Обратная задача для дискретного периодического оператора Шрёдингера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Куценко, Антон Анатольевич

• Куценко, Антон Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куценко, Антон Анатольевич

Содержание

1 Введение

1.1 Предмет исследования

1.2 Обзор литературы

1.3 Основные результаты

2 Большие по норме потенциалы

2.1 Асимптотики

2.2 Локальный изоморфизм

2.3 Глобальный изоморфизм

2.4 Большие нечётные потенциалы

2.5 Перестановки, которые сохраняют спектр

2.6 Пример N = 2

2.7 Доказательства вспомогательных утверждений

3 Малые по норме потенциалы

3.1 Асимптотики

3.2 Изоспектральное множество

3.3 Доказательства некоторых утверждений

4 Оценки

4.1 Краткое содержание

4.2 Отображение г(к, к)

4.3 Зависимость между корнями полинома и его высотами

4.4 Оценки и асимптотики

4.5 Лакуны

4.6 Оценки спектральных данных

5 Общие результаты о конформных отображениях

5.1 Конформная эквивалентность континуумов

5.2 Гомеоморфизм пространства вложенных континуумов

6 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратная задача для дискретного периодического оператора Шрёдингера»

1 Введение

1.1 Предмет исследования

Рассмотрим периодический оператор Шрёдингера (Ьду)п = уп_г + уп+1 + <7„у„, п £ у £ 12(Ъ). Здесь потенциал {<7п}^-оо есть вещественная N + 1 периодическая последовательность, <7п+лг+1 = <7п> й. Введём пространство потенциалов

УУ+1 ЛГ+1

9 = : £ Чп = о}, ||д||2 = £ & (1.1)

1 П=1

Прямая задача для данного оператора Шрёдингера состоит в нахождении спектра оператора Ьд по заданному потенциалу д. Эта задача решена достаточно давно (см. [уМ]). Что касается обратной задачи, то есть нахождения потенциалов по заданному спектру (или заданным спектральным данным), то, несмотря на большое количество работ по этой теме, полного решения до сих пор нет.

Вообще говоря, обратная задача состоит из следующих подзадач:

1) Единственность. Доказательство того, что спектральные данные однозначно определяют потенциал.

2) Описание множества спектральных данных или Характеризация.

3) Восстановление. Алгоритм, который находит потенциал по заданным спектральным данным.

4) Оценки. То есть оценки спектральных данных через потенциал.

В диссертации мы попытаемся дать ответы на некоторые вопросы обратной задачи в случае когда спектральные данные есть спектр сг(Ьч) или изоспектральные параметры Д(д), которые однозначно определяются спектром и однозначно этот спектр определяют. В нашем случае /г : Я —► Е" (см. (1.10) и (1.11)) это аналог отображения Марченко -Островского для оператора Хилла.

Мы будем изучать поведение изоспектральной функции /1:2—+ поскольку обратная задача в нашем случае фактически сводится к изучению свойств отображения между потенциалами и спектральными данными. Например, описание областей локального и глобального изоморфизма функции Н отвечает на вопрос обратной задачи, в каких случаях потенциал однозначно восстанавливается по спектру. Описание образа /1 (2) отвечает на вопрос, какие спектры вообще возможны у операторов Ьд. Наконец описание прообразов отображения Л, отвечает на вопрос обратной задачи о том, какие потенциалы имеют одинаковый спектр и сколько таких потенциалов.

Работы [ККи1-3), [Ки] на которых базируется данная диссертация являются первыми работами, посвящёнными обратной задаче для дискретного периодического оператора Шрёдингера в такой общей формулировке (пункты 1)-4) выше). В частности, даны ответы на вопросы характеризации, и описания множества потенциалов с одинаковым спектром при больших и малых по норме потенциалах. Фактически, в этих работах впервые более менее полно изучена обратная задача в случае больших и малых по норме потенциалов.

Также отметим, что для получения оценок и изучения зависимости между различными спектральными данными исследуются специальные конформные отображения, что приводит к другому классу задач, не связанных напрямую с обратными задачами. Это оценки геометрических параметров конформных отображений; взаимнооднозначное соответствие между геометрическими параметрами многосвязных областей, между которыми установлено конформное отображение; оценки аналитической ёмкости. В диссертации найдены точные двусторонние оценки геометрических параметров конформных отображений, соответствующих оператору Шрёдингера (это даёт точные двусторонние оценки спектральных данных через потенциал) и обобщены результаты о взаимнооднозначном соответствии геометрических параметров на очень широкий класс многосвязных областей.

Далее кратко приведём сведения о других обратных задачах. Существует обширная литература по скалярному оператору Хилла, включая обратную задачу. В работах [GaTrl], [КК], [К1-3], [МО] авторы показали, что отображение: {potential} —> {spectral data} есть изоморфизм. В частности это даёт единственность и характеризацию.

Существует много работ посвящённых периодической матрице Якоби (см. обзор в [Те]). Но соответствующая обратная задача для этого оператора изучена только в [BGGK], [ККи1],[К4]. Заметим, что известная работа [vM] не затрагивает в полной мере вопросы характеризации спектральных данных для периодической матрицы Якоби. Несмотря на важность обобщения результатов, касающихся непрерывных операторов, на случай дискретного одномерного оператора Шрёдингера, до сих пор не было существенных продвижений (за исключением той информации которую можно получить из результатов, касающихся периодической матрицы Якоби). Заметим, что об обратной спектральной задаче для двумерного оператора Шрёдингера существует книга [GKT].

Анализ дискретного оператора Шрёдингера даёт новые интересные задачи: 1) построить отображение q —► S (спектральные данные) и решить соответствующую обратную задачу (т.е. найти такие спектральные данные S по которым однозначно восстановится потенциал, поскольку одного спектра, как показано в диссертации, недостаточно для восстановления потенциала), 2) изучить квазимомент (вещественная часть квазимомента есть "интегральная плотность состояний") как конформное отображение, 3) получить оценки потенциала в терминах спектральных данных, 4) восстановить потенциал по спектральным данным.

Основные результаты диссертации следующие:

Если в качестве спектральных данных взять спектр оператора Lq, то потенциал восстанавливается неоднозначно. Точнее, количество больших по норме потенциалов, имеющих одинаковый спектр, в основном будет (N + 1)!; количество малых по норме нечётных потенциалов, имеющих одинаковый спектр, в основном будет

Получены асимптотики спектральных данных при больших и малых по норме потенциалах, которые позволяют восстановить потенциалы с хорошей точностью.

Получены точные двусторонние оценки нормы спектральных данных через норму потенциала.

Обобщены результаты о конформных отображениях, которые использовались в изучении данного оператора Шрёдингера.

1.2 Обзор литературы

Дискретные периодические операторы Шрёдингера являются подмножеством более общего класса операторов, так называемых периодических матриц Якоби. Однако, несмотря на то что обратную задачу для матриц Якоби можно считать решённой, имеются серьёзные трудности в решении обратной задачи для дискретного периодического оператора Шрёдингера.

Рассмотрим периодическую матрицу Якоби 3 заданную на 12{Ъ) следующим образом

Ыу)п = Яп-хУп-х + апуп+1 + Ьпуп, пеЪ, (1.2)

где ап = ап+н > 0, Ьп = Ьп+м е М есть вещественные ^-периодические последовательности, не умаляя общности можно считать, что = 0 и []а„ = 1. Вектор с = (Ь, а), где а = {ап}^=1, Ъ = {6„}^=1) будем называть потенциалом матрицы Якоби 3, а саму матрицу обозначать иногда Зс. Прямая задача для этого оператора, то есть задача о нахождении спектра по заданным а„, Ьп была решена достаточно давно и хорошо известно, что спектр 3 абсолютно непрерывный и состоит из N интервалов ап = ст„(с) = [А+_ж, А~], п = 1,..., ЛГ, где Л± = А±(с) и А£ = А+ < ЛГ ^ А+ < ... < ^ А+_г < А^. Эти интервалы разделены лакунами 7„ = 7„(с) = (А~, А+) длины \уп\ ^ 0. Если лакуны 7„ вырождаются, то есть |7„| = 0, тогда соответствующие сегменты сгп, ег„+1 сливаются. Теперь опишем, как получить эти спектральные сегменты. Определим фундаментальные решения у? = {у,»(А,с)}пе2 и 1? = {$п(А,с)}п€2 уравнения

ап-хУп-х + апУп+х + Ьпуп = Ауп, А € С, п е 2, (1.3)

с начальными условиями = = 0, = до = 1. Функция Д(А,с) = у!дг+1(А, с) + $лг(А,с) называется функцией Ляпунова для оператора 3. Функции Д, у?„ и 1?„,п ^ 1 есть полиномы по переменным (А, с) 6 С2ЛГ+1. Спектром оператора Зс будет множество а (с) = {А 6 Е : | Д(А, с)| ^ 2} и более того (-1)Я"ПД(А±, с) = 2, п = 1,..., N.

Теперь опишем краткую историю обратной задачи для периодической матрицы Якоби. По ходу описания мы будем пользоваться обозначениями, которые определили в начале этого параграфа. Одним из первых значительных продвижений в этой области был результат из [уМ]. Там говорилось, что для данной последовательности (А~(с), А+(с)}^=1 и для любой последовательности {[¿п}п=х такой что

А"(с) ^ /х„ ^ А+(с), п=1,..,ЛГ-1,

найдётся ровно 2Г различных потенциалов {с|'}£11, таких что спектр соответствующих матриц Якоби 3^ совпадает со спектром исходной матрицы Зс, то есть сг{Зс») = а{Зс) и таких что 1?лг+1(/*т с") = 0 при всех п и при всех и. При этом г определяется как число строгих попаданий цп в лакуны, то есть

г = #{п : А-(с) < Цп < А+(с)}.

Этот результат показывает, что одного спектра матрицы Якоби Зс недостаточно для восстановления потенциала с, нужно задать ещё дополнительные параметры, после чего восстановление потенциала становится возможным.

Перейдём теперь к работе [BGGKj. Здесь рассматриваются пространство потенциалов для периодической матрицы Якоби

n n

м = {с = (Ь, а) eR™ : bj = 0, aj > О, Д сц = 1} (1.4)

з=1 3=1

и изоспектральные множества

Iso(c) = {deM: a{Jd) = a(Jc)}. Вводится модельное пространство

M = {R = (Rj)fjl1},

где Rj это симметричные вещественные 2x2 матрицы с нулевым следом. Так же определяется Iso(tf) = {S е М : cr(Sj) = a(Rj), 1 ^ j ^ N— 1}. Основной результат работы [BGGK] есть существование вещественного аналитического изоморфизма Ф : М —» М, такого что Ф-1 так же вещественно-аполитично и Ф(1зо(с)) = ]5о(Ф(с)). Поскольку само пространство М и его изоспектральные множества допускают явное описание, то этот результат фактически является решением обратной задачи для периодической матрицы Якоби, которая "сведена" (с помощью нелинейного изоморфизма Ф) к задаче, имеющей простое и явное решение, но конечно вся сложность кроется в отображении Ф. Несмотря на то что отображение Ф строится достаточно непросто, оно всё же допускает представление в виде

л /ч А+(с) - А"(с) ( cos0„ smdn \ „

=---_cos0nJ, епек,

откуда там же как следствие получено, что отображение 7, которое ставит каждому потенциалу с в соответствие длины спектральных лакун оператора Jc, то есть

7 : Л/ —+ [0,+оо)"-\ 7п(с) = |7п(с)| = А+(с) - Л~(с),

является сюрьекцией на всё [0,+оо)^-1 и если 7(c) = ^(с1), то a(Jc) = a(Jc 1). То есть длины спектральных лакун являются хорошими изоспектральными параметрами, в том смысле что они однозначно определяют спектр и множество всех возможных длин спектральных лакун легко описывается (это всё [0, +oo)jV-1). В качестве замечания к данному факту говорится, что в случае оператора Хилла это хорошо известный результат (см. например [GaTr]), и в случае матрицы Якоби он так же может быть получен непосредственно, как для оператора Хилла в [GaTr 1-2], с использованием отображения между потенциалами и спектральными лакунами с выбранными специальным образом знаками.

В препринте [К4] явным образом построен изоморфизм пространства потенциалов и пространства спектральных данных, связанных с длинами спектральных лакун, при

этом дано достаточно простое доказательство. Точнее, строится отображение гр : M E2JV_2, ф(с) = {Vn(c)}f_1 для с G Ai и (обозначения, принятые выше)

Фы = - /í„, =

Ф2п = |т„ - ^l„|1/2signfelni Тп = (Л" ~Л")2, Л1п = log((-l)S"^(/ln)),

здесь /х„ есть точки Дирихле, то есть корни i?yv+i(A,c) (как в [vM]). Тогда отображение ■ф : M —► R2JV-2 есть вещественно-аналитический изоморфизм между пространством потенциалов M и пространством спектральных данных R2N~2.

В препринте [ККи] так же решена обратная задача для периодической матрицы Яко-би. Там явно строится изоморфизм между пространством потенциалов M (см. (1.4)) и пространством (это будет всё М2ЛГ-2) параметров , связанных со спектральными высотами. А именно: возьмём экстремальные точки функции Ляпунова An = А„(с) G [А~, А+], п — 1,.., N — 1, то есть

л ОО

—Д(Ап,с) = 0, —А(Ап,с)^0, (-1Г"Д(Лп,с)^2, sn = N - п.

Далее пусть ц„ = //„(с) есть нули полинома iïjv+i(Л, с), это так называемый спектр Дирихле (см. [vM]). Хорошо известно, что //„ g [А~, Л^"], гг = 1 ,..,N — 1. Определим h: M —* R2N~2 как h{c) = {/i„(c)}f_1, где hn = (Л1п,h2n) g R2 и

hin = log[(-l)s"i?^(//n, с)], Д2п = \\hn\2 - /ii„|1/2sign(An - fin). Заметим что (— l)Sni?;v(/*n) > 0. Здесь функция |ftn(c)|2,c G M, определена как

2cosh|/ín| = (—l)SnA(A„(c),c), с G M.

Тогда h : M R2N~2 есть вещественный аналитический изоморфизм. Так же получаем, что h = fl/g}^1 : M —»• [0, +oo)7V_1 есть сюрьекция на всё [0,+оо)^-1 и если Л (с) = /¿(с1), то спектры соответствующих матриц Якоби совпадают cr(Jc) = a(Jci). Таким образом спектральные высоты h, как и спектральные лакуны у (см. выше), являются 11 хорошими "изоспектральными параметрами в том смысле что они однозначно определяют спектр, и множество всех возможных спектральных высот легко описывается (это всё [0,+оо)^-1).

Отметим, что отображение h есть некоторый аналог отображения Марченко - Островского в случае непрерывных дифференциальных операторов (см. [М], [К]), и подобные изоспектральные свойства для непрерывного случая так же известны.

На самом деле между спектральными параметрами 7 и h существует непосредственная связь. Возьмём комплексную плоскость и уберём из неё N — 1 симметричных разрезов, идущих вдоль фиксированных гипербол, точнее, для любого вектора h = {K}n=i £ [0,+oo)N-1 определим область

N-1 , fïK + it 1

L{h)=C\(Jyn, уп = <z = —2 eos П7Г 1 : t G [—hn, hn] > .

n=l ^ '

Тогда, по Теореме Гильберта, существует единственное конформное отображение /(г) = г + & + 0(г~2) области на плоскость без N— 1 разреза, лежащего на вещественной оси, то есть на область вида С\и^=Г11[ап(/1), ¿>„(/1)], где ап ^ Ьп < а„+1. Значит мы можем определить отображение 1{Ь) = {/„(Л.)}^1 € [0, +оо)ЛГ~1, где /„(Л) = Ъп{К) — ап{К). Так вот оказывается что 1(Н(с)) = 7(с), то есть определённые выше изоспектральные параметры для матрицы Якоби связаны соотношением, в определении которого не участвуют никакие понятия, связанные с матрицей Якоби, только конформные отображения специального вида областей. Тем самым, если I : [0,+оо)^-1 —> [0, +оо)лг-1 есть гомеоморфизм, то из того что /г (или 7) являются " хорошими "изоспектральными параметрами (см. выше) следует, что и 7 (или /г) также являются "хорошими"изоспектральными параметрами. Ещё раз отметим, что задача о гомеоморфности I напрямую не связана с матрицей Якоби и, вообще говоря, подобные задачи имеют самостоятельный интерес.

Например в [КК] рассматривались конформные отображения из плоскости без счётного числа симметричных вертикальных разрезов, отстоящих друг от друга на расстоянии больше или равном т > 0, в плоскость без горизонтальных разрезов. Эти отображения соответствуют оператору Хилла, для которого И и 1{Ь) являются спектральными параметрами. Обозначим вектор высот вертикальных разрезов Н = {7г.п}„€2, при этом /г е и считаем, что высоты имеют знак (конформное отображение от этих зна-

ков не зависит), а вектор длин соответствующих горизонтальных разрезов обозначим 7(/г) = (7п(Л)}пе2, 7п ^ 0 и введём вектор длин разрезов "со знаком"/(/1) = {£п(/г)}пе2, где 1п = 7nsign/in. Так вот в [КК] доказано, что I : /2(2) —> 12(Ъ) есть вещественный аналитический изоморфизм.

В случае конечного числа разрезов удаётся существенно расширить класс областей для которых отображение типа I (как в примерах выше) будет гомеоморфизмом (подробнее см. в разделе "Спектральные лакуны и общие результаты о специальных конформных отображениях "следующего параграфа и главу 5 "Общие результаты о конформных отображениях"). В частности получаем гомеоморфизм в случае гиперболических разрезов (матрица Якоби). Из-за того что класс областей достаточно широкий, отображение I уже не обязано быть гладким, поэтому методы доказательства гомеоморфности будут отличаться от тех, которые были в [КК], где проводился анализ производной отображения I.

Одним из важных вопросов являются оценки спектральных данных через потенциал. В работе [КоКг] получены оценки границ спектра и суммы длин спектральных лакун для периодической матрицы Якоби. А именно, пусть °п = 1 (используем обозначения из начала этого параграфа), тогда если —Ад = А^ < О (этого всегда можно добиться добавлением константы к диагональным элементам), то

где

А~ - А+

5 = и 0 >2, дп = (ахссо8(Х~/в), агссоз(А+/я)),

а к+ достаточно непросто зависит от потенциала матрицы Якоби (в работе зависимость указана), но имеет оценки

n

О < h+ < l0g(5 + |(l/iV) ]Г М) < 2s.

n=l

Видно, что лакуны дп непосредственно связаны со спектральными лакунами уп = (Л~,Л+). К сожалению, в работе нет информации о том, насколько точны приведённые оценки.

Наконец, в работе автора [Ки] получены точные двусторонние оценки суммы длин спектральных лакун через норму потенциала. Точнее, пусть N ^ 3, с = (Ь, а) 6 М (см. (1.4)) и ||с||2 = 2||o||2 + |J6||2 (здесь ЦхЩ = l^nl2), обозначим сумму длин спектральных лакун |7| = |7(с)| = ^„^ |7„(с)|. Тогда верны оценки

™з(Ы) < ||с||2 < М3(|7|), |7| = |7(с)|,

m3(|7|) = ^Ы2, Мз(Ы) = + Ы)2,

6n равно 1, если N нечётное и равно 0, если N чётное. Оценки эти точные, то есть

„р üüfl^lU 1. г^оо; inf МЬШ-,1, г^оо.

1№=Г 1М|2 ||с|Р=г ||с||2

Так же в работе [Ки] получены и точные оценки нормы спектральных высот \\h\\ через норму потенциала ||с||2 для периодической матрицы Якоби (подробнее см. начало Главы "Оценки"Теорему 4.2 и замечание после Предложения 4.3). Используя эти оценки можно получить точные оценки для дискретного, периодического оператора Шрёдингера, что и сделано в Теореме 1.7.

Теперь приведём некоторые оценки из [L]. Эта работа посвящена дискретному периодическому оператору Шрёдингера, то есть все ai = ... = а^ = 1, что будем обозначать а = 10. Пусть и (с) = sup nbn — infn bn для потенциала с = (1о,Ь), тогда мера Лебега спектра оператора Jc (напомним, что мы используем обозначения принятые в начале этого параграфа) оценивается снизу как

|а(с)| = |а(10,Ь)|>

(2 +и)*"1'

Там же получена асимптотика длины спектра дискретного периодического оператора Шрёдингера, при больших по норме потенциалах

\а(10,г1Ь)\=О(711-т), 77-00,

где

га = тщ{с/(п)}, й(п) = тах{^' — к: ] > к, Ь^ =Ьк = Ьп, Ь1 ф Ьп, V; > I > к}.

Вообще плоскости = i ф ] являются "особыми"плоскостями для оператора Шрё-диигера, так в данной диссертации показано, что окрестности этих плоскостей при больших по норме потенциалах Ь сосредоточены границы раздела областей глобального изоморфизма изоспектральной функции к, подробнее см. замечание после Теоремы (1.4).

В работе [уМо] получены асимптотики спектра оператора Шрёдингера при больших и малых потенциалах (метод сильно отличается от того, который использовался в данной диссертации для получения похожих асимптотик).

Теперь кратко опишем историю обратных задач для случая дифференциальных операторов, поскольку многие методы и идеи, оказавшиеся полезными в решении обратной задачи для периодической матрицы Якоби, ещё раньше применялись в решении обратных задач для дифференциальных операторов. Рассмотрим оператор Хилла

действующий в Ь2(Ж), где 6 Ь2(0,1) есть 1-периодический вещественный потенциал. Хорошо известно, что спектр оператора Т абсолютно непрерывный и состоит из интервалов

= А-},...; < А- ^ Л+ п > 1. (1.5)

Эти отрезки разделены лакунами СьС?2> •••, где <3„ = (Л~, Л+). Если лакуна вырождена, то есть Сп = 0, то соответствующие сегменты сг„,сгп+1 сливаются. Пусть £>„, п ^ 1 есть спектр Дирихле, то есть спектр уравнения

+ = Ее С, (1.6)

с граничными условиями /(0) = /(1) = 0. Хорошо известно, что Д, € [Л~, Л+].

Оператор Хилла является одним из самых простых дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. При изучении оператора Хилла возникает две тесно связанные задачи. Первая - прямая спектральная задача. Вторая - обратная задача. Исследуется зависимость потенциала от спектральных параметров, длин лакун и т. д.. В частности, восстановление потенциала по некоторому набору данных.

Одним из первых решение этих задач сделано в работе Марченко и Островского [МО]. Они ввели квазиимпульс, как конформное отображение спектральной плоскости с разрезами по длинам лакун на "гребёнку"/С, то есть на комплексную плоскость с вертикальными симметричными разрезами, проходящими через точки кратные 7г. Для взаимнооднозначного соответствия на каждом двустороннем разрезе с номером п выбиралась точка, образ точки Дирихле при конформном отображении квазиимпульса, и знак + или —. При этом получено взаимнооднозначное соответствие между этими данными и периодическим потенциалом. На этом пути удалось найти двусторонние оценки потенциала через высоты вертикальных разрезов

ЫКС(1 + МИъ |Н|1^СЫ|ехр(Л|Ы|), = вир Д„,

П<1

где Л и С некоторые абсолютные константы, и дг = — д0) <7о = /д т.е потен-

циалы с нулевым средним. Оценки эти не точны, т.к. для получения использовалось неравенство Бернштейна.

Пастур и Ткаченко [РТ] обобщили некоторые результаты [МО] на случай предельно периодических потенциалов.

Гарнет и Трубовиц [СаТг] исследовали случай чётных потенциалов, они доказали, что отображение к : Н —* I2 и Ь : Н —► /2 есть вещественные аналитические изоморфизмы. Здесь к = есть высоты "со знаком "разрезов гребёнки в определении квазиимпульса; отображение Ь = {¿п}?5 определяется как Ьп = — ЛГП разность между собственными числами задачи Дирихле £>п (см. (1.6)) и собственными числами задачи Неймана (то есть граничные условия в (1.6) будут /'(0) = /'(1) = 0), заметим, что ЛГП е С?„ (см. после (1.5)) и \Ьп\ = |С?П| в том и только том случае когда потенциал чётный; пространство Н это чётные вещественные потенциалы с Ь2-нормой; и наконец 1\ стандартное весовое пространство. Там же указаны оценки ||С|| через \\Н\\: 11*211 ^ 11^111(4+ ЦАЦ0, но важная задача о двусторонних оценках ЦР^Ц через ||С?|| ещё долгое время оставалась нерешённой.

Впоследствии Коротяеву удалось получить двусторонние оценки для оператора Хил-ла в общем случае (не только для чётных потенциалов), так в работах [Ко], [К4[, [Кб] были найдены следующие двусторонние оценки

Нскбьни + Ы!*). Ы|^4||С||(1 + ||С||*) 2Н1^Ы1(1 + Ы1^), Ы^зцлыбч-/»+)*, /г+ = 8ир/1Т1,

здесь <7г = — % = /ц т.е потенциалы с нулевым средним. Важную роль

для получения этих оценок играли тождества для интеграла Дирихле, найденное в [К] (здесь приведён сокращённый вариант)

где 2 (к) есть обратное отображение к квазиимпульсу, который ввели Марченко и Островский в [МО] (см. выше). Затем в работе [К7[, в случае оператора Хилла с гладким потенциалом, были найдены двусторонние оценки нормы производных потенциала через норму различных спектральных данных. Каргаев и Коротяев в [КК2] нашли двусторонние оценки длин лакун эффективными массами для оператора Дирака. Также Коротяев [Ко] нашёл двусторонние оценки спектральных данных через потенциал для оператора Дирака. Отметим, что для получения оценок ключевую роль играет анализ конформных отображений специального вида областей, а не анализ самих дифференциальных операторов. Но всё же важный вопрос о точности большинства приведённых оценок остаётся неисследованным, в том смысле что: до какой степени можно улучшить эти оценки.

Несколько обратных задач было решено "аналитическим методом "в книге Пёшеля и Трубовица [РТг].

В работе Каргаева и Коротяева [КК1], [К], [К2] удалось существенно упростить доказательство многих изоморфизмов между спектральными данными и потенциалом для оператора Хилла за счёт использования так называемого "прямого метода". Суть данного метода состоит в применении достаточно общих теорем из нелинейного функционального анализа, при этом используется минимум свойств самого отображения, связанных с конкретной спектральной задачей. Одним из ключевых этапов этого метода является получение двухсторонних оценок спектральных данных через потенциал.

В дальнейшем прямым методом были решены и другие обратные задачи. Так в работе [К2] Коротяевым решена обратная задача (включая характеризацию) для оператора —у" + v'y, где v £ L2(Т) (т.е. v' есть распределение) и Т = R/Z, так же получены двусторонние оценки для этого случая.

1.3 Основные результаты

Рассмотрим периодический оператор Шрёдингера (Ly)n = yn-i + Уп+i + ЯпУп, п € Z, у Е l2(Z). Здесь потенциал {gn}^=-oo есть вещественная N + 1 периодическая последовательность, qn+N+1 = Ят п (Е Z. Введём пространство потенциалов

N+1 N+1

Я = ЫГ1 € Q s {я € R™ : = о}, 1ЫР = £ & С1-7)

1 П=1

Хорошо известно, что спектр оператора L абсолютно непрерывен и состоит из N + 1-ой зоны <тп = ап(я) = [А+,А~+1], тг = 0,1 где А* = А±(<?) края зон и Aj < Aj" ^

А+ < ... < ^ Х^ < (см. рис. 1). Эти зоны отделены друг от друга лакунами

7п = 7п(я) = (А~, А+) длины |7„| ^ 0. Лакуны могут быть вырожденными |7„| = 0. Введём фундаментальные решения у>„(А, я) и $n(A, q), п € Z уравнения

уп-1 + Уп+i + ЯпУп = Ьуп, А е с, п е z, (1.8)

с начальными условиями <£o(A,g) = i?i(A, я) = 0, ¥>1(Л,я) = = 1* Функция

Д(А, я) = (pjv+2(А, q)+'d1w+i(X, я) называется функцией Ляпунова для оператора L. Видно, что Д, ifn и 19n,n ^ 1 являются полиномами от (А, q) G CN+l. Спектр L находится по формуле а(я) = {А € Е : |Д(А,д)| ^ 2} и заметим что (-l)N+1~nA(\±,q) = 2,п = 0,...,N+1.

Введём параметры, которые оказываются очень удобными для описания поведения спектра при различных потенциалах. Для каждого п = 1 ,..,iV найдётся точка А„ = Ап(?) 6 [А~,А+], такая что

Д'(А„,9) = 0, Д"(А„, Я) Ф 0» (—1)"+1_пД(А„,д) ^ 2. (1.9)

A(\n,q) = 2(-l)"+1-ncoshün, hn > 0. (1.10)

По данным h однозначно восстанавливается функция Ляпунова Д, которая определяет спектр а. Это значит, что h, Д, а находятся друг с другом во взаимно однозначном соответствии, то есть

a(q) = a(p) & h{q) = h{p) о А(-,д) = Д(-,р). (1.11)

Отображение h есть некоторый аналог отображения Марченко - Островского в случае непрерывного оператора Шрёдингера (см. [М]). Ввиду такой тесной связи со спектром, важным вопросом представляется изучение 'особенностей' и областей локального и глобального изоморфизма отображения h. Полином Д имеет разложение

<%) = {«9)}f, Д(А,,,) = + AMA'4'-1 + Ф-Ач)^'2 + ■■■ + Av('/). (1.12)

Л(»)—JV-1-И,

для некоторых полиномов фп(я), Я £ Q- Тогда определитель производной Фреше det dqФ(д) тоже полином. Введём

S = {q G Q : det dfliq) = 0}. (1.13)

Оказывается, что поверхность S состоит из 'особенностей' отображения h.

Предложение 1.1. Определитель det dqh ф 0 тогда и только тогда, когда q £ S. Более того, если q £ S, то hn(q) > 0 для всех п.

Для удобства изложения определим Л4п, как представление группы перестановок 5П размерности п в пространстве п х п матриц:

Мп = {Ми,: МыЧ = {д.0)}"=1, ч>£Бп, д£ Г1}, (1.14)

заметим что МаМр — Мра.

Основная задача состоит в нахождении областей локального и глобального изоморфизма отображения к. Предварительный анализ показывает, что при любом N ^ 2 почти все потенциалы восстанавливается по своим спектральным данным неоднозначно, так как существуют перестановки компонент вектора потенциала, которые не меняют спектр оператора.