Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат физико-математических наук Васильев, Михаил Петрович

• Васильев, Михаил Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильев, Михаил Петрович

Введение.

Глава 1. Модели теории неоднородных жидкостей и их распространенные приближения в задачах геофизической гидродинамики.

Глава 2. Инвариантные свойства геофизических моделей.

2.1. Симметрии уравнений вращающейся стратифицированной жидкости. Инвариантные свойства приближения Буссинеска.

2.2. Группы растяжения и автомодельные решения уравнений стратифицированного пограничного слоя.

2.3. Приближенные группы симметрий стационарных двумерных уравнений стратифицированного пограничного слоя и их зависимость от основных безразмерных комплексов (чисел Рейнольдса, Фруда,

Шмидта).

Глава 3. Тонкая структура слоистых течений стратифицированной жидкости.

3.1. Формирование одно и двумерных слоистых течений. Структурная устойчивость решений при переходе от модели однородной к стратифицированной жидкости.

3.2. Периодические слоистые течения.

3.3. Решение методом разделения переменных двумерных нелинейных стационарных уравнений несжимаемой жидкости. Роль стратификации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений»

Важные составные части окружающей среды атмосфера и гидросфера Земли, имеющие огромное значение в жизни человека, являются сложными составными системами открытого типа. Для прогнозирования их эволюции создано большое количество физико-математических моделей. В совокупности они включают десятки параметров, отвечающих за макроскопические движения различного происхождения: от механического, вызванного вытеснением жидкости телами или действием сил различной природы, до широкого класса конвективных явлений и диссипативных процессов. В последнее время активно развиваются высокоточные космические средства наблюдения за динамикой широкого набора параметров динамики природных систем [15], что вместе с развитием компьютерной техники сбора и обработки результатов измерений выводит геофизическую гидродинамику на качественно новый уровень развития.

Несмотря на то, что реальные морская вода и атмосфера включают в себя большое число примесей и неоднородны по температуре, в данной работе в качестве основной выбрана модель двухкомпонентной несжимаемой жидкости (вода - соль, вода -температура). В рамках этой модели может быть изучено совместное действие эффектов плавучести и диссипации, которые вместе с силами Кориолиса во многом определяют динамику геофизических систем.

В силу большого числа параметров определяющих геофизические течения характерной особенностью моделирования является стремление к максимальному упрощению модели. На практике это приводит к пренебрежению физическими эффектами, которым отвечают малые значения определяющих параметров. К ним можно отнести коэффициенты кинематической вязкости и диффузии соли, параметр Кориолиса и кривизна Земли, часто к малым эффектам относят и эффекты плавучести. В большинстве аналитически решаемых задач малыми предполагаются эффекты нелинейности. Такие упрощения допускаются даже для эффектов определяющих порядок и тип уравнений движения. Так, например, в геофизике широко распространена модель идеальной жидкости, из-за аналитических трудностей задачи формирования течений не решаются, а исследуются установившиеся волновые процессы, когда момент начала движений отнесен в бесконечно удаленное прошлое.

Однако такие упрощения оказываются справедливыми, если проведенная редукция не приводит к существенной ошибке в прогнозе динамики природных систем, либо можно указать пространственно-временную область применимости модели. Причем используемые математические методы решения задач также не должны вступать в противоречие с обозначенными границами применимости моделей.

Иначе говоря, актуальной оказывается задача устойчивости решений по отношению к малому изменению модели течения (в том числе и за счет полного учета временных производных на начальных этапах развития течения), т.н. структурной устойчивости решений [30]. Кроме чисто "прагматической" цели избежать значительной ошибки в прогнозе, такой подход позволит лучше выявить вклад каждого действующего фактора в общую картину течения, т.е. лучше разобраться в структуре геофизических процессов.

В данной работе будет изучена структурная устойчивость как общих свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальной модели течения к локальной в поле сил тяжести и Кориолиса, так и свойств слоистых течений (на фазе формирования и в режиме периодического движения границ).

Применению теоретико-групповых методов в гидродинамике (включая автомодельные решения [12, 13, 44, 48]) традиционно уделяется большое внимание. В газовой динамике под руководством JI.B. Овсянникова проводится целая программа систематизации и анализа инвариантных решений, создание своеобразной "таблицы Менделеева" в механике сплошных сред [49]. Работам в области механики несжимаемой жидкости (в том числе неоднородной) посвящена монография [3]. Разрабатываются и новые методы и подходы. К ним, например, относится распространение метод поиска инвариантных решений на пространство обобщенных функций и построение на систематической основе функций Грина линейных систем дифференциальных уравнений [2]. Известно, что в задачах теории внутренних волн (как монохроматических, так и присоединенных) широко используются методы на основе функции Грина [27, 28, 49, 102]. Использование методов теории групп в таких задачах позволит расширить их класс на системы со сложной геометрией границ.

В последнее время групповые методы успешно используются совместно с теорией возмущения [11]. Однако, выполненные к настоящему времени исследования в основном касались задач малой размерности. В настоящей работе предпринята попытка распространить новые методы теории групп Ли на задачи теории неоднородной жидкости.

Использование методов компьютерной алгебры позволило в полном объеме изучать общие свойства симметрии уравнений движения распространенных моделей динамики неоднородных жидкостей [3, 9], выявить влияние ряда распространенных приближений на трансформацию базовых принципов механических систем. Однако, такой анализ для уравнений геофизической гидродинамики проведен не был. Представляет интерес развитие существующих методов символьного программирования на задачи поиска приближенных групп симметрии многомерных систем уравнений движения неоднородных жидкостей.

Изучение и параметризация процессов переноса и формирования структур океана и атмосферы являются основными задачами гидродинамики окружающей среды. В силу сложности задач надлежащий выбор определяющих физических переменных и математических моделей в значительной степени предопределяет эффективность и адекватность описания природных явлений. В последние 60 лет основные модели динамики окружающей среды базируются на представлении о турбулентном характере течений в стратифицированном океане и атмосфере [62]. Однако, уже в одной из ранних работ Уолтера Манка было показано, что профили вертикальных распределений потенциальной температуры и концентрации некоторых элементов (углерода, радия, кислорода) в Тихом океане не согласуются с рассчитанными по моделям турбулентности, в которые подставляются океанические значения коэффициентов диффузии и скорости подъема вод [89]. Эта работа стимулировала интенсивный поиск дополнительных механизмов переноса в устойчиво стратифицированных океане и атмосфере, результаты которого нашли свое отражение в большом числе статей и книг [43, 52, 55, 56, 88]. Важнейшими из дополнительных универсальных механизмов переноса энергии и вещества в океане были признаны пограничные течения, существующие на океанических склонах [69, 70, 104]. Их аналогом в атмосфере, в частности, служат долинные и горные ветры [95].

Широкий класс явлений касающихся процессов переноса вещества и энергии изучается в рамках простейшей - плоской геометрии модели. Начиная с пионерской работы Л. Прандтля [47], посвященной природе горных ветров, было предпринято ряд попыток описать придонные течения на основе стационарных моделей, включающих, в том числе и эффекты вращения (см. например [72]).

На круто падающих склонах (угол наклона которых больше отношения частоты вращения к частоте плавучести) пограничное течение является существенно нестационарным, на что обратили внимание специалисты по физической океанографии [60]. В реальных условиях, помимо течений, индуцированных диффузией, заметную роль в прибрежной океанографии играют процессы поверхностного перемешивания [71], взаимодействия с топографией внутренних волн, приливных течений, процессы локального перемешивания и последующего восстановления стратификации [66, 100], а также конвективные течения, возникающие под действием естественных потоков тепла [99].

Стационарные решения задачи о пограничном течении [47, 91, 104 и др.] широко используются для разрешения одного из принципиальных парадоксов прикладной океанографии - несогласованности измеренных значений параметров океанической турбулентности и скорости вертикального (диапикнического) переноса примесей [89]. Пограничные течения на шельфовом склоне (в общем случае турбулентные), эффективно переносят вещество и энергию не только вблизи границ [73, 77, 87], но, в случае их отрыва, и в толще океана [74, 93]. Аналогия между вращением и стратификацией [101] показывает, что данный тип течений может быть как гравитационного, так и инерционного происхождения [65,69].

Формированию течения около наклонной границы в многокомпонентной среде (сахар/соль) посвящена работа [82]. В последнее время получены точные решения задач теории течений индуцированных диффузией на топографии [35, 96], выполнен асимптотический анализ для границ более сложной формы [10]. Использование численных методов позволило детально изучить процесс установления диффузионного течения на сфере и выделить новый класс нестационарных внутренних волн ими порождаемых [8]. В тоже время задачам формирования течения для движущихся границ, а также анализу влияния различных действующих факторов, достаточного внимания уделено не было.

Распространенными объектами моделирования реальных течений в гидродинамики являются внутренние волны и пограничные течения [64, 75]. Традиционно анализ волновых и некоторых других элементов ламинарных течений стратифицированной жидкости проводится с помощью линеаризации уравнений гидродинамики [25, 36, 37, 39, 42]. При этом часто используются методы интегральных преобразований, которые позволяют сводить исходную систему дифференциальных уравнений к алгебраическому уравнению - так называемому дисперсионному уравнению [39]. В рамках линеаризованных моделей было получено большое количество результатов, касающихся не только задач излучения, распространения и отражения внутренних волн, но и задач обтекания тел стратифицированной жидкостью [39]. Широко исследуется вклад диссипа-тивных эффектов в поле внутренних волн и связанных с ними пограничных течений [36, 37]. Иногда, решение ряда линейных задач при соблюдении дополнительных условий может являться также и решением полной нелинейной системы уравнений движения [35,42, 83]. В последнее время появились работы по изучению колебаний и движения тел правильной формы (цилиндр, сфера) [59, 67, 68, 76, 94]. В них теоретические методы сочетаются с экспериментальными методами теневой визуализации течений и компьютерной обработкой информации [67, 68]. Однако, основное внимание, как правило, уделяется установившимся процессам, процессы установления течений не изучаются, процессы диффузии жидкости также в модель не включаются. Учитывая, что при теоретическом моделировании, как правило, используются приближенные методы, представляется актуальным подробно исследовать фазу установления течения и корректность предельного перехода t -> оо, когда даже эффекты, определяемые малыми скалярными параметрами, могут также оказывать существенный вклад в динамику течения.

Цель работы; Целью данной работы является

Изучение общих свойств распространенных моделей геофизической гидродинамики, отражающих основные физические принципы механических систем, а также свойства пространства и времени.

Исследование влияния гипотез использованных при построении распространенных упрощенных моделей на структуру групп симметрий исходной системы уравнений геофизической гидродинамики.

Изучение процессов формирования одно- и двумерных слоистых течений и их структурной устойчивости к модификации модели течения по степени сложности от однородной жидкости до стратифицированной жидкости с диффузией;

Исследование зависимости установившихся периодических течений от частоты колебаний тела и их устойчивости по отношению выбранной модели.

Изучение возможности расширения области применения теоретико-групповых методов для построения приближенных решений задач теории стратифицированных течений за счет использования приближенных групп симметрии.

Разработка программ компьютерной алгебры, реализующих процедуру поиска приближенных групп симметрии уравнений геофизической гидродинамики.

В работе получены следующие новые результаты:

На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальных моделей к локальным, выявлено полное механико-кинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничного слоя в неоднородных жидкостях.

Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детально изучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано качественное изменение свойств течений при смене модели (от модели однородной жидкости к модели стратифицированной жидкости с диффузией). В ряде случаев выявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.

Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявлено наличие резонансной частоты колебаний генератора, когда амплитуда колебаний частиц жидкости не затухает с удалением от источника (неравномерный переход к режиму установившихся колебаний);

Показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляется на плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.

Показано, что использование приближенных симметрий в теории неоднородных жидкостей позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных.

На защиту выносятся:

Результаты сравнительного анализа групп симметрий уравнений геофизической гидродинамики и приближенных моделей;

Решение и анализ задач формирования одно- и двумерных слоистых течений в линейно стратифицированной жидкости.

Решение и анализ задач динамики одно- и двумерных периодических слоистых течений.

Классификация групп приближенных симметрий уравнений стратифицированного пограничного слоя в зависимости от соотношения между основными безразмерными комплексами (числами Рейнольдса, Фруда, Шмидта) и их применение для решения геофизических задач;

Программы расчета приближенных симметрий уравнений геофизических течений;

Публикации: Результаты работы опубликованы в 9 научных публикациях.

Апробация работы: Основные результаты были представлены на Всероссийской научно-молодежной школе "Возобновляемые источники энергии". (Москва. 2003), Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2004), Четвертой всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии" (Москва, 2004), международной конференции "Fluxes and Structures in Fluids" (Москва, 2005); неоднократно докладывались на семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Объединенном семинаре "Динамика природных систем", ИПМех РАН.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 105 наименований. Общий объем диссертации 111 страниц, включая иллюстрации.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Васильев, Михаил Петрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена изучению структурной устойчивости общих свойств моделей геофизической гидродинамики и частных видов течений, по отношению к смене типа модели. Усложнение модели происходит за счет "малых" факторов двух видов: векторных геометрических (размерности задачи, типа обтекаемых препятствий, характера внешних сил) и скалярных динамических (учет эффектов вращения Земли, неоднородности жидкости, диссипативного характера течений). Отдельно исследовались процессы установления течений неоднородной жидкости и их зависимость от выбора модели.

В связи с появлением высокоточных средств глобального мониторинга атмосферы Земли и океана, а также с необходимостью совершенствования качества прогноза динамики геофизических систем и перехода к среднесрочному и долгосрочному прогнозированию, актуальной оказывается задача разработки адекватных физико-математических моделей, учитывающих одновременно большое число определяющих факторов динамического и диссипативного типов, нелинейный и нестационарный характер протекающих процессов, сложную геометрию течения. За более чем вековой период развития геофизической гидродинамики накоплен большой объем наблюдений, теоретически изучены многие важные процессы динамики природных систем. Совместно с появлением новых средств наблюдения, развитием вычислительных мощностей современных компьютеров и появления систем символьных вычислений создан базис для качественного изменения теоретического анализа динамики атмосферы и океана. В настоящее время представляется актуальной задача определения пространственно -временных границ действия геофизических моделей характеризуемых малым числом определяющих факторов. Такой подход позволит качественно улучшить анализ данных натурных наблюдений и предоставит средство независимого тестирования результатов численного моделирования.

В ходе выполнения работы благодаря совместному использованию теоретико-групповых и традиционных асимптотических методов были изучены общие свойства системы геофизических моделей и структурная устойчивость течений по отношению к усложнению модели за счет малых параметров.

На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальных моделей к локальным (выявлена трехмерная изотропия глобальных моделей во вращающейся вместе с Землей системе координат), выявлено полное механико-кинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничного слоя в неоднородных жидкостях.

Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детально изучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано качественное изменение свойств течений при смене модели. В ряде случаев выявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.

Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявлено наличие резонансной частоты колебаний генератора, которая приводит к отсутствию затухания возмущений на бесконечности (неравномерный переход к режиму установившихся колебаний); показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляется на плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.

В методической части работы было показано, что использование приближенных симметрий позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Автор выражает глубокую благодарность профессору К.В. Показееву за постановку задачи и научное руководство работой, а также за постоянную поддержку во время выполнения исследования. Автор особенно признателен В.Г. Байдулову за постоянный интерес к работе и помощь в освоении современных математических методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильев, Михаил Петрович, 2006 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука. 1979. 830 с.

2. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН, 1995, Т. 342, № 2, С. 151-153.

3. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука. 1994.319 с.

4. Байдулов В.Г., Васильев М.П. Формирование тонкой структуры слоистых стратифицированных течений // Известия РАН Механика жидкости и газа, 2006 (в печати).

5. Байдулов В.Г., Васильев М.П., Показеев К.В. Структурная устойчивость общих свойств моделей геофизической гидродинамики // Вестник МГУ. Физика и астрономия, 2006 (в печати).

6. Байдулов В.Г., Матюшин П.В., Чашечкин Ю.Д. Структура течения, индуцированного диффузией, около сферы в непрерывно стратифицированной жидкости // Доклады АН. 2005. Т. 401. № 5. С. 613-618.

7. Байдулов В.Г., Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Формирование течения при начале движения горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. № 6. С. 821 828.

8. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Инвариантные свойства уравнений движения стратифицированных жидкостей // Доклады АН, 2002, Т. 387, № 6. С. 760 763.

9. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Влияние диффузионных эффектов на пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1993. № 4. С. 82 90.

10. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближённые симметрии // Матем. сб., 1988, Т. 136, Вып. 4, С. 435 450.

11. Баренблатт Г.И. Подобие, автомоделыюсть, промежуточная асимптотика. Изд. 2-е. -Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

12. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд. иностр. литературы. 1963.

13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. I. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969, 344 с.

14. Бэтчелор Дж. Введение динамику жидкости. М.: Мир, 1973, 758 с.

15. Васильев М.П. Анализ совместного влияния нелинейности и диссипации на структуру течений стратифицированной жидкости // Четвертая всероссийская научная конференция «Физические проблемы экологии» Москва. 22 24 июня 2004 г. Тезисы докладов. С. 40 - 41.

16. Васильев М.П. Взаимодействие диссипативных и нелинейных факторов в стратифицированном пограничном слое около горизонтальной пластинки // Сборник научных трудов «Физические проблемы экологии (Экологическая физика)». 2005. № 13. С. 55-69.

17. Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решения уравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Всероссийская научно молодежная школа "Возобновляемые источники энергии" г. Москва. 2003 г.

18. Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решения уравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Ломоносовские чтения, г. Москва. 2004 г.

19. Васильева В.В., Писаревская Л.Г. Шишкина О.Д. Генерация внутренних волн дрейфующим айсбергом // Изв. РАН. ФАО. 1995. Т. 31. № 6. С. 842 851.

20. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. -М.: Изд-во МФТИ. 1997.240 с.

21. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Фетисов С.А. Автомодельные решения задач нагрева и динамики плазмы. М.: Изд-во МФТИ. 2001.256 с.

22. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. -М: Наука. ГРФМЛ. 1986. 288 с.

23. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. ГРФМЛ. 1972. 392 с.

24. Городцов В.А., Теодорович Э. В. Об излучении внутренних волн при равномерном прямолинейном движении локальных и нелокальных источников // Изв. АН СССР, ФАО. 1980. Т. 16., № 9. С. 954-961.

25. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Плоская задача для внутренних волн, порождаемых движущимися сингулярными источниками // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. № 2. С. 77-83.

26. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971.288 с.

27. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

28. Ерманюк Е.В., Гаврилов Н.В. О колебаниях цилиндров в линейно стратифицированной жидкости // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4. С. 15 26.

29. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1973.

30. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Диссипативно-гравитационные волны в докрити-ческих режимах многокомпонентной конвекции // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37. №.4. С. 513 519.

31. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Групповой анализ частично симметризованной формы системы уравнений свободной термоконцентрационной конвекции // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 2. С. 14 26.

32. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 4. С. 50-56.

33. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Внутренние волны, вязкие пограничные слои и внутренние пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости // Препринт ИПМ РАН, № 674,2001,156 с.

34. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Некоторые точно решаемые задачи излучения трехмерных периодических внутренних волн // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 1. С. 52 61.

35. Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир. 1970. 304 с.

36. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 600 с.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. ГРФМЛ. 1986. 733 с.

38. Лойцянский Л.Г. Механика жидкостей. М.: Наука. ГРФМЛ. 1987. 840 с.

39. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат. 1981.

40. МонинА.С., ОзмидовР.В. Океанская турбулентность. Л.: Гидрометеоиздат.1981.320 с.

41. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.400 с.

42. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикладная математика и механика, 1994, Т. 58, № 4, С. 30 55.

43. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989. 637 с.

44. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М.: Иностр. Лит., 1949.520 с.

45. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1972.

46. Стурова И.В. Задачи радиации и дифракции для кругового цилиндра в стратифицированной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 1999. №4. С. 81-94.

47. Теодорович Э.В., Городцов В.А. О некоторых сингулярных решениях уравнений внутренних волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. № 7. С. 776 -779.

48. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977.431 с.

49. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1976. 184 с.

50. Физика океана. Т.1. Гидрофизика океана. Ред. А.С. Монин; АН СССР. Ин-т океанологии. М.: Наука, 1978.455 с.

51. Физика океана. Т.2. Гидродинамика океана. Ред. А.С. Монин; АН СССР. Ин-т океанологии. -М.: Наука, 1978.

52. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1980. 319 с.

53. Чашечкин Ю.Д., Макаров С.А. Нестационарные внутренние волны // Доклады АН СССР. 1984. Т. 276. № 5. С. 1246 1250.

54. Черный Г.Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости // Известия РАН Механика жидкости и газа, 1997, № 4, С. 39 53.

55. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. ГРФМЛ. 1969. 742 с.

56. Appleby J.С., Crighton D.G. Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere //J. FluidMech. 1987. V. 183. P. 439-450.

57. Army L., Millard R.C. The bottom boundary layer of the deep ocean // J. Geophys. Res. 1976. V.81.P. 4983-4990.

58. Baines P.G. Topographic effects in stratified flows. Cambridge. 1995. 544 p.

59. Bretherton F.P. The time-dependent motion due to a cylinder moving in an unbounded rotating or stratified fluid // J. Fluid Mech., 1967, V. 28, P. 545 570.

60. Broutman D., Rottman J.W., Eckermann S.D. Ray method for internal waves in the atmosphere and ocean // Ann. Rev. Fluid Mech., 2004, V. 36, P. 233 253.

61. Chen C.T., Millero P.S. The specific volume of sea water at high pressures // Deep-Sea Res., 1976, 23, V. 7, P. 595-612

62. Fernando H.J.S. Turbulent mixing in stratified fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. 1991. V. 23. P. 455-493.

63. Flynn M.R., Onu K., Sutherland B.R. Internal wave excitation by a vertically oscillating sphere // J. Fluid Mech., 2003.

64. Flynn M.R., Onu K., Sutherland B.R. Internal wave excitation by a vertically oscillating sphere // J. Fluid Mech. 2003. V. 494. P. 65 93.

65. Garrett C. Marginal mixing theories // Atmosphere-Ocean. 1991. V. 29, Pt. 2, P. 313 -339.

66. Garrett C. Mixing in the ocean interior // Dyn. of Atmospheres and Oceans, 1979, V. 3, P. 239 265.

67. Garrett C. Processes in the surface mixed layer of the ocean // Dyn. Atmos. Oceans. 1996. V. 23. P. 19-34.

68. Garrett C., MacCready P., Rhines P. Boundary mixing and arrested Ekman layers: rotating stratified flow near a sloping boundary // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993. V. 25. P. 291 -323.

69. Hart J.E. A possible mechanism for boundary layer mixing and layer formation in a stratified fluid // J. Phys. Oceanography, 1971, V. 1, P. 258 262.

70. Hart J.E. Transition to a wavy vortex regime in convective flow between inclined plates // J. Fluid Mech., 1971, V. 48, Pt. 2, P. 265 271.

71. Hurley D.G. A general method for solving steady-state internal gravity wave problems // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. P. 657 672.

72. Hurley D.G., Hood M.J. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 3. Angular oscillations and comparison of theory with recent experimental observation // J. Fluid Mech. 2001. V. 433. P. 61 75.

73. Iwey G.N., Corcos G.M. Boundary mixing in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1982. V. 121. P. 1-26.

74. Janowitz G.S. Blocking in slow stratified flows // J. Geophys. Res., 1974, V. 79, No 9, P. 1265 1268.

75. Kaufman D.W. Sodium chloride. The production and properties of salt and brine. N.Y.: Reinhold Publ. Corp. 1960. 626 p.

76. Kelly R.E., Redekopp L.G. The development of horizontal boundary layers in stratified flow. Part 1. Non-diffusive flow // J. Fluid Mech., 1969, V. 42, P. 497 511.

77. Kerr O.S. Double-diffusive instabilities at a sloping boundary // J. Fluid Mech. 1991. V. 225. P. 333-354.

78. Linden P.F., Weber J.E. The formation of layers in a double diffusive system with sloping boundary //J. Fluid Mech. 1977. V. 81. № 4. P. 757 773.

79. Long R.R. The motion of fluids with density stratification // J. Geophys. Res., 1959, V. 64, P. 2151-63.

80. Martin S., Long R.R. The slow motion of a flat plate in a viscous stratified fluid // J. Fluid Mech., 1968, V. 31, P. 669 688.

81. Martin S., Long R.R. The slow motion of a flat plate in a viscous stratified fluid // J. Fluid Mech., 1968, V.31,P. 669-688.

82. Montgomery R.B. Oceanographic data // In: American Institute of Physics Handbook, Sect. 2. Mechanics. N.Y. Toronto - London: McGraw-Hill Book Co., 1957, P. 115124

83. MacCready P., Rhines P. Buoyant inhibition of Ekman transport on a slope and its effect on stratified spin-up // J. Fluid Mech. 1991. V. 223. P. 631 661.

84. McDougall T.J. Estimates of the relative roles of diapycnal, isopycnal and double-diffusive mixing in Antarctic bottom water in the North Atlantic // J. Geophys. Res. 1984. V. 89, # c6, p. 10.479 10.483.

85. Munk W. Abyssal recipes // Deep-Sea Res. 1966. V. 13. # 1. P. 207 230.

86. Nicolau D., Liu R., Stevenson T. N. The evolution of thermocline waves from an oscillatory disturbance // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 401 416.

87. Phillips O.M. On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid // Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 435-443.

88. Redekopp L.G. The development of horizontal boundary layers in stratified flow. Part 2. Diffusive flow//J. Fluid Mech., 1970, V. 42, P. 513 525.

89. Robinson R.M., McEwan A.D. Instability of a periodic boundary layer in a stratified fluid // J. Fluid Mech., 1975, V. 68, Pt. 1, P. 41 48.

90. Scase M.M., Dalziel S.B. Internal wave fields and drag generated by a translating body in a stratified fluid // J. Fluid Mech., 2004, V. 498, P. 289 313.

91. Scorer R.S. Cloud investigation by satellite. Ellis Horwood Ltd. 1986.

92. Standing R.G. The Rayleigh problem for a slightly diffusive density-stratified fluid // J. Fluid Mech. 1971. V. 48. # 4. P. 673 678.

93. Sutherland B.R., Linden P.F. Internal wave excitation by a vertically oscillating elliptical cylinder// Phys. Fluids, 2002, V. 14, No 2, P.721 -731.

94. Sutherland B.R., Linden P.F. Internal wave excitation by a vertically oscillating elliptic cylinder// Physics of Fluids. 2002. V. 14, No. 2. P. 721-739.

95. Thompson L., Johnson G.C. Abyssal currents generated by diffusion and geothermal heating over rises // Deep-Sea Res. 1996. V. 46. # 2. P. 193 211.

96. Thorpe S.A. The dynamics of the boundary layers of a deep ocean // Sci. Prog. (Oxford). 1988. V. 72. P. 189-206.

97. Veronis G. Analogous behaviour of homogeneous, rotating fluids and stratified, non-rotating fluids // Tellus. 1967. V. 19. P. 326.

98. Voisin B. Internal wave generation in uniformly stratified fluids. Part 1. Green's function and point sources // J. Fluid Mech. 1991b. V. 231. P. 439-480.

99. Woods A.W. Boundary-driven mixing // J. Fluid Mech. 1991. V. 226. P. 625 654.

100. Wunsch C. On oceanic boundary mixing // Deep-Sea Res. 1970, V. 17, P. 293 301.

101. Yih-Ho Pao Laminar flow of a stably stratified fluid past a flat plate // J. Fluid Mech., 1968, V. 34, Pt. 4, P. 795 -808.