Обучение аксиоматическому методу введения элементарных функций в вузе как компонент системы формирования методической компетентности будущих учителей математики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шустова Елена Николаевна

• Шустова Елена Николаевна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Шустова Елена Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Психолого-педагогические основы формирования методической компетентности студентов педагогических направлений подготовки вуза

1.2. Системный подход в предметной и методической подготовке будущих учителей математики

1.3. Использование аксиоматического подхода при изучении разделов математики

1.4. Применение информационных технологий в методическом обеспечении

профессиональной подготовки будущих учителей математики

Выводы по главе

ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФОРМИРОВАНИЮ МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АКСИОМАТИЧЕСКОМУ МЕТОДУ ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В ВУЗЕ

2.1. Модель обучения будущих учителей математики аксиоматическому методу введения элементарных функций в вузе

2.2. Применение аксиоматического метода введения элементарных функций при обучении студентов педагогических направлений подготовки вуза

2.3. Интеграция предметной и методической подготовки будущих учителей математики при изучении раздела «Элементарные функции»

2.4. Анализ результатов опытно-экспериментальной работы по внедрению методики обучения будущих учителей математики аксиоматическому методу

введения элементарных функций в учебный процесс вуза

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Приложения. Акты внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обучение аксиоматическому методу введения элементарных функций в вузе как компонент системы формирования методической компетентности будущих учителей математики»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. В сфере образования Российской Федерации особое внимание уделяется качеству и эффективности обучения школьников с акцентом на подготовку в области математики и информатики, о чём свидетельствует принятие Правительством РФ специальных постановлений [82]. В частности, в Государственной Программе РФ «Развитие образования на 2018 -2025 годы» [44] особо отмечено, что необходимо добиться роста «результатов оценки знаний российских студентов и школьников в системах международных исследований, необходимости формирования положительного образа работника педагогической сферы, повышения уровня квалификации преподавателей». Для осуществления педагогической деятельности современный учитель математики должен обладать фундаментальными предметными и методическими знаниями, владеть информационными технологиями, иметь глубокие представления о роли математики в системе наук и развитии общества. Следовательно, особую значимость приобретает процесс обучения преподавателей, отвечающих вышеуказанным требованиям, в первую очередь, на педагогических направлениях подготовки высших учебных заведений.

Значимой особенностью перехода учебных заведений в России на Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) нового поколения, осуществляемого в последние годы, является изменение целевого компонента образовательного процесса [204]. Традиционный подход предполагает получение обучающимися знаний, формирование умений и навыков, современный - оценивает результаты обучения на основе анализа уровня сформированности компетенций. Следовательно, стандарты образования, в том числе цели, содержание, показатели эффективности, должны проектироваться на результат образовательного процесса, содержащего не только предметные (знания, умения и навыки), но также и метапредметные, личностные результаты.

Одним из основных содержательных направлений школьного курса математики является функционально-графическая линия, изучение которой, в соответствии с ФГОС основного общего образования (ФГОС ООО) [205] и среднего общего образования (ФГОС СОО) [206] позволяет сформировать у обучающихся представления о математических методах исследования окружающего мира, описании и анализе реальных зависимостей, а также реализовать в процессе обучения межпредметные связи дисциплин естественнонаучного цикла [1, 201]. При этом многие преподаватели школ и вузов отмечают у обучаемых недостаточно высокий уровень знаний по разделу математики «Элементарные функции», отсутствие системности, фрагментарность, формализм в усвоении основных понятий что свидетельствует о важности систематизации знаний по теории функций как значимой составляющей профессиональной подготовки будущего учителя математики. Изучением проблем общей и частной методик обучения математике и преподавания раздела математики «Элементарные функции» в школе и вузе занимались М. И. Башмаков, С. М. Генеев, О. А. Иванова, Е. И. Лященко, Ю. Н. Макарычев, А. Г. Мордкович, Н. С. Подходова, В. И. Снегурова, Н. Л. Стефанова и другие учёные.

Действующая в настоящее время в старших классах средней школы России профильная дифференциация предполагает использование в образовательном процессе программ учебных дисциплин, различающихся объёмом и глубиной изложения материала. Распространённой и востребованной является физико-математическая специализация, в рамках которой к предметным результатам обучения математике предъявляют дополнительные требования, отражающие сформированность у учащихся представлений о необходимости обоснования математических утверждений с помощью доказательств и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений, а также овладение обучаемыми умениями исследовать поведение функции и использовать полученные знания для описания и анализа реальных явлений и процессов. Достижение указанных предметных результатов в учебном процессе предполагает использование педагогом научных,

формализованных подходов к изложению математических теорий, в частности, учитель должен уметь демонстрировать применение аксиоматического метода не только при изучении геометрии, но и для других разделов математики. Например, с помощью аксиоматического подхода можно вводить некоторые классы элементарных функций и проводить изучение их свойств со строгостью, присущей обучению математическому анализу в классических университетах. Однако при этом следует помнить о том, что изложение материала должно соответствовать возрастным и образовательным возможностям обучаемых и не быть излишне сложным, громоздким. Таким образом, важной составляющей методической подготовки будущего педагога является изучение теоретических основ и использование различных подходов при организации учебного процесса. Проблемам применения аксиоматического подхода в обучении математике посвящены работы В. Н. Алексюка, К. Чжу, В. И. Игошина, В. А. Ильина, Л. М. Лихтарникова, В. А. Любецкого, Ф. М. Рафиковой, А. С. Рвановой, Р. Столла и других исследователей.

В ФГОС высшего образования нового поколения, профессиональном стандарте педагога, программе национального проекта «Образование» и других нормативных документах отмечается значимость информатизации образования, формирования у преподавателей навыков использования современных цифровых технологий в профессиональной деятельности. В образовательном процессе педагогических направлений подготовки вузов необходимо широко использовать информационно-коммуникационные технологии как средство и предмет обучения. Изучением различных аспектов применения указанных технологий в школе и вузе занимались многие учёные-исследователи, в частности, С. Л. Атанасян, Е. В. Баранова, С. Г. Григорьев, В. В. Гриншкун, В. В. Лаптев, М. П. Лапчик, И. В. Левченко, Н. И. Пак, И. В. Роберт, И. В. Симонова.

Современный подход к организации образовательного процесса в вузе в условиях ФГОС нового поколения ориентирован на оценивание результатов обучения на основе анализа уровня сформированности компетенций. Важнейшей составляющей профессионально-педагогической направленности подготовки

будущих учителей следует считать формирование таких компонентов методической компетентности как знаниевый, деятельностный, личностно-мотивационный, рефлексивный и автономный. Образовательный процесс в вузе, основанный на интеграции предметной и методической подготовки будущего учителя, позволяет поэтапно формировать вышеуказанные структурные составляющие и последовательно повышать уровень методической компетентности педагога. Изучению проблем конструирования методической системы обучения математике и различных аспектов подготовки будущих учителей математики в вузе посвящены, в частности, работы С. И. Калинина, Г. И. Ковалёвой, Н. В. Кузьминой, В. Р. Майера, А. Г. Мордковича, А. И. Нижникова, Н. С. Подходовой, А. М. Пышкало, И. В. Симоновой, В. И. Снегуровой, Н. Л. Стефановой.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что для углубления и систематизации предметных знаний, эффективного формирования методической компетентности будущих учителей математики в вузе необходимо обучать педагогов применению аксиоматических методов введения и исследования элементарных функций. Проанализировав научные работы в указанной области, мы сделали вывод о том, что проблема обучения будущих учителей математики аксиоматическим подходам к введению элементарных функций в условиях ФГОС нового поколения авторами целенаправленно и комплексно не изучалась.

Анализ образовательного процесса в вузе, нормативных документов, научно-методической литературы выявил противоречия:

- между сложившимся у студентов педагогических направлений подготовки вуза уровнем теоретических знаний в области применения аксиоматических методов для изучения разделов математики и профессиональными требованиями, предъявляемыми к уровню методической компетентности будущих учителей математики;

- между требованиями к организации современного образовательного процесса в вузе и используемыми методиками обучения будущих учителей математики применению аксиоматического метода введения элементарных функций.

Потребность в устранении указанных противоречий свидетельствует об актуальности и значимости темы исследования для современной высшей школы и определяет её проблему, заключающуюся в разработке методики обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций, позволяющей осуществлять качественную предметную подготовку и эффективно повышать уровень методической компетентности будущего учителя математики.

Цель исследования: теоретическое обоснование, разработка и реализация методики обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций, способствующей повышению качества предметных знаний и уровня сформированности методической компетентности будущего учителя математики.

Объект исследования: процесс обучения в вузе будущих учителей математики аксиоматическому методу введения элементарных функций.

Предмет исследования: методика обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций, ориентированная на эффективное повышение уровня предметных знаний и методической компетентности будущего учителя математики.

Гипотеза исследования заключается в том, что если при подготовке в вузе будущих учителей математики использовать методику обучения аксиоматическому методу введения элементарных функций, которая:

- основана на модели обучения с целевым, организационно-содержательным, деятельностным и контрольно-регулировочным компонентами, определяющими основные аспекты целеполагания учебного процесса, его субъектные составляющие, а также отбор содержания, методов, форм и средств обучения, контроля и диагностики уровня сформированности методической компетентности обучаемых;

- разработана с применением доступных для понимания обучаемых систем аксиом для введения экспоненциальной и тригонометрических функций,

позволяющих строго научно и последовательно изложить теорию элементарных функций;

- реализована на основе интеграции предметной и методической подготовки студентов, предполагающей комплексное применение в учебном процессе вуза авторских учебных пособий, электронного курса, компьютерных тестов, кейс-метода, диагностико-технологического подхода для выявления ключевых примеров и упражнений комплектов математических задач,

то она позволит осуществлять качественную предметную подготовку и эффективно повышать уровень сформированности методической компетентности будущего учителя математики.

Указанные цель, объект, предмет и гипотеза исследования обуславливают необходимость решения следующих основных задач исследования:

1. Провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы для определения сущности понятия методической компетентности учителя математики, выявления её компонентов и требований к уровню их сформированности.

2. Спроектировать модель обучения будущих учителей математики аксиоматическому методу введения элементарных функций с целевым, организационно-содержательным, деятельностным и контрольно-регулировочным компонентами.

3. Разработать дидактические материалы, позволяющие реализовать интегративный подход к предметной и методической подготовке студентов -учебные пособия, компьютерные тесты, кейсы специальных методических заданий; адаптировать диагностико-технологический подход для выявления ключевых примеров в системах задач по разделу математики «Элементарные функции»; создать электронный курс на базе платформы системы дистанционного обучения Moodle Сыктывкарского государственного университета имени Питирима Сорокина (СГУ).

4. На основе спроектированной модели разработать и внедрить в учебный процесс вуза методику обучения аксиоматическому методу введения

элементарных функций, позволяющую осуществлять качественную предметную и методическую подготовку будущих учителей математики и обеспечивающую формирование знаний функционально-графической содержательной линии математики и методов её преподавания в общеобразовательной и профильной школах.

5. Разработать диагностический инструментарий для оценки уровня сформированности методической компетентности будущих учителей математики при обучении применению аксиоматического метода введения элементарных функций.

6. Экспериментально проверить эффективность применения разработанной методики обучения аксиоматическому методу введения элементарных функций в вузе для повышения уровня предметных знаний и методической компетентности будущих учителей математики.

Для достижения поставленной цели и решения выдвинутых задач применялись следующие методы исследования:

теоретические - сравнительный анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по тематике исследования; изучение ФГОС основного общего, среднего общего и высшего образования и нормативных документов, используемых в образовательном процессе вуза; сравнение, анализ, систематизация и обобщение профессионального педагогического опыта;

эмпирические - методы педагогического эксперимента (наблюдение, беседы, опросы, анкетирование, тестирование);

статистические - методы измерения и математической обработки данных (количественный и качественный анализ данных, статистические критерии, методы корреляционного анализа).

Методологической и теоретической основой исследования являются: - теории и методологии профессионального образования (В. И. Андреев, А. В. Коржуев, А. Н. Леонтьев, В. М. Монахов, А. Г. Мордкович, В. А. Попков, Н. А. Селезнева, В. А. Сластенин, Н. Ф. Талызина и др.);

- компетентностный подход к обучению (В. А. Адольф, В. И. Байденко, Э. Ф. Зеер, И. А. Зимняя, Н. В. Кузьмина, А. К. Маркова, Л. М. Митина, Г. К. Селевко, Т. В. Сясина, И. В. Усольцева, А. В. Хуторской, В. Д. Шадриков и др.);

- теории обучения и образовательные технологии (С. Я. Батышев, В. П. Беспалько, Л. С. Выгодский, П. Я. Гальперин, Л. В. Занков, А. Н. Леонтьев, И. Я. Лернер, А. М. Матюшкин, М. И. Махмутов, В. Оконь, Н. И. Попов, Н. Ф. Талызина, М. А. Чошанов, Д. Б. Эльконин, П. А. Юцявичене и др.);

- исследования в теории и методике обучения математике (Н. Я. Виленкин, В. А. Далингер, Г. В. Дорофеев, Н. А. Журавлёва, С. И. Калинин,

A. Н. Колмогоров, Ю. М. Колягин, Ю. Н. Макарычев, А. Г. Мордкович, Н. С. Подходова, Н. И. Попов, А. М. Пышкало, Г. И. Саранцев, И. С. Сафуанов,

B. И. Снегурова, Н. Л. Стефанова, А. А. Столяр и др.);

- положения теории построения методической системы обучения (В. П. Беспалько, Л. В. Занков, Г. И. Ковалёва, В. С. Корнилов, Н. В. Кузьмина, В. Р. Майер, В. М. Монахов, А. М. Пышкало, Н. В. Садовников, Г. И. Саранцев и др.).

- методики изучения элементарных функций (В. Н. Алексюк, И. В. Антонова, М. И. Башмаков, Н. А. Елизарова, А. И. Жаворонков, Т. А. Иванова, М. Кумар, Е. И. Лященко, А. Г. Мордкович, М. Ю. Пермякова, И. Г. Попова, Л. К. Садыкова, Е. В. Турчанинова, А. В. Фирер, Н. Н. Шунда и др.);

- аксиоматический подход в обучении математике (В. Н. Алексюк,

B. И. Игошин, В. А. Ильин, Л. М. Лихтарников, В. А. Любецкий, В. В. Орлов, Ф. М. Рафикова, А. С. Рванова, Р. Столл, К. Чжу и др.).

- исследования в области применения информационно-коммуникационных технологий в образовательном процессе (С. Л. Атанасян, Е. В. Баранова,

C. Г. Григорьев, В. В. Гриншкун, В. В. Лаптев, И. В. Левченко, Н. И. Пак, И. В. Роберт, И. В. Симонова, Е. К. Хеннер и др.).

Научная новизна исследования: разработана авторская модель обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций, позволяющая эффективно формировать

методическую компетентность будущего учителя математики. В процессе реализации модели предложена интеграция предметной и методической подготовки педагогов, предполагающая комплексное использование авторских учебных пособий, электронного курса, компьютерных тестов, кейс-метода, диагностико-технологического подхода для выявления ключевых примеров и упражнений комплектов математических задач, позволяющая повышать уровень предметных знаний и методической компетентности будущего учителя математики.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:

- предложены подходы к определению методической компетентности учителя математики, её структуры и уровней сформированности, выделены структурные составляющие компонентов методической компетентности, формируемые при изучении элементарных функций студентами педагогических направлений подготовки вуза (профиль «Математика»);

- спроектирована авторская модель обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций с целевым, организационно-содержательным, деятельностным и контрольно-регулировочным компонентами, определяющими основные аспекты целеполагания учебного процесса, его субъектные составляющие, а также отбор содержания, методов, форм и средств обучения, контроля и диагностики уровня сформированности методической компетентности будущих учителей математики;

- разработана методика применения аксиоматического подхода к введению экспоненциальной и тригонометрических функций, основанная на доступных для понимания обучаемых системах аксиом, удобных для использования, в том числе, при обучении школьников в профильных классах математической направленности, позволяющих строго научно и последовательно изложить теорию элементарных функций;

- проведено теоретическое обоснование применения диагностико-технологического подхода к выделению ключевых примеров в системах математических задач по разделу «Элементарные функции».

Практическая значимость исследования состоит в том, что:

- в учебный процесс вуза внедрена разработанная методика обучения студентов педагогических направлений подготовки аксиоматическому методу введения элементарных функций, основанная на интеграции предметной и методической подготовки, позволяющей эффективно формировать основные компоненты методической компетентности будущего учителя математики;

- для внедрения методики обучения студентов в вузе разработаны дидактические материалы по математике, компьютерные тесты, кейсы заданий, авторские учебные пособия, спроектирован и используется в образовательном процессе электронный курс «Элементарные функции в школьном курсе математики» на базе платформы системы дистанционного обучения Moodle СГУ;

- проведено исследование эффективности применения диагностико -технологического подхода к выделению ключевых примеров в системах математических задач по разделу «Элементарные функции» для повышения качества знаний обучающихся;

- с помощью математического аппарата статистического анализа исследована эффективность использования методики обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций для повышения уровня математических знаний и формирования методической компетентности будущих учителей математики.

Основные этапы исследования. Работа проводилась в три этапа в период времени с 2002 по 2021 годы.

На первом этапе (2002-2006) изучен профессиональный опыт подготовки педагогов в вузе, проведён анализ психолого -педагогических и методологических основ исследования, научной литературы по тематике исследования.

На втором этапе (2006-2014) проведено теоретическое обоснование проблемы исследования, сформулированы цель, задачи, выдвинута гипотеза, начат формирующий эксперимент по проектированию модели обучения студентов и основанной на ней методики, проведена апробация разработанной экспериментальной модели в Коми государственном педагогическом институте.

На третьем этапе (2014-2021) завершен формирующий и проведён констатирующий этап педагогического эксперимента по внедрению разработанной методики в учебный процесс вуза, выполнен анализ полученных результатов, обобщены и систематизированы результаты опытно -экспериментальной работы.

Экспериментальная база исследования: Коми государственный педагогический институт (КГПИ), Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина (СГУ), Физико-математический лицей-интернат г. Сыктывкара (ФМЛИ), МАОУ «Лицей народной дипломатии» г. Сыктывкара, МАОУ «Технологический лицей» г. Сыктывкара, МОУ «Коркатовский лицей» Республики Марий Эл.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обусловлены выбором методологических, психолого-педагогических, методических аспектов, определяющих основу данного исследования; рациональным сочетанием применяемых теоретических и эмпирических методов исследования, соответствующих объекту, предмету, цели и задачам научной работы; количественным и качественным анализом результатов педагогического эксперимента, использованием математического аппарата статистического анализа для обработки полученных эмпирических данных; широтой апробации результатов исследования в реальном образовательном процессе высших учебных заведений и лицеев, а также на конференциях и семинарах разного уровня, публикациях в научных сборниках и журналах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанная методика обучения будущих учителей математики аксиоматическому методу введения элементарных функций в вузе с использованием доступных для понимания учащихся профильных школ и студентов педагогических направлений подготовки систем аксиом для определения экспоненциальной и тригонометрических функций способствует систематизации, углублению и закреплению математических знаний, умений и навыков обучаемых, позволяет эффективно формировать компоненты методической

компетентности учителя математики в условиях реализации новых образовательных стандартов высшего образования.

2. Спроектированная модель обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций может быть использована для эффективной организации учебного процесса, если целевой компонент указанной модели направлен на систематизацию предметных знаний и формирование методических умений и навыков, организационно-содержательный - ориентирован на изучение аксиоматических методов введения элементарных функций и учитывает субъектные составляющие образовательного процесса, деятельностный -предполагает использование электронного курса «Элементарные функции в школьном курсе математики» на базе платформы МооШе в качестве средства управления учебным процессом, а контрольно-регулировочный - содержит диагностический инструментарий, направленный на оценку и коррекцию предметных знаний и уровня сформированности методической компетентности будущих учителей математики.

3. Процесс обучения будущих учителей математики в вузе, реализуемый на основе интеграции предметной и методической подготовки с комплексным использованием авторских учебных пособий, электронного курса, компьютерных тестов, кейс-метода, диагностико-технологического подхода для выявления ключевых примеров и упражнений комплектов математических задач является открытой динамической системой, позволяющей эффективно повышать уровень методической компетентности студентов педагогических направлений подготовки вуза с учётом потребностей внешней среды - общества, системы образования и субъектных компонентов образовательного процесса.

Апробация и внедрение результатов исследования.

На основе методики обучения будущих учителей математики аксиоматическому методу введения элементарных функций спроектирована дисциплина «Элементарные функции в школьном курсе математики», внедрённая в учебный процесс КГПИ и СГУ. Разработанные автором учебно-методические

материалы, учебные пособия, компьютерные тесты, комплекты математических задач используются в образовательном процессе ФМЛИ г. Сыктывкара, МАОУ «Лицей народной дипломатии» г. Сыктывкара, МАОУ «Технологический лицей» г. Сыктывкара и МОУ «Коркатовский лицей» Республики Марий Эл.

Результаты научных исследований были представлены на заседаниях научно-методологического семинара по проблемам образования и методики обучения математике СГУ (2017-2021 гг.), научно-методологического семинара в Институте цифрового образования Московского городского педагогического университета (2019, 2020 гг.), XV Коми республиканской молодежной конференции (г. Сыктывкар, 2004 г.), Республиканской научно-практической конференции «Совершенствование содержания образования в условиях введения ЕГЭ и перехода на профильное обучение» (г. Сыктывкар, 2007 г.), IV Всероссийской научно-методической конференции «Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации» (г. Сыктывкар, 2014 г.), XVI международной научно-практической конференции «Современные концепции научных исследований» (г. Москва, 2015 г.), XXIII годичной сессии Ученого совета СГУ (г. Сыктывкар, 2016 г.), X Международной научно-практической конференции «Развитие современного образования: теория, методика и практика» (г. Чебоксары, 2016 г.), Всероссийской научно -практической конференции «Система профессионального образования республики Коми: вчера, сегодня, завтра» (г. Сыктывкар, 2017 г.), Национальной конференции XXV годичной сессии Ученого совета СГУ (г. Сыктывкар, 2018 г.), XIV Всероссийской научно-практической конференции «Физико-математическое и естественнонаучное образование: наука и школа» (г. Йошкар-Ола, 2018 г.), Международной научной конференции «Информатизация непрерывного образования - 2018» (г. Москва, 2018 г.), Национальной (Всероссийской) научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии» (г. Сыктывкар, 2018 г.), Национальной конференции XXVII годичной сессии Ученого совета СГУ (г. Сыктывкар, 2020 г.), V Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шустова Елена Николаевна, 2022 год

- У

у \

\

1

• Вертикальные х = 1(—), х = ±1, у = 1, у = ±1, х = 0, у = 0, у = х + 1, у = х - 1, у = ±х ± 1, нет.

• Горизонтальные х = 1, х = ±1, у = 1, у = ±1, х = 0, у = 0, у = х + 1, у = х - 1, у = ±х ± 1, нет(—).

• Наклонные х = 1, х = ±1, у = 1, у = ±1, х = 0, у = 0, у = х + 1 (—), у = х - 1, у = ±х ± 1, нет. 10. Как называется функция у = Дх), определённая на промежутке Х, если любое своё значение она принимает ровно в одной точке множества Х?

• обратимой, (—)

• обратной,

• однозначной,

• многозначной,

• соответственной.

Модуль 2. Методика изучения элементарных функций в школе

Тест 2.1. Линейная функция

1. Как называется число к в уравнении прямой у = кх + Ь, где к, Ь е К?

• угловой коэффициент, (—) • коэффициент тангенса,

• угол наклона прямой, • тангенс наклона.

2. Каков геометрический смысл коэффициента Ь в уравнении прямой у = кх + Ь, где к, Ь е К?

• ордината точки пересечения прямой с осью Оу,

• ордината точки пересечения прямой с осью Ох,

• абсцисса точки пересечения прямой с осью Оу,

• абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

3. Найдите углы наклона (в градусах) заданных прямых к оси Ох.

• у = л/3 + х, а = (45); • у = у/3 - х, а= (135); • у = ->/з х + 1, а = (120); • у = ^х- 1, а = (30).

4. На рисунке изображены графики функций вида у = кх + Ь. Определите в каждом случае знаки коэффициентов к и Ъ.

5. Найдите значения коэффициентов кмЪ функции, график которой изображён на рисунке.

Ответ: к = 0,5; Ь = -1.

6. Найдите нуль функции у = 2х + 7. (-3,5)

7. Определите характер монотонности функции у = - 4,5 + 2х. (возрастает (•/), убывает, не монотонна)

Тест 2.2. Степенная функция с натуральным показателем

1. Найдите область определения и область значений функций.

• у = х146 (Р(У) = №, Е(У) = [0; +да)),

• у = х113 (Р(У) = №, Е(У) = №).

Доп. промежутки (0; +го), (-да; 0) , (-да; 0], 0.

2. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функций.

• у = х128 (Промежуток возрастания: [0; +да), промежуток убывания: (-да; 0], точки минимума: х = 0, точки максимума: нет),

• у = х171 (Промежуток возрастания: №, промежуток убывания: нет, точки минимума: нет, точки максимума: нет).

Доп. варианты (0; +да), (-да; 0) , (-да; 1], [1; +да), х = 1, х = ±1, у = 0, у = 1, у = ±1.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функций.

• у = х146 (Выпуклость вверх: нет, выпуклость вниз: №, точки перегиба: нет),

• у = х171 (Выпуклость вверх: (-да; 0), выпуклость вниз: (0; +да), точки перегиба: х = 0). Доп. варианты [0; +да) (-да; 0], , (-да; 1) , (1; +да), х = 1, х = ±1, у = 0, у = 1, у = ±1.

0,68 > 0,48.

4. Сравните значения числовых выражений.

• 1,38 > 1,36; • (-1,1)19 < (-1Д)11; • 0,813 > 0,815;

5. Сравните значения числовых выражений.

• 2,16 < 5,36; • (-2,7)13 < (-1,1)13; • 1,87 < 2,17;

6. Определите знак выражения.

• 0,34 > 0; • (-1,7)11 < 0; • 0,19 > 0;

7. Сравните значения числовых выражений с единицей.

• 1,216 > 1; • (-0,4)14 < 1; • 0,69 < 1;

8. На рисунке изображены схематичные графики степенных функций с натуральным показателем. Сопоставьте графики с аналитическим заданием функции.

(-2,7)10 > (-2,7)5. ■ (-1,7)6 > (0,7)6; (-0,9)10 > 0. (-0,9)11 < 1.

У = х11

У = х7

у = х12

у = х4

У \ \ /

\ \ г г

\ /

\ /

\\

\

N г

У Л X

0

Тест 2.3. Степенная функция с целым отрицательным показателем

1. Найдите область определения и область значений функций.

• у = х-46 (В(/) = №\{0} , Е(/) = (0; +да)),

• у = х-13 (В(/) = №\{0}, Е(/) = №\{0}).

Доп. промежутки [0; +да), (-да; 0) , (-да; 0], 0, №.

2. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функций.

• у = х-28 (Промежуток возрастания: (-да; 0), промежуток убывания: (0; +да), точки минимума: нет, точки максимума: нет),

• у = х-71 (Промежуток возрастания: нет, промежутки убывания: (-да; 0) и (0; +да), точки минимума: нет, точки максимума: нет).

Доп. варианты (-да; 1], [1; +да), х = 1, х = 0, у = 0, у = 1, [0; +да), (-да; 0], №, (-да; 1) и (1; +да), (-да; 0) и [1; +да).

3.Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функций.

• у = х-46 (Выпуклость вверх: нет, выпуклость вниз: (-да; 0) и (0; +да), точки перегиба: нет),

• у = х-71 (Выпуклость вверх: (-да; 0), выпуклость вниз: (0; +да), точки перегиба: нет). Доп. варианты (-да; 1], [1; +да), х = 1, х = 0, у = 0, у = 1, [0; +да), (-да; 0], №, (-да; 1) и (1; +да), (-да; 0) и [1; +да) .

4. Выберите те точки из перечисленных, которые принадлежат графику функции у = /(х).

• у = -1; (0; 0), (1; 1)^, (-1; 1), (1; -1), (-1; -1)^, (0,5; 128)^, (0,5; -128), (-0,5; 128),

х

(-0,5; -128К.

• у = -4 ; (0; 0), (1; 1К, (-1; 1К, (1; -1), (-1; -1), (0,5; 1024К, (0,5; -1024),

(-0,5; 1024К, (-0,5; -1024).

х

5. На рисунке изображены схематичные графики степенных функций. Сопоставьте графики с аналитическим заданием функции.

у = х 4

у = х 12

у = хп

6. Определите графически количество корней уравнения

х

-10 -

= х + 3 (3); • х -9 = 4 - х (2);

х

11

= -19 (1).

7. Сравните значения числовых выражений.

• 1,3-8 < 1,3-6; • 0,8-13 < 0,8-15; • (-1,1) -19 > (-1,1) -11;

8. Сравните значения числовых выражений.

• 2,1-6 > 5,3-6; • 0,6-8 < 0,4-8; • (-2,7) -13 > (-1,1) -13;

9. Определите знак выражения.

• 0,3-4 > 0; • 0,1-9 > 0; • (-1,7) -11 < 0;

10. Сравните значения числовых выражений с единицей.

• 1,2-16 < 1; • 0,6-9 > 1;

• (-0,9) -11 < 1; • (-2,4) -16 < 1;

(-2,7) -10 > (-2,7) -5.

■ 1,8-7 > 2,1-7; • (-1,7) -6 < (0,7) Л - (-0,9) -10 > 0.

. (-0,4) -14 > 1;

■ (-1,5) -13 < 1.

Тест 2.4. Функция вида у = Ух

1. Найдите область определения и область значений функций.

• у = (Р(/) = [0; +ю), К(/) = [0; +ю)),

• у = Ух (Р(/) = М, Е(/) = М).

Доп. промежутки М\{0}, (0; +ю), [1; +ю), (-ю; 0) , (-ю; 0], 0.

2. Найдите промежутки монотонности функций.

• у = Ух (Промежуток возрастания: [0; +ю), промежуток убывания: нет),

• у = Ух (Промежуток возрастания: М, промежуток убывания: нет).

Доп. варианты (-ю; 0), (0; +ю), (-ю; 0], (-ю; 1], [1; +ю), (-ю; 1), (1; +ю).

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функций.

• у = Ух (Выпуклость вверх: [0; +ю), выпуклость вниз: нет, точки перегиба: нет),

• у = Ух (Выпуклость вверх: (0; +ю), выпуклость вниз: (-ю; 0), точки перегиба: х = 0). Доп. варианты (-ю; 1], [1; +ю), (-ю; 1), (1; +ю), х = 1, х = ±1, у = ±1, у = 0, у = 1, (-ю; 0], М.

4. Сравните значения числовых выражений.

• ^2/7 < У2Л- • УХЛ < УХЛ; • У^З < '^аз;

• уо/7 > Уо^ - . > У^й

5. Сравните значения числовых выражений.

• Уъб < • уХл > У14-

• З^й > ; • У~ХХХ> < У^л-,

Щ7 >^0,4;

ухл>у^2л.

6. Сравните значения числовых выражений.

• >1; • > 1; • < 1;

• у/о^З < 1; • ур-0/7 > -1; •1^6<-1.

7. На рисунке изображены схематичные графики функций. Сопоставьте графики с

аналитическим заданием функции.

У у ч=

ч

1 у = X

0

У \

1 «ч

0

8. Решите неравенство.

• >/х >2х-1, [0; 1); • ^ <4-Зх ,[0; 1]. Доп. варианты (-оо; 2], [2; +оо), (-оо; 2), (2; +оо), (-оо; 3], [3; +оо), (-оо; 3), (3; +оо), (-оо; 4], [4; +оо), (-да; 4), (4; +да), (-да; 1], [1; +да), (-да; 1), (1; +да), (-да; 0] , [0; +да), (-да; 0), (0; +да), М.

Тест 2.5. Степенная функция с рациональным показателем 1. Найдите область определения и область значений функций.

п

• V = X15 (£>(/) = [0; +00), £(/) = [0; +да)),

21

• V = X19 (£>(/) = [0; +00), Е{/) = [0; +да)).

3

. у = х^ (£>(/) = (0; +00), Е{/) = (0; +да)). Доп. промежутки М, М\{0}, (1; +да), [1; +да), (-да; 0) , (-да; 0], 0. 2. Укажите характер монотонности функций.

2

• у = х 9 —» убывает;

19 П

• у = х21 —» возрастает; • у = х 3 —» убывает;

17 15

у = х11 ^ возрастает;

у = х14 ^ возрастает.

Доп. вариант: не монотонна.

3. Укажите направление выпуклости функций.

• у = х13 —» выпукла вверх;

4_ 17

у = х13 ^ выпукла вниз;

, — т-17

у = х 3 ^ выпукла вниз;

• у = х" —> выпукла вниз; • у = х —> выпукла вверх.

4. Сравните значения числовых выражений.

_9_ _9_ 1! 15 _±

. 0,8" < 0,9"; • 2,8" < 3,1"; • 0,5~" > 0,9~".

5. Сравните значения числовых выражений.

П 9 2 у _2 _7

• 1,4Т>1,4*; • 0,47<0,4"; • 3,3_? > 3,3~?;

6. Сравните значения числовых выражений с единицей.

3 8 3 14

• 2,7® > 1; • 2,73 > 1: • 1,7~?<1: • 0,8^ < 1;

_ 2 4

0,8 7 > 0,8?.

12

. 0,8" < 1:

• 0,3 9 >1.

7. На рисунке изображены схематичные графики функций. Сопоставьте графики с аналитическим заданием функции.

9

15

5

4

.-4,7

у = х

.0,4

у = х

.-0,6

Тест 2.6. Показательная функция

1. Какие из равенств задают показательную функцию?

11 ч х

пх х

15) ^ 15

2. Укажите характер монотонности функций.

у = х15, у = (11) К), у = 11 • х, у = х* у = (>/3)х (✓), у = (-1,3)х , у = (со* 0)х .

'У =

•у =

2

к2 у

•V-

• у = (1,74) —» возрастает;

• у = —» возрастает.

: | —» убывает;

^ убывает;

Доп. вариант: не монотонна.

3. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = (1) принимает заданное

• >' = 81 при х = (-4) ---- 1

• у = 3>/3 при х = (~1>5)

4. Сравните значения числовых выражений.

значение.

■ > = -^прих= (0,5)

З,13 > 3,1^;

1 ,3^ <1,3"и:

0,4^ < 0,4";

0,9 ^ > 0,Г2.

5. Сравните значения числовых выражений.

• 2,9^ >1,7^; .3,1^ >4,6^; •

6. Сравните значения числовых выражений с единицей.

0,54^ <0,71^;

0,8 ^ < 0,3^.

1 >1-

2,8 ^ <1;

0,6^ <1:

0,4 ^ >1.

7. На рисунке изображены схематичные графики функций. Сопоставьте графики с

аналитическим заданием функции.

У' г

1 г

/

_!/

0 X

(С

у =

(2Г

-у = ( 0,7)х

Тест 2.7. Логарифмическая функция 1. Вставьте в определении пропущенные слова из списка предложенных.

у = log2 х ^ убывает.

Пусть а > 0, a Ф 1, b > 0. Логарифмом числа b по основанию а называется /показатель степени/ (основание степени, показатель корня, степень), в которую/ое/ый нужно возвести /число а/ (число b, число Ьа, число аь), чтобы получить /число b/ (число а, число Ьа, число аь).

2. Закончите формулу выражением из предложенных вариантов.

. При а > 0, а * 1, b > 0, alos°b = (b S, a, ba, ab, logД logfta).

. При a > 0, a Ф 1, bc > 0, logabc= (loga|ô| + loga|c| loga|ô| - loga|c|, loga|è| • loga|c|, loga|Ô| : loga|c|, logaè + logaC, logаЬ - logaC, logab ' logaC, logаЬ \ logaC).

• При a > 0, a Ф 1, b > 0, с > 0, с Ф 1, logcè : logeur = (logaè logea6, logc(è/a), logc(a/è), logbtf, logcèa).

3. Какие из перечисленных функций являются монотонными? Укажите характер монотонности.

. у-log

о,7х убывает; • у - log7 х —» возрастает;

• у = log^r х возрастает;

Т

Доп. вариант: не монотонна.

4. Укажите направление выпуклости функций.

• у = log7 х —» выпукла вниз;

9

• у = log ж х —» выпукла вниз;

LOS—

• у = \oge х выпукла вверх;

2

5. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = log ! х принимает заданное

25

значение.

• у = -2 при х = (625) • у = 0,5 при х = (0,2)

• у = -0,5прих= (5) «у = -1,5прих= (125)

6. Сравните значения числовых выражений.

• logu 4,8 > logu 3,7; • log0 8 0,9 < log0 8 0,7; • log2 7 0,2 < log2 7 0,27; • log0 2 5,9 < log0 2 5,1.

7. Сравните значения числовых выражений.

• log2 3l,4>log3 8l,4; . log0 56 0,6 >log0 210,6; • log4 9 0,7 > log2 7 0,7; • log3 4 3,1 < log2 9 3,1.

8. Определите знак выражения.

• log2 з 1,4 > 0; - log0 56 0,6 > 0; • log4 9 0,7 < 0; • log3 4 3,1 > 0

9. Сравните значения числовых выражений с единицей.

log134,8>l; • log025,9<1; - log16l,l<l; • log08 0,7 >l; • log270,2<l; • log08 0,9<l.

10. На рисунке изображены схематичные графики функций. Сопоставьте графики с

аналитическим заданием функции.

у = log7 х ^ выпукла вверх;

5

у = log^- х ^ выпукла вверх.

1

s

0

'У = log3, 1х -у = log4,7 х

■у = logo,3 х

-у = logo,8 х

Тест 2.8. Экспоненциальная и натуральная логарифмическая функции 1. Чему равен угол наклона к оси Ох касательной к графику функции у = ех в точке (0; 1)? Ответ дайте в градусах. (45°).

2. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции у = ех в точке (0; 1)? Выберите ответ из списка предложенных. (у = х + 1 ^, у = х - 1, у = -х + 1, у = -х - 1, у = ех + 1, у = ех - 1, У = -ех + 1, у = -ех - 1, у = х, у = -х, у = ех, у = -ех).

3. Выберите верные утверждения из списка предложенных.

• ех > х + 1, Ух еМ • ех > 0, Ух еМ

• ех > х + 1, Ух еМ; • ех < х + 1, Ух еМ;

• ех < х + 1, Ух еМ; • ех < 0, Ух еМ;

• ех > 1, Ух еМ; • ех < 1, Ух еМ.

4. Чему равен угол наклона к оси Ох касательной к графику функции у = 1п х в точке (1; 0)? Ответ дайте в градусах. (45°).

5. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции у = 1п х в точке (1; 0)? Выберите ответ из списка предложенных. (у = х + 1, у = х - 1^, у = -х + 1, у = -х - 1, у = ех + 1, у = ех - 1, у = -ех + 1, у = -ех - 1, у = х, у = -х, у = ех, у = -ех).

6. Выберите верные утверждения из списка предложенных.

• 1п х > х - 1, Ух > 0; • 1п х > х - 1, Ух еМ; • 1п х < х, Ух > 0; ^

• 1п х > х - 1, Ух > 0; • 1п х < х - 1, Ух > 0; • 1п х < х, Ух еМ.

• 1п х < х - 1, Ух > 0; ^ • 1п х < х - 1, Ух еМ;

• 1п х > х - 1, Ух е М; • 1п х < х - 1, Ух е М;

7. Найдите производную функции у = в*2 +3. Выберите ответ из списка предложенных.

? ? х х2+ 3 х х2+ 3

х х- +з ох /-> х-+з / ее е е

• е ; • е ; • 2хе ; • 2хе ; ^ • -т—; " "

2х' 2х ' х2 + 3' х2 + 3' 8. Найдите производную функции у = 1п3х2. Выберите ответ из списка предложенных.

• -Лт; • -; ^ • -1; • х; • 3х2; • 1пЗх2; • х 1г8х2; • 3х + 6х 1п3х2. 3х х х 2

Тест 2.9. Методика изучения натуральной логарифмической функции в профильной школе

1. Каким равенством можно определить натуральную логарифмическую функцию?

х XX

• Пх) = ' • по = / £ • ^(х) = / • F (х) = р£.

1 1 -ж о

2. Выберите верные утверждения из списка предложенных.

• 1п х > 0, при х > 1 • 1п х < 0, при х > 1; • 1п х < 0, при х < 1 .

• 1п х = 0, при х = 1 ^; • 1п х = 1, при х = 0;

• 1п х < 0, при 0 < х < 1 ^; • 1п х > 0, при 0 < х < 1;

3. Какой знак имеет первая производная натуральной логарифмической функции на всей области определения? (+ -, знак разный на различных промежутках П/).

4. Какой знак имеет вторая производная натуральной логарифмической функции на всей области определения? (+, - знак разный на различных промежутках П/).

5. Какое из свойств натуральной логарифмической функции позволяет сделать вывод о её обратимости? (монотонность^, выпуклость вверх, непрерывность, неограниченность, непериодичность, положительность, дифференцируемость).

6. Есть ли у натуральной логарифмической функции асимптоты?

• Да, ось Оу • Да, оси Ох и Оу; • Да, прямая у = 1;

• Да, ось Ох; • Нет; • Да, прямая х = 1

7. Как называется функция, обратная натуральной логарифмической? (экспоненциальная степенная, билогарифмическая, арклогарифмическая, антилогарифмическая).

Тест 2.10. Общая степенная функция

1. Каким равенством можно определить степенную функцию с произвольным действительным показателем г на множестве положительных чисел?

• хг = егЪх, ^ • х = вхЫг, • х = г 1х, • х = х 1.

2. Сопоставьте части равенств, определяющих основные свойства степени для любых действительных чисел г, э, а, Ь, где а > 0, Ь > 0.

r s r+s

a • a = a

= a

' • (ab)r = ar • br,

. v

(a )s

= a

a

3. Вычислите значение числового выражения 3 •[ 162 + 27 3 + 814 - 83 |. Ответ: -2.

4. Вычислите значение числового выражения

5

94

270'4 • 30'3

. Ответ: 3.

5. Найдите показатель степени положительного числа х в выражении I х • х

1 л

• х9. Ответ: 1.

6. На рисунке изображены схематичные графики функций. Сопоставьте графики с аналитическим заданием функции.

У /

/ /

/

/

__kl

0 X

,у = х^3 .у = х*3

r

a

s

a

Тест 2.11. Тригонометрические функции

1. Определите градусную меру угла. В ответе укажите только числовое значение.

• Ä = (30°), • п = (180°), • ^ = (240°), • 2f = (315o), • = (780°) .

2. С помощью тригонометрической окружности определите значения тригонометрических функций указанных чисел.

4^ • л/3 1 . R . л/3

• х = , sin х = , cos х = - tg х = V3, ctg х = .

23^ • 1 л/3 . л/3 . R

• у = —¡^, sin у = - cos у = , tg у = , ctg у = W3.

3. Найдите область определения и область значений функций.

.y = sinx, D(/) = M, £(/) = [-1; 1], • у = ctgх, £>(/) = М \{як, к е Z}, £■(/) = М.

Дополнительные варианты: M\j^ + 2;r£, М\{2;г£, к&Щ, М\{0}, (-1; l), (0; +оо),

(-сю; 0), (-сю; 0], [0; +оо).

4. Определите свойства чётности или нечётности функций. Выберите ответ из выпадающего списка вариантов.

• у — sin х - нечётная, • у — tg х - нечётная,

• у — cos х - чётная, • у — ctg х - нечётная. Дополнительный вариант: функция общего вида.

5. Найдите главный период функции. Выберите ответ из выпадающего списка вариантов.

• у — sin х, главный период Т = 2 ж, • у — cos х, главный период Т = 2 ж,

• у — tg х, главный период Т = ж, • у — ctg х, главный период Т = ж.

Дополнительные варианты: 1, 2, ж, функция не является периодической.

6. Найдите нули функций.

•y-cosx, х = ^ + • у-tgx, х = як,

Дополнительные варианты: ^ + 2тгк, к<гЖ, 2тгк, к eZ, 0, у, п.

7. Найдите точки экстремума функций.

• у - sin х, точки максимума х - ^ + 2тгк, к е /Е,

точки минимума х - - у + 2як, к е

• у - cos х, точки максимума х - 2тгк, к е Ж,

точки минимума х - тг + 2тгк, к е 1L¡.

Дополнительные варианты: + тгк, ieZ, тгк, ieZ, 0, n, 1, -1.

8. Найдите асимптоты функций.

• у = tg х, асимптоты х = + тгк, к eZ.

• у = ctg х, асимптоты х = тгк, ieZ.

Дополнительные варианты: х = + 2тгк, к е IL, х = 2;г£, ¿eZ, х = л- + 2;г£, х = О, у = + к eZ, у = ¿ е Z, j = + 2;г£, £ eZ, j = 2;г£, = ^ + 2;г£, у = 0.

Тест 2.12. Обратные тригонометрические функции 1. Найдите значение числового выражения V2 • sin (arctg 1) . Ответ: 1.

í y