Одновершинные нейтринные процессы в формализме матрицы плотности во внешнем магнитном поле (текст диссертации размещен на сайте ОИЯИ: http://wwwinfo.jinr.ru/dissertation/ThesisOsokina.pdf) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Осокина Елена Владимировна

• Осокина Елена Владимировна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Осокина Елена Владимировна

Введение

Глава 1. Вычисление квадратов 5-матричных элементов процессов в технике матрицы плотности в магнитном поле

1.1. Введение

1.2. Матрица плотности заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле

1.3. Слабые одновершинные процессы в технике матрицы плотности

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. Нейтринное остывание файербола в модели гигантской

вспышки SGR

2.1. Введение

2.2. Нейтринная светимость в процессе ет —> ет +

2.3. Нейтринное остывание горячей невырожденной электрон-позитронной плазмы

2.4. Моделирование нейтринного остывания файербола

2.5. Выводы ко второй главе

Глава 3. Процессы нейтринного рождения плазмы гипер-аккре-ционным сильно замагниченным диском керровской черной дыры

3.1. Введение

3.2. Нейтринные светимости в условиях гипераккреционного сильно замагниченного диска

3.3. Вычисление е+, "Ра в приближении

и2 > еВ > т^

3.4. Вычисление е_е+ в приближении ш2)ш'2 ^ еБ ^ т2

3.5. Вычисление "Ра в приближении ш2 ^ еВ ^ т2

3.6. Обсуждение результатов

3.7. Выводы к третьей главе

Заключение

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Литература

Физика нейтрино является одной из самых динамично развивающихся областей современной физики частиц. В последнее десятилетие в этой области получено большое количество теоретических результатов и экспериментальных данных [1-3]. Начиная со второй половины прошлого века интенсивно исследуются реакции излучения, поглощения и рассеяния нейтрино в звездах, галактической и межгалактической среде. Эти исследования обусловлены проблемой дефицита солнечных нейтрино, связанной с нейтринными осцилляциями [4, 5], роли нейтринных процессов в успешном взрыве сверхновых с коллапсом центральной части [6, 7], нейтринным остыванием нейтронных звезд [8, 9].

Большинство нейтринных процессов протекают в экстремальных физических условиях: кроме высоких температур и больших плотностей вещества, в таких объектах необходимо учитывать наличие интенсивного электромагнитного поля. Это накладывает ряд особенностей на вычисление таких величин как светимость, скорость реакции, переданный среде импульс. В частности, сильные магнитные поля могут модифицировать квантовые процессы, усиливая или сильно подавляя их, а также открывают реакции запрещеные в вакууме [10, 11]. Величина магнитного поля, которое называется критическим определяется как Вс = т2е/е ~ 4.41 • 1013 Гс [12].

На сегодняшний день известны астрофизические объекты у которых предполагается наличие сверхкритических магнитных полей. Это компактные объекты, например, одиночные нейтронные звезды с сильными полями, гипер-аккреционные диски вокруг черной дыры или нейтронной звезды, которые образовались в результате взрыва сверхновой. Одиночные ней-

тронные звезды с сильными магнитными полями можно разделить на две группы: АХР - аномальные рентгеновские пульсары и БОИ - источники мягких повторяющихся гамма-всплесков [13] . Первая группа характеризуется постоянным излучением в рентгеновском диапазоне, вторая группа нейтронных звезд отличается сильными непериодичными всплесками гамма-излучения. Как известно, оценка напряженности магнитного поля пульсаров основывается на потере вращательного момента этих звезд за счет магнитодипольного излучения [14]. В таком случае напряженность дипольного магнитного поля должна составлять В0 ~ 1014 — 1015 Гс [15]. Такие нейтронные звезды получили название магнитары. На данный момент известны объекты БОИ и АХР с более слабым дипольным полем - В0 ~ 1012 Гс, но по вспышечной активности соответствующие БОИ (так называемые антимагнитары). Предполагается, что у антимагнитаров, кроме обнаруженных полоидальных магнитных полей, в коре существует тороидальная компонента поля, напряженность которого также больше критической [16]. Для описания вспышек на магнитарах была предложена модель [17], в рамках которой рассматривается излучение БОИ как в спокойном состоянии [18], когда с поверхности излучается только мягкий рентген, так и в период гигантских вспышек [19], с более жестким спектром. Гигантские вспышки характеризуются сильным энерговыделением, за сотни секунд излучается энергия АЕ ~ 1044 — 1046 эрг [15]. В модели [19] предполагается, что источником излучения является электрон-пози-тронная плазма, которая удерживается магнитным полем звезды. Плазма гигантской вспышки при таком энерговыделении должна эффективно остывать с помощью нейтрино. Таким образом, для полной модели гиган-ской вспышки необходимо учесть процессы с образованием нейтрино в сильном магнитном поле.

Известно, что заряженные частицы в сильных магнитных полях занимают основной уровень Ландау, а концентрация на более высоких уровнях экспоненциально подавлена [20]. Из этого можно сделать вывод что процесс аннигиляции электронов и позитронов должен давать основной вклад в нейтринную светимость файербола, а светимость в остальных нейтринных процессах пренебрежимо мала [19]. Как будет показано во второй главе диссертации, процесс нейтринного синхротронного излучения имеет пик на напряженностях полей, соответствующих магнитарам [21].

Другими объектами с интенсивным нейтринным излучением могут быть аккреционные диски вокруг керровской черной дыры [23]. В условиях гипер-аккреционного сильно замагниченного диска керровской черной дыры становятся возможными процессы + щ ^ е- + е+, —> ^(¿/¿)+е++е" рождения электрон-позитронной плазмы в окрестности диска [24]. Такой электрон-позитронный джет рассматривается в настоящее время, как один из возможных источников космологического гамма-всплеска [25, 26].

Настоящая диссертация посвящена исследованию процессов взаимодействия нейтрино с невырожденной средой в присутствии сильного магнитного поля в формализме матрицы плотности [21]. Рассчитываются светимости основных нейтринных процессов гигантской вспышки БОИ. Рассматривается влияние, которое оказывает магнитное поле, на остывание плазмы с помощью нейтрино [22]. Также изучается влияние умеренно сильного магнитного поля на сечение аннигиляции пары нейтрино в элек-трон-позитронную пару и скорость производства 4-импульса в единицу времени на одно нейтрино в процессе —> + е+ + е-.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы.

В первой главе диссертации развивается техника вычисления процессов с заряженными релятивистскими спинорными частицами с помощью матрицы плотности в постоянном однородном магнитном поле. Полученное выражение для поляризованной матрицы плотности в импульсном пространстве является ковариантным, в смысле преобразования вдоль вектора напряженности магнитного поля. Разработанная техника вычисления квадратов ¿"-матричных элементов в магнитном поле аналогична вычислению в вакууме. В качестве примера вычисляются квадраты ¿-матричных элементов и переданный импульс в процессах рассеяния нейтрино на электронах. Также в формализме матрицы плотности вычисляется нейтринная светимость в процессе синхротронного излучения нейтринной пары электроном (позитроном).

Во второй главе диссертации в рамках магнитарной модели гигантской вспышки БОИ оцениваются потери энергии невырожденной релятивистской электрон-позитронной плазмы на нейтринное излучение. Полученные значения светимостей во всех значимых процессах нейтринного излучения сравниваются друг с другом. Показано, что основной вклад в нейтринные потери такой плазмы в сильном магнитном поле дают процессы аннигиляции электрона и позитрона в пару нейтрино и синхротронное рождение нейтринной пары. При численном расчете нейтринных потерь невырожденной горячей плазмы использовались наблюдательные данные по длительности и излученной в фотонах энергии на стадии долговременного мягкого рентгеновского излучения гигантских вспышек БОИ 0526-66, БОИ 1806-20. Плазма может излучить наблюдаемую энергию в гамма-квантах только при наличии сильного магнитного поля, так как только в этом случае нейтринные потери будут не так существенны и основная часть энергии будет излучаться в соответствии с наблюдательными данными.

Третья глава посвящена изучению влияния магнитного поля В ^ Вс

, ~ в + , _

на сечение аннигиляции пары нейтрино в процессе ^ + ^ —> е+ + е , и скорости производства 4-импульса в единицу времени на одно нейтрино в электрон-позитронных парах в процессе —> щ(^) + е+ + е~. В частности, эти величины впервые вычислены в случае (анти)нейтрино высоких энергий, умеренно сильного магнитного поля ш2 ^ еВ ^ т2, наиболее реалистичном для нейтриноизлучающей части гипер-аккреционного сильно замагниченного диска с достаточно высокими скоростями аккреции. В вычислениях использованы конкретные физические параметры среды, полученные при моделировании гипер-аккреционного диска в рамках ОТО с учетом нейтринного излучения [27]. В процессах рождения плазмы формируется электрон-позитронный джет, ориентированный по оси вращения черной дыры [24], гамма-излучение которого может наблюдаться как космологический гамма-всплеск (ОИВ).

Всюду, кроме специально оговоренных случаев, в диссертации используется естественная система единиц, в которой с = % = к =

Вычисление квадратов 5-матричных элементов процессов в технике матрицы плотности в

магнитном поле

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одновершинные нейтринные процессы в формализме матрицы плотности во внешнем магнитном поле (текст диссертации размещен на сайте ОИЯИ: http://wwwinfo.jinr.ru/dissertation/ThesisOsokina.pdf)»

1.1. Введение

Как известно, во внешнем магнитном поле волновые функции заряженных частиц модифицируются, поэтому вычисление квадратов 5-мат-ричных элементов (вероятностей процессов, сечений и т.д.) имеет ряд особенностей по сравнению с вакуумным [28, 29]. Исследованием 5-матрицы во внешнем поле занимались достаточно давно, в частности, в работе [30].

Наиболее удобным для ковариантного вычисления вероятностей одновершинных процессов в постоянном однородном магнитном поле является формализм матрицы плотности. Техника матрицы плотности заряженной частицы в импульсном представлении подобна технике вычисления фейн-мановских диаграмм в вакууме. При этом полученное импульсное представление поляризованной матрицы плотности заряженной частицы и вычисляемые с ее помощью интегральные величины явно ковариантны относительно преобразований Лоренца вдоль по направлению вектора напряженности магнитного поля. Это позволяет получить интегральные характеристики (длину пробега, переданный импульс, светимость и т.п.) в системе отсчета, движущейся с произвольной скоростью вдоль вектора напряженности магнитного поля, что может быть важным при описании процессов в астрофизических условиях.

Отметим, что элементы вычисления, в которых введено некоторое по-

добие вакуумной матрицы плотности, использовались еще в работе [12]. Функциональное выражение матрицы плотности в координатном пространстве получено в [31]. Однако его все еще невозможно применить для вычисления вероятности или светимости процесса техникой, подобной вакуумной [32].

В диссертационной работе подробно исследуются электрон-нейтринные процессы в сильных магнитных полях (В > Ве ~ 4.41 • 1013 Гс).

Аннигиляция электрон-позитронной пары в пару нейтрино произвольного аромата г = е,^,т:

е+ + е-^ иг + иг, (1.1)

упругое рассеяние нейтрино (антинейтрино) на электронах (позитронах) среды:

^(г>г) + ет ^ ^(¿>г) + ет, (1.2)

Кроме того, в магнитном поле становятся кинематически возможными новые нейтринные процессы, наиболее существенными из которых являются: процесс синхротронного излучения пары нейтрино (г = е,ц,т):

ет—> ет + фг, (1.3)

а также обратный к нему процесс рождения одиночным нейтрино (антинейтрино) электрон-позитронной пары:

^(й) + е+ + е-. (1.4)

В реакциях (1.3) и (1.4) символ В над стрелкой подчеркивает, что данные процессы индуцированы магнитным полем.

Исследование указанных выше нейтринных процессов в постоянном однородном магнитном поле, а также в электромагнитных полях других

конфигураций, имеет довольно продолжительную историю. Детальный анализ нейтрино-лептонных процессов (1.1) и (1.3) содержатся в обзорах [8, 33], а процесса (1.4) — в монографии [34].

Важную роль в астрофизике играют игса-процессы, реакции с участием нейтрино в нуклонной среде:

е" + р ^ ие + п, (1.5)

е+ + п ^ г>е + р, (1.6)

п ^ р + е" + ие, (1.7)

Исследования этих процессов в условиях оболочки сверхновой без магнитного поля содержатся в обзоре [35]. В частности, вероятность р-распада нейтрона в постоянном однородном магнитном поле и угловое распределение излученного в распаде антинейтрино были впервые исследованы в работах [36, 37]. Через несколько лет эта же вероятность была независимо получена в работах [38, 39]. История развития исследования р-процессов в электромагнитных полях различных конфигураций и современное состояние теории рассмотрены в обзорной статье [40]. Наиболее общие результаты в исследовании игса-процессов (1.5)-( 1.7) в магнитном поле содержатся в [41], [40]. В первой из них получено релятивистское выражение для квадрата матричного элемента Р-распада (пригодное для описания любых игса-процессов) и вычислена полная вероятность процесса с учетом отдачи нуклона. Во второй вычисляется сечение захвата нейтрино релятивистским нейтроном с учетом отдачи релятивистского протона и аномальных магнитных моментов нуклонов.

Наибольший интерес для астрофизики представляют такие интегральные характеристики, как скорость процесса (число переходов в единичном

объеме за единицу времени):

г = ПЕ^ПЕ^/ (! - и) ^, (1.8)

* /

4-импульс, уносимый в реакции нейтрино из единичного объема среды в единицу времени:

1 ____I о 12

= ^ПЕ^ПЕ^ (1 - и)к«• (1.9)

* /

Здесь (1щ и — элементы фазового объема начальных г и конечных / частиц, участвующих в реакции, ^ и — их функции распределения, |\2/Т — квадрат 5-матричного элемента процесса в единицу времени, ка — 4-импульс, уносимый нейтрино в реакции, V — нормировочный объем, а символ означает суммирование по дискретным и интегрирование по непрерывным числам заполнения частицы. Скорость процесса (1.8) позволяет вычислить среднее время пробега нейтрино в среде в нейтринопо-глощающих реакциях:

Т„ = Т, (1.10)

где — концентрация нейтрино. Ноль-компонента 4-вектора (1.9) определяет нейтринную светимость, а компонента вектора (1.9) вдоль направления магнитного поля — асимметрию в процессах переизлучения нейтрино [42]. Отметим также, что в низкоэнергетическом пределе (|д2\ ^ т^, где д2 — квадрат переданного в реакции 4-импульса, т-^ — масса W-бозона), который хорошо выполняется практически во всех астрофизических приложениях, указанные выше нейтринные процессы являются одновершинными, поскольку описываются в этом пределе эффективной локальной ( V - А) теорией.

В дальнейшем будет рассмотрена техника вычисления характеристик (1.8) и (1.9) в одновершинных нейтринных процессах с использованием

матрицы плотности заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле. Привлекательность такого способа вычисления заключается в том, что он подобен технике вычисления фейнмановских диаграмм в вакууме. Матрица плотности заряженной релятивистской частицы в постоянном однородном магнитном поле давно привлекала интерес исследователей [31]. Заметим, что в импульсном пространстве эту матрицу естественно определить так, чтобы в бесполевом пределе при суммировании по поляризациям заряженной частицы с положительной (отрицательной) энергией получить хорошо известный результат:

где р = рм77м — матрицы Дирака.

1.2. Матрица плотности заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле

Рассмотрим спинорную частицу массы т и заряда де (д = ±1 — знак заряда, е > 0), находящуюся в постоянном однородном магнитном поле. Вектор напряженности магнитного поля В направим вдоль оси Ох Таким образом, векторный потенциал запишется в виде:

Для описания спиновых свойств частицы воспользуемся инвариантным спиновым оператором:

где ^^ - дуальный тензор электромагнитного поля, Б" = 75(7" — Р"/т), Ри = ри — деАи, ри — оператор кинематического импульса. В системе по-

р(±\р) = р ± т

А^ = (0,0,хВ, 0).

(1.11)

(1.12)

коя спиновый оператор представляет собой проекцию магнитного момента электрона на магнитное поле:

М = —доВ (1.13)

При этом собственные значения инвариантного оператора имеют вид:

еВ

М = 2^Р±3,

Здесь д0 - магнитный момент электрона, й = ±1 - спиновое число, р± = л/2 еВп + т2, т — масса заряженной частицы. Решение уравнения Дирака [28] могут быть записаны в удобном для дальнейшего использования виде:

р—'1(Епг—р2у—рзг)

?/;(+) (х) = -__. ТТ(+) (г?)

/от? Г Г ^ п,р2,рз^\Ч п

V

и(+р{р3г?=в(г1) = — У—я*п—1^), (1.14)

и{п+Р1^8=—е(г]) = У—8Хп(г]) + WsXn—l(r]),

где Еп = у7Рз + т2 + 2еБп — энергия в магнитном поле, квантовое число п = 0,1,2,... нумерует уровни Ландау, р2 и р3 — проекции импульса частицы, = (£,х,у, г), Ьу и Ьг — нормировочные длины вдоль осей Оу и Ог, и г] = ж — др2/еВ). Решение (1.14) выражается через нормированные функции одномерного осциллятора (функции Эрмита):

( е В )1/4 е—'п 2/2

М = ( я,(п), нк(п) = (—1)V

(1к

2 и ^

л/2кк\^тт ' ¿г/

е—Г] , (1.15)

где (ц) — полиномы Эрмита, и следующие биспиноры:

/ . \

= г

р± + т

2р±(Еп + р3)

0

^п + РЗ + Р± 0

\-Еп — рз + Р± у

=

/

р^ + т

2р±(Еп + р3)

^ о. ^

Еп + Рз + Р±

0

Еп + Рз - Р±

V

0

/

= г

р± — т

2р±{Еп + Рз)

(

0

\

—Еп — рз + Р± 0

^ ^п + Рз + Р± )

= —

р± — т

2р±{Еп + Рз)

^ о. ~ ^ Еп + РЗ — Р±

0

Еп + РЗ + Р± 0

V

Рз — компонента импульса частицы вдоль вектора напряженности магнитного поля, р± = \/2еВп + т2 - "поперечная" составляющая.

Решение уравнения Дирака с отрицательной энергией может быть получено из выражения (1.14) формальной заменой Еп ^ —Еп, р2 ^ —р2, Рз ^ —Рз, что эквивалентно заменам т ^ —т и У8 ^ —К в биспиноре

а

п,Р2,Р 3,8

(г)). Таким образом, отрицательно частотное решение может быть

представлено в виде:

—) п,Р2,Р3,«

ръ(ЕпЬ —Р2 y-pзz)

Х) = ° _и(—) (})

Л1 ' п,Р2,Р3,8X4)1

\/2Е,п Ьу Ьг

ип—2,Р3,8= в(Х1) = ^8 Хп(Г]) + У— 8 Xп-Í(f]),

(1.16)

и.,

(—)

п, 2, 3, =—

- М = —^—8 Хп(1)+ ^ Хп—М,

/

где W8 = W8 (т ^ —т), У8 = У8 (т ^ —т), г} = л/еВ(х + др2/еВ), и подразумевается, что знак заряда д для решения с отрицательной энергией тот же, что и для решения с положительной.

Чтобы получить матрицу плотности заряженной спинорной частицы в постоянном однородном магнитном поле, рассмотрим вспомогательный

интеграл:

Ш,* (x, х) = ^2 ■фП+^э (х) ф

п(+)

,Р2,РЗ, &

х') =

(1.17)

е—г [Еп(Ь—')—р 3(г—г')] 2 ЕпЬуЬг

(к)2 егр2(у—у') и(+) (п)и(+) (п')

— 00

где г] = л/ёВ(х — др2/еВ) и г]' = л/ёВ(х' — др2/еВ). Перейдём от интегрирования по переменной 2 к интегрированию по . Выделив трансляционно-неинвариантную фазу Ф(х,х') = е В(х + х')(у — у')/2, получим:

з, в (х, х ) =

/ёВ

2 ЕпЬуЬг

еге Ф(х,х') [Еп(г—,)—рз(г')} р(^, (1.18)

6, 6) = 66/2

— е 2

и<+1и>) (V—6),(1.19)

— 00

где ^ = л/ёВ(х — х') и £2 = л/ёВ(у — у'). Прямое и обратное фурье-преоб разования функции £2) удобно выбрать в виде:

1

р (р 1, Р2)=(2к)2

^2 (р(

1,6) =

ег(Р1^+Р2Ь)/^В р(р1,р2).

(1.20) (1.21)

Запишем интеграл (1.18) через фурье-образ Е(р 1, р2) функции £2):

^п+3,в(х,х ) =

е ге Ф(х,х') 2 ЕпЬуЬг J

е—?(х—х')Е(р 1,Р2).

л/ёВ

(1.22)

В интеграле /п+З^(х, х') образовался фазовый множитель е—гр(х—х'), содержащий 4-вектор р^ = (Еп,р1,р2,р3), который может интерпретироваться как 4-импульс частицы. Сравнивая формулы (1.17) и (1.22), получим:

п,р 2,р 3,«

х

-7Г(+)

п,Р 2,Р 3,«

х )=

е г е ф(х,х ') 2 ЕпРуЬг а

Арх е—гр(х—х')Е(Р1, Р2), (1.23)

л/ёВ

где подынтегральная функция Р(р1,р2) может быть представлена в виде:

00

^ (р1,р2) = е-2г в Р1Р 2/еВ

- Ърх ц/^ёВ

X

п

—оо

X

тт(+)

п,Р2,Р3,8

ип+1 ,рз,8(1) иЩ,рз,8— — 2дР2/^В)

(1.24)

Вычислим Р(р1,р2) отдельно для каждой из поляризаций й = ±1, используя явный вид ип,РР2,Р3,8(г/) (см. выражения (1.14)):

в(Р1,Р2) = Е (Р1 ,Р2)

= (-1) п

е

—аЪ/2

оо

= в

П

йц е г щ х

(1.25)

— 00

х { W в] Хп (л) Хп(11 + Ь) — ]у-ву—в ] Хп-1(11) Хп-1(11 + Ь)+ + У—в] Хп(л) Хп-1(1 + Ь) — [V.в Wв\ Хп-1(1) Хп(л + ь)} ,

го

г аЬ/2

Р-в^РъРч) = ^ (Р1 ,Р2>

= (-1) п

=-

п

йц е г аг] х

(1.26)

— 00

х {[Ув Ув] Хп(л) Хп(л + Ъ) — ™—в] 1(1) Хп-1(1 + Ь) + + в Ув] Хп-1(1) Хп(л + ь) — [Ув Ш—в] Хп(л) Хп-1(1 + Щ ,

где а = 2Р1 /у/ёВ, Ь = 2др2/л/~еВ, и использовано свойство Хп(—'л) = (—1)п хп('П). Интегралы (1.25) и (1.26) берутся аналитически с помощью известного интеграла [43]:

00

е"ж Нт(х + а) Нп(х + Ь) Ах = 2п^т\ Ъп~т Ьп~т(—2аЪ), (1.27)

где п > т и ЬП т(х) — обобщенный полином Лагерра:

к /"/п

^ [х)=Ч- Ь ^ е~ ч ■

Используя (1.27), получим:

00

^ е—га^Хп(г])хт(г] + Ь)= (1.28)

р В 2т—п т!

= (—1)п—т]1 е1 2 ' (Ь + га)п—т е(гаЬ—с )/2 Ьпт—т(с2),

где с2 = (а2 + Ь2)/2. Отметим, что в (1.25) и (1.26) функции хЛ7]) входят с индексами, различающимися не более чем на единицу. Приведем ниже требуемые интегралы:

(1г] е—ш^Хп(г]) Хп(г] + Ъ) = е(гаЪ—с )/2 л/ёВ с2), (1.29)

—то

(X)

Аце га71Хп(г])Хп—1(г] + Ь) =

— 00

= е(га6—^)/2 /ёЁПг /±| [Ьп(с2) — Ьп—1(с2)] , (1.30)

\/2 С2

2 о2

(X

(1г] е—га'п Хп(г] + Ь) Хп—1(л) =

= е(га&—^)/2 /ёвП [Ьп(с2) — Ьп—1(с2)] , (1.31)

л/2 с

где Ьп(х) = Ь°п(х) — полином Лагерра, а также учтено свойство:

Ь1п—1(ж) = п [Ьп—1(х) — Ьп(х)].

После интегрирования по переменной фурье-образ матрицы плотности

определенной поляризации может быть представлен в виде [21]:

^в(Р1,Р2) = (—1)п^е—и/2{Ьп(и) ^— Ьп—1(и) [У—в У—в] +

+

2

Ь1п—1(и) — (%Р1 + дР2) \Шв У—в] +

л/2еВп~п—1

+ (гр1 — т) [У— в Ж в]] },

/ёВ _

(1.32)

Г—в(Р1,Р2) = (—1)п^—е—и/2{ Ьп(и) [Ув Ув] — Ьп—1(и) [Ж—в Ж—в] +

+

2

Ь1п—1(и) — (%Р1 — 0Р2) в Vв] +

л/2еВп

+ (гр1 + т) [Ув Ж—в] },

(1.33)

где и = 2(р2 + р2)/еВ. Вычисление билинейных комбинаций биспино-ров W±в и У±в с использованием их явного вида приводит к результату:

в^ ± в=2

(

1 + — )р\\ + Р± + т

П

±в,

У± вУ ± в = 2

(

ти

1 — — )р\\ — р^ + т

П

± в,

2

л/2еВп

2

/2еВп

[— (гр1 + др2) у—в] + (гр1 — др2) [У— в ^в

= — гд

р\\ крчп)

р±

[— (гр1 — др2) в У^ + (т + др2) [Ув №—в

- , . Р\\ ) = р± + гд -.

Р±

(1.34)

(1.35)

Матрицу плотности рщ](р) дираковской частицы заряда де в импульсном пространстве, соответствующую решению (1.14) уравнения Дирака с

положительной энергией и собственным значением М оператора (1.12), определим из соотношения:

n,P2,P3,s Vх/ Тп,р2,P3,S

х) =

е i д Ф(х,х ')

2 EnLyLz j

е- ip(x-x')p(+)(p)i2^1, (1.36)

где р(х — х') = р^(х — х')м, = ( Еп,рх,р2,р3) может интерпретироваться, как 4-импульс частицы.

Подставляя (1.32) и (1.33) в (1.23) и сравнивая это выражение с определением (1.36), получим формулы (1.37) и (1.38) для матрицы плотности в импульсном пространстве.

Матрица плотности рП+](р) для отдельных поляризаций запишется в виде [21]:

pn+lд(р) = (-1)п е"м/2| (1 + ^ )р\\ + Pl + ™

т \

pj

П gLn(u) -

т

1 - — )р\\ - Pl + т pj "

+2

PL-i ß^zr- (ppl) Pl

П- gLn-i(u)

Ln~i(u)

(1.37)

pn+L-g(p) = (-1)n e-u/2\ (1 - т)n - Pl + т

П gLn(u) -

т

1 + — )p\\ +pL + m pj

n-gLn-l(u)

(1.38)

+2

P\\

PL + i ß — (PH) P±

Lh~i(u)

\

Здесь p\\ = (pAi) = Enlo-рзЪ, Pl = (Ml) = Pili + P2I2, (ppl) = P2I1 -P1J2, р^ = F^/В и = F^/В — безразмерные тензор и дуальный тензор электромагнитного поля, А^ = (рр) ^, А^ = (рр)мг,, Пд — оператор проекции спина частицы на направление магнитного поля (см. формулу (А.11) Приложения A). Отметим, что входящие в (1.37) и (1.38)

структуры щ, р±, (р^), р±, Пв, а также аргумент полиномов Лагерра и = 2р\/еВ = 2(р2 + р^)/еВ являются инвариантами относительно преобразований Лоренца вдоль вектора напряженности магнитного поля. Эффективное разбиение 4-мерного пространства в постоянном однородном магнитном поле на два ортогональных подпространства — параллельное (||) и перпендикулярное ( ±), а также алгебра матриц Дирака в этих подпространствах приведены в Приложении А.

После суммирования по поляризациям в, получим выражение для матрицы плотности р^(р), которое не содержит информации о спиновых свойствах заряженной дираковской частицы и, таким образом, не зависит от выбора проектирующих операторов [21]:

р{,+}(р) = £ р1+ХР)

в=±р

рМ(р) = (-1)- 2 е-и/2 х (1.39)

х

'р\\ + т) (ПвЬп(и) _ П_вЬп-г(и)^ + 2рэ±Ь1п_1(и)

При «наивном» суммировании матрицы плотности (1.39) по п, то есть в предположении, что в пределе слабого поля ( В ^ 0) дискретный спектр энергий заряженной частицы переходит в непрерывный ( Еп ^ Е = р2 + т2), получаем стандартное вакуумное выражение:

того

^ рП+) (р) = 2 е_и/2 (щ +т) _1)п ¡ПвЬп(и) _ П_вЬп_1(и)

то

+4 е_и/2 р1_^(_1)пЬ1п_1(и) = р\\ + т _ р± = р + т, (1.40)

п=1

где было использовано правило суммирования обобщённых полиномов Лагерра [44]:

(п + к)!гт ^

х

£{_1]" У(П+Г ^{2х) = тх) С'41)

0 п

п=0

при значениях к = 0 и т = 0,1.

В случае нерелятивистской частицы, пренебрегая всеми поперечными к полю компонентами импульса и полагая О = т/Оц, получим из (1.37) и (1.38) [21]:

Р$=» = (-1)П 2 е-и/2Ьп(и) т (1 + £ц) П„

Р1%-в(р) = (—1)п+1 2 е-и/2Ьп-1(и)т (1 + ЭД П-,, (1.42)

где = (1,0,0, у)/л/ 1 — V2 — 4-скорость движения среды вдоль направления поля. Нетрудно убедиться, что матрица плотности (1.42) описывает состояние с определенной проекцией оператора дираковского спина на направление магнитного поля.

Поскольку волновая функция нерелятивистской заряженной частицы с аномальным магнитным моментом, например протона, не зависит от аномального момента, приведенные выражения описывают матрицу плотности с определенной поляризацией также и в этом случае. Отметим, что учет взаимодействия аномального магнитного момента с магнитным полем снимает вырождение энергии по уровням Ландау:

р3 еВп _ еВ в

Еп,а = т + ^ +--дд —, (1.43)

2 т т 2 т

где число п нумерует уровни Ландау, д — аномальный магнитный момент в ядерных магнетонах для нуклонов и магнетонах Бора для электронов.

Просуммированная по в матрица плотности, соответствующая решению уравнения Дирака с отрицательной энергией (1.16), получается из (1.36) формальной заменой р^ ^ —р^, что приводит к выражению [21]:

с»

_( ) р—г в Ф(х,х') г

£ Си,(х) ,И,(х') = ——— е"'(х—х,) ¿—)(р) -Ц, (1.44)

„__|_1 п у г о

А=±1 -00

рп—)(р) = (—1)п 2 е—и/2 { —т) [Пв^п(и) — П—в Ьп—1(и)] + 2р^ЬП—^и)} .

В приведенной формуле учтено, что знак заряда д для отрицательно частотного решения такой же, как и для положительно частотного.

Для полноты изложения, приведем известные матрицы плотности для безмассового нейтрино левой спиральности с 4-импульсом км = (ш, к):

№(х) ФГ(X) = (к), Р{ 1У)(к) = 1 £ (1 _ Ъ), (1.45)

и для электронейтральной частицы с массой тм и 4-импульсом Р^ =

(Е, Р):

£ СМ С^) = е-2Е_1 "{М)(Р), ^(Р) = Р> + тN, (1.46)

в=±1

где = _г^{)г)\у2г)3 и V = ЬхЬуЬг — нормировочный объём. В нерелятивистском пределе матрица плотности поляризованной электронейтральной частицы имеет вид:

р^)(Р)=тм {1+ ЭД Па, (1.47)

не меняющийся и при учете магнитного момента частицы, например нейтрона. Однако, в этом случае энергия частицы явно зависит от ее поляризации и определяется выражением:

Р2 В

Ей = тм + ъ--д ъ-, (1.48)

2т м 2т м

где — магнитный момент нейтрона в ядерных магнетонах.

1.3. Слабые одновершинные процессы в технике матрицы плотности

В этом разделе покажем, как работает формализм матрицы плотности на следующих примерах: процесс нейтринного синхротронного излучения

е

е

е

= > Ж +

е

е

е

Рис. 1.1. Диаграмма взаимодействия в локальном пределе.

(1.3), процесс аннигиляции электрона и позитрона в пару нейтрино (1.1), а также urca-процесс (1.5). 5-матричные элементы и их квадраты для кроссинг-симметричных процессов могут быть получены соответствующими заменами 4-импульсов частиц.

В низкоэнергетическом пределе, когда переданные в реакции энергия и импульс много меньше массы W-бозона (т\у — 80 ГэВ [45]) (рис. 1.1), локальный эффективный лагранжиан процесса (1.3) может быть записан в виде:

£eff (x) =

^(g)(x)7a (с, + сЛ5) ^(g)(x)l UM(x)7a (1 + 75) ф(г/}(x) , (1.49)

72

где Ср — константа Ферми, ф(®\х) — оператор поля заряженной частицы, )(х) — оператор нейтринного поля, су и са — векторные и аксиальные константы эффективных нейтральных слабых токов. Отметим, что в рассматриваемом пределе значения этих констант для процесса (1.3) зависят от аромата нейтрино [46]:

cie) = +1/2 + 2 sin2 0W, Сае) = +1/2, для V = ve Cv ) = —1/2 + 2 sin2 0w, Ca ) = -1/2, для vx = u^, UT,

(e)

(1.50)

где 0w — угол Вайнберга (sin2 0w — 0.23 [45]). S-матричные элементы процесса (1.3), составленные по локальному эффективному лагранжиа-

ну (1.49), могут быть записаны в виде:

% =

iG

F

V2

'zr.(Q)

Ф

П',Р,2,Р'з,s'

x) Оа(с

(x) ф^О^х)!^ (1.51)

П,Р2 ,Р3,$ V"*-/' Г к' W ^ark Оа = 7a (+ Ca 75) , Oa =7« (1 + 75) ,

гДе (x), ф^p^Лx), фk)(x), фк')(х) - волновые функции электРона

'к Г к'

и неитрино в начальном и конечном состояниях, и интегрирование ведётся по 4-мерному нормировочному объёму ^ = ТЬхЬуЬг.

При использовании формализма матрицы плотности, квадраты 5-матричных элементов, просуммированные по поляризациям частиц, представляются в виде:

£ |%г

S, S '=±1

GF

dpidp[0^ ¿q)(^ ~ jQ)

4^2

Sp p;Q) (p')Oapn) (p) О ß

X

x Sp

p( V)( k')Oap {v)(k)Oß

d xd x'

—i (p-p'—k—k' )(x-x')

16 enue 'n^'L2yL2zV 2'

(1.52)

где р(')м = (е^Щ,), p(^), = ) — 4-импульсы заряженных частиц

и нейтрино в начальном (конечном) состоянии. Квадрат ¿-матричного элемента процесса аннигиляции можно получить кинематической заменой р' ^ —р' в экспоненте, также вместо матрицы плотности для положитель-ночастотного решения р^\р') необходимо использовать матрицу плотности (1.44).

Интегрирование квадратов S-матричных элементов по x и x' тривиально и приводит к следующим результатам:

^z =(—1)п+""^ x

s, s '=±1

2 £nU£ n^'LZ.LZV

y

X

' t(Q)t(V)

Laß Laß

e—(u+u')/Z Ö(4)(p — p' — к — к') dpidpi, (1.53)

(Q) _ ( I)n+n' Ju+u/)/2 1

Lüß' = (—1)"

4sP

рПЧР'О pnQ,(p)Oß

'n' \r f 'üPrQQ 1

Laß = Sp \p(V)(k')Oap(v)(k)Oß

(1.54)

где и = 2р\/еВ, и' = 2р'1 ¡еВ.

При подстановке (1.53) в V* (1.9) получим явно ковариантное выражение [21]:

Г2

-р(1) = ^ 7 * 8(2^)8

п+п

п,п'=0

(?к

ш

[1 - и(ш)]

(?к'

ш

Г[1 - и(ш')] (к' + к), (1.55)

х

( ?

п

/д(^п)

( ?

[1 - 'п)] $(4)(Р -р'-к -к') е~(и+и

')/2

Ьа/ Ьа/

где (ш(')) и fQ(s'пl)) — функции распределения начальных (конечных) нейтрино и заряженной частицы.

Поскольку шпур от нечётного числа 7-матриц равен нулю, то после небольших преобразований с использованием коммутационных свойств матрицы 75 с проекционным оператором (Пв75 = 75Пв), нетрудно получить следующие выражения:

^ = Зр

1^11 (П дЬп' (и') - П-дЬп'-1(и')) + 2^ Ь1п,_1(и')} ^а х |П дЬп(и) - П-вЬп-1(и)^ + 2р±Ь1-1(и)} (1.56)

+

X + с1 + 2 ОоСа 75)

+mQ (сI - с2а) Зр (П вЬп'(и') - П-в^п-1(и')) х 7^Пв Ьп(и) - П-вЬп-^ии^р

Ь^ = 28р к'^Мз (1+ 75)

(1.57)

для шпуров, входящих в (1.58) При использовании свойств (А.12)-(А.15), (А.19) и (А.21) (см. Приложение А) приведенные выше громоздкие шпуры вычисляются без особых трудностей.

Выражение для 4-импульса процесса аннигиляции:

Г2

Ю (1) = ' * 8(2^)8

00

(-1)

п+п

п, п =0

А

ш

[1 - и(ш)]

((?к'

ш

Г[1 - и(ш')] (к' + к), х

X

( ?

fQ(Zп)

?

Т-fQ(e п) Ь(4)(Р+Р '-к -к') е-^

')/2

Ь (Q)Ь(^)'

Ьа/3 Ьа/3

, (1.58)

п

В выражении для электрон-позитронного шпура процесса аннигиляции по сравнению с синхротронным меняет знак слагаемое пропорциональное квадрату массы. Смена знака связана с использованием отрицательноча-стотнои матрицы плотности:

f (Q) _

L«3 _

Sp П gLn(u') - U-gLn>-i(u')) + Lln,-l(u')} 7« x Ip¡ (Пg Ln(u) - U-e Ln-i (u)) + L1n_1 (u)}

+ c2a + 2 cvca 75) _ _mQ (cV _ ca) Sp (ueLn>(u) _ U_gLn'_i(u'))

X7^ügLn(u) _ П_дLn_i(u)j73 .

(1.59)

Аналогичные реакции можно рассчитать и для нуклонных процессов. В низкоэнергетическом пределе локальный эффективный лагранжиан urca-процесса (1.5) может быть представлен в виде [46]:

Gp cos 0с

ffx) _

V2

ф (x)7 + 9a7b

x

X

X

фН(х)7с (1 +

е)

x

(1.60)

где вс — угол Кабиббо (sin вс ~ 0.22 [45]), ^(x), ф(р>(х) - операторы нуклонных полей. Для процессов с участием нуклонов константы слабых токов зависят от типа нуклона:

gVp) _ 0.07/2, д™ _ 1.09/2, для Q _р (протон), gíN) _ -1/2, д^ _ -0.91/2, для Q _ N (нейтрон).

»

(1.61)

5-матричный элемент процесса (1.5), соответствующий локальному эффективному лагранжиану (1.60), запишется в виде:

с(2) _

V2

ФN'(х) Оа(д)ф^РъРзг9

x

Ф? )(х) о« ф.

( )

« фт',q2,q3,s"

X

d4x, (1.62)

гДе Gf = GFgv cos 6C, g = gjgv ~ 1.26, Ф^р,^(x) и ^^^„(х) - волновые функции протона и электрона, фРр,\/(x) — нейтрона, ф^^(x) — нейтрино.

После суммирования по поляризациям:

£

S, s ',s "=±1

о (2)

х Sp

2 = G 2

dq1 dP]

4к2

1 Sp p(N)(P)Oa(g)№(P)O,(g)

x

' p(v) (q')OaP t])(Q)o^

d4x d4x'

_i (P+q-P '_q ')(x-x')

16 Emem,E> (¿LfLfV2

, (1.63)

где Р* = (Ет, Р), я* = (ет,, я), Р= (Е', Р') и ^ = (%0, я') — 4-импульсы протона, электрона, нейтрона и нейтрино.

После интегрирования по координатам x, x':

£

О(

(2)

s, s', S "=±1

(_1)m+mVGfT

= 2 EmSm'E' (iLLlV

X

X

[ Nal3Lal3] e_(v+v')/2 ¿(4)(P + q _P _q') dq^Ph (1.64)

NaP = (_1)mev/2 - Sp \p(N)(P)Oa(g)p^P)O,(g)

La,i = (_1)m'ev'/2 -Sp \p(")(q')Oap^,(q)Op

Получаем значение

G2

T>(2) = G2 7 * 8(2^)8

X

d3q

m

fe(£m')

(_1)

m,m'=0

d3P'

m+m

d3q'

0

f [1 _ U (я 0)] i

d3P E

fp(Em) X (1.65)

E

[1 _ fN(E')] ¿(4)(P + q _P _q') e_(v+v')/2 [NaPLap] .

Шпуры запишем в виде:

+2 Я^Ы} 1 + д2 + 2^)] +

+тмтр (1 - д2)Бр П+Ьто(^) - П-Ьт-^))^^ ,

(1.66)

= 28р (г/) - П+ Ьт,_1 (г/)) +

+2$^'-!(*/)} 7/з (1 + 75)

(1.67)

1.4. Выводы к первой главе

В данной главе получено инвариантное, в смысле преобразований Лоренца вдоль вектора напряженности магнитного поля, представление для матрицы плотности заряженной релятивистской спинорной частицы, находящейся в постоянном однородном магнитном поле. В формализме матрицы плотности развита техника вычисления скорости реакции и 4-импульса, уносимого нейтрино из плазмы, в одновершинных нейтринных процессах. Эффективность этой техники продемонстрирована при получении ковари-антного выражения 4-вектора для процессов аннигиляции электрона и позитрона в пару нейтрино, нейтринного синхротронного излучения электроном (позитроном).

Нейтринное остывание файербола в модели гигантской вспышки SGR.

2.1. Введение

В настоящей главе процессы лептонного рождения нейтринной пары используются для анализа скорости нейтринного охлаждения элек-трон-позитронной плазмы на стадии гигантской вспышки мягкого рентгеновского повторителя (БОИ) в магнитарной модели [19]. В этой модели невырожденная горячая (Т ~ 1МэВ) плазма (файербол) удерживается над поверхностью нейтронной звезды сильным магнитном полем напряженности В ~ (1014 - 1015)Гс. Авторами магнитарной модели предполагалось, что основной процесс нейтринного охлаждения файербола - аннигиляция электрона и позитрона в пару нейтрино, в которой электроны и позитроны занимают лишь основной уровень Ландау [19]. Отметим, что в условиях файербола принципиально важно учесть следующий уровень Ландау (п или п' = 1). Как нами будет показано, его учет существенно увеличивает светимость в процессе.

Далее, как будет показано в данной главе, нейтринная светимость в процессе синхротронного излучения пары нейтрино электроном (позитроном) в условиях файербола того же порядка, что и в процессе аннигиляции. Это означает, что в условиях магнитарной модели гигантской вспышки БОИ (невырожденная электрон-позитронная плазма при Т > те, В ~ (1014 - 1015) Гс) необходимо оценить нейтринную светимость как в процессе аннигиляции так и в нейтринном синхротронном излучении при

(п,п') = (0,1), (1,0). Здесь п,п' - уровень Ландау электрона, позитрона в реакции аннигиляции и начального, конечного электрона (позитрона) в реакции синхротронного рождения пары нейтрино. Отметим, что интерполяционные формулы светимости этих процессов, подходящие и для рассматриваемой асимптотики, получены в работах [47], [48].

В данной главе нейтринные светимости в процессах аннигиляции + -пары в пару нейтрино и нейтринного синхротронного излучения электроном (позитроном) вычислены независимо в формализме матрицы плотности заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле. Не считая применение этого формализма для вычисления светимостей фундаментальным результатом, мы, однако, указываем на три положительных момента в развитой нами технике вычисления. Во-первых, полученные в [47], [48] результаты не проверялись независимыми вычислениями. Во-вторых, техника матрицы плотности заряженной частицы в импульсном представлении подобна технике вычисления фейнмановских диаграмм в вакууме и, следовательно, может быть быстро освоена специалистами, не имеющими опыта вычисления процессов во внешнем магнитном поле. В-третьих, полученное нами импульсное представление поляризованной матрицы плотности заряженной частицы и вычисляемые с ее помощью интегральные величины явно ковариантны относительно преобразований Лоренца вдоль по направлению вектора напряженности магнитного поля. Это позволяет получить интегральные характеристики (длину пробега, переданный импульс, светимость и т.п.) в системе отсчета, движущейся с произвольной скоростью вдоль вектора напряженности магнитного поля нейтронной звезды (остатка коллапса), что может быть очень важным при описании процессов нейтринного остывания в ударной волне сверхновой, гамма-вспышке БОИ и космологических гамма-всплесках (ОИБ). Отметим, что элемен-

ты вычисления, в которых введено некоторое подобие вакуумной матрицы плотности, использовались еще в работе [12]. Функциональное выражение матрицы плотности в координатном пространстве получено в работе [31]. Однако его все еще невозможно применить для вычисления вероятности или светимости процесса техникой, подобной вакуумной [32].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осокина Елена Владимировна, 2015 год

того

^ рП+) (р) = 2 е_и/2 (щ +т) _1)п ¡ПвЬп(и) _ П_вЬп_1(и)

то

+4 е_и/2 р1_^(_1)пЬ1п_1(и) = р\\ + т _ р± = р + т, (1.40)

п=1

где было использовано правило суммирования обобщённых полиномов Лагерра [44]:

(п + к)!гт ^

х

£{_1]" У(П+Г ^{2х) = тх) С'41)

0 п

п=0

при значениях к = 0 и т = 0,1.

В случае нерелятивистской частицы, пренебрегая всеми поперечными к полю компонентами импульса и полагая О = т/Оц, получим из (1.37) и (1.38) [21]:

Р$=» = (-1)П 2 е-и/2Ьп(и) т (1 + £ц) П„

Р1%-в(р) = (—1)п+1 2 е-и/2Ьп-1(и)т (1 + ЭД П-,, (1.42)

где = (1,0,0, у)/л/ 1 — V2 — 4-скорость движения среды вдоль направления поля. Нетрудно убедиться, что матрица плотности (1.42) описывает состояние с определенной проекцией оператора дираковского спина на направление магнитного поля.

Поскольку волновая функция нерелятивистской заряженной частицы с аномальным магнитным моментом, например протона, не зависит от аномального момента, приведенные выражения описывают матрицу плотности с определенной поляризацией также и в этом случае. Отметим, что учет взаимодействия аномального магнитного момента с магнитным полем снимает вырождение энергии по уровням Ландау:

р3 еВп _ еВ в

Еп,а = т + ^ +--дд —, (1.43)

2 т т 2 т

где число п нумерует уровни Ландау, д — аномальный магнитный момент в ядерных магнетонах для нуклонов и магнетонах Бора для электронов.

Просуммированная по в матрица плотности, соответствующая решению уравнения Дирака с отрицательной энергией (1.16), получается из (1.36) формальной заменой р^ ^ —р^, что приводит к выражению [21]:

с»

_( ) р—г в Ф(х,х') г

£ Си,(х) ,И,(х') = ——— е"'(х—х,) ¿—)(р) -Ц, (1.44)

„__|_1 п у г о

А=±1 -00

рп—)(р) = (—1)п 2 е—и/2 { —т) [Пв^п(и) — П—в Ьп—1(и)] + 2р^ЬП—^и)} .

В приведенной формуле учтено, что знак заряда д для отрицательно частотного решения такой же, как и для положительно частотного.

Для полноты изложения, приведем известные матрицы плотности для безмассового нейтрино левой спиральности с 4-импульсом км = (ш, к):

№(х) ФГ(X) = (к), Р{ 1У)(к) = 1 £ (1 _ Ъ), (1.45)

и для электронейтральной частицы с массой тм и 4-импульсом Р^ =

(Е, Р):

£ СМ С^) = е-2Е_1 "{М)(Р), ^(Р) = Р> + тN, (1.46)

в=±1

где = _г^{)г)\у2г)3 и V = ЬхЬуЬг — нормировочный объём. В нерелятивистском пределе матрица плотности поляризованной электронейтральной частицы имеет вид:

р^)(Р)=тм {1+ ЭД Па, (1.47)

не меняющийся и при учете магнитного момента частицы, например нейтрона. Однако, в этом случае энергия частицы явно зависит от ее поляризации и определяется выражением:

Р2 В

Ей = тм + ъ--д ъ-, (1.48)

2т м 2т м

где — магнитный момент нейтрона в ядерных магнетонах.

1.3. Слабые одновершинные процессы в технике матрицы плотности

В этом разделе покажем, как работает формализм матрицы плотности на следующих примерах: процесс нейтринного синхротронного излучения

е

е

е

= > Ж +

е

е

е

Рис. 1.1. Диаграмма взаимодействия в локальном пределе.

(1.3), процесс аннигиляции электрона и позитрона в пару нейтрино (1.1), а также urca-процесс (1.5). 5-матричные элементы и их квадраты для кроссинг-симметричных процессов могут быть получены соответствующими заменами 4-импульсов частиц.

В низкоэнергетическом пределе, когда переданные в реакции энергия и импульс много меньше массы W-бозона (т\у — 80 ГэВ [45]) (рис. 1.1), локальный эффективный лагранжиан процесса (1.3) может быть записан в виде:

£eff (x) =

^(g)(x)7a (с, + сЛ5) ^(g)(x)l UM(x)7a (1 + 75) ф(г/}(x) , (1.49)

72

где Ср — константа Ферми, ф(®\х) — оператор поля заряженной частицы, )(х) — оператор нейтринного поля, су и са — векторные и аксиальные константы эффективных нейтральных слабых токов. Отметим, что в рассматриваемом пределе значения этих констант для процесса (1.3) зависят от аромата нейтрино [46]:

cie) = +1/2 + 2 sin2 0W, Сае) = +1/2, для V = ve Cv ) = —1/2 + 2 sin2 0w, Ca ) = -1/2, для vx = u^, UT,

(e)

(1.50)

где 0w — угол Вайнберга (sin2 0w — 0.23 [45]). S-матричные элементы процесса (1.3), составленные по локальному эффективному лагранжиа-

ну (1.49), могут быть записаны в виде:

% =

iG

F

V2

'zr.(Q)

Ф

П',Р,2,Р'з,s'

x) Оа(с

(x) ф^О^х)!^ (1.51)

П,Р2 ,Р3,$ V"*-/' Г к' W ^ark Оа = 7a (+ Ca 75) , Oa =7« (1 + 75) ,

гДе (x), ф^p^Лx), фk)(x), фк')(х) - волновые функции электРона

'к Г к'

и неитрино в начальном и конечном состояниях, и интегрирование ведётся по 4-мерному нормировочному объёму ^ = ТЬхЬуЬг.

При использовании формализма матрицы плотности, квадраты 5-матричных элементов, просуммированные по поляризациям частиц, представляются в виде:

£ |%г

S, S '=±1

GF

dpidp[0^ ¿q)(^ ~ jQ)

4^2

Sp p;Q) (p')Oapn) (p) О ß

X

x Sp

p( V)( k')Oap {v)(k)Oß

d xd x'

—i (p-p'—k—k' )(x-x')

16 enue 'n^'L2yL2zV 2'

(1.52)

где р(')м = (е^Щ,), p(^), = ) — 4-импульсы заряженных частиц

и нейтрино в начальном (конечном) состоянии. Квадрат ¿-матричного элемента процесса аннигиляции можно получить кинематической заменой р' ^ —р' в экспоненте, также вместо матрицы плотности для положитель-ночастотного решения р^\р') необходимо использовать матрицу плотности (1.44).

Интегрирование квадратов S-матричных элементов по x и x' тривиально и приводит к следующим результатам:

^z =(—1)п+""^ x

s, s '=±1

2 £nU£ n^'LZ.LZV

y

X

' t(Q)t(V)

Laß Laß

e—(u+u')/Z Ö(4)(p — p' — к — к') dpidpi, (1.53)

(Q) _ ( I)n+n' Ju+u/)/2 1

Lüß' = (—1)"

4sP

рПЧР'О pnQ,(p)Oß

'n' \r f 'üPrQQ 1

Laß = Sp \p(V)(k')Oap(v)(k)Oß

(1.54)

где и = 2р\/еВ, и' = 2р'1 ¡еВ.

При подстановке (1.53) в V* (1.9) получим явно ковариантное выражение [21]:

Г2

-р(1) = ^ 7 * 8(2^)8

п+п

п,п'=0

(?к

ш

[1 - и(ш)]

(?к'

ш

Г[1 - и(ш')] (к' + к), (1.55)

х

( ?

п

/д(^п)

( ?

[1 - 'п)] $(4)(Р -р'-к -к') е~(и+и

')/2

Ьа/ Ьа/

где (ш(')) и fQ(s'пl)) — функции распределения начальных (конечных) нейтрино и заряженной частицы.

Поскольку шпур от нечётного числа 7-матриц равен нулю, то после небольших преобразований с использованием коммутационных свойств матрицы 75 с проекционным оператором (Пв75 = 75Пв), нетрудно получить следующие выражения:

^ = Зр

1^11 (П дЬп' (и') - П-дЬп'-1(и')) + 2^ Ь1п,_1(и')} ^а х |П дЬп(и) - П-вЬп-1(и)^ + 2р±Ь1-1(и)} (1.56)

+

X + с1 + 2 ОоСа 75)

+mQ (сI - с2а) Зр (П вЬп'(и') - П-в^п-1(и')) х 7^Пв Ьп(и) - П-вЬп-^ии^р

Ь^ = 28р к'^Мз (1+ 75)

(1.57)

для шпуров, входящих в (1.58) При использовании свойств (А.12)-(А.15), (А.19) и (А.21) (см. Приложение А) приведенные выше громоздкие шпуры вычисляются без особых трудностей.

Выражение для 4-импульса процесса аннигиляции:

Г2

Ю (1) = ' * 8(2^)8

00

(-1)

п+п

п, п =0

А

ш

[1 - и(ш)]

((?к'

ш

Г[1 - и(ш')] (к' + к), х

X

( ?

fQ(Zп)

?

Т-fQ(e п) Ь(4)(Р+Р '-к -к') е-^

')/2

Ь (Q)Ь(^)'

Ьа/3 Ьа/3

, (1.58)

п

В выражении для электрон-позитронного шпура процесса аннигиляции по сравнению с синхротронным меняет знак слагаемое пропорциональное квадрату массы. Смена знака связана с использованием отрицательноча-стотнои матрицы плотности:

f (Q) _

L«3 _

Sp П gLn(u') - U-gLn>-i(u')) + Lln,-l(u')} 7« x Ip¡ (Пg Ln(u) - U-e Ln-i (u)) + L1n_1 (u)}

+ c2a + 2 cvca 75) _ _mQ (cV _ ca) Sp (ueLn>(u) _ U_gLn'_i(u'))

X7^ügLn(u) _ П_дLn_i(u)j73 .

(1.59)

Аналогичные реакции можно рассчитать и для нуклонных процессов. В низкоэнергетическом пределе локальный эффективный лагранжиан urca-процесса (1.5) может быть представлен в виде [46]:

Gp cos 0с

ffx) _

V2

ф (x)7 + 9a7b

x

X

X

фН(х)7с (1 +

е)

x

(1.60)

где вс — угол Кабиббо (sin вс ~ 0.22 [45]), ^(x), ф(р>(х) - операторы нуклонных полей. Для процессов с участием нуклонов константы слабых токов зависят от типа нуклона:

gVp) _ 0.07/2, д™ _ 1.09/2, для Q _р (протон), gíN) _ -1/2, д^ _ -0.91/2, для Q _ N (нейтрон).

»

(1.61)

5-матричный элемент процесса (1.5), соответствующий локальному эффективному лагранжиану (1.60), запишется в виде:

с(2) _

V2

ФN'(х) Оа(д)ф^РъРзг9

x

Ф? )(х) о« ф.

( )

« фт',q2,q3,s"

X

d4x, (1.62)

гДе Gf = GFgv cos 6C, g = gjgv ~ 1.26, Ф^р,^(x) и ^^^„(х) - волновые функции протона и электрона, фРр,\/(x) — нейтрона, ф^^(x) — нейтрино.

После суммирования по поляризациям:

£

S, s ',s "=±1

о (2)

х Sp

2 = G 2

dq1 dP]

4к2

1 Sp p(N)(P)Oa(g)№(P)O,(g)

x

' p(v) (q')OaP t])(Q)o^

d4x d4x'

_i (P+q-P '_q ')(x-x')

16 Emem,E> (¿LfLfV2

, (1.63)

где Р* = (Ет, Р), я* = (ет,, я), Р= (Е', Р') и ^ = (%0, я') — 4-импульсы протона, электрона, нейтрона и нейтрино.

После интегрирования по координатам x, x':

£

О(

(2)

s, s', S "=±1

(_1)m+mVGfT

= 2 EmSm'E' (iLLlV

X

X

[ Nal3Lal3] e_(v+v')/2 ¿(4)(P + q _P _q') dq^Ph (1.64)

NaP = (_1)mev/2 - Sp \p(N)(P)Oa(g)p^P)O,(g)

La,i = (_1)m'ev'/2 -Sp \p(")(q')Oap^,(q)Op

Получаем значение

G2

T>(2) = G2 7 * 8(2^)8

X

d3q

m

fe(£m')

(_1)

m,m'=0

d3P'

m+m

d3q'

0

f [1 _ U (я 0)] i

d3P E

fp(Em) X (1.65)

E

[1 _ fN(E')] ¿(4)(P + q _P _q') e_(v+v')/2 [NaPLap] .

Шпуры запишем в виде:

+2 Я^Ы} 1 + д2 + 2^)] +

+тмтр (1 - д2)Бр П+Ьто(^) - П-Ьт-^))^^ ,

(1.66)

= 28р (г/) - П+ Ьт,_1 (г/)) +

+2$^'-!(*/)} 7/з (1 + 75)

(1.67)

1.4. Выводы к первой главе

В данной главе получено инвариантное, в смысле преобразований Лоренца вдоль вектора напряженности магнитного поля, представление для матрицы плотности заряженной релятивистской спинорной частицы, находящейся в постоянном однородном магнитном поле. В формализме матрицы плотности развита техника вычисления скорости реакции и 4-импульса, уносимого нейтрино из плазмы, в одновершинных нейтринных процессах. Эффективность этой техники продемонстрирована при получении ковари-антного выражения 4-вектора для процессов аннигиляции электрона и позитрона в пару нейтрино, нейтринного синхротронного излучения электроном (позитроном).

Нейтринное остывание файербола в модели гигантской вспышки SGR.

2.1. Введение

В настоящей главе процессы лептонного рождения нейтринной пары используются для анализа скорости нейтринного охлаждения элек-трон-позитронной плазмы на стадии гигантской вспышки мягкого рентгеновского повторителя (БОИ) в магнитарной модели [19]. В этой модели невырожденная горячая (Т ~ 1МэВ) плазма (файербол) удерживается над поверхностью нейтронной звезды сильным магнитном полем напряженности В ~ (1014 - 1015)Гс. Авторами магнитарной модели предполагалось, что основной процесс нейтринного охлаждения файербола - аннигиляция электрона и позитрона в пару нейтрино, в которой электроны и позитроны занимают лишь основной уровень Ландау [19]. Отметим, что в условиях файербола принципиально важно учесть следующий уровень Ландау (п или п' = 1). Как нами будет показано, его учет существенно увеличивает светимость в процессе.

Далее, как будет показано в данной главе, нейтринная светимость в процессе синхротронного излучения пары нейтрино электроном (позитроном) в условиях файербола того же порядка, что и в процессе аннигиляции. Это означает, что в условиях магнитарной модели гигантской вспышки БОИ (невырожденная электрон-позитронная плазма при Т > те, В ~ (1014 - 1015) Гс) необходимо оценить нейтринную светимость как в процессе аннигиляции так и в нейтринном синхротронном излучении при

(п,п') = (0,1), (1,0). Здесь п,п' - уровень Ландау электрона, позитрона в реакции аннигиляции и начального, конечного электрона (позитрона) в реакции синхротронного рождения пары нейтрино. Отметим, что интерполяционные формулы светимости этих процессов, подходящие и для рассматриваемой асимптотики, получены в работах [47], [48].

В данной главе нейтринные светимости в процессах аннигиляции + -пары в пару нейтрино и нейтринного синхротронного излучения электроном (позитроном) вычислены независимо в формализме матрицы плотности заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле. Не считая применение этого формализма для вычисления светимостей фундаментальным результатом, мы, однако, указываем на три положительных момента в развитой нами технике вычисления. Во-первых, полученные в [47], [48] результаты не проверялись независимыми вычислениями. Во-вторых, техника матрицы плотности заряженной частицы в импульсном представлении подобна технике вычисления фейнмановских диаграмм в вакууме и, следовательно, может быть быстро освоена специалистами, не имеющими опыта вычисления процессов во внешнем магнитном поле. В-третьих, полученное нами импульсное представление поляризованной матрицы плотности заряженной частицы и вычисляемые с ее помощью интегральные величины явно ковариантны относительно преобразований Лоренца вдоль по направлению вектора напряженности магнитного поля. Это позволяет получить интегральные характеристики (длину пробега, переданный импульс, светимость и т.п.) в системе отсчета, движущейся с произвольной скоростью вдоль вектора напряженности магнитного поля нейтронной звезды (остатка коллапса), что может быть очень важным при описании процессов нейтринного остывания в ударной волне сверхновой, гамма-вспышке БОИ и космологических гамма-всплесках (ОИБ). Отметим, что элемен-

ты вычисления, в которых введено некоторое подобие вакуумной матрицы плотности, использовались еще в работе [12]. Функциональное выражение матрицы плотности в координатном пространстве получено в работе [31]. Однако его все еще невозможно применить для вычисления вероятности или светимости процесса техникой, подобной вакуумной [32].

Для этих целей мы используем ковариантное выражение матрицы плотности заряженного фермиона во внешнем магнитном поле в импульсном пространстве [21], подробно исследованное в предыдущей главе. Матрица плотности позволяет развить технику вычисления светимостей в процессах, подобную технике вычисления в вакууме.

Данная глава организована следующим образом. В Разделе 2.2 вычисляется нейтринная светимость в процессе нейтринного синхротронного излучения (1.3) и кроссинг-процессе аннигиляции (1.1). Детально исследуется предел сильного магнитного поля, интересующий нас в дальнейшем в приложении к магнитарам. Для вычисления интегралов по поперечным к полю компонентам импульса заряженных частиц от произведения двух полиномов Лагерра нами развита техника, Подробно изложенная в Приложении Б.

В Разделе 2.3 анализируются все значимые процессы нейтринного остывания горячей невырожденной электрон-позитронной плазмы. Показано, что в пределе сильного магнитного поля В ~ (1015 - 1016) Гс доминирующий вклад в нейтринное остывание дают процессы аннигиляции и нейтринного синхротронного излучения.

Полученные выражения нейтринных светимостей используются в разделе 2.4 при моделировании нейтринного остывания файербола в период гигантской вспышки БОИ. Детальный анализ нейтринного и рентгеновского остывания файербола позволяет получить нижнее ограничение на

напряженность магнитного поля рассматриваемого магнитара [22]. Раздел 2.5 содержит основные выводы по полученным в данной главе результатам.

2.2. Нейтринная светимость в процессе ет ет + ргщ

В данном разделе в формализме матрицы плотности вычисляется нейтринная светимость в процессе синхротронного излучения нейтринной пары электроном (позитроном). История изучения этой реакции насчитывает более сорока лет. Впервые процесс нейтринного синхротронного излучения рассматривался в работе [49], дальнейшие исследования были проведены в работах [50, 51]. Вычисление данной реакции аналогично расчету фотонного синхротронного излучения во внешнем поле [52], в работах [53-57] исследовались вероятности при большой разнице между уровнями Ландау и, в частности, при переходе на основной уровень. В работах [58-60] рассчитывалась светимость нейтринного остывания нейтронных звезд. Выражение для нейтринной светимости нейтринного синхротронного процесса и интерполяционная формула для численного расчета, в предположении что вещество прозрачно для нейтрино, получены в работе [61].

Вычислим Т^ (1.9) для нейтрино определенного аромата в том же предположении, что и в работе [61]. Результат вычислений необходимо просуммировать по всем ароматам нейтрино г = е,ц, т, учитывая значения векторных и аксиальных констант (1.50) слабых токов.

Ги =

Г*2 ^ с

м 8(2^)8

(?к

ш

[1 - и(ш)]

(?к

оо

г [1 -и(ш)](к + £ (-1)"+"' *

ш —

п.п'=0

X

(?р

Ке п)

п

п

^ [1 - № П)] е-(м+м')/2 5(% -р'-к -к'). (2.1)

п

При переходе от нейтринного синхротронного излучения к кроссинг-процессу рассеяния необходимо заменить 4-импульс нейтрино км ^ - км и

функцию распределения конечной частицы. Напомним, что здесь р(/)м = (, р(/)) — 4-векторы импульса начального (конечного) электрона, электронный шпур Ь^ф соответствует выражению (1.56) при д = -1, нейтринный шпур Ь^ — выражению (1.57), и для электронов используются равновесные функции распределения:

/(-«) = ¡^¿тт, (2-2)

где г/ = д/Т, д - хим.потенциал. В дальнейшем предположим, что нейтрино излучаются свободно. Следовательно выражение (2.1) может быть ковариантно проинтегрировано по импульсам нейтрино. Для этого удобно ввести интегральную единицу:

(14д5(4)(р -р' - д) = 1, (2.3)

И определить тензорный интеграл 1а/з, который довольно легко вычисляется:

1аР =

Л Г Л' ,, ,, ч ^(у) 16п ш ш' " ^ = ~3

к- 5(4)(к + к' - д) Ь™ = ^ - д2даР) %2). (2.4)

тогда выражение (2.1) может быть приведено к виду:

П2 * ж ^ т?

Гп = р

2)

п,п'=0

А я, %2) £ (-1)п+^ ^ Кеп)\ а-/~ [1 - Л4)] х

(е) т^У

п

м 3(2^)7

х е-(и+и')/2 $(4)(р -4- д) - д2даЬ1) . (2.5)

Рассмотрим нулевую компоненту ^ этого 4-вектора (нейтринную светимость). При вычислении свертки Ь^ с векторами да и д@ в светимости не следует учитывать члены, линейные по су са, поскольку они линейны либо по р3, либо по р'3, и зануляются при интегрировании по этим переменным.

В результате получим:

ЯаЯ^Ь^ = 2 (С2 + С2){ - (рЛр') Й [Ьп(и)Ьп>-\(и') + Ьп-\(и)Ьп> (и')] +

+ (2(рЛд) (р'Лд) - ^ (р'&р)) [Ьп(и)Ьп(и') + Ьп-\(и)Ьп'-х(и')] +

+4(рЛ д) (р'Ад) Ь^^и) [Ьп(и') - Ьп-г(и')] +

+4(р'Лд) (рАд) ЬЪ-г(и') [Ьп(и) - Ьп_х(и)] +

+8 (2(рЛд) (р'Лд) + д2 (р'Лр)) Ьп-1(и) Ьп,-(и')} +

+2т2 (с2 - с1){д\ [ Ьп(и)Ьп(и') + Ьп-1(и)Ьп-1(и')] +

+д2 [ Ьп(и) Ьп-1(и') + Ьп-1(и)Ьп(и')] }, (2.6)

где и = 2^2/сВ, и' = 2^/еВ, п(') — уровни Ландау начальной (конечной) частицы.

Заметим, что, вследствие сохранения векторного тока, выполняется тождество:

= 0, (2.7)

С?; Сп. —0

так что большая часть членов в выражении (2.6) равна нулю. Свертка дарЬ^ф имеет простой компактный вид:

= -4т2 (с1 - с2) [Ьп(и) -Ьп-1(и)][Ьп(и) - Ьп>-1(11')] +

+4 (с1 + с2а) {(р'Лр) [Ьп(и')Ьп-1 (и) + Ьп-1(и)Ьп(и)]

+8(рЛ)Ьп_1(и)Ьп,_1(и)} . (2.8)

Далее приведем результаты вычисления содержащихся в (2.5) интегралов по поперечным к полю компонентам импульсов электронов в терминах нормированных функций Лагерра [20, 62]:

Рп'п(у) = а/ ^ ^п-п')/2 е-^2^- И = П! 1Щп> (V). (2.9)

V П!

Скалярный, векторные и тензорный интегралы в терминах этих функций могут быть представлены в виде [21]:

5 (п''п)(у)

<12р 1

= (-1)"

АЛ ¿(2)(Р1 - р{ - Ч±) Ьп(и)К.(и') е-1"+"'>/2 = „ пеВ

2

2

(у),

п ,п\ ) '

(2.10)

уап',п)(у)

2

¿<2)(Р1 - р! - 41) Р1а Ь1_ 1(и)Ьп!(и) е-("+"')/2 =

= (-1)

п п 1

пеВ

п

у у д1а.К>,п(у) Fп',п_l(v),

(2.11)

К(п,п') (у)

с(2р 1

(12р'^(2\р1 - р! - 41)^аЬп(и)Ьп_ 1(и) е-(и+и')/2 =

= (-1)п-п-1 ^УП Я1а рп>(у) Еп'-1,п(у),

(2.12)

т^п' )(у) =

2 1

с!2р1 6(2)(р1 ± р1 - 41) р1ар!р Ьп-1 (и)ьп-1(и') е-(и+и')/2

= ±(-1)

п'-п-1 ПеВ ^

п п

16 У

(2Я1 а Я1/3

+ д2 Ка^ ^п',п(у) ^п'-1,п-1(у)

ар I ^п'.п—1 (У) ^-1

(у) +

(2.13)

где у = д2/(2еВ).

После вычисления интегралов по поперечным к полю импульсам электронов нейтринная светимость процесса может быть приведена к виду [21]:

Яв =

С2ре В

6(2п)6

А до %2) £

(1р 3

п

Ф3

X

—оо —оо

х¡(еп) [1 - /(4)] £п - - до) ¿(рз - рЗ - дз) х

с2 + с2а) д2 2 еВ(п + п') ( Ф(у) - Ф(у) ) - д2Ф(у)

2 т

д2 {с1 Ф(у) - 2с2Ф(у)) + с2ад21 (Ф(у) - Ф(у)) ] }, (2.14)

2

где ) = р2п,+ -1,п-1(^) и Ф(г;) = р2^—ЖР2'-1>п(г;). Полученное выражение (2.14) совпадает с соответствующим результатом работы [61].

Нейтринная светимость в процессе аннигиляции (1.1) может быть легко получена из (2.14) при заменах в подинтегральном выражении е'п, ^ —е'п!, р'3 ^ —р'3, 1 — /(е'п') ^ /(е'п'), с заменой знака химического потенциала р в функции распределения /(е'п,) и у члена в фигурных скобках, пропорционального квадрату массы электрона. Последняя замена обусловлена использованием матрицы плотности рп—\рг) (1.44) для позитрона (д = — 1), которая отличается от р^(р') (1.39) для электрона ( д = —1) знаком перед массой частицы.

В случае сильного магнитного поля концентрация электронов и позитронов на уровнях Ландау с п > 1 экспоненциально подавлена, поэтому в процессе (1.1) ограничимся рассмотрением вкладов либо с п = 0, либо с П = 0, а в процессе (1.3) — вклада с П = 0. Тогда выражение для нейтринной светимости (2.14) существенно упрощается [21]:

сив

Пп,0) = в УГ^

=6(2^)6^

п=0 1 ' п=0

А 4о %2) 1п(до, Чз,гП,Т) х

х {(с2 + с2а) д2 (2 еВп — д^ Ро}^)— (2.15)

—2т2