Обратная задача спектрального анализа для интегральных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Бутерин, Сергей Александрович

• Бутерин, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бутерин, Сергей Александрович

Введение

Глава

Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки первого порядка

1.1. Вспомогательные утверждения

1.2. Основное нелинейное интегральное уравнение

1.3. Решение обратной задачи

Глава

Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки высших порядков

2.1. Одномерное возмущение оператора свертки второго порядка

2.2. Одномерное возмущение оператора свертки порядка п >

2.3. Случай негладкого возмущения

Глава

Восстановление одномерного возмущения

3.1. Вспомогательные утверждения

3.2. Решение обратной задачи

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратная задача спектрального анализа для интегральных операторов»

Обратные задачи спектрального анализа заключаются в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют много приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Исследование обратных спектральных задач обычно связано с тремя основными этапами:

1) выяснение того, какие спектральные данные однозначно определяют оператор, и доказательство соответствующих теорем единственности;

2) конструктивное решение обратной задачи: разработка метода решения и построение алгоритма восстановления оператора по рассматриваемым спектральным данным;

3) нахождение характеристических свойств рассматриваемых спектральных данных, получение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач известны для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля

-У" + ЯМУ- (1)

Обратные задачи для оператора (1) исследовались в работах В.А. Ам-барцумяна, Г. Борга, М.Г. Гасымова, И.М. Гельфанда, М.Г. Крейна, Н. Левинсона, Б.М. Левитана, В.А. Марченко, Ф.С. Рофе-Бекетова, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других авторов (см. [1 - 17] и литературу в них).

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбар-цумяну [1]. Он показал, что, если собственные значения краевой задачи

-у" + q(x)y = Ху, з/;(0) = у'{ тг) = 0 суть Ак = к2, к > О, то q = 0. Однако результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения оператора (1). Первое основательное исследование восстановления оператора (1) по спектральной информации было предпринято шведским математиком Г. Боргом [2]. Он доказал, что два спектра дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с одним общим краевым условием однозначно определяют функцию q. Н. Левинсон [7] предложил иной метод доказательства результата Г. Борга. Он ввел новый тип спектральных данных, показав, что с точки зрения обратной задачи задание спектров двух краевых задач эквивалентно заданию одного спектра и значений собственных функций в конце интервала (собственные функции предполагаются нормированными в другом конце интервала). Будем называть эти значения коэффициентами Левинсона.

Важную роль в спектральной теории дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратных задач оператор преобразования первым применил В.А. Марченко [10, 11], показав, что оператор (1), заданный на полуоси или конечном интервале, однозначно определяется заданием своей спектральной функции. Аппарат операторов преобразования применялся также И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в их фундаментальной работе [4], где были получены необходимые и достаточные условия и метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции.

Много приложений теории решения обратных задач связано с дифференциальными операторами высших порядков вида п> 2. (2) к=0

В сравнении с оператором Штурма-Лиувилля, обратные задачи для оператора (2) оказались значительно более трудными для исследования. В частности, метод оператора преобразования оказался неэффективным при исследовании этого класса обратных задач.

Более эффективным и универсальным методом в теории решения обратных спектральных задач является метод спектральных отображений (см. [18 - 22]), связанный с идеями метода контурного интеграла. Н. Левинсон [7] первым применил метод контурного интеграла к исследованию обратных задач для оператора (1). Развивая идеи Н. Левинсона, З.Л. Лейбензон [23, 24] исследовал обратную задачу для оператора (2) на конечном интервале при условии " разделенности" спектра. При этом вместо операторов преобразования использовались специальные отображения пространств решений дифференциальных уравнений. Полное решение обратной задачи для операторов вида (2) в случаях конечного отрезка и полуоси получено в работах В.А. Юрко [19 - 22, 25 - 30]. В качестве основной спектральной характеристики здесь была использована так называемая матрица Вейля, являющаяся обобщением классической функции Вейля для самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля. Отметим, что к обратным задачам по функции или матрице Вейля сводятся все вышеупомянутые обратные задачи. Метод спектральных отображений также используется при решении обратной задачи для пучков дифференциальных операторов [31]. Полное решение обратной задачи для операторов вида (2) в случае оси получено в работах R. Beals, P. Deift, С. Tomei, X. Zhou [18, 32 - 35].

Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных. Здесь следует отметить работы Ю.Е. Аниконова, Ю.М. Березанского, А.Л. Бухгейма, И.А. Васина, A.M. Денисова, В.В. Дубровского, В. Исакова, С.Н. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, Р.Г. Ньютона, Л.П. Нижника, Д.Г. Орловского, А.И. При-лепко, В.Г. Романова, В.А. Садовничего и других авторов (см. [36 -48] и литературу в них).

Все вышесказанное относится к обратным задачам для так называемых локальных операторов. То есть когда функция-образ в каждой точке х зависит от функции-прообраза только в сколь угодно малой окрестности точки ж, и краевые условия накладываются только в концах интервала. Существенно более трудными для исследования являются обратные задачи для нелокальных операторов. Сюда, в частности, относятся обратные задачи для дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями [49], для дифференциальных уравнений с запаздыванием [50], интегро-дифференциальных [51 - 55] и интегральных [56] операторов. Для этих классов обратных задач общая теория еше не построена, а имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины. Исследованию одного из таких классов и посвящена данная диссертация. Ш

В диссертации исследуются обратные задачи спектрального анализа для одномерного возмущения интегрального вольтеррова оператора А = A(M,g,v) вида

Af = £ Мt)f(t) dt + д(х) j* f(t)v(t) dt, 0 < х < тт. (3)

Как известно, обратный оператор к дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля является частным случаем такого оператора. Более того, обратные операторы к дифференциальным и интегро-диф-ференциальным операторам Вольтерра высших порядков, заданным на отрезке [0, тг] с распадающимися краевыми условиями, из которых только одно задано в точке 7Г, также имеют вид (3). Более общим краевым условиям соответствует конечномерное возмущение. Характеристические числа оператора А совпадают с собственными значениями оператора А-1, если последний существует. Для краткости совокупность характеристических чисел будем называть спектром.

Основные результаты, связанные с прямыми задачами для конечномерных возмущений вольтерровых операторов, получены А.П. Хромовым [57] и его учениками. Что касается обратных задач, то единственная известная автору работа в этом направлении принадлежит В. А. Юрко [56]. В ней решается обратная задача восстановления функций д(х), v(x) при известной M(x,t) по характеристическим числам и коэффициентам Левинсона оператора A(M,g,v) вида (3). Кроме того, показана связь с обратной задачей для оператора Штурма-Лиувилля. В [56] требуется, чтобы М(х, t) была функцией Грина интегро-дифференциального оператора Коши первого порядка. То есть обратным к оператору

Mf = JQXM(x,t)f(t)dt (4) является интегро-дифференциальный оператор первого порядка. Это позволяет привлечь аппарат операторов преобразования.

Основной целью настоящей работы является решение обратной задачи восстановления вольтерровой компоненты оператора А по его спектру в предположении, что функции д(х), v(x) известны априори. Заметим, что в общем случае решение этой задачи неединственно. Но как показано в данной работе, если функция M(x,t) зависит только от разности аргументов, то есть М является оператором свертки, и

Af = J* М(х - t)f(t) dt + д(х) j* f(t)v(t) dt, (5) то при некоторых дополнительных условиях на оператор А задания спектра достаточно для однозначного определения функции М{х).

Центральным местом здесь является вывод и исследование так называемого основного нелинейного интегрального уравнения вида

ОО / pj* \ тг - х)Н(х) = ф) + £ (K{x)Hw{x) + f Bv{x, t)H*v(t) dt) , v=\ v J0 J (6)

0 < £ < 7Г, относительно функции H(x), которая определенным образом связана с функцией М(х). Здесь Н*1(х) — Н(х),

Н*и(х) = JJ Н(х - t)H*^~l\t) dt.

В диссертации доказана глобальная разрешимость нелинейных уравнений вида (6), что позволило получить алгоритм восстановления функции М(х) вместе с необходимыми и достаточными условиями разрешимости обратной задачи. Важным моментом является выявление согласования спектра с функциями д(х), v(x).

Сначала изучается случай, когда обратный к оператору М как и в [56] является интегро-дифференциальным оператором первого порядка. Далее, полученные результаты распространяются на случай, когда М{х — t) является функцией Грина для интегро-дифференциального оператора Коши высших порядков.

В дальнейшем для краткости будем говорить, что оператор А вида (3) и оператор М вида (4) имеют порядок п, если М(х, t) является функцией Грина для интегро-дифференциального оператора Коши п -го порядка, то есть когда dv dxl

M(x,t) d n—1 t=x

Ф 0t=X 0, i/ = 0, n — 2, t)

В частности, если M(x,t) = M(x — t), и

0) = 0, г/ = 0,п — 2, М(п-1)(0) ф 0, то оператор М называется оператором свертки порядка п. Остановимся кратко на содержании работы.

В главе 1 изучается восстановление функции М{х) в случае, когда оператор А имеет первый порядок. В параграфе 1.1 устанавливается ряд вспомогательных утверждений, которые потребуются впоследствии для решения обратной задачи. В частности, здесь подготавливается почва для вывода основного нелинейного интегрального уравнения (6), выводу и решению которого посвящен параграф 1.2. Сложность решения уравнения (6) связана с нелинейностью его правой части и наличием при неизвестной функции множителя (тг — х), обращающегося в нуль в конце интервала. В параграфе 1.2 доказываются утверждения, с помощью которых указанные трудности преодолеваются. В параграфе 1.3 дается решение обратной задачи. Доказана теорема единственности и получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вместе с алгоритмом восстановления функции М(х). Необходимые и достаточные условия формулируются в терминах асимптотики спектра. Также в параграфе 1.3 исследуется обратная задача восстановления функции М(х) по неполной спектральной информации.

В главе 2 изучается восстановление функции М(х) в случае операторов высших порядков. Здесь важную роль играет теорема J1.A. Сахновича [58] об извлечении корня из оператора. Она, в частности, позволяет использовать результаты первой главы. Параграф 2.1 посвящен случаю п — 2, для которого получены результаты аналогичные тем, что имеют место для первого порядка. В параграфе 2.2 рассмотрен сушественно более сложный случай п > 2, когда сформулировать необходимые и достаточные условия в терминах асимптотики спектра не представляется возможным. Здесь также получена теорема единственности и алгоритм решения обратной задачи вместе с необходимыми и достаточными условиями ее разрешимости. Последние даются в терминах характеристической функции. Отметим, что для вывода уравнения (6) существенными оказываются диффе-ренцируемость функций д(х), v(x) и условие

Р(ОМтг) ф 0. (7)

В параграфе 2.3 рассматривается более общий случай, когда функции д(х), v(x) € 1/2(0,7г) и удовлетворяют некоторому условию, обобщающему условие (7). При этих предположениях доказывается теорема единственности решения обратной задачи в случае п > 1. Здесь используется иная идея нежели для случая гладких д{х), v(x), позволяющая свести доказательство теоремы единственности к применению теоремы Е. Титчмарша о свертке.

В главе 3 рассматривается оператор вида (3) второго порядка, и исследуется обратная задача восстановления функций д(х), v(x) по спектру и коэффициентам Левинсона оператора A(M,g,v) в предположении, что функция M(x,t) известна априори. Доказана единственность решения этой обратной задачи, получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости, и указан алгоритм восстановления функций д(х), v(x). Отметим, что используемые здесь спектральные характеристики обобщают данные, по которым однозначно восстанавливается оператор Штурма-Лиувилля. В параграфе 3.1 доказываются вспомогательные утверждения. В параграфе 3.2 дается постановка обратной задачи, и приводится ее решение.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [59 - 64].

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору В.А. Юрко за предложенную тему и поддержку в ходе исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бутерин, Сергей Александрович, 2003 год

1. Ambarzumian V.A. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f. Phys. - 1929. - Vol. 53. - P. 690-695.

2. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertauf-gabe // Acta Math. 1946. - Vol. 78. - P. 1-96.

3. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам j j УМН. 1964. - Т. 19, N 2. - С. 3-63.

4. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР. Сер. матем. 1951. - Т. 15. - С. 309-360.

5. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. - Т. 76, N 1. - С. 21-24.

6. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. 1954. - Т. 94, N 6. - С. 987-990.

7. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr.- 1949. Vol. 13. - P. 25-30.

8. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

9. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

10. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1950. - Т. 72, N 3.- С. 457-460.

11. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва. 1952. - Т. 1. - С. 327-420.

12. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наукова Думка, 1972.

13. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.

14. Рофе-Бекетов Ф.С. Спектральная матрица и обратная задача Штурма-Лиувилля на оси // Теория функций, функц. анализ и их приложения. Харьков, 1967. - Вып. 4. - С. 189-197.

15. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. - Т. 69, N 6. - С. 797-800.

16. Фаддеев Л.Д. О связи S-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1958. - Т. 121, N 1. -С. 63-66.

17. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова. 1964. - Т. 73. -С. 314-336.

18. Beals R., Deift P., Tomei С. Direct and Inverse Scattering on the Line. Math. Surveys and Monographs, v. 28. Amer. Math. Soc. Providence: RI, 1988.

19. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов. Саратов: Изд-во СГУ, 1989.

20. Yurko V.A. Inverse Spectral Problems for Differential Operators and Their Applications. Analytical Methods and Special Functions, v. 2.- Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 2000.

21. Yurko V. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

22. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения.- Саратов: Изд-во СПИ, 2001.

23. Лейбензон З.Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды Моск. ма-тем о-ва. 1966. - Т. 15. - С. 70-144.

24. Лейбензон З.Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды Моск. матем о-ва. 1971. - Т. 25. - С. 15-58.

25. Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков // Диф. уравнения. 1989. - Т. 25, N 9. - С. 1540-1550.

26. Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов по матрице Вейля // ДАН СССР. 1990. - Т. 313, N 6. - С. 1368-1372.

27. Юрко В.А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Мат. сб. 1991.- Т. 182, N 3. С. 431-456.

28. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов на полуоси // Изв. ВУЗов. Математика. 1991. - N 12. - С. 67-76.

29. Юрко В.А. Обратная задача для самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Доклады РАН. 1993. - Т. 333, N 4. - С. 449-451.

30. Юрко В.А. Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Мат. заметки. 1995. - Т. 57, N 3. -С. 451-462.

31. Юрко В.А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Мат. сб. 2000. - Т. 191, N 10. - С. 137-160.

32. Deift P. and Zhou X. Direct and inverse scattering on the line with arbitrary singularities // Comm. Pure Appl. Math. 1991. - Vol. 44, no. 5. - P. 485-533.

33. Zhou X. Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities // Comm. Pure Appl. Math. 1989. - Vol. 42, no. 7 . - P. 895-938.

34. Zhou X. Inverse scattering transform for systems with rational spectral dependence // J. Diff. Eq. 1995. - Vol. 115, no. 2. - P. 277-303.

35. Zhou X. L2-Sobolev space bijectivity of the scattering and inverse scattering transforms // Comm. Pure Appl. Math. 1998. - Vol. 51, no. 7. - P. 697-731.

36. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.

37. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Тр. Моск. матем. о-ва. 1958. - Т. 7. - С. 3-51.

38. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

39. Denisov A.M. Elements of the Theory of IPs. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 1999.

40. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Некоторые свойства операторов с дискретным спектром // Диф. уравнения. 1979. - Т. 15, N 7. - С. 1206-1211.

41. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. -New-York: Springer-Verlag, 1998.

42. Кабаыихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

43. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969.

44. Newton R.G. Inverse Schrodinger Scattering in Three Dimentions. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, 1989.

45. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. Киев: Наукова думка, 1991.

46. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. -New-York: Marcel Dekker, 2000.

47. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М: Наука, 1984.

48. Romanov V.G., Kabanikhin S.I. Inverse Problems for Maxwell's Equations. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 1994.

49. Кравченко К.В. О дифференциальных операторах с нелокальными краевыми условиями // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, N 4. -С. 464-469.

50. Pikula М. On the determination of a differential equation with variable delay // Math. Montisnigri. 1996. - Vol. 6. - P. 71-91.

51. Еремин M.C. Обратная задача для интегро-дифференциальных уравнений второго порядка с особенностью // Диф. уравнения. -1988. Т. 24, N 2. - С. 350-351.

52. Курышова Ю.В. Об одной обратной задаче для интегро-диф-ференциальных операторов. Саратов, 2001. - 47 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.08.2001 N 1835-В2001.

53. Маламуд М.М. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на конечном интервале // Труды Моск. матем. о-ва. 1998. - Т. 60. - С. 199-258.

54. Юрко В.А. Обратная задача для интегро-дифференциалъных операторов первого порядка // Функц. анализ. Ульяновск, 1984. -Вып. 22. - С. 144-151.

55. Юрко В.А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов // Мат. заметки. 1991. - Т. 50, N 5. - С. 134-146.

56. Юрко В.А. Обратная задача для интегральных операторов // Мат. заметки. 1985. - Т. 37, N 5. - С. 690-701.

57. Хромов А.П. Конечномерные возмущения волътерровых операторов. Автореф. докт. диссерт. // Мат. заметки. 1974. - Т. 16, N 4. - С. 669-680.

58. Сахнович J1.A. Спектральный анализ операторов вида Kf = f0x f(t)k(x -t)dt И Изв. АН СССР. 1958. - Т. 22. - С. 299-308.

59. Бутерин С.А. Обратная задача для одномерного возмущения интегральных вольтерровских операторов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. - С. 36-37.

60. Buterin S.A. Reconstruction of the one-dimentional perturbation of the convolution operator // Functional Analysis and its Applications. Lviv: Lviv Univ. Press, 2002. - P. 48-49.

61. Бутерин С.А. О единственности восстановления одномерного возмущения оператора свертки // Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. - Вып. 4. - С. 15-18.

62. Бутерин С.А. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для одномерного возмущения оператора свертки // Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. - Вып. 5. - С. 8-10.

63. Бутерин С.А. Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки. Саратов, 2003. - 84 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.10.03 N 1754-В2003.

64. Бутерин С.А. Восстановление одномерного возмущения интегрального вольтеррова оператора. Саратов, 2003. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.10.03 N 1755-В2003.

65. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

66. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

67. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.:Наука, 1965.

68. Хромов А.П. Конечномерные возмущения волътерровых операторов в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. - Вып. 3. - С. 3-23.

69. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос-техиздат, 1956.

70. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1977.

71. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

72. Юрко В.А. О порождающих элементах операторов вида Kf = /о f(t)K(x — t)dt // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. - Вып. 3. - С. 79-102.

73. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.