Одномерные нестационарные задачи электромагнитоупругости проводников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Лемешев, Виктор Александрович

• Лемешев, Виктор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лемешев, Виктор Александрович

Введение

Глава 1. Постановка одномерных нестационарных задач для электромагнитоупругих тел.

1.1. Современное состояние исследований.

1.2. Уравнения движения электромагнитоупругой среды

1.3. Граничные условия для электромагнитоупругих тел

Глава 2. Одномерные нестационарные задачи электро-магнитоупругости в прямоугольных декартовых координатах

2.1. Постановка задач для полупространства и плоского слоя

2.2. Распространение нестационарных возмущений в электромагнитоупругой полуплоскости

2.3. Полуплоскость под действием поверхностных кинематических и электрических возмущений.

2.4. Полуплоскость под действием поверхностных силовых возмущений

2.5. Распространение нестационарных возмущений в плоском электромагнитоупругом слое.

Глава 3. Распространение нестационарных радиальных возмущений от сферической полости в электромагнитоупругой среде.

3.1. Уравнения радиальных колебаний тел со сферическими границами

3.2. Постановка одномерной задачи для пространства ^ю^ сферической полостью

3.3. Решение задачи методом малого параметра.

3.4. Построение функции Грина для пространства со сферической полостью

3.5. Разрешающие интегральные соотношения и примеры расчетов

Глава 4. Нестационарные радиальные колебания толстостенной электромагнитоупругой сферы.

4.1. Постановка одномерной задачи для толстостенной сферы

4.2. Разрешающая последовательность краевых задач в пространстве преобразований Лапласа.

4.3. Построение функций Грина для толстостенной сферы

4.4. Разрешающая рекуррентная последовательность краевых задач в пространстве оригиналов.

4.5. Примеры расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одномерные нестационарные задачи электромагнитоупругости проводников»

Актуальность проблемы. Механика связанных полей и, в частности, электромагнитоупругость, является одним из самых актуальных и востребованных направлений современной механики. Важность этого направления обусловлена большой значимостью подобных задач для прикладных направлений. Приложения задач элек-тромагнитоупругости встречаются в большом количестве инженерных направлений, таких как авиастроение, машиностроение, строительство. При этом, как правило, наибольший интерес представляют динамические задачи, т.к. они позволяют прогнозировать поведение материала непосредственно после изменения состояния внешней среды, в период, когда наиболее вероятно возникновение необратимых изменений.

В то же время, на сегодняшний день так до конца и не выработаны методы аналитического исследования динамических связанных задач электромагнитоупругости.

Формулировки динамических задач электромагнитоупругости были даны достаточно давно, в 60-70-е годы ХХ-века, однако аналитических решений они не содержали. Значительная часть исследований была направлена либо на разработку численных методов исследования задач электромагнитоупругости, либо на сведение этих задач к статическим и квазистатическим задачам. Численные методы, при всей своей несомненной эффективности, обладают рядом недостатков. Например, они имеют склонность к накоплению ошибок, ограниченно пригодны для прогнозирования. Кроме того, для тестирования численных методов все же необходимы некоторые эталонные решения.

Работа посвящена разработке аналитических методов решения одномерных задач электромагнитоупругости. Подобные задачи возникают, в частности, при исследовании поведения достаточно больших однородных пластин (ближе к геометрическому центру пластины задачу можно условно считать одномерной). Вдобавок, исследование одномерных задач позволяет подготовить и проработать методы исследования двух- и трёхмерных задач. Сложность решения подобных задач вызвана наличием динамической составляющей в условиях, а так же произвольным, возможно достаточно сложным, характером этой составляющей. Дополнительно следует учитывать возможные особенности в начальном распределении зарядов по проводнику.

Методы исследования. В постановке задачи использовались уравнения теории упругости, уравнения Максвелла, Ома и Лоренца. Для решения использовались метод малого параметра, функции Грина, интегральное преобразование Лапласа в сочетании с разложением изображений в ряды по экспонентам и точным обращением.

Для проведения расчётов были разработаны специальные динамические библиотеки, а так же комплекс программ для обработки рёзультатов. Окончательный анализ и построение графиков проводилось в среде для символьных вычислений Maple 12.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается использованием апробированных моделей МСС и математических методов решения начально-краевых задач, а так же сравнением с некоторыми имеющимися данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, а так же с эталонными задачами механики твёрдого тела.

Научная новизна. Впервые даны аналитические решения связанных одномерных задач электромагнитоупругости. Приведен способ решения связанных задач электромагнитоупругости через метод малого параметра. Приведены алгоритмы расчёта оригиналов соответствующих решений в пространстве изображений. Показана связь между упругими и электромагнитными свойствами материалов. Разработан методика расчёта перемещений напряженности электростатического поля. Выявлена достаточно быстрая сходимость рядов по малому параметру.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных мероприятиях:

1. Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец

2008 - 2010 гг.)

2. Международная научно-технической конференция «Актуальные проблемы прикладной механики и прочности конструкций», Ялта (2009 - 2010 гг.)

3. Международная конференция «Современные проблемы механики и математики», Львов (2008 г.)

4. VII Международная конференция «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения», Санкт-Петербург (2008 г.)

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 6 работ, из них в журналах, рекомендованных ВАК - 2 статьи.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объем работы 114 страниц, работа содержит 13 рисунков, библиографический список состоит из 75 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы по главам.

В главе 1 в первом параграфе приводится обзор публикаций, по-свящённых задачам электроупругости и электромагнитоупругости. Из него следует, что основное внимание исследователей было посвящено статическим и квазистатическим задачам электроупругости и электромагнитоупругости. При этом в качестве методов исследования чаще всего применялись численные методы, а характер связи полей имел простейший вид. В тех же случаях, когда решались динамические задачи электромагнитоупругости, характер временной зависимости зачастую был непроизвольным, а заранее определённым, либо упрощённым. В то же время обзор свидетельствует, что постановка задач электромагнитоупругости проработана достаточно детально, и может быть сформулирована различными способами.

Во втором параграфе приводится общая постановка задач электромагнитоупругости для однородных изотропных проводников с различной пространственной конфигурацией для произвольной криволинейной системы координат. Приводятся общие ограничения и гипотезы, в рамках которых проводилось исследование. Построена общая замкнутая система уравнений для задач электромагнитоупругости.

Третий параграф первой главы посвящен рассмотрению различных граничных условий, которые встречаются в задачах электромагнитоупругости, а так же приводятся основные формулы для одномерного случая.

Глава 2 посвящена отысканию решений для задач о распространении нестационарных электромагнитных волн в полупространстве и плоском слое.

В первом параграфе конкретизация постановки задачи, данной в главе 1 для случая декартовой системы координат. Получены выражения для всех соотношений, входящих в общую постановку, а так же для граничных условий. Ход рассуждений схож для случаев слоя и полупространства. Для решения используется преобразование Лапласа по времени. В результате система уравнений в пространстве изображений сводится к одному уравнению для изображения перемещений. Однако решения этого уравнения выражаются через функции Бесселя, порядок которых зависит от параметра преобразования Лапласа. Это делает невозможным непосредственный переход в пространство оригиналов. Поэтому для решения применяется метод малого параметра. В результате уравнение сводится к системе уравнений для коэффициентов рядов по малому параметру, в качестве которого выбран коэффициент связи между полем перемещений и электромагнитным полем а. Дальше ход решения различается для слоя и полупространства.

Во втором параграфе детально рассматривается задача для полупространства. Для нулевого приближения (первого члена ряда по малому параметру) она решается непосредственно, а для отыскания коэффициентов при старших степенях применяется интегральное представление с ядром в виде функции Грина. С использованием этого представления получены рекуррентные соотношения, связывающие коэффициенты рядов по малому параметру. Найдены оригиналы коэффициентов, проведены расчёты и представлены результаты, которые указывают на довольно высокую скорость сходимости рядов по малому параметру.

Третий параграф второй главы посвящен задаче для слоя. Различия между задачей для полупространства и для слоя заключаются в том, что во втором случае для того, чтобы найти оригиналы нулевого приближения и функции Грина приходится использовать разложение в ряды по экспонентам. Четвёртый параграф этой главы содержит примеры расчётов для различных значений координаты и времени.

В главе 3 приводится исследование нестационарной задачи о распространении возмущений от сферической полости в электромаг-нитоупругом пространстве. В первом параграфе приводится общая постановка одномерной задачи электромагнитоупругости в сферической системе координат. Приводятся аналоги уравнений из главы 1, производится сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве изображений Лапласа.

Во втором параграфе приводится уточнение системы для случая сферической полости. В третьем параграфе приводится первая часть решения, заключающаяся в использовании метода малого параметра и отыскании нулевого приближения. Четвёртый параграф посвящен построению соответствующей функции Грина, а так же отысканию её оригинала. Наконец, в пятом параграфе приводятся окончательные рекуррентные интегральные соотношения в пространстве оригиналов. В целом, за исключением усложнённых уравнений для нулевого приближения и функции Грина, решение задачи для сферической полости схоже с решением задачи для полупространства.

Глава 4 посвящена наиболее сложной задаче - задаче о нестационарных электромагнитных колебаниях сферического слоя (толстостенной сферы). Наличие двух граничных поверхностей приводит к существенному усложнению отыскания оригиналов как нулевого приближения, так и функции Грина. С этой целью используются приложения теории вычетов, что, в сочетании с формулой Лейбница, позволяет построить разрешающие рекуррентные соотношения. Разработаны программы для отыскания оригиналов коэффициентов, состоящие из специальной библиотеки для вычислений и подпрограммы, позволяющей связывать библиотеку и среду вычислений Maple. Приведены примеры расчётов, указывающие на эффективность метода.

В заключении приводятся основные достигнутые результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лемешев, Виктор Александрович

Основные результаты и выводы по диссертационной работе следующие.

1. Даны постановки одномерных нестационарных связанных задач электромагнитоупругости для однородных изотропных проводников в прямоугольной декартовой и сферической системах координат. Доказано, что условием одномерности является отсутствие магнитного поля.

2. Разработан и реализован численно-аналитический алгоритм решения одномерных нестационарных связанных задач электроупругости для однородных изотропных проводников для полупространства, плоского слоя, пространства со сферической полостью и толстостепной сферы.

3. Показано, что непосредственное построение решения связанных задач затруднительно. Поэтому предложено для этого класса задач использовать метод малого параметра, под которым понимается коэффициент связи электрического и механического полей.

4. Построены начально-краевые задачи для каждого коэффициента рядов по малому параметру. Показано, что нулевой коэффициент этих рядов соответствует чисто упругой задаче. Решение начально-краевых задач для последующих коэффициентов предложено строить в интегральном виде с единым ядром -функцией Грина упругой задачи.

5. Получены явные выражения для одномерных функций Грина при различных типах граничных условий (кинематических, электрических и силовых) для полупространства, плоского слоя, пространства со сферической полостью и толстостенной сферы.

6. Предложен и реализован метод вычисления оригинала по Лапласу для любой рациональной функции, основанный на применении формулы Лейбница и теории вычетов.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лемешев, Виктор Александрович, 2010 год

1. Голотина J1.A., Денисюк Е.А., Клигман Е.П. и др. Свзанные проблемы МТДТ: Учебное пособие. Часть 3. Электровязкоупру-гость. Пермь: ПермГУ, 2007.

2. Ворович Е.И., Пряхина О.Д., Селезнев A.B. и др. Об ассимп-тотике решений связанных задач электроупругости // Известия вузов Северо-Кавказского региона. Естественные науки. 2000. № 2. С. 24-26.

3. Бурак Я.И., Гачкевич А.Р., Подстригач Я.С., Чернявская JI.B. Термоупругость электропроводных тел. Наукова думка, 1977. С. 247.

4. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., Сеник H.A., Фильштинский M.J1. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т.2 Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел. Москва: КомКнига, 2005. С. 374.

5. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1977. Р. 272.

6. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. Том 5. Электроупругость. Киев: Наукова Думка, 1989. С. 280.

7. Баева А.И., Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 32. С. 64-79.

8. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. Учеб.: для Вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. С. 416.

9. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Распространение волн в электромагнитоупругих средах. Москва: URSS, 2003. С. 336.

10. Баева А.И., Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела // Прикладная механика. 2003. Т. 39, № 1. С. 90-98.

11. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Джулинский A.B. Аналитический метод решения задачи излучения нестационарных воли сферическим пьезопреобразователем // Теоретическая и прикладная механика. 2003. Т. 3. С. 195-199, 213.

12. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Плоские нестационарные волны в электромагнитоупругом полупространстве и слое // Современные проблемы механики и математики. В 3-х томах. Львов, 2008. Т. 1. С. 65-67.

13. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в электромагнитоупругом полупространстве и слое // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 426, № 6. С. 747-749.

14. Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Устойчивость движения. Москва: Наука, 1964.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Справочная математическая библиотека. Москва: Физматгиз, 1966.

16. Селезов И.Т., Селезова JI.B. Волны в магнитогидроупругих средах. Киев: Наукова думка, 1975. С. 163.

17. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1976.

18. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва: Наука, 1979.

19. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Плоская магнитоупругая задача Лэмба // Механика. 1983. № 3. С. 68-76.

20. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. Москва: Наука, 1988. С. 470.

21. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Об одной обратной задаче электроупругости // Современные проблемы механики сплошной среды: труды 4-ой Международной конференции. Т. 1. Ростов-на-Дону: 1998. 27-28 октября. С. 84-88.

22. Баблоян A.A., Мелкумян С.А. Смешанная задача электроупругости для пьезокерамического клина с электродами // Доклады HAH Армении. 1999. Т. 99, № 1. С. 45-51.

23. Григорян Э.Х., Саркисян JT.B. Дифракция сдвиговых электроупругих поверхностных волн на крае электропроводящего упругого слоя // Известия национальной АН Армении. Механика. 1999. Т. 52, № 1. С. 30-39.

24. Саргисян A.M., Хачикян A.C. Об особенностях напряжений в двух задачах электроупругости для кусочно-однородного тела // Известия национальной АН Армении. Механика. 1999. Т. 52, № 1. С. 40-45.

25. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Коэффициентные обратные задачи электроупругости // Современные проблемы механики сплошной среды: труды 5-ой Международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: 2000. 12-14 октября. С. 48-52.

26. Бардзокас Д.И., Сеник H.A. Контактные задачи электроупругости // Механика контактных взаимодействий. Москва: Физмат-лит, 2001. С. 583-606.

27. Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного полупространства // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 33. С. 83-90.

28. Подильчук Ю.Н., Прощенко Т.М. Общая задача электроупругости для трансверсально-изотропного однополостного гиперболоида вращения // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 32. С. 16-27.

29. Паньков A.A., Соколкин Ю.В. Электроупругость пористых пье-зокомпозитов // Математическое моделирование систем и процессов. 2002. № 10. С. 95-102, 147.

30. Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Исследование электроупругого состояния анизотропного полупространства с отверстиями и трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 73-83.

31. Баева А.И., Калоеров С.А. Исследование электроупругого состояния анизотропного полупространства с отверстиями и трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 73-83.

32. Баева А.И., Калоеров С.А. Электроупругое состояние цилиндра с полостями и трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 38. С. 36-43, 196-197.

33. Бай A.B., Сторожев В.А. Нормальные электроупругие волны в слое произвольного среза пьезокристалла кварца // Консонанс-2003: Акустический симпозиум. Киев: 2003. — 1-3 октября. С. 252-257.

34. Филыптинский JI.A., Ковалев Ю.Д. Смешанная симметричная задача электроупругости для слоя, ослабленного сквозными туннельными полостями // Механика композитных материалов. 2004. Т. 40, № 4. С. 549-554.

35. Мелкумян С.А., Тоноян B.C. Об одном классе контактных задач электроупругости для пьезокерамической полуплоскости с вертикальными разрезами // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 62-74.

36. Ковалев Ю.Д., Стативка E.H. Смешанная кососимметричная задача электроупругости для неоднородного цилиндра // Теоретическая и прикладная механика. 2005. № 41. С. 83-90, 208.

37. Кирилюк B.C., Левчук О.И. Электроупругое напряженное состояние пьезокерамического цилиндра с радиальной поляризацией // Прикладная механика. 2006. Т. 42, № 9. С. 59-69.

38. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. Москва: Физматлит, 2006. С. 273.

39. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарные одномерные задачи для электромагнитоупругой среды // Вторая Всерос. научн. конф. по волновой динамике машин и конструкций. Тезисы докладов. Нижний Новгород: 2007. С. 18.

40. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. Москва: Физматлит, 2008. С. 352.

41. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Линейные уравнения движения термоэлектромагнитоупругой среды // Методи розв' язування прикладних задач мехашки деформ!вного твердого тша: Зб1рник наукових праць Дншропетр. нацюн. ун-та. 2009. № 10. С. 57-62.

42. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Москва: Наука, 1965.

43. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В двух томах. Москва: Наука, 1970. С. 492.

44. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. Москва: Издательство МГУ, 1971. С. 248.

45. Короткина М.Р. Электромагнитоупругость. Москва: Издательство МГУ, 1988. С. 302.

46. Фильштинский JT.A. Некоторые сингулярные решения в электроупругости // Прикладные проблемы механики тонкостенных конструкций: сборник научных статей института механики МГУ. Москва: Издательство МГУ, 2000. С. 316-328.

47. Стащук М.Г. Оценка упругой деформации металлического цилиндра от электродного потенциала // Физико-химическая механика материалов. 2000. Т. 36, № 1. С. 47-50.

48. Саркисян Л.В. Дифракция сдвиговых поверхностных волн на крае электропроводящего конечного упругого слоя // Известия национальной АН Армении. Механика. 2000. Т. 53, № 3. С. 52-58.

49. Гололобов В.И. Конечноэлементный подход к задачам о гармонических колебаниях электромеханических систем // Доклады национальной АН Украины. 2001. № 2. С. 55-60.

50. Филыптинский Л.А. Фундаментальные решения уравнений электроупругости для пьезокерамического слоя в -й3 // Механика композитных материалов. 2001. Т. 37, № 3. С. 377-388.

51. Даноян З.Н. Электроупругие поверхностные волны Лява в пьезо-электриках // Проблемы механики тонких деформируемых тел. Сборник. Посвящается 80-летию академика НАН Армении С.А. Амбарцумяна. Ереван: Гитютун, 2002. С. 177-187.

52. Вовк Л.Н. Динамические задачи теории упругости для тел сложной структуры. Издательство Ростовского государственного строительного университета, 2003. С. 168.

53. Подильчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39, № 2. С. 14-54.

54. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пьезокерамической пластины // Труды 21-ой Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов: Издательство СГТУ, 2005. 14-16 ноября. С. 242-248.

55. Кирилюк B.C. О взаимосвязи решений контактных задач теории упругости и электроупругости для полупространства // Прикладная механика. 2006. Т. 42, № 11. С. 69-84.

56. Григорьева Л.О. Численное решение начально-краевой задачи электроупругости для полого пьезокерамического цилиндра с радиальной поляризацией // Прикладная механика. 2006. Т. 42, № 12. С. 67-75.

57. Власенко В.Д. Численное решение вариационных задач электроупругости // 32-я Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Екатеринбург: Дальнаука, 2007. — 26 августа 4 сентября. С. 56.

58. Григорьева Л.О. Колебания пьезокерамического цилиндра при нестационарном электрическом возбуждении // Прикладная механика. 2007. Т. 43, № 3. С. 73-79.

59. Гречихин Л.И. Физика. Электричество и магнетизм. Современная электродинамика. Минск: ИООО «Право и экономика», 2008.

60. Andre Nicolet, В. Movchan Alexander, Sebastien Guenneau,

61. Frederic Zolla. Asymptotic modelling of weakly twisted electrostatic problems. / / Comptes rendus de l'Academie des Sciences. Mecanique. 2006. T. 334, № 2. C. 91-97.

62. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, Ed. by M. Abramowitz, I.A. Ste-gun. New-York: Dover, 1972.

63. Helsing J. Corner singularities for elliptic problems: special basis functions versus "brute force" // Communications in numerical methods in engineering. 2000. T. 16, № 1. C. 37-46.

64. Rajapakse R.K.N.D., Chen Y., Senjuntichai T. Electroelastic field of a piezoelectric annular finite cylinder // Internations Journal Solids and Structures. 2005. T. 42, № 11-12. C. 3487-3508.

65. Rakshit M., Mukhopadhyay B. An electromagnetothermoviscoelastic problem in an infinite medium with a cylindrical hole // International Journal of Engineering Sciences. 2005. T. 43, N2 11-12. C. 925-936.

66. Tianhu He, Xiaogeng Tian, Yapeng Shen. A generalized electromagnetothermoelastic problem for an infinitely ling solid cylinder // European Journal of Mechanics A/Solids. 2005. T. 24, № 2. C. 349-359.1.K

67. Yang J.S. Equations for the ' ;ion and flexure of electroelastic