Однородные вещественные гиперповерхности пространства C3 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Нгуен Тхи Тхуи Зыонг

• Нгуен Тхи Тхуи Зыонг
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нгуен Тхи Тхуи Зыонг

Введение.

Глава 1. Схема изучения аффинно-однородных гиперповерхностей трубчатого типа в С3.

1.1. Канонические уравнения поверхностей трубчатого типа в С

1.2. Различные подходы к понятию однородности.

1.3. Оценка размерности алгебры д(М) для однородных поверхностей трубчатого типа.

1.3.1. Компонента веса 2 основного тождества.

1.3.2. Компонента веса 3 основного тождества

1.4. Примеры аффипио-однородиых поверхностей трубчатого типа с "богатыми" алгебрами д(М)

1.5. 5-мерные алгебры, отвечающие однородным поверхностям трубчатого типа.

1.6. Коэффициентные запреты па размерность алгебры д(М)

1.7. Описание однородных поверхностей с "богатыми" алгебрами д(М)

Глава 2. Аффинно-однородные поверхности трубчатого типа с 5-мерными алгебрами д(М)

2.1. Вычислительная схема описания матричных алгебр.

2.2. Случай многочлена Fз с нетривиальной и-компонентой.

2.2.1. Упрощенно вспомогательной системы.

2.2.2. Случай ¿7 = 0.

2.2.3. Случай /7 / 0.

2.3. Случай пулевого многочлена Т7^

2.4. Случай чисто мнимых коэффициентов Fз

2.5. Общий случай многочлена

2.5.1. Аффиппо-одпородпыс трубки.

2.5.2. Решение вспомогательной системы при щ = 0.

2?5:37"Изучсние~вспомогателшюй~системш-при-п-4-7^-0.842.6. Интегрирование алгебр.

2.6.1. Непосредственное интегрирование системы уравнений.

2.6.2. Использование подобных алгебр при интегрировании.

2.6.3. Использование экспоненциального отображения.

Глава 3. Голоморфные свойства аффинно-однородных поверхностей

3.1. Сферические гиперповерхности пространства С

3.2. Нормальная форма Мозера для уравнения жесткой поверхности

3.3. Семейство голоморфно различных аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Однородные вещественные гиперповерхности пространства C3»

В одномерном комплексном анализе хорошо известна классическая теорема Римана. Согласно этой теореме любая одпосвязпая область с "большой" границей голоморфно эквивалентна единичному шару.

Известно, что в случае нескольких комплексных переменных аналогичное утверждение не верно.

Одной из причин этого является голоморфное различие границы произвольной области в пространстве СП(п > 1) и сферы. Более того: две произвольные вещественные гиперповерхности пространства Сп, как правило, не сводятся голоморфными преобразованиями друг к другу. Это утверждение справедливо даже в локальном варианте. Как следствие, два ростка одной и той же поверхности (даже связанные с близкими ее точками) оказываются, как правило, различными с голоморфной точки зрения.

В такой ситуации оправданным является интерес к "исключительным" гиперповерхностям, которые являются "одинаковыми" во всех своих точках, или (в более строгих терминах) однородными относительно голоморфных преобразований.

Напомним, что согласно определению из [13] многообразие М называется однородным относительно некоторой группы, (преобразований) С. если эта группа транзитивно действует на М, то есть любую точку из М можно перевести в любую другую точку обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы С. В разных ситуациях возможны уточнения приведенного понятия однородности. В качестве простейшего и интуитивно понятного примера многообразия, однородного в различных смыслах (относительно различных групп), можно назвать единичную окружность в комплексной плоскости. На ней транзитивно действует, например, группа поворотов.

Основными объектами в нашей работе являются аффинно-одпородные и голоморфно однородные вещественные гиперповерхности 3-мерного комплексного пространства С3. Точные определения этих понятий приведены в начале первой главы диссертации. Здесь же. на уровне "наивного" представления об основном предмете исследования, мы кратко опишем ситуацию с классификацией однородных многообразий, сложившуюся к настоящему времени.

История вопроса. Полное описание аффинно-одпородных плоских кривых было известно уже в начале прошлого века. Его связывают с трудами школы В. Бляшке |7|.

ТЕОРЕМА 0.1. Любая плоская аффинно-однородная кривая аффинно эквивалентна вблизи произвольной своей точки какой-либо одной из следующего списка афф-инно-различных кривых:

1) у = х" {-1 < в < 1), 2) у = \п х, 3)у = х\пх.

4) г — еа1р (г — полярный радиус, р — полярный угол, а > 0).

Вопрос об аналогичном описании аффинно-однородных поверхностей 3-мерного пространства обсуждался в разных постановках с середины до конца прошлого века. Полный ответ на него был получен в работе |15| в 1995 г.

ТЕОРЕМА 0.2 ([15]).Всякая .локально однородная поверхность в 3-мерпой вещественной аффинной геометрии является открытым, подмно-эюсством либо некоторой поверхности второго порядка, либо цилиндра над одной из однородны,х плоских кривых из теоремы 0.1, либо аффннно эквивалентна открытому подмножеству одной из следующих поверхностей (а, (5 - вещественные параметры):

Отметим, во-первых, что полный список :здесь является достаточно большим. Во-вторых, укажем на тесную связь этих результатов вещественной геометрии с задачей об однородности в комплексных пространствах. В многомерном комплексном анализе основополагающей работой о голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностях является статья Э. Картаиа [23] 1932 г. Несмотря на большой объем этой статьи ее основной результат формулируется достаточно просто. Напомним, что трубкой (или трубчатым многообразием) над основанием Г С 1" называется в многомерном комплексном анализе множество вида.

ТЕОРЕМА 0.3 ([23]). Любая голом,орфно-однородная, вещественная гиперповерхность 2-мерного комплексного пространства голоморфно эквивалентна вблизи произвольной своей точки либо трубке над аффинно-однородным вещественным основанием (см. теорему 0.2), либо одной из проективно-однородных поверхностей

I) г = хау0,

3) г = 1п х+а 1п у. 5) г = 1п(.г2 + у2), 7) (г - ху + х3/3)2 = а(у - х2/2) 9) г = у2 ± ха,

II) г = у2 ± х\п.х, 13) г = ху + ха, 15) г — ху + .г Іікт, 17) хг = у2 ± ха, 19) хг = у2 ± х2 Іпх. а 3

2) г = (х2 + у2)аеРагд(х+іу)}

4)г = агд(х+іу)+/3 \п(х2+у2). 6) г = х(а 1пх 4- 1пу),

8) г = у2 ± ех. 10) г = у2 і 1п х. 12) г = ху + еж; Ц) г = ху + 1п х, 16) г = ху + х21п.г\ 18) хг = у2 ±х 1п х,

М = Г + гїїГ С С".

1 + |г|2 + И2 = а|1 + г2 + ги2\ (а > 1),

1 + \г\2 - И2 = а\1 + г2 - и>2\ (а > 1), г|2 + И2 - 1 = ф2 + ш2 - 1| (0 < |а| < 1).

В следующем по размерности комплексном пространстве С3 имеются важные частные результаты о голоморфной однородности гиперповерхностей ([32]. [48]. [5]). Напомним, что все гладкие гиперповерхности пространства С3 распадаются на три больших класса в соответствии с устройством их формы Леви (определение формы Леви см. в [51] и в главе 1 диссертации): класс строго псевдо-выпуклых (СПВ) поверхностей, форма Леви которых положительно определена, класс индефинитных невырожденных поверхностей (форма Леви - знаконеопределенная невырожденная) и класс поверхностей, вырожденных по Леви.

В работе [48] полностью описаны вырожденные по Леви голоморфно-однородные вещественные гиперповерхности 3-мерпых комплексных пространств. Локально все они сводятся либо к прямым произведениям картановых проективно-однородных поверхностей на комплексную плоскость С, либо к трубкам над аффиппо-одиородпыми поверхностями.

В работах Лободы A.B. описаны все голоморфно-однородные (в локальном смысле) вещественные гиперповерхности пространства С3, имеющие "богатые" группы голоморфных преобразований. Например, справедлив следующий результат.

ТЕОРЕМА 0.4 ([32]). Однородные, вещественные, гиперповерхности пространства С3, имеющие поло'жительно определенную форм,у Леей и 7-мерные группы, голом,орфных преобразований, задаются с 'точностью до локальной голом,орфтой эквивалентности следунгш/ам списком, попарно неэквивалентных многообразий (z\,z2,w - комплексные, кординаты в С3, v = Im w): l)v = ln(l + Ы2) + 61n(l + Ы2), ь e (0, 1];

2) v = ln(l + |2) - 61n(l - |г2|2). 6e (0,1) U (1, oo): 3) v = ln(l - |*i|2) + 61n(l - |г2|2), b e (0,1];

A) v=\z2\2 + eHl + s\z1\2), s = ±l:

Аналогичные описания получены Лободой A.B. и для индефинитных поверхностей с богатыми группами [32]. Самым сложным и неизученным остается случай, в котором размерность однородной гиперповерхности (равная 5). совпадает с размерностью локальной группы (голоморфных) преобразований этой поверхности. Здесь имеется лишь большое количество примеров таких "многообразий"[14"]7[б]7[1"7]~по~петихобтгрго"^пи(:апия.

В современном комплексном анализе имеются и результаты более общего содержания. Например, в [1] получено описание алгебр Ли, которые могут соответствовать голоморфно однородным компактным вещественным гиперповерхностям комплексных пространств произвольной размерности. Имеются также работы о проективной однородности (см. например, [47]).

В рамках задачи о голоморфной однородности в 2003 г. в [31] было начато изучение аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3. Диссертация идейно связана с этой работой.

Напомним, что согласно [31], после подходящего аффинного преобразования любую вещественно-аналитическую СПВ-гиперповерхность пространства С3 можно задать вблизи ее произвольной точки уравнением вида

V = Ы2 + Ы2 + Ыг\ + 7()+ Е2(4 + 4)}+ иУ (°л) к+1+2т>Ъ

Здесь 21,22,ги - комплексные координаты в С3, и — Неги, V = 1тги:

Рыт ~ многочлен степени к по переменным г = (21,22), степени I - по 2 = (21, 22), 777, - ПО переменной V.

При этом пара (еь^г) вещественных неотрицательных чисел является аффинным инвариантом поверхности М.

Для всех трубчатых поверхностей (трубок) над строго выпуклыми основаниями из К3 оба параметра с 1,^2 принимают значение 1/2. В диссертации рассматривается именно случай £2 = (0.2)

Аффинно-однородные СПВ-гиперповерхности (0.1). удовлетворяющие (в любой своей точке) условию (0.2). мы называем поверхностями трубчатого типа. Две первых главы диссертации посвящены изучению именно таких поверхностей. В третьей главе аффинно-однородные гиперповерхности пространства С3 изучаются с точки зрения их голоморфных свойств.

Актуальность исследования. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению свойств аффинной и голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей в 3-мерном комплексном пространстве С3. В связи с описанной выше ситуацией изучение голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей пространства С3 является актуальной задачей современного комплексного анализа. Ее решение представляет также птерес для дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. математической физики.

Сложность задачи описания голоморфно-однородных многообразий делает актуальным и вопрос изучения аффиппо-одпородпых поверхностей того же пространства. В диссертации предложена общая схема описания таких поверхностей. На примере изученного класса, аффиппо-однородных поверхностей трубчатого типа показана эффективность схемы. Это подтверждает значимость и актуальность диссертационных исследований для многомерного комплексного анализа.

Цель работы. Основная цель работы - описание аффинно-однородиых вещественных гиперповерхностей трубчатого типа пространства С3. Этот класс многообразий представляет собой удобную модель для проверки эффективности предлагаемой схемы изучения аффинной однородности, опирающейся на коэффициентный подход к задаче. В связи с этим еще одной целью диссертационного исследования является совершенствование технических приемов коэффициентного изучения голоморфно-однородных и аффинно-одпородпых вещественных подмногообразий комплексных пространств.

Методика исследования. Вопросы, связанные с однородностью многообразий, традиционно изучаются на основе использования техники групп и алгебр Ли. В диссертации эти методы также активно применяются. Но ключевой метод работы - коэффициентный подход к описанию изучаемых аналитических объектов. Основным инструментом работы является анализ алгебраических соотношений, накладываемых геометрическим условием однородности на тейлоровские коэффициенты поверхностей и отображений.

Полученная в первой части диссертации большая система квадратичных уравнений относительно коэффициентов и параметров исходной задачи решается с привлечением пакета символьной математики МАРЬЕ. Завершающая часть работы связана с анализом изменений тейлоровских разложений неявных функций при аналитических преобразованиях координат.

Научная новизна и практическая значимость. До настоящего времени имелось лишь большое количество примеров аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей комплексного пространства С3. Рассмотренный в диссертации класс поверхностей трубчатого типа является удобной моделью для описания системного подхода к изучению задачи об однородности. В рамках этого подхода уже получен ряд новых классификационных результатов; он применим также и к другим классам многообразий. В ближайшее время ожидается построение на его основе полной классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3.

Разработанные в диссертации методы решения систем квадратичных уравнений (в том числе, о использованием средств символьной математики) могут найти практическое применение в актуальных задачах фундаментальной и компьютерной алгебры, связанных с системами полиномиальных уравнений.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Построение аффинных канонических уравнений для класса строго псевдо-выпуклых вещественно-аналитических гиперповерхностей трубчатого типа комплекспого простра11ства С3. Уравнения учитывают все возможные случаи тейлоровских коэффициентов 3-го порядка и определяются с точностью до дискретных групп преобразований.

2. Описание аффипно-однородных поверхностей трубчатого типа при помощи матричных алгебр Ли. Получение координатных представлений для большого семейства таких поверхностей и, в том числе, для всех поверхностей с "богатыми" группами преобразований.

3. Доказательство вещественной аффинной однородности основания всякой трубчатой гиперповерхности в С3 однородной относительно комплексных аффинных преобразований.

4 Построение 1-1 тра метр и чес ко го семейства голоморфно различных аф-фипно-одпородпых поверхностей, не сводимых аффинными преобразованиями к трубкам.

Апробация работы. Результаты диссертационных исследований докладывались па научных семинарах ВГАСУ и ВГУ, па ежегодных научных конференциях преподавателей и аспирантов ВГАСУ, па международных математических конференциях (Воронежская зимняя математическая школа - 2011, 2012: Воронежская весенняя математическая школа - 2012, Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики Воронеж-2012) Часть результатов была представлена на Российско-германской конференции по многомерному комплексному анализу (Москва, февраль-март-2012). Все основные результаты диссертации опубликованы. в том числе имеется 3 публикации в изданиях из списка ВАК РФ

Структура диссертации. Дисертация содержит 109 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разделяются па параграфы и разделы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 53 наименования

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нгуен Тхи Тхуи Зыонг, 2012 год

1. Azad Н. Homogeneous CR manifolds /Н. Azad, A. Huckleberry, W.Richthofer // J. Reine und Angew. Math. - Bd. 358 (1985). - P. 125 - 154.

2. Белых Ф. А. Вещественные подалгебры малых размерностей матричной алгебры Ли М(2, С) / Ф. А. Белых, А. К). Борзаков, А. В. Лобода // Известия вузов. Математика. 2007. - N 5. - С. 13-24.

3. Болдырева, О.А. О коэффициентном подходе к аффинной однородности / О.А. Болдырева, А.В. Лобода // Вестник ВГУ. Серия "Физика. Математика". 2006. N 1. - С. 105 - 109.

4. Beloshapka V.K. Homogeneous hypersurfaces in C3, associated with a model CR,-cubic / V. K. Beloshapka, I. G. Kossovskiy // J. Geom. Anal. 2010 - V. 20,- No. 3,- P. 538 - 564.

5. Blaschke W. Affine Diffcrcntialgeometric / W. Blaschkc // Berlin. 1923.

6. Гузеев P.H. О нормальных уравнениях аффинпо-однородных выпуклых поверхностей пространства R3 / Р.Н. Гузеев Р.Н. А. В. Лобода /'/ Известия вузов. Математика,- 2001.- N 3,- С. 25 32.

7. Guggenheimer Н. Differential geometry / Н. Guggenheimer // McGraw-Hill. New York. 1963.

8. Chern S. S. Real hypersurfaces in complex manifolds/ S. S. Chern, J. K. Moser //Acta Math. 1974 - 133, N 3. - P. 219-271.

9. Дубровин Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин. С. П. Новиков, А. Т. Фоменко.- М.: Наука. 1979. 760 с.

10. Dadok J. Automorphisms of tube domains and spherical hypersurfaces/ J. Dadok, P. Yang // Amor. J. Math. 1985. - V. 107 - N 4, - P. 999-1013.

11. Doubrov B.M. Homogeneous surfaces in the 3-dimensional affine geometry/ B. M. Doubrov. B. P. Komrakov, M. Rabinovich// Geometry and Topology of Submanifolds, VIII, World Scientific. 1996. - P. 168 - 178.

12. Eastwood M. On affine normal forms and a classification of homogeneous surfaces in affine three-space/ M. Eastwood, V. V. Ezhov // Geom Dcdicata. 1999. - V. 77. - P. 11-69.

13. Evchenko V. K. One family of algebraic homogeneous surfaces/ V. K. Evchenko, A. V. Loboda // Preprint/ http://www.mathcmatik.uni-bielefcld.de/sfb701 /files / preprints/sfbl 1129 .pdf.

14. Zaitsev D. On different notions of homogeneity for CR-manifolds / D. Zaitsev // The Asian Journal of Math. V.ll(2007).'- N 2. - P. 331 - 340.

15. Исаев А. В. Классификация сферических трубчатых гиперповерхностей, имеющих в сигнатуре формы Леви один минус / А. В. Исаев, М. А. Мищенко // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1988. - Т. 52. - № 6. - С. 1123-1153.

16. Isaev A.V. On the number of affine equivalence classes of spheiical tube hypersurfaces / A.V. Isaev // Math. Ann. 2011 (349): 59-74

17. Isaev A. V. Rigid spherical hypersurfaces/A. V. Isaev // Complex Variables.-1996 V 31 - P 141 - 163

18. Кокс Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы / Д.Кокс. Дж. Литтл, Д.О'Ши,- М.: Мир, 2000. 688 с.

19. Cartan Е. Sur la geometric pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes / E. Cartan // Ann. Math. Рига Appl. (4) 11 (1932). -P. 17- 90 (Oeuvres II, 2. 1231 - 1304).

20. Лобода А. В. Аффипио-одпородпыс вещественные гиперповерхности в С2 / А. В. Лобода // Функц. анализ и его прил. Принято к печати, 2012.

21. Лобода А. В. Аффиппо-одпородные голоморфно-плоские гиперповерхности в С2 / А. В. Лобода //' Матер. 10-й Казанской летней школы-конф. Казань, 2011. С. 172-173.

22. Лобода А. В. Всякая голоморфно-однородная трубка в С2 имеет аффинпооднороднее основание/ А. В. Лобода /'/ Сиб. матом, жури., 42:6 (2001), 1335-1339.

23. Лобода А. В. О некоторых инвариантах трубчатых гиперповерхностей в с2,,/ А. В. Лобода // Матем. заметки. 1996. Т. 59. N 2. С. 211-223.

24. Лобода А. В. Об аффинной однородности поверхностей трубчатого типа С3/ А. В. Лобода, Т. Т. 3. Нгуен// Труды МИАН. Т. 279, 2012. С. 93-110.

25. Лобода А. В. Об определении однородной строго псевдо-выпуклой гиперповерхности по коэффициентам ее нормального уравнения / А. В. Лобода // Матем. заметки. 2003. - Т. 73. - № 3. - С. 419-423.

26. Лобода А. В. Об одном семействе аффиппо-одиородпых вещественных гиперповерхностей 3-мерного комлскспого просранства / А. В. Лобода, А. С. Ходарев // Известия ВУЗов. Сер. Математика. 2003. - № 10. - С. 38-50.

27. Лобода А. В. Однородные вещественные гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии/ А. В. Лобода /,/ Труды МИАН. 2001. - Т. 235. - С. 114-142.

28. Лобода А. В. Однородные строго псевдо-выпуклые гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии/ А. В. Лобода // Матем. сборник. -2001. Т. 192. - С. 3 - 24.

29. Нгуен Т. Т. 3. Аффиппо-одпородпыс гиперповерхности трубчатого типа в С3 /' Т. Т. 3. Нгуеп // Воронежская зимняя матем. школа. (ВЗМІІІ-2011) Воронеж, 2011. Тезисы докл. С.236 237.

30. Нгуен Т. Т. 3. Аффинные инварианты 3-го порядка однородных вещественных гиперповерхностей в С3 / Т. Т. 3. Нгуеп // Воронежская зимняя матем. школа (ВЗМШ-2012) Воронеж. 2012. Тезисы докл. С. 156 158.

31. Нгуен Т. Т. 3. Об обобщениях логарифмических спиралей в пространстве С2 / Т. Т. 3. Нгуеп // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". 2010, N 1. С. 139-143.

32. Нгуен Т. Т. 3. О голоморфных свойствах одного семейства аффинпо-одиородиых поверхностей / Т. Т. 3. Нгуен // Воронежская весенняя матем. школа (ВВМШ-2012) Воронеж, 2012. Тезисы докл. С. 122 123.

33. Нгуеи Т. Т. 3. Построение 5-мерных матричных алгебр ли с помощью пакета MAPLE / Т. Т. 3.Нгуен // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". 2012, N 1. С. 162-170.

34. Нгуен Т. Т. 3. Использование символьных вычислений в задаче описания аффипно-однородных поверхностей /Нгуен Т. Т. 3. // Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" , Воропеж-2012.

35. Нгуен Т. Т. 3. (36 алгоритмах решения больших систем квадратичных уравнений / Лобода А. В. Нгуеи Т. Т. 3. // Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" . Воропеж-2012.

36. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М.: Наука, 1976.- 432 с.

37. Nomizu К. A new model of imimodular-affinely homogeneous surfaces ,/ K. Nomizu, T. Sasaki // Manuscr. Math. V. 73(1991).- N 1. - P. 39 - 44.

38. О леер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. О л вер / / М. Мир, 1989.- 639 с.

39. Поитпрягии Л. С. "Непрерывные группы"/ Л. С. Поптрягин // М. "Наука 4-е изд. 1984. 520 с.

40. Постников М. М. "Группы и алгебры Ли"( Лекции по геометрии. 5-й семестр)/ М. М. Постников // М., "Наука 1982. 448 с.

41. Серр Ж.-П. "Алгебры и группы Ли". Ч. 1-3, "Платон 1997. 372 с.

42. Takagi R. On homogeneous real hypersurfaces in a complex projective space / R. Takagi // Osaka J. Math, V. 19 (1973), P. 495-506.

43. Fels G. Classification of Levi degenerate homogeneous CR-maniiolds m dimension 5 / G. Fels, W. Каир // Acta Math. V. 210(2008). P. 1-82.

44. Fels G. Local tube realizations of CR-manifolds and maximal abelian subalgebras /G. Fels and VV. Каир // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI Sci. (5), Vol X (2011), 99-128.

45. Чирка, E.M. Комплексные аналитические множества. M.,Наука. 1985,272 с.

46. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат // М.: Наука, 1976, 2-я часть.

47. Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия / А. П. Широков. П. А. Широков /7 М. Физматгиз. 1959. - 319 с.

48. Stanton N. K. Infinitesimal CR automorphisms of rigid hypersurfaces / N. K. Stanton /7 Amer. J. Math. V. 117 (1995), N 1. P. 141 167.