Обобщенный принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кочетов, Алексей Валерьевич

  • Кочетов, Алексей Валерьевич
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2006, Волгоград
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 103
Кочетов, Алексей Валерьевич. Обобщенный принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Волгоград. 2006. 103 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кочетов, Алексей Валерьевич

Об обозначениях.

Введение

1 Некоторые элементарные неравенства, связанные с ПСГД-уравнением

1.1 ПСГД-уравнение.

1.2 Элементарные неравенства.

1.3 Основные теоремы.

1.4 Функция а.

1.5 Множества У~{е) и

1.6 Доказательство теорем 1.3.1 и 1.3.2.

1.7 Функция ж7(е)

1.8 Доказательство утверждений (10) и (11) раздела 1.

2 Обобщенный принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений

2.1 Основные результаты.

2.2 Пример. ПСГД-уравнение.

2.3 Доказательство теоремы 2.1.

2.4 Доказательство следствий

2.5 Доказательство теоремы 2.2.1.

3 "Слабая" теорема типа Фрагмена — Линделефа для разности решений нелинейных уравнений

3.1 Основные результаты.

3.2 Пример. ПСГД-уравнение.

3.3 Доказательство теоремы 3.1.

3.4 Доказательство теоремы 3.2.1.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенный принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений»

Объектом исследования настоящей диссертации являются квазилинейные дифференциальные уравнения с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях. Стоит отметить, что в этот класс уравнений входит квазилинейное уравнение

М1?/|)/ч) = о, <г(<) = (1 - , (0.1) г=1 содержащее, в свою очередь, классическое уравнение минимальных поверхностей

I 0 yi+fv/i2 случай 7 = -1). В случае п — 2 уравнение (0.1) — есть уравнение для потенциала скорости в газовой динамики (в дальнейшем ПСГД-уравнение).

Проводимые в диссертации исследования берут свое начало в теории минимальных поверхностей в евклидовом пространстве. Эта область математики продолжает интенсивно развиваться в настоящее время. по разным направлениям и имеет результаты, ставшие классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгре-на, С.Н. Бернштейна, J1. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Финна, У. Флеминга, а также в самые последние годы — Ю.А. Ами-нова, Э. Бобьери, A.A. Борисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, JI. Саймона, В.Г. Ткачева, A.A. Тужилина, А.Т. Фоменко, Дж.Ф. Хванга и др.

В XX столетии в развитии теории минимальных поверхностей произошли два существенных толчка. Первым из них стало исследование задачи Плато. Вторым толчком был новый подход С. Бернштей-на к дифференциальным уравнениям с частными производными, важнейшим результатом которого стала знаменитая теорема Бернштейна, утверждающая, что любое целое решение уравнения минимальных поверхностей на плоскости является линейной функцией.

С другой стороны значительное число задач, которые исследуются в настоящее время в теории минимальных поверхностей, а также и в теории квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными обязаны своим происхождением классической теории функций комплексного переменного. К числу таких задач во многом относится и проблематика, связанная с изучением асимптотических свойств решений и, в частности, с многочисленными вариантами принципа максимума-минимума для решений в неограниченных областях — так называемыми, теоремами типа Фрагмена—Линделефа (см. [2], [10] — [13], [17], [18], [20] —[27], [30] —[32], [34]—[39] и др.). Настоящая работа примыкает к этому направлению.

Целью диссертационного исследования является получение новых теорем типа Фрагмена—Линделефа для разности решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа при достаточно общей формулировке. А именно, сформулировать теоремы для всех областей из Мп и для класса квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа, содержащего уравнение (0.1).

Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер. Главными в ней являются следующие результаты.

1) Получены и описаны множества, на которых разность решений уравнения (0.1) удовлетворяет некоторым специальным условиям, необходимым при доказательстве единственности решения краевой задачи.

2) Установлен обобщенный принцип максимума для разности решений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа на римановых многообразиях, где дается оценка скорости роста разности решений в рассматриваемой области, при превышении которой нарушается единственность решения краевой задачи.

3) Получен некоторый вариант теоремы типа Фрагмена—Линделефа для обобщенных суб- и суперрешений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа, где дается оценка скорости роста решений вблизи особого множества простых концов области.

Для получения представленных результатов в работе широко применяются методы классического анализа, методы теории функций, а также теоретико-функциональная техника теории квазилинейных уравнений с частными производными, развиваемая Волгоградской школой нелинейного и геометрического анализа.

Результаты диссертации будут способствовать созданию вычислительных алгоритмов для расчетов течений газа, более эффективных, нежели имеющиеся, а также могут быть использованы специалистами при исследовании решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа. Основные результаты диссертации докладывались

• на семинаре "Геометрический анализ и его приложения" под руководством профессора В.М. Миклюкова, доцента A.A. Клячина и доцента А.Н. Кондрашова в ВолГУ (Волгоград);

• на семинаре "Сверхмедленные процессы" под руководством профессора В.М. Миклюкова в ВолГУ (Волгоград);

• на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2003-2006 гг.);

• на международной конференции "Геометрический анализ и его приложения" (май 2004 г., Волгоград);

• на межрегиональной конференции "Современные математические методы и информационные технологии" (апрель 2005 г., Тюмень);

• на международной конференции "Вычислительные методы и теория функций" (июнь 2005 г., Йоэнсуу, Финляндия).

Основные результаты диссертации изложены в работах [4] —[8], [28], [29]. Все утверждения, опубликованные в совместных работах с В.А. Клячиным и В.М. Миклюковым фактически доказаны A.B. Ко-четовым. В.М. Миклюковым и В.А. Клячиным осуществлялось общее руководство на уровне постановки задач и критического анализа доказательств.

Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. В работе используется подчиненная нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем — нумерации параграфов. Библиография диссертации содержит 39 наименований.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Кочетов, Алексей Валерьевич

В этой главе доказывается "слабый" вариант теоремы типа Фраг мена — Линделефа для обобщенных суб- и сунеррешений квазили нейных дифференциальных уравнений с частными производными эл липтического типа, в котором дается оценка скорости роста решений

вблизи особого множества простых концов области из М .^

Пусть D сМ? — область. Символом Lipo-D обозначим множество

функций класса LipD с компактными носителями supp/ с D. Пусть ij,{x) : D -^ R — измеримая функция такая, что для всякой

подобласти D' ее D выполнено

О < ess inf ц{х) ^ ess sup iJ,{x) < оо . (3.1)

Пусть A: DXR"^ -^Ш? — измеримая функция. Введем в рассмотрение

неравенство

Y,{Ai{x,O-Mx.v)? < f^{x)Y.{Ai{x,O-M^.riMi-m). (3.2)

Обозначим через Л дифференциальный оператор, определяемый

соотношением

Будем говорить, что функция f{x) класса LipL» является обоб щенным субрешением (суперрешением) уравнения A[f] - О, если для

любой неотрицательной функции ip[x) е Lipo D выполнено

' а,Л(2;, V/) dxi dx2 < о о 0). (3.3)

Функция f{x) является обобщенным решением уравнения A[f] =

О, если она одновременно суб- и суперрешение этого уравнения. Для формулировки основного результата нам понадобиться сле дующая известная конструкция. Сечением 7 области D называется

всякая простая замкнутая (в сферической метрике) жорданова дуга

аЬ с концами а, Ь (случаи а = Ь, а или 6 = оо не исключаются) со

следующими свойствами:

1) а, Ь принадлежат dD\

2) неконцевые точки 7 принадлежат D;

3) 7 разбивает D на две подобласти, граница каждой из которых

содержит точки дВ, отличные от а и 6. Цепью сечений {7^} {к = 1,2,...) области D называется бесконеч ная последовательность сечений области D, попарно не пересекаю щихся и таких, что 7fc, к > I, разделяет в обычном смысле сечения

7А;Ь 1к+1 в области D. Цепь сечений {7 }^ определяет в D цепь подобластей {4}, таких,

что С?1 D (i2 ^ • • • ^ 4 ^ • • •

Цепь {4} входит в некоторую область Я, если при некотором к

Цепь {4} входит в цепь {dj,}, если цепь {4} входит в каждую

область d!y^ (fc = 1,2,...). Две цепи подобластей {4} и {dj,}, каждая из которых входит в

другую, называются эквивалентными. Следуя терминологии Каратеодори (см., например, [14], с. 45-

46), всякий класс эквивалентности цепей нодобластей D называется

концом области D. Концы D обозначаются через Е^. Конец Ed входит в некоторую область Я, если найдется цепь из

Ed, входящая в Н.

Пусть Ed и Eh — концы D. По определению, Ed делит Е^, если

Ed входит в каждую область некоторой цепи из Eh. Простым концом области D называется всякий конец D, не име ющий собственных делителей. Пусть D сМ? — односвязная область, отличная от всей плоскости

R .^ Обозначим через D ее пополнение простыми концами. Фиксируем

простой конец ео е D и непустое множество простых концов EQO С

D\D, ео ф Еоо- Будем говорить, что функция h : D ^ {0,оо) класса

LipD является функцией исчерпания области D, если она обладает

свойствами:

(г) для всякой подобласти D' сс D выполнено

О < ess inf \Vh{x)\ < ess sup \Vh{x)\ < oo;

ii) lim h(x) = 0, lim h(x) = +сю и

0 < h{x) < +CX) при всех x e D;

iii) множества уровня {x e D : h{x) = t}, t> 0, состоят из счетного

числа простых жордановых дуг с концами на границе dD. Символом Et, О <t < оо, будем обозначать минимальную из сово купностей компонент связности указанного множества уровня, раз деляющую в D простой конец ео и множество Еоо Следующее утверждение является ключевым в настоящей главе. Теорема 3.1.1. Пусть fi{xi,x2) и f2{xi,X2) — локально липшицевы

в области D суб- и суперрешения уравнения A[f] = О, соответ ственно, и пусть для любой последовательности {anj^^i точек

Д не имеющей предельных точек в множестве простых концов

Еоо и D, выполнено

^ 0 . (3.4)

Предположим, что множество U = {х е D : fi{x) - f2{x) > 0} не

пусто и для почти всех х е U имеет место неравенство (3.2) с

^ = V/b V = V/2 и некоторой измеримой функцией ji{x), удовле творяющей (3.1). Предположим также, что

где обозначено

= 00, (3.5)

Тогда

А{х, V/i) = А{х, V/2) для почти всех х eU. (3.6)

Данное утверждение представляет собой одну из разновидно стей "слабых" теорем типа Фрагмена - Линделефа, обеспечивающую

"слабый" рост разности fi{x) - f2{x) в указанных предположениях. Под "сильным" ростом в альтернативе Фрагмена - Линделефа мы

понимаем степенной рост в случае угла и экспоненциальный рост в

случае полосы (см., например, [3, §6 главы VIII]). Утверждения о сильном росте разности fi{x)-f2{x) решений урав нения A[f] = О справедливы, на наш взгляд, лишь при некоторых

дополнительных специальных ограничениях на решения или их гра диенты. Отметим отдельные случаи данного утверждения. Рассмотрим

сначала полосообразные области достаточно обш,его вида. Именно,

пусть D - область в R ,^ задаваемая неравенствами

^Ы) {) + -0{xi) (-00 < Ж1 < 00),

где (f{xi),ip{0) = О, и 9{xi) > О - непрерывные функции. Точка X = О принадлежит области D. Выберем ее в качестве

простого конца ео. В качестве множества £^ оо выберем простые концы,

имеющие телами бесконечно удаленную точку плоскости R ,^ их ровно

два. В качестве функции исчерпания — функцию h - \xi\. Тогда

\Vh[x)\ = 1 при \xi\ > О и множество уровня Et при t у^ О состоит из

двух компонент связности - вертикальных отрезков {х =

D : xi = ±t}. Легко видеть, что

I \Vh{x)\ \dx\ = Щ , Щ) = Bit) + e{t). Таким образом, мы получаем

Следствие 3.1.1.1. Пусть fk{xi,X2) {к = 1,2) — непрерывные в D ре шения уравнения A[f] -О и пусть всюду на границе dD выполнено

h < /2. предположим, что множество U — {х е D : fi{x) — /2(2;) > 0}

не пусто и для почти всех х eU имеет место неравенство (3.2) с

= V/2 и ii{x) = 1. Предположим, что

m{t) = max{0, /1(2;) - /2

Тогда для почти всех х eU имеет место (3.6). Заметим, что даже в "слабой" форме альтернативы Фрагмена -

Линделефа может присутствовать сколь угодно высокая скорость ро ста решения. Это может случиться, например, если в условиях след ствия 3.1.1.1 функция (^ = О, а функция 9{t) быстро растет при t -^ оо. Рассмотрим случай спиралеобразных областей вида:

D = {(г, : -01 (г) <ip < , О < г < 00},

где -00 < (/9 < +00, О < г < оо — полярные координаты на плоскости

и ipi{r), ip2{T) — непрерывные монотонно возрастающие"^ на [О,+оо)

функции, удовлетворяющие неравенствам О < i^2(,r) - ф1{г) < 27г при

всех г е [0,+оо). В качестве простого конца ео выберем конец области D с телом

в начале координат, в качестве множества Еоо выберем простой ко нец с телом в бесконечно удаленной точке Ж^. В качестве функции

исчерпания положим h= \х\. Тогда \Vh\ = 1 и

Здесь имеем

Следствие 3.1.1.2. Пусть fk{xi,X2) {к = 1,2) — непрерывные в D ре шения уравнения A[f] = 0 и пусть всюду на границе dD выполнено

h < /2. Предположим, что множество U = {х е D : fi{x) - /2(2;) > 0}

не пусто и для почти всех х eU имеет место неравенство (3.2) с

v = V/2 и ii{x) = 1. Предположим, что

m{t) = max{0, fi{x) - /2(2;)} . Тогда для почти всех х eU имеет место (3.6).3.2. Пример. ПСГД-уравнение

В качестве примера рассмотрим ПСГД-уравнение. Будем говорить, что функция f{x) класса LipD является обоб щенным субрешением (суперрешением) уравнения (1.1), если V/ е п^

при X е D и для любой неотрицательной функции Lp{x) е Lipo D вы полнено (3.3) с

^i = ^(|V/l)A,, г = 1,2. (3.7)

Отметим, что неравенство (1.3) есть специальный случай нера венства (3.2) при (3.7) и ц{х) = е. Сформулируем основной результат данного раздела. Теорема 3.2.1. Пусть fi{xi,X2) и /2(^ 1,3:2) — локально липшицевы в

области D супер- и субрешения уравнения (1.1), соответственно. Предположим, что для любой последовательности {anj^i точек

D, не имеюи^ей предельных точек в множестве простых концов

Еоо и Д выполнено

limsup {h{an) - /2(an)) < 0. i) Тогда, если 7 < - 1 , то либо /i ^ /2 всюду в области D, либо

M'ix) \^h{x)\ < 00,

где обозначено

и) Если 7 = - 1 . f^o либо /i ^ /2 всюду в области D, либо

dt M\x)\Vh{x)\\dx < 00. (3.8)

Hi) Пусть 7 > - 1 . Предположим, что множество U = {х е

D : fi{x) - f2{x) > 0} не пусто и для некоторого е > 1 выполнено

соотношение

(V/i, V/2) G Bry{e) для почти всех x eU. Предположим, что интеграл (3.8) расходится. Тогда

= cr(|V/2|)V/2 для почти всех х

3.3. Доказательство теоремы 3.1.1

Предположим, что в некоторой точке а е D выполняется /i(a) >

/2(а). Выберем 5 > О так, чтобы /i(a) > /2(а) + 5, рассмотрим множе ство

{xeD:fi{x)-f2{x)>5}. Данное множество не пусто. Обозначим через Us его произвольную

компоненту связности. В силу (3.4) имеем [Us]^ П BD с Еоо- Здесь

символом \Ud]^ обозначено замыкание множества U^ в топологии D. Предположим сначала, что Us с с D. Функция

h{x)-f2(x)-8 при xeUs,

о при X е D\Us

имеет компактный носитель, содержащийся в D, неотрицательна и

принадлежит классу Lip(L>). На основании (3.3) можем записать

/ J2 "P^i {М^^ V/i) - г^(а ,^ V/2)) dxi dx2<0. Отсюда находим

/ Y. (^ 1-^ - b j {А{х, V/i) - Ai{x, V/2)) dxi dx2<0. (3.9)

В силу неравенства (1.2) заключаем, что почти всюду на множе стве Us выполнено

Таким образом, соотношение (3.9) влечет, что почти всюду на Us

справедливо равенство

,V/i)-^(a;,V/2))^ = 0 (3.10)

И, следовательно, A(a;,V/i) = А(ж,У/2) почти всюду в Us-

Рассмотрим оставшийся случай, в котором подобласть Us С D

такова, что [Us]^ ndD ^Ф.

Пусть функция (р определена, как и выше. Положим

ho = inf h{x). Зафиксируем hi и h[ так, чтобы ho < hi < h[ < оо. Введем в рассмот рение липшицеву функцию

0 при т >h[,

ф{т) = <

1 при Г <hi. Функция il?{h{x))(p{x) принадлежит классу LipD, неотрицательна в

D и имеет компактный носитель, содержащийся в D. На основании

(3.3) имеем

Е {^^\Кх))ф))^, {Ai{x, V/i) - Ai{x, V/2)) dxidx2<0. Отсюда находим

[fix, - /2xJ {Ai{x, V/l) - A,{X, v/2)) dxi dX2

-2 - 5)ф'{h{x))x

\4h\ \A{x,Vfi) -

В силу соотношения (1.2), как и выше, находим

/ —r^v{h{x)) у {Ai(x,Vfi) - /.J 1л{х) ^

Обозначим через D{t) множество всех x e D, отделяемых систе мой дуг Et от простого конца ео, через D{ti,t2), О < h < t2 < 00, -

множество D{t2)\D{ti). Далее полагаем

U§[t) = {7(5 П D{t), U§{ti,

Предыдущее соотношение влечет

, V/l) - МХ, Vf2)Y dXl dX2 <

Если воспользоваться известной формулой Кронрода—Федерера для

ко-площади

= dt g{x)\dx\,

D -00 h{x)=t

справедливой для любой измеримой по Лебегу функции д (см. [15,

§3.2 главы III]), то мы получаем

ы (з-и)

^ 4 / \QI/(i\\ rif I ii(т\ {л(т\ {п(т\\\\1Ь(т\\ \rW

Стандартными приемами (см., например, [11]) находим минимум

правой части (3.11) по всем функциям ф указанного вида. Поскольку

ф обращается в нуль и единицу на концах отрезка [hi,h[], то пользу- 9 3 -

ясь интегральным неравенством Коши, будем иметь

1 < / \i)\t)\d

h'l ( ' ^

Отсюда следует, что

- f2{xf\Vh{x)\\dx

Данное неравенство имеет место для любой липшицевои функции

вышеуказанного вида. Полагая здесь ^{t) = 1 при t<h\,

при hi <t <h[ и = О при t>h[, легко убеждаемся, что

li{x)\h{x)-f2{x)\^\Vh{x)\\dx\

Таким образом, из (3.11) вытекает, что

, V/i) - Ai{x,

dxi dx2 <

Если теперь интеграл в (3.5) расходится, то полагая в найденном

неравенстве U-^ -^ +оо, находим

и потому А(ж, V/i) = A{x,Vf2) почти всюду в Us. Таким образом,

теорема полностью доказана. П

3.4. Доказательство теоремы 3.2.1

i) Рассмотрим случай 7 < - 1 - Как при доказательстве теоре мы 1.3.1, предположим, что в некоторой точке а е D выполняется

a) > /2(а) • Выше установлено, что если Us е е D, то равенство

(3.10) выполнено почти всюду в U§. Следовательно, для почти всех

X eUs имеет место равенство

которое влечет (см. доказательство теоремы 2.1.1) V/i = V/2 почти

всюду на Us. Поскольку fi (г = 1,2) суть локально липшицевы функции, то

отсюда вытекает, что fi{x) = /2(3;) + 5 в U§. Тем самым, имеем проти воречие с определением области U§. Итак, подобласть Us с D такова, что [Щ]^ ndD ^Ф. Как и выше,

мы устанавливаем неравенство

- (7(|V/2|)V/2

Используя соотношения (2.17), (2.18), (2.19), находим

и, далее,

X|V/i - V/2l/;(|V/i|, IV/2I) dxi dx2

:\)dxidx2 X

Отсюда

И далее, рассуждая как при доказательстве теоремы 3.1.1 и ис пользуя неравенство (2.23), получаем требуемое. и) Для доказательства этого утверждения достаточно заметить,

что если для почти всех х е U = {х е D : fi{x) - f2(x) > 0} имеет

место равенство

то V/i = V/2 почти всюду на U. Здесь, как и выше, мы имеем проти воречие с определением области U и требуемое утверждение вытекает

непосредственно из теоремы 3.1.1. in) Данное утверждение является прямым следствием теоремы

Таким образом, диссертация в целом вносит существенный вклад

в развитие теории нелинейных дифференциальных уравнений с част ными производными эллиптического типа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кочетов, Алексей Валерьевич, 2006 год

1. Берс J1. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. Н.:ИЛ, 1961.

2. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1961. Т. LX. С. 145-180.

3. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968.

4. Кочетов A.B. О некоторых элементарных неравенствах, связанных с уравнением газовой динамики // Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов международной школы-конференции. Волгоград. 2004. С. 93-96.

5. Кочетов A.B. О линейной связности границ некоторых множеств, возникающих в уравнении газовой динамики // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика. Вып. 9. 2005. С. 34-47.

6. Кочетов A.B., Миклюков В.М. Обобщенный принцип максимума для разности решений уравнения газовой динамики // ВолГУ Волгоград, 2006. Деп. в ВИНИТИ. 27.01.06. № 83-В2006.

7. Кочетов A.B., Миклюков В.М. "Слабая" теорема типа Фрагмена — Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 3(27). С. 90-101.

8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.

9. Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных) // Успехи мат. наук. 1963. Т. XVIII. В. 1(109). С. 362.

10. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Мат. заметки. 1967. Т. 9. В. 2. С. 209-220.

11. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделефа для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1974. Т. 95 (137). С. 130-145.

12. Суворов Г.Д. Семейства плоских топологических отображений. СО АН СССР, Новосибирск, 1965.

13. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.

14. Alessandrini G. and Nesi V. Univalent a-harmonic mappings // Arch. Ration. Mech. and Anal. 2001. V. 158, P. 155-171.

15. H. Berestycki, L. Nirenberg, S.R.S. Varadhan, The principal eigenvalue and maximum principle for second-order elliptic operators in general domains, Communications on Pure and Applied Mathematics. 1994. V 47. N. 1. P. 47-92.

16. Collin P., Krust R. Le problème de Dirichlet pour l'équation des surfaces minimales sur des domaines non bornés // Bull. Soc. Math. France. 1991. V. 119. P. 443-458.

17. Faraco D. Beltrami operators and microstructure // Academic dissertation. Depart, of Math. Faculty of Sci. University of Helsinki. Helsinki. 2002.

18. Hsieh C-C. Phragmén—Lindelôf theorem of minimal surface equations in domains with symmetry // Geometriae Dedicata. V. 71. N. 1. June 1998. P. 97-109(13).

19. Hwang J.F. Phragmén—Lindelôf theorem for the minimal surface equation // Proceedings of the American Mathematical Society. 1988. V. 104. N. 3. P. 825-828.

20. Hwang J.F. Comparison principles and theorems for prescribed mean curvature equation in unbounded domains // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1988. V. 15. P. 341-355.

21. Hwang J.F. A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J. Math. 1996. V. 176. P. 357-364.

22. Jin Z., Lancaster K. Theorems of Phragmèn-Lindelôf type for quasilinear elliptic equations // J. reine angew. Math. 1999. 514. P. 165-197.

23. Jin Z., Lancaster K. Phragmen-Lindelof theorems and the asymptotic behavior of solutions of quasilinear elliptic equations in slabs // The Royal Society of Edingburgh Proceedings A. 2000. 130A. P. 335-373.

24. Jin Z., Lancaster K. A maximum principle for solutions of a class of quasilinear elliptic equations on unbounded domains // Communications in Partial Differential Equations. 2002. V. 27 (7 & 8). P. 1271-1281.

25. Jin Z., Lancaster K. A Phragmen-Lindelof theorem and the behavior at infinity of solutions of non-hyperbolic equations // Pacific J. of Math. 2003. V. 211. P. 101-121.

26. Klyachin V.A., Kochetov A.V. and Miklyukov V.M. Some elementary inequalities in gas dynamics equation // Journal of Inequalities and Applications. Volume 2006. Article ID 21693. 29p.

27. Kochetov A.V. On some estimates for the difference of solutions of the gas dynamics equation// Computational Methods and Function Theory. Abstracts. Joensuu. Finland. June 13-17. 2005. P. 167.

28. Kurta V.V. On the behavior of solutions of quasilinear elliptic equations of second order in unbounded domains. Ukrainian Math. J. 1992. V. 44. N. 2. P. 245-248. (Translated from Ukrain. Mat. Zh. 1992. V. 44. P. 279-283).

29. Kurta V.V. Phragmen-Lindelof theorems for semilinear equations // Soviet Math. Dokl. 1992. V. 45. N. 1. P. 31-33. (Translated from Dokl. Akad. Nauk SSSR 322 (1992). P. 38-40).

30. Lax P.D. A Phragment-Lindelof theorem in harmonic analysis and application to some question in the theory of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. N 3. P. 361-389.

31. Martio 0., Miklyukov V., Vuorinen M. Generalized Wiman and Arima theorems for n-subharmonic functions on cones //J. Geom. Anal. V. 13. N 4. 2003. P. 605-629.

32. Pigola S., Rigoli M. and Setti A.G. Some remarks on the prescribed mean curvature equation on complete manifolds // Pacific J. Math. 2002. V. 206. N 1. P. 195-217.

33. Pucci P., Serrin J., Zou H. A strong maximum principle and a compact support principle for singular elliptic inequalities //J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. N. 8. P. 769-789.

34. Pucci P., Serrin J. A note on the strong maximum principle for elliptic differential inequalities // J. Math. Pures Appl. 2000. V. 79. N. 1. P. 57-71.

35. Pucci P., Serrin J., Zou H. A strong maximum principle and a compact support principle for singular elliptic inequalities. J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. N. 8. P. 769-789.

36. Serrin J. On the strong maximum principle for quasiiinear second order differential inequalities // J. Functional Anal, 1970. P. 184-193.

37. Vazquez J-L. A strong maximum principle for some quasiiinear elliptic equations // Applied Mathematics and Optimization. 1984. V. 12. P. 191-202.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.