Обработка псевдофазовых измерений при определении относительных координат потребителя в СРНС тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.14, доктор технических наук Поваляев, Александр Александрович

• Поваляев, Александр Александрович
• доктор технических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор технических наук Поваляев, Александр Александрович

Сокращения и обозначения.с

Введение

1 Описание принципов функционирования многоканального навигационного приёмника

1.1 Структура многоканального навигационного приемника

1.2 бенни взаимодевия между МЦК и СП

1.3 Спбы организации прерываний СП

1.4 Свово чот и интервалов времени навигационного приёмника

2 Время, часы, показания часов и навигационные определения по показаниям чв

2.1 Время и его количвенное определение как показаний чв

2.2 Педовательни моментов времени, определяемые показаниями чв

2.3 Индексация показаний часов и моментов времени, определяемых показаниями чв

2.4 Модель навигационного приёмника каквокупнь чв

2.5 Типывенных чв навигационного приёмника

2.5.1 Клификациявенных чв навигационного приёмника

2.5.2 Некорректируемые ч

2.5.3 Понятие опорной педовательни для моментов времени формирования измерений

2.5.4 Часы с коррекцией только своих показаний без изменения моментов времени формирования измерений

2.5.5 Часы с полной коррекцией моментов времени формирования измерений

2.5.6 Часы с дискретной коррекцией моментов времени формирования измерений

2.6 Навигационные определения по показаниям канальных часов приёмника на единый момент времени

2.7 Учёт вращения Земли

2.8 Навигационные определения по разности показаний собственных и канальных часов приёмника на моменты времени, определяемые показаниямивенных чв

3 Определение смыслового содержания псевдозадержек (псевдодальностей) и псевдофаз, формируемых в моменты, определяемые показаниями разных собственных часов навигационного приёмника. Математические модели псевдозадержек, вдодальней и вдофаз

3.1 Обзор и критика определенийовогодержания вдозадержки,щвующих в литературе

3.2 Определение смыслового содержания псевдозадержки (псевдодальности) собственных часов навигационного приёмника с внутренней стабилизацией и проение её математичой модели

3.3 Определениеовогодержания вдофазывенных чв навигационного приёмникавнутреннейабилизацией и проение её математичой модели

3.4 Определениеовогодержания вдозадержки (вдодальни)венных чв навигационного приёмникаполной коррекцией и проение её математичой модели

3.5 Определениеовогодержания вдофазывенных чв навигационного приемникаполной коррекцией и проение её математичой модели

4 Формирование измерений псевдозадержек и псевдофаз в навигационном приемнике

4.1 Формирование вдозадержеквенных чв навигационного приёмникавнутреннейабилизацией на моменты прерываний и моменты миллкунд

4.1.1 Формирование псевдозадержек часов с внутренней стабилизацией на моменты прерываний

4.1.2 Формирование псевдозадержек часов с внутренней стабилизацией на моменты миллкунд

4.2 Формирование псевдозадержек часов с полной коррекцией на моменты миллкунд этих чв

4.3 Формирование псевдофаз собственных часов навигационного приёмника с внутренней стабилизацией на моменты прерываний и моменты миллкунд

4.3.1 Оценивание фазгналов промежуточных чот

4.3.2 Корректирующая фаза и ееова

4.3.3 Алгоритм формирования псевдофазы часов с внутренней стабилизацией на моменты прерываний

4.3.4 Методы обечения поява начальной фазы приемника vj/H

4.3.5 Алгоритм формирования псевдофазы часов с внутренней стабилизацией на моменты миллкунд

4.4 Формирование псевдофаз часов с полной коррекцией на моменты миллкунд этих чв

5 бенни оценивания при неоднозначных измерениях

5.1 Клификация задач оценивания при неоднозначных измерениях

5.2 бенни закона рределения неоднозначных измерений. чённаяернутая гаова аппромация

5.3 Функция правдоподобия при неоднозначных измерениях

5.4 Линейное оценивание при неоднозначных измерениях

5.5 Закон рределения линейной мамально правдоподобной оценки при неоднозначных измерениях

5.6 Характеристики точности оценивания при обработке неоднозначных измерений. Избыточнь неоднозначных измерений

5.7 Исключение переменных в системах линейных уравнений с неоднозначнымиободными членами

6 Линейное дискретное рекуррентное оценивание при неоднозначных измерениях

6.1 Пановка задачи линейного дретного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях

6.2 Функция правдоподобия и уравнения первого шага фильтрации

6.3 Функция правдоподобия и уравнения последующих шагов фильтрации

6.4 Общее описание алгоритма линейного дискретного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях

6.5 Вычислительные особенности линейного дискретного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях

6.5.1 Вычислительные особенности разрешения неоднозначности.с

6.5.2 Общие вычислительные особенности.с

7 Статичие отнтельные определения по измерениям вдодальней и вдофаз в СРНС

7.1 Свова вдофазовых измерений и бенни их обработки

7.1.1 Использование псевдофазовых измерений для относительных определений

7.1.2 Спбы обработки вдофазовых измерений

7.1.3 Формирование однозначных измерений

7.1.4 Различияов вдофазовых измерений GPS и ГЛОНАСС

7.2 Первые разни вдодальней, вдофаз и приращений вдофаз

7.3 Вторые разности псевдодальностей, псевдофаз и взвешенных приращений псевдофаз при одинаковых атмосферных искажениях сигналов, принимаемых приемниками. Их линеаризация и представление в матричном виде

7.4 Т на целоченнь

7.5 Обнаружение и ранение разрывов вдофазы

7.5.1 Обнаружение разрывов во вторых разнях вдофаз

7.5.2 Устранение влияния разрывов псевдофазы на формирование вторых разней приращений вдофаз

7.6 Вторые разни вдодальней, вдофаз и взвешенных приращений вдофаз при различии атмерных аженийгналов, принимаемых приемниками. Их линеаризация и преавление в матричном виде

7.7 Оценка относительных координат привязываемого приемника по измерениям вдодальней и вдофаз приатичих определениях

8 Динамические относительные определения по измерениям псевдодальностей и вдофаз в СРНС

8.1 Специфика отнтельных динамичих определений

8.2 Вторые разни вдорадиальныхорей. Их линеаризация и преавление в матричном виде

8.3 Уравнения связи векторов однозначных у и неоднозначных <р наблюдений с вектором оцениваемых параметров A0d при отнтельных динамичих определениях

8.4 Рекурсивное оценивание относительных координат и составляющих вектораори подвижного навигационного приемника

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обработка псевдофазовых измерений при определении относительных координат потребителя в СРНС»

Объект исследований и актуальность темы. Общеизвестны усилия, которые ведущие в техническом отношении государства, в настоящее время прикладывают к развитию спутниковых радионавигационных систем (СРНС). Полностью развёрнута и успешно функционирует американская СРНС GPS. Продолжается успешное развёртывание российской СРНС ГЛОНАСС. В стадии разработки находится система Gallileo, создаваемая европейскими странами в рамках Европейского космического агентства. Планы создания своих СРНС имеют Япония, Китай, Индия. Это обуславливает повышенный интерес к основам теории спутниковой радионавигации, к методам формирования и обработки измерений, осуществляемых в навигационных приёмниках.

Одно из основных назначений СРНС заключается в том, чтобы предоставить потребителю возможность определять свои координаты и показания некоторых внешних часов. Однако определить эти величины в приёмнике потребителя путем непосредственных измерений невозможно. Координаты и показания часов определяются путем обработки значений параметров спутниковых сигналов, которые могут быть измерены в приемнике непосредственно. Такая обработка основана на использовании математических моделей измеряемых параметров спутниковых сигналов, описывающих функциональные связи этих параметров с координатами и показаниями внешних часов. Эти математические модели строятся на основе анализа смыслового содержания измеряемых параметров, а так же способа формирования измерений в приемнике.

Отсюда следует, что измеренные значения параметров спутниковых сигналов имеют двойственную природу. С одной стороны они являются параметрами сигналов и поэтому для их описания должна использоваться "сигнальная" терминология, т. е. должны применяться такие термины, как амплитуда, частота, фаза. С другой стороны, для описания математических моделей тех же измеренных параметров, должны использоваться такие термины, как координаты, дальности, смещения показаний часов (смещения шкал времени) и т. д. Для описания способа формирования измерений параметров спутниковых сигналов требуется определение только их смысловое содержание в "сигнальных" терминах. Математические модели при этом никак не используются. Наоборот, при обработке измеренных значений этих параметров используются только их математические модели. Смысловое содержание в "сигнальных терминах" и способ формирования измерений при этом не имеют никакого значения. Например, в учебной литературе встречается упрощённое определение понятия псевдозадержки как суммы задержки и смещения шкалы времени приемника [1]. Однако это совсем не означает, что в приёмнике измерения псевдозадержки формируются как сумма задержки и смещения шкалы времени приёмника. Они, безусловно, формируются каким то другим способом, и этот способ определяет упрощённую математическую модель псевдозадержки в виде суммы задержки и смещения шкалы времени приемника.

В литературе по спутниковой навигации [2-11] широко применяются термины "шкала времени" и "псевдозадержка (псевдодальность)". Помимо этого, в разных литературных источниках используются такие термины как: "carrier phase" [2 - 6], "carrier beat phase" [7], "phase pseudorange" [8], "integrated doppler" [9], "фазовые измерения на несущей частоте" [10], "phase, фаза" [3, 11]. В [2-8] эти термины применяются для обозначения одно и того же понятия, смысловое содержание которого определяется как разность фаз:

9J(tbvka„(t)-Vr(t)+Mj (В.1) где i{/Jchan (t) - оценка фазы несущего колебания j-ro спутника в приёмнике, которую мы далее для удобства будем называть канальной фазой j-ro спутника, yr(t) - фаза опорного генератора приёмника на несущей частоте, MJ - неопределенное целое, отражающее неоднозначность фазовых измерений. Ввиду отсутствия единой терминологии, вместо всех вышеперечисленных терминов далее для обозначения cpJ'(t) (В.1) будем использовать термин "псевдофаза". Дополнительно отметим, что в реальном приёмнике оценка фазы несущих колебаний спутников осуществляется после их преобразования на промежуточную частоту. В определении же (В.1) имеются в виду фазы xf/jhan(t), v|/r(t) колебаний на несущих частотах.

По мнению автора, в литературе по спутниковой навигации отсутствует система понятий, которая позволяет на основе использования единой "сигнальной" терминологии (т. е. с использованием таких терминов как амплитуда, частота, фаза) описывать смысловое содержание понятий, обозначаемых терминами "шкала времени", "псевдозадержка (псевдодальность)" и "псевдофаза". Отсутствие такой системы значительно затрудняет понимание процессов формирования и временной привязки измерений в навигационном приемнике, порождает путаницу и несоответствие между смысловым содержанием измерений и их математическими моделями.

Рассмотрим наиболее яркий пример существующего в литературе несоответствия между смысловым содержанием и математической моделью псевдофазы. В [2-11] приводятся математические модели псевдофазовых измерений. Если опустить различия в знаках некоторых компонент, пренебречь влиянием аппаратурных и многолучевых искажений, то эти модели могут быть представлены в следующем общем виде: ф'" (О = ■^ + :1К - ЛТ-1)+ + М^ (В.2) где ЯЧО - дальность до ]-го спутника, Л/ - номинальная длина волны несущего колебания |-го спутника, Р - номинальная частота несущего колебания ]-го спутника, АТГ - смещение шкалы времени приемника, ЛТ-1 - смещение шкалы времени ]-го спутника; айп - фазовые искажения несущего колебания в атмосфере. Из (В.2) видим, что математическая модель устанавливает взаимосвязь измеренного значения псевдофазы с параметрами спутникового сигнала, шкалами времени приемника и спутника и дальностью до спутника. Модель ничего не говорит о способе формирования псевдофазы в приемнике, однако именно она используется в процессе последующей вторичной обработки измерений.

Нетрудно заметить несоответствия между определением смыслового содержания псевдофазы (В.1) и ее математической моделью (В.2). Измерения псевдофазы в приемнике привязываются к моментам времени % в которые показания Тг (г) его часов принимают определенные значения (например, кратные 1 сек.). Первое несоответствие заключается в отсутствии какой либо связи псевдофазы (р-^), определённой в соответствии с (В.1), с показаниями Т,.^) часов приёмника в момент измерения. Ясно, что эта связь должна существовать. В определении же (В.1) такая связь никак не отражена. В то же время модель псевдофазы (В.2) содержит в своем составе смещение шкалы времени приемника ДТГ, которое связано с его шкалой времени Тг(1:). Более того, при возможных коррекциях шкалы времени приемника значение ДТГ скачкообразно изменяется и, следовательно, согласно (В.2) в этот момент должна скачкообразно изменяться псевдофаза ф'(0. Но псевдофаза, определенная в соответствии с (В.1), не может скачкообразно изменяться, т.к. фазы ч^сЬап(1:) и ц/^) меняются плавно.

Второе несоответствие состоит том, что в (В.1) для разных спутников определяется единый опорный сигнал с фазой М^). Такое определение является естественным для йРБ, где номинальные частоты несущих колебаний спутников ОРБ одинаковы. Однако в ГЛОНАСС номинальные частоты несущих колебаний спутников различаются. Тем не менее, во всех источниках [2-8], в том числе и в источниках [5, 6], где рассматриваются особенности, порождаемые частотным разделением спутниковых сигналов ГЛОНАСС, фаза уДО опорного генератора приёмника в определении (В.1) полагается единой для всех спутников. Это означает, что применительно к системе ГЛОНАСС выражение (В.1) определяет псевдофазу, которая будет зависеть от разности частот сигнала .¡-го спутника и единого опорного сигнала приемника. Для определения псевдофазы, соответствующей модели (В.2), в системе ГЛОНАСС для каждого ]-го спутника в приемнике требуется формировать свой опорный сигнал на частоте несущего колебания этого спутника. Фазы этих опорных сигналов будут различаться.

Естественно возникает вопрос о взаимосвязи фаз ^(1;), соответствующих разным спутникам. Найти ответ на этот вопрос в существующей литературе не удаётся.

Использование математической модели псевдофазы в алгоритмах вторичной обработки позволяет на практике достичь высокой точности определения относительных координат. Поэтому адекватность математической модели псевдофазы её измерениям не вызывает сомнений. Отсюда следует, что определение смыслового содержания псевдофазы (В.1) является неверным, либо же, по крайней мере, неточным и поэтому оно не может служить основой для описания процессов формирования псевдофазы в приёмнике.

В литературе по спутниковой навигации автору не удалось найти чёткого определения того, что следует понимать под термином "шкала времени". Везде этот термин применяется без определения смыслового содержания, которое по этой причине остаётся размытым. Отсутствие определения смыслового содержания понятия, обозначаемого термином "шкала времени" приводит к путанице в понимании цифр, обозначающих временную привязку измерений. Так, например, приемники, образующие сеть Международной ОР8-службы для геодинамики (ЮБ), могут использовать и используют для временной привязки формируемых ими измерений разные типы часов (см. раздел 2). Это означает, что одна и та же цифра в таких приёмниках будет обозначать разные моменты времени измерений. Все измерения (ЬЦр://1й8сЬ.1р1.паза.еоу/) приемников сети Ю8 хранятся в стандарте МЫЕХ [12], в котором не предусмотрено указание типа часов приёмника, использовавшихся в процессе формирования измерений. Естественно, что это вносит путаницу в интерпретацию временной привязки измерений. Для того, чтобы избежать путаницы и споров с возможными оппонентами по поводу того, что следует понимать под "шкалой времени", в диссертации этот термин не используется. Вместо него используются термины "часы", "показания часов", "моменты времени, определяемые показаниями часов" и т. д. Смысловое содержание этих терминов определяется в разделе 2 диссертации.

Несоответствие между смысловым содержанием псевдофазы и ее математической моделью, отсутствие в литературе определения смыслового содержания понятия, обозначаемого термином "шкала времени" свидетельствуют о настоятельной необходимости создания единой теории интерпретации и формирования измерений псевдодальностей и псевдофаз в СРНС. Настоятельная необходимость создания такой единой теории диктуется тем, что без овладения понятиями, развиваемыми в ней, невозможно формирование измерений псевдодальностей и псевдофаз с тем разнообразием свойств, которое может понадобиться на практике. Например, измерения могут быть сформированы в приёмнике в моменты времени, в его которые собственные часы показывают целое число секунд. Измерения нескольких произвольно разнесённых в пространстве приёмников, работающих в таком режиме (назовём его первым), не будут синхронными, поскольку одинаковые показания собственных часов разных приёмников достигаются в разные моменты времени. Если требуется достичь определённой синхронности моментов проведения измерений указанных приёмников, то измерения в каждом из них необходимо формировать в моменты времени, в которые по оценке каждого из приёмников некоторые внешние часы (обычно это часы системы) показывают те же самые значения целого числа секунд. Оценка показаний внешних по отношению к приёмнику часов осуществляется на основе обработки его же измерений. Конечно моменты проведения измерений в разных приёмниках, работающих в таком режиме (назовём его вторым), не будут строго совпадать. Расхождения между этими моментами будут определяться ошибками измерений и ошибками эфемеридной информации. Моменты формирования измерений в первом и втором режимах будут различаться, соответственно будут различаться и значения самих измерений. Поэтому алгоритмы формирования этих двух типов измерений должны быть разными. Однако показания часов, которые будут использоваться для указания количественного значения времени на моменты формирования этих двух различных типов измерений, будут одинаковыми. Таким образом, измерения одного и того же параметра (псевдозадержки либо псевдофазы) могут различаться, в зависимости от типа часов, которые используются для количественного определения времени на моменты проведения измерений.

Рассмотренный пример демонстрирует определённые понятия, которые развиваются в теории интерпретации и формирования измерений. Определение смысловых содержаний псевдодальностей и псевдофаз, которые позволяют описать формирование измерений этих параметров, таких, что они не противоречат своим математическим моделям, так же является предметом общей теории интерпретации и формирования измерений в навигационных приёмниках. Ясно, что без овладения понятиями указанной теории невозможно не только формирование соответствующих типов измерений, но даже понимание того, что такие типы измерений возможны. Это обуславливает необходимость и актуальность создания общей тории интерпретации и формирования измерений в приёмниках СРНС.

Расширение областей применения спутниковых псевдофазовых измерений, повышение требований к точности и оперативности их обработки выдвигают необходимость развития общей теории обработки неоднозначных измерений и её приложений к обработке неоднозначных псевдофазовых измерений в спутниковых радионавигационных системах. Некоторые вопросы обработки псевдофазовых измерений нашли теоретическое осмысление в разрабатываемой при активном участии автора с начала 70-х годов прошлого века общей теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях. Результаты, достигнутые за это время, рассеяны по многочисленным журнальным статьям с различающимися обозначениями и терминологией. Современная практика обработки псевдофазовых измерений требует дальнейшего существенного развития указанной теории и осуществления целостного её изложения. Помимо этого, особенности математических моделей псевдофазовых измерений таковы, что их сведение к виду, принятому в общей теории, не является очевидным. Поэтому важным и актуальным является развитие прикладных аспектов теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях, в которых рассматривается сведение математических моделей псевдофазовых измерений к виду, принятому в общей теории.

Изложенное выше позволяет сформулировать две крупных научных проблемы, решаемых в диссертации:

1. Развитие теории интерпретации и формирования измерений в СРНС, преодолевающей следующие недостатки современного состояния общей теории спутниковых радионавигационных систем:

• Существующее в литературе по спутниковой навигации определение смыслового содержания псевдофазы противоречит её математической модели. Использование этой модели для вторичной обработки псевдофазовых измерений позволяет на практике достичь очень высокой точности определения относительных координат. По этой причине адекватность математической модели псевдофазы её реальным измерениям не вызывает сомнений. Но из этого следует, что существующее в литературе по спутниковой навигации определение смыслового содержания псевдофазы является неверным, либо же, по крайней мере, неточным.

• В современной литературе по спутниковой навигации отсутствует система понятий, позволяющих с единых позиций описывать временную привязку пространственного положения спутников, описывать смысловое содержание псевдодальностей (псевдозадержек) и псевдофаз, описывать процесс разрешения неоднозначности измерений псевдозадержек.

• Отсутствие такой системы понятий не позволяют с единых позиций описывать процесс формирования измерений псевдодальностей и псевдофаз в навигационных приёмниках, их временную привязку, формирование измерений в зависимости от типа часов, которые используются для количественного определения времени на моменты проведения измерений.

• Неточность в определении смыслового содержания псевдофазы ведёт к ошибкам в алгоритмах её формирования. Но даже если в навигационном приёмнике измерения псевдофазы формируются верно, но при вторичной обработке их смысловое содержание интерпретируется неверно, то для описания измерений псевдофазы будут использоваться неверные или неточные математические модели. Это приводит к ошибкам в обработке измерений псевдофазы, может порождать необоснованные надежды на достижение каких то необыкновенных результатов и т. д.

2. Осуществление дальнейшего развития общей теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях и проводится её целостное изложение. Разрабатываются приложения этой теории к обработке неоднозначных псевдофазовых измерений в СРНС.

Цель работы: В диссертации преследуются две цели:

1. Создание общей теории, описывающей с единых позиций смысловое содержание псевдодальностей (псевдозадержек) и псевдофаз в спутниковых радионавигационных системах, определение с единых позиций математических моделей этих параметров исходя из их смыслового содержания, создание на этой основе общей теории интерпретации и формирования измерений псевдодальностей и псевдофаз в навигационных приёмниках.

2. Дальнейшее развитие общей теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях и осуществление её целостного изложения. Разработка приложений теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях к обработке неоднозначных псевдофазовых измерений в СРНС.

По своей структуре диссертация состоит из списка сокращений и обозначений, введения, восьми разделов, заключения, списка литературы, приложений и предметного указателя. Предметный указатель включён в основном для облегчения восприятия понятий и терминов, введённых во втором разделе диссертации. Использование этих понятий и терминов требует определённого навыка и привыкания. Поэтому, чтение 3-го и 4-го разделов диссертации, где эти понятия и термины интенсивно используются, может вызывать затруднения. При возникновении таких затруднений, автор рекомендует пользоваться предметным указателем.

Для описания временной привязки измерений, необходимо иметь определенное представление о временных процессах, происходящих в навигационном приемнике. С этой целью в разделе 1 проводится описание принципов функционирования многоканального навигационного приемника, с точки зрения происходящих в нем временных процессов. Описываются основные понятия, характеризующие эти процессы.

В разделе 2 определяется смысловое содержание терминов, используемых в диссертации для количественного описания времени. Термин время везде трактуется как "идеальное время" и для его обозначения везде используется символ t. Это идеальное время t используется только для описания временных процессов. Его количественное значение при этом никак не определяется. Для количественного определения времени используется понятие показаний определённых часов, которые обозначаются символом T(t). В разделе 2 определяются основные типы часов навигационного приёмника, проводится их классификация. Для пояснений используются понятия, введённые в разделе 1.

В разделе 3 определяются понятия псевдозадержек и псевдофаз, измеренных в моменты времени определяемые показаниями разных часов навигационного приемника. Исходя из введенных определений, выводятся математические модели псевдозадержек и псевдофаз.

В разделе 4 рассматриваются алгоритмы формирования измерений псевдозадержек и псевдофаз в моменты времени, определяемые показаниями разных часов навигационного приемника.

Разделы 5 и 6 посвящены основам теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях. В разделе 5 рассматривается обработка одномоментных измерений, описываются свойства и характеристики точности результирующих оценок максимального правдоподобия. В разделе 6 рассматривается линейное дискретное рекуррентное оценивание при неоднозначных измерениях. Основное внимание при изложении теории обработки неоднозначных измерений уделено практической реализуемости предлагаемых алгоритмов.

Разделы 7 и 8 посвящены практическому применению общей теории обработки неоднозначных измерений, изложенной в разделах 5 и 6, к обработке неоднозначных псевдофазовых измерений в СРНС GPS и ГЛОНАСС. В разделе 7, на основе математических моделей измерений псевдозадержек и псевдофаз, полученных в разделе 3, рассматриваются алгоритмы статических относительных определений в СРНС. В качестве теоретической основы такой обработки используются общие положения теории, изложенные в разделе 5. Раздел 8 посвящена динамическим относительным определениям в СРНС. В качестве теоретической основы используются общие положения теории, изложенные в разделе 6.

В заключении сформулированы положения, выносимые на защиту, кратко охарактеризованы задачи, решённые в диссертации, показана их научная новизна, приводятся сведения о практической ценности работы.

В приложения к диссертации вынесены все промежуточные и подчас очень громоздкие математические выкладки. Это позволило осуществить изложение основных идей диссертации в более компактной форме. Тем не менее, многие из приложений имеют самостоятельное весьма важное прикладное значение. В первую очередь это относится к приложениям, в которых описаны вычислительные алгоритмы, связанные с минимизацией неоднородной положительно определённой квадратичной формы в целых числах, а так же к приложениям, в которых описывается вычисление ковариационных матриц первых и вторых разностей псевдодальностей и псевдофаз GPS, ГЛОНАСС, а так же измерений, осуществляемых совмещённымОРБ/ГЛОНАСС приёмником.

Благодарности

Автор выражает благодарность всему коллективу кафедры "Радиосистемы передачи информации и управления" факультета Радиоэлектроники летательных аппаратов МАИ за поддержку работы над диссертацией. Автор благодарен своему первому научному руководителю проф. Вейцелю В. А., определившему в своё время направление научных исследований автора. Отношение проф. Вейцеля В. А. к строгости научных выводов и ясности их изложения было всегда образцом для автора. Автор особенно признателен д. т. н. проф. Перову А. И. за острую критику понятий, развиваемых в диссертации, которая способствовала значительному улучшению ясности их изложения.

Заключение диссертации по теме «Радиолокация и радионавигация», Поваляев, Александр Александрович

Основные результаты диссертации:

1. Впервые проведена классификация типов собственных часов навигационного приёмника и рассмотрены способы их построения

2. Разработаны методы и алгоритмы формирования измерений псевдозадержек и псевдофаз, привязанных к моментам времени, которые определяются показаниями разных собственных часов навигационного приёмника.

3. Осуществлено развитие теории линейного и линейного дискретного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях, в которой учитывается многомодальный характер закона распределения оценки на каждом рекуррентном шаге. С использованием результатов, опубликованных автором в журнальных статьях за период 1972 - 2007 г., осуществлено целостное изложение этой теории.

4. Предложен вычислительно эффективный алгоритм минимизации в целых числах положительно определённой квадратичной формы, который лежит в основе процедуры разрешения неоднозначности в теории линейного оценивания по неоднозначным измерениям. Предложенный алгоритм превосходит по вычислительной эффективности все известные в настоящее время алгоритмы такой минимизации. Все вычислительно сложные процедуры, связанные с этим алгоритмом в приложениях к диссертации представлены в виде отлаженных модулей на языке системы МАТЬАВ. Описание каждого модуля заканчивается тестовым примером.

5. Найдена удобная для практического использования аппроксимация многомодального закона распределения оценки максимума апостериорной плотности вероятности при неоднозначных измерениях. Аппроксимация позволяет вычислять не только объём главной моды закона распределения, определяющий вероятность правильного разрешения неоднозначности, но и вычислять объёмы всех наиболее значимых боковых мод, задающих вероятности появления наиболее часто возникающих аномальных ошибок.

6. Разработан метод исключения ионосферных искажений при определении относительных координат навигационного приёмника по двухчастотным псевдофазовым измерениям, основанный на изменении ковариационной матрицы свободных членов соответствующей системы линейных уравнений. Использование этого метода позволяет исключать ионосферные искажения без увеличения вероятности аномальных ошибок.

7. Разработана теория линейного дискретного рекуррентного оценивания при обработке неоднозначных измерений, учитывающая многомодальный характер апостериорной плотности вероятности на каждом шаге рекуррентного оценивания.

8. Предложен метод сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системе ГЛОНАСС к виду, принятому в общей теории обработки неоднозначных измерений, который позволяет исключать из числа оцениваемых параметров разность смещения показаний часов разнесённых навигационных приёмников. Это значительно упрощает обработку псевдофазовых измерений в ГЛОНАСС и позволяет осуществлять её с помощью тех же алгоритмов, которые используются для обработки псевдофазовых измерений в GPS.

9. Предложены методы сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системах ГЛОНАСС и GPS к виду, принятому в развитой в диссертации теории линейного и линейного дискретного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях.

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем: 1. Предложена модель навигационного приёмника в виде множества канальных часов, и единых собственных часов. Каждые канальные часы соответствуют определённому спутнику. Ход канальных часов синхронизируется кодовыми сигналами, принимаемыми со спутников. Излучение кодовых сигналов со спутников синхронизируется ходом спутниковых часов. Поэтому показания канальных часов в каждый текущий момент являются оценками показаний часов спутников на моменты времени, которые предшествуют текущему моменту на время распространения сигналов. Показания собственных часов приёмника определяются сигналом его задающего генератора и могут корректироваться на основе информации, извлекаемой из обработки измерений псевдозадержек.

260

2. Использование в модели навигационного приёмника вместо времени показаний часов позволяет с единых позиций описывать:

• Временную привязку пространственного положения спутников

• Смысловое содержание псевдозадержек и псевдофаз

• Процесс разрешения неоднозначности измерений псевдозадержек на основе использования меток времени и показаний спутниковых часов на моменты их излучения

• Определение абсолютных координат приёмника по показаниям канальных часов Перечисленное позволяет отнести показания часов к числу фундаментальных понятий спутниковой навигации.

3. На основе использования понятия показаний часов, впервые проведена классификация типов собственных часов навигационного приёмника и рассмотрены способы их построения

4. Впервые введено определение смыслового содержания псевдозадержек и псевдофаз в зависимости от типа собственных часов, используемых в навигационном приёмнике для количественного определения моментов времени формирования измерений псевдодальностей и псевдофаз.

5. На основе использования понятия показаний часов создана теория интерпретации и формирования измерений псевдозадержек и псевдофаз, привязанных к моментам времени, определяемым показаниями разных собственных часов навигационного приёмника.

6. Осуществлено дальнейшее развитее теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях. С использованием результатов, опубликованных автором в журнальных статьях за период 1972 - 2007 г., впервые осуществлено целостное изложение этой теории.

7. В рамках теории линейного оценивания по неоднозначным измерениям проведено вычисление многомодального закона распределения оценки максимального правдоподобия. Найдена упрощённая аппроксимация этого закона, приемлемая для практических приложений. Аппроксимация позволяет вычислять не только объём главной моды закона распределения, который равен вероятности правильного разрешения неоднозначности, но и вычислять объёмы всех наиболее значимых боковых мод этого закона. Объёмы, сосредоточенные под боковыми модами, равны вероятностям появления наиболее часто возникающих аномальных ошибок, величины которых сосредоточены вокруг максимумов соответствующих мод.

8. В рамках теории линейного оценивания по неоднозначным измерениям выявлено, что использование известного из линейной алгебры метода Гаусса для исключения переменных из систем линейных уравнений с неоднозначными свободными членами приводит к уменьшению вероятности правильного разрешения неоднозначности. Вместо метода Гаусса в диссертации для указанной цели предлагается использовать изменение ковариационной матрицы свободных членов системы линейных уравнений. Такой метод позволяет исключать мешающие переменные из системы линейных уравнений с неоднозначными свободными членами без уменьшения вероятности правильного разрешения неоднозначности.

9. Впервые разработана теория линейного дискретного рекуррентного оценивания при обработке неоднозначных измерений, учитывающая многомодальный характер апостериорной плотности вероятности на каждом шаге рекуррентного оценивания.

10. Предложен метод сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системе ГЛОНАСС к виду, принятому в теории обработки неоднозначных измерений, который позволяет исключать из числа оцениваемых параметров разность смещений показаний часов разнесённых навигационных приёмников. Это значительно упрощает обработку псевдофазовых измерений в ГЛОНАСС и позволяет осуществлять её с помощью тех же алгоритмов, которые используются для обработки псевдофазовых измерений в GPS.

11. Предложен способ сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системах ГЛОНАСС и GPS к виду, используемому в разработанной автором теории линейного дискретного рекуррентного оценивания при обработке неоднозначных измерений, в которой учитывается многомодальный характер апостериорной плотности вероятности на каждом шаге рекуррентного оценивания.

На защиту выносятся:

1. Методы построения алгоритмов формирования измерений псевдозадержек и псевдофаз, соответствующих основным типам собственных часов навигационного приёмника, показания которых используются для количественного определения времени на моменты формирования измерений. На основе предложенных методов, разработаны алгоритмы, с помощью которых впервые в мире в приёмнике GG24 были сформированы псевдофазовые измерения по системе ГЛОНАСС, и которые используются для тех же целей в современных навигационных приёмниках.

2. Усеченная свернутая гауссова аппроксимация закона распределения циклических случайных величин. Эта аппроксимация лежит в основе теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях и всех известных в настоящее время вычислительно эффективных методов обработки неоднозначных измерений.

3. Основные положения теории линейного и линейного дискретного рекуррентного оценивания, в которой учитывается многомодальный характер закона распределения оценки на каждом рекуррентном шаге. С математической точки зрения, теорию линейного оценивания при неоднозначных измерениях можно рассматривать как теорию решения систем избыточных линейных уравнений с неоднозначными свободными членами.

4. Метод исключения ионосферных искажений при определении относительных координат навигационного приёмника по двухчастотным псевдофазовым измерениям, основанный на изменении ковариационной матрицы свободных членов соответствующей системы линейных уравнений. Применяемый в настоящее время для исключения ионосферных искажений метод Гаусса приводит к уменьшению вероятности правильного разрешения неоднозначности. Предлагаемый метод позволяет исключать ионосферные искажения без уменьшения этой вероятности.

5. Метод сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системе ГЛОНАСС к виду, принятому в теории обработки неоднозначных измерений, при котором разность смещений показаний часов разнесённых навигационных приёмников исключаются из числа оцениваемых параметров. Это позволяет значительно упростить обработку псевдофазовых измерений в ГЛОНАСС и осуществлять её с помощью тех же алгоритмов, которые используются для обработки псевдофазовых измерений в GPS.

6. Метод сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системах ГЛОНАСС и GPS к виду, используемому в теории линейного дискретного рекуррентного оценивания при обработке неоднозначных измерений, в которой учитывается многомодальный характер апостериорной плотности вероятности на каждом шаге рекуррентного оценивания.

Практическая ценность работы определяется тем, что:

1. Методы формирования измерений псевдозадержек и псевдофаз, использующиеся в реальной практике, вытекают из определяемых в диссертации смысловых содержаний этих параметров. Можно сказать, что определяемые в диссертации содержательные значения псевдодальностей и псевдофаз "подсказывают" действия, которые необходимо выполнить в навигационном приёмнике для формирования измерений. В этом смысле, разработанная в диссертации теория интерпретации и формирования измерений является конструктивной. В противоположность этому, широко распространенное в литературе по спутниковой навигации определение псевдозадержки как интервала времени, является деструктивным. Оно вводит в заблуждение разработчиков навигационных приёмников. Попытки сформировать измерения псевдозадержки, соответствующие этому определению, заранее обречены на провал, потому, что такие измерения физически не могут быть сформированы в приёмнике.

Практическая ценность развитой в диссертации теории определяется так же тем, что на её основе разработаны алгоритмы формирования новых, ранее не известных типов измерений. Например, алгоритмы формирования первых в мире псевдофазовых измерений по системе ГЛОНАСС в приёмнике СС24, алгоритмы формирования синхронных измерений псевдодальностей и псевдофаз в разнесённых приёмниках с ошибкой, не превышающей долей микросекунды и т. д.

2. Понятия, развитые в диссертации, и терминология, основанная на этих понятиях, используются при разработке новых версий интерфейсных контрольных документов по системе ГЛОНАСС (имеется соответствующий акт внедрения).

3. Разработанная в диссертации теория линейного оценивания при неоднозначных измерениях, является основой для построения алгоритмов обработки любых типов неоднозначных измерений в линейных либо линеаризованных системах. Предложенные в диссертации алгоритмы превосходят по вычислительной эффективности все известные в настоящее время алгоритмы разрешения неоднозначности и позволяют в сотни раз по сравнению с методами, основанными на переборе целых чисел, сократить время вычислений.

4. В диссертации предложен метод исключения ионосферных искажений при определении относительных координат навигационного приёмника по двухчастотным псевдофазовым измерениям, основанный на изменении ковариационной матрицы свободных членов соответствующей системы линеаризованных уравнений. Предложенный метод, в отличие от известного из линейной алгебры метода Гаусса позволяет исключать ионосферные искажения без уменьшения вероятности правильного разрешения неоднозначности.

5. Все вычислительно сложные процедуры теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях, в приложениях к диссертации представлены в виде отлаженных модулей на языке системы МАТЬАВ. Описание каждого модуля заканчивается тестовым примером. Наличие таких приложений способствует упрощению и ускорению практического использования результатов диссертации в самых различных областях обработки неоднозначных измерений.

6. При рекуррентной обработке неоднозначных измерений в общем случае необходимо учитывать то, что на каждом шаге такой обработки апостериорная плотность вероятности оценки может становиться многомодальной функцией. Разработанная в диссертации теория линейного дискретного рекуррентного оценивания при обработке неоднозначных измерений учитывает многомодальный характер апостериорной плотности вероятности на каждом шаге рекуррентного оценивания. Такой учёт позволяет сократить время, необходимое при г рекуррентном оценивании для достижения высокой вероятности правильного разрешения неоднозначности.

7. Предложенный в диссертации метод сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системе ГЛОНАСС к виду, принятому в теории обработки неоднозначных измерений, позволяет исключать из числа оцениваемых параметров разность смещения показаний часов разнесённых навигационных приёмников. Это значительно упрощает обработку псевдофазовых измерений в ГЛОНАСС и позволяет осуществлять её с помощью тех же алгоритмов, которые используются для обработки псевдофазовых измерений в GPS.

8. В диссертации предложен метод сведения математических моделей псевдофазовых измерений в системах ГЛОНАСС и GPS к виду, используемому в теории линейного дискретного рекуррентного оценивания при обработке неоднозначных измерений, в которой учитывается многомодальный характер апостериорной плотности вероятности на каждом шаге рекуррентного оценивания.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и опубликованы в материалах международных конференций

• Всесоюзная научно-техническая конференция "Современные проблемы фазоизмерительной техники и её применения", Красноярск, 1989

• II Всесоюзная научно-техническая конференция "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей", Харьков, ХИРЭ, 1991

• Всероссийская научно-техническая конференция "Радиотехнические системы (навигации, связи), средства измерений и новые информационные технологии", Красноярск, 1992

• ION GPS-97, Kansas City Convention Center, Kansas City, Missouri, September 16-19, 1997

• Научно-техническая конференция ФГУП Российский НИИ космического приборостроения, Москва, 2003

• Пятый международный аэрокосмический конгресс IAC06, Москва, Российская Академия Государственной Службы при Президенте РФ, 27-31 августа 2006

• ION GNSS 2006, Fort Worth Convention Center, Fort Worth Texas, September 26-29, 2006

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 40 научных работах, их них 1 монография, 1 учебное пособие, 29 статей, 2 международных патента, 7 докладов и тезисов

Личное участие. Основные результаты диссертационной работы получены автором единолично (без соавторов). Результаты реализованы, внедрены и используются в ФГУП Российский научно исследовательский институт космического приборостроения, ЗАО Научно-производственное объединение космического приборостроения, ОАО "Лётные Испытания и Производство" имени Гризодубовой B.C., ООО Аштек А/О, ООО Топкон Позишионинг Системз СНГ, ООО Джавад Навигейшн Системз, Московском авиационном институте (Государственном техническом университете). Автор является соавтором двух международных патентов на изобретения. г

Заключение

В диссертации решены две крупные и актуальные научно-технические проблемы, а именно

• Разработана теория интерпретации и формирования измерений псевдозадержек и псевдофаз в навигационных приёмниках спутниковых радионавигационных систем.

• Осуществлено развитие общей теории линейного оценивания при неоднозначных измерениях и проведено её целостное изложение. Разработаны приложения этой теории к обработке неоднозначных псевдофазовых измерений в СРНС.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Поваляев, Александр Александрович, 2008 год

1. Радиосистемы управления. Учебник. Под ред. В. А. Вейцеля. Изд. Дрофа, 2005

2. Leick A. GPS Satellite Surveying. John Wiley $ Sons. New York, 1990

3. Seeber G. Satellite Geodesy. Foundations, Methods, and Applications. Walter de Gruyter, Berlin, New-York 1993

4. Walsh D., Daly P. GPS and GLONASS Carrier Phase Ambiguity Resolution. Proceedings of ION GPS-96, pp. 899-907

5. Beser J., Balendra A., Erpelding E., Kim S. Differential GLONASS, Differential GPS and Integrated GLONASS/GPS. Initial Results. Proceedings of ION GPS-95, pp. 507-515.

6. Guide to GPS Positioning. Prepared under the leadership of David Wells. Canadian GPS Associates. Second printing, with corrections, May 1987

7. Hoffman-Wellenhof В., Lichtenegger H., and Collins J. Global Positioning System. Theory and Practice. Springer-Verlag Wien, New York 1992

8. Understanding GPS. Principles and Application. Editor Elliot D. Kaplan, 1996

9. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛОНАСС. Под ред. Харисова В. Н., Перова А. И., Болдина В. А. М.: ИПРЖР, 1998

10. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования. Издание 3-е, переработанное. Под. ред. А. И. Перова, В. Н. Харисова. Издательство «Радиотехника», Москва, 2005

11. Gurtner W., Astronomical Institute University of Berne, Switzerland, G. M. Mader, National Geodetic Survey, Rockville, Maryland U.S.A. The Rinex Format: Current Status, Future Developments

12. Interface Control Document: NAVSTAR GPS Space Segment / Navigation User Interfaces (ICD-GPS-200). Rockwell Int. Corp., 1987

13. Глобальная навигационная спутниковая система. ГЛОНАСС. Интерфейсный контрольный документ, (редакция пятая). М. 2002 г. КНИЦ. http://www.glonass-center.ru/public w.html

14. Дж. Деннис. Р. Шнабель. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.,"МИР", 1988г

15. И.Н. Бронштейн и К.А. Семендяев, Справочник по математике. Москва, Наука, 1964

16. И. А. Липкин. Спутниковые радионавигационные системы. Москва, «Вузовская книга», 2001

17. Поваляев A.A. Формирование измерений псевдофазы в приемниках спутниковых радионавигационных систем GPS и ГЛОНАСС. Журнал "Радиотехника и электроника", Т 47, № 12, 2002 г., стр. 1460-1473

18. Максимов М.В., Горгонов Г.И. Радиоэлектронные системы самонаведения. Москва "Радио и связь", 1982

19. Многофункциональные радиоэлектронные комплексы истребителей. Под ред. Кондратенкова Г.С. Москва "Военное издательство", 1994

20. Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и электро-оптические измерения. Москва "Недра", 1985

21. Голубев А.Н., Ханов В.А. Лазерная интерферометрия больших расстояний. Москва "Недра", 1991

22. Бакулев П.А., Сосновский A.A. Радиолокационные и радионавигационные системы. Москва "Радио и связь", 1994

23. Радионавигационные системы сверхдлинноволнового диапазона. Под ред. Оленюка П.В. и Головушкина Г.В. Москва, "Радио и связь", 1985

24. Авиационная радионавигация. Справочник. Под ред. Сосновского A.A. Москва "Транспорт", 1990

25. Собцов Н.В. Оценка максимального правдоподобия в многошкальной фазовой измерительной системе. // Радиотехника и электроника. 1973. Том 18. № 6. стр. 11801186

26. Pratt М., Burke В., and Misra P. Single-Epoch Integer Ambiguity Resolution with GPS-GLONASS LI Data. Proceedings of ION 53rd Annual Meeting, pp. 691-699, 1997

27. Поваляев A.A. Об оценке максимального правдоподобия в многошкальном измерительном устройстве. Журнал "Радиотехника и электроника", т. 21, № 5, 1976, стр. 1042-1049

28. Пензин К.В. Алгоритмы оперативной обработки многошкальных измерений по критерию максимального правдоподобия. Журнал "Радиотехника и электроника", т. 35, № 1, 1990,стр. 97-106

29. Березин Л.И., Вейцель В.А. Теория и проектирование радиосистем. Москва, "Советское радио", 1977

30. Тихонов В.И. Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. Москва "Радио и связь", 1991

31. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Москва "Радио и связь", 1989

32. Сейдж Э. и Мэлс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. Выпуск 6, "Связь" Москва 1976

33. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Москва, "Наука", 1988

34. Han S., Qualiti Control Issues Relating to Instantaneous Ambiguity Resolution for Real-Time GPS Kinematic Positioning, ION GPS-96, part II, pp.1419-1430

35. Поваляев A.A. Аппроксимация закона распределения оценки максимального правдоподобия при неоднозначных измерениях. Журнал "Радиотехника и электроника", Т 40, № 4, 1995 г., стр. 610-618

36. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: "Наука", 1966

37. Вороной Г.Ф. Собрание сочинений. Киев: АН УССР, 1952

38. Поваляев А.А. Вычисление характеристик качества и синтез многошкальных измерительных устройств, осуществляющих построение оценки максимального правдоподобия. Журнал "Радиотехника и электроника", Т 23, № 1, 1978 г., стр. 48-56.

39. Абергауз Г. Г. Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениздат, 1970

40. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: "Мир", 1975

41. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М., "Мир", 1980

42. Поваляев А.А. Задача фильтрации при неоднозначных фазовых измерениях. Журнал "Радиотехника и электроника", Т 44, № 8, 1999 г., стр. 972-981

43. Розов Л.С., Собцов Н.В., Задача фильтрации в условиях неоднозначных измерений, Радиотехника и электроника, 1980, 25, 9, стр. 1881-1887

44. Оуэн Д. Б. Сборник статистических таблиц. М.: ВЦ АН СССР, 1966

45. Rizos С. and Han S. 1995. A New Method for Constructing Multi-satellite Ambiguity Combinations for Improved Ambiguity Resolution, Proceedings of ION GPS-95, Palm Spring, pp. 1145-1153

46. Поваляев А. А., Хвальков A.A., Белоусов P. Б. Относительные определения по приращениям фазы несущих сигналов системы ГЛОНАСС. Измерительная техника" N 5, 1996 г., стр. 32-34

47. Raby P., Daly P. Using the GLONASS System for Geodetic Survey. Proceedings of ION GPS-93,pp.1129-1138

48. Гоноровский И. С., Демин М. П. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие для ВУЗОВ. М. "Радио и связь", 1994

49. Reber E. E., Swope J. R., On the correlation of total precipitable water in a vertical column and absolute humidity.-J. Appl. Meteorol., vol. 11, pp. 1322-1325, 1972

50. Crane R. K., Refraction effects in the neutral atmosphere, in Methods of Experimental Physics, vol. 12B, 1976, pp. 186-200.

51. Davis J. L. Geodesy by radio interferometry: effects of atmospheric modeling errors on estimates of baseline length, Radio Sci, vol. 20, pp. 1593-1607, 1985.

52. Saastamoinen J. (1972). "Atmospheric Correction for the Tropospere and Stratosphere in Radio Ranging of Satellites," in Use of Artificial Satellites for Geodesy, Geophysical Monograph 15, American Geophysical Union, D.C.

53. Hopfield H.S. (1969). "Two-Quartic Tropospheric refractivity Profile for Correcting Satellite Data," Journal of Geophysical Research, 74:4487-4499

54. Goad C.C., and Goodman L. (1974). "A modified Hopfield Tropospheric Refraction Correction Model," Paper presented at the Fall Annual Meeting of the American Geophysical Union, San Francisco, December 1974

55. Black H.D. (1978). "An Easy Implemented Algorithm for the Tropospheric Range Correction," Journal of Geophysical Research, 83(B4): 1825-1828

56. Brown R.G., Hwang P.Y.C. Introduction to random signals and applied Kalman filtering. Second edition. JOHN WILLEY & SONS, INC 1992

57. Зингер P.A. Оценка характеристик оптимального фильтра для слежения за пилотируемой целью. Зарубежная радиоэлектроника, N8,1971г, с. 40-57

58. Singer R.A. Estimating optimal tracking filter performance for manned maneuvering tagets. IEEE Trans., 1970, July, AES-6, N4, pp. 473-483

59. Aldrich G.T., Krabill W.B. An Application of Kalman Techniques to Aircraft and Missile Radar Tracking. AIAA Journal, 1973, v. 11, No.7, pp. 932-938

60. Рышков C.C. , Барановский Е.П. Классические методы теории решетчатых упаковок. "Успехи математических наук", 1979, июль-август, т. 34, вып. 4 (208)

61. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковка шаров, решетки и группы. Т. 1 и 2, М. Мир, 1990

62. Press W. Н., Teukolsky S. A., Vetterling W. Т., Flannery В. P. Numerical Recipes in С. The art of Scientific Computing. Second Edition. Cambridge University Press, 1992.

63. Кнут Д. Искусство программирования, т. 2, Москва, Санкт-Петербург, Киев. Издательский дом "Вильяме", 2001

64. Dieter U. How to calculate shortest vectors in a lattice. Math. Сотр., 29, pp. 827-833 (1975)

65. Lenstra A.K., Lenstra H.W., Lovasz L. Factoring polynomials with rational coefficients. Math. Ann., 261, pp. 515-534 (1982)

66. Fincke U., Pohst M. On reduction algorithms in non linear integer mathematical programming. Operations Research Proceedings 1983, Springer-Verlag, Berlin 1984

67. Делоне Б.Н. Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи математических наук. III-IV, 1937-38 г. стр. 16-62

68. Teunissen P.J.G. Least-Squares Estimation of the Integer GPS Ambiguities. Invited lecture, Section IV Theory and Methodology, IAG General Meeting, Beijing, China, August 1993. Also in LGR -series (Delft Geodetic Computing Centre), No 6

69. Hassibi A., Boyd S. Integer Parameter Estimation in Linear Models with Applications to GPS. Proceedings of IEEE Conference on Decision and Control, 3:3245-3251, December 1996. http://www.stanford.edu/~boyd/int est.html

70. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М., "МИР", 1999

71. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, "Наука", Москва, 1988

72. Pohst М. On the computation of lattice vectors of nominal length, successive minima and reduced bases with applications. ACM SIGSAM Bulletin, 15, pp. 37-44 (1981)

73. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Издательство "Лань", 2003

74. Пересада В. П. Автоматическое распознавание образов. Л.: "Энергия", 1970

75. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Издательство "Наука", Москва, 1971

76. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. Москва "Мир" 1989