Однопетлевые вакуумные эффекты в моделях глюонного конденсата квантовой хромодинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мамсуров, Игорь Владиславович

• Мамсуров, Игорь Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мамсуров, Игорь Владиславович

Содержание

I Введение

А Модели вакуумного глюонного конденсата 3 В Глюонный конденсат в пространстве-времени с отличной от нуля кривизной. 12 С Радиационный распад b-кварка в присутствии фонового хромомагнитного поля

II Однопетлевое эффективное действие для калибровочного поля в искривленном пространстве-времени

А Введение

В Эффективное действие

С Спектр

D Случай больших значений параметра

Е Случай малых значений параметра

III Массовый оператор b-кварка во внешнем неабе-левом хромомагнитном поле

IV Аннигиляция электрон-позитронной пары в модельном поле глюонного конденсата

А Введение

В Модель сферически-симметричного хромомагнитного

поля. 53 С Амплитуда и вероятность фоторождения пары кварк-

антикварк. 54 О " Правила сумм" и оценка вклада глюонного конденсата. 55 Е Модель аксиально-симметричного хромомагнитного

поля

Р Матричный элемент и вероятность процесса

V Поляризационный оператор фотона во внешнем цветовом поле

А Введение

В Поляризационный оператор фотона

С Мнимая часть следа ПО

О Рождение кварк-антикварковых пар

VI Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Однопетлевые вакуумные эффекты в моделях глюонного конденсата квантовой хромодинамики»

- 3 -I. ВВЕДЕНИЕ

А. Модели вакуумного глюонного конденсата

Одним из методов исследования вакуума является выбор модели, допускающей проведение аналитического изучения процессов, обусловленных структурой вакуума. Этот подход позволяет выбрать ту модель, которая наилучшим образом описывает экспериментальные результаты. Мы вкратце расскажем о некоторых таких моделях, остановившись более подробно на т. н. модели "ферромагнитного вакуума" Но прежде сделаем несколько предварительных замечаний. Существенно то, что поля, используемые в качестве модели вакуума, связаны с решениями уравнений Янга-Миллса. Например, сферически-симметричные решения по аналогии с электродинамикой могут быть использованы при описании межкваркового взаимодействия. В результате экспериментов установлено, что в промежутке 0.1 — 1 Фм потенциал имеет довольно универсальный вид:

где а = 0,42Гэв,а3 = 0,02. Эта параметризация дает хорошее описание для спектра барионных резонансов [1,2]. Существуют и другие подходы, основанные на эффективном лагранжиане [3-5]. Однако в отличие от КЭД в КХД ситуация усложняется из-за гипотезы удержания цвета кварков. Косвенно эту трудность, возможно, удастся обойти, если связать симметрию модельных вектор-потенциалов, отвеча-

ющих за межкварковое взаимодействие, с симметрией адронов [6,7]. Кроме сферически-симметричных существуют и другие типы решений уравнений Янга Миллса. Мы перечислим некоторые из них и укажем, как они могут быть использованы при решении различных задач КХД. Отметим, прежде всего, класс плосковолновых решений, имеющий место как в однородном случае, так и в случае ненулевого тока. Этот тип решений существует также и для самосогласованной системы уравнений, описывающей взаимодействие калибровочного поля с полем Хиггса [8]. Возможны решения типа стоячих волн, называемые Янго-Миллсовским кристаллом [9]. К этому же классу относятся постоянные поля, которые могут быть получены из плосковолновых предельным переходом. Они, по-видимому, существенно проявляются в процессах, происходящих на малых расстояниях по сравнению с радиусом конфайнмента. На расстояниях же порядка радиуса кон-файнмента, существенную роль, возможно, играет случайная (стохастическая) компонента поля, присутствующая в вакууме. В этом случае вместо классического поля мы должны вводить функции распределения, определяющие поля в рамках исследуемой модели. Здесь значительную роль, возможно, играют инстантонные конфигурации полей, исходя из которых можно определить непертурбативную вакуумную плотность энергии глюонного поля [10].

Е = -¿(0 I -^Г I 0) ~ —(0.25Гэе)4, (1)

32 7г

которая определяет ненулевой глюонный конденсат. При этом кварко-вый конденсат также отличен от нуля. Поэтому необходимо рассмотрение самосогласованного поля, когда учитывается взаимодейтвие кварков с различными конфигурациями глюонных полей.

Учитывая все вышесказанное, мы можем на малых расстояниях г <С 1 Фм аппроксимировать ненулевые вакуумные средние постоянными калибровочными полями. В частности это относится к модели "ферромагнитного вакуума" Это, безусловно, является лишь грубым приближением к вакуумному состоянию, так как мы, намеренно, ограничиваем область континуального интегрирования полями Аа, на которых ковариантная дивергенция равна нулю. Однако, даже такая упрощенная модель, позволяет получить ряд интересных результатов, которые могут пролить свет на некоторые сложные вакуумные процессы.

Вектор-потенциалы, задающие хромомагнитное поле, могут быть двух типов

1) Коммутирующие (абелевы) линейно-зависящие от х^ потенциалы:

[Afi,Au] = 0, Ali{x) = -^Flu,xv]

D^Fap = dpFap - ig[A^ Fa/3}. (2)

2) Некоммутирующие постоянные потенциалы:

Ац = const, д[Ац, Аи] = iFpV. (3)

Зададим постоянное и однородное хромомагнитное поле группы

Б и (2) абелевыми потенциалами вида:

а; = %а„, Ар = (о, о, хН, о),

так что только те компоненты тензора поля будут отличны от нуля, которые направлены вдоль третьей оси в цветовом и конфигурационном простанстве. Представим калибровочное поле в виде суммы фоновой (классической) А, заданной выше, и флуктуационной (квантовой) а частей:

А = А + а.

Фиксировав калибровку Аг0 = 0, и интересуясь лишь осциллирующими решениями, мы получаем следующее уравнение для квантовых флук-туаций:

(^<Н5л£>А) - 2д£аЫ&^) аги = 0

Как видно, это уравнение описывает векторную частицу с аномальным магнитным моментом, равным единице. Энергетический спектр этой частицы имеет вид

= у/Щ + 2дН(п + в + 1/2).

где з = ±1 и п = 0,1,2,... -квантовые числа. Однопетлевая добавка к плотности энергии вакуума определяется суммой по п и в, и интегрированием по собственных значений В результате плотность энергии вакуума, вычисленная в однопетлевом приближении, будет иметь следующий вид (Савиди, Матинян [11,12]:

■^-т*®^-?-!) <41

У этой плотности имеется нетривиальный минимум в точке:

ет ^ [ 247Г2\

дНт{п = ¡1 ехр

\ П92/

Из выражения (4) следует, что при некоторых значениях поля Н ради-

н2

ационная поправка скомпенсирует классическое слагаемое и энергия станет ниже значения энергии пертурбативного вакуума, ЛеЕ^ < 0. Поэтому состояние вакуума в присутствии поля будет энергетически более выгодным, по сравнению с состоянием, когда поле отсутствует. Следовательно, пертурбативный вакуум является неустойчивым относительно образования конденсатного глюонного поля. Состояние системы с конденсатом оказывается более выгодным. Результатом всего этого является модель непертурбативного вакуума, в котором пространство заполнено постоянным и однородным хромомагнитным полем. Однако нельзя не обратить внимание на недостатки этой модели. Во-первых, при выводе (4) существенным образом использовалась теория возмущений, то есть изначально предполагалось, что поправки к основному слагаемому являются малыми по сравнению с основным членом, в то же самое время, минимум плотности энергии лежит в той области, где величина поправки становится сравнимой с главным членом, т. е. мы выходим за область применимости полученного результата. Однако, несмотря на это, можно предположить, что качественно эта модель справедлива и за пределами границ применимости однопет-

левого приближения. Вторая сложность заключается в том, что вакуум должен быть инвариантен относительно преобразований в цветовом и лоренцевом пространствах, в предложенной же модели имеется выделенное направление, связанное с магнитным полем.

Немаловажно также следующее обстоятельство. Как было показано в работах Нильсена, Олесена [13,14] и Скалозуба [15], вакуум Матиняна-Савиди имеет ненулевую мнимую часть

1т * =

07Г

которая возникает за счет существования нестабильной тахионной моды глюонного поля. Эта же тахионная мода вносит существенный вклад в формирование вакуумной добавки к КеЕц. Из этого следует, что в вакууме Матиняна-Саввиди наличие нестабильности и спонтанное образование конденсатного хромомагнитного поля связаны между собой. Мнимая часть Е говорит о локальности минимума плотности энергии. Поэтому данная модель лишь условно может соответствовать основному состоянию в теории Янга-Миллса.

Теперь скажем вкратце о других возможных моделях вакуума. Одна

33 3) Т"» ^

из них получила название копенгагенского вакуума В этой модели минимум функционала энергии системы обеспечивается за счет выбора определенной конфигурации полей. Пусть мы имеем дело с 5[/(2) калибровочной теорией и хромомагнитное поле задано так же, как и в предыдущем случае, т.е . направлено вдоль третьей оси в цветовом и

в конфигурационном пространствах.

Исследуем нестабильную моду, т. е. состояние с квантовыми числами п = 0, б = — 1,/сд< дН, которая удовлетворяет уравнению:

(I)? + 0\)ф = —дНф. (5)

Рассмотрим структуру решений этого уравнения на плоскости ортогональной полю. Как было показано в [16] в пространстве функ-

«-» / О у— V

ции гр можно ввести полный базис, такой что двоякопериодическая система функций фщ,п2 в указанной плоскости будет определена на решетке, ориентированной вдоль векторов = 2^7г/3(1,0),а2 = утг/л/3(1 /л/3,1) и имеет целочисленные периоды, т. е. ф(х + а1,2/\/~дН) = Условие периодичности с явным выражением

для периодов решетки выбирается из соображений минимума средней плотности энергии глюонного поля. Решение (5), разложенное по данному базису, также будет двоякопериодическим и, как было показано, является стабильным на классическом уровне. Таким образом, преимущество этой модели по сравнению с моделью Савиди-Матиняна состоит в том, что в ней устраняется характерная для последней нестабильность. Отметим также, что двоякопериодичность решений в этом случае является следствием симметрии уравнений Янга-Миллса.

Рассмотрим теперь конфигурации неабелевых постоянных хромомаг-нитных полей [17,18], описывающие модельный вакуум, и исследуем вопрос об их устойчивости [19-21]. Впервые такие поля были предло-

жены в [17,18]. Исследование решений уравнения Янга-Миллса в рамках самосогласованной задачи, проведенной в работах [8,22,23], подтвердило возможность использования данных конфигураций. Вопрос устойчивости рассматривался в работах [19-21]. Метод состоял в том, чтобы разбить исходные потенциалы на фоновую часть и возмущение. После подстановки в уравнения Янга-Миллса мы получаем нелинейное уравнение для квантовых флуктуаций калибровочного поля. Затем необходимо провести линеаризацию уравнений по возмущениям и найти соответствующий спектр. В фоновой калибровке это было проделано в работах [17,18,24-26,19,20]. Модель сферически- симметричного постоянного неабелева поля рассмотрена в [21]. В итоге для неабелевых постоянных калибровочных полей хромомагнитного и хромоэлектри-ческого типов продемонстрировано существование нестабильных мод в линейном приближении. Заметим, что это исследование носит локальный характер. Чтобы получить глобальный результат, мы должны учитывать нелинейный характер взаимодействия. Из явного выражения для энергетического спектра глюонных флуктуаций [24,25] на фоне сферическо-симметричного неабелевого постоянного хромомагнитного поля можно получить, что областью нестабильности является

интервал: 0 < |р| < 2у(дА)2/3. После этого рассматривается задача о динамике моды, в которой для простоты удерживается только растущая со временем по экспоненте часть. Соответствующая задача

была решена в работе [21] для сферически- симметричного неабелева поля. Аналогичная задача для постоянного абелева хромомагнитного поля рассматривалась в [27], а для модели Вайнберга-Салама такая процедура выполнена в [28]. Общая схема была такова. Для анализа нелинейной эволюции моды рассматривался лагранжиан:

где тензор поля и вектор потенциалы представляют собой сумму фоновой и флуктуационной частей. Опуская несущественные для нашего рассмотрения стабильные моды, мы будем интересоваться только одной нестабильной. Подставляя ее исходный лагранжиан и удерживая все слагаемые, содержащие эту моду, мы получаем эффективный лагранжиан, из которого следует нелинейное уравнение движения:

{820 ~д1 + 2^д3)ф + 2д2\ф\2ф = 0 (б)

Это уравнение имеет решение солитонного вида и сильно локализовано в пространственно-временной области. При этом в рамках классического подхода нестабильность данной системы полей легко устраняется, поскольку она является фиктивнои, так как отсутствует для истиннои нелинейной системы. Последнее обстоятельство позволяет использовать такие конфигурации полей в качестве приближения к модели вакуума [17,26,29].

В. Глюонный конденсат в пространстве-времени с отличной от нуля кривизной.

Изучение эффективного лагранжиана глюонов в присутствии фонового ковариантно-постоянного калибровочного поля в неабелевых калибровочных теориях показало, что энергия вакуума может достигать минимума, когда вакуумное поле отлично от нуля. В частности это относится к модели хромомагнитного вакуума [11]. Отличное от нуля фоновое поле можно связать с существованием глюонного конденсата в таком вакууме. Были предложены разные модели такого вакуума. Большой интерес представляет изучение свойств этого вакуума, в особенности, то, какое влияние он оказывает на реакции с участием элементарных частиц. Однако, к сожалению, наличие нестабильных мод глюонного поля приводило к тому, что в эффективном лагранжиане возникала мнимая часть [14]. Вакуум, таким образом, оказывался нестабильным, поскольку оператор эволюции с лагранжианом, имеющим мнимую часть, представляет собой затухающую экспоненту Было предложено несколько способов достигнуть стабилизации вакуума. Один из наиболее неожиданных состоит в том, чтобы устранить возникающую мнимую часть путем введения в задачу пространственно-временного континуума с отличной от нуля кривизной. В работе [30] была предпринята такая попытка. Используя метод £ -регуляризации, вычислялся эффективный потенциал для 5С/(2) -ковариантного постоянного калибровочного поля в пространстве-времени 82 х й2, а также

'2 v n2 „„„ c2 тr rpi2

T x R , где Sz и T представляли собой соответственно двумерную сферу и двухмерный тор, а R2 было обычной плоскостью. При этом ненулевые компоненты фонового поля располагались в R2 Рассмотрим эту задачу более подробно. Фундаментальным является понятие оператора эволюции U(t', t). Матричный элемент

| U(t',t) | q)

определяет вероятность, с которой система в момент времени t' будет

/ <-> I

находиться в состоянии q если в начальный момент t она находилась в состоянии q. Если начальный момент времени устремить к — оо, а конечный к Н-оо, то оператор эволюции превратится в S-матрицу

S(q',q)= lim (q'\ U(t\t) \ q). t' -)> +00

t —У — оо

Рассмотрим глюонные поля, которые задаются следующим образом:

FßV = dßAv - диАм + д[Ац, А„].

S-матрица для этих полей в калибровке dßAß = а(х) в пространстве Минковского, выраженная через континуальный интеграл, имеет вид:

5 = АГ1 / ехр / dxtr П Аа{А)6{д,А^ - a(x))dA, (7)

где интегрирование П dA ведется по всем полям Aß(x), таким что

lim Aß = A°u\ lim Aß = А™.

00 ^ у- 00 ^ ^

При этом в Азадана амплитуда сходящейся волны, а в А™ амплитуда расходящейся волны, и оба являются решениями уравнений:

= 0, д^ = а(х).

Функционал Да появляется в подинтегральном выражении из-за того, что не все А^ в лагранжиане для полей Янга-Миллса являются независимыми переменными. Поскольку интегрирование, тем не менее, ведется по всем А1Л) необходимо ввести функционал, который бы "вырезал" лишние переменные, так что эффективно интегрирование велось бы только по динамическим, т. е. независимым переменным. Этот функционал Да(А) на поверхности д^А^ = а(х) можно выразить через определитель некоторого дифференциального оператора:

Ма(х) = Па- дд^Ар, а], Да = Ве1М.

Выражение для Б-матрицы можно переписать в более компактном виде, если домножить исходный функционал на

ехр I ^ а2(х)(1х

и проинтегрировать по а, что приведет лишь к изменению нормировочного множителя N. Кроме этого, чтобы выражение для Б-матрицы имело удобный для вычисления вид интеграла от фейнмановского функционала ехр{г х действие), необходимо ее представить в таком виде, чтобы оператор М находился в показателе экспоненты. С этой целью

можно воспользоваться интегральным представлением

¿еЬМ = / ехр {г / са{х)МаЬсь[х)(1х}1[(1с<1с,

где с(х) и с(х) являются антикоммутирующими скалярными функциями, образующими алгебру Грассмана. На них следует наложить еще соответствующие граничные условия, которые мы для краткости не приводим в явном виде. Эти фунции можно интерпретировать как некоторые фиктивные поля, называемые духами Фаддеева-Попова. Таким образом выражение для Б-матрицы представимо в виде:

5 = ЛГ1 / ехр {* / [^^ - ¿(^Д.)2"

(1х^Х{(1А(1с(1с. (8)

В таком виде Б-матрица как калибровочно, так и лоренц- инвариантна, причем действие в показателе экспоненты квадратично по полям.

Пусть, далее, начальное и конечное состояния у нас являются вакуумными, т. е. в А™ отсутствует сходящаяся, а в А™1 расходящаяся волна. Тогда Я-матрица будет определять вероятность перехода из вакуума в вакуум. Ее обычно представляют в виде экспоненты от некой величины Г, называемой эффективным потенциалом

5 = ехр(г'Г).

Разделим изначальное хромомагнитное поле на две составляющие, выделив отдельно фоновую Ац и флуктуационную а^ части. Тогда интегрирование в выражении (8) будет проводиться только по флуктуациям

а^, лагранжиан для глюонной части станет функцией этих флуктуа-ций а^, а частная производная д^ заменяется на оператор:

где /аЬс -структурные константы соответствующей калибровочной группы. Заметим, что в лагранжиане у нас будут присутствовать члены до четвертого порядка по а^ включительно. Однако, если рассматривать только однопетлевое приближение, то надо удержать лишь квадратичные по флуктуациям слагаемые. Это сильно упростит вычисление континуального интеграла, через который выражается Б-ма,трица. Перебрасывая производные и зануляя дивергентные члены, мы можем привести выражение для однопет левого (т. е. квадратичного по адействия к гауссовому виду

5е// = -1 / ¿ха;е£а1 + 1 / ¿Х<?ФУьС\ (10)

где

= -9,Л0хОхуь + 21д(туьР;„ + (1 - г/^ф^г"

Из теории континуального интеграла известно, что если интеграл имеет гауссов вид, как в уравнении (10), то для глюонов он равен определителю стоящего в этом уравнении дифференциального оператора в степени -1/2, а для фермионов (или в нашем случае фиктивных полей духов), тому же определителю в первой степени. Эффективный потенциал будет равен тогда логарифму от определителя в соответ-

ствующей степени, и пользуясь соотношением

1п с^ А = гт 1п А

можно окончательно записать выражение для эффективного потенциала в однопетлевом приближении в виде:

Г «[А] = ^Тг - Тг 1п[(-52)»6]. (11)

Если мы рассматриваем искривленное пространство, то необходимо внести следующие поправки в наши рассуждения. Везде вместо частной производной по координате д^ следует писать ковариантную производную в искривленном пространстве У^, которая по определению следующим образом выражается через символы связности

У„а" = д„<Г - Г>А

Далее в выражении для 6 следует добавить еще одно слагаемое Тензор Ричи как известно, определяется через коэффициенты

связности следующим образом:

Кци = + Г^Гд!/ ~ ^аГ^ — Г А

Это слагаемое возникает из-за того, что в данном случае перебрасывается не простая, а ковариантная производная, в результате чего появляются члены типа производных от символов связности.

Процедура вычисления однопет левого эффективного действия, исходя из уравнения (11), включает в себя во-первых, определение спектра опрератора стоящего под знаком логарифма. При этом спектр может

быть как непрерывным, так и (за счет наличия фонового поля) дискретным. Тогда операция взятия следа логарифма будет заключаться в суммировании или интегрировании по всему спектру логарифмов от собственных значений этого оператора. Так был получен результат Саввиди [11] для плоского простанства. Фоновое поле Н калибровочной группы Б и (2) бралось ковариантно постоянным и направленным вдоль третьей оси в обоих простанствах. След логарифма брался, как обычно, в импульсном представлении. Вначале проводилось интегрирование по р0- После этого задача сводилась к взятию суммы (интеграла) по спектру квадрированного опретора — Е £п. Спектр определялся, как было указано во Введении выражением:

= 2дН(п+ 1/2 -з) + к1 (12)

где квантовое число 5 принимает значения =Ь 1, что соответствует ориентации спина глюона в пространстве вдоль и против фонового поля. При этом третье возможное значение проекции изоспина, равное 0 компенсируется вкладом от полей духов. Вернемся к выражению (12). Мы видим, что наличие внешнего поля приводит к тому, что в плоскости ху спектр стал дискретным и представляет собой, по существу, спектр гамильтониана гармонического осциллятора с главным квантовым числом ?! = 0,1,2,. По оси же г спектр остается непрерывным —оо < /с3 < +оо. Обращает на себя внимание тот факт, что, как было отмечено во Введении, при п = 0 существует отрицательное

значение квадрата энергии, когда а = 1, и к\ < дН Эта единственная т. н. нестабильная мода и приводит к появлению мнимой части в энергии вакуума, равной у Нильсена и Олесена . Можно было бы ожидать, что введение отличной от нуля кривизны привело бы к появлению дополнительного слагаемого в мнимой части, которое скомпенсировало бы вклад нестабильной моды Саввиди. Если два измерения замкнуть на сферу [30], то спектр становится полностью дискретным, и эти два сферических измерения дают вклад в спектр, представляющий собой хорошо известную формулу для ротатора где р-радиус сферы. Данный вклад в сумме мог бы скомпенсировать моду, приводящую к нестабильности вакуума. В [30] доказывалось, что это и происходит при определенном соотношении между радиусом кривизны и значением фонового поля. Для суммирования рядов, возникающих из-за дискретности спектра использовался метод ("-функции Римана, состоящий в том, что ряды заменялись на соответствующие ("-функции по формуле

Се(«)=ЕАГ.

п

где Л -собственные значения оператора 0. Далее для (-функций применялось соответсвующее интегральное представление [30], после чего проводилось асимптотическое разложение этих интегралов при значении параметра % = дНр2 1. Таким образом, для полей калибровочной группы 5С/(2) был получен результат:

Г'1» = V(gH)'

11 'b ii-D-i-1

48тг2 V р2 2) 8тг 1 дН

+

л •7Г'

— In 2 — г— 3 б

W -.....^

где /¿2-параметр обрезания. Если распространить результат (13) на всю область значения параметра то можно получить весьма интересные выводы относительно поведения вакуума в пространстве с данной метрикой. Полный эффективный потенциал, включающий также

классический вклад, как известно, равен:

я2 г<1)

Если построить график этого выражения в зависимости от величины поля Н для различных р, то будет видно, что минимум ReW смещается к более малым значениям Н при росте р. Кроме того, можно увидеть, что существует некоторое критическое значение поля рс ~ 2.03. Так что, если радиус кривизны больше этого значения, то абсолютный минимум действительной части V лежит при Hmin > 0, в противном случае, минимум достигается когда Hmin = 0. Можно сказать, что имеет место фазовый переход в процессе нарушения симметрии вакуума, которое возникает из-за введения кривизны. Главный же результат состоит в том, что, хотя значения поля в случае, если мнимая часть равна 0 и действительная часть достигает минимума, в общем различны, при значении радиуса кривизны р ~ 2.21 они совпадают. Это свидетельствует о том, что, если результаты [30] справедливы, грави-

тационные эффекты могут действительно способствовать достижению стабилизации вакуума.

С. Радиационный распад Ь-кварка в присутствии фонового хромомагнитного поля.

Исследование редких распадов .В-мезонов, как оказалось, имеет большое значение для определения ряда важнейших параметров квантовой хромодинамики. Помимо первоначального интереса, связанного, в основном, с чувствительностью процессов В —>■ Х8 + 7 к массе кварка [31], выяснилось, что такие сильно КХД-зависимые распады являются важнейшим инструментом исследования поправок высших порядков в стандартной модели [32]. Эти распады дают прекрасную возможность для определения слабых углов смешивания [33], проверки унитарности матрицы Кабибо-Кобаяши-Маскава и изучения нарушения СР-четности [34]. Изучение процессов В —> Х8 + 7 позволяет, кроме того, делать предсказания и о явлениях, находящихся за рамками Стандартной модели, таких как существование заряженных Хиг-гсов [35], аномального И^И^-взаимодействия [36] и других [37].

Скорость инклюзивного распада В —> Х3 + 7 традиционно вычисляется с использованием модели свободных кварков. Она состоит в том, что рассматривают слабый распад 6 —я + 7, аналогичный распаду массивного нейтрино. Затем эта модель корректируется поправками "малых расстояний" от виртуальных и реальных глюонов [32,38]. Вычисление этих поправок основано на ренормгрупповом анализе, а их учет эффективно выражается в появлении дополнительного множителя в амплитуде слабого распада Ь 5+7 [39,32,38]. Такая аппроксима-

ция, состоящая в использовании модели свободных кварков, безусловно, является достаточно грубой. Это главным образом происходит из-за большой теоретической неопределенности, связанной с процессом адронизации. Тем не менее, недавно появившиеся первые экспериментальные результаты измерения ширины распада В —у Х3 + 7 [40] и Ь —у 5 + 7 [41] дают удовлетворительное (в рамках довольно больших погрешностей) согласие с теоретическими предсказаниями [42].

Для улучшения теоретической модели свободных кварков необходимо, прежде всего, учесть непертурбативные поправки от "больших расстояний" к распадам В —»■ Исследованию вклада этих поправок было посвящено большое число публикаций последних лет. При этом применение метода операторного разложения и эффективной теории тяжелых кварков [34,43] позволило достичь значительного прогресса в этой области. Было обнаружено, что учет непертурбативных эффектов приводит к тому, что результат партонной модели при формировании массы мезона изменяется на величину порядка Л2/т^, где Л характерный параметр КХД, (Л ~ 300 ГэВ), что составляет примерно 3-4% [44]. Существуют и другие подходы, основанные, например, на инстантонных моделях. Можно, в частности, ожидать, что внешнее цветовое поле, действующее на кварки в адронах [46], напряженность которого связана с ненулевым вакуумным средним глюонного поля (глюонным конденсатом) [10], окажется неплохим приближением вклада " больших расстояний".

Первая попытка учета влияния глюонного конденсата на ширину распада В —>• Х3 + 7 была сделана в [47]. Конденсат моделировался постоянным хромомагнитным полем. Вычисленная в этой работе непертурбативная поправка к полной ширине распада в партонной модели оказалась величиной порядка А2/га2, где А следующим образом выражается через напряженность поля С^ глюонного конденсата, А2 ~ (0 | аТг О^О^ | 0), что согласуется с оценками других моделей [43,44]. Однако ввиду принятых необоснованных упрощений как величина поправки, вычисленная в [47], так и несколько других частных результатов, например, вид дифференциальной ширины распада, вызывают сомнения.

Как было отмечено выше, эффективная теория позволяет учесть поправки КХД в амплитуду процесса распада Ь-кварка. Это достигается путем интегрирования тяжелых степеней свободы, которые в данном случае связаны с ^кварком и Ил± бозонами. Эффективный гамильтониан в данной теории для стандартной модели имеет вид:

4 8

Яе//(6 з>у(+д)) = Е (14)

где операторный базис и соответствующие коэффициенты Вильсона С{(/л) рассмотрены в работе [48]. Символ А^ = УгъУи называется фактором Кабиббо-Кобайши-Маскава и представляет собой произведение двух матриц смешивания У^. является константой связи Ферми.

Коэффициенты Вильсона в точке нормировки ць = О(гаь) вычис-

ляются с помощью ренорм-группового уравнения, решение которого требует знания матрицы аномальных размерностей в заданном порядке по а3, т. е. коэффициентов Вильсона С^ц = тцг), вычисленных на основании полной теории в соответствующем порядке. Матрица аномальных размерностей в основном логарифмическом [49] и следующем за основным логарифмическим приближением порядках [48] известна. В работе [50] вычислены первые шесть коэффициентов Вильсона для четырех кварковых операторов. Оставшиеся два = туу) и = туу) получены в [51]. В добавлении к этому следующие за основным логарифмическим приближением поправки к матричным элементам вычислены в работах [54,53] в усеченном базисе (включающем операторы 0\, Оч и Оз), а затем и в полном базисе [55]. Виртуальные поправки в следующем после логарифмического приближении были определены в [56]. Вклад этих поправок играет ключевую роль в уменьшении зависимости инклюзивной ширины распада в основном логарифмическом приближении от масштаба ренормировки.

Будем иметь в виду, что операторный базис для Heff на самом деле шире того, который представлен в уравнении (14). В этом выражении мы пренебрегли операторами, которые умножаются на малый фактор ^ = УиьУиз- Принимая во внимание, чтоАс = — А^ — можно записать эффективный гамильтониан в виде:

Яе//(Ь -». в7(+д)) = -Щ£-{Х ([адо7(А«) + адо8м +

+с,1(м)о1(м) + с2(м)о2и - -л„[с1(^)(о111(м) - Ох(/х)) +

+ед(смм) - 02Ы)] + •••}' (15)

где опущены члены, пропорциональные малым величинам С3,. , Се. Операторы входящие в это уравнение определены следующим образом:

О1М = (^ъТ"сь)(сьу"ТаЬ1), 02{ц) = (ёь^с^с^Ьь),

с

Оы{>А = {ВьъТ'чШ'ГГЬь), 02» (/•«) =

ОМ = ^ть^НТ^МО^ (16)

Ита,к, мы имеем два вида поправок к матричным элементам операторов О; в следующем после логарифмического порядке. Это, во-первых, поправки КХД, необходимые как для того, чтобы скомпенсировать инфракрасные расходимости в выражении для скорости распада Ь-кварка, так и для того, чтобы получить нетривиальный вклад КХД в спектр энергии фотона, возникающего в результате этого распада. Эти поправки представляют собой, во-первых, вклад тормозного излучения. Во-вторых, это - виртуальные поправки.

В добавление к этим пертурбативным поправкам КХД были вычислены основные энергетические поправки к ширине распада Г (Б — Х8 +7), имеющие порядок 1/га2 [57-59]. Их можно записать в следу-

ющем виде:

Г (В->Хд + 7) 6ь

т2ь'

й = 1/2Лх - 9/2Л2, (17)

где Л1 и Л2 соответственно параметры, связанные с кинетической энергией и магнитным моментом. Величина 8ъ/гп\ приблизительно равна —0,04. Таким образом, оказывается, что энергетические поправки основного порядка 1 /т\ в разложении по тяжелым кваркам как для редкого распада Г (В —> Х3 + 7), так и для полулептонного распада Г(£ —> Х1щ), с которым последний обычно сравнивается, идентичны.

Учитывая, что доминирующую роль играет оператор О7, амплитуду распада для процесса Ь —57, включающую в себя виртуальные поправки, можно записать в виде:

А(Ъ -> в7) = | 07 | Ь)*,ее£>(6 57),

В(ъ в7) = АДА'д + гА\) + \и(АЪ + »А?), (18)

где величины Ад, А/, Ад, А/ включают в себя виртуальные поправки, найденные в [56], а также коэффициенты Вильсона в следующем после логарифмического приближении, найденные в [50,51].

Таким образом, мы видим, что модель глюонного конденсата имеет много приложений в физике элементарных частиц. Присутствие отличного от нуля глюонного поля оказывает сильное влияние на реакции распада и аннигиляции, на вид пропагаторов фотонов и кварков, входящих в выражения для определения вероятности тех или иных

элементарных процессов. Кроме того, как мы успели убедиться, введению модельного глюонного конденсата, с другой стороны, может сопутствовать явление нестабильности вакуума, чего, безусловно, хотелось бы избежать. Поэтому представляет интерес рассмотрение тех или иных способов возможного устранения указанного недостатка модели, в частности, связанных, как было отмечено, с введением отличной от нуля кривизны пространства.

В данной диссертации в связи с вышеозначенными проблемами предпринята попытка исследовать некоторые вопросы физики вакуума калибровочных теорий и его влияния на ход квантовых процессов с участием кварков и глюонов. Так вначале будет рассмотрен вопрос о возможной стабилизации вакуума Саввиди при переходе от плоского пространства к пространству с отличной от нуля кривизны в случае абе-левой конфигурации потенциалов, задающих внешнее хромомагнитное поле. Затем уже рассматриваются неабелевы потенциалы, и исследуются различные реакции с участием элементарных частиц, происходящие в присутствии моделирующего глюонный конденсат фонового поля, определяемого этими потенциалами. Так исследован процесс распада 6-кварка на я-кварк и фотон, определена мнимая часть массового оператора 6-кварка и на основании ее приведена оценка вероятности распада. А также рассмотрен процесс распада виртуального фотона на пару кварк-антикварк, который является составной частью хорошо известной реакции аннигиляции электрон-позитронной пары в адроны. В

этом случае найдена вероятность распада и независимым путем определена мнимая часть поляризационного оператора фотона. Оба процесса недавно получили широкое освещение в литературе. По каждому из освещаемых в диссертации вопросов были опубликованы соответствующие работы. *

а)Жуковский В. Ч., Григорук А. Е., Мамсуров И. В. Аннигиляция пары е+е- в адроны в модельном хромомагнитном поле глюонного вакуумного конденсата // Вестн. Моск. Ун-та. Физ Астрон.-1996-N4-0.17-23.

б)Жуковский В. Ч. Мамсуров И. В. Поляризационный оператор фотона во внешнем цветовом поле // ЯФ.-1998-Т.61.-N1.-0.95-102.

в)Жуковский В. Ч. Мамсуров И. В. Однопетлевое эффективное действие для калибровочного поля в искривленном пространстве-времени // ТМФ.-1998,- т.117.-Ш.-С. 123-129.

г)Жуковский В. Ч. Мамсуров И. В. Массовый оператор Ь-кварка во внешнем неабелевом хромомагнитном поле // Вестн. Моск. Ун-та. Физ. Астрон.-1999.- N3.-0.61-62

II. ОДНОПЕТЛЕВОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ КАЛИБРОВОЧНОГО ПОЛЯ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

А. Введение.

Ранее было показано существование отличного от нуля минимума эффективного потенциала в присутствии постоянного абелевоподобно-го калибровочного поля магнитного типа в неабелевых калибровочных теориях [11] (см. Введение), что свидетельствовало о возможности формирования непертурбативного вакуума в таких теориях, т. н. модель хромомагнитного вакуума, о которой было подробно сказано выше. При этом, однако, отмечалось, что возникающие в спектре глюонов мнимые значения энергии (тахионные моды) при суммировании приводили к существованию мнимой части эффективного лагранжиана. Вакуум, таким образом, оказывался нестабильным, поскольку присутствие мнимой части в эффективном лагранжиане равносильно экспоненциальному убыванию оператора эволюции [14,91]. Чтобы Устранить указанную нестабильность предлагались различные модификации модели хромомагнитного вакуума. Так, в [92,10] речь шла о кварк-глюонной плазме при конечной температуре. При этом, помимо фонового хромомагнитного поля здесь вводилась еще отличная от нуля четвертая компонента векторного потенциала. В [94] было показано, что стабилизация возможна лишь в случае таких калибровочных групп и полей, для которых число независимых инвариантов п°ля превышает единицу, а также когда размерность пространства-

времени больше четырех. Здесь мы рассмотрим модель хромомагнит-ного вакуума, связанную с наличием отличной от нуля кривизны в пространственно-временном континууме. Она была впервые рассмотрена в работе [30], где четырехмерное пространство, в частности, представлялось как прямое произведение двумерной сферы на двумерную плоскость. Авторы [30] утверждали, что с увеличением кривизны мнимая часть лагранжиана уменьшается и при определенном значении радиуса сферы обращается в нуль. Нами были получены выражения для действительной и мнимой частей эффективного лагранжиана в двух предельных случаях малой и большой кривизны. В отличие от [30] наше исследование показало, что даже с учетом конечной кривизны мнимая часть принципиально не может обратиться в нуль. Кроме того, как в мнимой, так и в действительной частях для больших значений Радиуса кривизны возникают поправки, по-видимому, не учтенные в

[30].

В. Эффективное действие.

Рассмотрим производящий функционал модели глюодинамики в случае калибровочной группы 5£/(2) в пространстве-времени 82 х К2'

= I ¿а^Хехр [- / *Ху/д(Ь + ¿в"а£)] , (19)

гДе лагранжиан калибровочного поля А^ в присутствии внешнего (фонового) поля имеет вид:

ь = + + Хаф2)аЬХЬ. (20)

Здесь ^ = - - ^(Г^А^, ^ = -

гд(Тс)аЬАс^} А^ = А^ + а®, где А£ -фоновое поле, квантовые

флуктуации глюонного поля, х,Х поля ДУХ0В> а ^ ковариантная производная (см. Введение).

Проведем разложение лагранжиана, учитывая члены квадратичные по а®, что соответствует однопетлевому приближению, после чего континуальный интеграл примет гауссовский вид. Как известно из [60], такой интеграл по глюонным флуктуациям выражается через определитель стоящего под знаком экспоненты оператора в степени — а интеграл по полям духов равен самому определителю. Принимая во внимание, что эффективное действие Г связано с X соотношением 2 = ехр(Г), а также, что логарифм определителя равен следу от -логарифма, получим, что в однопет левом приближении для эффективного действия (см. например, [61]):

Г«[,4] = ^Тг 1п[ё£] - Тг 1п[(-52)аЬ], (21)

£

гДе первое слагаемое отвечает глюонному вкладу, а второе вкладу Духов. При этом оператор 0 выражается следующим образом:

К = -М^А-ОТ + Ъв<Г)ЛК> + " - (22)

Здесь Та -генераторы группы 5?7(2), взятые в присоединенном представлении. Положим в дальнейшем £ = 1, таким образом третий член

в (22) исчезнет. Зададим потенциалы внешнего поля абелевоподобным образом:

а; = f;v = naF,„, (23)

где па единичный вектор вдоль определенного направления в цветовом пространстве. В этом случае:

©°t = -<v[Vл - ig(n*T<)Akrh + ig(n<Tr%„ ~ ¿"4«- (24)

Диагонализуем оператор по цветовым индексам. Собственные значения цветовых матриц (псТс) обозначим va (а = 1,2,3). Определяя их, получим | va {1,1, 0}. Тогда оператор (24) примет вид:

= - igvaAxf + %gvaF[lv - a = 1,2,3. (25)

Теперь зададим фоновое хромомагнитное поле. Мы потребуем, чтобы оно было ковариантно постоянным У^ = 0. Упорядочив координаты в нашем пространстве следующим образом (6,ф,х i,z2), найдем, что этому условию удовлетворяет, например, потенциал в калибровке:

Afi = {0, о, ^Zitf), Н = const, (26)

задающий постоянное и однородное хромомагнитное поле Я Тогда:

Aa = (VA - igvaA\)2 = V2 + igvaE[xxd2 - - д\уа)гЕ\х\ + х2)

V2 = V|2 + + д22.

С. Спектр.

Спектр оператора (27) достаточно просто найти. Очевидно, что он будет равен сумме спектра ротатора и спектра гармонического осциллятора с частотой:

иа = дН\иа\ (28)

Таким образом, получаем:

да = КЦ}) +2а;а(п + ^), пе*Г, I Е N. (29)

р2 2

Теперь проведем диагонализацию по пространственно-временным индексам. Учитывая, что:

д^ = <Иад(дев,9фф, 1,1),

М- (30)

о к2,

в Согласии с (25) получаем следующий результат:

= сИад(-дм(А" + 1/Д -дФФ(А" + 1/р2), -А" + | И | Я,

-А" - 2д | И | Я),

Что можно переписать в общем виде следующим образом:

в; = -</„„( А" + т;), те = Шф = 1/р2, т? = -т? = (32)

Собственные значения оператора, стоящего в круглых скобках, равны:

-1(1 + 1) + 2иа(п +1-)-т; = а;(п, о, п 6 К, I е к, (33)

С кратностью вырождения ¿¡ = 21 + 1. После проведения вышеуказанных преобразований получаем окончательную формулу для эффективного действия:

О оо оо

27Г(47Г1р£) а п=0 /=0

£ 1п[Л^(п,/)]-1п[Ла(п,/)]), \2р=б,ф, 1,2 /

Ла(п, /) = + 1) + 2о;а(п + -), (34)

^..... . „, . 1

Р5

где П = / у/д(1Ах = Атгр2 ! пространственно-временной обьем.

Это выражение оказывается зависящим от некоторого безразмерного параметра представляющего собой произведение двух размерных

величин иа и р2\

а-..«-2 (35)

X Р

Мы рассмотрим два случая больших и малых значений этого параметра, когда можно получить достаточно простой конечный результат.

Б. Случай больших значений параметра.

В дальнейшем воспользуемся представлением (оно справедливо с учетом вычитания на нижнем пределе):

00 г1 с

\пА = — [ —~е~зА, Яе А > 0. (36)

о 5

Положим, что х > 1. В соответствии с (36) и (33) можно написать:

1пЛа = _ Jdle-s(jIl(l+l)+2^{n^)-шi) (37)

^ 0 5

Подставляя (37) в (34), и внося сумму по п под знак интеграла получаем для ¡л

£ = - ]- а (38)

5 я п=о 2 о 5 ви;а

Если же /х = 2, то для первых нескольких I при п = 0 аргумент

логарифма будет отрицательным. Это даст вклад в мнимую часть, равный:

П 5>а(-мг) ^(21 + 1), (39)

87Г2р2 а 1=о

Где ь целое число, удовлетворяющее неравенствам Ь(Ь - 1) < х < Щ + 1). Выделяя целую р = [у/х\ и дробную е = уД - р части параметра, получаем:

П , „„ Л 2

—I

V

1шТ^[А] = -^9НГ (1-М,

-б, б<2

а = ' (40)

1 - б, б > |

Теперь рассмотрим действительную часть. Проведем суммирование По К используя формулу Эйлера-Маклорена [62]. Это оправдано, поскольку в интеграле по 5 из-за быстрого убывания экспоненты существа лишь та область значений переменной, где ^ < 1. Рассмотрим

сначала те члены суммы (34), где величина, стоящая под знаком логарифма положительна:

оо 31(1+1) ОО _з1{1+1) I

Е(2/ + 1)е = / Л(21 + 1)е ^ + - + + =

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мамсуров, Игорь Владиславович

VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проделанной работы, можно сделать следующие выводы.

1. Проведен анализ возможности стабилизации модельного хромомаг-Нитного вакуума при переходе к искривленному пространству-времени, Представляющему собой прямое произведение двумерной сферы на двумерную плоскость. Для этой цели найдено выражение для мнимой и Действительной частей однопетлевого эффективного действия и его зависимость от величины параметра, задающего соотношение напряженности внешнего поля и кривизны.

2. В рамках предложенной модели установлено, что стабилизация вакуума не происходит ни при каком значении вышеозначенного параМетра.

3. Рассчитано однопетлевое выражение для массового оператора МО ^-кварка с учетом вклада промежуточного 5-кварка и фотона, в присутствии фонового хромомагнитного поля, моделирующего глюонный Конденсат. Получено явное выражение для мнимой части МО, связанное с его реальной частью дисперсионным соотношением. Приведена оценка вклада конденсата в вероятность радиационного распада ^кварка.

4. Исследовано влияние глюонного конденсата на процесс аннигиляции электрон-позитронной пары в адроны. Подробно рассмотрена основная часть этого процесса, состоящая в распаде виртуального фотона на пару кварк-антикварк.

Найдены точные решения уравнения Дирака для кварков во внешнем Хромомагнитном поле глюонного конденсата. На их основе вычислена вероятность распада фотона и установлена ее связь с мнимой частью Поляризационного оператора фотона.

5. Получено однопетлевое выражение для поляризационного оператора фотона с учетом вклада кварков и глюонного конденсата. Рассмотрен случай как скалярных, так и спинорных кварков. Исследованы модели глюонного конденсата с хромомагнитным полем, принадлежащим 5 С/ (2) и Би(3) калибровочным группам и приближенно представляющим доменную структуру ферромагнитного вакуума.

Вычислена мнимая часть поляризационного оператора фотона. На основе полученных результатов приведена численная оценка для поправки к моменту 1-го порядка в случае тяжелых кварков, которую Можно определить экспериментально.

В заключение выражаю особую благодарность своему научному руководителю проф. Жуковскому В. Ч. за постановку интересных задач Для исследования, помощь в работе и полезные советы. Благодарю так-^е чл.-корр. РАН Славнова А. А. за проявленный интерес и поддержку, проф. Борисова А. В. за полезные дискуссии и Григорука А. Е. за помощь на начальном этапе работы.

-Е

-Ejqo - |ï»

ХУ

J^^

Ei qo + P

Рис. 1

Ci

Puc.2

Рис. 3 р — q

Po

Рис. 4

Рис.6

- 93

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мамсуров, Игорь Владиславович, 1999 год

Литература.

[1] Вшивцев А. С. Галкин В. О. Татаринцев А. В. Фаустов Р Н. Спектральная задача для радиального уравнения Шредингера со степенными потенциалами, удерживающего типа. ТМФ, 113, 397 (1997);

[2] Бадалян А. М. Китороагэ Д. И. Основные состояния барионов в потенциальной модели с универсальным взаимодействием. ЯФ, 47, 807 (1988); Бадалян А. М, Китороагэ Д. И., Парийский Д. С. Спектр и волновые функции мезонов и барионов для корнельского потенциала. ЯФ, 46, 226 (1987)

[3] Арбузов Б. А. Квантовая хромодинамика на больших расстояниях и проблема наблюдаемости цвета. Квантовая теория поля и физика высоких энергий. Труды школы молодых ученых (М.: МГУ, 1985)

[4] Baker М. Ball J. S. Zachariasen F An effective action desribing longrange Yang-Mills theory. Nucí. Phys., В 229, 445 (1983)

[5] Владимирский В. В. Изучение состояний системы К8К\-к~, рождающейся в 7т~р взаимодействиях при импульсе 40Гэв/с. Наблюдение моды распада ai ->> КК. ЯФ, 58, 107 (1995)

[6] Косяков Б. П. Поле произвольно движущегося цветного заряда.

ТМФ, 87, 422 (1991)

[7] Первушин В. Н. О физическом вакууме в КХД. ЭЧАЯ, 15, 1073 (1984)

[8] Вшивцев А. С. Иванов А. С. Павлова О. С. Татаринцев А. В. Точные решения системы уравнений SU(2) Янга-Миллса и Дирака. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. Физ. Астрон. 28, 101 (1995)

[9] Григорьев Д. Ю. Дерягин Д. В. Рубаков В. А. Образование Янг-Миллсовского кристалла в электрослабой теории при высоких фер-мионных плотностях. Письма в ЖЭТФ, 44, 301 (1986); Deryagin D. I. Grigoriev D. Yu. Rubakov V A. Inhomogeneous И^-boson condensates in the standard electroweak theory at high fermionic densities. Phys. Lett., В 78, 385 (1986); Cold dense fermionic matter in the electroweak theory: anisotropic И^-boson condensate at В ф a. Int. J. Mod. Phys. A, 7, 659 (1992); Int. J. Mod. Phys. A, 5, 1199 (1988);

[10] Shifman M.A. Vainshtein A.J. Zakharov V.I. Instanton density in a theory with massless quarks. Nucl.Phys. В 147, 385; 448, (1979).

[11] G. K. Savvidy, Infrared instability of the vacuum state of gauge theories and asymptotic freedom. Phys. Lett. В 71, 133 (1977).

[12] S. G. Matinyayn, G. K. Savvidy. Vacuum polarization induced by the intense gauge field. Nucl. Phys. В 134, N 3, 539-545 (1978).

[13] Nielsen N. K., Ninomya M. A bound on bag constant and Nielsen-

Olesen unstable mode in QCD. Nucl. Phys. В 156, 1 (1979); Ambjorn J. Olesen P On the formation of a random color magnetic quantum liquid in QCD. Nucl. Phys. В 170, 60 (1980); A color magnetic vortex condensate in QCD. Nucl. Phys. В 170, 265 (1980).

14] N. К. Nielsen and P Olesen. An unstable Yang-Mills field mode. Nucl. Phys. B144, 376 (1978).

15] Скалозуб В. В. Вакуум электрослабых взаимодействий в интенсивных внешних полях. ЭЧАЯ, 16, 1005 (1985); ЯФ, 28, 228 (1978).

16] Фон Нейнман Дж. Математические основы квантовой механики (М.: Наука, 1964)

17] Leutwyler Н. Constant gauge fields and their quantum fluctuations. Nucl. Phys. В 179, 129 (1981).

18] Brown L. S. Weisberger W I. Vacuum polarization in uniform non-Abelian gauge fields. Nucl. Phys. В 157, 285 (1979).

19] Savvidy G. K.

Preprint Acad. Sci Arm. SSR YPI; Ypi-350(8)-79 (Yerevan, 1979)

20] Anishetty R. Vacua for SU(2) Yang-Mills. Phys. Lett. В 108, 295 (1980).

21] Вшивцев А. С. Жуковский В. Ч. Семенов О. Ф. Татаринцев А. В., Устойчивость постоянных неабелевых хромомагнитных полей.

- 96 -

Изв. вузов. Сер. Физ. 12, 12 (1987).

[22] Вшивцев А. С. Татаринцев А. В. Точные решения системы уравнений SU(2) Янга-Миллса и Дирака. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. Физ. Астрон. 28, 78 (1987); Укр. физ. журнал 33, 165 (1988).

[23] Багров В. Г Вшивцев А. С. Кетов С. В. Дополнительные главы математической физики (Калибровочные поля). (Томск: Изд-во ТГУ, 1990)

[24] Кабо А. Шабад А. Е. Калибровочные поля в среде и вакууме при наличии внешнего потенциала. Труды ФИ АН, 192, 153 (1988)

[25] Вшивцев А.С. Перегудов Д. В. Поле Янга-Миллса с внешним током. ТМФ, 3, 435 (1995)

[26] Reuter М. Wetterich С. Gluon condensation in nonperturbative flow equations. Phys. Rev. D 56, 7893 (1997).

[27] Chang S. L. Ni G. Nonlinear stability and small fluctuations around a classical Yang-Mills ground state. Phys. Rev. D 26, 864 (1982).

[28] Халилов В. P Электроны в сильном магнитном поле (М.: Энерго-атомиздат, 1988).

[29] Владимирский В. В. Модель хромомагнитного конденсата в КХД. ЯФ, 59, N 11, 2063-2076 (1996).

[30] Е. Elizalde, S. D. Odintsov, A. Romeo, Effective potential for a

covariantly constant gauge field in curved spacetime. Phys. Rev D 54, N 6, 4152-4159, (1996).

[31] B. A. Cambell and P J. O'Donnell. Mass of the top quark and induced decay and mixing of neutral B-mesons. Phys. Rev D 25, 1989-1992 (1982); S. Bertolini, F Borzumati and A. Masiero. QCD enchancement of radiative B-decays. Phys. Rev. Lett. 59, 180-182 (1987).

[32] N. G. Deshpande, P Le, J. Trampetic, G. Eilam, P Singer. Prediction of b —> k*7 as a test of the standard model. Phys. Rev. Lett. 59, 183-185 (1987); C. A. Dominguez, N. Paver and Riazuddin. Rare decay b k*7 in the Standard model. Phys. Lett. 214, N 3, 459-462 (1988); G. Cella, G. Curci, G. Ricciardi and A. Vicere. QCD correction to the weak radiative ¿-meson decay. Phys. Lett. B 248, N 1-2, 181-187 (1990); B. Grinstein, R. Springer and M. B. Wise. Strong-interaction effects in weak radiative 5-meson decay. Nucl. Phys. B 339, 269-309 (1990).

[33] D. Atwood, B. lok and A. Soni. Feasibility of Extracting Vtd from radiative b(ba) decay. Preprint SLAC-PUB-6635. 19 P hep-ph/9408373 (1994).

[34] M. Neubert. b decay and CP violation. Preprint CERN-TH/96-55. 65 P (1996).

[35] R. G. Ellis, G. C. Joshi and M. Matsuda. Hard gamma emission from

6-decay and the Higgs boson doublet model. Phys. Lett. B 179, N 1,2, 119-124 (1986); B. Grinstein and M. B. Wise. Weak radiative £-meson decay as a probe of Higgs sector. Phys. Lett. B 201, N 2, 274-278 (1988).

[36] S. P Chia. Radiative decay of the bottom quark and the WW~f coupling. Phys. Lett. B 240, N 3,4, 465-471 (1990); X. He and B. McKellar. Constraints on the anomalous WW7 couplings from b —» sj. Phys. Lett. B 320, 165-169 (1994).

[37] J. Hewett. Probing new physics in B-penguins. Preprint SLAC-PUB-95-6782. 7 P - hep-ph/9505247 (1995); L. T. Handoko and T Morozumi. 6 —»• s(d)y with a vector-like quark as fourth generation. Mod. Phys. Lett. A. 10, N 4, 309-322 (1995).

[38] M. A. Shifman, V I. Vainshtein and V I. Zakharov. Right-handed currents and strong interactions at short distances. Phys. Rev. D 18, N 7, 2583-2599 (1978); R. Grigjanis, P J. O'Donnell, M. Sutherland and H. Navalet. QCD-corrected effective lagrangian for b —> s process. Phys. Lett. B 213, N 3, 355-360 (1988); A. Ali and C. Greub. Rare decay B Xd + 7 in the standard model. Phys. Lett. B 287, 191-202 (1992).

[39] B. Grinstein, R. Springer and M. B. Wise. Effective hamiltonian for weak radiative B-meson decay. Phys. Lett. B 202, 138-142 (1988);

M. Misiak. QCD-corrected effective hamiltonian for the b —)> sj decay. Phys. Lett. B 269, 161-168 (1991).

[40] CLEO Collaboration, R. Ammar et al. Evidence for Penguim-Diagram Decay: First Observation of b k*(892)7. Phys. Rev. Lett. 71, N 5, 674-678 (1993);

[41] CLEO Collaboration, M.S. Alam et al. First measurement of the rate for the inclusive radiative penguin decay b —> sj. Phys. Rev. Lett. 74, 2885-2889 (1995).

[42] A. Ali and C. Greub. Photon energy spectrum in 5 —> xs + 7 and comparison with data. Preprint SLAC-PUB-95-6940. 28 P - hep-ph/9506374 (1995); R. D. Dikeman, M. Shifman and N. G. Uraltsev. b s + 7: A QCD consistent Analysis of the photon Energy Distribution. Preprint TPI-MINN-95/9-T. 41 P - hep-ph/9505397 (1995).

[43] I. I. Bigi, M. Shifman, N. G. Uraltsev and A. I. Vainshtein. QCD Predictions for Lepton Spectra in Inclusive Heavy Flavour Decays. Phys. Rev. Lett. 71, N 4, 496-499 (1993); B. Blok, L. Koyrakh, M. Shifman and A. I. Vainshtein. Differential distributions in semileptonic decays of heavy flavour in QCD. Phys. Rev. D 49, N 7, 3356-3366 (1994);

[44] M. Neubert. Analysis of the photon spectrum in inclusive b —> xsj decays. Phys. Rev. D 49, N 9, 4623-4633 (1994); A. F. Falk, M. Luke

and M. J. Savage. Nonperturbative contributions to the inclusive rare decays B X3j and B ->► Xsl+l~ ibid., 3367-3378; I. I. Bigi, N. G. Uraltsev and A. I. Vainshtein. Nonperturbative corrections to inclusive beauty and charm decays. QCD versus phenomenological models. Phys. Lett. B 293, 430-436 (1992).

[45] M. Shifman. Recent Progress in the Heavy Quark Theory. Preprint TPI-MINN-95-15-T. hep-ph/9505289 (1995); J. Chay and S-J. Rey. Instanton contribution to B —y Xueû decay. Preprint SNUTP-9408. 24 P - hep-ph/9404214 (1994), Instanton contribution to B Xsj decay. Preprint SNUTP-9454. 18 P - hep-ph/9406279 (1994); A. Falk and A. Kyatkin. Instantons and the endpoin of the lepton energy spectrum in charmless semileptonic B decay. Preprint JHU-TIPAC-950004. 15 P - hep-ph/9502248 (1995).

[46] O. Nachtman, A. Reiter. A test for the gluon selfcoupling in the reactions e+e~ ->> 4 jets and Z° 4 jets. Z. Phys. C. 16, N 1, 4554 (1983); O. Nachtman. A method for extracting gluon-fragmentation functions from jet-events. Z. Phys. C. 16, N 3, 257-258 (1983).

[47] A. Kyatkin. A model for the B —»■ Xs+j decay in the chromomagnetic background. Phys. Lett. B 361, 105-109 (1995).

[48] K. Chetyrkin, M. Misiak and M. Miinz, Weak radiative B-meson decay beyond leading logarithms. Phys. Lett B 400, 206 (1997).

[49] M. Ciuchini et al., Phys. Lett. B 316, 127 (1993); Nucl. Phys. B 415, 403 (1994); G. Cella et al. The b ->> sj decay revised. Phys. Lett. B 325, 227 (1994); M. Misiak, Nucl. Phys. B 393, 23 (1993); [E. B 439, 461 (1995)].

[50] A. J. Buras et al., Effective hamiltonians for as = 1 and ab = 1 non leptonic decays beyond the leading logarithmic approximation. Nucl. Phys. B 370 69 (1992); M. Ciuchini, E. Franco and L. Reina, The as = 1 effective hamiltonian including next-to-leading order QCD and QED corrections. Nucl. Phys. B 415 403 (1994).

[51] K. Adel and Y.-P Yao, 0(a3)~ calculation of the decay b —»• 57 and b sg. Phys. Rev. D 49, 4945 (1994).

[52] A.Ali and C. Greub, Inclusive photon energy spectrum in rare b decays. Z. Phys. C 49, 431 (1991); Phys. Lett. B 259, 182 (1991); Z. Phys. C 60, 433 (1993).

[53] A. Ali and C. Greub, Rare decays b —>> xs + 7 and an estimate of the branching ratio BR (b k* + 7). Phys. Lett. B 287, 191 (1992).

[54] A. Ali and C. Greub, Photon energy spectrum in b —> xs + 7 and comparison with data. Phys. Lett. B 361, 146 (1995).

[55] N. Pott, Bremsstahlung corrections to the decay b —> sj. Phys. Rev. D 54, 938 (1996).

[56] C. Greub, T.Hurth and D. Wyler, Virtual 0(as) corrections to the

inclusive decay b sj. Phys. Lett. В 380, 385 (1996); Phys. Rev. D 54, 3350 (1996).

[57] J. Chay, H. Georgi and B. Grinstein, Lepton energy distributions in heavy meson decays from QCD. Phys. Lett. В 247, 399 (1990); I.I Bigi, N. G. Uraltsev and A. I. Vainstein, Non perturbative corrections to inclusive beauty and charm decays: QCD versus phenomenological models. Phys. Lett. В 293, 430 (1992) [E. В 297, 477 (1993)]; I.I. Bigi et al. QCD predictions for lepton spectra in inclusive heavy flavor decays. Phys. Rev. Lett. 71, 496 (1993); B. Blok et al. Differential distributions in semileptonic decays of heavy flavors in QCD. Phys. Rev. D 49, 3356 (1994) [E. D 50, 3572 (1994)].

[58] A. Manohar and M. B. Wise, Inclusive semileptonic В and polarized Ab decays from QCD. Phys. Rev. D 49, 1310 (1994).

[59] A. F Falk, M. Luke and M. Savage, Non perturbative contributions to the inclusive rare decays В —>• Xsj and В —У Xsl+l. Phys. Rev. D 49, 3367 (1994).

[60] А. А. Славнов, JI. Д. Фаддеев, Введение в теорию калибровочных полей, М. Наука, 1978.

[61] I. L. Buchbinder, S. D. Odintsov, I. L. Shapiro, Effective Action in Quantum Gravity (IOP, Bristol, 1992)

[62] И. С. Градштейн, И. M. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов

и произведений, М. Наука, 1971.

[63] Gell-Mann М. Oakes R. Renner В. Behavior of current divergences under SUZ x SU3 Phys.Rev. 1968.175, 2195 (1968).

[64] Григорук A. E. Жуковский В. Ч. Радиационный распад Ъ-кварка в неабелевом хромомагнитном поле, Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. N 1, 20-23 (1997). (Moscow University Phys. Bull. N 1, 20-23 (1997)).

[65] M. Gell-Mann, R. Oakes. Behavior of current divergences under SU% x SUZ. Phys. Rev 175, N 5, 2195-2197 (1968).

[66] А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, М. А. Шифман. Глюонный конденсат и лептонные распады векторных мезонов. Письма в ЖЭТФ. 27, 60-64 (1978).

[67] Mil'shtein A.J. Pinelis Yu.F Propeties of the photon polarization operator in a long-wave vacuum field in QCD. Phys.Lett. В 137, 235 (1984).

[68] Щелкачев А.В. Хромодинамическое вакуумное поле и поляризационные эффекты в адронных реакциях при больших передачах. Препринт ИФВЭ 88-158, (1988).

[69] L. S. Brown and W I. Weisberger. Vacuum polarization in uniform non-abelian gauge fields. Nucl. Phys. В 157, 285-326 (1979).

[70] И. А. Баталии, С. Г Матинян, Г К. Саввиди. Поляризация вакуума калибровочным полем, свободным от источников. ЯФ, 26, вып.2, 407-414 (1977).

[71] А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, О. Ф. Семенов, А. В. Татаринцев. Устойчивость постоянных неабелевых хромомагнитных полей. Изв. Вузов, Физика. N 12, 14-16 (1987).

[72] V A. Novikov, L. В. Okun', М. A. Shifman, A. I. Vainshtein, М. В. Voloshin, and V I. Zakharov. Sum rules for Charmonium and Charmed Mesons in quantum Chromodynamics. Phys. Rev. Lett. 38, N 12, 626629 (1977).

[73] Mil'shtein A.J. Pinelis Yu.F Non-Abelian constant fields and the vacuum expectation values. Z.Phys. 27, 461 (1985).

[74] Averin A.V Borisov A.V Zhukovskii V.Ch. Photon polarization operator in an external non-Abelian field, Z.Phys. 48, 457 (1990).

[75] Волошин М.Б. Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М.: Энергоиздат, 1984.

[76] N. Baier, Yu. F Pinelis. On leading non-perturbative effects for heavy-quark systems. Phys. Lett. В 116, 179-182 (1982).

[77] Жуковский В.Ч. Мамедов Ш.А. Нуньес А.А. Дисперсионные соотношения для поляризационного оператора фотона во внешнем не-абелевом поле Изв. вузов. Физика. N 2, 80 (1991).

[78] V Ch. Zhukovskii. Proc. of the Second Workshop on "Quantum Theory under the Influence of External Conditions" Leipzig, 273 (1992).

[79] Соколов А. А. Тернов И. M. Релятивистский электрон - М.: Наука, 1983. - 304 С.

[80] А. А. Соколов, И. М. Тернов, В. Ч. Жуковский, А. В. Борисов. Квантовая электродинамика. - М.: Мир, 1988. - 312 С.

[81] В. Ч. Жуковский, Ю. Н. Белоусов. Суперсимметрия в задаче о фермионе во внешнем неабелевом калибровочном поле. Изв. вузов. Физика. N 2, 40-44 (1989).

[82] В. Ч. Жуковский. Суперсимметрия уравнения Дирака в неабелевом хромомагнитном поле. ЖЭТФ. 90, вып.4, 1137-1140 (1986).

[83] А. С. Вшивцев, В. К. Перес-Фернандес, А. В. Татаринцев. Свойства точных решений массивного классического поля Янга-Миллса. Изв. вузов, Физика. N 5, 96-100 (1986); А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, П. Г Мидодашвили, А. В. Татаринцев. Точные решения уравнения Дирака в постоянных полях хромомагнитного типа. Изв. вузов, Физика. N 5, 47-51 (1986); А. С. Вшивцев, В. К. Перес-Фернандес, А. В. Татаринцев. Точные решения уравнения Дирака во внешних неабелевых калибровочных полях. Изв. вузов, Физика. N 7, 50-54 (1986).

[84] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, JI. П. Питаевский. Квантовая

электродинамика. - М.: Наука. 1991. - 728 С.

[85] Nachtman О. Reiter A. A test for the gluon selfcoupling in the reactions e+e~ —> 4 jets and Z° -» 4 jets. Препринт HD-IHEP-83-28 (1983).

[86] Czyz W Turnau J. Role of the chromomagnetic vacuum background field in e+e~ —> 2jets and in other reactions. Phys.Rev. D 53, 1452 (1996).

[87] Жуковский В.Ч., Григорук A.E. Мамсуров И.В. Аннигиляция пары е+е~ в адроны в модельном хромомагнитном поле глюонного вакуумного конденсата. Вест.Моск.Ун-та.Физика, Астрономия. N 4, 17 (1996).

[88] Buchmiiller W Hebecker A. Semiclassical approach to structure functions at small x. Препринт DESY 95-208 SLAC-PUB-7064. December 1995.

[89] Тернов И.М. Жуковский В.Ч. Борисов А.В. Квантовые процессы в сильном внешнем поле. М.: Изд. МГУ, 1989.

[90] Bukhvostov А. Р Lipatov L. N. MPI-PAE/PTh 61/89 (1989)

[91] А. А. Соколов, И. М. Тернов, В. Ч. Жуковский, А. В. Борисов Калибровочные поля, М.: Изд-во МГУ, 1986.

[92] D. Ebert, V. Ch. Zhukovskii, A. S. Vshivtsev, Thermodinamic

potential with condensate fields in an SU(2) model of QCD. DESY 96-102, June 1996.

[93] A. 0. Starinets, A. S. Vshivtsev, V Ch. Zhukovskii, Color ferromagnetic state in SU(2) gauge theory at finite temperature, Phys. Lett. B 322, 403-412 (1994).

[94] G. Avramidy. Covariant algebraic calculation of the one-loop effective potential in non-Abelian gauge theory and a new approach to stability problem. J. Math. Phys. 36 (4), 1557-1571, (1995).