Обратные и нелокальные задачи для вырожденных эволюционных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Иванова, Наталья Дмитриевна

• Иванова, Наталья Дмитриевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Иванова, Наталья Дмитриевна

Содержание

Введение

Актуальность темы исследования

Степень разработанности темы исследования

Цели и задачи

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Краткое содержание диссертации

1 Нелинейные обратные задачи

для вырожденных эволюционных уравнений

1.1 Невырожденные обратные задачи

1.2 Прямая задача для вырожденного уравнения

1.3 Обобщенное решение нелинейной обратной задачи

1.4 Классическое решение нелинейной обратной задачи

1.5 Нелинейная обратная задача для уравнений с многочленами от эллиптических операторов

1.6 Нелинейная обратная задача для системы Соболева

1.7 Нелинейная обратная задача для линеаризованной системы Осколкова

1.8 Обратная задача для нелинейной системы уравнений Осколкова

2 Линейные обратные задачи

с переопределением на подпространстве вырождения

2.1 Линейная обратная задача для вырожденного эволюционного

уравнения

2.2 Обратная задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля

2.3 Линейная обратная задача с вырождением

для линеаризованной системы Осколкова

3 Нелокальные по времени задачи

3.1 Нелокальные задачи для однородного невырожденного уравнения

3.2 Задача для неоднородного невырожденного уравнения

3.3 Нелокальная задача для вырожденного уравнения

3.4 Нелокальная по времени задача для уравнения Дзекцера

3.5 Нелокальная по времени задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля

3.6 Нелокальная задача на полуоси

для вырожденного эволюционного уравнения

3.7 Нелокальная на временной полуоси краевая задача

для уравнений с многочленами от оператора Лапласа

Заключение

Список обозначений и соглашений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные и нелокальные задачи для вырожденных эволюционных уравнений»

Введение

Актуальность темы исследования

В диссертационной работе представлены результаты исследования разрешимости обратных (линейных и нелинейных) и нелокальных по времени (на полуоси и отрезке) задач для вырожденных эволюционных уравнений. Под вырожденными эволюционными понимаются такие уравнения и системы уравнений, вообще говоря, в частных производных, которые, будучи формализованными в виде уравнений для функций одной выделенной (эволюционной) переменной со значениями в банаховом пространстве (пространстве функций остальных переменных), имеют оператор при старшей производной, обладающий нетривиальным ядром. Задачи такого типа встречаются во многих прикладных областях современной науки и техники, интенсивное исследование которых в значительной мере обусловлено проблемами практики. Тем самым, имеется необходимость в разработке математического аппарата для исследования таких задач. Вопросы существования и единственности решения, которым посвящена данная работа, являются одними из главных вопросов теории дифференциальных уравнений, как правило, лежащими в основе любых других исследований, связанных с соответствующими задачами.

Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучении свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полу-

ченные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно назвать обратными.

Другой класс задач, исследуемый в данной диссертационной работе, — нелокальные по времени задачи с условием, которое связывает значения неизвестной функции в различные моменты времени. Они возникают, например, при моделировании различных физических, химических и других процессов, когда невозможно определить начальное состояние системы: распространения радионуклидов в жидкости Стокса [85], диффузии и течения в пористых средах [68,80]. Хорошо известно о тесной связи нелокальных задач, называемых также задачами прогноз-наблюдения [37], с обратными задачами, называемыми иногда задачами прогноз-управления — см. по этому поводу [20,24,32,37,78].

Степень разработанности темы исследования

Пусть X, 2) и Я - банаховы пространства, операторы Ь Е (ли-

нейный и непрерывный, действующий из X в 2)), кет Ь ф- {0}, М Е С1(Х;2)) (линейный и замкнутый, с плотной областью определения Ди в X, действующий в %}), N : [0,Т] х X х Я 2), Ф е £(3£;Я), заданы Ф : [0,Т] Я, хо Е X. Рассмотрим соотношения

Ы(г) = Мх{г) + «(£)), £е[0,Т], (0.0.1)

х(0) = х0, (0.0.2)

Фж(£) = Ф(£), ¿<Е[0,Т]. (0.0.3)

Нелинейной эволюционной обратной задачей будем называть задачу отыскания из соотношений (0.0.1)—(0.0.3) пары функций х Е С([0,Т];Х) и и Е С([0,Т];Я) (обобщенное решение), либо ж е С^О,Т];£) п С([0,Т];Пм) и и Е С!([0,Т];Я) (классическое решение).

В случае N{t,x{t),u(t)) = Вфи{г) +2/(0, где В : [0,Т] -> С{Я;ф), у : [0, Т) —> 2), имеем линейное вырожденное эволюционное уравнение

ь±{г) = Мх(ь) + в(г)и(г) + у{г), г е [о,т]. (0.0.4)

Задачу (0.0.2)-(0.0.4) будем называть линейной эволюционной обратной задачей.

Помимо условия Коши (0.0.2) в данной работе используется также обобщенное условие Шоуолтера

Рх{ 0) = то,

где Р — проектор на фазовое пространство линейного однородного уравнения Ьх{1) = Мх(Ь), ядро которого содержит в частности ядро кет Ь оператора Ь, но, вообще говоря, не совпадает с ним. Такое начальное условие позволяет избежать весьма обременительных условий согласования начального значения с другими данными задачи и в приложениях является более естественным.

Условие (0.0.3) и, соответственно, обратная задача (0.0.1)—(0.0.3) возникают естественным образом, например, когда для определения неизвестного параметра и во внешнем источнике задается условие переопределения

п

где П — область, в которой происходит процесс, или

при фиксированном (см. по этому поводу [81]).

Заметим, что уравнения вида (0.0.1), (0.0.4), не разрешимые относительно производной, являются абстрактной формой уравнений в частных производных, не разрешимых относительно производных по выделенной переменной, как правило, по времени, нередко встречающихся при математическом моделировании различных реальных процессов [3,28,70,86]. Часто такие уравнения называются уравнениями соболевского типа [3,28] (не обязательно в случае кег Ь ф {0}, но даже в случае нелинейного оператора Ь — см. [28]).

Линейные обратные задачи (0.0.2)-(0.0.4) для вырожденных эволюционных уравнений с постоянным по времени неизвестным элементом и € Я рассматривались в работах В. Е. Федорова и А. В. Уразаевой [46,47,71]. Для

случая переменного с переопределением на фазовом пространстве однородного вырожденного линейного уравнения эта задача исследована в [56]. Отметим также близкие по предмету исследования работы А. И. Кожаио-ва [23,25,78], касающиеся вырожденных эволюционных уравнении, а также уравнений составного типа, работы Н. Н. Абашеевой [1,62], охватывающие класс уравнений с переменным направлением времени, А. Еаут1, А. Ьогем!, М. А1 Ногат [64,69], в которых рассматривается вырожденное эволюционное уравнение с минимальным подпространством вырождения, совпадающим с кег£, работы С. Г. Пяткова [60], А. Ш. Любановой [29,30,79] с соавторами о различных обратных задачах для пседопараболических уравнений, как правило, не являющихся вырожденными в смысле нашего определения.

Однозначная разрешимость нелинейной обратной задачи (0.0.1)—(0.0.3) в смысле обобщенных и в смысле классических решений в случае, когда X — 2), Ь — I — тождественный оператор, исследована в монографии А. И. При-лепко, Д. Г. Орловского, И. А. Васина [81]. Здесь же приведены многочисленные приложения и иллюстрации общих результатов. Отметим также монографии С. И. Кабанихина [17], Ю. Я. Белова [65] и другие работы, касающиеся обратных задач для уравнений и систем уравнений, разрешенных относительно производной по времени [72,73,82-84].

Рассмотрим уравнение

где А — линейный оператор, порождающий в банаховом пространстве X сильно непрерывную полугруппу класса Со [57], / £ С([0, +оо); X). Классической задачей, рассматриваемой для такого уравнения, является задача Коши

которую можно назвать одноточечной задачей. Методами теории полугрупп операторов доказано существование и единственность решения однородной (/ = 0) [57] и неоднородной (см., например, [31]) задачи Коши (0.0.6) для уравнения (0.0.5).

= Аф)+ /(£), ¿>0,

(0.0.5)

ж(0) = х0,

(0.0.6)

В работах [5,61] исследовалась двухточечная краевая задача

оя;(0) - х(Т) = х0. (0.0.7)

Естественным обобщением задач (0.0.6), (0.0.7) является нелокальная задача вида

т

ж(г)ф(г) = х0, (0.0.8)

о

где ¡л — функция ограниченной вариации. В частности, если

то задача (0.0.8) совпадает с задачей Коши (0.0.6), а если

< а,

I

0, ¿ = 0;

0 < * < Т; -1, * = Г,

то с двухточечной задачей (0.0.7). В случае, когда А порождает аналитическую полугруппу, задачу (0.0.8) исследовал Э. А. Штейнвиль (см. обзор [26], с. 170-171).

Различные модификации условия (0.0.8), а также более сложные варианты нелокального по времени условия как для уравнения вида (0.0.5) и близких к нему эволюционных уравнений в абстрактных банаховых пространствах, так и для соответствующих уравнений и систем уравнений в частных производных, рассматривались в работах А. А. Керефова [18,19], В. В. Шелухина [58,59], А. И. Кожанова [21,22] и многих других авторов (см. [45,63,66,67] и ссылки в них).

В работе И.В. Тихонова [42] исчерпывающим образом исследована единственность решения задачи (0.0.5), (0.0.8) при самых общих предположениях относительно оператора А. Получен критерий единственности решения в терминах взаимного расположения собственных значений оператора А и нулей характеристической функции задачи.

В работах [41,43] рассмотрена задача (0.0.8) для однородного уравнения (0.0.5) в случае, когда = т}(р)(И, Т = +оо, т. е. нелокальное условие

имеет вид

оо

J х(г)ф)(И = х0, (0.0.9)

о

где весовая функция ^(¿) считается измеримой и локально суммируемой на полупрямой [0, +оо). При различных условиях на функцию г) в случае экспоненциального убывания порождаемой оператором А Со-непрерывной полугруппы получены необходимые и достаточные условия существования, единственности и устойчивости классического и обобщенного решения задачи (0.0.5), (0.0.9) при / = 0. При этом ключевым условием является отсутствие среди точек спектра а (А) оператора А нулей характеристической функции задачи (0.0.9). В случае периодической функции т] показано [43], что для однородного уравнения (0.0.5) задача с условием (0.0.9) эквивалентна задаче с условием

г

J х(г)ф)<и = х0. (о.о.ю)

о

Разрешимость задачи (0.0.5), (0.0.8) с ограниченным оператором А € £{Э£) и задачи (0.0.8) для уравнения

Ьх{£) = Мх{£) + /(£), г > 0, (0.0.11)

в случае (£,р)-ограниченного оператора М исследовалась в работе [38].

В работе [42] критерий единственности решения задачи (0.0.8) для уравнения (0.0.11) доказан при условии лишь замкнутости операторов Ь и М в случае, когда точки £ = 0 и £ = Т являются точками вариации меры

Цели и задачи исследования

Основная цель данной работы — исследование вопросов существования и единственности решения нелинейной обратной задачи (0.0.1)—(0.0.3), линейной обратной задачи (0.0.2)-(0.0.4) в случае, когда условие переопределения

(0.0.3) задано на подпространстве вырождения уравнения (0.0.4), а также нелокальной по времени задачи на отрезке (0.0.10) для неоднородного линейного вырожденного эволюционного уравнения (0.0.11) и нелокальной на временной полуоси задачи (0.0.9) для соответствующего однородного линейного вырожденного эволюционного уравнения. Иначе говоря, работа посвящена получению необходимых, а для нелокальных задач — и достаточных условий существования решения и его единственности для перечисленных задач, а также, кроме случая нелинейной обратной задачи, — получению оценок устойчивости решений.

Полученные в данной работе условия однозначной разрешимости задач для уравнений в банаховых пространствах должны иметь достаточно простой вид для того, чтобы быть использованными при рассмотрении конкретных обратных и нелокальных задач для уравнений и систем уравнений, описывающих различные физические процессы. Общность результатов должна позволять их использовать для целых классов нелокальных по времени и обратных задач, в которых при этом искомая вектор-функция и(£) может иметь различные интерпретации — числовая функция или вектор функция, зависящая только от временной переменной t или от временной и пространственных переменных (¿, в) = (¿, вь в2> • • • ? ПРИ этом условие переопределения может иметь вид интегрального по 6' = (¿>1, ¿>2,..., $п) или точечного в точке — (з10, ¿20) • • ч зп0) переопределения и др.

В частности, полученные при исследовании нелинейной обратной задачи и нелокальной по времени задач условия существования единственного решения использованы для установления однозначной разрешимости соответствующих краевых задач для класса уравнений с операторами Ь — Рп(А), М = С^т(А), представляющими собой многочлены от эллиптического по пространственным переменным самосопряженного оператора А с ограниченным справа спектром. Этот класс включает в себя некоторые уравнения теории фильтрации, теории полупроводников.

Также на основании найденных условий однозначной разрешимости

нелинейной обратной задачи приведены условия существования и единственности решения нелинейных обратных задач для системы Осколкова, описывающей течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка [33], для системы уравнений Соболева [40], моделирующей при некоторых дополнительных предположениях динамику малых колебаний идеальной несжимаемой жидкости, вращающейся относительно вертикальной оси. Переопределение в этих задачах задается на вектор-функции скорости.

С помощью абстрактных результатов исследования линейной обратной задачи с переопределением на вырожденной части эволюционного уравнения получены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи с переопределением на градиенте давления для линеаризованной системы уравнений Осколкова и оценки его устойчивости.

Для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля [35,36], описывающей в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода, в случае одномерной фазовой функции исследованы линейная обратная задача с переопределением на подпространстве вырождения и нелокальная на временной полуоси задача.

Научная новизна

Основными результатами дайной диссертационной работы являются теоремы о разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений (0.0.1) и (0.0.4) и нелокальных на отрезке или полуоси задач для уравнения (0.0.4) при кег Ь ф {0}. Для линейных задач полученные результаты сопровождены выведением оценок устойчивости решений. При этом предполагается выполнение условия сильной (Ь,р)~ радиальности оператора М. Это условие, в частности, гарантирует существование вырожденной сильно непрерывной разрешающей полугруппы однородного уравнения

ь±(г) = Мх(г). (0.0.12)

Отметим, что обратные задачи для вырожденных эволюционных уравнений общего вида в банаховых пространствах ранее, по-видимому, рассматривались только в работах В. Е. Федорова и А. В. Уразаевой [46,47,56,71] и в работах А. Рачат с соавторами [64,69]. Однако в первом случае рассматривались линейные задачи либо с неизвестным элементом и, не зависящим от времени, либо предполагалось, что оператор переопределения Ф не зависит от элементов ядра проектора Р на фазовое пространство однородного уравнения (0.0.12). В работах [64,69] рассматривались лишь некоторые задачи, в которых кег Р = кег Ь. В данной же работе неизвестный элемент и зависит от времени, в случае линейных задач оператор переопределения ф не зависит от элементов ядра проектора I — Р, а условие сильной (Ь, р)-радпалыюсти оператора М допускает равенство кег Р = кег Ь лишь в частном случае р = 0, в общей же ситуации кег Р I) кег Ь.

Нелокальные задачи для вырожденных эволюционных уравнений рассматривались лишь в простейшем случае задания нелокального условия на отрезке для весьма узкого класса уравнений с (£,р)-ограннченным оператором М [38]. Поэтому все полученные результаты для гораздо более широкого класса уравнений (0.0.4) с сильно (Д р)-радиальным оператором М являются новыми. Кроме того, новыми являются также аналогичные результаты для неоднородного невырожденного уравнения (0.0.5), полученные в данной работе.

Все полученные абстрактные результаты являются новыми, они позволяют исследовать не изученные ранее обратные и нелокальные задачи для различных уравнений и систем уравнений математической физики, не разрешенных относительно производной по выделенной переменной.

Теоретическая и практическая значимость работы

В настоящее время в связи с возрастанием интереса к широкому спектру задач практики, требующих решения в различных областях науки и техники, необходим развитый математический аппарат. Рассматриваемые в данной

диссертационной работе абстрактные обратные и нелокальные задачи имеют модельные интерпретации, важные с практической точки зрения, описывающие ряд процессов и явлений в гидродинамике и теории фильтрации, теории фазового поля, теории потенциала, встречающихся в медицине (какие-либо изменения внутренних органов), геофизике (исследование месторождений полезных ископаемых), неразрушающем контроле (скрытое нарушение структуры при дефектоскопии) и других многочисленных практических областях естествознания [3,4,28,33,86]. С математической точки зрения необходимо доказательство существования и единственности решений соответствующих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных. Для задач, заданных на временной полуоси, важна также оценка устойчивости их решений, позволяющая судить об их поведении на больших промежутках времени и соотносить его с наблюдаемыми измерениями. Тем самым изначальная теоретическая значимость работы, имеющей теоретический характер, тесно переплетается с практической значимостью.

Методология и методы исследования

При исследовании обратных и нелокальных задач для вырожденных эволюционных уравнений (0.0.1) и (0.0.4) предполагается, что оператор М является сильно (1/,р)-радиальным, другими словами, пара операторов Ь, М порождает вырожденную сильно непрерывную полугруппу [48,49,86]. Это позволяет методами теории вырожденных полугрупп операторов редуцировать исходную задачу к задаче для системы уравнений для двух проекций функции состояния, принимающих значения во взаимно дополнительных подпространствах З;1 и 36°, первое из которых является фазовым пространством соответствующего линейного однородного уравнения и совпадает с образом единицы Р разрешающей полугруппы, а другое подпространство является ядром единицы и представляет собой подпространство вырождения уравнения — максимальное подпространство в X, на котором исходное вырожденное эволюционное уравнение принципиально неразрешимо относительно произ-

водной x(t). Эта система уравнений в общем случае имеет вид v(t) = LîlM\v{t) + LïlQN{t, v(t) + w(t),u(t)), Hw(t) = w(t) + Mç\l - Q)N{t,v(t)+w(t),u(t)),

где v(t) = Px{t), w = (/ - P)x{t), Lk = L\xk, Mk = M|^ndomjV/, к = 0,1, Я = M^Lo, Q — проектор на пространстве %), также определяемый операторами L и М. При некоторых предположениях на оператор N и оператор переопределения Ф из условия (0.0.3) исходная обратная задача сводится к обратной задаче для одного из полученных уравнений и прямой задаче для другого уравнения, которую можно решить после разрешения обратной задачи. При этом существенную роль играет нильпотентность оператора H, а в нелинейном случае используются результаты монографии А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, И. А. Васина [81] о разрешимости нелинейной обратной задачи для первого из уравнений, разрешенного относительно производной.

В случае нелокальной задачи каждое из получаемых таким образом уравнений

v{t) = L^MlV(t) + Lj'Qfit),

Hw(t) = w(t) + Mô\l~Q)f(t)

решается отдельно. При этом в доказательствах существенными являются результаты и идеи работ И. В. Тихонова [41-43].

Результаты о разрешимости обратных и нелокальных задач для вырожденных эволюционных уравнений в банаховых пространствах в диссертационной работе используются для изучения обратных и нелокальных по времени задач для уравнений и систем уравнений, не разрешимых относительно производной по времени. Для этого строится редукция соответствующей начально-краевой задачи для уравнения или системы уравнений в частных производных к абстрактной задаче в банаховом пространстве. Преимущество такого подхода состоит в том, что всякая абстрактная задача со специальным образом подобранными условиями на операторы L, M, N, Ф представляет собой абстрактную форму целого ряда начально-краевых задач для уравнений

и систем уравнений в частных производных. Это позволяет «исследовать не деревья в лесу, а лес в целом» [28].

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены условия однозначной разрешимости нелинейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения в банаховом пространстве. Результаты использованы при исследовании задач идентификации для уравнений с многочленами от эллиптических операторов, системы Соболева, системы уравнений динамики вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта.

2. Получены теоремы об однозначной разрешимости и оценках устойчивости решений линейной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения с переопределением на подпространстве вырождения. Общие результаты использованы для исследования задач с неопределенными коэффициентами для квазистационарной системы уравнений фазового поля, для линеаризованной системы Осколкова.

3. Доказаны теоремы о существовании единственного решения нелокальной на временной полуоси задачи для линейного однородного вырожденного эволюционного уравнения, найдены оценки устойчивости решений. С помощью полученных результатов изучены нелокальные задачи для уравнений с многочленами от оператора Лапласа.

4. Получены условия однозначной разрешимости нелокальной на временном отрезке задачи для линейного неоднородного вырожденного эволюционного уравнения, выведены оценки устойчивости решений. Результаты использованы при исследовании нелокальных по времени задач для уравнения свободной поверхности фильтрующейся жидкости, для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены математической строгостью методов исследования, корректным использованием математического аппарата.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М. М. Лавреньева «Обратные и некорректные задачи математической физики», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2012 г.; Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Башкирский государственный университет, г. Уфа, 2012 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2013 г.; Международная конференция «Semigroups of Operators: Theory and Applications», Центр математических исследований и конференций Института математики Польской академии наук, Польша, г. Познань, 2013 г.; Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2014 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2014 г. Обсуждение диссертации проводилось также на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров). Тезисы докладов опубликованы в [6,8-14,51,75-77].

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7,15,16, 52,53,74], среди которых [53,74] включены в Перечень научных журналов ВАК Минобрнауки России. Все результаты, изложенные в диссертации, автор получил лично. В совместных работах с научным руководителем В. Е. Фе-

дорову принадлежат постановка задачи и общее руководство проводимыми исследованиями. К. М. Комаровой и Ю. Ю. Федоровой принадлежат частные результаты работ [16] и [53] соответственно, не включенные в данную диссертацию.

Краткое содержание диссертации

Структура диссертационной работы включает в себя введение, три главы, заключение, список обозначений и соглашений и список литературы. Список литературы, возможно, не полный: он отражает лишь личные предпочтения автора работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показана степень разработанности выбранной тематики, сформулированы цели и задачи работы, доказана научная новизна, приведены методология и методы исследования. Также в данной части работы сформулированы положения, выносимые на защиту, степень достоверности и апробация результатов диссертационной работы.

В первой главе представлены результаты исследования нелинейных обратных задач для вырожденных эволюционных уравнений и систем таких уравнений. Первый и второй параграфы содержат в себе предварительные сведения, которые используются при доказательстве основных результатов диссертационной работы. В первом параграфе представлены полученынные в монографии А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, И. А. Васина [81] результаты об однозначной локальной разрешимости нелинейных обратных задач для уравнений, разрешенных относительно производной по времени. Второй параграф содержит полученные В. Е. Федоровым методами теории вырожденных полугрупп операторов [48,49] условия существования и единственности решения задачи Коши и задачи Шоуолтера (в которой начальное условие задано не для всего решения, а лишь для его проекции на образ единицы разрешающей полугруппы) для вырожденного эволюционного уравнения. В третьем и четвертом параграфах приведено доказательство теорем суще-

ствования и единственности локальных обобщенных и классических решений соответственно — основных абстрактных результатов третьей главы, использованных далее при рассмотрении нелинейных обратных задач для некоторых уравнений и систем уравнений в частных производных. В пятом параграфе показана разрешимость нелинейной обратной задачи для уравнений с многочленами от эллиптических операторов. Шестой параграф посвящен исследованию разрешимости нелинейной обратной задачи для системы Соболева. В седьмом параграфе показано существование единственного решения одной обратной задачи для линеаризованной системы Осколкова, моделирующей в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта. Условия существования и единственности локального решения обратной задачи для нелинейной системы уравнений Осколкова показаны в восьмом параграфе данной главы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванова, Наталья Дмитриевна, 2015 год

Список литературы

[1] Аниконов, Ю. Е. Обратные задачи для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аниконов, Н. Л. Абашеева, Н. Б. Аюпова, А. И. Кожанов, М. В. Нещадим, И. Р. Валитов // (Итоговый научный отчет по междисциплинарному интеграционному проекту СО РАН: "Разработка теории и вычислительной технологии решения обратных и экстремальных задач с приложением в математической физике и гравимагниторазведке"), Сибирские электронные математические известия. — 2008. — Вып.5. — С. 549-580.

[2] Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях те- ории фильтрации в трещинноватых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов Ю.П., И. Н. Кочина // Прикл. математика и механика. — 1960. — Т. 24, № 5. — С. 58-73.

[3] Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998.

[4] Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е. С. Дзекцер // ДАН СССР. —1972. - № 202. -С. 1031-1033.

[5] Иванов, В. К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В. К. Иванов, И. В. Мельникова, А. И. Филинков. — М. : Наука, 1995.

[6] Иванова, Н. Д. Нелинейная задача идентификации для вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. док л. 4-9 июля 2014 г. — М. : МИАН. — 2014. — С. 70-71.

[7] Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для одного класса вырожденных эволюционных уравнений / Н. Д. Иванова // Физико-математические науки и образование: материалы Всероссийской научно-практической конференции 7-8 ноября 2012. — Магнитогорск: МаГУ. — 2012. - С. 81-83.

[8] Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для системы уравнений Соболева / Н. Д. Иванова // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тез. докл. Междунар. шк.-копф. для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. — 2012. — С.212.

[9] Иванова, Н. Д. Обратная задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с вырождением / Н. Д. Иванова // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений [Текст] : междунар. конф., посвящ. 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева, Новосибирск, 18-24 авг. 2013 г.: тез. докл. — Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева. — 2013. — С. 143.

[10] Иванова, Н. Д. Обратная задача для сильно вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Междунар. науч. конф., Белгород, 26-31 мая 2013 г. - Белгород: ИПК НИУ «БелГУ». - 2013. - С. 86-87.

[11] Иванова, Н. Д. Устойчивость решения одной обратной задачи для вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тез. докл. Четвертой Междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. - М. : РУДН. - 2013. - С. 419.

[12] Иванова, Н. Д. Эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа с переопределением на ядре оператора при производной /

Н. Д. Иванова // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. Межд. конф., посвящ. 80-летиго со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. Новосибирск: Сибирское научное издательство. - 2012. - С. 374-375.

[13] Иванова, Н. Д. Nonlinear inverse problem for a linearized Oskolkov system / H. Д. Иванова // Нелинейные уравнения и комплексный анализ [Текст]: тез. докл. Междунар. конф. Уфа, 18-22 марта 2013 г. — Уфа: РАН, Ин-т математики с вычислит, центром УНЦ РАН. — 2013. — С. 26.

[14] Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для вырожденного эволюционного уравнения / Н. Д. Иванова, В. Е. Федоров // VII Международная конференция по математическому моделированию: тез.докл. Якутск: Северо-Восточный федеральный университет. — 2014. — С. 42-43.

[15] Иванова, Н. Д. Один класс обратных задач для вырожденного эволюционного уравнения с переопределением на ядре разрешающей полугруппы / Н. Д. Иванова, В. Е. Федоров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: материалы междунар. конф. Воронеж: Издательско-полиграфический центр «Научная книга». — 2014. — С. 150— 153.

[16] Иванова, Н. Д. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения / Н. Д. Иванова, В. Е. Федоров, К. М. Комарова // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2012. - Вып. 13, № 26 (280). - С. 50-71.

[17] Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. — Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.

[18] Керефов, А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений / А. А. Керефов // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 1. - С. 74-78.

[19] Керефов, А. А. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Стеклова / А. А. Керефов, М. X. Шхануков-Лафишев, Р. С. Кулиев // Неклассические уравнения математической физики: Тр. семинара, посвященного 60-летию проф. В. Н. Врагова. - 2005. - С. 152-159.

[20] Кожанов, А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А. И. Кожанов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.

[21] Кожанов, А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений / А. И. Кожанов // Сиб. журн. индустр. математики. — 2004. — Т. 7, № 1 (17). — С. 51-60.

[22] Кожанов, А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера / А. И. Кожанов // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 6. — С. 763-774.

[23] Кожанов, А. И. О разрешимости коэффициентных обратных задач для некоторых уравнений соболевского типа / А. И. Кожанов // Науч. ведомости Белгород, гос. ун-та. Математика. Физика. — 2010. — № 5, вып. 18. — С. 88-98.

[24] Кожанов, А. И. О разрешимости некоторых нелокальных и связанных с ними обратных задач для параболических уравнений / А. И. Кожанов // Мат. заметки СВФУ. — 2011. — Т. 18, № 2. — С. 64-78.

[25] Кожанов, А. И. Линейные обратные задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа / А. И. Кожанов // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2012. — № 5 (264). - Вып. 11. — С. 33-42.

[26] Крейн, С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн, М. И. Хазан // Мат. анализ. Итоги науки и техники. М. : ВИНИТИ АН СССР. - 1983. - Т. 21. - С. 130-264.

[27] Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. — М. : Физматлит, 1961.

[28] Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М.: Физматлит, 2007.

[29] Любанова, А. Ш. Идентификация коэффициента в старшем члене псевдопараболического уравнения типа фильтрации / А. Ш. Любанова // Сиб. мат. журн. - 2013. - Т. 54, № 6. - С. 1315-1330.

[30] Любанова, А. Ш. Обратная задача для псевдопараболического уравнения с интегральными условиями переопределения / А. Ш. Любанова // Дифферснц. уравнения. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 505-515.

[31] Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизоха-та. — М. : Мир, 1977.

[32] Нахушев, А. М. Нагруженные уравнения и их прменение / А. М. Наху-шев // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. — С. 86-94.

[33] Осколков, А. П. Начально краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина - Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

[34] Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 3744.

[35] Плотников, П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, A.B. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.

[36] Плотников, П. И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П. И. Плотников, В. Н. Старовойтов // Дифферент уравнения. — 1993. — Т. 29, № 3. — С. 461-471.

[37] Прилепко, А. И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I / А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. — 2005. - Т. 41, № 11. - С. 1560-1571.

[38] Сагадеева, М. А. Нелокальная задача для уравнения соболевского типа с относительно р-ограниченным оператором / М. А. Сагадеева, // Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. — 2008. — Вып. 10, № 6 (107). - С. 54-62.

[39] Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свири-дюк // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, № 4. — С. 47-74.

[40] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.

[41] Тихонов, И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве / И. В. Тихонов // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 6. — С. 841843.

[42] Тихонов, И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений / И. В. Тихонов // Изв. РАН. Сер. мат. - 2003. - Т. 67, № 2. - С. 133-166.

[43] Тихонов, И. В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве / И. В. Тихонов // Интегральные преобразования и специальные функции. - 2004. - Т. 4, № 1. - С. 49-69.

[44] Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. — М. : Мир, 1980.

[45] Уварова, М. В. О некоторых нелокальных краевых задачах для эволюционных уравнений / М. В. Уварова // Мат. труды. — 2010. — Т. 13, № 2. - С. 179-207.

[46] Уразаева, А. В. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. - 2008. - Выи.44. - С. 1111-1119.

[47] Уразаева, А. В. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Мат. заметки. — 2009. - Т.85, вып. 3. - С. 440-450.

[48] Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, № 3. — С. 173-200.

[49] Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 2. - С. 426-448.

[50] Федоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестник Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2009. — Вып. 11, №20 (158). - С. 12-19.

[51] Федоров, В. Е. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова /

B. Е. Федоров, Н. Д. Иванова // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: тез. Третьей междунар. молодежной науч. шк.-конф. Новосибирск: Сибирское научное издательство. — 2012. —

C. 72.

[52] Федоров, В. Е. Нелинейная эволюционная обратная задача для некоторых уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, Н. Д. Иванова // Сибирские электронные мат. известия. Т. 8. Труды второй международной школы-конференции. Ч. I. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». — 2011. — С. 363-378. (http://semr.math.nsc.ru/v8/cl82-410.pdf)

[53] Федоров, В.Е. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений / В. Е. Федоров, Н. Д. Иванова, Ю. Ю. Федорова // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55, № 4. — С. 882-897.

[54] Федоров, В. Е. О разрешимости возмущенных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, О. А. Рузакова // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, вып. 4. - С. 189-217.

[55] Федоров, В.Е. Обратная задача для одного класса сингулярных линейных операторно-дифференциальных уравнений / В.Е. Федоров, A.B. Уразаева // Тр. Воронежск. зимн. мат. шк. Воронеж: ВГУ. — 2004. - С. 161-172.

[56] Федоров, В. Е. Линейная эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, А. В. Уразаева // Неклассические уравнения математической физики. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. — С. 293-310.

[57] Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липе. — М. : Иностр. лит., 1962.

[58] Шелухин, В. В. Вариационный принцип в нелокальных по времени задачах для линейных эволюционных уравнений / В. В. Шелухин // Сиб. мат. журн. - 1993. - Т. 34, № 2. - С. 191-207.

[59] Шелухин, В. В. Нелокальная по времени задача для уравнений динамики баротропного океана / В. В. Шелухин // Сиб. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 3. - С. 701-724.

[60] Шергин, С. Н. О некоторых классах обратных задач для псевдопараболических уравнений / С. Н. Шергин, С. Г. Пятков // Мат. заметки СВФУ. - 2014. - Т. 21, № 2 (21). - С. 106-116.

[61] Эйдельман, Ю. С. Двухточечная краевая задача для дифференциального уравнения с параметром / Ю. С. Эйдельман // Докл. АН Укр. ССР. Сер. А. - 1983. - № 4. - С. 15-18.

[62] Abasheeva, N. L. Determination of a right-hand side term in an operatordifferential equation of mixed type / N. L. Abasheeva //J. Inv. Ill-Posed Problems. - 2002. - Vol. 10, № 6. - P. 547-560.

[63] Agarwal, R. P. Linear and nonlinear nonlocal boundary value problems for differential-operator equations / R. P. Agarwal, M. Bochner, V. B. Shakhmurov // Appl. Anal. - 2006. - V. 85, № 6-7. - P. 701-719.

[64] A1 Horani, M. An identification problem for first-order degenerate differential equations / M. A1 Horani, A. Favini // J. of Optimization Theory and Applications. - 2006. — Vol. 130. - P. 41-60.

[65] Belov, Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations / Yu. Ya. Belov. — Utrecht: VSP, 2002.

[66] Byszewski, L. Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space / L. Byszewski, V. Lakshmikantham // Appl. Anal. - 1991. - Vol. 40, № 1. - P. 11-19.

[67] Chabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation / J. Chabrowski // Funkcial. Ekvac. Ser. Int. — 1984. — Vol. 27, № 1. - P. 101-123.

[68] Ewing, R. E. Finite volume element approximations for nonlocal reactive flows in porous media / R. E. Ewing, R. D. Lazarov, Y. Lin // Numer. Meth. PDE's. - 2000. - Vol.16. - P. 285-311.

[69] Favini, A. Differential Equations. Inverse and Direct Problems / A. Favini, A. Lorenzi. — Taylor and Francis Group, LLC, 2006.

[70] Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. — Marcel Dekker, New York, 1999.

[71] Fedorov, V. E. An inverse problem for linear Sobolev type equations /V. E. Fedorov, A. V. Urazaeva //J. Inv. Ill-Posed Problems. — 2004. - Vol. 12. - P. 387-396.

[72] Isakov, V. Inverse problems for partial differential equations / V. Isakov. — Berlin: Springer-Verl., 2006. — (Appl. Math. Sci.; V. 127).

[73] Ivanchov, M. Inverse problems for equations of parabolic type / M. Ivanchov. — Lviv: VNTL Publ., 2003. — (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

[74] Ivan ova, N. D. Inverse problem for a linearized quasi-stationary phase field model with the degeneracy / N. D. Ivanova // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2013. — Т. 6, № 2. - С. 128-132.

[75] Ivanova, N. D. Inverse problem for a degenerate evolution equation / N. D. Ivanova // Semigroups of Operators: Theory and Applications. Book of abstracts. Bedlewo, Poland, October 6-11. - IMPAN. - 2013. - P. 49-50. (http://bcc.impan.pl/13Semigroups/uploads/news/SOTA-abstracts.pdf)

[76] Ivanova, N. D. Nonlinear inverse problem for a class of partial differential equations / N. D. Ivanova // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез. докл. Междунар. конф. Памяти A.M. Ильина, Банное, Россия,

17-21 марта 2014 г. — Челябинск: Издательство Челябинского государственного университета. — 2014. — С. 23-25.

[77] Ivanova, N. D. Nonlinear Inverse Problem for Sobolev Type Equations / N. D. Ivanova // Abstracts of 5th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (Academic Exchange Center, Nan-Yang Hotel, Xi'an Jiaotong University, Xi'an, China, August 4-9, 2014). — Xi'an Jiaotong University. — 2014. — P. 54.

[78] Kozhanov, A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov / Utrecht : VSP, 1999.

[79] Lyubanova, A. S. An inverse problem for pseudoparabolic equation of filtration: the Stabilization / A. S. Lyubanova, A. Tani // Applicable Analysis. - 2013. - Vol. 92, no. 3. - P. 573-585.

[80] Pao, С. V. Reaction diffusion equations with nonlocal boundary and nonlocal initial conditions / С. V. Pao //J. Math. Anal. Appl. - 1995. — Vol. 195. P. 702-718.

[81] Prilepko, A. I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. — New York, Basel: Marcel Dekker Inc., 2000.

[82] Pyatkov, S. G. On some classes of inverse problems for parabolic equations / S. G. Pyatkov // J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2011. - Vol. 18, no. 8. -P. 917-934.

[83] Pyatkov, S. G. On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations / S. G. Pyatkov, M. L. Samkov // Sib. Adv. Math. — 2012. - Vol. 22, no. 4. - P. 287—302.

[84] Pyatkov, S. G. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations / S. G. Pyatkov, B. N. Tsybikov // J. Evol. Equations. — 2011. — Vol. 11, no. 1. - P. 155-186.

[85] Shelukhin, V. V. A nonlocal in time model for radionuclides propagation in Stokes fluid, dinamics of fluids with free boundaries / V. V. Shelukhin // Inst, of Hydrodynam. - 1993. - Vol. 107. - P. 180-193.

[86] Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston: VSP, 2003. - 216+vii p.