуманитарного

знания. Кроме того, на всех этапах исследования применялись: принцип диалектической противоречивости, логический анализ, типологизация, дескриптивный метод.

Научная новизна работы определяется тем, что впервые на основе анализа историко-философских, теоретико-методологических и конкретно-научных источников раскрыта сущность и осуществлена концептуализация онтологических оснований математики. Результаты исследования, имеющие научную новизну, состоят в следующем:

1. Проблематизация основного вопроса онтологии математики осуществлена посредством выявления способов данности объективной реальности математическому мышлению. Представлена экспликация понятий «предмет математики», «объект математики» и «математический объект», показаны их различия и взаимосвязь.

2. Выявлена онтологическая природа кризисов оснований математики, их обусловленность ограниченностью представлений о действительности и соответствующих символических описаний.

3. Взгляды представителей ведущих философских школ и течений на проблему соотношения математики и действительности проанализированы в контексте оппозиции математический априоризм — математический эмпиризм.

4. Осуществлена концептуализация онтологических оснований математики, определена их роль в качестве фундаментальных принципов, фиксирующих способ данности объективного мира математическому мышлению. Предложен вариант систематизации онтологических оснований математики, определены их инвариантные единицы.

5. Средствами категориального анализа выявлена специфика онтологических оснований математики на различных этапах развития математического знания.

6. Определен праксеологический, социокультурный, аксиологический и экзистенциальный статус объектов математики, выявлена связь между формированием онтологических установок и эффективностью преподавания математики.

Научная новизна работы раскрывается в следующих положениях, выносимых на защиту:

1. Основной вопрос онтологии математики как частный случай основного вопроса философии — это вопрос об отношении математического знания к объективной реальности, для решения которого необходимо развести понятия «объекты математики» (применительно к которым только и имеет смысл говорить о «данности сознанию») и «математические объекты», представляющие собой абстрактные символические конструкции и системы понятий. Объектом математики как дисциплинарной области знания выступают объективные закономерности и отношения реального мира, принципиально доступные для формализации. Предмет математического знания составляет совокупность объектов, зафиксированных познающим сознанием в виде количественных отношений, пространственных форм и их модальных характеристик.

2. Кризисы оснований математики имеют онтологическую природу: они обусловлены отсутствием в онтологии абстрактных категориальных конструкций, необходимых для описания математических объектов, бытие и становление которых выходит за рамки допустимых в данную эпоху представлений о мире. В этих случаях либо невозможно объяснить существование математических понятий, описывающих объект, либо оказывается неясным, как соотносится с действительностью математический объект, существование которого не доказано.

3. Рассмотрение вопроса о границах доступности объективного мира математическому мышлению в контексте оппозиции математический априоризм - математический эмпиризм позволяет обнаружить ограниченность

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Букин, Дмитрий Николаевич, 2015 год

Список использованной литературы

1. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар ; под. ред. И. Б. Погребысского ; пер. с франц. М. А. Шаталовой и О. П. Шаталова. - Москва : Изд-во «Советское радио», 1970. - 152 с.

2. Акперов, М. С. Некоторые философские проблемы математики : автореф. дис. ... д-ра филос. наук / М. С. Акперов. - Москва, 1972. - 30 с.

3. Александров, А. Д. Математика / А. Д. Александров // Философская энциклопедия. Т. 3. - Москва, 1964. - С. 329-335.

4. Александров, А. Д. Математика и диалектика / А. Д. Александров // Сибирский математический журнал. - 1970. - Т. 11, № 2. - С. 243-263.

5. Александрова, Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений / Н. В. Александрова. - Москва : Изд-во ЛКИ, 2012. - 248 с.

6. Алексеева, Е. Е. Реализация креативной развивающей функции обучения математике в вузе / Е. Е. Алексеева // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. - 2010. - Вып. 5. - С. 79-82.

7. Алябьев, Д. . И. Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма : диссертация ... кандидата философских наук : 09.00.08 / Д. И. Алябьев. - Москва, 2010. - 137 с.

8. Ал-Каши, Дж. Г. Ключ арифметики / Дж. Г. Ал-Каши ; пер. с араб. Б. А. Розенфельда // Ключ арифметики. Трактат об окружности. - Москва : Гос.„изд. техн.-теор. лит., 1956. — 568 с.

9. Арепьев, Е. И. Оправдание математического реализма / Е. И. Арецьев // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. — Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2003. - С. 11-14.

10. Аристотель. Аналитики первая и вторая / Аристотель. — Москва : Госполитиздат, 1952. - 437 с.

11. Аристотель. Метафизика. Переводы. Комментарии. Толкования / Аристотель. - Санкт-Петербург : Алетейя, 2002 ; Киев : Эльга, 2002. - 826 с.

12. Аристотель. Сочинения. В 4 т. Т. 1 / Аристотель. - Москва : Мысль, 1976. -550 с.

13. Арсеньев, А. С. Анализ развивающегося понятия / А. С. Арсеньев, В. С. Библер, Б. М. Кедров. - Москва : Наука, 1967. - 439 с.

14. Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит) / Архимед. - Москва ; Ленинград : ГТИ, 1932. - 106 с.

15. Асмус, В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике / В. Ф. Асмус. - Москва : Мысль, 1965. - 312 с.

16. Афанасьева, В. В. Детерминированный хаос: феноменологическо-онтологический анализ : диссертация ... доктора философских наук : 09,00.01 / В. В. Афанасьева. - Саратов, 2002. - 353 с.

17. Бажанов, В. А. Идея «третьей линии» в дискуссии реализма и антиреализма / В. А. Бажанов // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. — Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2003.-С. 116-120. .

18. Барабашев, А. Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования / А. Г. Барабашев. - Москва : Изд-во Моск. ун-та, 1991. -160 с. . ,

19. Бейлинсон, А. А. Математические структуры и структура математики / А. А. Бейлинсон // Методологический анализ закономерностей развития математики.-М., 1989.-С. 157-168. •

20. Белоусов, А. И. Категория количества в «Науке логики Гегеля» и ее интерпретация в свете современной математики / А. И. Белоусов // Число : сб. статей. - Москва : МАКС Пресс, 2009. - С. 35-66.

21. Беляев, Е. А. Философские и методологические проблемы математики / Е. А. Беляев, В. Я. Перминов. - Москва : Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 217 с.

22. Бергер, П. Социальное конструирование реальности. Трактат по социологии знания / П. Бергер, Т. Лукман. - Москва : Медиум, 1995. - 323 с.

23. Беркли, Дж. Сочинения / Дж. Беркли. - Москва : Мысль, 1978. - 556 с.

24. Берлянд, И. Е. «Числа бывают разные», или о некоторых исходных интуициях, лежащих в основе понятия числа / И. Е. Берлянд // Число: сб. статей. - Москва : МАКС Пресс, 2009. - С. 66-78.

25. Биркгофф, Г. Математика и психология / Г. Биркгофф. - Москва : Советское радио, 1977. - 96 с.

26. Борель, Э. Вероятность и достоверность / Э. Борель. — Москва : Наука, 1964.- 120 с.

27. Бранский, В. П. Философское значение «проблемы наглядности» в современной физике / В. П. Бранский. - Ленинград : Изд-во Ленингр. ун-та, 1962.- 191 с. .

28. Бруно, Д. О причине, начале и едином / Д. Бруно. - Москва : Соцэкгиз, 1934.-129 с.

29. Брызгалин, Г. И. Введение в теорию качеств / Г. И. Брызгалин-Волгоград : Изд-во ВПИ, 1988. - 91 с.

30. Букин, Д. Н. Онтологические основания математической рациональности / Д. Н. Букин. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2013. - 211 с.

31. Букин, Д. Н. Онтологические основания рациональности: концептуализация понятия / Д. Н. Букин // Научная мысль Кавказа : прилож. к журн. - 2006. - Спецвыпуск. - С. 35-39.

32. Букин, Д. Н. Онтологические предпосылки математического моделирования процессов социальной модернизации / Д. Н. Букин // Вестник ВолГУ. Сер. 7, Филос. - 2012. -№ 3 (18). - С. 27-32.

33. Букин, Д. Н. Современный конструктивизм и онтологические основания математики / Д. Н. Букин // Вестник Тюменского государственного университета. - 2012. - № 10. - С. 50-58.

34. Бунге, М. Интуиция и наука / М. Бунге. - Москва : Издательство «Прогресс», 1967. - 187 с.

35. Бурбаки, Н. Архитектура математики / Н. Бурбаки // Математическое просвещение. - 1960. - № 5. - С. 99-112.

36. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. - Москва : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - 296 с.

37. Бурова, И. Н. Парадоксы теории множеств и диалектика / И. Н. Бурова. -Москва : Наука, 1976. - 176 с.

38. Бурова, И. Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки / И. Н. Бурова. - Москва : Наука, 1987. - 133 с.

39. Бычков, С. Н. Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема : автореф. дис. ... д-ра филос. наук / С, Н. Бычков. - Москва, 2008. - 41 с.

40. Ван, X. Процесс и существование в математике / X. .Ван Л Математическая логика и ее применение. - Москва : Мир, 1965. - С. 315-339.

41. Ванус, Р. Аль. Создание и внедрение проблемных ситуаций, проблемных заданий, проблемных задач как средство развития мыслительной деятельности учащихся при изучении геометрического материала в основной школе / Р, Аль Ванус, В. А. Гусев // Наука и школа. - 2007. — № 5. - С. 65-68.

42. Вейль, Г. (^философии математики / Г. Вейль. - Москва ; Ленинград : Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. - 128 с.

43. Вигнер, Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках / Е. Вигнер // Успехи физических наук. - 1968. - Т. 94, вып. 3. - С. 535546.

44. Волошина, А. Ю. Мегаэкономика: онтологический и гносеологический аспекты анализа / А. Ю. Волошина // Вестник ВолГУ. Сер. 3, Экон. Экол. -2012. -№2(21). -С. 5-11.

45. Воронов, М. В, Математика для студентов гуманитарных факультетов./ М. В. Воронов, Г. П. Мещерякова. - Ростов на Дону : Феникс, 2002. — 384 с. - _

46. Вригт, Г. X. фон. Логико-философские исследования : избранные труды / Г. X. фон Вригт. - Москва : Прогресс, 1986. - 600 с.

47. Гайденко, В. П. Западноевропейская наука в средние века. Общие принципы и учение о движении / В. П. Гайденко, Г. А. Смирнов. - Москва : Наука, 1989.-352 с.

48. Галилей, Г. Избранные труды. В 2 т. Т. 1 / Г. Галилей. - Москва : Наука, 1964.-640 с.

49. Гарбузов, Д. В. Антропология времени / Д. В. Гарбузов. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2009. - 360 с.

50. Гартман, Н. К основоположению онтологии / Н. Гартман. - Москва : Наука, 2003. - 640 с.

51. Гартман, Н. Старая и новая онтология / Н. Гартман // Историко-философский ежегодник. - 1988. - Вып. 3. - С. 320-324.

52. Гегель, Г. В. Ф. Наука логики В 3 т. Т. 1 / Г. В. Ф. Гегель. - Москва Мысль, 1970.-501 с.

53. Гегель, Г. В. Ф. Наука логики В 3 т. Т. 3 / Г. В. Ф. Гегель. - Москва : Мысль, 1972.-371 с.

54. Гегель, Г. Собрание сочинений. В 14 т. Т. V. Наука логики / Г. Гегель. -Москва : Государственное социально-экономическое издательство, 1937. -814 с.

55. Гегель, Г. В. Ф, Энциклопедия философских наук. В 3 т. Т. К Наука логики / Г. В. Ф. Гегель. - Москва : Мысль, 1974. - 452 с.

56. Гегель, Г. В. Ф. Энциклопедия философских наук. В 3 т. Т. 2. Философия природы / Г. В. Ф. Гегель. - Москва : Мысль, 1975. - 696 с.

57. Гейтинг, А. Тридцать лет спустя / А. Гейтинг // Математическая логика и ее применения. - Москва : Мир, 1965. - С. 224-228.

58. Генкин, Л. Номиналистический анализ математического .языка /. Л. Генкин // Математическая логика и ее применение. - Москва : Мир, 1965. - С. 216-223.

59. Гильберт, Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. - Москва ; Ленинград : ОГИЗ ГОСТЕХИЗДАТ, 1948. - 491 с.

60. Гильберт, Д. Основы теоретической логики / Д. Гильберт, В. Аккерман. -Москва : Издательская группа URSS, 2010. - 304 с.

61. Гнеденко, Б. В. Теоретическая и прикладная математика / Б. В. Гнеденко // Что такое прикладная математика. - Москва : Знание, 1980. - С. 50-62.

62. Гнеденко, Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике / Б. В. Гнеденко. - Москва : Просвещение, 1982. - 144 с.

63. Гоббс, Т. Сочинения в 2 т. Т. 1 / Т. Гоббс. - Москва : Мысль, 1989. -622 с.

64. Горштейн, Т. Н. Философия Николая Гартмана / Т. Н. Горштейн. -Ленинград : Наука, 1969. - 279 с. ,

65. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 020100 «Философия» от 24,03,2000 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://eduscan.net/standart/030101, свободный. - Загл. с экрана. . . .

66. Грассман, Г. Логика и философия математики / Г. Грассман, Р. Грассман. - Москва : Наука, 2008. - 504 с. . - - -

67. Губин, В. Б. Об отношении математики к реальности / В. Б. Губин // Математика и опыт, - Москва : Изд-во МГУ, 2003. - С. 106-125.

68. Гуго Сен-Викторский. Семь книг назидательного обучения, или Дидаскаликон. В 2 т. Т. 2 / Гуго Сен-Викторский // Антология педагогической мысли христианского Средневековья. - Москва : АО «Аспект Пресс», 1994. -С. 49-92.

69. Гудмен, Н. На пути к конструктивному номинализму / Н. Гудмен; У. В.. О. Куайн // Способы создания миров. - Москва : Идея-Пресс ; Логос ; Праксис, 2001.-С. 289-317.

70. Гуссерль, Э, Логические исследования. Картезианские размышления / Э. Гуссерль. - Минск : Харвест, 2000. - 752 с.

71. Гуссерль, Э. Начало геометрии. Введение Жака Деррида / Э. Гуссерль. -Москва : А<1 Маодпет, 1996. - 267 с.

72. Гутнер, Г. Б. Число и онтологические допущения / Г. Б. Гутнер // Число : сб. статей. - Москва : МАКС Пресс, 2009. - С. 99-115.

73. Гутнер, Г. Б. Онтология математического дискурса [Электронный ресурс] / Г. Б. Гутнер. - Режим доступа: http://read.newlibrary.ru/read/gutner_g_b_/ontologiia п^етайсЬеБкоао сИзкигеа-Ы; т1. - Дата обращения: 17.02.2010. - Загл. с экрана.

74. Давыдов, В. В. Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы построения предметов) / В. В. Давыдов. - Москва : Педагогика, 1972. - 424 с.

75. Декарт, Р. Геометрия (с приложением избранных работ П. 1,Ферма и переписки Декарта) / Р. Декарт ; пер. А. П. Юшкевича. - Москва ; Ленинград : Гостехиздат, 1938, - 296 с. ^

76. Декарт, Р. Правила для руководства ума / Р. Декарт // Антология мировой философии. Т. 2. - Москва : Мысль, 1970. - 776 с. . •

77. Декарт, Р. Сочинения. В 2 т. Т. 2 / Р. Декарт. - Москва : Мысль, 1994- -663 с.

78. Джахая, Л. Г. К вопросу о методах изложения (способах развертывания) системы философских категорий / Л. Г. Джахая // Философия и общество, -2003.-№2(31).-С. 107-128. ; *

79. Динглер, Г. Эксперимент. Его сущность и история / Г. Динглер // Вопросы философии. - 1997. - № 12. - С. 96-134.

80. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах / Диофант Александрийский ; под. ред. И. Г. Башмаковой ; пер. с древнегреч. И. Н. Веселовского. - Москва : Наука, 1974. - 328 с.

81. Добронравов, С. В. Проблема априоризма в русской философии математики начала XX в. / С. В. Добронравов // Математика и опыт. - Москва : Изд-во МГУ, 2003. - С. 205-219.

82. Доброхотов, А. Л. Категория бытия в классической западноевропейской философии / А. Л. Доброхотов. - Москва : Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 248 с.

83. Доманов, О. А. Счёт-за-одно (сотр1е-роиг-ип) в онтологии А. Бадью / О. А. Доманов // Современная онтология II : Материалы международной научной конференции «Бытие как центральная проблема онтологии». - Санкт-Петербург : Изд. Дом С.-Петерб. госуд. ун-та, 2007. - С. 40-48.

84. Дорофеева, А. В. Математика на философском факультете / А. В. Дорофеева // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. - Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2003. - С. 235-239.

85. Драгалин, А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств / А. Г. Драгалин. - Москва : Наука, 1979. - 256 с.

86. Евклид. Начала. Книги УН-Х / Евклид ; пер. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского. - Москва ; Ленинград : Гостехиздат, 1949. - 510 с.

87. Жаров, С. Н. Проблема бытия в контексте математического позНация / С. Н. Жаров // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. - Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2003. - С. 42^45..

88. Жмудь, Л. Я. Пифагор как математик / Л. Я. Жмудь // Историко-математические исследования. Вып. 32-33. - Москва : Наука, 1990. - С. 300г 325.

89. Жуков, Н. И. философские основания математики / Н. И. Жуков. ^ Минск : Университетское, 1990. - 110 с. ,

90. Зайцев, Е. А. Геометрический образ числа и величины: об учебном пособии по математике для студентов-гуманитариев / Е. А. Зайцев // Философия математики; актуальные проблемы. Математика и реальность. -Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2003. - С. 242-246.

91. Иванов, А. А. Методологические и методические проблемы математического образования / А. А. Иванов // Методологические проблемы преподавания математики. Сборник научных трудов. — Москва : Центр., ровет филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1987. - С. 105-134: ч.

92. Ивин, А. А. Импликации и модальности / А. А. Ивин. - Москва : ИФРАН, 2004. - 126 с.

93. Ивлев, Ю. В. Логика и реальность / Ю. В. Ивлев // Философия и общество. - 2007. - № 4 (48). - С. 165-174.

94. Ильенков, Э. В. Количество / Э. В. Ильенков // Философская энциклопедия. Т. 2. - Москва, 1962. - С. 552-553.

95. Ильин, В. В. Онтологические и гносеологические функции категории качества и количества / В. В. Ильин. - Москва : Высшая школа, 1972. - 230 с.

96. Иншаков, О. В. Уровневый анализ объекта, предмета и метода экономической теории / О. В Иншаков // Известия Санкт-Петербургского университета экономики и финансов. - 2004. - № 4. - С. 5-18.

97. История математики. В 3 т. Т.1. С древнейших времен, до начала. Нового времени / под ред.-Д..П. Юшкевича. - Москва : Наука, 1970. - 352 с.

98. История математики. В 3 т. Т.2. С древнейших времен до начала XIX столетия / под ред. А. П. Юшкевича. - Москва : Наука, 1970. - 300 с.

99. Кадыржанов;Р.. К. Социально-культурная природа математического познания : автореф. дис. ... д-ра филое. наук / Р. К. Кадыржанов. - Алма-Ата, 1992.-34 с. . ...

100. Кант, И. Критика чистого разума / И. Кант. - Москва : Мысль, 199.4- -591с. ; . .

101. Кант, И. Собрание сочинений. В 6 т. Т. 3 / И. Кант. - Москва : Мысль, 1964. - 799 с.

102. Кантор, Г. К учению о трансфинитном / Г. Кантор // Новые, идеи, в математике. Сборник шестой. - Санкт-Петербург : «Образование», 1914. -С. 90-184. - --■.■...,.. . . . г;

103. Кантор, Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор. - Москва : Наука, 1985.-430 с. : г;,- 'г. ,

104. Карцунин, В. А. Формальное и интуитивное в математическом познании / В. А. Карпунин. - Ленинград : Изд-во ЛГУ, 1983. - 160 с.

105. Кассирер, Э. Философия символических форм. В 3 т. Т. 1. Язык / Э. Кассирер. - Москва ; Санкт-Петербург : Университетская книга, 2002. - 272 с.

106. Кассирер, Э. Философия символических форм. В 3 т. Т. 3. Феноменология познания / Э. Кассирер. - Москва ; Санкт-Петербург : Университетская книга, 2002. - 398 с.

107. Катасонов, В. Н. Метафизическая математика XVII века /

B. Н. Катасонов. - Москва : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. - 144 с.

108. Катречко, С. Л. К вопросу об «априорности» математического знания /

C. Л. Катречко // Математика и опыт. - Москва : Изд-во МГУ, 2003. - С. 545591.

109. Катречко, С. Л. Онтология (метафизика) и математика: возможен ли их союз? / С. Л. Катречко // Современная онтология - IV: Проблемы метода : Материалы международной научной конференции «Современная онтология -IV: Проблемы метода». - Санкт-Петербург : СПбГУ ; ИТМО, 2010. - Т. II. -С. 292-293.

110. Кедровский, О. И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития / О. И. Кедровский. - Киев : Изд-во при Киевском гос. ун-те, 1974.-342 с.

111. Кезин, А. В. Радикальный конструктивизм: познание в «пещере» / А. В. Кезин // Вестн. Моск. ун-та. Серия 7. Философия. - 2004. - № 4, - С. 3-24.

112. Кирпичников, К. В. О природе объектов в математике / К. В. Кирпичников // Логика и онтология. - Москва : Наука, 1978. — С- 207—223.

113. Клайн, М. Математика. Поиск истины / М. Клайн. - Москва : Мир, 1988. - 295 с.

114. Клайн, М. Математика. Утрата определенности / М. Клайн. — Москва : Мир, 1984.-434 с.

115. Книгин, А. Н. Учение о категориях / А. Н. Книгин. - Томск : Изд-во ТГУ, 2002.-193 с.

116. Колмогоров, А. Н. Величина / А. Н. Колмогоров // БСЭ. В 51 т. Т. 7. - 2-е изд. - Москва : Большая советская энциклопедия. - С. 340-341.

117. Колмогоров, А. Н. Математика / А. Н. Колмогоров // БСЭ. В 51 т. Т. 26. -2-е изд. - Москва : Большая советская энциклопедия. - С. 464-483.

118. Колмогоров, А. Н. Математика в ее историческом развитии / А. Н. Колмогоров. - Москва : Наука, 1991. - 224 с.

119. Колычев, П. М. Категория соотношения / П. М. Колычев. - Санкт-Петербург : Изд-во СПбГУ, 2006. - 259 с.

120. Колычев, П. М. Онтологическое обоснование начал математики [Электронный ресурс] / П. М. Колычев. - Режим доступа: https://sites.google.com/site/ontologicalsociety/seminar. - Дата обращения: 13.07.2011. - Загл. с экрана. , '

121. Колычев, П. М. Релятивная онтология / П. М. Колычев. — Санкт-Петербург : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. - 227 с.

122. Колычев, П. .М. Релятивная онтология и наука / П. М. Колычев // Вестник Томского государственного педагогического университета. - 2013. - № 9 (137). -С. 273-281.

123. Кольман, Э. Четвертое измерение / Э. Кольман. — Москва : Наука, 1970. — 92 с.

124. Косилова, Е. В. философия математики: актуальные проблемы : обзор конференции МГУ 28-30 мая 2009 г. / Е. В. Косилова // Эпистемология и философия науки. - 2009. - Т. XXII. - № 4. - С. 184-187.

125. Костюк, В. Н. Случайное, его определение и применения / В. Н. Костюк // Логика и эмпирическое познание. - Москва : Наука, 1972. - С. 272-286.

126. Котарбинский, Т. Избранные произведения / Т. Котарбинский. — Москва : Издательство иностранной литературы, 1963. - 911 с.

127. Коэн, М. Введение в логику и научный метод / М. Коэн, Э. .Нагель. -Челябинск : Социум, 2010.-655 с.

128. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер. - Москва : Юнити-Дана, 2001. - 543 с.

129. Кричевец, А. Н. Кризис математических наук и математического образования: эпистемологический подход / А. Н. Кричевец // Вопросы философии. -2004. - № 11.-С. 103-115.

130. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников / В. А. Крутецкий. - Москва : Просвещение, 1968. - 432 с.

131. Куайн, У. В. О. Две догмы эмпиризма / У. В. О. Куайн // Слово и объект. - Москва : Логос ; Праксис, 2000. - С. 342-367.

132. Кудряшев, А. Ф. Онтология (метафизика) и математика: возможен ли их союз? / А. Ф. Кудряшев // Современная онтология - IV: Проблемы метода : Материалы международной научной конференции «Современная онтология -IV: Проблемы метода». - Санкт-Петербург : СПбГУ ; ИТМО, 2010.--.Т. II. -С. 63-65. _

133. Кудряшев, А. Ф. Модальные онтологии в математике / А. Ф. Кудряшев // Стили в математике: социокультурная философия математики. — Санкт-Петербург : Изд-во РХГИ, 1999. - С. 130-136.

134. Кудряшев, А. Ф. О формах идеального бытия числа: конструктивно-описательный подход / А. Ф. Кудряшев // Число : сб. статей. - Москва : МАКС Пресс, 2009.-С. 142-150.

135. Кузанский, Н. Сочинения в 2 т. Т. 1 / Н. Кузанский. — Москва : Мысль, 1979.-488 с.

136. Кузичева, 3. А. Вычислимость как стиль математических теорий / 3. А. Кузичева, А. С. Кузичев // Стили в математике: социокультурная философия математики. - Санкт-Петербург : Изд-во РХГИ, 1999. - С. 377-390.

137. Курант, Р. Что такое математика? / Р. Курант, Г. Роббинс. г Москва : МЦНМО, 2004. - 568 с.

138. Ладов, В. А. Формальный реализм / В. А. Ладов // Логос. - 2009. - № 2 (70).-С. 11-23.

139. Лебег, А. Об измерении величин / А. Лебег. - Москва : Учпедгиз. 1960. -204 с.

140. Левин, Г. Д. Философские категории в современном дискурсе / Г. Д. Левин. - Москва : Логос, 2007. - 224 с.

141. Левченко, А. С. Онтологические и гносеологические принципы истолкования логической составляющей оснований математики в интуиционизме / А. С. Левченко // Вестн. Омского ун-та. - 2009. - № 7 (101). -С.142-149.

142. Лейбниц, Г. В. Сочинения. В 4 т. Т. 1 / Г. Лейбниц. - Москва : Мысль,

1982.-636 с.

143. Лейбниц, Г. В. Сочинения. В 4 т. Т. 2 / Г. Лейбниц. - Москва : Мысль,

1983.-686 с.

144. Лекторский, В. А. К проблеме диалектики субъекта и объекта в познавательном процессе / В. А. Лекторский // Проблемы материалистической диалектики как теории познания : Очерки теории и истории. - Москва : Наука, 1979.-С 34-45.

145. Лесневский, С. И. Логические рассуждения: I. Опыт обоснования онтологического закона противоречия. II. К анализу экзистенциальных предложений / С. И. Лесневский. - Санкт-Петербург : Тип. А. Смолинского, 1913.-91 с.

146. Леонардо да Винчи. Избранные произведения. В 2 т. Т. 1 / Леонардо да Винчи. - Москва ; Изд-во Студии Артемия Лебедева, 2010. - 444 с.

147. Леонтьева, Е. Ю. Рациональность и ее типы: генезис и эволюция : диссертация ... доктора философских наук : 09.00.01 / Е. Ю. Леонтьева. -Волгоград, 2003. - 300 с.

148. Лисин, А. И. Идеальность: Реальность идеальности. В 2 ч. Ч. .1. / А. Лисин. - Москва : Информациология ; РеСК, 1999. - С. 515.

149. Лолли, Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия / Г. Лолли. - Нижний Новгород : Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского, 2012. - 299 с.

150. Лосев, А. Ф. Миф - Число - Сущность / А. Ф. Лосев - Москва : Мысль, 1994.-919 с.

151. Лукьянец, В. С. Философские основания математического познания / В. С. Лукьянец. - Киев : Наукова думка, 1980. - 192 с.

152. Лурье, С. Я. Демокрит : Тексты, перевод, исследования / С. Я. Лурье. -Ленинград : Наука, 1970. - 664 с.

153. Маилов, А. Философские категории и познание / А. Маилов, М. Хасанов.

- Ташкент : «Узбекистан», 1974. - 163 с.

154. Марков,, А. А. О логике конструктивной математики / А. А., Марков. -Москва : Знание, 1972. - 47 с. ......

155. Маркс, К. Математические рукописи / К. Маркс. - Москва : Наука, 1968.

- 640 с. , . : .........

156. Маркс, К. Сочинения. В 50 т. Т. 20 / К. Маркс, Ф. Энгельс. - Москва : Политиздат, 1961. - 82.7 с.

157. Маркс, К. Сочинения. В 50 т. Т. 32 / К. Маркс, Ф. Энгельс. - Москва : Политиздат, 1964. - 804 с. ' ,

158. Математика в современном мире / пер. с англ. Н. Г. Рычковой ; предисл. В. А. Успенского. - Москва : Мир, 1967. - 206 с.

159. Матюшкин-Герке, А. А. О содержании и методике преподавания теории вероятностей и математической статистики (для технических специальностей)-/ А. А. Матюшкин-Герке •// Методологические проблемы преподавания математики. Сборник научных трудов. - Москва : Центр, совет, филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1987. - С. 53-62.

160. Мейдер, В. А. Проблема материального и идеального в математическом познании / В. А. Мейдер // Вестник Волгоградского гос. ун-та. Сер. 7. Философия. Социология и социальные технологии. - 2002. - С. 5-13.....; .

161. Мейдер, В. А. Учителю о философских проблемах математики / В. А. Мейдер. - Москва : Прометей, 1989. - 213 с.

162. Мейдер, В. А. Ф. Энгельс и методологические проблемы математики / В. А. Мейдер. - Саратов : Издательство Саратовского университета, 1985. -111с.

163. Миклюков, В. М. Анализ в анизотропных пространствах. Проблемы и перспективы / В. М. Миклюков // Materialy VIII Mezinarodni vedecko-prakticka conference «Predni vedecke novinky 2012». - Praha : Publishing House «Education and Science», 2012. - S. 13-17.

164. Милль, Дж. Ст. Система логики силлогистической и индуктивной / Дж. Ст. Милль. - Москва : Издание Г. А. Лемана, 1914. - 880 с.

165. Миронов, В. В. .Онтология и теория познания : учебник / В. В. Миронов,

A. В. Иванов. - Москва : Гардарики, 2005. - 447 с.

166. Молодший, В. Н. Очерки по философским вопросам математики / В. Н. Молодший.— Москва : Просвещение, 1969. - 303 с. -

167. Мулуд, Н. Современный структурализм / Н. Мулуд. - Москва : Прогресс, 1973.-376 с.

168. Нариньяни, А. С. Математика XXI - радикальная смена парадигмы. Модель, а не Алгоритм / А. С. Нариньяни // Вопросы философии. — 20,1 Г. -№ 11.-С. 71-82. -

169. Невважай, И. Д. Проблема региональных онтологий / И. Д. Невважай // Парадигма : Очерки философии и теории культуры : [сб. тр.] по матер, междунар. науч. конф. «Онтология в XXI веке: проблемы и перспективы». -Санкт-Петербург, 2006. - Вып. 6. - С. 66-76.

170. Никитин, В. Е. Классическая и неклассическая парадигмы в онтологии /

B. Е. Никитин // Парадигма : очерки философии и теории культуры : [сб. тр.] по матер, междунар. науч. конф. «Онтология в XXI веке: проблемы, и перспективы». - Санкт-Петербург, 2006. - Вып. 6. - С. 97-104.

171. Новиков, С. П. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе / С. П. Новиков // Вестник ДВО РАН. - 2006. - № 4. - С. 3-22.

172. Новоселов, М. М. Абстракция [Электронный ресурс] / М. М. Новоселов // Новая философская энциклопедия. - Режим доступа: http://iph.ras.ru/elib/0019.html, свободный. - Загл. с экрана.

173. Ньютон, И. Всеобщая арифметика / И. Ньютон. - Москва : Изд-во АН СССР, 1948.-444 с.

174. Нысанбаев, А. Н. Взаимосвязь оснований и развития математики / А. Н. Нысанбаев // Методологический анализ оснований математики. -Москва : Наука, 1988. - С. 93-96.

175. Нысанбаев, А. Н. Диалектика и современная математика / А. Н. Нысанбаев. - Алма-Ата : Казахстан, 1982. - 203 с.

176. Нысанбаев, А. Н. Мысленный эксперимент как средство математического познания / А. Н. Нысанбаев, В. Н. Каплин // Методологический анализ математических теорий : сб. тр. - Москва : Изд-во Академии наук СССР, 1958. -С. 22-31.

177. Овчинникова, В. С. Новые цели изучения математики в начальной школе и методическая подготовка учителя к их реализации / В. С. Овчинникова // Вестник МГЛУ. Серия «Педагогика и психология». - 2008. - № 2 (23). - С. 4759.

178. Ожегов, С. И. Словарь русского языка / С. И. Ожегов ; под ред. Н. Ю. Шведовой. - 18-е изд., стер. - Москва : Русский язык, 1986. - 797 с.

179. Пенроуз, Р. Новый ум короля : О компьютерах, мышлении и законах физики / Р. Пенроуз. - Москва : Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.

180. Петров, Ю. А. Философские проблемы математики / Ю. А. Петров. -Москва : «Знание», 1973. - 64 с.

181. Перминов, В. Я. Априорность и реальность исходных представлений математики / В. Я. Перминов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия. - 2010. - № 4. - С. 24-44.

182. Перминов, В. Я. Априорность математики / В. Я. Перминов // Вопросы философии. - 2005. - № 3. - С. 103-118.

183. Перминов, В. Я. Деятельностная теория познания в философии арифметики / В. Я. Перминов // Число : сб. ст. - Москва : МАКС Пресс, 2009. -С. 5-34.

184. Перминов, В. Я. О «математическом натурализме» Ф. Китчера / В. Я. Перминов // Методологический анализ оснований математики. - Москва : Наука, 1988.-С. 32-36.

185. Перминов, В. Я. Философия и основания математики / В; Я. Перминов. — Москва : Традиция, 2001. - 320 с. : : : .

186. Пиажё, Ж. Избранные психологические труды / Ж. Пиаже. — Москва : Просвещение, 1969, т 659 с. ■/. /;\

187. ; Письменный, -Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1. / Д. Т. Письменный.-Москва : Айрис-пресс, 2004. -288 с. . . ; —

188. Платон. Собрание сочинений. В 4 т. Т. 3 / Платон. - Москва ; Мысль, 1994. -654 с.

189. Платон. Сочинения. В 3 т. Т. 3. Ч. 1 / Платон. - Москва : Мысль, 1971. -687 с. V '

190. Плеснер, X; Ступени органического и человек: введение в философскую антропологию / X. Плеснер. -М. : РОССПЭН, 2004. - 367 с.

191. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. -Москва : Наука, ,1975.-464 с. : . /

192. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. - Москва : Наука, 1976. — 448с. . ■.,. ... ; • ; .

193. Поппер, К. Логика и рост научного знания / К. Поппер. - Москва : Прогресс, 1983,-605 с. ... .

194. Прокл, Диадох. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида / Прокл, Диадох. - Москва : Русский Фонд, 2013. - 368 с.

195. Пуанкаре, А. Геттингенские лекции / А. Пуанкаре // Последние работы. -Москва ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - С. 151— 202.

196. Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре. - Москва : Наука, 1983. - 530 с.

197. Пушкарев, Ю. В. Способ бытия и процессы формирования математических объектов : автореф. канд. дис. ... к. филос. наук / Ю. В. Пушкарев. - Новосибирск, 2005. - 25 с.

198. Разумов, В. И. Основы теории динамических информационных систем / В. И. Разумов, В. П. Сизиков. - Омск : Изд-во ОмГУ, 2005. - 212 с.

199. Рассел, Б. Введение в математическую философию : избранные работы / Б. Рассел. - Новосибирск : Изд-во Сибир. ун-та, 2007. - 264 с.

200. Рассел, Б. Философский словарь разума, материи и морали / Б. Рассел. — Киев : Port-Royal,; 1996.-368 с. ■ .

201. Роджерс, J1. Историческая реконструкция математического знания / JI. Роджерс // Математическое образование. - 2001. - № 1 (16). - С. 74-85.

202. Розов, М. А. Способ бытия математических объектов / М. А. Розов // Методологические проблемы развития и применения математики : сборник научных трудов. - Москва : Наука, 1985. - С. 20-35.

203. Ружа, И. Основания математики / И. Ружа. - Киев : Вища школа, 1981. -350 с.

204. Рузавин, Г. И. Диалектические и формально-логические противоречия, в развитии научного познания / Г. И. Рузавин // Диалектическое и научное мышление. - Москва : Наука, 1988. - С. 132-146.

205. Рузавин, Г. И. Философские проблемы оснований математики / Г. И. Рузавин - Москва : Наука, 1983. - 302 с.

206. Рыбников, К. А. История математики / К. А. Рыбников. - Москва : Изд-во Моск. ун-та, 1994. - 495 с. ;

207. Рязанова, Н. В. Тернарные и кватерниорные структуры в философско-культурологическом дискурсе: автореф. канд. дне. ... к. культурологии / Н. В. Рязанова. - Саратов, 2011. - 19 с.

208. Сагатовский В. Н. Основы систематизации всеобщих категорий /

B. Н. Сагатовский. - Томск : Изд-во Томского университета, 1973. - 431 с.

209. Сагатовский, В. Н. «Есть» и «es gibt» / В. Н. Сагатовский // Современная онтология II : материалы международной научной конференции «Бытие как центральная проблема онтологии». — Санкт-Петербург : Изд. дом СПбГУ, 2007. - С. 23-32.

210. Сагатовский, В. Н. Бытие идеального / В. Н. Сагатовский. - Санкт-Петербург : Петрополис, 2003. - 104 с.

211. Сагатовский, В. Н. Триада бытия (введение в неметафизическую коррелятивную онтологию) / В. Н. Сагатовский. - Санкт-Петербург : Изд-во

C.-Петерб. ун-та, 2006. - 123 с.

212. Сагатовский, В.. Н. философия антропокосмизма в кратком изложении / В. Н. Сагатовский. - Санкт-Петербург : Издательство С.-Петербургского университета, 2004. - 232 с.

213. Сагатовский, В. Н. Философия как теория всеобщего и ее роль в медицинском познании / В. Н. Сагатовский. - Томск : Изд-во Томского университета, 1968. - 393 с.

214. Сагатовский, В. Н. Философские категории. Ч. 1. Онтология. Авторский словарь / В. Н. Сагатовский. - Санкт-Петербург : СПбНИУ ИТМО, 2011. -127 с. ,

215. Самарский, А. А. Проблемы использования вычислительной техники-и развитие информатики : доклад академика А. А. Самарского на XLI сессии по координации научной деятельности академии союзных республик в Ереване / А. А. Самарский // Вестн. Академии наук УССР. - 1985. - № 3. - С. 58.

216. Светлов, В. А. Философия математики : основные программы обоснования математики XX столетия / В. А. Светлов. - Москва : КомКнига, 2010.-208 с.

217. Семенюк, Э. П. Общенаучные категории и подходы к познанию (Философский анализ) / Э. П. Семенюк. - Львов : Вища школа, 1978. - 176 с.

218. Сокулер, 3. А. Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг. : научно-аналитический обзор / 3. А. Сокулер. - Москва : ИНИОН РАН, 1995. - 74 с.

219. Соловьев, В. С. Сочинения в 2 т. Т. 1 / В. С. Соловьев. - Москва : Мысль, 1988.-895 с.

220. Спиноза, Б. Избранные произведения. В 2 т. Т. 1 / Б. Спиноза. - Москва : Государственное издательство политической литературы, 1957. - 631 с.

221. Стрельцова, Г-. Я. Паскаль и европейская культура / Г, Я. Стрельцова. -Москва : Республика, 1994. - 495 с.

222. Стройк, Д.. Я. Краткий очерк истории математики / Д. Я. Стройк,. -Москва : Наука, 1990.-256 с. ..;/:'!.•■-.;.

223. Султанова^ Л. Б. Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления / Л. Б. Султанова // Стили в математике ; социокультурная философия математики. - Санкт-Петербург : Изд-во РХГИ, 1999.-С. 66-80. .;■• . : : ..-.•..

224. Тарский, А. Истина и доказательство / А. Тарский // Вопросы философии. - 1972. - № 8. - С. 136-145. . :

225. Тимофеев, И. С: Методологическое значение категорий «качество» и «количество» /И. С. Тимофеев. -Москва : Наука, 1972. -216 с. : -

226. Тульчинский, Г. Л. Смена онтологической парадигмы: от сущего к потенциальному / Г/.Л. Тульчинский // Парадигма : очерки философии и теории культуры : [сб. тр.] по матер, междунар. науч. конф. «Онтология в XXI веке: проблемы и перспективы». - Санкт-Петербург, 2006. - Вып. 6. - С. 12-23. ; г

227. Уайтхед, А. Н. Основания математики: В 3 т. Т. 1 / А. Н. Уайтхед, Б. Рассел. - Самара : Изд-во «Самарский университет», 2005. — 722 с.

228. Успенский, В. А. Апология математики / В. А. Успенский. — Санкт-Петербург : Амфора, 2012. - 554 с.

229. Успенский, В. А. Четыре алгоритмических лица случайности /

B. А. Успенский. - Москва : МЦНМО, 2009. - 48 с.

230. Фараби. Комментарии к «Категориям» Аристотеля / Фараби // Избранные произведения мыслителей стран Ближнего и Среднего Востока. - Москва : Соцэкгиз, 1961.-С. 176-219.

231. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 030100 «Философия» от 21.12.2009 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://new.volsu.ru/activities/education/eduprogs/ooplist.php?id=68, свободный. -Загл. с экрана. ' -

232. Ферма, П. Метод отыскания наибольших и наименьших значений / П. Ферма // Декарт Р. Геометрия. - Москва ; Ленинград : Гостехиздат, 1938. -

C. 154-155.

233. Философия естествознания. Выпуск 1. - Москва : Издательство политической литературы, 1966. - 416 с.

234. Философские основы естествознания. - Москва : Изд-во Моск. ун-та, 1977.-343 с.

235. Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. - Москва : ЭКСМО-Пресс ; Харьков : Фолио, 1999. - 1056 с.

236. Фихте, И. Г. Сочинения в 2 т. Т. II / И. Г. Фихте. - Санкт-Петербург : Мифрил, 1993.-798 с.

237. Фома Аквинский. Сумма теологии. Часть 1. Вопросы 1—43 / Фома Аквинский. - Киев : Ника-центр, Эльга, Элькор-МК, 2002. - 560 с. -

238. Формальная логика. — Ленинград : Изд-во ЛГУ, 1977. — 359 с.

239. Фосс, А. Сущность математики / А. Фосс. - Москва : Книжный дом «Либроком», 2009. - 120 с.

240. Франк, С. Л. Кризис современной философии / С. Л. Франк // Русская мысль. - 1916.-№ 9. - С. 33-40.

241. Фреге, Г. Логико-философские труды / Г. Фреге. - Новосибирск : Изд-во Сибир. ун-та, 2008. - 283 с.

242. Фреге, Г. Основоположения арифметики / Г. Фреге. — Томск : Водолей, 2000.- 128 с.

243. Фрейсине, Ш. Очерки по философии математики / Ш. Фрейсине. - Москва : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010.-170 с.

244. Френкель, А. Основания теории множеств / А. Френкель, И. Бар-Хиллел. - Москва : Мир, 1966. - 555 с. : . Г. .....

245. Хайдегтер, М. Бытие и время / М. Хайдеггер. - Москва : Ас1 та^тет, 1997. -452 С. . ; :., Г;,-;.: . ;:: - /7 /

246. Хайям, О. Трактаты 7 О. Хайям ; пер. Б. А. Розенфельда. - Москва : Изд. вост. лит., 1961. - 328 с. : .:

247. Харди, IV Г> .Апология математика / Г. Г. Харди. - Москва : Едиториал УРСС, 2005.- 128 с. ; . : ■ , ■

248. Хаханян, В. X. О тезисе Чёрча и принципе униформизации (к заметкам по онтологии математики) ./ В. X.. Хаханян // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. - Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2003.-С. 203-206. ; -.

249. Хинчин, А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики / А. Я. Хинчин // Педагогические статьи. - Москва : Изд. АПН РСФСР, 1963..- С. 128.160.

250. Цейтен, Г". Т. История математики в древности и в средние века ../ Г. Г. Цейтен. - Москва- Ленинград : ГТТИ, 1932. - 232 с.

251. Целищев, В. В. Онтология математики: объекты и структуры ./ В. В. Целищев. - Новосибирск : Нонпарель, 2003. -240 с.

252. Целищев, В. В. Поиски новой философии математики / В. В. Целищев // Философия науки.-2001.-№3 (11).-С. 135-147.

253. Целищев, В. В. Философия математики. Ч. 1 / В. В. Целищев. -Новосибирск : Наука, 2002. - 212 с.

254. Цофнас, А. Ю. Вопрос о природе числа не имеет значения / А. Ю. Цофнас // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. — Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2003. — С. 103—106.

255. Челпанов, Г. И. Проблема восприятия пространства в связи с учением об априорности и врождённости. В 2-х ч. Ч. 2 / Г. И. Челпанов. - Санкт-Петербург : Издательство «Лань», 2013. - 432 с.

256. Черняков, А. Г. Математика как формальная онтология / А. Г. Черняков // Философия математики: актуальные проблемы : материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. - Москва : Изд. Савин С. А., 2007. -С. 87-89.

257. Черткова, Е, Л. Социальный конструктивизм и социальное конструирование / Е. Л. Черткова // Конструктивизм в теории познания. — Москва : ИФРАН, 2008. - С. 117-132.

258. Чусов, А. В. Онтологические аспекты понимания категорий у Аристотеля, Канта и Гуссерля / А. В. Чусов // История философии и социокультурный контекст. - Москва : РГГУ, 2012 - С. 332-342.

259. Чусов, А. В. Обоснование математики: логическая норма или предметно-конструктивная реальность / А. В. Чусов // Философия науки: исторические эпохи и теоретические методы. - Воронеж : Издат.-полиграф. центр ВГУ. -2006. - С. 175-230.

260. Шанин, Н. А. О конструктивном понимании математических суждений / Н. А. Шанин // Проблемы конструктивного направления в математике. -Москва ; Ленинград : Изд-во Академии наук СССР, 1958. - С. 226-311.

261. Шапошников, В. А. Доказательство : Очевидность, достоверность и убедительность в математике / В. А. Шапошников. - Москва : Книжный дом «Либроком», 2014. - 432 с.

262. Шафаревич, И. Р. Полное собрание сочинений. В 6 т. Т. 6 / И. Р. Шафаревич. - Москва : Институт русской цивилизации, 2014. - 1088 с.

263. Швырев, В. С. Априоризм [Электронный ресурс] / В. С. Швырев // Новая философская энциклопедия / Институт философии РАН. - Режим доступа: http://iph.ras.ru/elib/0238.html, свободный. - Загл. с экрана.

264. Швырев, В. С. О понятиях «открытой» и «закрытой» рациональности (рациональность в спектре ее возможностей) / В. С. Швырев // Рациональность на перепутье. В 2 кн. Кн. 1. - Москва : Российская политическая энциклопедия, 1999. -С. 9-45.

265. Шептулин, А. П. Категории диалектики / А. П. Шептулин. - Москва : Высшая школа, 1971. - 279 с.

266. Шикин, Е. В. Гуманитариям о математике. Математика: Пути знакомства. Основные понятия. Методы. Модели / Е. В. Шишкин, Г. Е. Шишкина. -Москва : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 272 с.

267. Шляхин, Г. Г. Математика и объективная реальность / Г. Г. Шляхин. -Ростов на Дону : Издательство Ростовского университета, 1977. - 140 с.

268. Штейнгауз, Г. Математика - посредник между духом и материей / Г. Штейнгауз. - Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 351 с.

269.

270. Эпштейн, M. Н. Философия возможного / M. Н. Эпштейн. - Санкт-Петербург : Алетейя, 2001. - 334 с.

271. Эпштейн, M. Н. Философия возможного / M. Н. Эпштейн. — СПб. : Алетейя, 2001.-334 с.

272. Ямвлих. О пифагоровой жизни / Ямвлих. - Москва : Алетейя, 2002. - 192 с.

273. Яновская, С. А. Методологические проблемы науки / Яновская С. А. -Москва : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 288 с.

274. Янков, В. А. Опыт и онтология математических объектов / В. А. Янков // Математика и опыт. - Москва : Изд-во МГУ, 2003. - С. 276-288.

275. Agazzi, Е. The rise of the foundational research in mathematics / E. Agazzi // Synthese. - Dordreht, 1974. - V. 27. - N 1-2. - P. 7-26.

276. Badiou, A. The Concept of Model / A. Badiou ; edited and translated by Z. L. Fraser, T. Tho. - Melbourne : Re.Press, 2007. - 113 p.

277. Bernays, P. On Platonism in Mathematics / P. Bernays // Philosophy of mathematics. - New Jersey : Prentice-Hall, 1964. - P. 274-278.

278. Beth, E. The Foundations of Mathematics / E. Beth. - New York : Harper&Row Publishers, 1966. - 731 p.

\

279. Baum, R. Philosophy and Mathematics. From Plato to the Present / R. Baum. -San Francisco : Freeman, Cooper & Company, 1973. - 320 p.

280. Bishop, E. Foundations of Constructive Analysis / E. Bishop. - New York : McGraw-Hill, 1967. - 370 p.

281. Brouwer, JL. E. J. Intuitionism and Formalism / L. E. J. Brouwer // Bullettin (New Series) of the American Mathematical Society. - 1999. - Vol. 37. - N I. -P. 55-64.

282. Changeux, J.-P. Matiere a penser / J.-P. Changeux, A. Connes. - Paris : Odile Jacob, 1989.-267 p.

283. Chihara, Ch. Constructability and Mathematical Existence / Ch. Chihara. -Oxford : Clarendon Press, 1990. - 282 p.

284. Chihara, Ch. Nominalism / Ch. Chihara // Philosophy of Mathematics and Logic - Oxford : Oxford University Press, 2004. - P. 483-514.

285. Crowe, M. Ten «laws» concerning patterns of change in the history of mathematics / M. Crowe // Revolutions in mathematics. - Oxford : Oxford University Press, 1992,-P.l 5-20.

286. Dunmore, C. Meta-level revolutions in mathematics / C. Dunmore. // Revolutions in mathematics. - Oxford : Oxford University Press, 1992. - P. 209-225.

287. Ernest, P. The Philosophy of Mathematics Education / P. Ernest. - London ; New York ; Philadelphia : Falmer Press, 1991.-341 p.

288. Feferman, S. Does mathematics need new axioms? / S. Feferman, H. M. Friedman, P. Maddy, J. R. Steel // The Bulletin of Symbolic Logic. - 2000. - Vol. 6, N4.-P. 401-446.

289. Field, H. Science without numbers. A defence of nominalism / H. Field. -Princeton : Princeton UP, 1980. - 130 p.

290. Giorello, G. The «fine structure» of mathematical revolutions: Metaphysics, legitimacy, and rigour. The case of calculus from Newton to Berkley and Maclaurin / G. Giorello // Revolutions in mathematics. - Oxford : Oxford University Press, 1992. -P. 134-168.

291. Godel, K. What is Cantor's continuum problem? / K. Godel // Amer. Math. Monthly. - 1947. - Vol. 54. - N 9. - P. 515-525.

292. Goodman., N. D. Mathematics as an Objective science / N. D. Goodman // Amer. Math. Monthly. - 1979. - Vol. 86, N 7. - P. 540-551.

293. Heitsch, W. Mathematik und Weltanschauung / W. Heitsch. - Berlin : Akademie Verlag, 1978. - 348 s.

294. Hellman, G. Structuralism / G. Hellman // Philosophy of Mathematics and Logic - Oxford : Oxford University Press, 2004. - P. 536-562.

295. Hersh, R. Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics / R. Hersh // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. -Princeton : Princeton UP, 1998. - P. 9-28.

296. Hersh, R. What is Mathematics, really? / R. Hersh. - NY ; Oxford : Oxford University Press, 1999. - 343 p.

297. Horvath, A. Metaphysik der Relationen / A. Horvath. - Graz : Moser, 1914. -204 s.

298. Kalmar, L. Foundations of mathematics - whither now? / L. Kalmar H Problems in the Philosophy of Mathematics. - Amsterdam : North-Holland publishing company, 1967. - P. 187-195.

299. Kitcher, Ph. Mathematical Change and Scientific Change / Ph. Kitcher // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. - Princeton : Princeton UP, 1998.-P. 215-242.

300. Kitcher, Ph. The nature of mathematical knowledge / Ph. Kitcher. - New York ; Oxford : Oxford University Press, 1984. - 287 p.

301. Kripke, S. Naming and Necessity / S. Kripke. - Cambridge : Harvard UP, 1980.- 172 p.

302. Korner,' S. The Philosophy of Mathematics / S. Korner - New York : Dover Publications, 1968. - 198 p.

303. Lakatos, I. A renaissance of empirism in the recent philosophy of mathematics / I. Lakatos // Problems in the Philosophy of Mathematics. - Amsterdam : North-Holland publishing company,' 1967. - P. 199-203.

304. Lakatos, I. What Does a Mathematical Proof Prove? / I.- Lakatos // Ne^w Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. - Princeton : Princeton UP, 1998.-P. 153-162. '

305. Maddy, P. Does V Equal L? / P. Maddy // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. - Princeton : Princeton UP, 1998. - P. 357-384. - ■

306. Maddy, P. Realism in Mathematics / P. Maddy. - Oxford : Clarendon Press, 1992.-216 p. '

307. Martin-Lof, P. 100 years of Zermelo's axiom of choice: what was the problem with it? / P. Martin-Lof // The Computer Journal. - 2006. -N49 (3). - P. 345-350o.

308. Mostowski, A: Thirty years of foundational studies / A. Mostowski // Acta Filosophica Fennica, Fasc. 17. - Helsinki, 1965. - P. 8.

309. Nevvazhay, I. D. Semiotics of Mathematical Thinking Culture / I, D. Nevvazhay // Philosophy, Mathematics, Linguistics : Aspects of Interaction. Proceedings of International Scientific Conference 22-25 May 2012. - St. Petersburg, 2012.-P. 122-128. . .

310. Pasch, M. Vorlesungen uber neuere Geometrie / M. Pasch. — Lpz: :.Teubner, 1882.-204 s. ' • ^

311. Putnam, H. Philosophy of mathematics - why nothing works? // Putnam H. Words and life / Putnam H. - Cambridge : Harvard UP, 1994. - P. 499-512.

312. Putnam, H. What is Mathematical Truth? / H. Putnam // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. - Princeton : Princeton UP, 1998. - P. 4965.

313. Resnik, M. D. Structural Relativity / M. D. Resnik // Philosophia Mathematica (III). - 1996. - Vol. 4, N 2. - P. 81-99.

314. Resnik, M. D. Proof as a Source of Truth / M. D. Resnik // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. - Princeton : Princeton UP, 1998. -P. 317-336.

315. Shapiro, S. Space, Number and Structure: a Tale of Two Debates/ S. Shapiro // Philosophia Mathematica (III). -1996. - Vol. 4, N 2. - P. 148-173, , ; 7 V- ; K.

316. Shapiro, S. Talking about Mathematics / S. Shapiro. - Oxford,: Oxford University Press, 2000.- 308 p. • :.;:: .::: v. :.;:

317. Tait, W. W. Truth'and proof: the platonism of mathematics / W.. W- Tait // The philosophy of mathematics. - Oxford : Oxford University Press, 1996. - P. 142-147.

318. Troelstra, A. S. Constructivism iii mathematics. An Introduction. Vol; 1:./. A. Troelstra, D. Van Dalen, D. -, Amsterdam ; New York ; Oxford ; Tokyo : North-Holland publishing company, 1988. - 342 p. V^kr..;

319. Tymoczko, T. The Four-Color Problem and Its Philosophical Significance / T. Tymoczko // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. — Princeton : Princeton UP, 1998. - P. 243-266. S , ::. /.

320. : Wang, H. Theory and Practice in Mathematics / H. Wang // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Antology. - Princeton : Princeton UPj 1998. — P. 129-152.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Тезис 1. Существование объекта математики (ОМ)

Атрибутивная система онтологических оснований математической рациональности

Онтологическая категория, структурирующая математическое мышление Понятия, уточняющие содержание данной категории Примеры математических понятий, в основе которых лежит данная категория, и время их возникновения

Качество Количество, целое, часть, структура Все математические понятия

Количество Число, величина, отношение, элемент, пространство, конечное-бесконечное, прерывное-непрерывное • Число (первичные представления - палеолит) • Величина (III в. до н. э.) • Бесконечность (XVI в.) • Функция (XVII в.) • Числовое множество (XIX в.) • Математическая структура (конец XIX - начало XX вв.)

Мера Качество, количество Мера множества (конец XIX -начало XX вв.)

Пространство Количество, прерывное, непрерывное • Геометрическая фигура (первичные представления - по крайней мере неолит) • Математическое пространство'(конец XIX в.) • Анизотропное пространство (XX в.)

ч Приложение 4

Модальная система онтологических оснований математической рациональности

Модальная категория, структурирующая математическое мышление Примеры математических объектов, доступных нашему сознанию благодаря данной модальной характеристике, и время (эпоха) их возникновения

Действительность (бытие-как-действительное) Доказательства, пропорции, способы решения уравнений и т.д. в древневосточной («догреческой») математике (Вавилон, Древний Египет, Древний, Китай).

Необходимость (бытие-как-должное) • Доказательство (VI в до н. э., Древняя Греция) • Корреляция (конец XIX в.)

Возможность (бытие-как-возможное) • Постулаты неевклидовых геометрий (XIX в ) • Классическая вероятность (XIX в.) • Статистическая вероятность (XIX - XX вв.) • Аксиомы Цермело -Френкеля (XX в.)