Одновременная стабилизация линейных динамических объектов с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Миняев, Сергей Игоревич

• Миняев, Сергей Игоревич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Миняев, Сергей Игоревич

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор методов стабилизации динамических объектов с запаздыванием

1.1. Постановки задачи стабилизации объектов с запаздыванием

1.2. Управляемость и наблюдаемость объектов с запаздыванием

1.3. Методы стабилизации объектов с запаздыванием

1.4. Некоторые особенности стабилизации объектов с запаздыванием

Глава 2. Одновременная стабилизация по выходу семейства объектов с несоизмеримыми запаздываниями с конечным спек-

тром дискретным регулятором

2.1. Стабилизация одного объекта с запаздыванием дискретным регулятором

2.2. Одновременная стабилизация объектов с запаздыванием дискретным регулятором

2.3. Робастность алгоритма стабилизации

Глава 3. Одновременная стабилизация по выходу семейства дискретных объектов

3.1. Необходимые условия одновременной стабилизируемости

3.2. Некоторые вспомогательные утверждения

3.3. Алгоритм одновременной стабилизации дискретных объектов

3.4. Применение топологического подхода к одновременной стабилизации дискретных объектов

Глава 4. Одновременная стабилизация по фазовому вектору се-

мейства объектов с соизмеримыми запаздываниями двухкон-турным регулятором

4.1. Стабилизация одного объекта с запаздыванием двухконтуриым регулятором

4.2. Одновременная стабилизация семейства объектов с запаздыванием двухконтуриым регулятором

Глава 5. Одновременная стабилизация по выходу семейства объектов с несоизмеримыми запаздываниями непрерывным регулятором

5.1. Стабилизация одного объекта с унимодулярными матрицами управляемости и наблюдаемости

5.2. Применение топологического подхода к задаче одновременной стабилизации

Литература

Приложение А. Сравнительная характеристика свойств объектов с запаздываниями с точки зрения возможности их стабилизации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одновременная стабилизация линейных динамических объектов с запаздыванием»

Введение

Актуальность исследования.

Многочисленные процессы в технических устройствах, живой природе, экономических системах характеризуются тем, что их поведение в будущем зависит не только от настоящего, но и от предыстории их протекания па определенном промежутке времени. Математические модели таких процессов строятся, как правило, с помощью систем уравнений, называемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом [36] или дифференциально-разностными уравнениями [2]. Теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом активно развивалась в работах [2, 33, 36], и в настоящее время широко используется для описания динамических объектов при решении различных задач управления.

Одной из актуальных задач теории управления является задача стабилизации динамических объектов, в том числе объектов с запаздыванием. Под задачей стабилизации динамических объектов понимается выбор такого закона управления (статического или динамического), который обеспечивает замкнутой системе свойство устойчивости в том или ином смысле. Задачи стабилизации объектов с запаздыванием в различных постановках изучались в работах [6, 10, 19, 37-39, 41, 60, 64, 66]. Задачам оптимального управления различными классами объектов с запаздыванием посвящены работы [1, 29, 37]. Достаточно полные библиографические комментарии по вопросам понятий пространства состояний, управляемости и наблюдаемости, а также методам стабилизации систем с запаздыванием приведены в [30]. Особенно трудными и важными являются задачи стабилизации динамических объектов в условиях неопределенности (координатной, параметрической, структурной) [8]. Одной из модификаций такого сорта задач является задача одновременной стабилизации конечного семейства объектов.

Задача одновременной стабилизации возникает в случаях, когда предполагается функционирование объекта в различных режимах, каждый из которых описывается своей математической моделью, или при функционировании объекта в нештатных режимах, каждый из которых вносит прогнозируемые изменения в математическую модель объекта [32, 44]. В качестве примера приведем задачу одновременной стабилизации по выходу семейства линейных скалярных стационарных объектов без запаздывания, заданных в пространстве состояний [26, 32]:

Для к линейных объектов, задаваемых уравнениями

х = А-ьх + Ьги,

АгеЯп'х'\ .Г.ь,.с,е н'\ П. У е в. (1)

У = сгх,

и находящихся в общем положении (управляемых и наблюдаемых), требуется построить единый (универсальный) линейный регулятор, задаваемый уравнениями

г = (¿х + Ру,

я е #гхг, р е ВГ*\н е д1хг, Н е Я,

и — Нг + Ну,

который стабилизирует все объекты указанного семейства (1) т.е. обеспечивает устойчивости всех матриц

Аг + Ъ-М, ЬгН .

л = 1,2, ...,к.

РСг Я

Отметим, что в общей постановке задача одновременной стабилизации является трудной и нерешенной. Основные направления исследований в этой области связаны с:

- сужением классов объектов, для которых устанавливаются необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации;

- получением общих необходимых условий одновременной стабилизации;

- расширением классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации;

- ограничением класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора (этот подход получил существенное продвижение в работах [13-15, 32]).

Задача одновременной стабилизации объектов с "чистым" [7] запаздыванием в управлении рассматривалась в [16].

В настоящей работе рассматривается задача одновременной стабилизации семейства линейных скалярных стационарных объектов с постоянными запаздываниями в фазовых переменных, управлении и выходе

3 = 1,к

(2)

где А{ е ЯГ1'хп\ е Дп'х1, 4 е Я1хп\ в .7-ой системе х{€) е

О = < т{ < ... < Г1

XV

о = (%<()[< ... < в]

'в

0 = 7о < 71 < ••• < 7г; •

= 7о < 71 < ••• < 7г; •

Спектром объекта вида

х

(£) - Ах{1 - т.) + М* - вг)

г=0

(3)

V

называется множество корней уравнения

¿¿еф/ -А0- А1е~Т15 - ... - АЬте^ь) = 0.

Если существует некоторое число d > 0 такое, что k¿d = r¿, l¿d = 9,¿ и rriid = тi для некоторых целых чиссл кг, l¿ и тг, то запаздывания называются соизмеримыми, в противном случае - несоизмеримыми.

Рассматриваемый класс объектов (2) является достаточно широким и с его помощью можно моделировать многие реальные процессы и объекты управления, содержащие запаздывание. Поэтому поставленная и решаемая в диссертационной работе задача является актуальной. При этом, даже для одного объекта вида (2) задача стабилизации является достаточно сложной.

Цели и задачи исследования.

Целью работы является разработка методов решения задачи одновременной стабилизации семейства линейных скалярных стационарных динамических объектов (2).

Для достижения намеченной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) с конечным спектром дискретным регулятором.

2) Задача одновременной стабилизации дискретных объектов.

3) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) двухконтурным непрерывно-дискретным регулятором с использованием спектральной приводимости.

4) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) непрерывным регулятором на основе топологического подхода к одновременной стабилизации.

Научная новизна исследования.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

1) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями

с конечным спектром дискретным регулятором.

2) Для решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных дискретных объектов применен топологический метод.

3) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по фазовому вектору линейных динамических объектов с соизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром двухконтурным регулятором с использованием спектральной приводимости.

4) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром на основе топологического метода.

Личный вклад автора.

Все основные результаты диссертационного исследования получены автором лично.

Практическая значимость работы.

Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. На практике результаты диссертационной работы могут быть использованы для построения алгоритмов управления, в том числе, алгоритмов стабилизации техническими объектами, на динамические свойства которых существенное влияние оказывает временное запаздывание передачи сигналов.

Апробация результатов исследования.

Основные результаты работы и отдельные её части докладывались:

- на Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е.С. Пятницкого (ИПУ РАН, 2012),

- на научной конференции "Ломоносовские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2012, 2013),

- на научной конференции "Тихоновские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2010, 2011),

- на всероссийском научном семинаре "Нелинейная динамика: качсствен-

ный анализ и управление" под руководством академиков РАН C.B. Емельянова и С.К. Коровина (МГУ 2011, 2012),

- на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова (МГУ).

Структура и объем диссертационной работы.

Диссертация содержит 136 страниц, состоит из введения, 5 глав и приложения. Главы разбиты на пункты. Нумерация утверждений, теорем, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 68 наименований.

Для того, чтобы лучше пояснить специфику и сложность объектов с запаздываниями, изложение текста диссертации построено следующим образом: вначале основные понятия и результаты приводятся применительно к объектам без запаздываний, а затем - применительно к объектам с запаздываниями.

В данной работе рассматриваются следующие классы объектов вида (2):

1. Объекты с соизмеримыми и несоизмеримыми запаздываниями.

2. Объекты с конечным и бесконечным спектром.

а также следующие классы регуляторов:

1. Дискретные (цифровые) и непрерывные регуляторы.

2. Регуляторы по выходу и по фазовому вектору.

Указанная классификация связана с различными методами и подходами, применяемыми для решения задачи стабилизации объектов с запаздыванием.

Содержание диссертационной работы.

Во введении представлен краткий обзор предметной области исследования, приведена постановка задачи одновременной стабилизации линейных динамических объектов с запаздыванием, обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи диссертационного ис-

следования.

В первой главе приведен обзор основных встречающихся в литературе методов стабилизации по фазовому вектору и по выходу объектов с запаздыванием вида (3). Под задачей стабилизации объекта вида (3) понимается задача построения регулятора, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы в некотором смысле, зависящем от рассматриваемого класса регуляторов (непрерывные с сосредоточенными и распределенными запаздываниями, дискретные и др.). Показана связь методов стабилизации со свойствами управляемости и наблюдаемости объектов с запаздыванием.

В параграфе 1.1 обсуждаются понятия устойчивости непрерывных и внутренней устойчивости непрерывно-дискретных систем с запаздыванием, а также приведены различные, зависящие от рассматриваемого класса регуляторов, постановки задачи стабилизации объектов с запаздыванием.

В параграфе 1.2 собраны различные, в общем случае не эквивалентные, понятия управляемости объекта с запаздыванием, а также показано, что свойства спектральной управляемости и спектральной наблюдаемости являются критерием существования стабилизирующей обратной связи.

В параграфе 1.3 приведен обзор различных методов стабилизации объектов с запаздыванием. Рассматриваются регуляторы двух типов в зависимости от используемой ими информации об объекте управления: регуляторы по выходу и регуляторы по фазовому вектору. Эти классы регуляторов рассмотрены отдельно, а внутри каждого класса изложение методов стабилизации строится на основе классификации объектов вида (3).

Отдельный интерес представляет частный и наиболее хорошо исследованный случай объектов (3) - объекты с соизмеримыми запаздываниями, имеющие вид

¿(¿) = А{а)х(г) + ъ{й)и(г),

у{1) = с{д)х{1),

где д, - оператор запаздывания на время г (¿(/(¿)) = /(¿—г)), А{<1),Ъ{(1),с{(1) -полиномиальные матрицы соответствующих размерностей. Это предположение позволяет применять методы стабилизации, не применимые к объектам с несоизмеримыми запаздываниями.

В параграфе 1.4 показаны две особенности стабилизации объектов с запаздыванием: возможная потеря устойчивости замкнутой системы при уменьшении запаздывания в управлении, а также условие, ограничивающее относительный порядок стабилизирующего регулятора в зависимости от относительного порядка объекта.

Во второй главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по выходу семейства к объектов с несоизмеримыми запаздываниями с конечным спектром вида (2).

В параграфе 2.1 рассмотрена задача стабилизации по выходу одного объекта вида (3) с конечным спектром, предложен подход к стабилизации с использованием дискретного регулятора, предполагающего построение дискретной модели объекта и дискретной модели непрерывно-дискретной системы стабилизации; получены необходимые и достаточные условия применимости данного подхода. Также рассмотрен вопрос выбора величины периода дискретизации.

В параграфе 2.2 разработанный в параграфе 2.1 подход к стабилизации одного объекта применяется к семейству объектов. Задача одновременной стабилизации семейства объектов с запаздыванием с конечным спектром сводится к задаче одновременной стабилизации семейства дискретных объектов.

В параграфе 2.3 показано, что построенный на основе разработанного

метода дискретный регулятор является грубым, т.е. свойство устойчивости замкнутой системы инвариантно по отношению к малым вариациям коэффициентов как самого объекта, так и регулятора.

В третьей главе приведены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи одновременной стабилизации дискретных объектов в следующей постановке: имеется к объектов

где полиномы и взаимно просты и ¿ед{а*:>{г)) > ¿ед((3*:1 (г)).

Существует ли регулятор

у[(1 + 1)Т] = ОД/Г] + Ру[1Т], = р^) = Рггг + рг_12г-1 + „ш+ро

и(г) = Ну[1Т] + ку[1Т], 2 я* № Яг + Яг-!^-1 + - + Яо

который стабилизирует каждый из этих объектов, т.е. обеспечивает дискретную устойчивость всех характеристических полиномов

замкнутых систем?

В параграфе 3.1 получены необходимые условия одновременной стаби-лизируемости семейства дискретных объектов. Показано, что сведение задачи обеспечения дискретной устойчивости полиномов к задаче обеспечения "обычной" устойчивости полиномов позволяет усилить необходимые условия одновременной стабилизируемое™.

В параграфе 3.2 приведены некоторые вспомогательные сведения из теории линейных неравенств, на основе которых формулируется коиструк-

(5)

(6)

тивнос достаточное условие одновременной стабилизируемости.

В параграфе 3.3 приведено достаточное условие одновременной стабилизируемости, проверку которого, а также построение универсального регулятора (5) для семейства объектов (4), предлагается осуществлять с помощью численного алгоритма с применением методов интервального анализа.

В параграфе 3.4 для решения задачи одновременной стабилизации дискретных объектов в случае, когда все объекты имеют один и тот же динамический порядок, применен топологический подход, предложенный в работах [12, 24]. Приведено достаточное условие одновременной стабилизируемости.

В четвертой главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по фазовому вектору семейства к объектов одного динамического порядка п с соизмеримыми запаздываниями

¿(г) = А>((1)х(г) + Ь>((1)и(г), = ТГк , (7)

где а! - оператор запаздывания, - полиномиальная матрица размера

п х п, б7 (с/) - полиномиальный вектор-столбец размера п х 1.

В параграфе 4.1 изложен метод построения двухконтурного стабилизатора для одного объекта, в структуре которого регулятор первого (внутреннего) контура решает задачу приведения объекта семейства к конечному спектру, а регулятор второго (внешнего) контура решает задачу стабилизации. При этом управление выбирается в виде и = щ + '¿¿2, где щ вырабатывается регулятором внутреннего контура, а щ - регулятором внешнего контура.

Также в параграфе проанализированы понятия спектральной управляемости и стабилизируемости по выходу и по фазовому вектору, спектральной наблюдаемости и обнаруживаемости для объектов с запаздыванием. Показана взаимосвязь спектральной стабилизируемости и спектральной приводимости.

В параграфе 4.2 метода стабилизации объектов с запаздыванием с помощью двухконтурного регулятора применяется к семейству объектов. Задача одновременной стабилизации семейства объектов с соизмеримыми запаздываниями сводится к задаче одновременной стабилизации семейства с запаздываниями с конечным спектром, решение которой дается в главе 2.

В пятой главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по выходу семейства к объектов (2) при условии, что все объекты имеют одинаковый динамический порядок п, а матрицы управляемости и наблюдаемости объектов являются унимодулярными.

В параграфе 5.1 рассмотрена задача стабилизации по выходу одного объекта вида (3), предложен подход к стабилизации с использованием непрерывного регулятора, получены необходимые и достаточные условия применимости данного подхода.

В параграфе 5.2 к задаче одновременной стабилизации семейства объектов с запаздыванием непрерывным регулятором применен топологический подход [32]. Показано, что при определенных условиях, накладываемых на объекты (2), для них существует единый стабилизатор.

В приложении приведены схемы, показывающие взаимосвязь свойств объекта с запаздыванием вида (2), позволяющих применять различные методы стабилизации таких объектов по фазовому вектору и по выходу.

Глава 1

Обзор методов стабилизации динамических объектов с запаздыванием

В данной главе приведен обзор некоторых методов стабилизации по фазовому вектору и по выходу одного объекта с запаздыванием вида

ьт ьв

х{1) = Аъх{1 + Ъги{1 - 0г),

< г£° 1=0 (1.1)

= - 7г),

г=0

где л, е Я"хп, Ьь € Я"*1, с, е Я1хп, о = То < Т1 < ... < тЬт,

О = < < ... < о = 70 < 71 < ■•• < 7-Ц-

Также рассмотрены понятия управляемости и наблюдаемости для объектов с запаздыванием.

Обозначим объект (1.1) символом £1, тогда под задачей стабилизации объекта (1.1) понимается задача построения регулятора £2, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы £1, £2 в некотором смысле, зависящем от рассматриваемого класса регуляторов £2 (непрерывные с сосредоточенными и распределенными запаздываниями, дискретные и др.). Схемы подключения стабилизирующего регулятора по фазовому вектору изображена иа рисунке 1.1, регулятора по выходу - на рисунке 1.2.

В параграфе 1.1 обсуждаются понятия устойчивости непрерывных и непрерывно-дискретных систем с запаздыванием, а также приведены различные постановки задачи стабилизации объектов с запаздыванием.

Рис. 1.1. Стабилизация по выходу

I

Рис. 1.2. Стабилизация по фазовому вектору

В параграфе 1.2 рассматриваются понятия управляемости и наблюдаемости объектов с запаздыванием, приводится сравнения с аналогичными понятиями для объектов без запаздываний.

В параграфе 1.3 приведен обзор различных методов стабилизации объектов с запаздыванием. Рассматриваются регуляторы двух типов в зависимости от используемой ими информации об объекте управления: регуляторы по выходу и регуляторы по фазовому вектору. Эти классы регуляторов рассмотрены отдельно, а внутри каждого класса изложение методов стабилизации строится на основе классификации объектов вида (1.1).

В параграфе 1.4 показаны некоторые особенности стабилизации объектов с запаздыванием.

В обзоре, а также всюду в диссертации, где это удобно, используется два способа описания динамических объектов: с помощью передаточных функций и с помощью систем дифференциальных уравнений (в фазовом пространстве). Покажем связь данных способов описания для объекта (1.1), заданного с помощью системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [36], т.е. укажем способ получения его передаточной функции [10].

Для этого применим к уравнениям (1.1) преобразование Лапласа L{-} [10] при нулевых начальных условиях, получим:

U ьв

X{s) = ^ AiX(s)e~TlS + ^ blU{s)e~e^

г=0 г=0

L'у

i=0

где X(s) = L{x(t)}, U(s) = L{u(t)}, Y(s) = L{y(t)}. Тогда передаточная функция будет иметь вид:

W(s) = Щ = ф1 - Afy%,

где

LT Lg L1

Af = Y, л*е-т"5' ьв = Е с7 = Е c*e~7lS-

г=0 г=0 i=0

Частным и наиболее широко рассматриваемым в литературе случаем объектов (1.1) являются объекты с соизмеримыми запаздываниями: существует некоторое число d > 0 такое, что hbd = тг- для некоторых чисел ki £ N и всех г = 1, Z/T, ltd — для некоторых чисел I, £ А^ и всех i = 1, L^ и rriid = 7; для некоторых чисел rni € iV и всех г = 1, L7. Тогда система (1.1) принимает вид

y(t) = c{d)x{t), 17

где (1 - оператор запаздывания, А((Г), Ь{(1), с(с1) - полиномиальные матрицы соответствующих размерностей. Это предположение позволяет применять дополнительные методы стабилизации, не применимые к объектам с несоизмеримыми запаздываниями.

1.1. Постановки задачи стабилизации объектов с запаздыванием

В данном параграфе рассмотрим постановки задачи стабилизации объектов с запаздываниями вида (1.1), отличающиеся классом используемых регуляторов, а, следовательно, понятием устойчивости замкнутой системы.

Далее приведем некоторые необходимые определения и утверждения.

Отметим, что объекты вида (1.1) включаются в более общий класс объектов, описываемых интегрально-дифференциальными уравнениями с распределенным запаздыванием вида

■т =

2/(*) =

~ТЬТ О

'71.-,

¿(А(т))х(1 + г) + в(Ь(6))и+ в),

сг(с(7))ж(г + т),

(1.2)

где А(т) € /¡»гхп _ фуНКцИОНаль11ая матрица, Ь(0) е Я™*1 - функциональный вектор-столбец, с(7) Е Я1хп - функциональная вектор-строка, интеграл понимается в смысле Римана-Стильтьсса [31]. Положим в уравнении (1.2)

ьт

'¿=0

где Ai(r) (г = О, LT) функциональная матрица, элементами которой являются кусочно-постоянные функции с единственным разрывом в точке т = причем A(rj) - Аг(тг - 0) = Л,

ье i=о

где Ь{(в) (г = 0функциональный вектор-столбец, элементами которого являются кусочно-постоянные функции с единственным разрывом в точке в = 9г, причем Ь{(9{) - Ьг(9г - 0) = Ъг,

Ly

г=0

где С{(7) (г = 0, L7) функциональная вектор-строка, элементами которой являются кусочно-постоянные функции с единственным разрывом в точке 7 = т.¿, причем Cj(7i) — Сг(7г — 0) = Cj. Тогда уравнение (1.2) переходит в уравнение (1.1).

Приведем теорему существования и единственности решения нестационарной линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием [33]

x(t) = L{t,xt), t > а (1.3)

с начальным условием xff(t) = </?(i), где x(t) G R'\ xt{0) = x(t + 9) для -r <9 < 0.

Теорема 1.1. [33]. Пусть выполнены следующие условия для L(t,<p):

- L(t, (р) линейна по ip;

- существуют п х п-матричная функция r](t,6), измеримая по (t,6) G R х R, и функция m(t), интегрируем,а по Лебегу на каждом компактном подмноэ/сестве из R, такие, что

r/(£,0) = 0 для 0 > 0, г/(£,0) непрерывна слева по в на (—г, О), имеет ограниченную вариацию по в на [—г, 0] для каждого t;

- L(t, ip) = ¡°_r[deri(t,d)](p(e) и \L(t,(p)| < m(t)\ip\ для всех t e R, (p eC.

Тогда для любых заданных а € R, <р € С ([а — r,a],Rn) существует единственная функция x(t,ip), определенная и непрерывная на [а — г, оо) и удовлетворяющая системе (1.3) на [сг, оо).

Для нелинейной системы

±{t) = f{t)Xi) (1.4)

рассмотрим различные понятия устойчивости нулевого решения [33] (в предположении /(£, 0) = 0).

Определение. Решение x(t) = 0 системы уравнений (1.4) называется устойчивым, если для любого начального момента времени a £ R, произвольного е > 0 найдется 6 = S(e,a) > 0, такое, что для любой начальной функции <£>(£), удовлетворяющей условию ||<^(£)|| < 6, соответствующее решение x(t) системы (1.4) удовлетворяет условию ||^(i)|| < г для t > а.

Определение. Решение x(t) = 0 системы уравнений (1.4) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и найдстся 6q = bo (a) > 0, такое, что из 1| </?(£)|| < bo следует, что ||ж(£)|| —> 0 при t, -> со.

Определение. Решение x(t) = 0 системы уравнений (1.4) называется равномерно устойчивым, если число 5 в определении устойчивости на зависит от ст.

Определение. Решение x(t) = 0 системы уравнений (1.4) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и найдстся bo > 0, такое, что каждому г/ > 0 отвечает £0(77), Для которого из | !</>(£) || < Ь0 следует ||х(£)|| < 77 при t > а + £0(77) и для каждого a € R.

Как известно, в случае линейных объектов вида (1.2) свойство устойчивости связано с понятием спектра.

Определение. Спектром объекта (1.2) или же системы

о

£(£) = й(А(г))х(£ + т) (1.5)

~ТЬТ

называют множество корней уравнения

о

евт<*(Л(т))) = 0 , (1.6)

-Тьт

тем самым отождествляя его со спектром соответствующего инфинитези-мального производящего оператора [33].

В частном случае для объекта (1.1) или же системы

ьт

ад = Х^С* - г0 (!-7)

г=0

спектром будет множество корней уравнения

с/еф/ -А0- Ахе~т15 - ... - АЬте~т^а) = 0. Определение. Функция

»(в) = -А0- А\е Тха - ... - АЬте~т^3)

является квазимногочленом, имеет бесконечное счетное число корней [34] и представляется в виде

71— 1

а{з, е-А°5,..., е"А^в) = вп + ^ «г(е"Ао5,..., е"АьАв)в\ (1.8)

г=0

где ».¿(е~А°5, ...,е~Хь*8) - полиномы от своих аргументов, 0 = Ао < Ах < ... < Аьа. Таким образом, спектр объекта (1.1) или же системы (1.7) бесконечен.

21

Обозначим: аг(Х) = аг(е~х°...,е Хьуя).

Следующая теорема даст связь спектра системы (1.3) с ее устойчивостью.

Теорема 1.2. [33]. Если все корни характеристического уравнения (1-4) системы (1.3) имеют отрицательные действительные части, то система (1.3) является экспоненциально равномерно устойчивой.

Доказательство теоремы (1.2) следует из следствия 7.4.1 [33] .

Отметим, что экспоненциальная устойчивость системы (1.3) влечет за собой асимптотическую устойчивость.

С учетом введенных понятий устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, можно сформулировать следующую общую постановку задачи стабилизации объекта (1-1) по выходу: для объекта (1.1) построить регулятор вида

эд

ОД(<5)М* - 6) +

д{Р(П))у{1- 77),

о

-я,

(1.9)

и

(*) =

¿¿(#(/л))г>(г - /х) +

адож^-о,

-NLl

такой, чтобы замкнутая система (1.1),(1.9) была асимптотически устойчивой.

Другим распространенным подходом к стабилизации объектов с запаздыванием является подход, основанный на применении дискретного регулятора: для объекта (1.1) построить регулятор вида

у[(1 + 1)Т) = С1лУ[1Т) + Р11У[1Т}, и[1Т] = Нау[1Т} + Н(1у[1Т],

(1.10)

где

+ 0С

и(г) = ^ М£ ~ гТ)и[гТ) =

(1-П)

= кф(1 - гТ){Ну\гТ] + ку[гТ]),

г=0

а на вход регулятора подается дискретный сигнал

¿=о

где /сф(£) - весовая функция формирующего элемента [39] (функция /сф(£) является финитной с носителем [0;Т], поэтому в формуле (1.11) не возникает вопрос о сходимости ряда), такой, чтобы замкнутая система (1.1),(1.10) была внутренне устойчивой (понятие внутренней устойчивости непрерывно-дискретной системы вводится в главе 2).

Аналогично можно сформулировать общие постановки задачи стабилизации объекта (1.1) по фазовому вектору.

1.2. Управляемость и наблюдаемость объектов с запаздыванием

Важнейшими свойствами любого объекта с точки зрения возможности построения стабилизирующей обратной связи (по фазовому вектору или по выходу) являются свойства управляемости и наблюдаемости объекта, введенные Р. Калманом. В разделе рассматриваются данные понятия применительно к объектам с запаздыванием вида (1.1), а также проводится сравнение с аналогичными свойствами для объектов без запаздываний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миняев, Сергей Игоревич, 2013 год

Литература

[1] Андреева Е.А., Колмановекий В.В., Шайхет JI.E. Управление системами с последействием. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1992, 336 стр.

[2] Р. Беллман, К. Кук. Дифференциально-разностные уравнения. // М.: МИР, 1967.

[3] Булатов В.И. Спектральная управляемость систем с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения, том 13, №10, 1977.

[4] Булатов В.И., Калюжная Т.С., Наумович Р.Ф. Управление спектром дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, том 10, №11, 1974.

[5] Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.

[6] Дылевский A.B., Лозгачев Г.И., Малютина B.C. Построение конечномерного регулятора температуры проходной печи. // Нелинейная динамика и управление: сборник статей. Вып. 7. Под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010, 400 с.

[7] Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. // М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007, 468с.

[8] Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. // М.: Наука, Физматлит, 1997, 352 стр.

[9] Емельянов C.B., Коровин С.К., Фомичев В.В., Фурсов A.C. Задачи и теоремы по теории линейной обратной связи. Учебное пособие. // М.: Издательский дом факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004, 192 стр.

[10] Ким Д.П. Теория автоматического управления. Том 1. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

[11] Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981, 448 стр.

[12] Коровин С.К., Ильин A.B., Фомичев В.В., Фурсов A.C. Топологический подход к задаче существования общего стабилизатора для семейства динамических систем // Докл. АН, 2011, Т. 441, N 6. С. 737-742.

[13] Коровин С.К., Кудрицкий A.B., Фурсов A.C. О некоторых подходах к одновременной стабилизации линейных объектов регулятором заданной структуры // Дифференц. уравнения, 2009, Т. 45, № 4, стр. 597-608.

[14] Коровин С.К., Кудрицкий A.B., Фурсов A.C. К вопросу об одновременной а-стабилизации линейных объектов // Дифференц. уравнения, 2009, Т. 45, № 5, стр. 698-705.

[15] Коровин С.К., Кудрицкий A.B., Фурсов A.C. Конструктивный алгоритм поиска регулятора, одновременно стабилизирующего семейство объектов // Нелинейная ди-намика и управление: Сборник статей. Вып. 7 / Под ред. С.В.Емельянова, С.К.Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010, стр. 5-16.

[16] Коровин С.К., Миняев С.И., Фурсов A.C. Подход к одновременной стабилизации линейных динамических объектов с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2011. Том 47, №11, стр. 1592-1598.

[17] Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. // М.: Физматлит. 2007. 223 с.

[18] Куратовский К. Топология. Том 1. // М.:МИР, 1966.

[19] Лямпе Б.П., Розенвассер E.H. Полиномиальный подход решения задачи стабилизации многомерных импульсных систем с запаздыванием. // Автоматика и телемеханика, № 1, 2006.

[20] Лямпе Б.П., Розенвассер E.H. Управляемость и наблюдаемость дискретных моделей непрерывных объектов с экстраполятора-ми высших порядков и запаздыванием. // Автоматика и телемеханика, № 4, 2007.

[21] Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Скорняков Л.А., Шестаков И.П. Общая алгебра. Том 1,2. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

[22] Мстсльский A.B. Спектральная приводимость дифференциальных систем с запаздыванием с помощью динамического регулятора // Дифференциальные уравнения. 2011. Том 47, №11, с. 1621-1637.

[23] Миняев С.И., Фурсов A.C. Одновременная стабилизация: построение универсального стабилизатора для линейных объектов с запаздыванием с использованием спектральной приводи-

мости. // Дифференциальные уравнения. 2012. Том 48, №11, стр. 1533-1539.

[24] Миняев С.И., Фурсов A.C. Топологический подход к одновременной стабилизации объектов с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2013. Том 49, №11, стр. 1453-1462.

[25] Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ: пер. с англ. //М.: МИР, 1987, 480 стр.

[26] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 2002.

[27] Поляков К. Ю. Основы теории цифровых систем управления: учеб. пособие. // СПбГМТУ, 2002.

[28] Постников М.М. Устойчивые многочлены. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981, 176 стр.

[29] Системы автоматического управления с запаздыванием: учебное пособие. Ю.Ю. Громов, H.A. Земской, A.B. Лагутин, О.Г. Иванова, В.М. Тютюнник. // Тамбов: изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007, 76 стр.

[30] Филимонов А. Б. Спектральная декомпозиция систем с запаздыванием. Компенсация запаздываний. // М.: Физматлит, 2002, 288с.

[31] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008, 728 стр.

[32] Фурсов A.C. докторская диссертация.

[33] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. // М.: МИР, 1984, 421 стр.

[34] Чеботаев Н.Г., Мейман Н.Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. // Труды математического института им. В.А. Стеклова, 1949, 333 стр.

[35] Черников С.Н. Линейные неравенства. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.

[36] Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1971.

[37] Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. Серия "Теоретические основы технической кибернетики". // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 416 стр.

[38] Qing-Chang Zhong. Robust control of time-delay systems. // Springer-Verlag, London, 2006.

[39] L. Dugard, E.I. Vcrricst. Stability and control of time-delay systems. // Springer-Verlag, London, 1998.

[40] Panos J.Antsaklis, Anthony N.Michel. A linear systcmw primer. // Birkhauser, Boston, 2007.

[41] Yuanqing Xia, Mengyin Fu, Peng Shi. Analysis and synthesis of dynamical systems with time-delays. // Springer-Verlag, Berlin, 2009.

[42] К. P. M. Bhat, H. N. Koivo. Modal characterization of controlability

and observability in time delay systems. // IEEE Transactions on Automatic Control april (1976), p. 292-293.

[43] K. P. M. Bhat, H. N. Koivo. An observer theory for time-delay systems. // IEEE Transactions on Automatic Control april (1976), p. 266-269.

[44] Blondel V. Simultaneous stabilization of linear systems. // SpringerVerlag, London, 1994.

[45] Chen T., Francis B. Optimal sample-data control systems. // Springer-Verlag, Berlin, 1994.

[46] Peter Dorato. Quantifies multivariate polynomial inequalities. // IEEE control systems magazine. October 2000.

[47] E. Emre, Gareth J.Knowlas. Control of linear systems with fixed noncommensurate point delays. // IEEE Transactions on Automatic Control 29 (1984), no. 12, p. 1083-1090.

[48] Fatihcan M. A. Complex time-delay systems. // Springer-Verlag, Berlin, 2010.

[49] Gene F. Franklin, J. David Powell, Michael L. Workman. Digital control of dynamic systems. // Addison-Wesley, 1997.

[50] Tomomichi Hagiwara. Preservation of reachability and observability under sampling with a first-order hold. // IEEE Transactions on Automatic Control 40 (1995), no. 1, p. 104-107.

[51] Edward W.Kamen. Linear systems with commensurate time delays: stability and stabilization independent of delay. // IEEE Transactions on Automatic Control 27 (1982), no. 2, p. 367-375.

[52] Edward W.Kamen, Pramod P.Khargonekar, Allen Tanncnbaum. Stabilization of time-delay systems using finite-dimensional compensators. // IEEE Transactions on Automatic Control 30 (1985), no. 1, p. 75-78.

[53] Zaher M. Kassas, Ricardo Dunia. Discretization of MIMO systems with nonuniform input and output fractional time delays. // 45th IEEE confcrcncc on decision and control, San Diego, CA, USA, December 13-15, 2006.

[54] E. Bruce Lee, Stanislaw H. Zak. On spectrum placement for linear time delay systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 27 (1982), no. 2, p. 446-449.

[55] Manitius A.Z. Feedback controllers for a wind tunnel model involving a delay: analytical design and numerical simulation. // IEEE Transactions on Automatic Control 29 (1984), no. 12, p. 1058-1068.

[56] Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment problem for systems with delays. // IEEE Transactions on Automatic Control 24 (1979), no. 4, p. 541-553.

[57] Andrey W. Olbrot. Stabilizability, detcctability and spectrum assignment for linear automous systems with general time delays. // IEEE Transactions on Automatic Control 23 (1978), no. 5, p. 887-890.

[58] Manitius A., Triggiani R. Sufficient condition for function space controllability and feedback stabilizability of linear retarded

systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 23 (1978), no. 4, p. 659-665.

[59] Andrey W. Olbrot. On controlability of linear systems with time delays in control. // IEEE Transactions on Automatic Control october (1972), p. 664-666.

[60] Vilma A. Oliveira, Lucia V. Cossi, Alexandre M.F. Silve, Marcelo C.M. Teixeira. PID stabilization of a class of time delay systems. // 44th IEEE conference on decision and control, Seville, Spain, December 12-15, 2005.

[61] Rosenwasser E. N., Larnpe B. P. Digital control in continuous time. // 2000.

[62] Dietmar Salamon. On controllability and observability of time delay systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 29 (1984), no. 5, p. 432-439.

[63] Salamon D. Observers and duality between observation and state feedback for time delay systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 25 (1980), no. 6, p. 1187-1192.

[64] Hiroshi Shinozaki. Lambert W function approach to stability and stabilization problems for linear time-delay systems. // Kyoto institute of technology, 2007.

[65] Mark W.Spong, T.J. Tarn. On spectral controlability of delay-differential equations. // IEEE Transactions on Automatic Control 26 (1981), no. 2, p. 527-528.

[66] Sead Sujoldzic, John M. Watkins. Stabilization of an arbitrary order transfer function with time delay using PID controller. // 45th IEEE conference on decision and control, San Diego, CA, USA, December 13-15, 2006.

[67] Keiji Watanabc. Finite spectrum assignment and observer for multivariable systems with commensurate delays. // IEEE Transactions on Automatic Control 31 (1986), no. 6, p. 543-550.

[68] Kehui Wei. Simultaneous stabilization of single-input single-output discrete-time systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 38 (1993), no. 3, p. 446-450.