Одночастичные эффекты, ограничивающие параметры современных источников синхротронного излучения и электрон-позитронных коллайдеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Богомягков Антон Викторович

• Богомягков Антон Викторович
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Богомягков Антон Викторович

Введение

Глава 1 Обзор исследуемых источников нелинейного

возмущения

1.1 Краткое введение в линейную теорию циклических ускорителей

1.2 Секступольное возмущение

1.3 Октупольное возмущение

1.4 Секступольное и октупольное возмущения

1.5 Комбинации секступолей

1.6 Края квадрупольных линз и нарушение параксиальности

1.7 Нелинейный хроматизм

1.8 Выводы

Глава 2 Источник СИ четвёртого поколения ЦКП "СКИФ"

2.1 Масштабные свойства источников СИ с малым эмиттансом

2.2 Получение малого эмиттанса в накопителе электронов

Глава 3 Коллайдер Супер с — т фабрика

3.1 Светимость для встречи под углом

3.2 Сдвиг частоты от встречного пучка для встречи под углом

3.3 Встреча в схеме крабовой перетяжки

3.4 Ограничение динамической апертуры краб секступолями

3.5 Супер е-т фабрика

Глава 4 Эффекты излучения, ограничивающие параметры

электрон-позитронных коллайдеров на сверхвысокую энергию

4.1 Организация встречи пучков в РСС-ее

4.2 Синхротронное излучение в поле встречного сгустка

4.3 Ограничение динамической апертуры синхротронным

излучением в квадрупольных линзах

Глава 5 Энергия и энергетическое разрешение в системе центра

масс

5.1 Средневзвешенная по светимости энергия

5.2 Поправки энергии на РСС-ее в экспериментах на энергии 45 ГэВ

и 80 ГэВ

5.3 Ошибки определения энергии в системе центра масс в эксперименте на Т- мезоне на ВЭПП-4М

Заключение

Список литературы

Приложение А Гамильтониан частицы в циклическом

ускорителе

Приложение Б Решение уравнений движения методом рядов

Б.1 Квадруполь

Б.2 Секступоль

Б.3 Октуполь

Б.4 Край квадруполя

Приложение В Теория возмущений с преобразованиями Ли

Приложение Г Краевые поля квадруполя

Г.1 Поле, векторный потенциал и гамильтониан

Приложение Д Параметрический резонанс

Д.1 Параметрический резонанс без затухания и с независящей от

амплитуды модуляцией

Д.2 Параметрический резонанс с затуханием и с независящей от

амплитуды модуляцией

Д.3 Параметрический резонанс с затуханием и с зависящей от

амплитуды модуляцией

Приложение Е Гамильтониан движения в поле встречного

пучка

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одночастичные эффекты, ограничивающие параметры современных источников синхротронного излучения и электрон-позитронных коллайдеров»

Актуальность темы исследования

Накопители заряженных частиц предназначены для проведения исследований с пучками высокой энергии. К этому классу относятся электрон-пози-тронные коллайдеры, источники синхротронного излучения (СИ), охладители для подготовки пучков с нужными параметрами для дальнейшего использования и т.п. В XXI веке эксперименты с использованием источников синхротронного излучения (СИ) и электрон-позитронных коллайдеров потребовали вывода этих установок в новые области параметров — высоких яркости, светимости, энергетического разрешения и т.д. При разработке методов дальнейшего повышения характеристик накопителей частиц оказались существенными физические явления, которыми раньше можно было пренебречь. Изучению таких эффектов и поиску способов преодоления вызванных ими ограничений посвящена данная работа.

Диссертация объединяет результаты исследований, проведённых автором в ИЯФ СО РАН за период 2008-2023 гг., в процессе работы над достижением рекордной точности измерения энергии в накопителях электронов и позитронов, проектами современных е+е— коллайдеров с беспрецедентной светимостью и/или энергией, источников синхротронного излучения со сверхмалым (близким к дифракционному пределу) эмиттансом. Несмотря на кажущуюся разноплановость таких исследований, их объединяет предмет — ограничения эффективности экспериментальных возможностей установки на предельно достижимом уровне (светимости для коллайдеров, яркости для источников СИ, точности калибровки энергии пучка для исследований узких состояний и т.д.). Кроме того, все эти исследования требуют углублённого анализа динамики пучков, использования нестандартных методик, применения аналитических и численных вычислений повышенной точности. При этом, работа на пределе достигнутых характеристик (или с их превышением) приводит либо к необ-

ходимости изучения ранее не рассматривавшихся явлений, либо к обнаружению новых эффектов (например, ограничение динамической апертуры из-за синхротронного излучения в коллайдерах сверхвысокой энергии), либо к исследованию уже известных фактов, но с существенным увеличением уровня точности рассмотрения.

Степень разработанности темы исследования

Источник СИ 4-го поколения должен обладать горизонтальным эмиттан-сом £х < 500 пм; обсуждаются установки с эмиттансом ех,у = 10 пм (что является дифракционным пределом для излучаемых фотонов с энергией 10 кэВ). В настоящее время большинство источников СИ принадлежит к 3-му поколению (ех ~ 1 — 10 нм), для многих из них планируют модернизацию с целью уменьшения эмиттанса и перехода в 4-ое поколение. Работающих установок 4-го поколения на данный момент всего три, и в таблице 1 приведены существующие, строящиеся и проектируемые источники СИ 4-го поколения. Основной проблемой этих установок является деградация динамической и энергетической апертур по мере уменьшения эмиттанса. Динамическая апертура становится такой маленькой, что не позволяет использование традиционных надёжных и эффективных схем инжекции. Кроме того, малая энергетическая апертура ограничивает время жизни пучка, из-за возросшего влияния эффекта Туше-ка [16; 17] (однократное внутри сгустковое рассеяние) при малых размерах и большом токе пучка. В Новосибирске создаётся источник СИ четвёртого поколения ЦКП "СКИФ", уникальностью которого является малый эмиттанс ех « 75 пм совместно с достаточно большой динамической апертурой, позволяющей применять стандартную схему инжекции, хорошим временем жизни пучка и относительно небольшим периметром.

Таблица 1 - Сравнение существующих (*), строящихся и проектируемых источников СИ 4-го поколения

Установка Страна Е, ГэВ П, м £х, ПМ

ALS-U [1] США 2 196 70

SLS 2.0 [2] Швейцария 2.4 288 131

ELETRA 2 [3] Италия 2.4 259 212

SOLEIL II [4] Франция 2.75 354 84

СКИФ [5] Россия 3 476 72

SIRIUS* [6] Бразилия 3 518 250

MAX IV* [7] Швеция 3 528 330

DIAMOND II [8] Англия 3 560 162

ESRF-EBS* [9] Франция 6 844 133

APS-U [10] США 6 1104 42

HEPS [11; 12] Китай 6 1360 60

Spring-8 II [13] Япония 6 1436 140

PETRA IV [14] Германия 6 2304 20

СИЛА [15] Россия 6 1100 72

На рисунке 1 показана достигнутая пиковая светимость в е е+ коллайде-рах в зависимости от энергии и года реализации. Возможность дальнейшего

АССГ

W2

YElf-1

Энерпш в е.ц.м. СГэВ)

Рисунок 1 - Светимость е-е+ коллайдеров в зависимости от энергии в системе центра масс сталкивающихся пучков (слева) и в зависимости от года работы

увеличения светимости в будущих проектах (таблица 2) связывается с использованием новой схемы встречи пучков, названной "крабовой перетяжкой"(по английски Crab Waist) [18].

Таблица 2 - Сравнение существующих (*) и проектируемых коллайдеров с крабовой перетяжкой

Установка Страна ^с.ц.м., ГэВ С, см 2см 1

ВЛФКЕ* [19] Италия 1.02 4.5 х 1032

SuperKEKB* [20] Япония 10.58 4.71 х 1034

SuperB [21] Италия 10 1 х 1036

FCCee [22] Швецария 90 - 365 230 - 1.6 х 1034

CEPC [23] Китай 90 - 360 230 - 1 х 1034

Супер c-т фабрика [24] Китай 2 - 7 0.5 - 0.8 х 1035

Супер c-т фабрика [25] Россия 3 - 7 0.29 - 1 х 1035

Реализация преимуществ новой схемы пересечения встречается со значитель-

ными трудностями связанными с ограничением динамической апертуры, времени жизни пучка, организацией сложного участка финального фокуса внутри детектора и т.д. Некоторые (но не все) аспекты новой схемы встречи были успешно испытаны в коллайдере БАФКЕ [26; 27], что позволило увеличить светимость в три раза. Дальнейшее увеличение светимости ограничивались невозможностью модификации работающей установки с целью реализации полной схемы.

Опыт работы крабовой перетяжки в коллайдере Бирег-КЕКВ (работающим в настоящее время) показал увеличение светимости более чем в два раза до С = 4.71 х 1034 см-2см—1 [20], но непредвиденные (и не всегда понятные) трудности не позволяют в настоящее время достигнуть проектной светимости С = 8 х 1035 см-2см—1 [28]. Уменьшение динамической апертуры при включении крабового секступоля наблюдается во всех проектах, что приводит к существенному уменьшению времени жизни пучка из-за внутрисгусткового рассеяния (эффект Тушека) [16; 17] в коллайдерах с энергией пучка меньшей 3 ГэВ. Например, в Новосибирском проекте Супер е-т фабрики 2011 года время жизни пучка составляет меньше 30 с на энергии пучка Е = 1.5 ГэВ при светимости С = 1 х 1035 см-2см—1 [25; 29].

В коллайдерах на сверхвысокую энергию с экстремально малой вертикальной бета-функцией в точке встречи (соответственно, очень большие бета-функции в финальных квадрупольных линзах) появилось ограничение динамической апертуры за счёт синхротронного излучения в финальных линзах [30]. Ограничение горизонтальной апертуры было замечено ранее на коллайдере ЬЕР [31], но ограничение вертикальной устойчивой амплитуды движения даже в отсутствие нелинейных элементов было обнаружено впервые с помощью численного моделирования и объясняется ниже.

Измерение массы Т-мезона с наилучшей точностью было произведено на ВЭПП-4 с детектором МБ-1 и составило тт = 9460.40 ± 0.10 МэВ [32—34]. В настоящее время на коллайдере ВЭПП-4М с детектором КЕДР [35] заплани-

ровано новое измерение массы Т-мезона с точностью лучшей 0.05 МэВ.

Параметры 2 бозона т2 = 91187.5 ± 2.1 МэВ, Г^ = 2495.2 ± 2.2 МэВ с рекордной точностью были определены на ЬЕР [36], а параметры Ж бозона были измерены на Тэватроне mw = 80.379 ± 0.012 ГэВ [37; 38]. На коллайдере РСС-ее запланировано улучшить точность измерения масс 2 бозона (энергия пучка Е0 = 45.6 ГэВ) до 100 кэВ (АЕ/Е0 < 2• 10—6) и W бозона (энергия пучка Е0 = 80 ГэВ) до 500 кэВ (АЕ/Е0 < 6 • 10—6) [22], с использованием метода резонансной деполяризации (РД) [39; 40] для калибровки энергии пучка. Целями диссертационной работы являются:

1. обоснование и создание магнито-оптической структуры источника СИ 4-го поколения ЦКП "СКИФ" с рекордно малым (для такого класса установок) горизонтальным эмиттансом,

2. выбор параметров и построение оптической структуры Супер с-т фабрики для достижения беспрецедентной светимости С = 1 х 1035 см-2см—1 и времени жизни пучка по эффекту Тушека больше 300 е,

3. исследование новых эффектов в динамике пучка будущего циклического коллайдера на сверхвысокую энергию РСС-ее, ограничивающих его работу,

4. достижение рекордной точности измерения энергии в системе центра масс в экспериментах на накопителях электронов и позитронов.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. рассмотрены источники нелинейного возмущения, ограничивающие динамическую апертуру в циклических ускорителях, такие как секступоль, октуполь, комбинации секступолей и октуполей, края квадрупольных линз и нарушение параксиальности,

2. построена теория нелинейного хроматизма оптических функций до 3-го порядка,

3. рассмотрены масштабные свойства источников СИ, определившие фундаментальные подходы к созданию магнитной структуры источника СИ ЦКП "СКИФ",

4. исследована ячейка с минимальным эмиттансом ТМЕ, на ее основе создана магнитная структура накопителя "СКИФ",

5. исследовано ограничение динамической апертуры крабовыми секступо-лями в проекте Супер с-т фабрики,

6. найдена оптическая структура Супер с-т фабрики, позволяющая достигнуть светимости С =1 х 1035 см-2см-1 и времени жизни пучка по эффекту Тушека больше 300 е,

7. изучено многократное влияние пучкового излучения на параметры пучка, найдены их равновесные значения, и предложены новые параметры РСС-ее,

8. предложена альтернативная структура промежутка встречи с полноценными секциями коррекции хроматизма для РСС-ее,

9. обнаружено и исследовано новое ограничение динамической апертуры синхротронным излучением в финальных линзах РСС-ее,

10. найдены выражения для средневзвешенной по светимости энергии с учётом хроматизмов оптических функций,

11. рассчитаны поправки и ошибки определения энергии в системе центра масс для экспериментов на ВЭПП-4М по измерению массы Т-мезона и на РСС-ее по измерению масс и ширин Z и W± бозонов.

Научная новизна

1. Впервые сделаны аналитические расчёты динамической апертуры для секступольного возмущения не использующие приближения изолированного резонанса для секступольного возмущения (параграф 1.2), совпадающие с результатами численного моделирования и объясняющие пороговое уменьшение горизонтальной апертуры при переходе от одномерного движения к двумерному (при бесконечно малой вертикальной амплитуде).

2. Впервые обнаружена интерференция секступольного и октупольного потенциалов в высоких порядках теории возмущений (параграф 1.4), ''Замешивание" секступольных и октупольных членов может накладывать ограничения на коррекцию динамической апертуры октупольными линзами.

3. Впервые найдены варианты комбинаций секступолей без квадратичных аберраций (параграф 1.5), помимо хорошо известной —I пары секступо-лей.

4. Впервые для —I пары секступолей (параграф 1.5)

a) оценено искажение фазовых траекторий, не ограничивающее динамическую апертуру непосредственно, но приводящее к потерям частиц на границе физической апертуры из-за большого биения амплитуды,

b) рассчитано влияние толщины секступолей на динамическую апертуру и предложен способ коррекции такого влияния,

c) аналитически оценены зависимость частоты от амплитуды и ограничение апертуры,

^ найдена зависимость динамической апертуры от величины неточности минус-единичного преобразования.

5. Впервые получены выражения для хроматизма оптических функций до третьего порядка (параграф 1.7), позволившие выбрать схему организации секступолей в Супер с - г фабрике для увеличения энергетической апертуры.

6. Впервые найдены и исследованы четыре решения симметричной ячейки магнитной структуры источника СИ типа ТМЕ, прослежена связь с параметрами накопителя.

7. На основе полученных результатов создаётся первый в России источник СИ 4-го поколения ЦКП "СКИФ" со сверхмалым (близким к дифракционному пределу) горизонтальным эмиттансом ех = 72 пм при энергии пучка 3 ГэВ.

8. Впервые получена структура и параметры Супер с-т фабрики со светимостью С = 1035 см-2с-1 на энергиях пучка 2.5 - 3.5 ГэВ, на энергии 2 ГэВ светимость составила С = 4 х 1034 см-2с-1, на энергии 1.5 ГэВ С = 2.9 х 1034 см-2с-1 с током пучка в 3 А и временем жизни пучка за счёт эффекта Тушека > 300 с.

9. Впервые подробно исследован многократный эффект пучкового излучения (Ьеатй^аЫи^), приводящий к установлению новых равновесных энергетического разброса и продольного размера, оптимизированы параметры коллайдера РСС-ее, увеличившие светимость 1.5-10 раз в разных экспериментальных режимах работы [41].

10. Впервые для коллайдера на сверхвысокую энергию РСС-ее предложена схема коррекции нелинейного хроматизма дополнительными секступоля-

ми в местах с малой бета функцией, но с большой хроматической производной бета функции второго порядка.

11. Впервые обнаружено и объяснено ограничение вертикальной апертуры излучением частиц в полях финальных квадруполей для коллайдеров на сверхвысокие энергии РСС-ее и СЕРС.

12. Впервые проведён анализ неточностей определения энергии в системе центра масс для экспериментов по изучению Т мезона на ВЭПП-4М (энергия пучка Е = 4.75 ГэВ) и для экспериментов на РСС-ее (с энергиями пучка Е = 45 ГэВ и Е = 80 ГэВ).

Теоретическая и практическая значимость

Проведённые в работе аналитические и численные расчёты различных источников нелинейного возмущения и нелинейного хроматизма позволили

1. получить аналитические выражения для динамической апертуры сексту-польного возмущения не пользуясь приближением изолированного резонанса и показать принципиальное отличие ограничения области устойчивого движения для двумерной и одномерной нелинейной системы,

2. найти простейшие наборы секступолей без квадратичных аберраций, помимо —I пары секступолей,

3. для —I пары секступолей

a) показать искажение фазовых траекторий, не ограничивающее ДА, но приводящее к потерям частиц на границе физической апертуры,

b) рассчитать влияние толщины секступолей на ДА и предложить способ коррекции такого влияния,

c) найти зависимость частоты от амплитуды,

^ найти динамическую апертуру и её зависимость от величины фазовой ошибки,

4. получить аналитические выражения хроматизма оптических функций до 3-его порядка,

5. создать оптическую структуру источника 4-го поколения СИ "СКИФ" со сверхмалым (близким к дифракционному пределу) горизонтальным эмиттансом,

6. создать оптическую структуру и параметры Супер с-т фабрики с беспрецедентной светимостью,

7. получить алгоритм нахождения равновесных параметров пучка с учётом пучкового излучения в установках на сверхвысокие энергии,

8. предложить новые параметры для коллайдера РСС-ее с большей светимостью,

9. объяснить ограничение динамической апертуры синхротронным излучением в финальных линзах установок на сверхвысокие энергии,

10. сосчитать ошибки и неточности измерения энергии в системе центра масс на установках ВЭПП-4М и РСС-ее.

Методология и методы исследования

В работе используются аналитические и численные методы расчётов динамики пучка в циклических ускорителях. Результаты аналитических расчётов сравниваются с данными компьютерного моделирования. В свою очередь, результаты работы современных и использующихся ниже моделирующих программ неоднократно проверялись экспериментально демонстрируя хорошее согласие.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Результаты аналитического расчёта динамической апертуры без использования приближения уединённого резонанса для секступольного возмущения совпадают в первом порядке теории возмущений с результатами численного моделирования для РОЭО ячейки и для Супер с—г фабрики, объясняют пороговое уменьшение горизонтальной апертуры при переходе от одномерного движения к двумерному (даже для бесконечно малого вертикального возмущения) для Супер с — г фабрики.

2. Аналитические расчёты ДА и нелинейных параметров для —I пары сек-ступолей с учётом их толщины позволяют оценить влияние "компенсированной" пары секступолей на ДА.

3. Полученные аналитические выражения для хроматизма оптических функций до третьего порядка, позволяют выбрать распределение секступолей, увеличивающее энергетическую апертуру в проекте в Супер с — г фабрики.

4. Рассчитанная оптическая структура источника 4-го поколения СИ ЦКП "СКИФ" со сверхмалым (близким к дифракционному пределу) горизонтальным эмиттансом ех = 72 пм имеет достаточно большие динамическую и энергетическую апертуры для применения стандартной схемы инжекции электронов.

5. Предложенная оптическая структура и параметры Супер с-т фабрики позволяют получить светимость до С = 1035 см—2с—1 на энергиях пучка 2.5 — 3.5 ГэВ, на энергии 2 ГэВ С = 4 х 1034 см—2с—1, на энергии 1.5 ГэВ С = 2.9 х 1034 см—2с—1.

6. Квантовые флуктуации излучения в поле встречного пучка (Ьеатй^аЬ-1ип§), увеличивают равновесный энергетический разброс и длину сгуст-

ка.

7. Предложенные параметры коллайдера FCC-ee, позволяют увеличить светимость 1.5-10 раз в разных экспериментальных режимах работы.

8. Для коллайдеров на сверхвысокие энергии (например, FCC-ee и CEPC) вертикальная динамическая апертура ограничена излучением частиц в полях квадруполей финального фокуса.

9. Систематическая ошибка определения энергии в системе центра масс для экспериментов по изучению Т мезона на ВЭПП-4М (на энергия пучка Е = 4.75 ГэВ) и для экспериментов на FCC-ee (энергии пучка Е = 45 ГэВ и Е = 80 ГэВ) может быть уменьшена до 50 кэВ (на энергии пучка Е0 = 4.75 ГэВ), до 100 кэВ (на энергии пучка Е0 = 45.6 ГэВ) и до 500 кэВ (энергия пучка Е0 = 80 ГэВ).

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность работы подтверждается согласованностью теоретических и численных результатов. Опубликованные результаты исследований, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 10 ведущих международных научных конференциях:

1. The 2022 International Workshop on the High Energy Circular Electron Positron Collider, 2022;

2. XXVII Russian Particle Accelerator Conference, 2021;

3. IAS Program on High Energy Physics (HEP 2021), 2021;

4. 29th European Synchrotron Light Source (ESLS) Workshop, 2021;

5. 28th European Synchrotron Light Source (ESLS) Workshop, 2020;

6. 10th International Particle Accelerator Conference (IPAC19), 2019;

7. FCC week 2018;

8. 38th International Conference on High Energy Physics, 2016;

9. 6th International Particle Accelerator Conference (IPAC15), 2015;

10. 5th International Particle Accelerator Conference , 2014;

и опубликованы в виде 4 статей в сборниках трудов конференций и 7 тезисов докладов.

Публикации.

Основные результаты диссертационного исследования получены в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук в 2008-2023 годах. Материалы диссертации опубликованы в 23 печатных работах, из них 12 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 4 статей в сборниках трудов конференций и 7 тезисов докладов. В рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России:

1. Bogomyagkov A., Levichev E., Sinyatkin S. Touschek lifetime and luminosity optimization for Russian Super Charm Tau factory // JINST. 2024. Т. 19, № 02. P02018. DOI: 10.1088/1748-0221/19/02/P02018

2. Lattice optimization of a fourth-generation synchrotron radiation light source in Novosibirsk / G. Baranov [и др.] // Physical Review Accelerators and Beams. 2021. Т. 24, № 12. С. 120704. DOI: 10.1103/PhysRevAccelBeams.2 4.120704

3. Dynamic aperture limitation in e+e- colliders due to synchrotron radiation in quadrupoles / A. Bogomyagkov [и др.] // Physical Review Accelerators and Beams. 2019. Т. 22, № 2. С. 021001. DOI: 10.1103/PhysRevAccelBeam s.22.021001. arXiv: 1811.04554 [physics.acc-ph]

4. Dynamic Aperture of the NICA Collider Optimized with a Genetic Algorithm / A. V. Bogomyagkov [h gp.] // Phys. Part. Nucl. Lett. 2019. T. 16, № 1. C. 2129. DOI: 10.1134/S1547477119010060

5. Beam optics and dynamics in electron storage rings with ultralow emittance / G. N. Baranov [h gp.] // Phys. Part. Nucl. Lett. 2016. T. 13, № 7. C. 884889. DOI: 10.1134/S1547477116070086

6. Bogomyagkov A., Levichev E., Piminov P. Final focus designs for crab waist colliders // Physical Review Accelerators and Beams. 2016. T. 19, № 12. C. 121005. DOI: 10.1103/PhysRevAccelBeams.19.121005

7. Projects for ultra-high-energy circular colliders at CERN / A. Bogomyagkov [h gp.] // Physics of Particles and Nuclei Letters. 2016. T. 13, № 7. C. 870875. DOI: 10.1134/S154747711607013X

8. Bogomyagkov A. V., Karyukina K. Y., Levichev E. B. Reduction of the beam emittance in the charged-particle storage rings with the help of periodic magnetic wigglers // Tech. Phys. 2016. T. 61, № 1. C. 119-124. DOI: 10.11 34/S1063784216010060

9. Final analysis of KEDR data on J/^ and ^(2S) masses / V. Anashin [h gp.] // Phys. Lett. B. 2015. T. 749. C. 50-56. DOI: 10 . 1016/j . physletb .2015.07.057

10. Use of the methods of accelerator physics in precision measurements of particle masses at the VEPP-4 complex with the KEDR detector / O. V. Anchugov, V. E. Blinov, A. V. Bogomyagkov [h gp.] // Instruments and Experimental Techniques. 2010. T. 53, № 1. C. 15-28. DOI: https://doi.org/10.1134 /S0020441210010021

11. Experiments on the physics of charged particle beams at the VEPP-4M electron-positron collider / O. V. Anchugov, V. E. Blinov, A. V. Bogomyagkov

[и др.] // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2009. Т. 109, № 4. С. 590—601. DOI: https://doi.org/10.1134/S1063776109100057

12. Review of beam energy measurements at VEPP-4M collider:

KEDR/VEPP-4M / V. E. Blinov [и др.] // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2009. Т. 598. С. 23—30. DOI: 10.1016/j .nima.200 8.08.078

Личный вклад автора в получении результатов, выносимых на защиту, является определяющим. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Список публикаций, рекомендованных ВАК, приведённый в конце автореферата, содержит 12 работ. Авторский вклад соискателя заключается: в статье 1 — в расчёте и анализе источников нелинейного возмущения, в выборе параметров, проектировании и оптимизации оптической структуры Супер с-т фабрики с новым расположением крабовых секступолей, в расчётах динамической и энергетической апертур, времени жизни пучка по эффекту Тушека; в статье 2 — в аналитическом и численном расчёте базовой ячейки TME, аналитическом и численном сравнении ячеек mTME и TME, базовой ячейки и использованной в структуре источника СИ ЦКП "СКИФ", в расчёте локальной энергетической апертуры и яркости источника СИ ЦКП "СКИФ", в аналитическом расчёте источника СИ с энергией пучка 6 ГэВ;

в статье 3 — в проведении численного моделирования и аналитическом анализе нелинейного движения частиц, в аналитическом решении шестимерных уравнений движения, построении теории ограничения динамической апертуры синхротронным излучением в финальных линзах, в сравнении результатов аналитических и численных расчётов;

в статье 4 — в аналитической анализе и расчёте нелинейного влияния краевых полей квадрупольных линз;

в статье 5 — в аналитическом расчёте и компьютерном моделировании при сравнении ячеек ТМЕ и БМ-ТМЕ, построении численной модели источника СИ на этих ячейках;

в статье 6 — в аналитическом анализе нелинейных свойств промежутка встречи коллайдеров ЭЛФКЕ, БирегКЕКБ, БирегБ, Супер с-т, ЕСС-ее, в построении нескольких численных моделей промежутка финального фокуса для коллайде-ра с крабовой перетяжкой, в аналитическом расчёте преобразования координат до третьего порядка и в численном сравнении расчётов для существующих и будущих коллайдеров с крабовой перетяжкой;

в статье 7 — в разработке оптической структуры промежутка встречи коллай-дера ЕСС-ее с организацией столкновения пучков по схеме крабовой перетяжки;

в статье 8 — в аналитическом расчёте влияния виглеров на равновесные параметры пучков, в аналитическом расчёте свойств ячейки ЕОЭО; в статьях 9, 10, 11, 12 — в аналитическом и численном анализе ошибок и неточностей определения энергии в системе центра масс в экспериментах по измерению масс <1 /ф- ф(2в) мезонов и массы г лептона на коллайдере ВЭПП-4М. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации 267 страниц, включая 95 рисунков и 31 таблицу. Библиография включает 187 наименований на 23 страницах.

Глава 1

Обзор исследуемых источников нелинейного

возмущения

Одна из самых сложных задач, которую приходится решать при разработке и создании накопителей заряженных частиц следующих поколений связана с увеличением роли нелинейных сил в движении частиц и, соответственно, с преодолением негативных последствий такой "нелинеаризации" движения.

Нелинейные эффекты в циклических ускорителях изучались, начиная с раннего периода их развития, как теоретически [62—66], так и экспериментально [67—79]. В оценках вначале преобладали различные методы теории возмущений, и обычно, ввиду большого объёма вычислений, ограничивались первым порядком малости. По мере развития компьютеров и численных методов существенную роль стало играть математическое моделирование. После появления программ символьной математики появилась возможность аналитических вычислений с использованием алгоритмов теории возмущений в более высоких порядках, однако получающиеся многостраничные формулы, хотя и можно использовать, весьма затруднительно интерпретировать. Применение таких методов мало чем отличается от "обычного" численного решения уравнений движения — о функциональной зависимости различных параметров приходится догадываться исходя из результатов.

Между тем, по мере роста нелинейных сил роль высоких порядков вычисления становится все более важной в понимании как общих свойств и особенностей динамики частиц, так и при практических оценках. Поэтому ниже при таких символьных вычислениях я использую простые модели ускорителя, которые позволяют свернуть конечные выражения и проследить фундаментальные зависимости входящих величин. Как правило, это ячейка РОЭО, для которой поведение структурных функций и других параметров (натурального

хроматизма, эмиттанса, бетатронных частот и т.д.) хорошо известно и изучено. Другим вариантом является «точечная» (описываемая дельта-функцией) нелинейность и последующее линейное матричное преобразование. Конечно, реальные магнитные структуры накопителей и ускорителей существенно отличаются от таких моделей, однако основные закономерности нелинейного движения при таком упрощении отражаются качественно верно.

В последние 2-3 десятилетия роль нелинейных явлений применительно к некоторым классам ускорителей и накопителей заряженных частиц неуклонно растет, и зачастую именно нелинейности определяют эффективность и производительность таких установок. Кратко рассмотрю классы таких ускорителей и причины, по которым происходит рост значимости нелинейных эффектов.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Богомягков Антон Викторович, 2024 год

♦ -

102

=

1034 « ♦ : ♦

♦ 10 =

• : ♦

TLEPZ TLEPW TLEPH TLEPt1 TLEPt2 TLEPttH

TLEPZ TLEPW TLEPH TLEPt1 TLEPt2 TLEPttH

Рисунок 4.8 - Светимость (слева) и время жизни для разных сценариев ЕСС-ее (ТЬЕР). Красные ромбы и красные кресты - компьютерное моделирование для старого и нового набора параметров соответственно; зелёные точки - аналитические расчёты для нового набора параметров

Длина пучка и энергетический разброс показаны на рисунке 4.9. Аналитические расчёты хорошо совпадают с компьютерным моделированием для сценариев ТЬЕРЫ, ТЬЕР£ и ТЬЕРиН, отличие на TLEPZ и ТЬЕР1М связано с тем, что аналитические расчёты не учитывают изменение горизонтального и вертикального эмиттансов из-за эффектов встречи.

Таблица 4.4 - Новый набор параметров ЕСС-ее в схеме пересечения под углом и крабовой перетяжки

Z W Н 1 Ш, ZHH

П[ кт] 100

2в[тг а (] 30

СиггеП;[тА] 1431 142 29 6.3 1.4

^Ъипскев 29791 739 127 33 6

^рагИс1ез[1° ] 1 4 4.7 4 5

£х[пт]/е у [р т] 0.14/1 0.44/2 1/2 2.1/4.25 4.34/8.68

Р1[т]/Р;[т] 0.5/0.001

У ер [СУ ] 0.54 1.35 3.6 11.4 34.2

Увуп 0.062 0.072 0.092 0.124 0.124

& в,вуп [тт] 2.7 4.1 4.9 5.3 7.5

°5,8уп[10-] 0.5 0.9 1.4 2 2.9

аг [тт] 5.9 9.1 8.2 6.6 8

^ [10-3] 1.2 2.1 2.4 2.6 3.1

Ф 10.6 9.1 5.5 3 2.6

Ь[тт] 0.7 1.2 1.8 2.6 3.6

Ьоиг^кзй 0.94 0.86 0.78 0.7 0.61

Ь/1Р [1032ст-28-1] 21200 3640 924 134 18

Ы1Р 0.032 0.031 0.029 0.024 0.014

4/!Р 0.175 0.187 0.16 0.077 0.038

Ть[ я ] 2300 1300 1100 1800 2900

п „ (г) = 2%)[ 5 ] > 1019 > 106 40000 5500 2700

Г|| ит Б ] 1338 238 70 22 7

и^^Е^еУ/Ыт] 0.03 0.3 1.7 7.7 32

Рзв[МШ- ] 50 50 50 49.1 46.3

♦ Lifetrac full CRAB Analytical CRAB Lifetrac

; • ■0= •

_

_ ........♦............

♦

TLEPZ TLEPW TLEPH TLEPt1

TLEPt2 TLEPttH

x10-3

j » Lifetrac full CRAB Analytical CRAB Lifetrac

j

j

j ♦ ♦ •

j 5

j о • ...........•........... ♦

! i

\

\

TLEPZ TLEPW TLEPH TLEPt1

TLEPt2 TLEPttH

Рисунок 4.9 - Длина пучка (слева) и энергетический разброс (справа) для разных сценариев FCC-ee (TLEP). Красные ромбы и красные кресты - компьютерное моделирование для старого и нового набора параметров соответственно; зелёные точки - аналитические расчёты для нового набора параметров

4.3 Ограничение динамической апертуры

синхротронным излучением в квадрупольных линзах

В настоящее время разрабатываются два будущих электрон-позитронных коллайдера FCC-ee (CERN) [154] и CEPC (IHEP, China) [80] для проведения экспериментов в диапазоне энергий в системе центра масс от 90 ГэВ до 360 ГэВ. В этих проектах сильное синхротронное излучение (мощность V к Е4) оказывает значительное влияние на динамику пучка и производительность коллайдера, которое пренебрежимо мало на низких энергиях. Первый пример — это уменьшение светимости из-за потери частиц или из-за увеличения энергетического разброса и поперечного эмиттанса пучка [41], вызванных излучением частиц в поле встречного сгустка (пучковое излучение [161]), [160]. Следующий пример — это ограничение динамической апертуры, даже в отсутствии нелинейных магнитов, из-за излучения в квадрупольных линзах. Джон Джовет был первым кто обратил внимание на этот эффект в большом электрон-пози-тронном коллайдере (LEP, CERN) с максимальной энергией пучка в 100 ГэВ [31]. Он назвал этот эффект радиационной бета-синхротронной связью, суть которого в том, что частица с большйми бетатронными амплитудами теряет больше энергии из-за излучения в квадруполях, следовательно, равновесная

точка в продольном фазовом пространстве смещается и частица испытывает синхротронные колебания с большей амплитудой, что приводит к выходу частицы из области стабильного движения в продольном фазовом пространстве.

К.Ойде продемонстрировал уменьшение динамической апертуры в FCC [30] с помощью программы SAD [166]. Данное им объяснение опять было связано с возбуждением синхротронных колебаний дополнительными потерями на излучение в квадруполях.

Проверка с помощью программ MADX-X PTC [106] и TracKing [167] подтвердила уменьшение динамической апертуры (рисунок 4.10). Однако, приведённое в этой главе, детальное рассмотрение явления показало отличные от объяснений Джовета и Ойде, и различающиеся механизмы потерь частиц с колебаниями в горизонтальной и вертикальной областях. Излучение в квадру-полях при больших горизонтальных амплитудах, действительно, сдвигает равновесную точку продольного движения, возбуждает большйе синхротронные колебания и синхро-бетатронные резонансы, сдвигает горизонтальную частоту к целому резонансу (из-за нелинейных хромо-геометрических аберраций) в соответствии с объяснениями Джовета и Ойде. Однако, при колебаниях в вертикальной плоскости излучение из квадруполей существенно меньше, чем в случае горизонтальных колебаний, и не сдвигает так сильно равновесную точку продольных колебаний. Было обнаружено, что затухание вертикальных колебаний зависит от амплитуды колебаний, и начиная с некоторой сменяется возбуждением. Это есть проявление параметрического резонанса с трением. Излучение из квадруполей (в основном только из финального фокуса) модулирует энергию частицы на двойной бетатронной частоте, поэтому вертикальная составляющая фокусирующей силы тоже колеблется на двойной бетатронной частоте, создавая бетатронный резонанс. Трение приводит к тому, что параметрический резонанс развивается только начиная с некоторых амплитуд. Удивительной свойство этого резонанса состоит в его независимости от бетатронной частоты, иначе говоря "самонаводящийся" резонанс.

4.3.1 Параметры и результаты наблюдений

На рисунке 4.10 показаны результаты моделирования динамической апертуры для структуры FCC-ee "FCCee_z_202_nosol_13.seq" на энергии пучка 45 ГэВ с помощью программ MADX-X PTC [106] и TracKing [167]. Добавле-

60 — 40 г 20 1 Г 0г' -20 1 -40 7 -60 -;

150 100 50 0

-50 -100 -150

¡lSRQUAD

—S ; QUAD

, / г

-60 -40 -20 0 20 40 60 X/rx

X/rx

Рисунок 4.10 - Результаты компьютерного моделирования динамической апертуры: с помощью MADX PTC с синхротронным излучением из всех магнитных элементов (слева) и без синхротронного излучением из всех магнитных элементов (в центре), с помощью TracKing с синхротронным излучением из квадруполей (фиолетовая линия) и без (голубая линия)

ние синхротронного излучения из квадруполей в моделирующие программы уменьшает динамическую апертуру:

• по вертикали от Яу = 142ау до Яу = 57ау,

• по горизонтали от Ях = 109а"х до Ях = 65а"х.

Структура РСС-ее имеет два места встречи и в таблице 4.5 приведены необходимые параметры.

В таблице 4.6 приведены полные потери энергии на синхротронное излучение в различных магнитах. Для частиц с вертикальными колебаниями, потери энергии в линзах финального фокуса (ФФ) доминируют над потерями в квадруполях арок. Для частиц с горизонтальными колебаниями, потери энергии в линзах ФФ и арок сравнимы по величине и существенно превышают величины для вертикальных колебаний.

150

100

50

0

100 -50

0

50 100

0

50

100

Таблица 4.5 - Параметры структуры ЕСС-ее

Ео [ГэВ] 45.6

частоты: их/иу/ 269.14/267.22/0.0413

времена затухания: тх/ту/та [оборотов] 2600/2600/1300

@х/@у [м] в месте встречи 0.15/0.001

£х/ву [м] 2.7 х 10-10/9.6 х 10-13

&х/&у [м] в месте встречи 6.3 х 10-6/3.1 х 10-8

3.8 х 10-4

Таблица 4.6 - Полные потери энергии из диполей, квадруполей финального фокуса QFF, фокусирующих QF и дефокусирующих QD квадруполей арок

Тип Кол-во и(50&х), МэВ и(50&у), МэВ

Диполи 2900 35.96

дрр 8 12 2

др 1470 4.1 3.7 х 10-3

до 1468 1.5 1.5 х 10-2

Усреднённые по бетатронным фазам потери энергии на излучение в квад-руполях составляют

ид = ^ К?(х2 + у2)(8 = ЕоГП [(К^х) Зх + (К?^> Зу] , (4.18)

где Г = ^константа связанная с излучением, Г = 1.3 м при Е0 = 45.6 ГэВ, П — периметр ускорителя, угловые скобки обозначают усреднение по периметру (...} = ф ... (в/П, и

(к2Дх) =4 х 10-3 т-3 , (к2Ду) = 1.4 х 10-1 т-3 .

Для понимания причин потери частиц интересно рассмотреть траектории частицы вблизи границы динамической апертуры. На рисунке 4.11 приведены

фазовые и временные траектории первой нестабильной частицы с начальными условиями у = 58а"у и остальными пятью нулевыми. В плоскости продольных колебаний {РТ,Т} синхротронные колебания, возбуждённые дополнительными потерями энергии на излучение в квадруполях, затухают, затем, что-то заставляет частицу выйти из положения равновесия. Так как продольные колебания затухли, они не могут быть источником неустойчивости. Горизонтальные колебания возбуждаются из-за нелинейной поперечной связи, но амплитуда колебаний не велика (< 5ах верхний левый график на рисунке 4.11). Следовательно, вертикальные колебания каким-то образом порождают неустойчивость.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Х/ох

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1:игп

200 100

о

> 0 о.

-100 -200

-400 -300 -200-100 0 100 200 300 400 500 У/о„

X_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I—

-4 -2

0246 Т/о,

Рисунок 4.11 - Фазовые и временные траектории первой нестабильной частицы с начальными условиями [х = 0, у = 58ау,рх = 0,ру = 0, а = 0,ра = 0}

Неожиданные наблюдения появляются при изучении рисунка 4.12, на ко-

тором показаны временные эволюции вертикальной координаты частиц с начальными условиями вблизи границы динамической апертуры. Для малых начальных амплитуд вертикальные колебания экспоненциально затухают, как и ожидалось, но с увеличением начальной вертикальной амплитуды и доли потери энергии на излучение в квадруполях, огибающая меняет форму (левый нижний график на рисунке 4.12), пока затухание не сменится возбуждением.

60| 40! 20

сГ > 0

-201

-40

—I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I-

0 1000 2000 3000 4000 5000 1:игп

60 40 20

сГ > 0

-20

-40

60 40 20

сГ > 0

-20

-40

—I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I—

0 1000 2000 3000 4000 5000 1:игп

400 300 200 ¿"100 0

-100 -200

0

1000 2000 3000 4000 5000 1:игп

0

500

1000 1500 1:игп

2000

Рисунок 4.12 - Временная эволюция вертикальных колебаний для частиц с начальными условиями у = {50; 55; 57.5; 58} х ау, горизонтальные координаты равны нулю, продольные выбраны с учётом новой равновесной точки

Совершенно другие наблюдения сделаны при изучении горизонтального движения для частиц с начальными условиями вблизи границы динамической апертуры. На рисунках 4.13 и 4.14 показаны фазовые и временные траектории первой неустойчивой частицы с начальными координатами х = 67.1<гх и

остальными пятью нулевыми. Отсутствуют затухание и возбуждение в продольной плоскости [РТ,Т} как в случае вертикальных начальных условий на рисунке 4.11. На рисунке 4.14 правый график показывает изменение набега бе-татронной фазы частицы от номера оборота, действие частицы начинает расти на левом графике, когда набег фазы достигает целого.

РХ:Х {Х=67.1ох}

Т:1:игп {Х=67.1ох}

100-

50-

о Х/ 0 Р

-50-

-100-

—I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I-

-150 -100 -50 0 Х/ох

50

100

Т -2 Р -2

-4

-6 -8 -10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1:игп

12 10 8 6 4 2 0 -2 -4

: ■

- / Л

; 1

~ /

7

-г 1 11Н -.-.-.-(■¡■ппН 1-г 1 1 1 Н 1 -.-.-.- 1- г г т т ЛаЛ -.-.- " Г Г Г I

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1:игп

8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 10 12

РТ:Т {Х=67.1ох}

:

г--

; •

т

: V V

Г--

: 111

-| 1 111 111 111 ....... —*— ....... 11

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 Т/о,

Рисунок 4.13 - Фазовые и временные траектории первой неустойчивой частицы с начальными координатами [х = 67.1ах,у = 0,рх = 0,ру = 0, а = 0,ра = 0}

Поперечная динамическая апертура РСС-ее без излучения ограничена хроматическими секступолями, Максвелловскими краевыми полями магнитов [168], кинематическим членом, описывающим в первом порядке непараксиаль-ность траекторий. Все хроматические секступоли объединены в -I пары [30]. Такое объединение не имеет квадратичных геометрических аберраций, поэтому ведущие члены нелинейного возмущения имеют третий порядок. Динамиче-

V2JX/ ev:turn {X0={66gv,67.1cv}}

100

90-

ii? 80 X

J 2

»-70

60 50

0.25-

0.15 -■

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 turn

0.1 0.05 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 turn

Рисунок 4.14- Временная эволюция действия и бетатронной фазы для двух частиц: устойчивая (красная) с хо = 66ах и неустойчивая (голубая) с хо = 67.1ах, остальные пять координат нулевые. Квадратный корень действия слева. Отчётливо видны биения действия из-за синхо-бетатронной связи. Набег бетатронной фазы справа. Частица теряет устойчивость, когда набег фазы достигает целого значения

ская апертура оптимизирована с помощью метода SIMPLEX программы SAD. Каждая пар а секступолей была использована н езависимо от других, обеспечивая более 300 степеней свободы. На рисунке 4.15 показано поведение бета-тронных частот как функций начальных амплитуд. Обе частоты стремятся к ближайшему целому резонансу vx = 269, vy = 267 при увеличении начальной амплитуды. Однако, из-за симметрии потенциала, кубическая нелинейность

0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12

20

40 60

х/ах

80

100

0 20 40 60 80 100 120 140

У/ау

Рисунок 4.15 - Зависимость горизонтальной (слева) и вертикальной (справа) частот от соответствующих начальных амлитуд, остальные начальные координаты нулевые

0

не порождает целочисленный резонанс. Форма фазовых траекторий на рисун-

ке 4.16 показывает существование двух гиперболических стационарных точек на обоих графиках и двух резонансных островков в горизонтальной плоскости, это признаки полуцелого резонанса 2их = 538, 2иу = 534 присущего данному потенциалу.

200 Е-.....

150 г.....

100 г.....

50-.....

-

% °г

О.

-50 г -100 + -150

-200 г..... ; ; ■■ ■

| | | | I | | | | I | | | | I | | | | I |

-200 -150 -100 -50 0 Х/о„

ЩЖ Щ0>

■да

«Й

'Г '

50 100 150 200

200 150 100 50

£

£ 0 О.

-50

-100

-150

-200

-150 -100 -50

50 100 150

Рисунок 4.16 - Фазовые траектории из 4-х мерного моделирования: только горизонтальные начальные условия слева и только вертикальные начальные условия справа ах = 6.3 х

10-6 м, оу = 3.1 х 10-8 м

у

4.3.2 Уравнения движения с учётом излучения

Гамильтониан частицы с учётом излучения описывает движение как частицы, так и излученного электромагнитного поля. Так как целью является описание движения частицы, а не её поля, то в уравнения движения частицы без излучения добавляю слагаемые, описывающие изменение энергии и импульса частицы за счёт излучения [169].

Начинаю с гамильтониана, (А.15) в ультрарелятивистском приближении и с подставленными векторными потенциалами

2

х

Н (х, а, у, Рх, Ра, Ру = 1 + Ра + КоХ + —

х2 _1 /2 х3 _ 3х1 /2 /

+ К+ К2Х 63х - (1 + Коху (1 + Ра)2 - Р2х - Р2У (4.19)

+

( еУЛ \кр Л ^ 2тга\

где Вр = — е/рос, Ко = Ву(0)/Вр — кривизна базисной орбиты, К = ((Ву/(х)/Вр и К2 = ((12Ву/(1х2)/Вр — это нормализованные силы квад-руполя и секступоля соответственно, V0 , \rf и ф3 — амлитуда напряжения, длина волны и фаза ВЧ поля в резонаторе, s0 — координата нахождения точечного ВЧ резонатора.

Мощность излучения в пренебрежении массой электрона (Д = v/c = 1 ,Е = рс) есть

V = cCl е2Е2В2 2п

= Сё"Ео4 (1 + )(К2 + 2КоКх + К2(х2 + у2)) (4.20)

= с(^Е4 (К2(1 + 2ра) + 2К0Кх + К2(х2 + у2)),

где В2 = (Ву + х(Ву/dx)2 + у2((Ву/dx)2, и, ввиду малости, опущены слагаемые с р2 и 4К0Кхра, 2К2ра(х2 + у2). В ультрарелятивистском приближении частица излучает вдоль импульса, тогда изменения энергии и трёх компонент импульса частицы за время излучения At следующие:

А Е = VAt =cAt^Ео4 (К02(1 + 2ра) + 2КоКх + К2(х2 + у2)), (4.21) А Е С Е 4

Ара =--=cAtСе° (Ко2(1 + 2ра) + 2КоКхх + К2(х2 + у2)), (4.22)

Рос 2тгрос

А Е С Е4

Арх = рх- =cAtС1 —-Рх (К)(1 + 2ра) + 2КоКх + К2(х2 + у2)), (4.23)

Рос 2тгрос

А Е С Е 4

А^ = Ру- =сА1 С-Е°ру (К2(1 + 2ра) + 2КоКх + К2(х2 + у2)). (4.24)

рос 2тг рос 4 7

Добавляя полученные изменения импульсов к уравнениям движения разложенного до третьего порядка по всем переменным гамильтониана (4.19), получаю

конечные уравнения движения

х' = рх - РхРа (4.25)

„2 „,2

х -

р'х = Кора - х(К + К) - к2---

- Грх [Ко2(1 + 2ра) + х(2КоК + Ко3) + К2(х2 + у2)] (4.26) = Ру - (4.27)

Ру = у К + Кху

- ГРу [Ко2(1 + 2ра) + х(2КоК + Ко3) + К2(х2 + у2)] (4.28)

Й ^У

а' = -Кох - ^ - ^ (4.29)

^^ = (-+ 008 ^ - йо)

- Г [Ко2(1 + 2ра) + х(2КоК + Ко3) + К2(х2 + у2)], (4.30)

^^ "Т" ^га) "Т" "Т" ^о

где Г = ^' и связанный с ВЧ 008(...) разложен по а до первого поряд-

ка. Замечу, что излучение из квадруполей производит нелинейные слагаемые Г К2рХ,ух2, ГК2рхуу2 в уравнениях (4.26) и (4.28), подобные же слагаемые появляются и от краевого поля квадруполя [168]. Однако, их влияние мало, поэтому они будут опущены.

4.3.3 Решение продольных уравнений движения

Так как период синхротронных колебаний (25 оборотов) существенно меньше времени затухания поперечного движения (2600 оборотов) (таблица 4.5), то полагаю поперечные амплитуды колебаний независящими от времени, что позволяет решать несвязанные уравнения. Для начала рассматриваю только вертикальные колебания, считая горизонтальные малыми. Разделяя горизонтальное движение на бетатронную и дисперсионную части х = хр + т]ра, рх = рхр Ра и пренебрегая бетатронным движением хр = 0, рхр = 0, получаю

следующие уравнения

2 2

а' = -КоТТРа - 1 - f (4.31)

Ра = ^^ («in ф. + C0S ^^ Ф - SO)

Г [Ко2 + ра(2Ко2 + 2КоК\Г] + Ко377) + К2^+ у2)]. (4.32)

Вертикальное движение через нелинейную связь возбуждает горизонтальные колебания (левый верхний график на рисунке 4.11), которые, однако, малы (« Ъ(гх для уо = 58 (гу), и в соответствии с таблицей 4.7 (вторую колонку нужно умножить на (5/67)2 ~ 6 • 10-3), возбуждённые горизонтальными продольные колебания на порядок меньше, чем возбуждённые вертикальным движением напрямую. Это наблюдение и дальнейшие численные оценки доказывают справедливость пренебрежения нелинейной связью.

Усреднение полученных уравнений за период обращения (как обычно делается для синхротронного движения) представляет знакомые величины: коэффициент уплотнения орбиты

а = (К0г,) = К0ф , (4.33)

относительные потери энергии в диполях за один оборот

1Г/" Г <К,2> , (4.34)

и Рос

волновой вектор синхротронных колебаний

^ = а (-^) iL cos ф. = (% У2 , (4.35)

5 П V рос) \rf ф' Уя; , v

продольный декремент затухания

,-1

2аа [ш-1] = Г ((2К2 + 2 КоКцу + Кfa))

= Л + ф(2КК177 + К03т?)ds\

иР(Д фК^з ) (4.36)

Upoc V I

,

где П = 2жR — периметр кольца, R — средний радиус, угловые скобки обозначают усреднение по периметру (...} = ф ... ds/П, vs — синхротронная частота, фаза ВЧ поля выбрана в соответствии с (—еVo) sin ф3 = U0, 14 и I2 — синхро-тронные интегралы [116].

Факторы (<^2) и (K^2) малы, умножение их на р2 делает их ещё более маленькими, поэтому ими пренебрегаю.

Нелинейные члены у2 и р2у преобразую с помощью общего решения в форме Флоке [62]

У = Ayfy + А*/* Ру = Ayfy + Ayfy ,

где постоянная амплитуда Ау зависит от начальных условий, fy — функция Флоке со следующими свойствами

(4.37)

fy = ,

фу (s) =

d

r0 Py

Py M '

fy fy - fy f: = -2i,

f =

XÍWy\ 2

(

Г/ Г*/ _ -

Jyjy = ~

1

Py

-M'y

= ъ

f'2 = 1

h Py

(§)2

f) -1 +

¿2ipy

(4.38)

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.42)

(4.43)

где г — это мнимая единица, ДУ — вертикальная бета функция, фу — набег бетатронной фазы. Итак,

У2 = (Ay fy + Ayfy)2 = Jyfty + Ау/у + Ay2fy2 '

Ру = (Ayf y + Ayfy')2 = Jyiy + a2 /y2 + Ay2 fy '2

(4.44)

где действие связано с амплитудой как 3У = 2АУАу, параметры Твисса тУ = (1 + а?)/ДУ и аУ = -ДУ/2, ' обозначает производную й/йв.

S

Чтобы использовать метод усреднения Крылова-Боголюбова, разлагаю ру и Г К\у2 в ряд Фурье:

оо оо

Г к2у2 = Г К\ру3у + ГА^е12кУ3 ^ ЕУпПет* + ГА*2е-2ку* ^ Е*пе-п* ,

п=-те п=-те

(4.45)

те те

р2 = ¿уЪ + А1е12ку" £ Ру,пе™* + А;2е-2ку* £ Р^е-п* , (4.46)

п=-те п=-те

где ку = г/у/П = г/у/Я есть волновой вектор вертикальных бетатронных колебаний с частотой иу,

1 гп

Еу,п = П I К«/2(з)е-2^-п^

о

1 ^ К2(з)13у(8)е1(2фу(в)-2^-п*,

(4.47)

1

Руп = п у /у2(-5)е-г2ку*-п

1 Гп 1

(ф)2 -С)

( 8)-Ъ, у* -п *

(4.48)

П] о ^у (5)

При усреднении уравнений (4.31) и (4.32) сохраняю постоянные и медленно меняющиеся слагаемые (Джовет сохранил постоянные и опустил медленные

слагаемые в [169]), и получаю следующие уравнения движения

А2 А 2

^ = а - Зу^ - *(2^у+п) - А^р;пе-*^+п) , (4.49)

Ь.2

,1 ^ „ _ _

~ Г \К1Ну/ Зу ГАуЕу

р'а = - 2ааРа - Г (К2^) ¿у - ГА2уЕупег*(2г^+п) - ГАу2Еу>-*(2г^+п) ,

а

(4.50)

где п = - [2иу] — это отрицательная целая часть удвоенной бетатронной частоты и единственная медленно меняющаяся гармоника.

Синхронная точка (фаза)

Приравнивая нулю правые части уравнение (4.49) и (4.50) и выбрасывая осциллирующие члены получаю выражения для синхронной точки в продоль-

ной плоскости

* = - % < 7y }Jy + а Г <K?&)Jy (4.51)

kS

P* = -¿ <7y} Jy , (4.52)

где член с Г описывает дополнительные потери энергии за счёт излучения в квадруполях, остальные слагаемые описывают удлинение траектории частицы. Джовет получил подобные выражения в [31] и [170].

Частица с отличающимися от синхронной точки начальными условиями будет испытывать синхротронные колебания, обладающие продольным инвариантом

2 а 2 / \