Обратные задачи спектрального анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Великих, Альфия Салиховна

• Великих, Альфия Салиховна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Великих, Альфия Салиховна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1 Вспомогательные утверждения

2 Решение обратных задач спектрального анализа

2.1 Восстановление потенциала в обратной задаче для оператора Штурма-Лиувилля по смеси двух спектров

2.2 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике,

по части спектра

2.3 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике,

по спектру

2.4 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на параллелепипеде,

2.5 Восстановлении потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на параллелепипеде,

по части спектра (продолжение)

2.6 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на п-мерном параллелепипеде, по части спектра

3 Устойчивость решений обратных задач спектрального анализа

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи спектрального анализа»

Введение

Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления оператора по его спектральным характеристикам. К таким характеристикам относятся спектральная функция, спектры, заданные при различных краевых условиях и другие (см. [2], [22], [28]).

Теория обратных задач играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет множество приложений в естествознании, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. В то же время, многие важные классы обратных задач, в силу их сложности, изучены недостаточно или совсем не изучены.

Центральное место в исследовании указанных задач занимают

проблемы существования, единственности, устойчивости, а также создание "эффективных" методов их решения. Что касается проблемы существования, то до настоящего времени нет критериев глобального решения этого вопроса. Имеется ряд теорем существования в малом для так называемых обратных задач для тела, близкого к данному, но даже в этом случае задачи не были полностью решены, что связано со значительными трудностями в исследовании уравнений, как правило, нелинейных, к которым сводятся эти задачи. Поэтому во многих случаях заранее предполагают существование глобальных решений этих задач и исследуют проблемы единственности и устойчивости. Следует заметить, что, вообще говоря, многие обратные задачи имеют не единственное решение. Поэтому одним из основных моментов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий, накладываемых на решения, обеспечивающих их единственность. Трудность проблемы единственности состоит в том, что, как правило, указанные задачи эквивалентны нелинейным интегральным уравнениям первого рода с ядрами типа Урысона, для которых не удается применить известные

методы решений. С проблемой единственности тесно связана проблема устойчивости обратных задач. Для этих задач, записанных в виде уравнений первого рода, вообще говоря, сколько угодно малым вариациям правой части могут соответствовать конечные вариации решений. Для того, чтобы задача стала корректной, требуется накладывать ряд дополнительных ограничений о характере решений. Во многих случаях для выяснения устойчивости важно иметь различные характеристики отклонения решений в зависимости от отклонения правой части.

Наиболее полные результаты в теории обратных задач известны для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля

= ~У" + я(х)у (1)

Обратные задачи для дифференциальных операторов (1) исследовались в работах В.А.Амбарцумяна, Г.Борга, М.Г.Гасымова, И.М.Гель-фанда, М.Г.Крейна, Б.М.Левитана, Н.Левинсона, В.А.Марченко, Ф.С.Рофе-Бекетова, В.А.Садовничего, А.Н.Тйхонова, Л.Д.Фаддеева и других.

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А.Амбар-

цумяну (1929г.). Он показал, что если собственные значения крае-

вой задачи

Ly = Xy (qeC[0, тг]), У'{ 0) = 2/'(тг) = 0

суть Лк = к2, к > 0, то q = 0. Однако, результат В.А.Амбарцумяна является исключением и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения дифферециального оператора (1). Впоследствии Г.Борг (1946г.) доказал,что два спектра {A¿J}, к > 0, j = 1,2 краевых задач для дифференциального оператора (1) на конечном интервале с распадающимися краевыми условиями вида

Щу) = Hjy'(0) + h¿y(0) - 0, V(y) ее у(Т) = 0,

¥=0

щ h н2 h2

однозначно определяют потенциал q(x). Н.Левинсон (1949г.) предло-

жил иной метод доказательства результатов Г.Борга.

Исследование разрешимости классической обратной задачи по двум спектрам с указанием достаточных условий проведено в работе [19] Б.М.Левитана и М.Г.Гасымова. Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.

Рассмотрим классическую задачу Штурма-Л иу вил ля

-у" + ч{х)У = Ху (0 < х < 7г), < у'(0)-ку(0) = 0, у'(тг) + Ну (к) = О, где д(ж) —действительные.

Пусть {Ап} и {дп} — две последовательности чисел, удовлетворяющих условиям:

1. Числа Хп и цп перемеЖаются, т.е.

Ао < Но < А1 < /¿1 <X2<H2<...

или

//о < А0 < /¿1 < Ах < /Л2 < Х2 < —

2. Выполняются асимптотические формулы

у п п6 ^п4''

У п п6 ^П4'

где

1 1 } «о = -{^1 + я + 2 У

о

о

поэтому а'0-ао = -—(/12-^1) 0- Тогда при выполнении этих условий существуют абсолютно непрерывная функция q{x) и числа /г15 /г2, и Я такие, что {Л„} есть спектр задачи

-у" + д(х)у = Ху (0 < х < 7г),

< У'{0)-М0) = 0, ^(7Г)+Я2/(7Г)=0,

а {//„} — спектр задачи

-у" + я(х)у = Ху (0 < х < 7г),

< у'(0)-/122/(0) = О, у'(тг) +Ну (тг) = 0,

В общем случае одного спектра недостаточно для восстановления оператора. Обратная задача разрешима по одному спектру, например, в классе симметричных потенциалов. При этом предполагается, что спектр возмущенного оператора мало уклоняется от спектра основного оператора, порядок которого выше второго. Тогда в достаточно малом шаре ||д||2 < е существует единственный потенциал такой, что спектр возмущенного оператора совпадает с заданной по-

следовательностыо чисел. Вне указанного шара могут существовать и другие решения.

В теории обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков известны результаты Р.Билса, П.Дейфта, З.Л. Лей-бензона, Л.А.Сахновича, В.В.Суханова, К.Томей, И.Г.Хачатряна, В.А.Юрко и др. В [21] З.Л.Лейбензон предложил метод решения обратной задачи, пригодный для операторов любого порядка п > 2. При этом оказалось, что в случае п > 2 для восстановления оператора недостаточно спектральных данных одной задачи и требуется рассмотрение некоторой вспомогательной системы задач.

Обратными задачами в смысле теории дифференциальных уравнений занимался А.И.Прилепко (см.[23]).

Обширная библиография посвящена обратным задачам для уравнений с частными производными и их приложениям. Это направление в теории обратных задач достаточно полно отражено в работах Ю.Е.Аниконова, Ю.М.Березанского, А.Л.Бухгейма, М.М.Лаврентьева, Л.П.Нижника, В.Г.Романова и др.

В [25] В.А.Садовничий и В.В.Дубровский доказали теорему един-

ственности решения обратной задачи для абстрактных операторов только по одному спектру и при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к оператору Лапласа, заданному на прямоугольнике с потенциалом из Ь2. К этой работе по

v

своей тематике и методам примыкает [5]. Здесь сформулированы условия, при которых может быть восстановлен потенциал в классе ограниченных по максимуму функций. В [12], [14] В.В.Дубровский и А.В.Нагорный разработали метод восстановления потенциала и доказали его единственность. Результаты этих работ можно сформулировать следующим образом.

Рассмотрим в ¿2(П) краевую задачу:

/

77 = А/,

<

/ 1вп= О,

где Т = -А — оператор Лапласа, дП^ — граница прямоугольника

Qp1

П2 = {(%,у) • О < х < а, 0 < у < Ь}, (-р- — квадратическая иррацио-

оо

нальность). Введем оператор ТР = J \ЧЕ(Х) ( Е(А) — спектральное

о

разложение единицы, порожденное оператором Т) и обозначим через vtmn (i, m, п = 1,2,...) его собственные ортонормированные функции, отвечающие собственным значениям А¿топ, расположенным в

порядке возрастания.

n n

Если ß > 0, £ d-[l <00 (dt = ппп|А* - Лв|) и £ - Л<| <Ce(N< к=1 *=i

00), то в замкнутом шаре £7(0,6:) = {р(х,у) : ||р||оо < £} существует один и только один потенциал, удовлетворяющий условиям

р(а-х,у)=р(х,у)=р(х,Ь-у), (х,у)е П,

/[ р(х, у) cos 2™Xdxdy = J J p(x, у) cos IlE^Ldxdy = 0,

П П

и такой, что числа являются собственными значениями оператора

+ -Р (Р — оператор умножения на ре C(Uiß), Il1ß = {(х,у) : 0 <

а „ ч

ж <2, 0 < г/ < 2})•

Если же ß > 2,5, то для последовательности чисел

6 — \»m + + ßn + 7mn

такой, что

00 ОО 1 ОО 1

( Е l«m|2 + Е \ßn\2Y < ¿1, ( Е \1тп?У < ¿2,

m=l п=1 т,п— 1

где ¿1 = 62 = 62(е) в шаре U(0,e) = {р(х,у) : ||р||2 < е} суще-

ствует и притом единственный потенциал, удовлетворяющий условиям

р(а -х,у)= р(х, у) = р(х, Ъ-у), (ж, у) е П,

и р(х,у)<1х<1у = О,

п

и такой, что числа & являются собственными значениями оператора + Р (Р — оператор умножения на р е ^(П)). В [6] В.В.Дубровский сформулировал и доказал теорему о возможности восстановления потенциала из ^(П) по собственным числам четырех краевых задач

Т/ = Л/, / 1«п= 0;

1)

2)

Т! = л/, -о

где г» — внешняя нормаль к границе <9П прямоугольника П;

Г/ = А/,

з) /0,0) = /0,6) = 0, 0 < ж < а, = у), 0 < г/ < 6;

4)

Tf = А/,

/(0,у) = /(а,г/)=0, 0 <?/<&,

Ы дf

= 0 < ж < а.

Для доказательства этой теоремы используются методы работ [12], [14].

В [13] исследуется устойчивость решений обратных задач, полученных в [12], [14], [25].

Вторая глава диссертации посвящена решению обратной задачи для оператора Штурма-Л иу вил ля по смеси спектров двух краевых задач, а также степени оператора Лапласа, заданного на различных множествах, с потенциалом из Ьр по одному спектру. При решении используется метод сжимающего оператора. Доказана возможность восстановления потенциала как по всему спектру, так и по некоторой его части, конечной или бесконечной, в соответствующем классе потенциалов. В последнем параграфе исследуется устойчивость всех полученных решений.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Решена обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля по смеси (произвольному объединению) спектров двух краевых задач, полученной следующим образом: к-тый член этой последовательности является либо к-ым членом последовательности собствен-

ных значений задачи Дирихле, расположенных в порядке возрастания, либо &-ым членом аналогичной последовательности собственных значений задачи Неймана. При этом вычисляется размер шара, в котором существует единственное решение.

2. Решена обратная задача для степени операторана Лапласа, заданного либо на прямоугольнике, либо на трехмерном параллелепипеде, либо на п-мерном параллелепипеде, с потенциалом из Ьр по части спектра или по всему спектру. Размер шара также вычисляется.

3. Исследована проблема устойчивости решений обратных задач с потенциалом из определенного класса.

Основные результаты настоящей работы опубликованы в [7], [8],

[9].

Результаты настоящей диссертации докладывались на VII Бело- русской математической конференции, на 9-й Саратовской зимней школе, а также на научно-исследовательских семинарах В.А.Садов-ничего, А.И.Прилепко, В.Е.Подольского, С.А.Степина, Т.С.Типенко, В.В.Дубровского.

1 Вспомогательные утверждения

В этом параграфе приведем формулировки теорем, которые понадобятся нам в дальнейшем.

1 1

Теорема 1.1 (Хаусдорфа-Юнга) Пусть 2 <р < оо и - + — = 1,

(I) Предположим, что /(ж) е 1у(0, 27т) и что

1 2тг

¡(х)е-^Чх (п = 0,±1, ±2,...); (1)

о

тогда

1 27Г 1 о

(II) Пусть задана любая бесконечная в обе стороны последовательность {сп} комплексных чисел таких, что \\с\\р> < оо; тогда существует функция / е 27т), для которой имеет место (1) и

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Великих, Альфия Салиховна, 1999 год

Литература

[1] Баранова Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для одного класса задач с параметром в краевых условиях //Дифференциальные уравнения.- 1972.- Т.8.- N12.- С.2130-2139.

[2] Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции.- Изв.АН СССР, сер. мат.- 1951.- Т.15.- С.309-360.

[3] Гельфонд А.О. Алгебраические и трансцендентные числа.- М.-1952.

[4] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы.- М.: Мир,- 1974.-Т.З.

[5] Дубровский В.В. Теорема существования в обратной задаче спектрального анализа //Дифференциальные уравнения.- 1997.-Т.ЗЗ.- N12.- С.1702-1703.

[6] Дубровский В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям разных задач //УМН.- 1997.- С.155-156.

[7] Дубровский В.В., Великих A.C. Теорема о существовании и единственности решения обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля //Фундаментальная и прикладная математика.- 1998.- Т.4.- N2.- С.535-541.

[8] Дубровский В.В., Великих A.C. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа //Электромагнитные волны и электронные системы.- 1998.- N5.- С.6-9.

[9] Великих A.C. Теорема о восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лапласа, заданного на параллелепипеде.- Рукопись деп.в ВИНИТИ.-26.05.98.- N1602-B98.

[10] Великих A.C. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа. //Фундаментальные и прикладные исследования: Сб. научных трудов препод, и аспир. Магнитогорского госпединститута./Под ред. В.А.Кузнецова. - Магнитогорск: МГПИ, 1997. - С.45 - 52,

[11] Дубровский В.В., Великих A.C. Теорема о восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа для оператора Штурма-Лиувилля. //Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. - Уфа: Институт математики и ВЦ, 1996. - ТА. - С.50 - 55.

[12] Дубровский В.В., Нагорный A.B. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом //Дифференциальные уравнения.- 1990.- Т.26. - N9.- С.1563-1567.

[13] Дубровский В.В., Нагорный A.B. Устойчивость решения обратных задач //Дифференциальные уравнения.- 1992.- Т.28.- N5.-С.839-843.

[14] Дубровский В.В., Нагорный A.B. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из Ь2 //Дифференциальные уравнения.- 1992. - Т.28.- N9.- С.1552-1561.

[15] Зигмунд А. Тригонометрические ряды,- М,; Мир.- 1965.- Т.1.

[16] Зигмунд А. Тригонометрические ряды.- М.: Мир.- 1965.- Т.2.

[17] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.- М. : ГТТИ.- 1933

[18] Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля.- М.: Наука.-1984.

[19] Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам.- УМН.- 1964.- Т.19.- N2(116).- С.З-

63.

[20] Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака.- М.: Наука.- 1988.

[21] Лейбензон З.Л. Тр.Моск. матем.об-ва.- 1966.- Т.15.- С.70-144.

[22] Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова думка.- 1977.

[23] Прилепко А.И.К теории обратных задач обобщенных потенциалов: Автореф. дис. док. физ.-мат. наук.- Новосибирск,1968.

[24] Садовничий В.А. Теорема единственности решения обратной задачи спектрального анализа в случае дифференциального ура-

внения с периодическими граничными условиями //Дифференциального уравнения.- 1973.- Т.9.- N2. - С.271-277.

[25] Садовничий В.А., ДубровскийВ.В. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром //Дифференциальные уравнения.- 1979.-Т.15.- N7. - С.1206-1211.

[26] Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка.- М.-ИЛ.- 1961.- Т.2.

[27] Ткхонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.- ДАН СССР.-1943. - Т.39.- N5.- С.195-198.

[28] Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.-УМН. - 1959,- Т.Н.- N4.- С.57-119.

[29] Хачатрян И.Г. О восстановлении дифференциального оператора по спектру //Функциональный анализ и его приложения.- 1976.-Т.Ю.- N1,- С.93-94.

[30] Schmidt W.M. On,simultaneous approximations of two algebraic numbers by rationale.//Acta mathematical 1967.- B.119.- N12.-P.27-50 (русск. пер. : Математика.- 1971.- T.15.- N3.- C.3-26).