Обоснование современной математики: системно-методологический подход тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.08, кандидат наук Михайлова, Наталия Викторовна

• Михайлова, Наталия Викторовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Михайлова, Наталия Викторовна

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................... 4

1. Общая характеристика работы............................................................5

2. Аналитический обзор по проблеме обоснования математики....................26

ГЛАВА 1. ФИЛОСОФСКОЕ ЕДИНСТВО МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМНОЙ РЕПРЕЗЕНТАЦИИ ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ...........50

1.1. Использование системной методологии в обосновании

математики в контексте саморазвития ее теорий..................................53

1.2. Роль умеренного платонизма и единства математики

в философской проблеме обоснования математики.................................76

1.3. Новые кризисы философии современной математики

и экспликация системного стиля математического мышления.................98

Краткие выводы по главе 1................................................................117

ГЛАВА 2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НАПРАВЛЕНИЙ ОБОСНОВАНИЯ И ПРОБЛЕМЫ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ............ 120

2.1. Гносеологические предпосылки и установки работающих направлений формализма и интуиционизма...................................... 123

2.2. Теоремы Гёделя о неполноте и эволюция обоснования

в постгёделевской философии математики....................................... 151

2.3. Проблема непротиворечивости математических теорий

в философском генезисе понятия математической истины................... 170

Краткие выводы по главе 2............................................................... 197

ГЛАВА 3. СИСТЕМНО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ЦЕЛОСТНОСТЬ ОБОСНОВАНИЯ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ...............................200

3.1. Системный подход к математическому познанию

и его возможности в методологии фрактальной геометрии....................205

3.2. Философско-методологический синтез направлений обоснования

как реализация системно-методологического подхода........................229

3.3. Практическая эффективность процесса самоорганизации теорий математики в контексте философии образования...............................262

Краткие выводы по главе 3...............................................................287

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................290

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................301

ВВЕДЕНИЕ

Стремительное развитие математики прошлого века показало, что, в силу многообразия направлений развития современной математики, для ее философского осмысления недостаточно участия в этом процессе отдельных выдающихся мыслителей, а необходима совместная работа математиков и философов. Как в исторической ретроспективе соотносятся представления современного математика и современного философа на методологию познания? Представители конкретно-научного знания под методологией понимают такие рассуждения о науке, которые относятся к расхождениям в оценках методов исследования, точнее те рассуждения, которые имеют профессиональный характер и оказывают непосредственное влияние на адекватный выбор методов исследования конкретной задачи. Выбор соответствующей математической модели или критериев оценки при применении вероятностных методов в исследовании - это, безусловно, методологические вопросы математики в указанном выше смысле. Можно ли отнести к методологии математики вопрос о природе математических абстракций или вопрос о специфике отражения реальности в абстрактных математических понятиях и структурах?

Это по существу уже чисто философские вопросы, которые, учитывая специфику философии науки, требуют существенно иных подходов для аргументированного объяснения. При системном анализе сложных систем, к которым относится и современная математика, главная методологическая трудность состоит даже не в выборе наилучшего способа достижения цели, например, решения сложной философской проблемы обоснования современной математики, а в концептуальном установлении самой цели. Незавершенность философских споров по проблеме обоснования математики, проявляется в том, что забытые направления переживают сейчас второе рождение. Даже без конкретного прогноза о том, какие общезначимые представления будут привнесены в новом столетии в философию математики, можно предположить, что изменения в онтологии математики совершенно неизбежны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обоснование современной математики: системно-методологический подход»

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Актуальность изучения проблемы обоснования математики определяется тем, что, во-первых, надежды на программы обоснования, сформулированные в начале 20-го века, пока не оправдались, хотя обосновательная деятельность в современной математике не прекращается. Во-вторых, актуальность темы философского диссертационного исследования определяется поисками потенциальных механизмов развития математических теорий и характеризуется степенью разработанности проблемы в научной литературе. Как часть философии науки философия математики занимается вопросами обоснования математики, чем и определяется ее специфика. В работе реализована попытка представить основным объектом системного исследования такую важнейшую составляющую философии математики, как обоснование математики. Задачу обоснования математики можно интерпретировать как философское объяснение успеха способности строить логические рассуждения для получения достоверных результатов.

Обоснование математики называют проблемой, так как это философский вопрос, на который может ответить только целостная концепция. Исследование проблемы обоснования математических теорий невозможно без системного анализа, делающим предметом исследования решение проблемы, а также без общей методологии анализа проблемы в контексте философской рефлексии единства всего математического знания. Проблема обоснования современной математики состоит из двух взаимосвязанных уровней - математического и философского. Если сущность первого уровня обоснования математики выявляется через применение программы обоснования к конкретной теории, что составляет чисто математическую работу, то сущность второго уровня характеризуется тем, что каждая концепция обоснования нуждается в философском анализе ее соответствия своей исходной методологической задаче. Необходимость проведения данного исследования обусловлена тем, что в литературе по философии математики пока отсутствуют комплексные

исследования, в которых на основе принципа системности ставились философско-методологические проблемы обоснования математики.

В обосновании математики исторически традиционно сосуществуют и взаимодействуют два способа систематизации подходов к обоснованию математики - теоретический и практический. Теоретическая актуальность темы диссертационного исследования определяется внутридисциплинарными факторами, необходимостью осмысления механизмов, обеспечивающих целостность современного математического знания в условиях нарастающего разнообразия способов, форм и путей его приращения, в частности, в новой области компьютерной математики. В частности, при теоретическом способе систематизации обоснования математического знания выявляются общие логические связи, продуцируемые познавательными способностями и зафиксированные в специальных понятиях логического вывода.

Практическая актуальность этой диссертационной работы обусловлена необходимостью общего методологического обеспечения междисциплинарных исследований и совершенствования используемого в них математического аппарата. При практическом способе систематизации обоснования акценты переносятся на выявление наиболее надежных методов конструирования новых математических объектов, которые способствуют правильному пониманию той мировоззренческой цели, которой служит система обоснования математики. Тема диссертации актуальна в методологическом плане, поскольку включает в анализ проблемы обоснования математики ряд философско-методологических аспектов, так как формально-логическая строгость и надежность отдельных математических теорий не абсолютна, а методологически изменяется на исторических этапах развития математики. Поскольку философия не может «подменить» математику, то многие возникающие философские проблемы обоснования математики, используя также системно-методологический подход, осмысливаются в кооперации с учеными-специалистами в области математики. Поэтому в задаче обоснования современной математики автор придерживается фундаменталистских позиций и взглядов профессиональных математиков.

Степень разработанности темы исследования. По поводу степени разработанности темы этого исследования можно сказать, что сейчас как в теории познания, так и в философии математики уже проведена необходимая подготовительная работа для выработки адекватной модели обоснования современной математики, соответствующей пониманию важности генезиса и роли исторического развития математики. Прежде всего, необходимо выделить работы выдающихся, хорошо известных специалистов в области философии и методологии современной математики - это Д. Гильберт, Л. Брауэр, К. Гёдель, Г. Кантор, Б. Рассел, Г. Фреге, а также других известных в мировой литературе философов математики. Разные аспекты обоснования математики уже детально обсуждались в связи с рассмотрением многих вопросов философии современной математики. Важнейшие шаги в этом направлении исследования были сделаны российскими философами математики такими, как Г.И. Рузавин, В.Я. Перминов, В.В. Целищев, В.Э. Войцехович, Л.Б. Султанова, Д.Н. Букин и другими.

Автор первой на советском пространстве докторской диссертации по философии математики на тему «Философские проблемы обоснования математики» (1969) Г.И. Рузавин считает, что анализ проблемы обоснования математики невозможен без активного участия философии, поэтому возникает естественная необходимость в специальном, точнее философском, обсуждении проблем обоснования математики и, соответственно, общей оценке имеющихся программ такого обоснования. Так как математические проблемы порой легче понять, если перенести их в область абстрактных рассуждений, то в этой работе по обоснованию математики по сути акцентировалось внимание на вопросах, связанных с природой математических абстракций и существованием абстрактных объектов. Для дальнейшего философского анализа проблемы обоснования отметим следующий важный вывод из этой диссертации, согласно которому претензии каждой из главных школ обоснования математики -логицизма, интуиционизма и формализма - представлять единственно правильное обоснование математики оказались беспочвенными. Кроме того, философско-методологический анализ проблем обоснования математики

показал, что они принципиально отличаются от конкретных математических проблем, хотя поиск новых философских подходов, принципов и методологии обоснования тоже по-своему способствует развитию математики.

Исторически вторым фундаментальным исследованием, содержащим общую философскую характеристику путей обоснования непротиворечивости математических теорий, а также методологически содержательное описание основных программ обоснования математики, выдвинутых в начале ХХ века, стала также докторская диссертация В.Я. Перминова «Философские основания представлений о строгости математического доказательства» (1986). Согласно его аргументированному мнению, основной недостаток имеющихся программ обоснования математики состоит в недостаточной разработанности их гносеологических оснований. В частности, речь идет о неубедительности отождествления достоверности обоснования с финитностью в гильбертовской программе и еще произвольности малой обоснованности интуиционистских ограничений на логику доказательства в брауэровской программе. Поэтому он обращает особое внимание на важность анализа гносеологических предпосылок программ обоснования математики, поскольку только на философском уровне могут быть оправданы логические требования программ, а также адекватно истолкованы полученные в рамках этих программ результаты.

Другой этапной работой уже постсоветского периода в философии математики стала докторская диссертация В.Э. Войцеховича «Становление математической теории (философско-методологический анализ)» (1992), третья глава которой называется «Обоснование математической теории». В частности, он анализирует трудности проблемы обоснования, которые возникают у математиков, так как логицизм, интуиционизм и формализм имеют дело с изменением понимания оснований математики. Кроме того, хотя в сложном системном процессе становления математической теории работают все виды оснований, он считает важным выделить «внутриматематические», с точки зрения функционирования новой теории в имеющейся системе математики, и «внематематические», в контексте работы теории в системе научного знания в

целом. При этом возможные неизбежные дополнительные трудности ожидают исследователей в области философии современной математики, а именно, при обосновании фундаментальной математической теории, образующей «скелет» нового здания теоретической математики, так как ее специфика и ценность состоят не только в новизне, но и в несводимости к предыдущему знанию.

Оригинальная концепция развития научно-теоретического знания с учетом его гносеологических предпосылок и сущности математического творчества, в которой акцентировано философское внимание на проблеме рационализации предпосылок научно-теоретического мышления, разработана в докторской диссертации по философии математики Л.Б. Султановой «Неявное знание в развитии математики» (2005). В третьей главе этого исследования, которая называется «Роль неявных элементов в математическом обосновании», исследуется философское значение неявных предпосылок обосновательных процедур в современной математике. В частности, целью этого исследования являлось получение новых дополнений к уже сформированной в современной философии математики гносеологической оценке таких программ обоснования математики, как логицизм, формализм и интуиционизм, с преимущественным вниманием на анализ программ формализма и интуиционизма. Она делает важный философский вывод о том, что обоснование математики должно по существу включать еще и освобождение математических теорий от возможных неявных предпосылок в доказательствах, а также необходимость экспликации основных математических понятий в основаниях математики, к которым можно отнести понятия арифметики, теории множеств и аксиомы геометрии.

Современному философскому анализу оснований математики посвящена докторская диссертация Д.Н. Букина «Онтологические основания математики: категориальный анализ» (2015). Рассмотрение различных важных вопросов онтологизации математики и философской проблемы существования математических объектов в этой диссертации обусловлено продолжающимися спорами о принципах обоснования достоверности математического знания, к которым можно, например, отнести интуицию, самоочевидность, логическую

необходимость, а также формальную непротиворечивость и самообоснование. Представители различных направлений обоснования математики видят в ней либо специфическую «игру ума» (формализм), либо реализацию особых математических конструкций (конструктивизм), либо связывают ее с миром абстрактных сущностей (платонизм). Но ни в одной из программ обоснования математики не акцентировалось внимание на философском исследовании бытия объектов математики, чему и посвящена последняя диссертация.

Философию математики, как необходимую и важнейшую часть теории познания, в контексте истоков тематики и отношения к содержанию математики можно разделить на такие две части: это «абстрактная философия математики», проистекающая из развития философии, и более «конкретная философия математики», которая имеет своим источником процесс развития самой математики. Если вопросы о природе математики и происхождении ее абстракций являются чисто философскими, то вопрос об осмыслении и понимании новых математических объектов, которые не вполне согласуются с пониманием природы, имеет по сути уже методологическую направленность, поскольку возросшая абстрактность математики породила серьезную проблему о внутренне непротиворечивой системе аксиом, облегчающей оперирование с новыми математическими абстракциями. Проблема обоснования математики, которая является в диссертации объектом исследования, относится ко второму типу философии математики, в силу того, что она нацелена на обоснование надежности математического мышления, а также на исследование строгости математических доказательств и непротиворечивости математики.

Проблематика философии математики предполагает, что она интересует как философов, так и математиков. Кроме того, важная особенность проблемы обоснования математики состоит в том, что она является философско-математической в том смысле, что наряду с содержательными философскими рассуждениями предполагает процедуры, которые могут быть реализованы только самими математиками. В диссертационном исследовании использованы теоретико-методологические высказывания профессиональных математиков, в

которых проблема обоснования математики интерпретируется в контексте тенденций развития всей современной математики. Поэтому для аргументации дальнейших тезисов используются философские выводы многих выдающихся математиков таких, как М. Атья, Г. Вейль, Ж. Дьедонне, А.Н. Колмогоров, Б. Мандельброт, Ю.И. Манин, А.Н. Паршин, А. Пуанкаре, М. Стоун и других. Центральный вопрос современной, так называемой постгёделевской философии математики, состоит в том, как следует относиться к пониманию перспектив обоснования математики, то есть должны ли мы оставить цели обоснования, содержащиеся в старых программах, а именно оставить их как идеалистические и недостижимые, или мы должны искать другие подходы к их достижению.

Нетрудно также видеть, что все существующие программы обоснования математики по сути базируются на философских тезисах, которые недоказуемы математически и поэтому тоже нуждаются в обосновании или критике в рамках философии. Так, например, логицизм исходил из тезиса о том, что математика есть только усложненная логика и по этой причине должна быть сведена к логике, интуиционизм же связывал арифметику с интуицией времени, а формализм опирался на положение о том, что финитная часть математики является абсолютно надежной для доказательства непротиворечивости теорий математики. В качестве критического замечания следует отметить, что вопрос о реализации обоснования математики до сих пор остается не решенным из-за неопределенности философских установок, поскольку философы математики нередко игнорируют рассуждения профессиональных математиков о проблеме обоснования, считая их недостаточно важными или не отрефлексированными, хотя ими проведен анализ специфики математической истины, выявлена взаимосвязь между доказуемостью и достоверностью, а также проанализировано использование компьютера в математических доказательствах. Эти проблемы, исследуются в диссертационной работе в контексте проблемы обоснования современной математики, которые после «начального импульса», исходившего от создателей первых программ обоснования математики стали, опираясь на системную методологию, актуальным направлением философии математики.

Цель и задачи научного исследования. Целью диссертационного исследования является обоснование гносеологических установок, которые могли бы стать идейной основой для формулировки новой более широкой программы обоснования математики. В гносеологическом видении математики реализация указанной цели осуществляется через последовательное решение следующих взаимосвязанных философских задач:

- проанализировать современное состояние проблемы обоснования математических теорий для выявления результативности использования нового системно-методологического подхода в обосновательной деятельности;

- рассмотреть гносеологические предпосылки, на которые опирались старые программы обоснования математики - формализма и интуиционизма -на основе философского понимания относительности их противостояния;

- определить методологическое влияние на обоснование современной математики результатов Гёделя с точки зрения финитных доказательств непротиворечивости с помощью выбранных логических средств;

- выявить те самостоятельные уровни обоснования математики, которые способны охарактеризовать системный подход в обосновании современных математических теорий с точки зрения методологии познания;

- уточнить перспективу нового теоретического продвижения логико-математической процедуры обоснования, сохраняющей также философские направления, которые нельзя считать полностью исследованными;

- определить философско-методологические контуры нового понимания проблемы обоснования современной математики в контексте выхода из методологического кризиса обоснования математики;

- предложить философско-методологическую концепцию обоснования математики как самоорганизующейся системы на основе гносеологической адекватности и практической значимости системного подхода.

Объект и предмет научного исследования. Объектом исследования диссертационной работы является обоснование современной математики как самоорганизующейся системы, а предметом исследования в рамках философии

математики - философско-методологический синтез основных действующих направлений обоснования современной математики как концептуальная реконструкция базовых философских понятий и принципов.

Научная новизна работы достаточно высокая и состоит в следующем:

Впервые поставлена задача философской аргументации использования системно-методологического подхода в обосновании математики.

Сформулирована философская концепция обоснования современной математики, согласно которой развивающиеся математические теории нельзя обосновать, исходя из единственных принципов математического мышления.

Выявлена философская специфика ограничительных результатов Гёделя о непротиворечивости, не исключающих обоснование в контексте возможных подходов к гносеологическим установкам математических теорий.

Раскрыта философская роль системно-методологической целостности как специфической организации математического знания и математического мышления, характеризующей теоретическое новшество исследования.

Установлено, что обоснование математических теорий на основе главных действующих направлений обоснования, формально ограниченных логико-математическими процедурами, требует нового уточняющего описания.

Показано, что анализ гносеологических предпосылок математических теорий на философско-методологическом уровне выявляет системный синтез направлений как необходимый элемент обосновательной деятельности.

Определен эвристический потенциал системно-методологического подхода к обоснованию математики, и проведена апробация предложенной концепции с помощью содержательных математических примеров.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты дают новую концептуальную парадигму для дальнейшего изучения развития математики. В частности, в диссертации успешно реализован замысел как в смысле прояснения существующего положения дел в гносеологическом видении математики, так и в плане возможных перспектив обосновательной деятельности, поскольку такие

философские проблемы, как проблема обоснования, решаются столетиями, так как здесь в принципе не может возникать требования полного или окончательного решения проблемы обоснования или категорического ответа на все поставленные вопросы. Сложнейшая проблема обоснования, относящаяся к современной философии математики, все еще находится в поисках предварительных версий и в процессе их критического сравнения. В диссертации используется системно-методологический подход к обоснованию современной математики, который открывает новый концептуальный взгляд на имеющиеся перспективы обоснования и объективные тенденции «саморазвития» отдельных современных математических теорий. Сущность системно-методологического подхода по сути проявляется в выявлении гносеологических предпосылок, способствующих пониманию философских способов изучения отношений и связей между математическими объектами разной природы, точнее в создании такого методологического средства, которое объединяло бы разделы математики на основе понятия системы. Выводы и основные положения диссертационного исследования могут быть использованы в преподавании университетских курсов философии и методологии науки или философских проблем современной математики, методологии научного творчества, а также при подготовке курсов высшей математики разного уровня сложности для студентов-философов.

Методология и методы исследования. В проведенном исследовании используются следующие общезначимые философские методы: проблемно-аналитический метод - для установления предмета и объекта исследования, методологической базой которых выступают концептуальные положения, разработанные в трудах философов математики; сравнительный анализ - для изучения и сравнения сложившихся подходов в истории философии науки по проблеме обоснования математики; гипотетико-дедуктивный подход - для формулировки и проверки новых содержательных выводов. Методологической основой проведенного диссертационного исследования является системно -методологический подход, базирующийся на принципе целостности системы, принципе несводимости системы к совокупности ее элементов, принципе

самоорганизации системы, которые расширяют потенциал классических программ обоснования и обусловливают новое приращение концептуального содержания математического знания в процессе разрешения тех сомнений, которые вызываются очередными кризисами математики. Так системную составляющую системно-методологического подхода в обосновании отличает акцентирование математики как системы специального вида с философским пониманием сложности ее математических теорий, тогда как методологическая составляющая системно-методологического подхода состоит в исследовании методологии математического познания, соотношения между ее различными методами и в определении сферы применимости математического знания.

Для полноценного анализа сложной проблемы обоснования современной математики необходимо прояснить различие математической и философской методологий. Если первая стремится определить «дорогу» к математическому знанию, будучи убежденной в его объективной истинности, то вторая пытается выяснить, что считать истиной, как получить истинное знание, то есть, как система принципов выявляет философские критерии достоверного знания, которые использует математика как целостная наука. С точки зрения проблемы обоснования математики нельзя абсолютизировать ни один из этих подходов, несмотря на доминирующую роль логико-математических методов. Философ математики Г.И. Рузавин, например, считает, что многие актуальные проблемы обоснования математики невозможно решить в изоляции от философии: «Вот почему возникает необходимость в специальном, философском обсуждении проблем обоснования математики, а также в общей оценке различных программ такого обоснования» [120, с.5]. Если математику можно рассматривать в контексте идеи целостного знания, а ее методологию можно интерпретировать как философскую рефлексию, то в данном диссертационном исследовании проблема обоснования современной математики обсуждается на основе принципа системности, принципа дополнительности, принципа фрактальности, принципа тринитарности и принципа целостности. Сама идея необходимости системной методологии в проблеме обоснования математики в контексте

эволюции всего математического знания отражает процессы самоорганизации математических теорий, сложность и целостность системной организации в общей структуре математического знания, системность исходных замыслов обоснования. Математическое знание как важная часть общезначимой мировой культуры предполагает философско-методологическое обоснование с помощью теоретического синтеза, являющегося целостной системой в том смысле, что система описывает деятельность по обоснованию математических теорий в необходимых онтологических предпосылках, включающих в себя когнитивные оценки гносеологических установок на природу математического знания.

Специфика системного подхода в обосновании современной математики состоит в понимании математических теорий как систем, то есть совокупностей элементов, рассматриваемых как единое целое, и еще как средство решения проблемы обоснования. Такие системы, самоорганизуясь, совершенствуют свою организацию, стремясь к зрелому состоянию математической теории. Отличие предлагаемой концепции обоснования современной математики от предыдущих философских попыток обоснования, определяющее ее место среди других философских исследований, состоит в том, что задача методологии математики этой концепции ориентирована еще и на разработку парадигмы метатеоретического знания в условиях продвижения философии математики от системного анализа к системному синтезу. Существенную роль в разработке теоретической основы этой диссертации сыграли философские исследования о методологическом анализе концепции дополнительности, постнеклассической рациональности, вопросов синергетики и теории самоорганизации. Прежде всего, это работы таких хорошо известных специалистов как И.С. Алексеев, В.И. Аршинов, В.Г. Буданов, В.Э. Войцехович, А.Н. Кочергин, С.П. Курдюмов, В.Я. Перминов, Г.И. Рузавин, В.С. Степин, Л.Б. Султанова, С.К. Черепанов, Д.С. Чернавский, У.Р. Эшби, Б.Г. Юдин и других философов науки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Михайлова, Наталия Викторовна, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агацци, Э. Влияние Гёделя на философию математики / Эвадро Агацци // Эпистемология и философия науки. - 2010. - Т. XXV, № 3. - С. 16-41.

2. Агошкова, Е.Б. Эволюция понятия системы / Е.Б. Агошкова, Б.В. Ахлибинский // Вопросы философии. - 1998. - № 7. - С. 170-178.

3. Арепьев, Е.И. Перспективы реализма в онтологическом обосновании математики: аргументы к одной интерпретации / Е.И. Арепьев // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. - 2013. - № 3-1. - С. 125-134.

4. Арепьев, Е.И. Философия математики и ее аналитическая трактовка в свете теоретико-множественного подхода к обоснованию математического знания / Е.И. Арепьев. - Курск: Издательство КГПУ, 2001. - 21 с.

5. Арнольд, В.И. Экспериментальное наблюдение математических фактов / В.И. Арнольд. - М.: Издательство МЦНМО, 2006. - 120 с.

6. Аршинов, В.И. О системном подходе к строению физического знания / В.И. Аршинов // Физическая теория (философско-методологический анализ). -М.: Наука, 1980. - С. 310-331.

7. Аршинов, В.И. Синергетика как феномен постнеклассической науки / В.И. Аршинов. - М.: Институт философии РАН, 1999. - 203 с.

8. Атья, М. Математика в двадцатом веке / М. Атья // Математическое просвещение. Серия 3. - 2003. - Вып. 7. - С. 5-24.

9. Бажанов, В.А. Разновидности и противостояние реализма и антиреализма в философии математики. Возможна ли третья линия? / В.А. Бажанов // Вопросы философии. - 2014. - № 5. - С. 52-63.

10. Баранцев, Р.Г. Синергетика в современном естествознании / Р.Г. Баранцев. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 144 с.

11. Беклемишев, Л.Д. Теоремы Гёделя о неполноте и границы их применимости. I / Л.Д. Беклемишев // Успехи математических наук. - 2010. -Т. 65, Вып. 5. - С. 61-106.

12. Беляев, Е.А. Философские и методологические проблемы математики / Е.А. Беляев, В.Я. Перминов. - М.: Издательство МГУ, 1981. - 215 с.

13. Бенацерраф, П. Фреге: последний логицист / П. Бенацерраф // Философия науки. - 2004. - № 4. - С. 105-131.

14. Бернайс, П. О платонизме в математике / Пауль Бернайс // Платон-математик. - М.: Голос, 2011. - С. 259-275.

15. Берталанфи, фон Л. Общая теория систем - критический обзор / Л. фон Берталанфи // Исследования по общей теории систем. - М.: Прогресс, 1969. -С. 23-82.

16. Блауберг, И.В. Философский принцип системности и системный подход / И.В. Блауберг, В.Н. Садовский, Э.Г. Юдин // Проблема целостности и системный подход / И.В. Блауберг. - М.: Эдиториал УРСС, 1997. - С. 307-328.

17. Болибрух, А.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения в проблемах Гильберта / А.А. Болибрух // Математическое просвещение. Серия 3. - 2001. - Вып. 5. - С. 20-31.

18. Бор, Н. О понятиях причинности и дополнительности / Н. Бор // Избранные научные труды: в 2 т. / Н. Бор. - М.: Наука, 1971. - Т. 2. - С. 391-398.

19. Борзенков, В. Проблема единства науки на рубеже веков / В. Борзенков // Высшее образование в России. - 2004. - № 8. - С. 108-118.

20. Брауэр, Л.Э.Я. Интуиционизм и формализм / Л.Э.Я. Брауэр // Метафизика. Век XXI. Альманах. Вып. 4: метафизика и математика. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - С. 149-161.

21. Брауэр, Л.Э.Я. Математика, наука и язык / Л.Э.Я. Брауэр // Вестник Российского государственного гуманитарного университета. Серия «Философия. Социология». - 2010. - № 13. - С. 249-258.

22. Брауэр, Л.Э.Я. Недостоверность принципов логики / Л.Э.Я. Брауэр // Логические исследования. - 2016. - Т. 22, № 1. - С. 171-176.

23. Брызгалина, Е. Философия образования в контексте традиций и инноваций / Е. Брызгалина // Человек вчера и сегодня: междисциплинарные исследования. - М.: Институт философии РАН, 2010. - Вып. 4. - С. 3-18.

24. Букин, Д.Н. Онтологическое обоснование математики: коррелятивный подход / Д.Н. Букин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 7: Философия. Социология и социальные технологии. - 2012. - № 2. -С. 25-28.

25. Бурбаки, Н. Архитектура математики / Н. Бурбаки // Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. -С. 245-259.

26. Ван, Х. Процесс и существование в математике / Хао Ван // Математическая логика и ее применение. - М.: Мир, 1965. - С. 315-339.

27. Васюков, В.Л. Онтология квантовой математики / В.Л. Васюков // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Философия. - 2009.

- № 3. - С. 57-70.

28. Вейль, Г. Математическое мышление: сборник / Герман Вейль. - М.: Наука, 1989. - 400 с.

29. Вечтомов, Е.М. Гносеологический статус математических моделей / Е.М. Вечтомов // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. - 2011. - № 4. - С. 6-12.

30. Вечтомов, Е.М. Математика как исследование границ научного познания / Е.М. Вечтомов // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. - 2015. - № 4. - С. 6-14.

31. Вечтомов, Е.М. Метафизика математики: монография / Е.М. Вечтомов.

- Киров: Издательство ВятГГУ, 2006. - 508 с.

32. Вигнер, Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках / Е. Вигнер // Успехи физических наук. - 1968. - Т. 94, Вып. 3. - С. 535546.

33. Владимиров, Ю.С. Принцип тринитарности в физике, философии и религии / Ю.С. Владимиров // Метафизика. - 2012. - № 1. - С. 121-138.

34. Владимиров, Ю.С. Физика, метафизика и математика / Ю.С. Владимиров // Метафизика. Век XXI. Альманах. Вып. 4: метафизика и математика. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - С. 219-239.

35. Войцехович, В.Э. Становление и развитие математической теории /

B.Э. Войцехович // Философские науки. - 1990. - № 12. - С. 93-100.

36. Вопенка, П. Математика в альтернативной теории множеств / Петр Вопенка. - М.: Мир, 1983. - 152 с.

37. Гегель, Г.В.Ф. Наука логики / Г.В.Ф. Гегель. - М.: Мысль, 1998. - 1072 с.

38. Герасимова, И.А. Натурфилософия античности в зеркалах науки и культуры. Математика и логика / И.А. Герасимова // Эпистемология и философия науки. - 2007. - Т. XIII, № 3. - С. 182-198.

39. Гёдель, К. Расселовская математическая логика / К. Гёдель // Введение в математическую философию / Б. Рассел. - М.: Гнозис, 1996. - С. 205-232.

40. Гёдель, К. Что такое континуум-проблема Кантора / К. Гёдель // Метафизика. Век XXI. Альманах. Вып. 4: метафизика и математика. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - С. 163-174.

41. Гильберт, Д. Избранные труды: в 2 т. / Д. Гильберт. - М.: Факториал, 1998. - Т. I: Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. - 575 с.

42. Гильберт, Д. Избранные труды: в 2 т. / Д. Гильберт. - М.: Факториал, 1998. - Т. II: Анализ. Физика. Проблемы. Personalia. - 608 с.

43. Гильберт, Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 492 с.

44. Гончаров, С.С. Введение в логику и методологию науки / С.С. Гончаров, Ю.Л. Ершов, К.Ф. Самохвалов. - М.: Интерпракс; Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1994. - 256 с.

45. Горенстейн, Д. Грандиозная теорема / Д. Горенстейн // В мире науки. -1986. - № 2. - С. 62-74.

46. Гутнер, Г.Б. Неявное знание и новизна в математике / Г.Б. Гутнер // Эпистемология и философия науки. - 2008. - Т. XV, № 1. - С. 117-123.

47. Гутнер, Г.Б. Способы конституирования идеального предмета / Г.Б. Гутнер // Эпистемология и философия науки. - 2011. - Т. XXIX, № 3. -

C. 49-56.

48. Дмитревская, И.В. Принцип системности в философии И. Канта / И.В. Дмитревская // Кантовский сборник. - 1987. - Вып. 12. - С. 44-56.

49. Дойч, Д. Структура реальности / Д. Дойч. - М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 400 с.

50. Дьедонне, Ж. О прогрессе математики / Ж. Дьедонне // Историко-математические исследования. - М.: Наука, 1976. - Вып. 21. - С. 9-21.

51. Ивин, А.А. Искусство правильно мыслить / А.А. Ивин. - 3-е изд. - М.Берлин: Директ-Медиа, 2015. - 308 с.

52. Ивин, А.А. Истина в потоке времени: философский и логический анализ / А.А. Ивин. - М.-Берлин: Директ-Медиа, 2015. - 363 с.

53. Ильин, В.В. Познание и действительность / В.В. Ильин // Философия. Курс лекций / В.В. Ильин, С.А. Лебедев. - М.: Эксмо, 2011. - С. 131-178.

54. Ильин, В.В. «Сходное» и «общее». Псевдопонятие и понятие / В.В. Ильин // Российский гуманитарный журнал. - 2012. - Т. 1, № 1. - С. 36-41.

55. Казарян, В.П. Прикладная математика в мире сложности / В.П. Казарян // Российский гуманитарный журнал. - 2016. - Т. 5, № 1. - С. 3-13.

56. Казарян, В.П. Системный подход в современной науке / В.П. Казарян // Концепция современного естествознания: учебник. - М.: Издательство Юрайт, 2011. - С. 329-358.

57. Казарян, В.П. Философские проблемы прикладной математики / В.П. Казарян // Философия математики и технических наук. - М.: Академический Проект, 2006. - С. 273-393.

58. Канторович, Л.В. Системный подход в методологии математики / Л.В. Канторович, В.Е. Плиско // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник 1983. - М.: Наука, 1983. - С. 27-41.

59. Кантор, Г. Основы общего учения о многообразиях / Г. Кантор // Парадоксы бесконечного. - Минск: Издатель В.П. Ильин, 2000. - С. 301-365.

60. Карпенко, А.С. Логика на рубеже тысячелетий / А.С. Карпенко // Логические исследования. - М.: Наука, 2000. - С. 7-60.

61. Карпович, В.Н. О понятиях доказательства и обоснования в их отношении к знанию / В.Н. Карпович // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Философия. - 2011. - Т. 9, Вып. 3. -С. 48-54.

62. Кирильченко, А.А. Пределы достоверности и надежность доказательств. Дилеммы, ошибки, компьютер / А.А. Кирильченко, К.В. Рогозин // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2013. - Т. 11, №2 4, -С. 66-73.

63. Клайн, М. Математика. Утрата определенности / Морис Клайн. - 2-е изд. - М.: РИМИС, 2007. - 640 с.

64. Ковалев, С.П. Аксиоматический метод в современной науке и технике: прагматические аспекты / С.П. Ковалев, А.В. Родин // Эпистемология и философия науки. - 2016. - Т. ХЬУП, № 1. - С. 153-169.

65. Колмогоров, А.Н. Математика / А.Н. Колмогоров // Математический энциклопедический словарь. - М.: БРЭ, 1995. - С. 7-38.

66. Кочергин, А.Н. Машинное доказательство теорем как нетрадиционная исследовательская программа в математике / А.Н. Кочергин // Исследовательские программы в современной науке. - Новосибирск: Наука, 1987. - С. 70-89.

67. Кочергин, А.Н. Особенности развития современной науки / А.Н. Кочергин // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. - 2013. - № 5. - С. 30-34.

68. Кочергин, А.Н. Процессы самоорганизации в природных, социальных и когнитивных системах / А.Н. Кочергин // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. - 2014. -№ 5. - С. 36-42.

69. Красовский, Н.Н. Размышления о математическом образовании / Н.Н. Красовский // Известия Уральского университета. - 2003. - № 27. - С. 5-12.

70. Кричевец, А.Н. Аргумент неустранимости Куайна-Патнема, непостижимая эффективность математики и жизненный мир / А.Н. Кричевец //

Математика и реальность. Труды Московского семинара по философии математики. - М.: Издательство Московского университета, 2014. - С. 162-178.

71. Лакатос, И. Дедуктивистский versus эвристический подход / И. Лакатос // Эпистемология и философия науки. - 2009. - Т. ХХ, № 2. - С. 210-225.

72. Лакатос, И. Доказательства и опровержения (Как доказываются теоремы) / И. Лакатос // Избранные произведения по философии и методологии науки / И. Лакатос. - М.: Академический проект, 2008. - С. 25-198.

73. Лебедев, С.А. Принципы математических теорий / С.А. Лебедев // Вопросы философии и психологии. - 2015. - Т. 4, № 2. - С. 100-112.

74. Лолли, Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия / Г. Лолли. - Нижний Новгород: Издательство НГУ имени Н.И. Лобачевского, 2012. - 299 с.

75. Ляпунов, А.А. В чем состоит системный подход к изучению реальных объектов сложной природы? / А.А. Ляпунов // Системные исследования. Ежегодник 1971. - М.: Наука, 1972. - С. 5-17.

76. Ляпунов, А.А. Онтодидактика в математике / А.А. Ляпунов // Алексей Андреевич Ляпунов. 100 лет со дня рождения. - Новосибирск: Академическое издательство «Гео», 2011. - С. 211-218.

77. Ляшко, С.И. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений / С.И. Ляшко, Д.А. Номировский, Ю.И. Петунин, В.В. Семенов. - М.: Компьютерное издательство «Диалектика», 2009. - 192 с.

78. Мазуров, Вл.Д. Философия математики / Вл.Д. Мазуров // Вестник Уральского института экономики, управления и права. - 2016. - № 1. - С. 56-67.

79. Мак-Лейн, С. Математическая логика - ни основания, ни философия / С. Мак-Лейн // Методологический анализ оснований математики. - М.: Наука, 1988. - С. 148-153.

80. Мамчур, Е.А. Некоторые аспекты системного исследования научного знания / Е.А. Мамчур // Кибернетика и современное научное познание. - М.: Наука, 1976. - С. 130-149.

81. Масалова, С.И. Философия интуиционистской математики / С.И. Масалова // Вестник Донского государственного технического университета. -2006. - Т. 6, № 4. - С. 360-366.

82. Мандельброт, Б. Фракталы и возрождение теории итераций / Бенуа Мандельброт // Красота фракталов / Х.-О. Пайген, П.Х. Рихтер. - М.: Мир, 1993.

- С. 131-140.

83. Манин, Ю.И. Доказуемое и недоказуемое / Ю.И. Манин. - М.: Советское радио, 1979. - 168 с.

84. Манин, Ю.И. Математика как метафора / Ю.И. Манин. - М.: Издательство МЦНМО, 2008. - 400 с.

85. Матиясевич, Ю.В. Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра / Ю.В. Матиясевич // Компьютерные инструменты в образовании. - 2012.

- № 6. - С. 13-24.

86. Медведев, Н.В. Философская проблема обоснования математического знания: от абсолютизма к фаллибилизму / Н.В. Медведев, Е.В. Медведева // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. Вопросы теории и методологии. - 2014. - Вып. 8. - С. 20-33.

87. Миронов, В.В. Метафизика и математика: точки соприкосновения / В.В. Миронов // Метафизика. Век XXI. Альманах. Вып. 4: метафизика и математика. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - С. 393-413.

88. Мороз, В.В. Философско-математический синтез: опыт историко-математической рефлексии / В.В. Мороз. - М.: Издательство Московского университета, 2005. - 307 с.

89. Мотрошилова, Н.В. Путь Гегеля к «Науке логики». Формирование принципов системности и историзма / Н.В. Мотрошилова. - М.: Наука, 1984. -351 с.

90. Нагорный, Н.М. К вопросу о непротиворечивости классической формальной арифметики / Н.М. Нагорный // Логические исследования. - М.: Наука, 2001. - Вып. 8. - С. 105-128.

91. Непейвода, Н.Н. К теории синтеза программ / Н.Н. Непейвода, Д.И. Свириденко // Математическая логика и теория алгоритмов. - М.: Наука, 1982. -С. 159-175.

92. Непейвода, Н.Н. Конструктивная математика: обзор достижений, недостатков и уроков. Часть I / Н.Н. Непейвода // Логические исследования. -М.-СПб.: ЦГИ, 2011. - Вып. 17. - С. 191-239.

93. Непейвода, Н.Н. Конструктивная математика: обзор достижений, недостатков и уроков. Часть II / Н.Н. Непейвода // Логические исследования. -М.-СПб.: ЦГИ, 2012. - Вып. 18. - С. 157-181.

94. Непейвода, Н.Н. Манифест прикладного конструктивизма / Н.Н. Непейвода, А.П. Бельтюков // Логические исследования. - 2010. - № 16. -С. 199-204.

95. Непейвода, Н.Н. Прикладная логика / Н.Н. Непейвода. - 2-е изд., испр. и доп. - Новосибирск: Издательство НГУ, 2000. - 521 с.

96. Никифоров, А.Л. Понятие истины в теории познания / А.Л. Никифоров // Эпистемология и философия науки. - 2008. - Т. XVI, № 2. - С. 50-65.

97. Новик, И.Б. Системный стиль мышления. Особенности познания и управления в сложных системах / И.Б. Новик. - М.: Знание, 1986. - 64 с.

98. Новиков, С.П. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе / С.П. Новиков // Вестник ДВО РАН. - 2006. - № 4. - С. 3-22.

99. Огурцов, А.П. Этапы интерпретации системности научного знания / А.П. Огурцов // Системные исследования. - М.: Наука, 1974. - С. 154-186.

100. Паршин, А.Н. Путь. Математика и другие миры / А.Н. Паршин. - М.: Добросвет, 2002. - 240 с.

101. Пенроуз, Р. Новый ум короля: о компьютерах, мышлении и законах физики / Р. Пенроуз. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.

102. Пенроуз, Р. Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель / Р. Пенроуз. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. - 912 с.

103. Перминов, В.Я. Метафизика и основания математики / В.Я. Перминов // Метафизика. Век XXI. Альманах. - М.: БИНОМ, 2011. - Вып. 4. - С. 441-461.

104. Перминов, В.Я. О системном подходе к обоснованию математики / В.Я. Перминов // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук: сборник статей. - Курск: КГУ, 2009. -Вып. 2. - С. 132-147.

105. Перминов, В.Я. «Предустановленная гармония» Лейбница и системный подход к обоснованию практической эффективности математики /

B.Я. Перминов // Российский гуманитарный журнал. - 2012. - Т. 1, №2 1. - С. 4252.

106. Перминов, В.Я. Проблемы обоснования математики / В.Я. Перминов // Философия математики и технических наук / Под общей редакцией профессора

C.А. Лебедева. - М.: Академический Проект, 2006. - С. 116-164.

107. Перминов, В.Я. Системно-генетическое обоснование непротиворечивости математики / В.Я. Перминов // Историко-математические исследования. Вторая серия. - 2011. - Вып. 14. - С. 152-177.

108. Перминов, В.Я. Философия и основания математики / В.Я. Перминов. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - 320 с.

109. Петров, Ю.П. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика / Ю.П. Петров. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 448 с.

110. Платон. Тимей / Платон // Сочинения в трех томах. Том 3. Часть 1 / Платон. - М.: Мысль, 1973. - С. 455-541.

111. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. - 2-е изд., стереотип. -М.: Наука, 1976. - 448 с.

112. Пуанкаре, А. Будущее математики / А. Пуанкаре // Последние работы / А. Пуанкаре. - Ижевск: НИЦ РХД, 2001. - С. 6-13.

113. Пуанкаре, А. Логика и интуиция в математической науке и преподавании / А. Пуанкаре // Последние работы / А. Пуанкаре. - Ижевск: НИЦ РХД, 2001. - С. 19-24.

114. Ракитов, А.И. Философские проблемы науки. Системный подход / А.И. Ракитов. - М.: Мысль, 1977. - 270 с.

115. Рашевский, П.К. О догмате натурального ряда / П.К. Рашевский // Успехи математических наук. - 1973. - Т. 28, Вып. 4. - С. 243-246.

116. Рвачев, В.Л. Исчисление для Вселенной / В.Л. Рвачев // Зарубежная радиоэлектроника. - 1998. - № 3. - С. 66-77.

117. Резников, В.М. Принцип необходимости математики в составе научной теории и математическая практика / В.М. Резников // Гуманитарные науки в Сибири. - 2000. - № 1. - С. 20-25.

118. Резников, В.М. Проблемы синтеза и комбинирования логики и вероятности / В.М. Резников // Философия науки. - 2007. - № 4. - С. 7-18.

119. Родин, А.В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики / А.В. Родин // Вопросы философии. - 2010. - № 7. - С. 67-81.

120. Рузавин, Г.И. О природе математического знания: (Очерки по методологии математики) / Г.И. Рузавин. - М.: Мысль, 1968. - 302 с.

121. Светлов, В.А. Философия математики. Основные программы обоснования математики ХХ столетия / В.А. Светлов. - М.: КомКнига, 2006. -208 с.

122. Смирнова, Е.Д. Природа логического знания и вопросы обоснования логических систем / Е.Д. Смирнова // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. - 2012. - № 2. - С. 59-72.

123. Смирнова, Е.Д. Системный подход к обоснованию логико-математического знания / Е.Д. Смирнова // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник 2013-2014. - М.: ЛЕНАРД, 2014. -Том 37. - С. 82-98.

124. Сокулер, З.А. Проблема обоснования знания: (Гносеологические концепции Л. Вигенштейна и К. Поппера) / З.А. Сокулер. - М.: Наука, 1988. -176 с.

125. Сокулер, З.А. Философия науки в концепции Л. Витгенштейна / З.А. Сокулер // Философия науки. - М.: Эксмо, 2007. - С. 101-142.

126. Степин, В.С. История и философия науки / В.С. Степин. - М.: Академический Проект; Трикста, 2011. - 423 с.

127. Степин, В.С. Саморазвивающиеся системы и постнеклассическая рациональность / В.С. Степин // Вопросы философии. - 2003. - № 8. - С. 5-17.

128. Степин, В.С. Системность объектов научного познания и типы рациональности / В.С. Степин // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. - 2007. - № 1. - С. 65-76.

129. Стин, Э. Квантовые вычисления / Э. Стин. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 112 с.

130. Стоун, М. Математика и будущее науки / М. Стоун // Математическое просвещение. Серия 2. - 1959. - Вып. 4. - С. 111-127.

131. Султанова, Л.Б. Интуиция и эвристика в математике / Л.Б. Султанова // Российский гуманитарный журнал. - 2013. - Т. 2, № 3. - С. 237-250.

132. Султанова, Л.Б. Роль неявных предпосылок в историческом обосновании математического знания / Л.Б. Султанова // Вопросы философии. -2004. - № 4. - С. 102-115.

133. Султанова, Л.Б. Эволюция математики в свете постнеклассической научной парадигмы / Л.Б. Султанова // Вестник Башкирского университета. -2013. - Т. 18, № 1. - С. 199-202.

134. Успенский, В.А. Апология математики: сборник статей / В.А. Успенский. - СПб.: Амфора. ТИД Амфора, 2011. - 554 с.

135. Успенский, В.А. Математика для гуманитариев: философия преподавания / В.А. Успенский // Математика в высшем образовании. - 2005. -№ 3. - С. 91-104.

136. Успенский, В.А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней / В.А. Успенский // Математическое просвещение. Серия 3. - 2011. -Вып. 15. - С. 35-75.

137. Фреге, Г. Основоположения арифметики: Логико-математическое исследование о понятии числа / Г. Фреге. - Томск: Водолей, 2000. - 128 с.

138. Харитонов, А.С. Математические начала синтеза принципов дуализма и триединства / А.С. Харитонов // Метафизика. - 2012. - № 1. - С. 147-155.

139. Хаханян, В.Х. Об онтологии математики: в каком смысле можно дать обоснование математике / В.Х. Хаханян // Философия науки и техники. - 2009. -Т. 14, № 1. - С. 64-76.

140. Хаханян, В.Х. Интуиционизм и формализм: различие и единство (сравнительный анализ) / В.Х. Хаханян // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. - 2012. - № 5. - С. 57-69.

141. Хелемский, А.Я. Приглашение в квантовый функциональный анализ / А.Я. Хелемский // Лекции по функциональному анализу / А.Я. Хелемский. - М.: Издательство МЦНМО, 2004. - С. 146-156.

142. Хлебалин, А.В. Онтологические обязательства неустранимости математики / А.В. Хлебалин // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. - 2009. - № 4. - С. 60-68.

143. Целищев, В.В. Интуиция, формальная онтология и семантика знаков в формализме Гильберта / В.В. Целищев, А.В. Хлебалин // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Философия. - 2014. -Т. 12, Вып. 3. - С. 5-11.

144. Целищев, В.В. Математический платонизм / В.В. Целищев // БсМае. Философское антиковедение и классическая традиция. - 2014. - Т. 8, Вып. 2. -С. 492-504.

145. Целищев, В.В. Неологицизм, существование и метафизика / В.В. Целищев // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Философия. - 2009. - Т. 7, Вып. 2. - С. 3-8.

146. Целищев, В.В. Рационалистический оптимизм и философия Курта Гёделя / В.В. Целищев // Вопросы философии. - 2013. - № 8. - С. 12-23.

147. Целищев, В.В. Субъективная математика Геделя: самоочевидные утверждения математики и артефакты синтаксических структур / В.В. Целищев // Философия науки. - 2015. - № 1. - С. 3-14.

148. Черепанов, С.К. Антиномии Кантора и Рассела и проблема элементарности абстрактных множеств / С.К. Черепанов // Философия науки. -2004. - № 4. - С. 19-31.

149. Черепанов, С.К. Постнеклассическая рациональность в математике / С.К. Черепанов // Философия науки. - 2010. - № 2. - С. 62-77.

150. Чешев, В.В. Гносеологические особенности становления системной онтологии / В.В. Чешев // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. - 2012. - № 4. - С. 99-106.

151. Шапошников, В.А. Три парадигмы в философии математики / В.А. Шапошников // Эпистемология и философия науки. - 2008. - Т. XV, № 1. -С. 124-131.

152. Шапошников, В.А. Философия применения математики: конфигурация особой области исследования? / В.А. Шапошников // Математика и реальность. Труды Московского семинара по философии математики. - М.: Издательство Московского университета, 2014. - С. 15-52.

153. Шафаревич, И.Р. Математическое мышление и природа / И.Р. Шафаревич // Вопросы истории естествознания и техники. - 1996. - № 1. - С. 7884.

154. Эшби, У.Р. Принципы самоорганизации / У.Р. Эшби // Принципы самоорганизации. - М.: Мир, 1966. - С. 314-343.

155. Юдин, Б.Г. Понятие целостности в структуре научного знания / Б.Г. Юдин // Вопросы философии. - 1970. - № 12. - С. 81-92.

156. Юдин, Э.Г. Методологическая природа системного подхода / Э.Г. Юдин // Системные исследования. - М.: Наука, 1973. - С. 38-51.

157. Юшкевич, А.П. А.Н. Колмогоров о сущности математики и периодизации ее истории / А.П. Юшкевич // Историко-математические исследования. - СПб.: Издательство Международный фонд истории науки, 1994. - Вып. 35. - С. 8-16.

158. Янов, Ю.И. Математика, метаматематика и истина / Ю.И. Янов // Препринты ИПМ имени М.В. Келдыша РАН. - 2006. - № 77. - 32 с.

159. Яскевич, Я.С. Эвристический потенциал и непостижимая эффективность математики в развитии науки / Я.С. Яскевич // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук: сборник научных трудов. - Курск: КГУ, 2015. - Вып. 7. - С. 67-80.

160. Яу, Ш. Теория струн и скрытые измерения Вселенной / Шинтан Яу, Стив Надис. - СПб.: Питер, 2012. - 400 с.

161. Яшин, Б.Л. Математика в контексте философских проблем: учебное пособие / Б.Л. Яшин. - М.: МПГУ, 2012. - 110 с.

162. Яшин, Б.Л. Формально-логическая непротиворечивость и критерий истины в математике / Б.Л. Яшин // Философские вопросы современного естествознания: Сборник трудов. - М.: МГПИ, 1977. - С. 94-102.

163. Appel, K. Every planar map is four colorable. Part I: Discharging / K. Appel, W. Haken // Illinois Journal of Mathematics. - 1977. - Vol. 21, № 3. - P. 429-490.

164. Appel, K. Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility / K. Appel, W. Haken // Illinois Journal of Mathematics. - 1977. - Vol. 21, № 3. -P. 491-567.

165. Appel, K. The solution of the four-color-map problem / K. Appel, W. Haken // Scientific American. - 1977. - Vol. 237, № 4. - P. 108-121.

166. Baker, A. Are there genuine mathematical explanations of physical phenomena? / A. Baker // Mind. - 2005. - Vol. 114. - P. 223-238.

167. Baker, A. Mathematical explanation in science / A. Baker // British Journal for the Philosophy of Science. - 2009. - Vol. 60. - P. 611-633.

168. Baker, A. Indexing and mathematical explanations / A. Baker, M. Colyvan // Philosophia Mathematica. - 2011. - Vol. 9. - P. 323-334.

169. Batterman, R.W. On the explanatory role of mathematics in empirical science / R.W. Batterman // British Journal for the Philosophy of Science. - 2010. -Vol. 61. - P. 1-25.

170. Benacerraf, P. Mathematical truth / P. Benacerraf // Philosophy of Mathematics: Selected Readings / P. Benacerraf, H. Putnam. - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - P. 401-421.

171. Benacerraf, P. What numbers could not be / P. Benacerraf // Philosophy of mathematics: Selected readings / P. Benacerraf, H. Putnam. - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - P. 272-295.

172. Blass, A. The interaction between category theory and set theory / A. Blass // Mathematical Applications of Category Theory. - Providence, RI: American Mathematical Society, 1984. - P. 5-29.

173. Colombeau, J.F. Elementary introduction to new generalized functions / J.F. Colombeau. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1985. - 281 p.

174. Davies, B. Whither mathematics? / B. Davies // Notices of the American Mathematical Society. - 2005. - Vol. 52, № 11. - P. 1350-1356.

175. Detlefsen, M. On interpreting Godel second theorem / M. Detlefsen // Journal of Philosophical Logic. - 1979. - Vol. 8, № 3. - P. 297-313.

176. Ernest, P. The philosophy of mathematics and mathematics education / P. Ernest // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. - 1985. - Vol. 16, № 5. - P. 603-612.

177. Ernest, P. Philosophy, mathematics and education / P. Ernest // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. - 1989. - Vol. 20, № 4. - P. 555-559.

178. Ernest, P. The philosophy of mathematical education / P. Ernest. - London: The Flamer Press, 1991. - 344 p.

179. French, S. The reasonable effectiveness of mathematics: Partial structures and the application of group theory to physics / S. French // Synthese. - 2000. -Vol. 125, № 1-2. - P. 103-120.

180. Ginzburg, L. Aiming the "unreasonable effectiveness of mathematics" at ecology theory / L. Ginzburg, Ch. Jensen, J. Yule // Ecological Modelling. - 2007. -Vol. 207. - P. 356-362.

181. Godel, K. What is Cantor's continuum problem / K. Gogel // Philosophy of Mathematics: Selected Readings. - N.Y.: Englewood Hill, 1964. - P. 258-273.

182. Gonthier, G. Formal proof - the four-color theorem / G. Gonthier // Notices of the American Mathematical Society. - 2008. - Vol. 55. - P. 1382-1393.

183. Gowers, W.T. A solution to the Schroeder-Bernstein problem for Banach spaces / W.T. Gowers // Bulletin of the London Mathematical Society. - 1996. -Vol. 28, № 3. - P. 297-304.

184. Hamming, R.W. The unreasonable effectiveness of mathematics / R.W. Hamming // The American Mathematical Monthly. - 1980. - Vol. 87, № 2. - P. 8190.

185. Harrison, J. Formal proof - theory and practice / J. Harrison // Notices of the American Mathematical Society. - 2008. - Vol. 55, № 11. - P. 1413-1414.

186. Hellman, G. Mathematical pluralism: the case of smooth infinitesimal analysis / G. Hellman // Journal of Philosophical Logic. - 2006. - Vol. 35. - P. 621651.

187. Lesk, A. The unreasonable effectiveness of mathematics in molecular biology / A. Lesk // The Mathematical Intelligencer. - 200. - Vol. 22, № 2. - P. 2836.

188. Maddy, P. Set and numbers / P. Maddy // Nous. - Bioomington, 1981. -Vol. 15, № 4. - P. 495-511.

189. Mancosu, P. Philosophy of mathematical practice / P. Mancosu. -Cambridge: Cambridge University Press, 2008. - 458 p.

190. Mumford D. Why I am a Platonist / D. Mumford // Newsletter of the European Mathematical Society. - 2008. - December. - P. 27-30.

191. Putnam, H. Philosophy of logic / H. Putnam // Mathematics Matter and Method: Philosophical Papers. - Cambridge: Cambridge University Press, 1979. -Vol. 1. - P. 323-359.

192. Putnam, H. What is mathematical truth? / H. Putnam // New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Anthology. - Princeton: Princeton University Press, 1998. - P. 50-65.

193. Quine, W.V.O. Success and limits of mathematization / W.V.O. Quine // Theories and thing / W.V.O. Quine. - Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1981. - P. 135-159.

194. Robertson, N. The Four-color theorem / N. Robertson, D.P. Sanders, P. Seymour, R. Thomas // Journal of Combinatorial Theory. Series B. - 1997. -Vol. 70. - P. 2-44.

195. Sarukkai, S. Revisiting the "unreasonable effectiveness" of mathematics / S. Sarukkai // Current Science. - 2005. - Vol. 88, № 3. - P. 415-422.

196. Shapiro, S. Mathematics and philosophy of mathematics / S. Shapiro // Philosophia Mathematica (III). - 1994. - Vol. 2, № 3. - P. 148-160.

197. Shor, P.W. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer / P.W. Shor // SIAM Journal on Computing. - 1997.

- Vol. 26, № 5. - P. 1484-1509.

198. Steiner, M. The application of mathematics to natural science / M. Steiner // The Journal of Philosophy. - 1989. - Vol. 86, № 9. - P. 449-480.

199. Steiner, M. The applicabilities of mathematics / M. Steiner // Philosophia Mathematica (III). - 1995. - Vol. 3, № 2. - P. 129-156.

200. Steiner, M. The applicability of mathematics as a philosophical problem / M. Steiner. - Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998. - 223 p.

201. Thurston, W.P. On proof and progress in mathematics / W.P. Thurston // Bulletin of American Mathematical Society. - 1994. - Vol. 30. - P. 161-177.

202. Tymoczko, T. The four-color problem and its philosophical significance / T. Tymoczko // The Journal of Philosophy. - 1979. - Vol. 76, № 2. - P. 57-83.

203. Tymoczko, T. Computers, proofs and mathematicians: A philosophical investigation of the four-color proof / T. Tymoczko // Mathematics Magazine. - 1980.

- Vol. 53, № 3. - P. 131-138.

204. Velupillai, V.K. The unreasonable in effectiveness of mathematics in economics / V.K. Velupillai // Cambridge Journal of Economics. - 2005. - Vol. 29, № 6. - P. 849-872.

205. Wiles, A. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem / A. Wiles // Annals of Mathematics. - 1995. - Vol. 142. - P. 443-551.