Обобщённые интегральные преобразования и их применение в теории дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Заикина, Светлана Михайловна

• Заикина, Светлана Михайловна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Заикина, Светлана Михайловна

Оглавление

Введение

1 Некоторые обобщённые специальные функции

1.1 Обобщённая конфлюэнтная гипергеометрическая функция и её свойства

1.2 Обобщённая Г- функция и её свойства

1.3 Обобщённая бета-функция и её свойства

1.4 Обобщённая неполная бета-фуикция и её свойства

1.5 Краткие выводы и примечания к главе 1

2 Новые обобщённые интегральные преобразования

2.1 Некоторые классические интегральные преобразования

2.2 Новые обобщенные интегральные преобразования Лапласа

2.3 Новые обобщённые интегральные преобразования Стилтьеса

2.4 Некоторые соотношения для новых обобщённых интегральных преобразований

2.5 Формулы обращения для новых обобщённых интегральных преобразований

2.6 Краткие выводы и примечания к главе 2

3 Применение обобщённых интегральных преобразований

3.1 Вспомогательные соотношения для преобразования Ст

3.2 Решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа

3.3 Решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа

3.4 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

3.5 Решение интегральных уравнений

3.6 Краткие выводы и примечания к главе 3

Заключение

Литература

109

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщённые интегральные преобразования и их применение в теории дифференциальных уравнений»

Введение

Одним из широко используемых методов решения дифференциальных уравнений(обыкновенных и с частными производными)являются интегральные преобразования. Особенно возрос интерес к интегральным преобразованиям в последние десятилетия. Как известно, интегральные преобразования являются одним из наиболее эффективных и широко используемых аналитических методов решения различных практических задач. Теория интегральных преобразований является одной из важных ветвей прикладного анализа. Многие задачи математической физики, астрофизики, термодинамики, механики и других естественных наук приводят к необходимости применения теории интегральных преобразований.

Преимущества метода интегральных преобразований заключаются в том, что он даёт возможность 1) сведения сложных задач к менее сложным, 2) получения окончательного результата в замкнутом, явном виде. Метод интегральных преобразований обладает доступной, простой, стройной схемой применения. Например, преобразование Лапласа позволяет свести решение дифференциального, интегрального, интегро-дифференциального уравнений к решению алгебраических уравнений. Оно удобно также при решении систем, состоящих из вышеперечисленных типов уравнений. Метод интегрального преобразования Лапласа позволяет решать большой круг задач нестационарной теплопроводности.

Разработкой теории интегральных преобразований занимались Бейт-меи Г., Диткин В.А., Забрейко П.П., Килбас A.A., Ситник С.М., Эрдейи А., Debnath L., Sneddon I.N., Srivastava Н.М., Tranter С.J., Yürekli О. и многие

другие.

Наиболее полно изучены классические интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Пуассона и рассмотрено их применение для решения краевых задач математической физики.

В работах [88], [112], [122], [123], [124], [127] дано применение интегрального преобразования

оо

J&2 {/(ж); s} = / teyLp(—s2t2)f(t)dt — Fm(s) к решению обыкновенных о

дифференциальных уравнений, к решению дифференциальных уравнений в частных производных, к вычислению некоторых интегралов.

Начиная с 70-х годов XX века решение различных прикладных задач привело к представлению их решений в виде интегральных преобразований со специальными функциями в ядрах. Изучение интегральных уравнений первого рода и так называемых парных, тройных, N-арных интегральных уравнений, которые часто встречаются в приложениях, приводят к необходимости рассматривать интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах. Эти вопросы рассмотрены в работах Вирченко H.A., Килбаса A.A., Маричева О.И., Самко С.Г., Уфлянда Я.Г.. Равенства Парсеваля-Гольдштейна дают возможность широкого применения новых интегральных преобразований в прикладном математическом анализе, математической физике и других областях науки. Интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах позволяют решать интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма, содержащие в ядрах специальные функции, которые другими методами не решаются. Развитие теории интегральных преобразований имеет и большое перспективное значение.

Введение обобщенных интегральных преобразований позволяет рассматривать более сложные уравнения и решать для них краевые задачи.

Теория специальных функций также постоянно развивается. Решение многих задач математической физики, электротехники, радиотехники, теории вероятностей и математической статистики, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории аэромеханики, квантовой механики, тепло-

проводности и других приводит к специальным функциям. Особо важную роль в теории и в приложениях (при решении многих задач прикладной математики и физики) играют гипергеометрические функции. В последнее время возрос интерес к обобщенной гипергеометрической функции Райта, обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической функции. Важные результаты по этим вопросам получили Вирчепко H.A., Джрбашян М.М., Килбас A.A., Псху A.B., Репин O.A., Самко С.Г., Chaudhry М.А., Kalla S.L., Saigo М., Srivastava Н.М. и другие. Обобщенные конфлюэнтные гипергеометрические функции находят широкое применение в математической физике, атомной физике, астрофизике, теории вероятностей.

Общее классическое одномерное интегральное преобразование имеет

где

/(гс)-функция оригинал из некоторого класса, д(у)-образ( изображение), Ж (у, ж)-ядро преобразования, р(х)-весовая функция,

а, Ь-пределы интегрирования которые могут быть конечными и бесконечными.

Для практического применения интегрального преобразования важно иметь соответствующую формулу обращения, то есть выражение /(ж) через д(у).

Классификацию интегральных преобразований удобно проводить по виду ядра. Наиболее известно и часто встречается преобразование Фурье и его модификации - преобразования Лапласа и Меллина [53], [28], [47] .

Для удобства чтения дадим определения этих преобразований и приведём их основные свойства.

вид [19]

Ь

а

1. Преобразование Фурье.

F{№,x} = -j= J f{t)eixtdt, (1)

-oo

где /(¿)-действительная функция, определённая и абсолютно интегрируема на оси (—оо; +оо).

Теорема 0.1. (Римана-Лебега)[53], [47].

Если функция f(t) Е L(—оо;+оо), то её преобразование Фурье д(у) является непрерывной на всей числовой оси и исчезающей на бесконечности функцией.

Теорема 0.2. (Об обращении преобразования Фурье)[53].

Если функция f(t) G L{ —оо; +оо), то в тех точках t оси, в которых f(t) гельдеровская: \f(t + u) — f(t)| < справедливо равенство

00

F~l{g(ty,x}^f(x) = ~ J g(t)e~ixtdt,

-оо

где несобственный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

2. Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа получается из преобразования Фурье поворотом комплексной плоскости на 90°, то есть заменой гх на (—х), на f{t) при ¿^Ои f{t) на 0 при t < 0 [53].

оо

£{№-,x} = g(x) = J e~xtf(t)dt (2)

о

Здесь х рассматривается как комплексная переменная, fit)- функция действительной переменной 0 ^ t < +оо. На бесконечности оригинал f(t) может допускать экспоненциальный рост

\№\ < c,eat, t > 0.

Тогда при Re х > а интеграл (2) сходится абсолютно и является аналитической в полуплоскости Re х > а функцией, причём

lim д(х) = 0 в силу теоремы Римана-Лебега для интеграла Фурье | Im сс | —>-оо

[53].

Формула обращения преобразования Лапласа имеет вид:

7+гоо

fit) = J 9{x)etxdx, 7 > а.

7—гоо

Здесь интегрирование ведется по прямой Re х = 7 > а, лежащей в полуплоскости аналитичности д(х), а интеграл на бесконечности понимается в смысле, главного значения по Коши.

3. Преобразование Меллина [53].

00

M{f{t)\s} = g{s) = J t*-lf{t)dt (3)

о

Обратное преобразование Меллина в точках непрерывности f(t) выражается формулой

с+гоо

f(t) = -— / g(s)t~sds, Re s = с; О < t < 00, 2тгг J

с-гоо

где интеграл на бесконечности понимается в смысле главного значения по Коши. Преобразование Меллина определено для действительных функций f(t), заданных на (0; +оо), для которых /(£) • t3'1 е Ц0; +оо). Причём, если \f{t)\ ^ ct~a, 0 < £ < 1, \f(t)I ^ ct~ß, t > 1, с = const, то для существования полосы для Re s, в которой интеграл (3) сходится, необходимо, чтобы выполнялось неравенство а < ß. Тогда в полосе а < Re s < ß этот интеграл сходится абсолютно и является аналитической функцией от s, допускающей аналитическое продолжение за пределы этой полосы с помощью регуляризации.

В последние годы возрос интерес к специальным функциям, рассматриваются различные их обобщения. Всвязи с этим получила развитие теория новых интегральных преобразований со специальными функциями в ядре [102], [46], [19] .

Наиболее общим является интегральное преобразование с Н функцией Фокса вида [19]:

оо

я {/(*); я}

где

ттт,п Р>9

1_ 2тх

(ар, ар)

ттТП,П

Р,Я

_ ттТП,П

— Лрд

(ар, ар) хЬ

. Рч)

/(ОЙ, X > о,

(4)

(ах, щ), ...(ар, ар) (6Ь А),...

тп

а

П Г(6,- + /ЗД П Г(1 -<Н- ацЬ)

.7=1__

п Г{сц + аг1) П

(5)

г=гг+1 3=т~1-1

где т, п, р, д - целые неотрицательные числа, 0 ^ тп ^ q) 0 ^ п ^ р, сцг Ьз £ С, а^ bj е = (0; +оо), 1 ^ г ^ р,

Здесь Ь - специально выбранный контур, а пустые произведения, если таковые будут, заменяются единицей.

Если ах = ... = ар = Рг — ... = ¡Зд = 1, то (5) есть С - функция Мейера [2] и (3) сводится к так называемому О - преобразованию.

Последнее включает классическое преобразование Лапласа, дробные интегралы Римана-Лиувилля и некоторые другие [71].

Интегральные преобразования с гипергеометрической функцией в ядре являются ярким представителем Н - преобразований, в последние годы они приобрели большое практическое значение.

В работе [110] рассмотрены интегральные преобразования Лапласа (2)

и

оо

*до

X'

+ £2

ей.

(6)

Для этих преобразований получен ряд соотношений, доказаны равенства типа Парсеваля-Гольдштейна, приведены иллюстративные примеры. В работах [128] и [124] рассмотрены преобразование (6) и преобразование

с»

¿2 {/(*);*} = 1(7)

о

которое является обобщением преобразования Лапласа (2). Для них получен ряд равенств и композиционных соотношений, например,

с2{с21т-,х}-у} = \г{т-у}

и рассмотрены некоторые примеры.

В работе [122] рассматривается применение преобразования (7) для решения обыкновенного дифференциального уравнения Бесселя.

В работе [88] приводится применение преобразования (7) для решения дифференциального уравнения в частных производных. В работе [89] рассмотены преобразования (6), (7) и

оо

£2,1 {/(*)-, ®} = J 1ехр(12х2) Ег (12х2) Д£)сЙ, о

где

с» оо

-¿и = / -(й.

и ./ £

х 1

Для этих преобразований получены новые композиционные соотношения, ряд интегральных соотношений. Доказаны равенства, устанавливающие связь между этими преобразованиями, равенства типа Парсеваля-Гольдштейна. Рассмотрен ряд примеров.

Новизна научных результатов данной диссертации в следующем:

1. Введена в рассмотрение (г, /3)-обобщенная конфлюэнтная гипергеометрическая функция 1.Ф^ (а) с] г), доказаны для неё основные дифференциальные, интегральные и функциональные соотношения.

ад = [

2. Исследованы (г, /3)-обобщенные гамма- и бета- функции: 7; и>; Ь), т,рВа{%\У\Ь\5\ 7), изучены их свойства, получены дифференциальные и интегральные соотношения. Рассмотрена неполная (т, /^-обобщенная бета-функция и изучены её свойства.

3. В данной диссертации введены и изучены новые обобщенные интегральные преобразования, ядра которых содержат конфлюэнтную гипергеометрическую функцию 1 и функцию Райта =

, а именно рассмотрены преобразования C{f{x)\y},

¿71,72 {/0е); 2/}, ¿71,72,7 {1(х)уу}' ¿т{/(я);у}, <раьа2,с,г,/3,7,6 г г( л. а2,с,тф,-у,Ь с г,

' 1,71,72,73,74 V' 2,71,72,73,74 V

При конкретных частных значениях параметров данные интегральные преобразования совпадают с известными классическими преобразованиями, ранее изученными.

4. Даны применения новых обобщенных интегральных преобразований к решению краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных; получены решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются обобщением известных уравнений Бесселя и Куммера.

5. Найдены решения интегральных уравнений, содержащих в ядрах обобщенную конфлюэнтную гипергеометрическую функцию

6. Для новых интегральных преобразований доказаны равенства типа Парсеваля-Гольдштейна и формулы обращения, которые позволяют получать решения рассматриваемых задач в явном виде.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались

на:

1. XI Международной научной конференции им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2006 г.);

Л

щ)

2. Одиннадцатой региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (г. Волгоград, 2006 г.);

3. XII Международной научной конференции им. академика М.Кравчука (г. Киев, 2008 г.);

4. XIII Международных научных конференции им. академика М.Кравчука (г. Киев, 2010 г.);

5. Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 2011 г.);

6. XIV Международной научной конференции им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2012 г.);

7. II Международной конференции молодых учёных "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и инфор-матики"(Терскол, 2012 г.);

8. Десятой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 2013 г.);

9. Научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. В.П. Радченко), 2014 г.;

10. XV Международной научной конференции им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2014 г.);

11. IV Международной конференции "Математическая физика и её приложения "(г. Самара, 2014 г.);

12. Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. В.И. Жегалов), 2014 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11], [12],

[13], [16], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [70], [117], [129].

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 129 наименований. Общий объём диссертации 122 страницы.

Во введении диссертации обоснована актуальность темы, даётся обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты.

В первой главе вводится обобщённая конфлюэнтная гипергеометрическая функция хФс; г). Доказаны теоремы

Теорема 1.1.2. При условиях существования функции хФ["б(а; с; г) имеют место следующие формулы дифференцирования:

Г(с)Г(а + г) р Г(а)Г(с + /З)1 1

хФ['д(а + г;с + /3;2),

^ ГгахФ^(а; с; гТ)\ = ага~11Фт/{а + 1; с; гт), Ип г о т

4- \гс~\Фт/{а- с; = (с - 1)гс"21Ф^(а; с - 1; г*)

~ Ггс-11Ф['/?(а;с;г^1 = (-1)п(1 - с)пгс~п-\Фт/с - п; Л

1*1

Теорема 1.1.3. При условии существования функции{а\ г) имеет место следующее дифференциальное соотношение

Теорема 1.1.4. При условиях существования функции[а\ с\ z) справедливы следующие интегральные соотношения:

Z

J ¿а-21Ф['/3(а; с; tT)dt = —L^-1^^(а _ i; с; (а > 1),

о

оо

J(t - z)ß-lrc-ß^T{ß{a- с; t~ß)dt = B(ß; ф~С1 Ф[,/3(а; с + /3; z~ß),

z

оо

J{t~ z)T-h-a^(a] с; rT)d£ = ß(r; а - r)zT~aгФТ{Р{а - т; с;

Z

1

У (1 - ¿)а-с-1£с-11Ф[,/3(а; с; 2r+/3(l - = #(с; а - c)i$[,/3(a - с; с; zT+ß), о

1

J ta~l{l - t)cV, с; - - В(а; c)^[,/3(a; а + с; 2г+/?), о

z

J ta-a~\z - £)а~11Ф['/3(а; с; ¿r)di = B{ot\ а - a)za~\^T{ß{a - а; с; zT).

о

Полученные соотношения являются обобщением известных формул, приведенных в [2].

В главе 1 вводятся также в рассмотрение (г, /?)-обобщснная гамма-функция, (г,/3)-обобщённая бета-функция и (т,/3)-обобщённая неполная бета-функция.

т>/3Г£(а; 7, w,b) = J t^e^^f (а; с; -^j dt, (8)

o

i

Tí0Bca(x,y,b,5,7) = J dt, (9)

o

x

IpBZ (*, l;b) = J tk'\ 1 - ¿rV^ (a; с; - щ^)) ^ (Ю)

o

Если в формуле (8) положить 6 = 0, w = 1, то получим классическую гамма-функцию [2].

Если в (9) положить b = 0, получим классическую бета-функцию [2].

Для введённых функций доказан ряд соотношений. С помощью полученных в диссертационной работе соотношений и таблицы значений преобразования Лапласа [5] можно вычислить значения интегралов, отсутствующих в справочной литературе.

Во второй главе приведены классические преобразования Лапласа, Стилтьеса, потенциала, а также их обобщения, которые рассмотрены в работах [ПО], [111], [89].

Вводятся новые обобщённые интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах, являющиеся обобщением некоторых классических интегральных преобразований. В п.2.2. рассмотрены обобщённые интегральные преобразования Лапласа

roo

£7ь72 {/(*);*}= / t^e-^f(t)dt, (11)

J о

roo

Cm{f(t)]x}= / tm-le~xmtmf{t)dt, (12)

Jo

Jroo

I ¿72e-^^ia, C- -b(xt)^)f(t)dt, (13)

o

где г ^ 0,7 е С, 71 > 0,72 > О, Ъ ^ О, = О при £ < О; ¿72 • /(£) < МевоГ1;М, яо- постоянные числа (при £ > О).

Если в (13) положить Ь = 0,72 =0,71 = 1, то получим известное классическое преобразование Лапласа.

Для обобщённого интегрального преобразования (13) доказаны свойства линейности и подобия. Найдены образы обобщённого интегрального преобразования Лапласа £7Ь72)7 {/(£); ж} для функций:

1 ¡если £ > О, О ,если £ < О

/(*) = ф) = { ~ 1 1 ; /(£) = /(*) = е"^; /(*) = Ь^е^1.

В работе также изучены обобщённые интегральные преобразования Стилтьеса

^71,72,-73,74 {/(1)]Х}=Г1{/^У,Х} =

Г(с)

оо

¿-»/(О

Г(а1)Г(а2)У {Гп+хъ)™ о

2Ф1

(ах, г); (а2,7)

М)

- 6

¿71

74

+

СЙ,

(14)

Г(с)

оо

¿72/(£)

Г(о1)Г(а2) ] (т+хъ)73 о

чГ 2^1

(аьг); (а2,7)

М)

х

71

74

+ хЪ

(И, (15)

где 7?.е а\ > 0, Яе а2 > 0, Яе с > 0, 7* > 0, г - 1,4; т, /9 С М, г > О, /3 > 0,т~Р < 1.

При 6 = 0, 71 = 1, 72 = 0, 73 = р преобразования (14), (15) совпадают с классическим преобразованием Стилтьеса.

При Ь = 0, 71 = 2, 72 = 1, 73 = 1 преобразования (14), (15) совпадают с интегральными преобразованиями, рассмотренными в работе [110].

Вычислены образы для элементарных функций }{х) = хк, ¡{х) = ху~1 {рс* +

В пункте 2.4 рассмотрены композиции введенных обобщённых преобразований:

£7ь72 72,7 {9(и)'1 х} 1 У ^71,72,7 {^71,72 > 2/};

^71,72-7 {Д2')'ЗЛ = ^71,72 ^-^71,72,7 {^71,72}| •

В диссертации доказаны равенства типа Парсеваля-Гольдштейна для введённых интегральных преобразований.

Теорема 2.4.5. При условиях существования интегралов £7ь72, Р^1'72'73'74,¿"7Ь72)7 и их абсолютной сходимости, справедливы следующие

равенства:

00

у72£71 ,72 (Д^); ?/}

72 72+! ' 71 ' {д{и)-,у}с1у =

1 Г(с) 71Г(а1)Г(а2)

оо

у72/(у) ^71 •72,7

00

72+1

у12£71,72 (/(ж);У}^2Ь72'71 '7 2/}^ =

1 Г(с) 71Г(а1)Г(а2)

оо

у12д{у)£-у 1,72,7 {/(ж); у} ¿у-

Теорема 2.4.6. Если /(х) удовлетворяет условиям леммы 2.1, то имеют место равенства:

оо

/£71,72,7 {/0*0; у} Ж/ =

1Ш

71 Г(а) если .Ке^ > — 1;

2Ф1

}, у 71

М)

-6

оо

X

^71,72,73,74 {/{и).у}

У

(1у =

1 Г<с)Г

71 Г(01)Г(02) 3 2

если — 1 < Яеи <1;

(ах, г); (а2,т); Ы ~ ^Па) (с, /3); (73,74)

оо

и

ии+7173-72-1'

2^1

Г(с)Г

'У+1

, 71

(с,/5)

7)

- Ь

оо

^71,72,73,74 {/(ж);?/}

1-1/ 71

Г(а1)Г(а2)

■3Ф2

Г

Л/

(о!,г); (а2,7); (73 - —,74) (с, /?); (73,74)

оо

X / У

если Яеи < 1 при условии абсолютной сходимости интегралов.

В частном случае при 71 = 2, 72 = 1, 73 = 1, Ь = 0 данные равенства

примут вид 00

00

у»С2у(х)-у}Лу=\г[и-^) [ где Яе и > — 1,

х

ОО 00

/ —^ ¿у = - Бес — / ^^с/и, где - 1 < Яе и < 1 и У Уи 2 V 2 )]иу

оо

оо

У"

2 2

J уиС<1 {/(ж); у} <¿1/, где Яе г/ < 1,

о о

которые совпадают с равенствами, доказанными в [89].

В пункте 2.5 получены формулы обращения введённых новых интегральных преобразований.

Теорема 2.5.1. Если f(x) удовлетворяет условиям леммы 2.1, то справедлива формула обращения интегрального преобразования£7ь72)7 у}

оо

/(и) = 71 ^^гГ72 [(ux)~1g(x)JC(ux)dx,

Г(с) J

о

где

ст+гоо

K{x) = éi J m)ds•

a—ioo

9(у) = ¿71,72,7 (/(>); »

-b .

Теорема 2.5.2. При условиях существования гттегрального преобразования 7Р^1!72,7з,74 {Дх); уу справедлива формула обращения:

f(y) = |^7ia2_! X j ; у} >

где 9i(z) = {f{u). z] . 74 = 7, 73 = a2

В главе 3 рассмотрено применение обобщенных интегральных преобразований, даны некоторые применения обобщенных интегральных преобразований для решения дифференциальных уравнений. В пункте 3.1 вводятся дифференциальные операторы

_ 1 d _2 _(-, ч_1 d 1 d2

<W - И Vt - (1 m)-^ÏJt +

Доказаны следующие теоремы. Теорема 3.1.1. Если /, /',-непрерывны, a f^-кусочно непрерывна при t ^ 0 и если функция f имеет вид е0™1™ при t —у оо, то

¿m /(¿); 4 = тп*тпСт {/(0; 4 - ш»-1^"1)/^)--mn-28^n-2\Sm,tf)(0+) -... - №://)(0+)

<9ЛЛ п — 1, 2,...

An 0mn/(0; 4 = {/(¿); s}

ç(s) = 2Ф1

7)

M)

для п = 1,2,...

Теорема 3.1.2. Если функция f - непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную в интервале t ^ 0, и если /, f имеют вид е^т при t —у оо, где с- постоянная, то

о) lim /(£) = lim msmF{s),

t-ï 0 оо

б"; lim f(t) = lim msmF(s), ¿->oo s->0

г^е F(S)=£m{/(i);S}.

В пункте 3.2 для уравнения параболического типа

д2и а2 ди .

д? = р^Ш + Ьи' (16)

где a,b,m ^ 1-вещественные константы, решены следующие краевые задачи:

Задача 3.1. Найти решение уравнения (16) в области

D : {О < t < оо, 0 < х < /} , удовлетворяющее начальному условию

и{х\ +0) = lim и(х, t) = 0,0 < х < I ¿—>о

и граничным условиям

и(+0\ t) = lim и(х, t) = ao(t), 0 < t < оо, u(l — 0; t) = lim u{x, t) = ai(£), 0 < t < oo.

x->l-0

Задача 3.2. Найти решение уравнения (16) в области D : {О

< t < оо, 0 < х < 1} , удовлетворяющее начальному условию

и{х\ +0) = lim и(х, t) = щ(х) t-> о

и граничным условиям

u(+0; t) = lim и(х, t) = 0, 0 < t < оо,

— 0; t) = lim t) = 0. x-W-0

Задача ??. Найти решение уравнения (16) в области D : {О < i < оо, 0 < .т < удовлетворяющее начальному условию

и(х, +0) = lim и(х, t) = щ(х) t-> о

и граничным условиям

u(+0, t) = lim и(х, t) = ao(t), x-^+Q

u(l — 0,t) = lim u(x, t) = a\(t). x->l-о

Решения этих задач получены с помощью обобщённого интегрального

оо

преобразования Лапласа Ст

{/(*);*} = / im-1e-(is)mdt. о

Единственность решений доказана методом от противного. В работе для неоднородного уравнения параболического типа

tm~^ = а2^ + btm~lu + f{x), а, b = const (17)

решена

Задача 3.3. Найти решение уравнения (17) в области D\ : {х > 0, t > 0}, удовлетворяющее начальному условию

lim и(х, t) = О

и граничному условию

w(+0; t) — lim и(х. t) — Aq, Aq = const, t > 0, В пункте 3.3 изучено уравнение гиперболического типа д2и ,, ,ди о ГГ)_Лд2и т

1дё + {1-т)т~* Ш = (18)

Рассмотрена

Задача 3.4. Найти решение уравнения (18) в области D : {х > 0, t > 0}, удовлетворяющее начальным условиям

и(х, +0) = lim и(х, t) = 0, t-t о

1 1

^Ziu't(x- +0) = lim ^zyu't(x; t) = 0

и граничному условию

w(+0, t) = Aq, где Aq = const.

В пункте 3.4 методом интегральных преобразований решены обыкновенные дифференциальные уравнения

t2y" + t(3 - т)у' + (tm -и2 + z/(2 - т))у = 0,

ty" + (c-ny'-atm~1y = 0,

которые являются обобщением известных уравнений Бесселя и Куммера.

В пункте 3.5, применяя интегральное преобразование Ст, решено интегральное уравнение, содержащее в ядре обобщенную конфлюэнтную гипергеометрическую функцию 1 с, х):

X

J ут~\хт - ут)^ 1Ф[^(а, с, -Ь(хт - ym)-)9(y)dy = F(x). о

Пользуясь случаем, хотела бы выразить огромную благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Олегу Александровичу Репину за полезные советы, обсуждения, замечания и помощь в подготовке данной диссертационной работы, а также доктору физико-математических наук, профессору Нине Афанасьевне Вирченко за внимательное отношение, ценные советы и энергичную поддержку.

Глава 1

Некоторые обобщённые специальные функции

В последнее десятилетие значительно возрос интерес к теории интегральных преобразований со специальными функциями в ядрах. В связи с этим сама теория специальных функций требует развития, обобщения.

Среди специальных функций особую роль играют Г- и В- функции, гипергеометрические функции и их частные случаи (функции Бесселя, Ле-жандра, ортогональные многочлены и др.)

Развитие вычислительной техники, теории информатики, астрофизики, теории вероятностей стимулируют развитие теории специальных функций и их различных применений. Фактически обобщенные эйлеровы интегралы являются основой новых обобщений классических специальных функций.

К числу наиболее важных специальных функций относятся эйлеровы интегралы - Г- и В- функции, знание свойств которых необходимо для изучения других специальных функций. Впервые Г- и В- функции ввел Л.Эйлер в начале XVIII века. Он положил основу теории этих интегралов. Лежандр, Гаусс и другие видные ученые продолжили изучение и дали интересные применения их.

1.1. Обобщённая конфлюэнтная гипергеометрическая функция

и её свойства

Рассмотрим (г, /3) - обобщенную конфлюэнтную гипергеометрическую функцию [16].

1

О ' ' -1

(1.1.1)

где Яе с > Я.е а > 0, т е К, т > О, /3 € Ш, ¡3 > 0, г - (3 < 1.

_ 1 (с; г)

а_11ф1 <и

(с;/?)

1Ф]

' (с; г) ¿Г

_ /3)

- частный случай обобщенной функции Райта [19],

Г(е + тп) г"

Г(г 4- ЯгЛ п.\ У 1

А

(с; г)

М)

п=О

Заметим, что если т — (3 = 1, то (1.1.1)- есть классическая конфлюэнтная гипергеометрическая функция Ф(а;с;,г) [2]. Если т = /3, то получится функция хФ[(а;с; г), рассмотренная в работе [116].

Теорема 1.1.1. Если выполняются условия Яе с > Яе а > 0, т £ №, г > 0, /3 £ М, ¡3 > 0, г — ¡3 < 1, то имеет место формула

Г(с) ^ Г(а + тп) гп

хФ ^{а-с-г)

оо

Г(а)^Г(с + /Зга) га!'

п=О

Доказательство. Учитывая формулу (1.1.2), подставим в (1.1.1) выра-" (с; г) '

жение для хФ

1

(с; /3)

г?

Будем иметь ...... ^ _ Г(с)

оо

хФ[ (а; с; г) =

Г(а)Г(с-а)

1а-1{1-ь)с~а-1 ^

Г (с + тп) гпГ

,71=0

Г(е + /3п) га!

<И

Г(с)

оо

Г(с + тп) г Г(а)Г(с - а) ^ Г (с + /Зп) ' га!

- лЛ

-т £'

а—1+Г71

(1-£)

с-а-1

дХ =

Г(с)

- п)

Г(а)Г(с — а) Г(с + /Зп) п\

Г(с + тп) гп

— £>(а + тп; с — а) =

Г(с) ^ Г(а)Г(с — а) ^

п=О оо

Г(с + тп) гп Г(а + гп)Г(с — а)

Г(а)Г(с - а) Г(с + /Зп) п! Г(с + тп)

п=О

Г(с) улГ(а + тп) = Г(с + ¡Зп) ' ТгГ'

п=0

□

Здесь мы меняли местами операции суммирования и интегрирования, что законно в силу равномерной сходимости интеграла и абсолютной сходимости ряда.

В работе получены ряд формул и соотношений для функциихФ^(а; с; г), которые являются обобщением соответствующих формул для классической функции Ф(а; с; г) [2].

Теорема 1.1.2. При условиях существования функции хФ^(а; с; -г) гше-ют место следующие формулы дифференцирования:

^ ^т в/ \ Г(с)Г(а + т) ,гд. . .

(а; С; г) = Г(а)Г(с 4- р) +т;с+/3;г),

(1.1.3)

,т/3/ ч Г(с)Г(а + пг) гТл, „ ч

^ (а;с;г) = {а + пт'с + г)-

£¿2

дг

2;ахФ['^(о; с; гт) = аг^Ф^а + 1; с; гт),

1

(1.1.4)

(1.1.5)

йп

га+п~\Фт/(а- с; 2Т) = (а)пга-11Фт{>°{а + п; с; г

-1

(1.1.6)

А

гс-1хФ[^(а; с; г?)] = (с - ^"^Ф^а; с - 1; г"), (1.1.7)

о!;

п

с; = (-1)п(1 - с)пгс~п-\Фт^{а- с - п; (1.1.8)

Формулы (1.1.3)-(1.1.8) - есть обобщение аналогичных формул для классической функции Ф(а/, с; г) [2].

Доказательство. Докажем формулу (1.1.5).

Г (с) ^ Г(а + тп) гтп+а

А.

й (1г

оо

Г (а) Е Г(с + /Зга)

4 ' п=О 4 '

га!

ОС

Г(с) ^(а + тп) г

(тп + а)

£

.ттН-а—1

Г(а)^Г(с + /Зга)

га!

1М + ™ + *

Г(а)*

£

п=0

тп

Г(с + /Зга) га!

= а2а-11Ф[,/3(а+1;с; гт).

Доказательство формулы (1.1.6) проводится методом математической индукции, используя формулу (1.1.5).

Формулы (1.1.3), (1.1.4), (1.1.7), (1.1.8) доказываются аналогично.

□

Теорема 1.1.3. При условиях существования функции хФ^"5(а; с; г) имеет, место следующее дифференциальное соотношение а й , . ч а + т б, гф

-1"1ф1 г)

таг

т

аЬ

1Ф 1'р(а;с; г) =

= (1.1.9)

Доказательство. Воспользуемся соотношением для функциис; г).

Г (а + 1)Г(с + /З^Фр^а + 1; с; г) - Г(а + 1)Г(с + /З^Ф^а; с; г) =

тТ{с)Г(а + фхФ^а + г; с + /3; г), (1.1.10)

которое можно проверить непосредственными вычислениями. Учиты-

вая, что

Г(с) ^Г(а + тга)

Г(а) ¿-¿Г(с + /3га) га!'

левая часть равенства (1.1.10) запишется в виде

Г(а + 1) Г(а + 1 + г) 2 Г(а+1 + 2т)г2

Г(с)Г(с + /3)

-Г(а + 1)Г(с + /3)

Г (с) Г(с)

+

+

Г (с + /3) 1! Г(с + 2/3) 2!

+

Г(а)

Г(а) Г(а + г) г Г(а + 2т) г2 Щ+ Г(с + /3)1! + Г(с + 2/3) 2! + "

= Г(с)Г(с+/3)

(а + т)Г(а + т) г а + 2тГ(а + 2т) г2 (а + Зт)Г(а + Зт) г3

Н----77Г ----ТГГ +

Г(с + /3) 1!

Г (с+ 2/3) 2!

Г(с + 3/3) 3!

-аГ(с)Г(с + /3)

Г (а + т) г Г(а + 2т) г2 Г(а + Зт) £

+ -Т—ГГ —г +

Г(с+ /3)1! Г(с 4- 2/3) 2! Г(с +3/3)3!

= тГ(с)Г(с + р)

Г(а + т) 2 2Г(а + 2т) г2 ЗГ(а + Зт) г3 Г (с + Р) 1! + Г(с + 2/3) 2! + Г(с + 3/3) 3! +

= тГ(с)Г(а + т)г ■ хФ^(а + т; с + /3; г).

В результате получили правую часть равенства (1.1.10). В равенстве (1.1.10) заменим а на (а + т),с на (с + /3), получим

Г (а + т + 1)Г(с + 2/3)1Ф['^(а + т + 1; с + /3; г) - Г(а + т + 1)Г(с + 2/3) х

Х1Ф^(а + т;с + /3;г) = тГ(с + /3)Г(а + 2ф1Ф[,/?(а + 2т; с + 2/3; г). (1.1.11) Из равенства (1.1.4) имеем

+ 1 + т; с + /3; г) = + 1; с;

Г(с)Г(а + 1 + т) ¿г

хФ["б(а + 2т; с + 2/3; г) =

Г(а)Г(с + 2/3) с12

(а;с;г).

Г(с)Г(а + 2т) <Ь2

Подставляя эти выражения в (1.1.11), получим следующее равенство

Г(а + 1)Г(с + /?)Г(с + 2/?) ^

Г(с) аг

Г(а)Г(с + /3)Г(с + 2р)Т{а + 1 + т) <1 ъТ,р

Г(с)Г(а + т)

с1г

хФ[ (а; с; г) =

т Г(а)Г(с + 2/3) # гТ в, = тГ(с + (3)г ^—^{а- с; г).

Откуда имеем

_/ _,ч (I . Г(а)Г(а + 1 + т) д, ч

Г(а + 1)-,® Д, + 1; с;*) - МГ(а + г) ТЛ {а'

(Р

= ггГ(а)^21Ф['^(а; с; г). Пользуясь равенством Г(1 + г) = гГ(г) [2], находим

аГ(а)^!Ф[^(а + 1; с; г) - Г(а)(а + т^Ф^а; с; г) =

с12

= г2Г(а)^21Ф^(а;с;г).

£ V, с;

Из последнего соотношения следует равенство (1.1.9).

□

Доказано, что функция ^^(а; с; г>г) является решением дифференциального уравнения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Заикина, Светлана Михайловна, 2015 год

Литература

[1] Арсенин В. Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальны функции/ В.Я. Арсенин // М.: Наука - 1984.- 384 С.

[2J Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А. Эр-дейи // М.: Наука - 1965. -т.1.~ 294 С.

[3] Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А. Эр-дейи // М.: Наука - 1966. -т.2,- 295 С.

[4] Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А. Эр-дейи // М.: Наука - 1967. -т.З - 299 С.

[5] Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // М.: Наука - 1969. -т.1 - 344 С.

[6] Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // М.: Наука - 1969. -т.2,- 274 С.

[7] Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных/ A.B. Бицадзе // М.: Наука - 1961. - 448 С.

[8] Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного/ A.B. Бицадзе // М.: Наука - 1984. - 320 С.

[9] Бицадзе A.B. Уравнения математической физики/ A.B. Бицадзе // М.: Наука - 1982. - 336 С.

[10] Брычков Ю.А. Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю.А. Брычков, А.П. Прудников // М.: Наука - 1977. - 288 С.

[11] BipneHKO Н.О. Про HOBi узагальнеш штегральш перетворення / И.О. BipneHKO, 3aiKiHa С.М. // Допов^ HAH Украши- 2010. -№5-С. 11-17.

[12] Вгрченко Н.О. Узагальнеш штегральш перетворення i ix застосуваи-ня/ Н.О. В1рченко, 3aiKiHa С.М. // HayKOBi BicTi Национального тех-шчного у-ту Украши "КПИ".- 2008. -№6(62).-С. 133-137.

[13] BipuejtKo Н.О. Про нове узгальнення В-функци та ii застосування/ Н.О. BipneHKO, 3aiKiHa С.М. // HayKOBi eicri Нацюнального техшчного у-ту Украши "КПИ".- 2007. -№5(55)-С. 136-141.

[14] Вгрченко Н. О. Про HOBi узгальнення специальних функций i ix застосування в теорп штегральних перетворень/ Н.О. В1рченко, Рибачук JI.B. // Науков1 Bicri Нащонального техшчного у-ту Украши "КПИ".-2006. -т.-С. 126-131.

[15] В1рченко Н.О. Парш (N-арш) штегральш р1вняння / Н.О. В1рченко // К.:3адруга.- 2009. - 476 С.

[16] Вирченко H.A. Новые интегральные преобразования в экономике, технике / H.A. Вирченко, С.М. Заикина // Саратов:Актуальные проблемы и перспективы инновационной агроэкономики.- 2009. - С.58-62.

[17] Вирченко H.A. Некоторые интегральные преобразования с функцией

ß, 7, <5, х, у) / H.A. Вирченко, В.Н. Царенко // К.: Изд-во при Киевском гос. ун-те "Вычисл. и прикл. матем".- 1986. -№60.- С.26-30.

[18] Вирченко H.A. Об одном интегральном преобразовании / H.A. Вирченко, Р.В. Гамалея // К.:Матем. физика и нелинейная механика-1991. -№16(50).- С.21-29.

[19] Вирченко H.A. Дробные интегральные преобразования гипергсомет-рического типа / H.A. Вирченко, В.Н. Царенко// К.:"Думка",- 1995. -216 С.

[20] Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров, В.В. Жариков// М.:Физматлит- 2004. - 400 С.

[21] Волков И.К. Интегральные преобразования и операционное исчисление / И.К. Волков, А.Н. Канатников// М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана.- 1996. - 228 С.

[22] Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики/ В.Н. Врагов // Новосибирск.: НГУ. - 1983. - 84 С.

[23] By Ким Туан К теории обобщенных интегральных преобразований в некотором пространстве функций / By Ким Туан // М.:ДАН СССР.-1986. -286-№3- С. 521-524

[24] Голицын Ф.С. Интегральные преобразования специальных функций в задачах теплопроводности / Ф.С. Голицын, А.Н. Жуковский// К.:Наукова Думка - 1978. - 282 С.

[25] Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик// М.:Наука,- 1963. - 1100 С.

[26] Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Дёч // М.-.Наука - 1971. - 288 С.

[27] До/србашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян // М.:Наука.-1966. - 671 С.

[28] Диткин В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников // М.:Наука - 1974. - 542 С.

[29] Диткин В.А. Интегральные преобразования / В.А. Диткин, А.П. Прудников //Итоги науки и техники: мат. анализ М.:ВИНИТИ АН СССР.- 1967. - С. 7-82.

[30] Заикина С.М. Некоторые соотношения для обобщенной бета-функции / С.М. Заикина // Матер1али XI М1жнародно1 науково1 конференцп ¡м.акад. М. Кравчука.-К.: Задруга-2006 .- С. 424.

[31] Заикина С.М. Обобщения некоторых специальных функций / С.М. Заикина //Конференция молодых исследователей волгоградской области 8-10 ноября 2006 г.-Волгоград,-Изд.ВолГУ.-2007 .- С. 91-92.

[32] Заикина С.М. Некоторые интегральные преобразования для функций, содержащих с; z) / С.М. Заикина, Т.Б. Заикина //Матер1а-ли XII М1жнародно1 науково1 конференцн ÍM-акад. М. Кравчука.-К.: Задруга.-2008 С. 620.

[33] Заикина С.М. Некоторые интегральные соотношения для функции хФ^-обобщенной вырожденной гипергеометрической функции / С.М. Заикина //Maтepiaли XII М1жнародно1 науково1 конференцн ÍM-акад. М. Кравчука.-К.: Задруга-2008 С. 619.

[34] Заикина С.М. Некоторые обобщенные интегральные преобразования и их обращения / С.М. Заикина // Волгоград: Вестник ВолГУ, сер.1.Математика и Физика.-№12 - 2009 - №12 - С. 29-32.

[35] Заикина С.М. Некоторые равенства типа Парсеваля-Гольдштейна для обобщенных интегральных преобразований / С.М. Заикина // Kpañoei задач! для диференщальних р!внянь. Зб1рник наукових пра-ць. Чершвщ.-в. 18.-2009.- С. 240-245.

[36] Заикина С.М. Формула обращения обобщенного интегрального преобразования Лапласа / С.М. Заикина //Матер1али XIII М1жнародно1 науково1 конференцн ¡м.акад. М. Кравчука.-К.: Задруга. - 2010.- Ч.2.-С. 120.

[37] Заикина С.М. Применение обобщенного интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений / С.М. Заикина // Самара: Вестник Сам.гос.техн.ун-та. Сер. Физ.-мат.науки.-2011- №4(25).- С. 165-168.

[38] Заикина С.М. Применение интегральных преобразований к решению дифференциальных уравнений / С.М. Заикина // Самара: Труды

восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи".- СамГТУ-2011- Ч.З.- С. 68-70.

[39] Заикина С.М. Применение обобщенного интегрального преобразования Лапласа к решению уравнения гиперболического типа / С.М. Заикина //Материалы II межд.конфер.молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики".-28 ноября-1 декабря 2012 г.,Терскол. - С. 101-102.

[40] Заикина С.М. Решение обобщенного уравнения Бесселя, используя интегральное преобразование Ст / С.М. Заикина // Кшв: матер1али XIV м1жнародн. конференц. ¡м. ак. М. Кравчука 19-21 кв1тня 2012 р.-Т.1.-С. 185-186.

[41] Заикина С.М. Применение интегрального преобразования к решению дифференциального уравнения в частных производных / С.М. Заикина // Самара: Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи",- СамГТУ- 2013.- Ч.З.- С. 21-23.

[42] Заикина С.М. Обобщённое интегральное преобразование Лапласа и его применение к решению некоторых интегральных уравнений / С.М. Заикина // Вестник СамГТУ, серия "Физико-математические науки".-2014 .-№1(34).- С. 19-24.

[43] Заикина С.М. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода со специальной функцией в ядре / С.М. Заикина // Кшв: ма-тер!али XV м1жнародн. конференц. ¿м. ак. М. Кравчука 2014 р.- Т.1.-С. 185-186.

[44] Заикина С.М. Формула обращения для обобщённого интегрального преобразования Лапласа и её применение / С.М. Заикина // Самара: материалы Четвёртой международной конференции "Математическая

физика и её приложения"25 августа - 1 сентября 2014 г.-СамГТУ,- С. 172-173.

[45] Катрахов В. В. Композициониый метод построения В- эллиптических, В- гиперболических и В- параболических операторов преобразования/ В.В. Катрахов, С.М. Ситник // ДАН CCCP.-1994.-t.337, N3,- С. 307311.

[46] Килбас A.A. Об интегральных уравнениях первого рода с логарифмическими ядрами произвольного порядка/ A.A. Килбас // Докл. АН БССР.-1977.-21, N12.- С. 1078-1081.

[47] Князев П.Н. Интегральные преобразования/ П.Н. Князев // Минск: Высш. шк.-1969 .- 198 С.

[48] Кори Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн // М.: Наука-1970 .- 728 С.

[49] Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики/ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов // М.: Высш. шк.-1970 .- 712 С.

[50] Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант // М.: Мир.-1964 830 С.

[51] Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения / H.H. Лебедев // М.: Л.-1963 358 С.

[52] Маричев О.И. Интегральные операторы со специальными функциями в ядрах, обобщающие операторы интегрирования комплексного порядка / О.И. Маричев // Изв. АН БССР, серия физ.-мат.наук.-1978. т-С. 38-44.

[53] Маричев О.И. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами / О.И. Маричев, A.A. Килбас, O.A. Репин // Самара: Изд-во Самар. гос. экон. ун-та.-2008 .- 276 С.

[54] Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функ-ций(теория и таблифа формул) / О.И. Маричев // Минск: Наука и техника.-1978 .- 312 С.

[55] Морс Ф.М. Методы математической физики / Ф.М. Морс, Г. Фешбах // М: ИЛ-1958-Т.1.- 930 С.

[56] Морс Ф.М. Методы математической физики / Ф.М. Морс, Г. Фешбах // М: ИЛ.-1960 -Т.2.- 886 С.

[57] Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение / A.M. Нахушев // М: Физматлит-2003.- 272 С.

[58] Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения.-1969.-т.5.-№1,- С. 44-59.

[59] Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский // М: Наука-1961 - 272 С.

[60] Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений / И.Г. Петровский // М: Наука-1965 - 128 С.

[61] Положий Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий // М: Высш. шк-1964 - 560 С.

[62] Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А.Д. Полянин // М: ФИЗМАТЛИТ.-2001 - 576 С.

[63] Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А.Брычков, О.И. Маричев // М: Hayка.-Т. 1.-1981 - 800 С.

[64] Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А.Брычков, О.И. Маричев // М: Наука.-Т.2.-1983.- 752 С.

[65] Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А.Брычков, О.И. Маричев // М: Наука.-Т.З.-1986,- 801 С.

[66] Псху A.B. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре / A.B. Псху // Докл. Адыгейской(Черкесской) Международной академии наук.-2002.-т.6.-№1,- С. 35-47.

[67] Псху A.B. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / A.B. Псху // Нальчик.-2005.-186 С.

[68] Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка /A.B. Псху // М: Наука-2005 - 199 С.

[69] Репин O.A. Некоторые новые обобщенные интегральные преобразования и их применение в теории дифференциальных уравнений / O.A. Репин, С.М. Заикина //Вестник Сам.гос.техн.ун-та. Сер. Физ-мат. науки -2011 .-№2(23).- С. 8-16.

[70] Репин O.A. О задаче с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования для уравнения гиперболического типа / O.A. Репин //Вестник Сам.гос.техн.ун-та. Сер. Физ-мат. науки ,-2004.-№30.-С. 70-72.

[71] Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. // Минск: Наука и Техника.-1987.-688С.

[72] Ситник С.М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений / С.М. Ситник // Вестник Сам. гос. Унив-та.Естественно-научная серия.-67.-№8/1.-2008.-С. 237-248.

[73] Ситник С.М. Об одной паре операторов преобразования / С.М. Ситник // Сб.:Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.-Новосибирск.-1987.-С. 168-173.

[74] Ситник С.М. Операторы Бушлина-Эрдейи / С.М. Ситник // Сб. Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая

физика и специальные функции.Международн. научн. конференция.-Самара.-1992.-С. 233-234.

[75] Ситник С.М. Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина - Пуассона / С.М. Ситник // Ж.Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер. Математика. Физика.-2010.-Т.5.-С. 135-153.

[76

[77

[78

[79

[80

[81

[82

[83

[84

Смеддон И. Преобразования Фурье / И. Смеддон // М.: ИЛ.-1955.-668С.

Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов // М.: Наука-1966.-292С.

Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики / М.М. Смирнов // М.: Наука-1975.-128С.

Смирнов М.М. Интегральные уравнения Вольтерра с гипергеометрической функцией в ядре / М.М. Смирнов // Дифференциальные уравнения-1985.-21.-№7.- С. 1276-1279.

Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев // М.: Наука-1966.-444С.

Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский // М.: Наука.-1972.-736С.

Трантер К. Интегральные преобразования в математической физике / К. Трантер //М.-Л.:Гостехиздат.-1957.-316С.

Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Три-коми //М.: Изд-во иностр. лит.-1957.-443С.

Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд //Л.: Наука.-1968.-402С.

Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц //М.: Наука.-т.2.-1970.-800 С.

[86] Царенко В.Н. Интегральные преобразования дробного порядка, связанные с классическими ортогональными полиномами / В.Н. Царенко //Хим. технология.-1982.-№1.-С. 59-66.

[87] Якубович С.Б. Замечание к формуле обращения интегрального преобразования Уимпа по индексу / С.Б. Якубович //Дифференциальные уравнения.-1985.-21.-№6.-С. 1097-1098.

[88] Aghili A. An Inversion Technique for 12-transforms with Applications / A. Aghili, A. Ansari, A. Sedghi // Int. J. Contemp.Math.Sciences.- Vol.2.-2007.-28.-p. 1387-1394.

[89] Brown D. Identities for the ¿^-transform and their applications / D.Brown, N.Dernek, O.Yiirekli // Applied Mathematics and Computation.-187.-2007.-p. 1557-1566.

[90] Chaudhry M.A. On a class of incomplete gamma functions with applications / M.A. Chaudhry, S.M. Zubair //Chapman and Hall/ CRC-2000.-494 p.

[91] Dernek N. Parseval-Goldstein type identities involving the L4- transform and P4- transform and their applications / N. Dernek, H.M. Srivastava, O. Yurekli //Integral Transform. Spec. Funct.-18.-2007.-P.245-253

[92] Erdelyi A. Note on the transformation of Eulerian hypergeometric integrals/ A. Erdelyi //Quart.J. Math. Oxford ser.-1939.-10.-P. 129-134.

[93] Erdelyi A. Transformation of hypergeometric integrals by means of fractional integration by parts/ A. Erdelyi //Quart.J. Math. Oxford ser.-1939.-10.-№39.-P. 176-189.

[94] Erdelyi A. A class of hypergeometric transforms/ A. Erdelyi //J. London Math. Soc.-1940.-15.-P. 209-212.

[95] Fox C. Integral Transforms based upon fractional integration/ C. Fox //Proc. Cambridge Philos.Soc.-1963.-59.-№l.-P. 63-71.

[96] Goldstein S. Operational representations of whittaker's confluent hypergeometric function and Weber's parabolic cylinder function/ S. Goldstein // Proc. London Math. Soc.(2)-1932.-34.-p.l03-125.

[97] Herman S. Parseval-type relations for Laplace transform and their applications/ S. Herman, J.Maceli, M. Rogala, 0. Yiirekli // Intern. J. of Mathem. Education in Scince and Technology-2007.-39.-l.-P.109-115.

[98] Kalla S.L. Fractional integration operators involving generalized hypergeometric functions / S.L. Kalla // Univ.Nac.Tucuman Rev.-Ser.A.-1970.-20.-P. 93-100.

[99] Kalla S.L. Integral operators involving hypergeometric functions/ S.L.xKalla, R.K. Saxena //Math. Z - 1969.-P. 231-234.

[100] Kilbas A.A. H-Transforms/ A.A. Kilbas, M. Saigo // Applications/Analytical Methods and Special Functions.- Vol. 9.-Washington: Charman and Hall/ CRC, 2004.- 390 pp.

[101] Kilbas A.A. Integral transforms with the Legendre function of the first kind in the kernels on L-spases/ A.A. Kilbas, O.V. Skoromnik //Integral Transforms and Special Functions - 2009. Vol.20.-issue 9. P. 653-672.

[102] Kilbas A.A. Generalized fractional integral transforms with Gauss functionkernels as G-transforms/ A.A. Kilbas, O.A. Repin, M. Saigo // Integral transforms and special functions.-2002.-Vol.13.-p.285-307.

[103] Li Ta A new class of integral transforms/ Li Ta // Proc. Amer.Math.Soe.-1960.-ll.-p. 290-298.

[104] Nakhi Ben, Y. A Generalization of beta-type distribution with w-appell function/Nakhi Ben, Y., S.L. Kalla // Integral Transforms and Special functions.-Vol. 14.-4.-2003.-P. 321-332.

[105] Nasim C. An universion formula for a class of integral transforms/ C. Nasim //J. Math. Anal, and Appl.-1975.-52.-№3.-P. 525-537.

| .LOG| Saxena R.K. An universion formula for the Varma transform/ R.K. Saxena // Proc. Camb.Phil.Soc-1966.-62.-p.3.-P.467-471.

[107] Saxena R.K. Generalized gamma-type functions involving Kummer's confluent gipergeometric function and associated probability distributions/ R.K. Saxena, Chena Ram, Naresh Dudi, S.L. Kalla // Int. Transforms and Spec.Funct.-Vol. 18.-9.-2007.-P. 679-687.

[108] Schwarz John H. The generalized Stieltjes transform and its inverse/ Schwarr John H. // J. of Math. Phisics-2005 -46.-013501-013501-8

[109] Sneddon J. The use of integral transforms/ Sneddon J. // New York. Mc Graw-Hill Book Comp.-1972.- 539 P.

[110] Srivastava H.M. A theorem on Widder's Potential Transform and its Appl. / H.M. Srivastava, O. Yiirekli// J. of Math. anal, and applications. - 1991.- Vol.154.- no.2. P.585-593.

[111] Srivastava H.M. A theorem on Stieltjes - type integral transforms and its applications/ H.M. Srivastava, O. Yiirekli// Complex Var. Theory Appl.-1995.-28.-P. 159-168.

[112] Srivastava H.M. On generalized integral transform / H.M. Srivastava // Math. Zeitschr.-1969.-108.-№3.-P. 197-201.

[113] Srivastava H.M. A certain class of q-series transformations / H.M. Srivastava // J. of Math.Anal. and Appl.-1985.-107.-P.498-508.

[114] Srivastava H.M. A note on the Widder transform related to the Poisson integral for a half-plane / H.M. Srivastava, S.P. Singh // Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech.-16.-1985.-P. 675-677.

[115] Tranter C.J. Integral transforms in mathematical physics / C.J. Tranter // New York: John Wiley and Sons Inc.- 1956.- 133 pp.; русск. пер.: Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: ГИТТЛ.- 1956.- 204 с.

[116] Virchenko N.O. On some generalizations of gamma functions / N.O. Virchenko // /Jon.HAH yKpaiHH- №.10.-1999.-P.39-44.

[117] Virchenko N.O. On some generalized integral transforms / N.O. Virchenko, S.L. Kalla , S.M. Zaikina // Handronic Journal- v.32 -2009 -P.539-548.

[118] Widder D.V. The Stieltjes transform / D.V. Widder 11 Trans. Amer.Math.Soc.-1938.-43.-№l.-P. 7-60.

[119] Widder D. V. A transform related to the poisson integral for a half-plane / D.V. Widder // Duke Math. J - 1966.-33 - P. 355-362.

[120] Wimp Jet Two integral transforms pairs involving hypergeometric type / Jet Wimp // Intern. J. Fract. Calculus and Appl. Anal - 1999.-2.-№3.-P. 233-244.

[121] Wright E.M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric functions / E.M. Wright //J. London Math. Soc - 1935 - 10.-p.286-293

[122] Yurekli 0. A new method of solving Bessel's differential equation using the Z/2-transform / 0. Yurekli, S. Wilson // Appl. Math, and Computation 130.-2002.-P. 587-591.

[123] Yurekli O. A new method of solving Hermite's differential equation using the /^-transform / O. Yurekli // Appl. Math, and Computation 145.-2003.-P. 495-500.

[124] Yurekli O. New identities involving the Laplace and the Z/2-transforms and their applications/ O. Yurekli // Appl.Mathem. and Computation.-1999.-99.-P. 141-151.

[125] Yurekli O. A theorem on the generalized Stieltjes transform and its applications/ O. Yurekli //J. Math. Anal. Appl. -168.-1989.-P.63-71.

[126] Yurekli O. A Parseval-type theorem applied to certain integral transforms/ O. Yurekli // IMA J. Appl. Math.-42.-1989.-P. 241-249.

[127] Yiirekli 0. Theorems on Z/2-transforms and its applications / O. Yiirekli // Complex Variables Theory Appl.-38.-1999.-P. 95-107.

[128] Yiirekli 0. A Parseval-Goldstein type theorem on the Widder potential transform and its applications / O. Yiirekli, I.Sadek // Internat. J. Math. Sci.-14.-N3.-1991.-P. 517-524.

[129] Zaikina S.M. Principal affinities generalized confluent hypergeometric function / S.M. Zaikina // Матер1али XI М1жнародно1 HayKonoi конференции iM-акад. M. Кравчука.-К.: Задруга- 2006.-С.425