Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Седипков, Айдыс Алексеевич

• Седипков, Айдыс Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Седипков, Айдыс Алексеевич

Введение.

ГЛАВА 1. Восстановление разрывов импеданса.

1.1 Свойства решения и функции Йоста.

1.2 Однозначность восстановления разрывов импеданса

1.3 Алгоритм восстановления разрывов импеданса.

ГЛАВА 2. Восстановление импеданса на всей полуоси

2.1 Однозначность восстановления импеданса.

2.2 Основное уравнение и ее разрешимость.

2.3 Процедура восстановления импеданса.

ГЛАВА 3. Прямые и обратные динамические задачи теории распространения волн в упругой неоднородной среде с разрывными параметрами

3.1 Канонический вид прямых и обратных динамических задач

3.2 Вспомогательная спектральная задача.

3.3 Разрешимость прямой динамической задачи.

3.4 Решение обратной динамической задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами»

Обратные задачи спектрального анализа состоят в восстановлении дифференциальных операторов по некоторым их спектральным данным. Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют много приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач установлены для операторов Штурма-Лиувилля, определенных дифференциальным выражением где коэффициент д(х) называют потенциалом.

Обратные спектральные задачи для таких операторов исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, В. Гайзенберга, Г. Борга, М.Г. Крейна, В.А. Марченко, И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лей-бензона, М.А. Наймарка, Ф.С. Рофе-Бекетова, М.Г. Гасымова, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других авторов (см. [1-22] и литературу в них). Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну [1]. Он показал, что если собственные значения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля

-ихх + д(х)и,

1)

-ихх + д(х)и = Хи, X е (0, 7г) с краевыми условиями х|о;=0 — ^х\х=п — О 3 суть Л^ = к2, к > 0, то д = 0. Однако результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного восстановления потенциала д. Первое основательное исследование восстановления выражения (1) по спектральной информации было предпринято шведским математиком Г. Боргом [3]. Он доказал, что спектры операторов, порожденных краевыми задачами для уравнения (2), у которых краевые условия совпадают на одном из концов интервала (0,7г), однозначно определяют функцию д. Эти результаты носят условный характер, так как предполагается существование операторов, для которых данные две последовательности являются спектрами. В работе [10] М.Г. Крейн-ном доказано, что потенциал д однозначно восстанавливается по спектрам двух различных самосопряженных расширений симметрического оператора в пространстве £2(0,77), определяемого выражением (1).

Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В.А. Марченко, И.М. Гельфанду, Б.М. Левитану Н. Левинсону, З.Л. Лейбензону, В.А. Юрко (см. [4-6,9,12,13,18,19,21,22]). Ими были разработаны: метод операторов преобразования, метод Гельфанда-Левитана, метод спектральных отображений, позволяющие восстановить оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей числовой оси, полуоси или конечном интервале.

Все эти результаты, имеющие нелокальный характер, являются следствиями теоремы о восстановлении дифференциального оператора по его спектральной функции. К сожалению, в многомерном случае точные аналоги этой теоремы пока отсутствуют, что затрудняет получение нелокальных результатов в теории многомерных обратных задач. Тем не менее, здесь также получены фундаментальные результаты, среди которых отметим работы М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, В.Г. Романова, С.И. Кабанихина, Ю.Е. Аниконова, Д.С. Аниконова, Ю.М. Березанского, A.JI. Бухгей-ма, Г.В. Дятлова, Д.Г. Орловского, А.И. Прилепко, И.А. Васина, A.M. Денисова, В.В. Дубровского, В.А. Садовничего, В.М. Исакова, В.А. Шара-футдинова, А.Г. Яголы и других авторов (см. [23-49] и литературу в них).

Вернемся к одномерному случаю и рассмотрим подробнее метод спектральных отображений для уравнения Штурма-Лиувилля

- ихх + q{x)u = А и, х > 0, (3) с краевым условием их - hu) 1^=0= 0. (4)

Известно [20], что если коэффициент q(x) вещественный и локально суммируемый на полуоси (0, сю), то краевая задача (3)-(4) порождает в пространстве ¿2(0,00) самосопряженный оператор Штурма-Лиувилля

L : и —» —ихх + q{x)u.

Он определен для всех функций и из ¿2(0, оо) таких, что hue W|jíoc(0,00), -ихх + q(x)u е L2(0, оо);

2. и удовлетворяет краевому условию (4).

Положим А = и2 и будем предполагать, что коэффициент q{x) равен нулю при х > х* > 0. Обозначим через е(х,и>) решение уравнения (3), совпадающее с ехр(гих) при х > х*. В теории рассеяния функцию е(х,ш) называют решением Йоста уравнения (3), а функцию j(u) = ех(0,ш) — he(0,u) — функцией Йоста системы (3)-(4) (см. [12,20-22,68-71]). В методе спектральных отображений в качестве одной из основных спектральных характеристик можно использовать функцию Йоста j{u). Для решения ф{х,Х) уравнения (3), удовлетворяющего начальным условиям

Ф\х= 0 = Фх\х=0 = К (5) справедливо соотношение со^х) = ф(х, А) +1 А, С)ф{х, С)ЙС, ® > 0, (6) О называемое основным уравнением обратной задачи, где X

О0(х, А, С) = / сов(и;г) К(Л) = , - —, Л = о/2, С =

7 тфМг ^ о

Основное уравнение (6) при каждом фиксированном х однозначно разрешимо относительно неизвестной ф(х, Л) в банаховом пространстве С([0,оо)) (см. [21,22]). С помощью решения ф(х,\) потенциал д(х) восстанавливается по формуле ч Фхх(х,0)

Ф{х, 0) *

Многие приложения связаны с краевой задачей

- ^¡^М31)™*)* = х> °> (7)

1»х |я:=о = 0, (8) где коэффициент а(х) называют импедансом. Известно [50], что если коэффициент а(х) строго положителен и локально суммируем на полуоси (О, оо), то краевая задача (7)-(8) порождает в весовом пространстве оо

2((0, со), о") = {/(х)\ I \Цх)\2а{х)(1х<ж} о со скалярным произведением оо

1,9) = У /{х)д(х)(т(х)(Ь гх о самосопряженный оператор

А : т ->--1~^(ст(х)юх)х. а(х)

Он определен для всех функций ги из Ь2((0, оо), <т) таких, что

1. V), а{х)тх е И^/ос(0,оо), ^(а(х)гих)х в 12((0,оо),а);

2. ги удовлетворяет краевому условию (8).

В дальнейшем будем предполагать, что при х > х* > 0 коэффициент <т(х) постоянен. Обозначим через £(х,си) решение уравнения (7), совпадающее с ехр(шх) при х > х*. Функцию £(х,ш) называют решением Йоста уравнения (7), а функцию Лш) = £х{<д,ш) — функцией Йоста системы (7)-(8).

Обратная спектральная задача для оператора А, которую мы будем рассматривать далее, состоит в восстановлении импеданса &(х) по функции Йоста и).

В случае дважды непрерывно дифференцируемого импеданса а{х) эта задача с помощью замены и фтЩи; (9) сводится к обратной спектральной задаче для оператора Ь с непрерывным потенциалом

9(х) = л/а(х) и коэффициентом

Ь-^М

2(7(0)'

При этом функция Ли) и функция Йоста ¿(ш) системы (3)-(4) связаны соотношением к= ш ц>|—>оо 1Си и импеданс а(х) однозначно восстанавливается по функции Йоста Луз) по формуле о(х) = сг(0) • ф2(х,0), ж>0, где ф(х,Х) — решение основного уравнения (6) (см. [20-22]).

Если же импеданс а{х) не является гладкой функцией, то описанная редукция не имеет места. Допустим, что коэффициент <т(х) является кусочно-гладкой функцией такой, что а(х) е С2(хк+г, хк); хк+1 < хк, к = 0,., щ хп+1 = 0,х0 = оо, < х*, причем ее производные 3 = 0,1,2, имеют разрывы первого рода в точках х1,.,хп. Тогда краевая задача (7)-(8) перепишется в виде уравнения

1 п -т-А(т(х)<шх)х = хе \^){хш,хк), к=о

10) с условиями склейки

О] и)-г х=хк~0 и краевым условием и)

ИЛг х=хк+о х\х=0 = 0. хк + 0)

12)

Обратные спектральные задачи с разрывными коэффициентами исследовались в работах А.Н. Тихонова, В.Б. Гласко, И.М. Гусейнова, Р.Т. Пашаева, Д.Г. Шепельского, В.А. Юрко и других авторов (см. [51-62] и литературу в них). В данной постановке задача восстановления разрывного импеданса а(х) изучалась в [58,59]. Однако в этих работах исследовался либо случай кусочно-постоянного импеданса сг(гс), либо случай с одним разрывом, т.е. п = 1, при этом точка разрыва Х\ и величина о\ предполагались известными. Поэтому весьма актуальным остается вопрос восстановления импеданса а{х) с произвольным конечным числом разрывов.

Основная часть диссертации посвящена обратной спектральной задаче для оператора А, состоящей в восстановлении кусочно-гладкого импеданса а{х) с конечным числом разрывов первого рода в точках х1,.,хп по функции Йоста J{uj), при этом число п, точки разрыва х\,.,хп и величины а\,. ,ап также подлежат восстановлению.

Решать эту задачу мы будем путем сведения оператора А к соответствующему оператору Штурма-Лиувилля. С помощью замены (9) система (10)—(11) приводится к уравнению Штурма-Лиувилля ихх + q{x)u = А и, х в (Jfcfc+i, хк),

13) fc=0 с условиями склеики и их

J x=xk~0 а краевое условие (12) запишется в виде и и X к — 1,. ,п,

14) х=хк+0 их - hu) |х=о= 0.

15)

Здесь ч/^У "" 2<7(0)' г— , стх(хк + о)/у/а1 - сгх(хк - 0) ак = \/ак, Ок = -/-^-• а{хк - 0)

В силу свойств импеданса а(х), коэффициент д(х) является кусочно-непрерывной функцией с разрывами первого рода в точках х\,.,хп, причем ц(х) = 0 при х > х*. Краевая задача (13)—(15) порождает в пространстве 1/2 (0, оо) оператор Штурма-Лиувилля

Ьп : и -> -ихх + я(х)и, который определен для всех функций и из 0, оо), таких что п

1. и е П У/%{хк+ъхк)-, к=О

2. и удовлетворяет условиям склейки (14), краевому условию (15).

Введем функцию Е{х,ш), удовлетворяющую уравнению (13) с условиями склейки (14) и совпадающую с ехр(гшх) при х > х*. В дальнейшем функцию Е(х,ш) будем называть решением Йоста системы (13)—(14), а функцию J {и) — Ех(0,ш) - hE(0,u) — функцией Йоста системы (13)-(15). Отметим, что функция J (и) и функция Йоста J (и) системы (7)-(8) связаны соотношением

J(u) = KJ(u), К = лЩ. (16)

В дальнейшем будет показано, что коэффициент К однозначно определяется асимптотикой функции Йоста J {и). Таким образом, исходная обратная спектральная задача сводится к восстановлению оператора L71, т.е. кусочно непрерывного коэффициента q(x) и величин h,ak,bk',k = 1,п, по функции Йоста J(ш). Эта задача полностью решается в первых двух главах диссертации.

Подходы, разработанные в первых двух главах, диссертации применяются далее к прикладным вопросам, возникшим в связи с задачей о восстановлении механических параметров межскважинного пространства по результатам измерений волновых полей, порожденных скважин-ными источниками. Эта проблема относится к классу динамических обратных задач, для которых пока не разработаны достаточно эффективные методы решения. Исключением является одномерный случай, где существуют алгоритмы, основанные на результатах спектральной теории дифференциальных операторов. Постановки обратных динамических задач для системы дифференциальных уравнений упругости впервые рассмотрел A.C. Алексеев [64,65]. Одномерные обратные динамические задачи исследовались работах A.C. Алексеева, В.Г Романова, A.C. Благовещенского, А.Г. Меграбова, B.C. Белоносова [64-71] и других авторов. В многомерном случае применяются, главным образом, оптимизационные методы, требующие значительных вычислительных ресурсов и не допускающие использования "в реальном времени". Мы начнем изучение этой проблемы в модельной одномерной ситуации, предполагая в дальнейшем перейти к многомерному случаю.

Рассмотрим процесс распространения плоских волн в евклидовом пространстве R3, заполненном упругой средой, механические свойства которой зависят только от одной пространственной координаты у. Считается, что волны поляризованы вдоль некоторой прямой, параллельной плоскости у — 0, на которой равномерно распределен внешний источник возмущений. При этих условиях смещение w точек среды относительно положения равновесия зависит только от координаты у и времени t и удовлетворяет уравнению акустики сßwy)y = pwtu уе м\{0}, (17) где р{у) — плотность, ц{у) — модуль сдвига.

Положим

-00 = У0 <У7 <У1 < •••<Ут< Ут+1 = 0. о = Уп+1 < Уп < ■ • • < У\ < yt < Уо =

Предполагается, что параметры среды p(y),ß(y) являются строго положительными кусочно-гладкими функциями такими, что р(у),ц(у) постоянны вне промежутка [у~, у+] и дважды непрерывно дифференцируемы на каждом из интервалов причем их производные р^\у) и j = 0,1,2, имеют разрывы первого рода в точках ,., yf,., у+. Потребуем также, чтобы функции р(у),р(у) были дважды непрерывно дифференцируемы на интервале (2/т»2/Й

Для того, чтобы уравнение (17) имело смысл, мы будем предполагать, что на каждом из интервалов (—оо, 0) и (0, оо) функции т(у, £), ^(у)и)у(у, £) принадлежат относительно переменой у. Внешнее динамическое воздействие при у = 0 моделируется краевыми условиями вида ю(+0, ¿) - Ц-0, ¿) = 0,

18)

Д0К(+0, ¿) - /¿(оК(-о, г) = (19) где функция <71 (¿) обращается в нуль вне интервала (0,+оо). Условие (19) означает, что скачок напряжения при у = 0 пропорционален силе внешнего воздействия д^), а условие (18) — непрерывность смещения ги при у = 0. Тогда уравнение (17) перепишется в виде т п

П)у = Р™и, У € [](у1 , у1+1) и У (у£+1,

0 к=0

20) с условиями склейки (18)—(19) и

IV и> V),,

У=У1 +0 ги

IV

IV ад =1.

2/=2/*+0

2/=г/( -о

1 =

Ук ~ 0)'

Мм - о) п, (21)

Л + 0) / = 1,.,т. (22)

Будем считать, что до начала воздействия среда покоилась, т.е. ш |ко= 0

23)

Естественно также предположить, что на бесконечности выполнены условия отсутствия приходящих волн, называемые условиями излучения Зо-ммерфельда, которые записываются в виде 1

Щ = о, у > у+,

24) где v(y) = у/ШШ — скорость распространения упругих волн в точке у.

Мы будем изучать формально более общую задачу, в которой в условии (18) правая часть также может быть отлична от нуля w(+0,t)-w(-0,t)=9o(t), (26) где функция go(t) обращается в нуль вне интервала (0, +оо).

Прямой динамической задачей мы называем задачу об определении функции w : Rx R —> R, удовлетворяющей системе (19)—(26), если функции р(у), ц(у), g0(t) и gi(t) известны.

Задачу об определении механических параметров среды р(у) и ц{у) для системы (19)—(26), если известны четыре функции ги(+0,£), w{—0,£), wy(+Q,t), Wy(—0,i), будем называть обратной динамической задачей.

В диссертации развиваются идеи метода спектральных отображений, в основе которого лежит метод контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. Также в работе используются асимптотические методы, аппарат теории почти-периодических, целых и мероморфных функций, теория интегральных уравнений, теория операторов в банаховых пространствах, теория гиперболических уравнений и другие методы вещественного, комплексного и функционального анализа. Остановимся кратко на содержании работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Седипков, Айдыс Алексеевич

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Установлено, что если точки разрыва х\,.,хп несоизмеримы, т.е. никакая их линейная комбинация с целыми коэффициентами не равна нулю, то точки разрыва xi,.,xn импеданса сг(х) и величины cri,., ап однозначно определяются асимптотикой функции Йоста J(oS) при и —> оо и ш G R. Построен алгоритм позволяющий восстановить эти разрывы за конечное число шагов.

2. Доказано, что если xi,.,xn несоизмеримы, то функция Йоста J{bS) однозначно определяет импеданс сг(з;) на всем множестве [)• Показано, что задача восстановления импеданса о(х) на всем множестве UaUoO^+I' хк) сводится к решению некоторого интегрального уравнения. Построена процедура, позволяющая восстановить импеданс о(х).

3. Доказана однозначная разрешимость прямой динамической задачи в соответствующем функциональном пространстве и получено специальное представление для ее решения.

4. С номощыо результатов 1-3 решена обратная динамическая задача о восстановлении импеданса среды а(х) = у/р{у(х))ц{у(х)), х = тщп{у), где г — время пробега волны от начала координат до точки у. На основе этих результатов могут быть построены численные методы решения обратных спектральных задач для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Седипков, Айдыс Алексеевич, 2012 год

1. Ambarzumian V.A. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f. Phys. - 1929. - Vol. 53. - P. 690-695.

2. Heisenberg W. Die «beobachtbaren Grossen» in der Theorie der Elementarteilchen // Zs.f. Phys. 1943. — Vol. 120. - P. 513538; 673-702.

3. Borg G. Eine Umkehrung der Sturrn-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe // Acta Math. 1946. - Vol. 78. - P. 1-96.

4. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 1949. - Vol. 13. - P. 25-30.

5. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. — 1950. — Т. 72, № 3 — С. 457-460.

6. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва. 1952. - Т. 1. - С. 327-420.

7. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля // Киев: Наукова Думка. — 1972.

8. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова Думка. — 1977.

9. Гелъфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР. Сер. матем. 1951. - Т. 15. - С. 309-360.

10. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. - Т. 76, № 1. - С. 21-24.

11. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. 1954. - Т. 94, № 6. - С. 987-990.

12. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля // М.: Наука. — 1984.

13. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака // М.: Наука. — 1988.

14. Рофе-Векетов Ф.С. Спектральная матрица и обратная задача Штурма-Лиувилля на оси // Теория функций, функц. анализ и их приложения. Харьков. — 1967. — Вып. 4. — С. 189-197.

15. Тихонов А.Н.О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. - Т. 69, № 6. - С. 797-800.

16. Фаддеев Л.Д. О связи Б-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1958. - Т. 121, № 1. -С. 63-66.

17. Фаддеев Л.Д. Свойства Б-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова. — 1964. — Т. 73. — С. 314-336.

18. Лейбензон З.Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды моек, ма-тем. о-ва. 1966. - Т. 15. - С. 70-144.

19. Лейбензон З.Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды моек, матем. о-ва. — 1971. — Т. 25. — С. 15-58.

20. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы // М.: Наука. — 1969.

21. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения // Изд-во СПИ. Саратов. 2001.

22. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач // М.: Физ-матлит. — 2007.

23. Алексеев Г.В. К теории многомерных задач синтеза излучаютцих систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1982. — Т. 22, №3.- С. 663-670.

24. Алексеев Г.В., Чеботарёв А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. — Т. 25, №8. С. 1189-1199.

25. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений // Новосибирск: Наука. — 1978.

26. Аниконов Ю.Е., Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи радиационной томографии // Сиб. электрон, матем. изв. — 2010.- Т. 7. С. 73-80.

27. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Тр. Моск. матем. о-ва. — 1958. — Т 7. — С. 3-51.

28. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач // Новосибирск: Наука. — 1988.

29. Бухгейм А.Д., Дятлов Г.В. Единственность в одной обратной задаче определения памяти // Сиб. матем. журн. — 1996. — Т. 37, т. С. 526-533.

30. Бухгейм А.Л., Дятлов Г.В., Исаков В.М. Устойчивость восстановления памяти по оператору Дирихле-Неймана // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №4. - С. 738-749.

31. Denisov A.M. Elements of the Theory of IPs // Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP. — 1999.

32. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Некоторые свойства операторов с дискретным спектром // Диф. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 7. С. 1206-1211.

33. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations // New-York: Springer-Verlag. — 1998.

34. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений // Новосибирск: Наука. 1988.

35. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи // Сибирское научное издательство. — 2008.

36. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений // Новосибирск: Наука. — 1969.

37. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики // Новосибирск: Наука. — 1994.

38. Лаврентьев М.М., Савелев Л. А.: Теория операторов и некорректные задачи // Новосибирск: Институт математики. — 1999.

39. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики // М: Наука. 1984.

40. Romanov V.G., Kabanikhin S.I. Inverse Problems for Maxwell's Equations // Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP. 1994.

41. Romanov V.G. Investigation Methods for Inverse Problems // VSP, The Netherlands. — 2002.

42. Романов В.Г. Устойчисвость в обратных задачах // М: Научный Мир. 2005.

43. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics // New-York: Marcel Dekker. — 2000.

44. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для гамильтоновой системы // Сиб. матем. журн. 1996. - Т. 37, №1. - С. 211-235.

45. Белишев М.И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // ДАН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. С. 524-527.

46. Белишев М.И. Уравнения типа Гельфанда Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. - Т. 165, Вып. 17. -С. 15-20.

47. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния // Москва: Мир. — 1994.

48. Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики // М.: Наука. — 1985.

49. Ягола А./".Некорректные задачи с априорной информацией // Сиб. электрон, мат. изв. — 2010. — Т. 7.— С. 343-361.

50. Weidmann J. Zur Spektraltheorie von Sturm-Liouville-Operatoren // Math. Zeitschr. 1967. - Vol. 98. - P. 268-302.

51. Тихонов A.H. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1965.- Т. 5, т. С. 545-548.

52. Гласко В. Б. О единственности некоторых обратных задач сейсмологии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1970. — Т. 10, №6. С. 1465—1480.

53. Гласко В. Б. К вопросу единственности определния струкутуры земной коры по поверхностным волнам Релея // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. — 1971. — Т. 11, №6. — С. 1498-1509.

54. Гласко В.Б., Худак Ю.И. Аддитивные представления характеристик слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1980. — Т. 20, №2. С. 482-490.

55. Andersson L.-E. Inverse eigenvalue problems with discontinuous coefficients // Inverse problems. — 1988. — Vol. 4, no. 2. — P. 353397.

56. Andersson L.-E. Inverse eigenvalue problems for a Sturm-Liouville equation in impedance form // Inverse problems. — 1988. — Vol. 4, no. 4. P. 929-971.

57. Carlson R. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with discontinuous coefficients // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1994. — Vol. 120, no. 2. P. 475-484.

58. Shepelsky D.G. The inverse problem of reconstruction of the medium's conductivity in a class of discontinuous and increasing functions // Advances in Soviet Math. 1994. - Vol. 19. - P. 209231.

59. Шестаков A.M. Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами // Сибирский математический журнал. — 2003. — Т. 44, N2 5. — С. 11421162.

60. Гусейнов И.М., Пашаев Р. Т. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка // УМН. — 2002. — Т. 57, Вып. 3. С. 147-148.

61. Freiling G., Yurko V.A. Inverse spectral problems for singular non-selfadjoint differential operators with discontinuities in an interior point // Inverse Problems. — 2002. — Vol. 18. — P. 757-773.

62. Юрко В.А. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков на деревьях // Матем. заметки. — 2008.- Т. 83, Выи. 1. С. 139-152.

63. Левитан Б.М. Почти периодические функции // М.: Гостехиздат.- 1953.

64. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Изв. АН СССР, Сер. геофиз. 1962. - Вып. 11. -С. 1515-1522.

65. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики // в кн. «Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных». М.: Наука. — 1967. — С. 9-48.

66. Алексеев A.C., Меграбов А.Г. Прямая и обратная задачи рассеяния плоских волн на неоднородных слоях // Математические проблемы геофизики. Новосибирск. — 1972. — С. 8-36.

67. Благовещенский A.C.: О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. МИАН СССР. 1971. - Т. 115. - С. 28-38.

68. Алексеев A.C., Белоносов B.C. Спектральные методы в одномерных задачах теории распространения волн // Труды ИВМиМГ. Мат. модел. в геофизике. Новосибирск. — 1998. — Вып. 6 — С. 739.

69. Alekseev A.S., Belonosov V.S. The scattering of plane waves in inhomogeneous half-space // Appl. Math. Lett. — 1995. — Vol. 8, no. 2. P. 13-19.

70. Alekseev A.S., Belonosov V.S. Direct and inverse problems associated with inclined passing of SH-waves through ID inhomogeneous medium // Bull. NCC. Ser. Num. Anal. 1994. - Iss. 8. - P. 1-25.

71. Alekseev A.S., Belonosov V.S. Direct and inverse problems of wave propagation through a one-dimensional inhomogenious medium // Euro. Jnl of Appl. Math. 1999. - Vol. 10. — P. 79-96.

72. Винер H., Пэли P. Преобразование Фурье в комплексной области // М.:Наука. 1964.

73. Sedipkov A.A. Direct and inverse problems of the theory of wave propagation in an elastic inhomogeneous medium // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. — Vol. 19. — P. 511-523.

74. Седипков А.А. Восстановление разрывов оператора Штурма-Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Вестник НГУ. Новосибирск. 2012. - Том 12, Вып. 1. - С. 114-125.

75. Седипков А.А. Обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля с разрывным потенциалом // Препринт — 277. ИМ СОРАН. 2012. - С. 26.1. F)