Обобщенные решения модели Маргерра-Власова при шарнирном закреплении края оболочки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Колпакова, Евгения Владимировна

• Колпакова, Евгения Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колпакова, Евгения Владимировна

Введение.

1°. Общая характеристика проблематики. Актуальность темы.

2°. История вопроса.

3°. Содержание диссертации.

Глава 1. Приближения Бубнова-Галеркина.

§ 1. Функциональные пространства

1°. Банаховы пространства Lp (<2) и С(<2).Ю

2°. Банаховы пространства Н!р(Q) и С1 (Q).Ю

3°. Банаховы пространства Hlp (Q).

4°. Банаховы пространства LrpSq(Г2х[0,^]).

5°. Пространства Ск ([0,^], G), Lp{[0,tf], G).!

§ 2. Классические неравенства.

1°. Неравенство Юнга.

2°. Неравенство Гель дера.

3°. Неравенство Фридрихса.

4°. Неравенство коэрцитивности Бернштейна-Ладыженской.

5°. Неравенства теорем вложения.

6°. Мультипликативные неравенства вложения

Гальярдо-Ниренберга.

7°. Оценка решения неравенства Гронуола.

8°. Неравенство коэрцитивности для бигармонического оператора.

§3. Начально-краевая задача для уравнений Маргерра-Власова колебаний пологой оболочки с шарнирно закрепленным краем.

§4. Функциональное пространство Н\ (П, jLl).

1 Определение Н\ (П, //).

2°. Видоизменение граничного условия (1.4.2).

3°. Симметричность билинейной формы a2W,v)/2^ На A(Q,/j).

4 . Вложение пространства Н1 (Q,jLi) в Я22(П).

§5. Собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для бигармонического оператора при шарнирном закреплении края.

1°. Положительная определенность бигармонического оператора.

2°. Задача на собственные значения.

§6. Приближения Бубнова-Галеркина решений начально-краевой задачи (1.3.1) -(1.3.7).

1°. Обобщенные решения стационарной краевой задач для продольных перемещений.

2°. Приближения Бубнова-Галеркина.

Глава 2. Существование обобщенных решений.

§1. Энергетическое соотношение.

§2. Равномерная ограниченность функционала энергии на любом конечном промежутке времени.

§3. Равномерные энергетические оценки.

§4. Теоремы существования обобщенных решений для случая ограниченной области с гладкой границей.

1°. Гильбертовы пространства М.

2°. Вывод интегрального соотношения для обобщенного решения.

3°. Определение обобщенного решения.

4°. Сходимость приближений Бубнова-Галеркина.

5°. Предел приближений Бубнова-Галеркина - обобщенное решение.

6°. Теоремы существования обобщенного решения начальнокраевой задачи (1.3.1)-( 1.3.7) в смысле (2.4.9)-(2.4.10).

Глава 3. Теорема единственности обобщенных решений.

§ 1. Разность двух решений.

1°. Соотношения для разностей двух решений.

2°. Бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения по собственным функциям краевой задачи (1.5.1)—(1.5.2).

§2. Интегральное неравенство для норм разности решений.

1°. Интегральное соотношение.

2°. Интегральное неравенство для норм разности решений.

§3. Оценка величин А} (?), А3 (?), А4(7), A5(t).

1°. Оценка^, (0.

2°. Вспомогательные оценки.

3°. Оценка A3(t).ВО

4°. Оценка A4(t).

5°. Оценка As(t).

§4. Теорема единственности в случае д >0.

1°. Оценка А2 (t).

2°. Оценка A6(t).

3°. Оценка A7(t).

4°. Оценка A8(t).

5°. Теорема единственности обобщенных решений.

§5. Теорема единственности в случае у > 0.

1°. Оценка Л2 (?).

2°. Оценка А6 (/).

3°. Сглаживающие операторы.

4°. Оценка А7 (/).

5°. Оценка As(t).

6°. Теорема единственности обобщенных решений.

§6. Теорема единственности обобщенных решений в случае, когда <5 = 0 и у = 0.

1°. Оценка и°( ,t), v°( ,/) в ^(П).Ю

2°.Оценка A2(t).

3°. Оценка A6(t).

4°. Представление uJ, vJ, j = 1,2.

5°. Оценка J7(t).

6°. Оценка A8(t).

7°. Теорема единственности обобщенных решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные решения модели Маргерра-Власова при шарнирном закреплении края оболочки»

1°. Общая характеристика проблематики. Актуальность темы.

Математические модели механики сплошной среды определяют довольно четко очерченную систему классов краевых и начально-краевых задач. Решения этих задач описывают состояние или развитие соответствующей механической системы. Одним из разделов теории дифференциальных уравнений математической физики является качественное исследование решений математических моделей механики сплошной среды, который распадается, естественно, на части, посвященные исследованию конкретных фундаментальных моделей.

Одной из основополагающих проблем для каждой из таких моделей является вопрос о разрешимости начально-краевой задачи модели на любом промежутке времени, который в значительной мере определяет возможность использования модели для численного анализа и прикладных расчетов. Под разрешимостью в данном случае подразумеваются теоремы существования и единственности обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова нелинейных колебаний пологих оболочек с шарнирно закрепленным краем при отсутствии инерции продольных перемещений для оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Известно, что сравнение результатов численного анализа с экспериментальными данными показывают, что для пологих оболочек из ряда материалов модели Маргерра-Власова дают хорошие приближения колебательных движений таких оболочек.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется возможностью приложения полученных результатов к некоторым разделам математики, прикладной математики и механики.

2°. История вопроса.

Рассматриваемые в работе модели были предложены К. Маргерром в [1] и В.З. Власовым в [2], [3]. В своих основополагающих работах [4]-[7] И.И. Ворович дал определение обобщенного решения начально-краевой .задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при жестком защемлении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Определение обобщенного решения эволюционной модели механики сплошной среды И.И. Ворович предложил первым сразу после Хопфа [8] и, по-видимому, независимо от него. Там же им была доказана теорема существования этих решений на произвольном отрезке времени в рамках абстрактной схемы на базе метода Бубнова-Галеркина для нелинейных волновых процессов общего характера. Теорема же единственности обобщенных решений в рассматриваемой ситуации, доказанная И.И. Воровичем в [5], носит условный характер, поскольку требует от обобщенных решений большей гладкости, чем предоставляет теорема существования обобщенных решений. Безусловная теорема единственности, то есть теорема, использующая дифференциальные свойства решений, определенные в теореме существования, была доказана В.И. Седенко в [9] и [10] с помощью предложенного им метода использования операторов сглаживания для компенсации недостаточной гладкости обобщенных решений и, в частности, для компенсации отсутствия ограниченного вложения //^(q) в В дальнейшем, этот метод (или его несущественные вариации) был использован для доказательства теорем единственности обобщенных решений, глобальных по времени, для некоторых моделей механики сплошной среды. Прежде всего отметим здесь теорему единственности обобщенных решений уравнений Кармана, доказанную в [11], теорема существования для которых была доказана намного раньше в [12], [13]. Далее, в [14] была изложена теорема единственности обобщенных решений двумерных задач динамики водных полимеров, теорема существования которых приведена в [15]. Метод В.И Седенко был использован в [16] для доказательства единственности обобщенных решений для уравнений фон Кармана с нелинейными краевыми условиями и в [17] для доказательства единственности обобщенных решений модели Койтера колебаний оболочек. В настоящей работе теоремы единственности обобщенных решений доказываются с помощью некоторого развития схемы и метода, опубликованного в [18].

Следует отметить, что основное развитие теории разрешимости в целом по времени начально-краевых задач для моделей Кармана и Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек с шарнирным защемлением края оболочки осуществляется под руководством профессора В.И.Седенко.

3°. Содержание диссертации.

Первая глава посвящена построению приближений Бубнова-Галеркина. Первые два параграфа содержат информацию об используемом далее традиционном инструментарии. Именно, в §1 приведена информация о стандартных общеупотребляемых функциональных пространствах. В §2 изложены классические неравенства и оценки. В третьем параграфе изложена начально-краевая задача, работа над которой, собственно, и ведется в диссертации. В §4 в рамках реализации начального этапа абстрактной схемы, предложенной И.И. Воровичем в [5], вводится функциональное пространство

Н\{0.,/л) и изучаются его свойства. На основе полученных результатов в пятом параграфе делаются выводы о существования дискретного положительного спектра краевой задачи для бигармонического оператора с краевыми условиями шарнирного закрепления края оболочки. Затем, в §6, определяются приближения Бубнова-Галеркина основной начально-краевой задачи и изучаются их свойства.

Вторая глава посвящена доказательству теорем существования глобальных по времени обобщенных решений. В первом параграфе второй главы выводится энергетическое соотношение для приближений Бубнова — Галеркина, из которого обычным образом следует возможность продолжения приближений на любой интервал времени, что и доказывается в §§2, 3 одновременно с выводом оценок, обеспечивающих в дальнейшем соответствующие дифференциальные свойства обобщенных решений. В четвертом параграфе с помощью предельного перехода на основе обычных соображений слабой компактности доказывается существование обобщенных решений. В третьей главе изложены теоремы единственности обобщенных решений. Делается предположение о существовании двух обобщенных решений с одинаковыми данными. В § 1 третьей главы выводится соотношение для разности решений, а в §2 - интегральное неравенство для норм разности решений, правая часть которого состоит из восьми слагаемых. В третьем параграфе осуществляются оценки четырех из них с помощью стандартной техники. В трех остальных параграфах этой главы оцениваются четыре оставшиеся слагаемые. Так, в §4, в случае, когда оболочка состоит из материалов с внутренним трением, в результате оценивания мы приходим к неравенству типа однородного неравенства Гронуолла от нормы разности решений, что позволяет сделать заключение о невозможности существования двух разных обобщенных решений с одинаковыми данными. В пятом и шестом параграфах такие оценки делаются с использованием техники, предложенной В.И. Седенко в [9], [10], [18], [19], использующей операторы сглаживания. В результате получаются неравенства от норм разности обобщенных решений, таким образом зависящие от произвольного параметра (сглаживания), что применение оценки решения неравенства Гронуолла вместе с последующим устремлением параметра к бесконечности приводит к равенству нулю норм разности обобщенных решений с одинаковыми данными. В приложении приведены теоремы существования и единственности внешней начально-краевой задачи. В заключении сделаны основные выводы и приведены полученные в работе результаты.

10

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Колпакова, Евгения Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в данной работе получены следующие новые результаты:

1. В рамках реализации схемы, предложенной И.И. Воровичем, введены гильбертовы функциональные пространства и описаны их свойства, используемые при доказательстве теорем существования и единственности обобщенных решений.

2. Определены приближения Бубнова-Галеркина. Приведена локальная по времени теорема существования решений для системы приближений Бубнова-Галеркина. После установления энергетического соотношения получена глобальная по времени теорема существования для системы приближений Бубнова-Галеркина.

3. Исследованы дифференциальные свойства приближений Бубнова-Галеркина.

4. Установлены равномерные оценки приближений Бубнова-Галеркина.

5. Доказаны теоремы существования обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки в случае, когда оболочка проектируется на ограниченную область.

6. Установлены дифференциальные свойства обобщенных решений.

7. Доказаны теоремы единственности обобщенных решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колпакова, Евгения Владимировна, 2010 год

1. Marquerre К. Zur Theorie der gekriimmten Platte grosser Formanderrung // Proc. 5th Intemat. Congress Appl, Mech. Cambridge, Mass., 1938. N.Y., J. Willey and Sons, 1939. P. 93-101.

2. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // ПММ. -1994. Т. 8, вып. 2. - С. 109-140.

3. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 789 с.

4. Ворович И.И. О методе Бубнова-Галеркина в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // ДАН СССР. 1956. - Т. 110, № 5. - С. 723-726.

5. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Известия АН СССР. Сер. мат. 1957. - Т. 21, №6.-С. 747-484.

6. Ворович И.И. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1979.-С. 121-133.

7. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. -М.: Наука, 1989. 376 с. - ISBN 5-02-014003-1.

8. Hopf Е. LJber die Anfangswertaufgabe flir die hydrodynamischen Grundgleichungen // Math. Nachrichten, 1950-51. №4. P. 213-231.

9. Седенко В.И. Единственность обобщенного решения начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 316., № 6. - С. 1319-1322.

10. Седенко В.-И. Теорема единственности обобщенного решения начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений // Известия АН СССР. Мех. тв. тела. 1991.-№6.-С. 729-737.

11. Monvel A.B., Chueshov I.D. Unigueness theorem for weak solutions of von Karman evolution equations // Jour, of mathematical analysis and applications. 1998. T. 221. P. 419-429.

12. Морозов Н.Ф. О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения // ДАН СССР. 1967. -Т. 176, № 3. - С. 523-525.

13. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. JI.: Изд. ЛГУ, 1978.- 182 с.

14. Ладыженская О.В. О глобальной однозначной разрешимости двумерных задач для водных растворов полимеров // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28. Зап. науч. сем. ПОМИ, 1997.-Т. 243.-С. 138-153.

15. Осколков А.П. Начально-краевые задачи с краевым условием проскальзывания для модифицированных уравнений Навье-Стокса // Зап. науч. семин. ПОМИ, 1994. Т. 213. - С. 93-115.

16. Lasiecka I. Uniform stabilizability of a full von Karman system with nonlinear boundary feelback. SIAM J. Control Optim. 36: 1376-1422, 1998.

17. Sedenko V.I. On the Unigueness Theorem for Generalized Solutions of Initial-Boundary Problems for the Marguerre Vlasov Vibrations of Shallow Shells with Clamped Boundary Conditions. Applied Mathematics and Optimization. V. 39. 1999.

18. Седенко В.И. Разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для уравнений Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек: Автореферат диссертации доктора физ.- мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.-24 с.

19. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-520 с.

20. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.-431с.

21. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Дифференциальные уравнения, вариационное исчисление и геометрия. М.: Изд. АН СССР. 1960. - Т. 3. -440 с.

22. Бернштейн С.Н. О некоторых априорных оценках в обобщенной задаче Дирихле // ДАН СССР. 1959. - Т. 122.

23. Ладыженская О.А. О замыкании эллиптического оператора // ДАН СССР. 1951.-Т. 79.

24. Ладыженская О.А. Простое доказательство разрешимости основных краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений // Вестник ЛГУ. 1955. - № 11.

25. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

26. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд. ЛГУ, 1950. - 440 с.

27. Gagliardo Е. Ulterori propetieta di alcune classi di fnnzioni in piu variabili. Ricerche di Mat. 1959. P. 24-51.

28. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations. Ann. ScuolaNorm. Sup. Di Pisa. 1959. ser. III. 13. Fasc. II P.l 15-162.

29. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

30. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы для решений эллиптических уравнений в частных производных, удовлетворяющих общим граничным условиям. -М.: Мир, 1965.

31. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971.

32. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. М.: Наука, 1968. -128 с.

33. Седенко В.И. Разрешимость в H2p(fl) краевой задачи для продольныхперемещений срединной поверхности оболочки в модели Маргерра-Власова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2008. - Т. 2. - С. 21-24.

34. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-240 с.

35. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения / Перевод с англ. А.Ф. Жукова / Под ред. С.И. Похожаева. М.: Наука, 1988. - 304 с.

36. Колпакова Е.В. Колебания пологих оболочек из материалов с внутренним трением. Единственность обобщенных решений моделей Маргерра-Власова // Лазеры. Информация. Измерения. 2009. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2009. - Т. 3. - С. 204-215.

37. Колпакова Е.В. О единственности в моделях Маргерра Власова для оболочек с внутренним трением // Лазерно-информационные технологии в медицине, биологии и геоэкологии - 2009: труды XVII Международной конференции. - Новороссийск, 2009. - С. 102-104.

38. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 344 с.

39. Седенко В.И., Колпакова Е.В. Единственность обобщенных решений для задачи колебаний пологих оболочек // Лазерно-информационные технологии в медицине, биологии и геоэкологии 2009: труды XVII Международной конференции. - Новороссийск, 2009. - С. 104-105.

40. Седенко В.И. Классическая разрешимость начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Известия АН СССР. -1996. Т. 60, № 5. - С. 157-190.

41. Седенко В.И. Разрешимость в нЦр) краевой задачи для продольных перемещений срединной поверхности оболочки в модели Маргерра-Власова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2006. — Т. 3. - С. 37-40.

42. Колпакова Е.В. Существование обобщенных решений моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края в неограниченной области // Вестник ИжГТУ. 2010. -№ 1(45).-С. 144-146. -ISSN-1813-7903.

43. Колпакова Е.В. О разрешимости модели Маргерра-Власова в неограниченной области // Казанская наука. 2010. Казань: Изд-во Казанский Издательский Дом, 2010. - № 2. - С. 6-11. - ISBN-978-5-9902017-1-2.