Одномерный оператор Шредингера с сингулярным потенциалом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Денисов, Сергей Александрович

• Денисов, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Денисов, Сергей Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Равносходимость с интегралом Фурье спектральных разложений для одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом

§1. Оценка приращения спектральной функции на диагонали

§2. Доказательство вспомогательных утверждений

§3. Равносходимость с интегралом Фурье спектральных разложений, отвечающих одномерному оператору Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом

Глава 2. Изучение областей определения степеней одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом

Глава 3. Изучение асимптотического ряда для проекторов в случае оператора Шредингера с суммируемым потенциалом

§1. Получение асимптотического ряда для проекторов и исследование его сходимости

§2. Дальнейшее исследование асимптотического ряда в некоторых

конкретных случаях

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одномерный оператор Шредингера с сингулярным потенциалом»

Введение.

Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам спектральной теории дифференциальных операторов. Основным объектом исследования является одномерный оператор Шредингера. Как известно, уравнение Шредингера описывает многие явления в квантовой механике, что явилось причиной бурного развития как абстрактной теории самосопряженных операторов, так и спектральной теории дифференциальных операторов специального вида.

В настоящей работе рассматриваются вопросы сходимости и равносходимости спектральных разложений, доказывается оценка приращения на диагонали спектральной функции оператора Шредингера. Для оператора с суммируемым на всей прямой потенциалом изучена сходимость асимптотического ряда для проекторов специального вида. Подобного типа вопросы изучались и ранее. Необходимо упомянуть здесь работы многих известных математиков: В.А.Ильина, А.Г.Костюченко, Б.М.Левитана, М.А.Шубина и других.

В диссертации рассматривается оператор Шредингера на всей оси с вещественным потенциалом q{x)

1{и) = — и + ц(х)и .

В первой и второй главе изучается оператор с потенциалом, принадлежащим классу ¿4ос,иш]г(Д)) т0 есть являющимся равномерно локально суммируемой функцией. Это означает выполнение следующей оценки

У+1

\\qWk = эир / |д(ж)|Жс < оо. (1)

уел £

Квадратичная форма порожденная дифференциальным выражением /(и) имеет вид

, 2

= (и (х)) + д(х)и(хУ

dx

-оо

Возмущение д(ж) является подчиненным со сколь угодно малой верхней гранью в смысле квадратичных форм. Это означает, что для любого числа е > 0 найдется С(е), такое что

|qix)\u{x)2dx < е J (и (ж)) dx + С{е) J (и(х))2 dx,

—оо —оо —оо

где неравенство выполняется для всех функций и(х) Е Wl(R)-(Доказательство этого факта содержится в книге [1] с.17. ) Это означает, что на основании теоремы 10.17 с. 190 [2], мы можем построить самосопряженный оператор Н, который будет отвечать квадратичной форме 1/(м), то есть для любой функции и из области определения оператора Н (и Е Т>(Н)) выполнено равенство (Ни, и) = L(u). Известно, что Н, построенный таким образом, полу ограничен снизу некоторым числом Aq. Кроме того, пространство Z/2(R) допускает упорядоченное спектральное представление относительно оператора Н. Это означает выполнение некоторого аналога теоремы Планшереля для интегралов Фурье (см., например [3],[4] ). А именно,

1. Существуют непересекающиеся измеримые множества Aj, j = 1... m, такие что U Aj = о~(Н) , где cr(H) ~ спектр опера-

j=l...m

тора Н.

2. Для почти всех I из множества Aj существует 3 функций , к = 1 . . которые являются слабыми решениями уравнения 1(ик^ = Ыь. Причем существование для почти всех t означает существование для почти всех £ по спектральной мере отвечающей оператору Н.

3. Для любой функции / £ существуют обобщенные образы Фурье, определяемые по формулам

оо

/¿00= / ,

—оо

и последний интеграл понимается в смысле 1/2 ([^о5 °°)>р{1))) ~ сходимости.

4. Для функции / выполнено также равенство Парсеваля

11/111 = / + / Е =2

Ах Д2

11/112= / |А(*)|2Ф(*)> длят = 1

Д1

и формула обращения

оо

/М = /ЕЛ(*К-(мЖ*)5

Ао 3

где сходимость последнего интеграла понимается в ¿2 (Я) смысле.

Для упрощения записи мы в дальнейшем будем полагать «¿(ж, = О, з = 1 ... т для t £ сг(Н) и = 0 для t £ Дь

Число т равно кратности спектра и не превосходит 2.

Для невозмущенного оператора ( случай д(х) = 0) мы имеем

771= 2,Щ (ж,/) = СОз(уДх),и'2 {х^) = $т{л/1х) (/) = —уД.

Следует отметить, что возможны случаи, когда спектр оператора однократен и при этом потенциал не только удовлетворяет условию (1), но даже является ограниченным на всей прямой [5].

Введем в рассмотрение спектральную функцию е(ж, г/, Л), которая является ядром спектрального проектора -Р[а0,а]5 отвечающего оператору Н. Известно следующее представление для е(х,у,Л)

т ^

В первом параграфе первой главы доказывается ряд вспомогательных утверждений. Основным результатом является

Теорема 1.1. Если д £ Ь\0С>ипх(К), то справедлива оценка

С

|е(ж, х, Л + 1) — е(х, х, А)| <

равномерная по х Е Я (А > 1), (здесь и далее символ С обозначает константу, вообще говоря, в каждой формуле разную).

Получению оценок подобного типа для спектральной функции, а также ее асимптотики, посвящены многие работы, например [6]-[13].

Так, в работе Д.Шенка и М.А.Шубина для оператора с периодическим и бесконечно гладким потенциалом (оператора Хилла ) получена асимптотика функции е(х,х, А).

Следует отметить, что теорема 1.1. является обобщением результатов, доказанных для оператора Хилла, для оператора с по-

тенциалом, равным константе, и для оператора с потенциалом, равным суммируемой на всей прямой функции.

Следующий результат дает равномерную на всей прямой оценку для собственных функций оператора Шредингера, которые отвечают положительным собственным значениям.

Следствие. Если /дп- нормированные собственные функции, отвечающие собственным значениям Ап, Ап —» +оо, а потенциал д(х) Е Ььс.ишК-Я), то справедлива оценка |/дп| < С/А^4.

Случаи, когда собственные значения присутствуют на непрерывном спектре, часто встречаются в спектральном анализе операторов Шредингера с потенциалами, медленно стремящимися к нулю. Так, недавно Б.Саймоном [14] был построен пример одномерного оператора Шредингера с потенциалом, убывающим сколь угодно медленнее чем 1/(1 + |х|), и при этом на непрерывном спектре существовала всюду плотная последовательность собственных значений.

Во втором параграфе первой главы доказывается ряд утверждений, которые используются в дальнейшем.

В третьем параграфе вводится в рассмотрение спектральный проектор -Р[а0,а]5 отвечающий оператору Н (действие такого проектора на функцию из ¿2 иногда называют спектральным разложением). Для него известно следующее представление

где / е Ь2.

Центральной в первой главе является следующая Теорема 1.2. Если д £ Ь\0с,ишК-й)5 то справедлива оценка

О х-, о

||-Р[Ло,Л]- Р[0,А] I'2,00 < дЩ, где Рд- проекторы для невозмущенного оператора (Л > 1).

Вопросы равносходимости спектральных разложений с интегралами Фурье интересовали многих математиков (см., например, работы [15],[16] и библиографию в [16] ).

Теорема 1.2. обобщает результаты о равносходимости, которые были получены ранее для оператора Шредингера с потенциалом, равным константе или суммируемой на всей прямой функции. Заметим также, что неравенство, полученное в теореме 1.2., сильнее, чем равномерная на компактах оценка равносходимости, доказанная в монографии Б.М.Левитана, И.С.Саргсяна [16], глава 7 для оператора с локально суммируемым потенциалом.

Во второй главе диссертации изучаются области определения степеней оператора Н, введенного ранее. В этой главе будем считать оператор Н положительным.

Основным результатом второй главы является теорема о совпадении пространства Соболева-Лиувилля Ь^^К) с областью определения оператора На при а. : 0 < су < 3/4, где символ обозначает степень оператора Н порядка /3.

-г-ж- О

Теорема 2.1. Для любого 0 < а < | область определения оператора На совпадает с Ь\а{К).

Здесь мы считаем, что / принадлежит области определения оператора , если выполнено неравенство

Из теоремы 2.1. получается следующий результат о сходимости спектрального разложения

т ^

г=1 л

отвечающего самосопряженному расширению Я . (Очевидно, что

о-Л(Ж,/) = Р[а0)А]/. )

Теорема 2.2 (об оценке скорости сходимости ). Для произвольной функции /(х) из класса Соболева-Лиувилля Щ(Я) с порядком дифференцируемости а : | < а < выполнена равномерная по х £ Я оценка

в которой о(1) обозначает величину, стремящуюся к нулю при Л —> +оо равномерно по х £ Я.

Подобные результаты в случае, когда потенциал д(ж) принадлежит пространству ЬР(Я), где 1 < р < оо, были получены ранее [17], [18].

Третья глава посвящена изучению асимптотического ряда для проекторов -Р(о,д] при условии, что потенциал д £ Надо за-

метить, что в этом случае спектр оператора хорошо изучен (см., например, [19] - результаты, полученные в этой работе, применимы к исследуемому случаю, или [20] ) .

На положительной полуоси спектр абсолютно непрерывен, а на интервале (—оо,0] существует не более чем счетное множество соб-ственнх значений, точкой накопления которых может быть лишь ноль . Метод получения асимптотического разложения был предложен еще в известной монографии Б.М.Левитана и И.С.Саргсяна

"Введение в спектральную теорию". Этот подход основывался на изучении соответствующего гиперболического уравнения. Однако метод, предложенный в главе 1, позволяет получать асимптотику непосредственно. В случае, когда собственные числа у оператора отсутствуют, это асимптотическое разложение имеет вид

о 00

^(0,А]/ =Р(О,А] / + Е Мп,

п= 1

где выражение для Мп выписано в явном виде. Получающийся ряд исследован на сходимость в нормах пространств Ьоо и Ь2. Основными результатами являются теоремы.

Теорема 3.1. Для общего члена ряда справедлива оценка

1

IIM.IL <С\\я\\111/11^3^^74-

Теорема 3.2. Для общего члена ряда справедлива оценка

< с \\д\\1 ц/1^

Кроме того, доказывается следующая теорема

Теорема 3.3. Для произвольного одномерного оператора Шре-дингера с суммируемым на всей прямой потенциалом справедлива оценка

С помощью вышеприведенного метода легко получаются результаты о равносходимости с интегралом Фурье спектральных разложений в случаях, когда потенциал обладает некоторыми дополнительными свойствами. Так, если д{х) суммируем и ограничен на всей прямой, то оценивая только первый член асимпотического ряда, получим следующее неравенство

с

ста (ж,/) — ах (ж,/) < || / ||Ьг

Также в третьей главе с помощью асимптотического ряда анализируются некоторые результаты, полученные ранее.

Так, строится пример, показывающий, что утверждение теоремы 2.1., вообще говоря, не справедливо для параметра а > 3/4. Кроме того, доказывается, что невозможно увеличивать скорость сходимости спектральных разложений лишь за счет повышения гладкости разлагаемой функции.

Автор рад выразить благодарность своему научному руководителю академику РАН В.А.Ильину за руководство работой, а также члену-корреспонденту РАН Е.И.Моисееву и доценту Л.В.Крицкову за полезное обсуждение и критические замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Денисов, Сергей Александрович, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Х.Цикон, Р.Фрезе, В.Кирш, Б.Саймон. Операторы Шрединге-

ра с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии.-М:Мир, 1990, 406с..

2. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. - М:Мир, Т2, 1978, 395с.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -A4:Наука, 1969, 526с.

4. B.Simon. Schrodinger semigroups. - Bull.Amer.Math..Soc., 1982, Vol.7, 3, p.447-526.

5. V.P.Maslov, S.A.Molchanov, A.Y.Gordon. Behaviour of generalized eigenfunctions at infinity and the Schrodinger Conjecture. - Russian Journal of Mathematical Physics, Vol.1, 1, 1993, p.71-104.

6. Ильин В.А., Крицков Л.В. Равномерная на всей прямой оценка обобщенных собственных функций одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом. - Дифференц. уравнения, 1995, Т.31, 8, с.1323-1329.

7. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. - M:Наука, 1991, 367с.

8. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции. - Успехи матем. наук, 7, 3, (49), 1952, с.108-109.

9. Левитан Б.М. О спектральной функции уравнения у" + {А — q(x)}y = 0. - Изв. АН СССР, серия матем., 17, 1953, с.473-484.

10. Левитан Б.M. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям. - Изв. АН СССР, серия матем., 19, 1955, с.33-58.

11. Шенк Д., Шубин М.А. Асимптотическое разложение спектральной функции оператора Хилла. - Функцион. анализ и приложения, 1986, Т.20, В.1, с.89-90.

12. Шубин М.А., Попов Г.С. Полное асимптотическое разложение спектральной функции для эллиптических операторов второго порядка в Rn. - Успехи матем. наук, 1983, Т38, 1, с.187-188.

13. Костюченко А.Г. Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального оператора порядка 2т. - ДАН СССР, 168, 1966, с.266-279.

14. B.Simon Some Schrodinger operators with dense point spectrum // preprint, (to be submitted to Proc.Amer.Math.Soc.).

15. Ильин В.А. Равномерная на всей прямой R равносходимость с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечающего самосопряженному расширению оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом. - Дифференц. уравнения, 1995, Т.31, 12, с.1957-1967.

16. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. - M : Наука, 1970, 671с.

17. Ильин В.А., Антониу И. Равномерная на всей прямой R оценка отклонения от разлагемой функции ее спектрального разло-

жения, отвечающего оператору Шредингера с ограниченным и измеримым потенциаолом. - Дифференц. уравнения.- 1995, Т.31, 10, с.1649-1657.

18. Ильин В.А., Крицков JI.B. Равномерная на всей прямой R оценка скорости сходимости спектрального разложения, отвечающего оператору Шредингера с суммируемым потенциалом. -Дифференц. уравнения. - 1996, Т32, 1, с.32-36.

19. G.Stolz. Bounded solutions and absolute continuity of Sturm-Liouville operators. - J.Math.Anal.Appl. 169, 1992, p.210-228.

20. Э.А.Коддингтон, Н.Левинсон. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М:Ил., 1958, 470с.

21. Э.Ч. Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. - М:Ил, 1961, Т2, 555с.

22. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М:Наука, 1971, 1108с.

23. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М:Наука, 1977, 455с.

24. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М:Наука, 1975, 480с.

Публикации автора по теме диссертации

1. Денисов С.А. Равномерная на всей прямой II оценка скорости сходимости спектрального разложения, отвечающего оператору Шредингера с потенциалом из класса Като. // Дифф. уравнения, 1997, Т. 33, N6, с.754-761.

2. Денисов С.А. Равносходимость с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечающего оператору Шредингера с потенциалом из класса Ь\{Я). // Доклады РАН, Математика, 1997, Т.356, N6, с.731-732.

3. Денисов С.А. Равносходимость с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечающего оператору Шредингера с суммируемым потенциалом. // Дифф. уравнения, 1998, Т.34, N8, с.1-6.

4. Денисов С.А. "Равномерная на всей прямой Я оценка скорости сходимости спектрального разложения, отвечающего оператору Шредингера с потенциалом из класса Като".// Тезисы Международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов 97", Секция Математика, вып.2, с.39. Конференция проводилась в МГУ им. М.В.Ломоносова с 8 по 10 апреля 1997 года.

5. Денисов С.А. "Асимптотическое разложение проекторов, отвечающих положительному оператору Шредингера".// Тезисы Воронежской весенней математической школы, с.63. Конференция проводилась в Воронеже с 3 по 9 мая 1998 года.

6. Денисов С.А. "К теории одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом".// Тезисы

Международной конференции, посвященной девяностолетию со дня рождения Л.С.Понтрягина, Секция "Дифференц. уравнения", с.139. Конференция проходила в Москве с 31 августа по 6 сентября 1998 года.