Обобщенные дисперсионные модели динамики популяций, характеризующихся стохастическим управляющим параметром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.01.02, кандидат наук Халин Андрей Александрович

• Халин Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Халин Андрей Александрович

Введение

Глава 1. Учет стохастичности в задачах современной попу-

ляцнонной динамики

1.1. Введение

1.2. Закон Тейлора и его проявление в различных биосистемах

1.3. Распределение Твиди в биологических данных и моделях

1.4. Современные задачи учета стохастических эффектов при моделировании роста микобактерий

1.5. Выводы по главе

Глава 2. Влияние стохастичности параметров на среднепо-левую динамику популяционного роста

2.1. Введение

2.2. Среднеполевая аппроксимация экспоненциальной фазы роста стохастической популяции

2.3. Функциональный отклик Холдинга I типа: точные аналитические решения

2.4. Функциональный отклик Холдинга II типа: квазигауссово приближение

2.5. Верификация модели суперэкспоненциального роста на примере роста популяции М. tuberculosis

2.6. Выводы по главе

Глава 3. Использование вейвлет-анализа для нахождения параметров Твиди распределения, соответствующего разреженным экологическим данным

3.1. Введение

3.2. Экологический закон Тейлора/распределение Твиди и соотношение между первыми уровнями вейвлет-разложения

в ряд Хаара

3.3. Применение разработанного метода к данным донной траловой разведки рыбных популяций

3.4. Закон Тейлора в многомасштабном вейвлет-представлении

и тест метода для временного ряда улова БеЪазЬез раиЫврШв

3.5. Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Метод колориметрического анализа кривых бактериального популяционного роста при резазури-новом тесте

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные дисперсионные модели динамики популяций, характеризующихся стохастическим управляющим параметром»

Введение

Актуальность темы исследования. Развитие современных методов биофизического эксперимента, а также накопление обширного материала лабораторных и полевых исследований, ставшего доступным благодаря развитию системы онлайн-баз данных, ставит перед специалистами по математическому моделированию в биофизике новые задачи построения моделей популяционной динамики. Такие модели должны учитывать не только среднеполевой рост (как в классических моделях Ферхюльста, Гомпертца, Mono, Базыкина), но и влияние на него стоха-стичности биофизических параметров, неизбежно проявляющейся при детальной регистрации соответствующих процессов.

Примеры подобных процессов покрывают широкий интервал масштабов - от колоний микроорганизмов до популяционной экологии на протяжении крупных географических регионов. Среди первого круга проблем особую актуальность имеет исследование динамики роста патогенов, как ее естественной вариабельности, так и отклика на лекарственные препараты. Одним из наиболее важных примеров является изучение роста колоний микобактерии М. tuberculosis, так как туберкулез по-прежнему остается одной из наиболее существенных угроз здоровью в мировом масштабе. Более того, происходит увеличение числа резистентных штаммов, рост которых не подавляется стандартными антибактериальными лекарственными средствами. Среди задач популяционной динамики высших организмов по-прежнему большое внимание привлекают неклассические (негауссовы) вероятностные распределения, выявляемые в пространственной структуре и временной динамике популяций морских организмов. Несмотря на то, что характерная эмпирическая зависимость между первым и вторым моментами распределений, указыва-

ющая на многомасштабный характер данных, была выявлена Л.Р. Тейлором в 1961 году, разработка приводящих к ней математических моделей еще далека от завершения.

С точки зрения развития математических методов биофизики, подходы к данному кругу задач тесно связаны с активно развивающимися в настоящее время (например, работы потсдамской (R. Metzler и др.) и краковской (Е. Gudowska-Nowak, В. Dybiec и др.) научных школ) идеями аномальных стохастических процессов в приложении к биофизической, химической и биохимической кинетике. Кроме того, важным инструментом в анализе и моделировании соответствующих пространственных распределений и временных рядов является вейвлет-анализ, так как само построение базисных функций-вейвлетов базируется на концепции мно-гомасштабности.

Цели и задачи диссертационной работы.

Цель работы заключается в построении обобщенных дисперсионных моделей популяционной кинетики и динамики для сообществ организмов со стохастическим распределением параметров и регистрируемых данных с применением разработанного подхода к анализу результатов лабораторных и полевых исследований.

Для достижения поставленной цели были выделены следующие задачи:

• построение модели влияния стохастичности параметра роста субпопуляций на суммарную кривую роста полной популяции в отсутствие ограничивающих факторов, нахождение аналитического приближения к решению и границ его применимости;

• верификация построенной модели на примере анализа лабораторных данных роста популяций микобактерий М. tuberculosis и ana-

лиз выявленной вариабельности соответствующих биофизических параметров;

• разработка метода нахождения основных параметров распределения Твиди при помощи вейвлет-анализа с последующим его применением к анализу реальных биоданных.

Научная новизна:

• впервые построена модель роста популяции со стохастически распределенным управляющим параметром, приводящая к суперэкспоненциальному росту на этапе, когда ограничением емкости среды можно пренебречь, и показано ее соответствие кривым роста, регистрируемым при лабораторном исследовании роста колоний М. tuberculosis в резазуриновом тесте;

• впервые найден и исследован ряд точных и приближенных решений задачи популяционного роста на стохастическом субстрате, удовлетворяющем распределению Твиди (экологическому закону Тейлора);

• разработан новый метод нахождения степенного параметра распределения Твиди (экологического закона Тейлора), использующий многомасштабное разложение по базису Хаара при помощи дискретного вейвлет-преобразования, на основе которого проведена классификация стохастических временных рядов данных, полученных в ходе донной траловой биоразведки тихоокеанского региона.

Указанные результаты соответствую паспорту специальности 03.01.02 Биофизика в области исследований "Биофизика сложных систем", подобласти: математическая биофизика; экологическая биофизика; медицинская биофизика.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в разработке последовательного подхода к построению математических моделей, учитывающих влияние многомасштабной стохастичности параметров, управляющих кинетикой и динамикой популяционных процессов и методологии оценки данных параметров при анализе натурных данных.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные методики, алгоритмы и программы могут быть использованы для анализа данных, полученных как в ходе биофизических лабораторных экспериментов в области микробиологии, так и в результате полевых наблюдений.

Методология и методы исследования. Степень достоверности результатов. Методология исследования основана на использовании биофизически и математически обоснованных положений биофизической кинетики, теории динамических систем и теории стохастических процессов. Предложенные и использованные методы вычислительного эксперимента и численного анализа данных были реализованы в виде самостоятельно написанных компьютерных программ для научного программного обеспечения МАТЬАВ и И.

Достоверность результатов подтверждается корректным использованием методов биофизики и математического моделирования, тестированием разработанных методов и верификацией полученных при их помощи массивов референтных данных вычислительного и натурного экспериментов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Уравнения роста неограниченной популяции, складывающейся из субпопуляций, соответствующих значениям параметра, контроли-

рующего рост, который удовлетворяет распределению Твиди, имеют аналитические решения - точное в случае функционального отклика Холдинга I типа и приближенное (на основе квазигауссовой аппроксимации) в случае функционального отклика Холдинга II типа.

2. Результаты анализа кривых популяционного роста М. tuberculosis и оценка вариабельности скорости роста микобактерий штамма H37Rv при проведении резазуринового теста свидетельствуют об их соответствии разработанной модели стохастической популяции.

3. Параметры распределения Твиди, соответствующего стохастическим временным рядам, удовлетворяющим экологическому закону Тейлора, могут быть найдены при помощи методов, основанных на вейвлет-анализе.

4. Метод, основанный на вейвлет-анализе с базисом Хаара, позволяет: i) найти совокупность значений параметра и типа распределений из обобщенного класса Твиди, которым удовлетворяют данные исследования биоразнообразия тихоокеанского региона методом донной траловой разведки; п) провести классификацию этих данных по соответствию их вероятностных распределений видовой принадлежности.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

• DPG-Frühjahrstagung und EPS-CMD27 Gemeinsame Tagung der Sektion Kondensierte Materie der DPG und der Condensed Matter Division der EPS (Fachverband Biologische Physik), Berlin, 11. - 16. März 2018;

• International Conference on Mathematical Methods and Models in Biosciences BIOMATH 2019, 16-22 June, B^dlewo, Poland.

Исследование поддержано проектом № 3.9499.2017 ВЧ "Структурно-обусловленные нелинейные процессы в физических и биофизических системах" на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 6 работ, в числе которых 4 статьи в изданиях рекомендованных ВАК как индексируемые в базах Scopus и Web of Science [1, 2, 3, 4] и 2 публикации в тезисах докладов международных научных конференций [5, 6].

Личный вклад автора.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 104 наименований на 12 страницах, 1 приложения. Текст диссертации изложен на 97 страницах, содержит 16 рисунков и 3 таблицы.

Глава 1

Учет стохастичности в задачах современной популяционной динамики

1.1. Введение

В то время как математические модели, описывающие динамику популяций на среднеполевом уровне, то есть с учетом усреднения, сглаживающего локальные флуктуации, имеет давнюю историю, восходящую к работам Мальтуса, Ферхюльста, Лотки, Вольтерра, Гаузе, теория стохастических процессов в популяционном росте может отсчитываться от фундаментальной работы классика статистики и ее приложений к биосистемам Д.Дж. Кендалла "Стохастические процессы и популяционный рост", опубликованной в 1949 году [7]. При этом, в связи в активным накоплением большого объема наблюдательных и экспериментальных данных, а также существенно возросшей в последние десятилетия их доступностью для мирового научного сообщества благодаря постоянно пополняемым интернет-базам данных, данное направление биофизического моделирования получило значительный толчок к развитию и является одной из "горячих тем" современных исследований [8, 9, 10]. Среди разнообразия проявлений пространственной и временной неоднородности биофизических и экологических данных особое внимание в настоящее время привлекает так называемый закон Тейлора, согласно которому дисперсия флуктуирующей величины зависит от ее среднего значения как степенная функция, так как его проявление отмечается для широкого разнообразия масштабов биологических процессов и соответствующих данных - от метаболических систем до крупномасштабных популяционных рас-

и

пределений и долгосрочных временных рядов популяцнонной динамики

[И].

1.2. Закон Тейлора и его проявление в различных биосистемах

Соотношение, эмпирически установленное Л.Р. Тейлором [12] и получившее его имя, исходно относилось к статической картине популя-циопных распределений: при разбиении ареала обитания на равные по размеру районы (например, квадратной формы) и подсчете числа организмов У в каждом из них дисперсия И (У) и математическое ожидание ), характеризующие численность выбранной популяции, соотносятся как степенной закон И (У) = адр, где аир некоторые константы.

В оригинальной работе Тейлора данная степенная зависимость была получена путем анализа пространственных распределений для широкого многообразия живых организмом - областей, пораженных вирусом табачной мозаики, распределения численности зоопланктона, червей, многоножек-симфилид, клещей, насекомых и рыб; всего рассматривалось 24 набора данных. Было высказано предположение, что параметры, задающие соответствующий степенной закон, являются мерами агрегации, характерными для изучаемой популяции. При этом показатель степенного закона представляет особый интерес, поскольку ряд его частных значений характерен для классических вероятностных распределений:

• р = 0 означает нормальное (гауссово) случайное распределение, то есть обычную, "естественную" вариабельность локальной численности популяции, однородную по всей области обитания;

• р =1 соответствует распределению Пуассона, которое, как известно, содержит точные нули в описываемой им случайной последовательности, то есть, с популяционной точки зрения, означает присутствие существенного числа незаселенных областей в полном ареале;

• р = 2 соответствует гамма-распределению;

• р > 2 указывает на существенно высокую степени агрегации.

Тейлором было установлено, что в большинстве экологических систему

12

Впоследствии было выявлено [13, 14], что закон Тейлора носит существенно более универсальный характер и степенная зависимость между дисперсией средним характерна не только для статического распределения плотности популяций, но и для метаболических и физиологических процессов, фенотипических эволюционных изменений, а также генных структур, эпидемиологических временных рядов и др. Подробный обзор современного состояния исследований на эту тему может быть найден в фундаментальной монографии [И]. Приведем лишь ряд примеров, относящихся к различным биосистемам.

В частности, в работе [15] были проанализированы данные взятые из исследования перелетных птиц, гнездящихся в Северной Америке, в котором был собран объем наблюдений за 40-летний период для более чем 600 видов птиц на более чем 3000 наблюдаемых маршрутах. В своем анализе авторы сосредоточились на временных рядах для отдельных видов, зарегистрированных в течение последовательных лет на отдельных маршрутах, они рассчитали среднее и дисперсию, зависимость между которыми соответствует закону Тейлора и выявили, что характерное значение параметра р может различаться не только среди видов, но и

внутри одного и того же вида, если учитывать физико-географическую стратификацию, которая характеризует условия жизни птиц на разных маршрутах их перелетов.

В работе [16] исследовалась зависимость дисперсии и среднего для числа выявленных возбудителей инфекционных заболеваний (как вирусов, так и бактерий) в клинических биообразцах (кровь, фекалии, моча), собранных лабораториями в Англии, Уэльсе и Северной Ирландии. Исследовалась зависимость между дисперсией и средним как для последовательных шестимесячных периодов, так и с ежегодной группировкой данных. При этом было показано, что данные соответствовали статистически идентичным линейным зависимостям между логарифмами дисперсии и средней величины, что свидетельствовало о проявлении закона Тейлора, величина степенного показателя которого варьировалась в интервале между р = 1 и р = 2.

В работе [17] проведен анализ физического распределения генных структур на пример хромосомы 7 человека. В результате чего было выявлена кластеризация, не соответствующая нормальному случайному распределению, но свидетельствующая о связи дисперсии и среднего как степенного закона с параметром р = 1.51.

Кроме того, степенной закон Тейлора был выявлен также и в ряде явлений, связанных с физическими, геофизическими и социальными сложными системами [18, 11], что привело к рассмотрению его как одной из фундаментальных зависимостей, характерных для стохастических систем с сильными корреляциями, проявляющих свойства самоорганизации [15].

При этом было показано, что соответствующий математический аппарат, необходимый для построения моделей отвечает свойствам так называемых обобщенных моделей экспоненциальной дисперсии и, в частно-

сти, распределения Твиди [19], названного в честь Дж. Твиди, который исследовал [20] функцию плотности вероятности, приводящую к соответствующей степенной взаимосвязи между моментами распределения.

1.3. Распределение Твиди в биологических данных и моделях

1.3.1. Распределение Твиди: математические основы и

вычислительные подходы к нахождению его параметров по биофизическим данным

С точки зрения теории стохастических процессов, существенным фактом, обуславливающим перспективы разработки математических моделей биофизических процессов, приводящих к экологическому закону Тейлора, является то, что соответствующее соотношение между дисперсией и средним регистрируемой величины является следствием свойств представителя класса экспоненциальных дисперсионных моделей - распределения Твиди (Tweedie) [14, 21, 11].

Рассмотрим основные свойства распределения Твиди, следуя работам [14, 22, 23], ориентируясь на особенности, важные для моделирования природных систем; для более детального математического рассмотрения можно обратиться к фундаментальной монографии [24].

Пусть случайная величина У, которая может быть связана с локальной популяцией или плотностью ресурсов, взята из упорядоченного множества {у}. Тогда функция плотности вероятности (ф.п.в.), принадлежащая семейству экспоненциальной дисперсии, может быть записана в общем виде как

(1.1)

где 0 - параметр дисперсии, в - канонический параметр, являющийся независимым параметром, характеризующим распределение, а, к (в) -кумулянтная функция ЭДМ. Вещественная функция а (у ,ф, р) является "нормировочной" и не имеет в общем случае аналитической формы.

Производящая функция моментов для ф.п.в. (1.1) определяется выражением

м (i) = ехр (ы^-Ж), (1.2)

изводящая функция кумулянтов Ку(t) = log (My(t)) равна

к, {t) = Щ+Ц) - m (13)

а сами кумулянты

9 = Ку ](0) = к{з )(в)ф>-1. (1.4)

В частности, из (1.4) следует, что среднее значение и дисперсия, соответствующие ф.п.в. (1.1) являются первой и второй производными кумулянтных функций ЭДМ при ] = 1, 2:

" = Е {¥) =С1 = ^т, ^ = Уаг(У) =С2 = ф■ (1-5)

Поскольку оба эти момента выражаются через одну и ту же функцию к (в), легко заключить, что Уаг(У) = фУ (д), где V (М) = к" (в) - подходящая функция среднего значения случайной величины.

в законе Тейлора, характерные для биофизических задач, рассмотрим важный частный случай семейства вероятностных распределений Тви-ди - обобщенную модель Пуассона-Гамма, следуя линии рассуждений, представленной в [25].

Отметим, что дифференцирование согласно цепному правилу (производная сложной функции), примененное к ф.п.в. обобщенной линейной модели (1.1), дает выражение

ё, 1п / _ д 1п /ф _ 1 ( йк(в) \ ¿в = (¿¡г М = ф\У — ¿в ) ,

что в сочетании с условиями на производные моментов (1.5) приводит к выражению

д1п I = У — I' ц бх

для отношения Тейлора между средним значением случайной величины и ее дисперсией и2 = фцр.

Путем интегрирования (1.6), представленного в виде явной функции от среднего значения распределения,

1п / = /" ^ = 1 (у г—Р - 2-Р) +1п ^^

где 1п а(у,ф, р) - функция, которая не зависит от д, если р не равно 1 или 2, можно получить соответствующую производящую функцию кумулянтов

1 2—р

Ку(0 = (1 + ^(1 — Р)Рр—1),2—Р)/(1—р) — 1

ф 2 — р I

= 1[у(в + гф) — к(в)] (1.7)

где

, = ед=[(1 — рЩ™(1—).

1 — 2 —

Уравнение (1.7) можно сравнить с производящей функцией кумулянтов [19]

Кг (г) = А [(1 — П)а — 1], (1.8)

для случайных величин 2 = Х1 + ... + Х^, полученных как сумма N случайных чисел с гамма-распределением, а N - само случайное число

с распределением Пуассона. Легко видеть, что выражения (1.7) и (1.8) эквивалентны, и поэтому можно использовать обычные генераторы случайных чисел для распределения Пуассона и Гамма-распределения, с параметрами Л и а, соответственно,

А = а =^, т = ф(р — 1К-1

ф 2 — р 1 — р

для генерирования распределенных по Твиди случайных чисел для дан-

Например, такой алгоритм реализован в пакете twediee для R -языка программирования и соответствующей программной среды для статистических вычислений [26], который позволяет генерировать выборки заданной длины случайных чисел, распределенных по Твиди, с показателем степени р, средним д и параметром ф, используемыми в качестве входных параметров. На рисунке 1.1 приведен пример такой системы, образованной квадратами независимых отдельных ячеек размера 32 х 32,

рированная функцией rtweedie с параметрами ф = 1, д = 1, р = 1.5. Можно выделить как типичные особенности таких распределений: наличие пустых ячеек (темно-синего цвета), так и значительное количество хорошо распределенных ячеек с очень высокой плотностью числа внутри. Соответствующая гистограмма и постоянная ф.п.в. (красная кривая) показаны на рисунке 1.1.

Еще одна полезная особенность этого пакета - возможность генерировать не только твиди-распределенные случайные числа, но и соответствующие им ф.п.в., а также производить оценки параметров распределения Твиди для заданных эмпирических данных. Такая оценка основана на критерии максимального логарифмического правдоподобия функции tweedie .prof ile. Например, обработка данных, сгенерированных нами,

со

12 3 4

у

Рис, 1.1. Пространственная выборка, распределенная согласно распределению Твиди с ф = 1, ^ = 1, р =1.5 дополненная результатами ее описательной статистики (гистограмма и функция плотности распределения вероятности) и ф.н.в., построенная как решение обратной задачи.

приводит к значениям ф = 0.99, р = 1.47 (отклонение от точных значений происходит в силу конечности выборки); ф.п.в., найденная для этих параметров показана на рисунке 1.1 в виде синей кривой.

Кроме того, Я содержит пакет f 1бЬМос1 [27], который также позволяет переносить использованные данные в распределение Твиди с помощью метода максимального правдоподобия, включая отдельные составляющие распределения Пуассона и гамма-распределения для случая 1 < р < 2, а также дельта-логарифмическое нормальное распределение, которое также может описывать ситуацию неотрицательных наблюдений с точными нулями и должно отличаться от случая Твиди, что может быть важно для задач экологической статистики.

Функция плотности вероятности в этом случае может быть представлена в виде ряда [25]

i=1

то

^ Л '/гл ( 11 I —I— —

]!. т—а Г(-]а)

Мгг- 1) м

/(у; ф,р) = Р(М = 0)6(у) + ^Р(Ж = ¿)Д^(у)

Л-7 е-Лу-а-1 е-у/т

=1

где £(•) - дельта-функция Дирака, а - условное распределение вероятностей 2 для данных N.

Соответственно, представленная в виде ряда (факторизованная) форма (1.1) имеет явный нормировочный множитель [22]

, , , [ 1^(у,Л,а, т), у>0, а(УР) = <

[1, У=0,

где

Л (у/т)-а у4а(р - 1)а

то

Ж (у ,Л,а, = , Ж

.].Г(-,]а) ф(1-а)(2 -рУ.].Г(-]аУ

1.3.2. Распределение Твиди: результаты и данные

современных экологических и биофизических исследований

Разработка инструментов, включенных в стандартное статистическое программное обеспечение, упомянутое выше, позволила обрабатывать стохастические данные не только на основе традиционной связи «дисперсия-среднее», но и оценки наилучших значений для обозначенных распределений вероятностей. В статье [28] указано что распределение Твиди выглядит как лучший кандидат для рассмотрения проблемы нулевого вылова в рамках подхода к улову на единицу продукции (СР11Е) для характеристики численности видов, поскольку, как следует

из уравнения (1.9), это распределение обязательно содержит компонент, который соответствует нулям среди случайных значений данных.

Авторы приводят как концепцию, так и пошаговую процедуру, основанную на функции логарифмического правдоподобия, рассчитанной для различных степенных показателей распределения Твиди с использованием данных о вылове желтого тунца в различных районах Индийского океана. Следует отметить, что рыбные экосистемы являются наиболее естественным источником для таких исследований, и можно также, например, отметить анализ CPUE для распределения численности синих акул, согласно данным отлова в юго-западной части Атлантического океана с 1978 по 2009 год с показателем степени для распределения Твиди с р =1.2 [29], пространственные и пространственно-временные вариации улова в различных регионах вылова морских гребешков в Атлантическом океане [30] с показателем степени для распределения Твиди, варьирующимся от р = 1.01 до р = 1.43 на глубоководных участках для розовой креветки Parapenaeus longirostri (р = 1.26) и гигантской красной креветки Aristaeomorpha foliacea (р = 1.74) [31].

В этом контексте две работы представляют особый интерес, поскольку их авторы не просто оценивают статистические данные наблюдаемых данных для распределения Твиди, но и предоставляют более подробный анализ, который привел к подтверждению выбранной вероятностной модели. Первый из них [32] рассматривает не только сопоставление данных об уловах с распределением Твиди, но также возможность рассматривать их как удовлетворяющие нескольким другим распределениям с ф.п.в., искусственно построенным как комбинация дельта-функции в нуле (которая имитирует данные с нулевым уловом) и традиционных распределений, широко применяемых в популяционной статистике (например, ло-гнормальное распределение и гамма-распределение). После многочислен-

ных диагностических тестов на распределение, примененных к результатам обработки данных для мул ьти видового трала для американского макруронуса Масгигопиз тадеИатсиз, утверждалось, что распределение Твиди с р = 1.61 обеспечивает одно из наиболее точных и естественных представлений эмпирических данных. Вторая работа, в которой была представлена подробная процедура обоснования применимости распределения Твиди [16], посвящена конкретной проблеме динамики популяции (данные эпидемического надзора за инфекцией). После установления эмпирического отношения дисперсии к среднему для еженедельных подсчетов инфекционных организмов в последовательных 6-месячных и годовых периодах авторы изучили отношения асимметрии к среднему и коррекцию смещения, чтобы подтвердить, что степенное масштабирование удовлетворяет именно распределению Твиди.

Пространственные аспекты распространения видов, определяемые по вероятности обнаружения животного в пределах зоны, находящейся на определенном расстоянии от точки, представляющей основной интерес к контексте локализации вида, для которой распределение Твиди считается подходящим инструментом, были рассмотрены в [33]. Также было отмечено, что метод обработки данных, адаптированный к такой кривой плотности вероятности, может потребовать специальной схемы для исследований [34].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Халин Андрей Александрович, 2022 год

Список литературы

1. Khalin A. A., Postnikov E. B., Ryabov A. B. Stochastic effects in mean-field population growth: The quasi-Gaussian approximation to the case of a Taylor's law-distributed substrate // Physica A. — 2018. — Vol. 511.- P. 166-173.

2. Spectrophotometric vs. colorimetric analysis of Mycobacterium tuberculosis population growth curves in resazurin assay / Postnikov E. B., Lavrova A. I., Khalin A. A., Dogonadze M. Z., and Manicheva O. A. // Proceedings of SPIE. - 2019. - Vol. 11067. — P. 110670L.

3. Resazurin Assay Data for Mycobacterium tuberculosis Supporting a Model of the Growth Accelerated by a Stochastic Non-Homogeneity / Postnikov E. B., Khalin A. A., Lavrova A. I., and Manicheva O. A. // Data. - 2019. - Vol. 4. - P. 36.

4. Khalin A. A., Postnikov E. B. A wavelet-based approach to revealing the Tweedie distribution type in sparse data // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2020. — Vol. 533. — P. 124653.

5. Khalin A. A., Postnikov E. B., Ryabov A. B. Generalized exponential models for mean population growth on a set of stochastic substrates // DPG-Friihjahrstagung und EPS-CMD27. — 2018. — P. BP 15.84.

6. Khalin A. A., Postnikov E. B. A wavelet-based search for Tweedie distribution indices in fish abundance data // International conference on Mathematical Methods and Models in Biosciences (BIOMATH 2019). — 2019.

7. Kendall D. G. Stochastic processes and population growth // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1949. — Vol. 11. — P. 230-282.

8. Lande R., Engen S., Saether B.-E. Stochastic population dynamics in ecology and conservation. — Oxford University Press, 2003.

9. Malchow H., Petrovskii S. V., Venturino E. Spatiotemporal patterns in ecology and epidemiology: theory, models, and simulation. — CRC Press, 2007.

10. Renshaw E. Stochastic population processes: analysis, approximations, simulations. — Oxford University Press, 2015.

11. Taylor R. A. J. Taylor's power law: order and pattern in nature. — Academic Press, 2019.

12. Taylor L. Aggregation, variance and the mean // Nature. — 1961. — Vol. 189, no. 4766. P. 732-735.

13. Perry J. N. Taylor's power law for dependence of variance on mean in animal populations // Applied Statistiss. — 1981. — P. 254-263.

14. Kendal W. S. Taylor's ecological power law as a consequence of scale invariant exponential dispersion models // Ecological Complexity. — 2004. — Vol. 1, no. 3. — P. 193-209.

15. Fronczak A., Fronczak P. Origins of Taylor's power law for fluctuation scaling in complex systems // Physical Review E. — 2010. — Vol. 81, no. 6. — P. 066112.

16. Taylor's power law and the statistical modelling of infectious disease surveillance data / Enki D. G., Noufaily A., Farrington P., Garthwaite P., Andrews N., and Charlett A. // Journal of the Royal Statistical Society: Series A. — 2017. — Vol. 180, no. l.-P. 45-72.

17. Kendal W. S. A scale invariant clustering of genes on human chromosome 7 // BMC evolutionary biology. — 2004. — Vol. 4, no. 1.— P. 3.

18. Eisler Z., Bartos I., Kertesz J. Fluctuation scaling in complex systems: Taylor's law and beyond // Advances in Physics. — 2008. — Vol. 57.^

P. 89-142.

19. Jorgensen B. The theory of dispersion models. — CRC Press, 1997.

20. Tweedie M. C. K. An index which distinguishes between some important exponential families / / Statistics: Applications and new directions: Proc. Indian statistical institute golden Jubilee International conference. — Indian Statistical Institute, Calcutta. — 1984. Vol. 579. — p. 579-604.

21. Kendal W. S., J0rgensen B. Tweedie convergence: A mathematical basis for Taylor's power law, 1/f noise, and multifractality // Physical Review E.-2011.-Vol. 84. — P. 066120.

22. Dunn P. K., Smyth G. K. Series evaluation of Tweedie exponential dispersion model densities // Statistics and Computing. — 2005. — Vol. 15, no. 4. — P. 267-280.

23. Dunn P. K., Smyth G. K. Evaluation of Tweedie exponential dispersion model densities by Fourier inversion // Statistics and Computing. — 2008.-Vol. 18, no. l.-P. 73-86.

24. Jorgensen B. Exponential dispersion models // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1987. — P. 127-162.

25. Smyth G. K. Regression analysis of quantity data with exact zeros // Proceedings of the second Australia-Japan workshop on stochastic models in engineering, technology and management / Citeseer. — 1996,- P. 572-580.

26. Dunn P. K. — Tweedie: Evaluation of Tweedie Exponential Family Models : 2017. ^https://CRAN .R-project. org/package=tweedie.

27. Foster S. D.^fishMod: Fits Poisson-Sum-of-Gammas GLMs, Tweedie GLMs, and Delta Log-Normal Models : 2017. — https://CRAN. R-project. org/package=f ishMod.

28. Shono H. Application of the Tweedie distribution to zero-catch data

in CPUE analysis // Fisheries Research. — 2008. — Vol. 93, no. 1.— P. 154-162.

29. Catch rates and size composition of blue sharks (Prionace glauca) caught by the Brazilian pelagic longline fleet in the southwestern Atlantic Ocean / Carvalho F. C., Murie D. J., Hazin F. H. V., Hazin H. G., Leite-Mourato B., Travassos P., and Burgess G. H. // Aquatic Living Resources. — 2010. — Vol. 23. — P. 373-385.

30. Spatiotemporal patterns of flatfish bycatch in two scallop access areas on Georges Bank / Winton M., Huntsberger C., Rudders D., DeCelles G., Thompson K., Goetting K., and Smolowitz R. // J. Northw. Atl. Fish. Sci. 2017. Vol. 49. — P. 23-37.

31. Spatio-temporal modelling of zero-inflated deep-sea shrimp data by Tweedie generalized additive / Arcuti S., Calculli C., Pollice A., D'Onghia G., Maiorano P., and Tursi A. // Statistic;!. 2013. Vol. 73. — P. 87.

32. Tascheri R., Saavedra-Nievas J. C., Roa-Ureta R. Statistical models to standardize catch rates in the multi-species trawl fishery for Patagonian grenadier (Macruronus magellanicus) off Southern Chile // Fisheries Research. — 2010. — Vol. 105. — P. 200-214.

33. Spatial models for distance sampling data: recent developments and future directions / Miller D. L., Burt M. L., Rexstad E. A., and Thomas L. // Methods in Ecology and Evolution. — 2013. — no. 11. — P. 1001-1010.

34. A model-based approach to designing a fishery-independent survey / Peel D., Bravington M. V., Kelly N., Wood S. N., and Knuckey I. // Journal of agricultural, biological, and environmental statistics. — 2013. — p. 1-21.

35. Space-time modelling of blue ling for fisheries stock management /

Augustin N. H.. Trenkel V. M., Wood S. N., and Lorance P. // Environmetrics. — 2013. — Vol. 24. — P. 109-119.

36. Plant distribution and stand characteristics in brackish marshes: Unravelling the roles of abiotic factors and interspecific competition / Carus J., Heuner M., Paul M., and Schroder B. // Estuarine, Coastal and Shelf Science. — 2017. — Vol. 196.-P. 237-247.

37. The community structure of over-wintering larval and small juvenile fish in a large estuary / Munk P., Cardinale M., Casini M., and Rudolphi A.-C. // Estuarine, Coastal and Shelf Science. 2014. — Vol. 139.- P. 27-39.

38. Environmental processes driving anchovy and sardine distribution in a highly variable environment: the role of the coastal structure and riverine input / Bonanno A., Barra M., Basilone G., Genovese S., Rumolo P., Goncharov S., and et al. // Fisheries Oceanography.^ 2016. — Vol. 25.-P. 471-490.

39. Comparison of habitat models for scarcely detected species / Virgili A., Racine M., Authier M., Monestiez P., and Ridoux V. // Ecological Modelling. - 2017. - Vol. 346. - P. 88-98.

40. Kendal W. S., J0rgensen B. Tweedie convergence: A mathematical basis for Taylor's power law, 1/f noise, and multifractality // Physical Review E. — 2011. — Vol. 84, no. 6. — P. 066120.

41. J0rgensen B., Demetrio C. G. B., Kendal W. S. The Ecological Footprint of Taylor's Universal Power Law // Proceedings of the 26th International Workshop on Statistical Modelling.— 2011.— P. 27-32.

42. Xu M., Schuster W. S. F., Cohen J. E. Robustness of Taylor's law under spatial hierarchical groupings of forest tree samples // Population Ecology.-2015.-Vol. 57. ^ P. 93-103.

43. Cohen J. E., Xu M., Schuster W. S. F. Stochastic multiplicative

population growth predicts and interprets Taylor's power law of fluctuation scaling // Proceedings of the Royal Society of London B: Biological Sciences. — 2013. — Vol. 280. ^ P. 20122955.

44. Stanescu D., Chen-Charpentier B. M. Random coefficient differential equation models for bacterial growth // Mathematical and Computer Modelling. — 2009. — Vol. 50. ^ P. 885-895.

45. Individuality and slow dynamics in bacterial growth homeostasis / Susman L., Kohram M., Vashistha II., Nechleba J. T., Salman II., and Brenner N. // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2018. — Vol. 115. — P. E5679-E5687.

46. Growing from a few cells: combined effects of initial stochasticity and cell-to-cell variability / Barizien A., Suryateja Jammalamadaka M.S., Amselem G., and Baroud C. N. // Journal of the Royal Society Interface. — 2019. — Vol. 16. — P. 20180935.

47. Dhar N., Mckinney ., Manina G. Phenotypic heterogeneity in Mycobacterium tuberculosis / / Tuberculosis and the Tubercle Bacillus. — Wiley, 2017. P. 671-697.

48. Davis K. M., Isberg R. R. One for all, but not all for one: social behavior during bacterial diseases // Trends in microbiology. — 2019. — Vol. 27. — P. 64-74.

49. Global tuberculosis report 2018. — Geneva: World Health Organization. — 2018.

50. Painter P. R., Marr A. G. Mathematics of microbial populations // Annual Reviews in Microbiology. — 1968. — Vol. 22. ^ P. 519-548.

51. Monod J. The growth of bacterial cultures // Annual Review of Microbiology. — 1949. — Vol. 3, no. l.-P. 371-394.

52. Contois D. E. Kinetics of bacterial growth: relationship between population density and specific growth rate of continuous cultures //

Microbiology. - 1959. - Vol. 21. - P. 40-50.

53. Statistical evaluation of mathematical models for microbial growth / Lopez S., Prieto M., Dijkstra J., Dhanoa M. S., and France J. // International Journal of Food Microbiology. — 2004. — Vol. 96. — P. 289-300.

54. Peleg M., Corradini M. G. Microbial growth curves: what the models tell us and what they cannot // Critical Reviews in Food Science and Nutrition. — 2011. — Vol. 51. P. 917-945.

55. Multi-agent-based simulation of mycobacterium tuberculosis growth / Werlang P., Fagundes M. Q., Adamatti D. F.. Machado K. S., von Groll ., da Silva P. E. A., and Werhli A. V. // International Workshop on Multi-Agent Systems and Agent-Based Simulation / Springer. — 2013. P. 131-142.

56. Mathematical modeling of microbial community dynamics: a methodological review / Song H.-S., Cannon W., Beliaev A., and Konopka A. // Processes. — 2014. — Vol. 2. P. 711-752.

57. Colorimetric method for determining MICs of antimicrobial agents for Mycobacterium tuberculosis / Yajko D. M., Madej J. J., Lancaster M. V., Sanders C. A., Cawthon V. L., Gee B., Babst A., and Hadley W. K. // Journal of clinical microbiology. — 1995. — Vol. 33. — P. 2324-2327.

58. Collins L. A., Franzblau S. G. Microplate alamar blue assay versus BACTEC 460 system for high-throughput screening of compounds against Mycobacterium tuberculosis and Mycobacterium avium // Antimicrobial agents and chemotherapy. — 1997. — Vol. 41. — P. 1004-1009.

59. Martin A., Portaels F.. Palomino J. C. Colorimetric redox-indicator methods for the rapid detection of multidrug resistance

in Mycobacterium tuberculosis: a systematic review and metaanalysis // Journal of Antimicrobial Chemotherapy. — 2007. — Vol. 59. ^ P. 175-183.

60. Rampersad S. N. Multiple applications of Alamar Blue as an indicator of metabolic function and cellular health in cell viability bioassays // Sensors. — 2012. — Vol. 12. — P. 12347-12360.

61. Basic colorimetric proliferation assays: MTT, WST, and Resazurin / Prabst K., Engelhardt H., Ringgeler S., and Hiibner H. // Cell Viability Assays: Methods and Protocols / ed. by Gilbert D. F.. Friedrich O.— Springer Science+Business Media LLC, 2017. — P. 1-17.

62. Asymmetry and aging of mycobacterial cells lead to variable growth and antibiotic susceptibility / Aldridge B. B., Fernandez-Suarez M., Heller D., Ambravaneswaran V., Irimia D., Toner M., and Fortune S. M. // Science. — 2012. — Vol. 335. P. 100-104.

63. Kieser K. J., Rubin E. J. How sisters grow apart: mycobacterial growth and division // Nature Reviews Microbiology. — 2014. — Vol. 12. — P. 550-562.

64. Logsdon M. M., Aldridge B. B. Stable Regulation of Cell Cycle Events in Mycobacteria: Insights From Inherently Heterogeneous Bacterial Populations // Frontiers in microbiology.— 2018.— Vol. 9.— P. 514.

65. Effect of the population heterogeneity on growth behavior and its estimation / Zhang H., Lu L., Yan X., and Gao P. // Science China. Life Sciences. — 2007. — Vol. 50. — P. 535-547.

66. Lidstrom M. E., Konopka M. C. The role of physiological heterogeneity in microbial population behavior // Nature Chemical Biology. — 2010. — Vol. 6. — P. 705-712.

67. Heterogeneity in Pure Microbial Systems: Experimental Measurements and Modeling / Gonzalez-Cabaleiro R., Mitchell A. M., Smith W.,

Wipat A., and Ofîteru I. D. // Frontiers in microbiology. — 2017. — Vol. 8. — P. 1813.

68. Levy S. F.. Ziv N., Siegal M. L. Bet hedging in yeast by heterogeneous, age-correlated expression of a stress protectant // PLoS biology. — 2012. — Vol. 10. — P. el001325.

69. Simultaneous growth of two cancer cell lines evidences variability in growth rates / Hamon A., Tosolini M., Ycart B., Frédéric P., and Fournié J. J. — arXiv:1412.1449.

70. Herrmann H., Lawless C. Modeling the consequences of heterogeneity in microbial population dynamics. — bioRxiv:124412.

71. Buchanan R. E. Life phases in a bacterial culture // Journal of Infectious Diseases. — 1918. — Vol. 23. — P. 109-125.

72. Predictive modelling of the microbial lag phase: a review / Swinnen I. A. M., Bernaerts K., Dens E. J., Geeraerd A. H., and Van Impe J. F. // International journal of food microbiology. — 2004. — Vol. 94, no. 137-159.

73. Baranyi J. Stochastic modelling of bacterial lag phase // International journal of food microbiology. — 2002. — Vol. 73. — P. 203-206.

74. Lodge R. M., Hinshelwood C. N. Physicochemical aspects of bacterial growth. Part VIII. Growth of Bacterium lactis aerogenesinmedia containing ammonium sulphate or various amino acids // Journal of Chemical Society. - 1943. - P. 208-213.

75. Capocelli R. M., Ricciardi L. M. A diffusion model for population growth in random environment // Theoretical Population Biology. — 1974. Vol. 5. — P. 28-41.

76. Stollenwerk N., Drepper F. R., Siegel H. Testing nonlinear stochastic models on phytoplankton biomass time series // Ecological Modelling. — 2001. — Vol. 144. P. 261-277.

77. Stochastic roots of growth phenomena / De Lauro E., De Martino S., De Siena S.. and Giorno V. // Physica A. — 2014. — Vol. 401. — P. 207-213.

78. Grebenkov D. S. Anomalous Growth of Aging Populations // Journal of Statistical Physics. 2010. Vol. 163. — P. 440-455.

79. Beck C., Cohen E. G. D., Swinney H. L. From time series to superstatistics // Physical Review E. — 2005. — Vol. 72. P. 056133.

80. Sl§zak J., Metzler R., Magdziarz M. Superstatistical generalised Langevin equation: non-Gaussian viscoelastic anomalous diffusion // New Journal of Physics. - 2018. - Vol. 20. - P. 023026.

81. Time averaging, ageing and delay analysis of financial time series / Cherstvy A. G., Vinod D., Aghion E., Chechkin A. V., and Metzler R. // New Journal of Physics. - 2017. - Vol. 19. - P. 063045.

82. Quantifying effects of abiotic and biotic drivers on community dynamics with multivariate autoregressive (MAR) models / Hampton S. E., Holmes E. E., Scheef L. P., Scheuerell M. D., Katz S. L., Pendleton D. E., and Ward E. J. // Ecology. - 2013. - Vol. 94.

P. 2663-2669.

83. Tsoularis A., Wallace J. Analysis of logistic growth models // Mathematical Biosciences. - 2002. - Vol. 179. - P. 21-55.

84. Postnikov E. B. Analytical properties of a three-compartmental dynamical demographic model // Physical Review E. — 2015. — Vol. 92. ^ P. 012718.

85. May R. M., Oster G. F. Bifurcations and dynamic complexity in simple ecological models // American Naturalist. — 1976. — Vol. 110. — P. 573-599.

86. Nobile A. G., Ricciardi L. M., Sacerdote L. On Gompertz growth model and related difference equations // Biological Cybernetics. — 1982. —

Vol. 42. P. 221-229.

87. Ives A. R., Carpenter S. R., Dennis B. Community interaction webs and zooplankton responses to planktivory manipulations // Ecology. — 1999.-Vol. 80.-P. 1405-1421.

88. Kendal W. S. Taylor's ecological power law as a consequence of scale invariant exponential dispersion models // Ecological Complexity. — 2004. — Vol. l.-P. 193-209.

89. Stuart A., Ord K. Kendall's Advanced Theory of Statistics. Volume I: Distribution Theory. ^Arnold, London, 1998.

90. J0rgensen B. The theory of dispersion models. — Chapmen& Hall, 1997.

91. Johansen A., Sornette D. Finite-time singularity in the dynamics of the world population, economic and financial indices // Physica A. — 2001. — Vol. 294. — P. 465-502.

92. Brauer F., Castillo-Chavez C. Mathematical models in population biology and epidemiology. — Springer, New York, NY, 2012.

93. Bergstrom U., Englund G., Leonardsson K. Plugging space into predator-prey models: an empirical approach // American Naturalist. — 2006. — Vol. 167. — P. 246-259.

94. Growth kinetics of Mycobacterium tuberculosis measured by quantitative resazurin reduction assay: a tool for fitness studies / Von Groll A., Martin A., Portaels F., da Silva P. E. A., and Palomino J. C. // Brazilian Journal of Microbiology. — 2010. — Vol. 41. — P. 300-303.

95. A replication clock for Mycobacterium tuberculosis / Gill W. P., Harik N. S., Whiddon M. R., Liao R. P., Mittler J. E., and Sherman D. R. // Nature Medicine. - 2009. - Vol. 15, no. 2. -P. 211-214.

96. The genetic requirements for fast and slow growth in mycobacteria /

Beste D. J. V., Espasa M., Bonde B., Kierzek A. M., Stewart G. R., and McFadden J. // PLoS One. 2009. Vol. 4, no. 4. P. e5349.

97. Proximate determinants of Taylor's law slopes / Zhao L., Sheppard L. W., Reid P. C., Walter J. A., and Reuman D. C. // Journal of Animal Ecology. - 2019. - Vol. 88, no. 3. - P. 484-494.

98. Sakoda G., Takayasu H., Takayasu M. Tracking Poisson Parameter for Non-Stationary Discontinuous Time Series with Taylor's Abnormal Fluctuation Scaling // Stats. 2019. Vol. 2. — P. 55-69.

99. Addison P. S. The illustrated wavelet transform handbook: introductory theory and applications in science, engineering, medicine and finance. — CRC press, 2017.

100. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way. — Academic Press, Elsevier, London, 2009.

101. Thomson J. FishData. — https://github.com/James-Thorson/ FishData.

102. Thorson J. T. Three problems with the conventional delta-model for biomass sampling data, and a computationally efficient alternative // Canadian Journal of Fisheries and Aquatic Sciences. — 2017. — Vol. 75, no. 9. — P. 1369-1382.

103. Fishes of the Neotropics. ^http://neotropicalf ishes .myspecies. info.

104. Postnikov E. B., Sokolov I. M. Reconstruction of substrate's diffusion landscape by the wavelet analysis of single particle diffusion tracks // Physica A. — 2019. — Vol. 533. — P. 122102.

Приложение А

Метод колориметрического анализа кривых бактериального популяционного роста при

резазуриновом тесте

Резазуриновый тест, основанный на изменении цвета биохимического маркера в ответ на метаболические процессы в клетке [61], является одним из самых популярных в последнее время методов детектирования жизнедеятельности микроорганизмов в жидкой среде. В частности, он является одним из наиболее быстрых и дешевых методов, необходимых для определения условий роста Mycobacterium tuberculosis в клинических образцах и их реакции на противотуберкулезные препараты [59].

В частности, результаты подобного теста на основе спектрофото-метрических измерений были использованы для практической верификации модели суперэкпоненциального роста бактериальной культуры, характеризующейся стохастичностью индивидуальных коэффициентов роста. Однако следует отметить, что спектрофотометрия требует не только дорогостоящего оборудования, но также имеет некоторые ограничения при работе с бактериями с высокой степенью загрязнения, такими как Mycobacterium tuberculosis', лабораторный работник должен переместить микропланшет с растущей культурой из стерильного бокса в спектрофотометр и обратно, что обычно ограничивает такие процедуры одним разом в день. Однако изучение микробиологических особенностей физиологии Mycobacterium tuberculosis может потребовать более частых измерений.

В связи с этим был разработан новый подход к исследованию воз-

можности чисто колориметрического анализа на основе программной обработки данных, содержащихся в цветовых каналах последовательности цифровых фотографий микропланшета с растущей культурой Mycobacterium tuberculosis в среде с добавлением индикатора - резазурина.

Примеры снимков, показанных на рисунке А.1, были сделаны с использованием непрофессиональной камеры Canon DIGITAL IXUS 70, с 7 MP матрицей, с экспозицией 1/100 с, чувствительностью ISO 400 без вспышки и сохранены в виде цифровых файлов с цветовой схемой RGB. Лунки в микробиологического планшета содержат клинические штаммы Mycobacterium tuberculosis в стандартной жидкой питательной среде Middlebrook 7Н9 с добавлением стимулятора роста OADC (10%, Becton Dickinson) и 0,01 % водного раствора резазурина. Левый столбец не содержит микобактерий и играет роль контрольного образца. В течение 8 дней эксперимента можно видеть изменение цвета от синего до пурпурного даже невооруженным глазом: все начальные лунки (1 день) синие, цвет лунок с бактериями меняется через 3 дня и, в конечном счете, они окончательно становятся пурпурного цвета в последний день этого эксперимента (8-й день) в отличие от контрольного образца, который остается синим.

Снимки за доступные дни 1, 3, 4, 7, 8, хранящиеся в виде отдельных изображений JPG, были преобразованы в их трехмерные массивы, объединяющие попиксельные значения в синем, красном и зеленом цветовых каналах в зависимости от данных по их интенсивности (256-индексиро-ванные цвета) при помощи стандартной функции MATLAB imread.

Поскольку полные изображения содержат изображения самого планшета, границ лунок, надписей и других возмущений, были выделены небольшие прямоугольные участки, соответствующие внутренним областям лунок с более менее равномерной окраской, см. рисунок А.2. Здесь

Рис. А.1. Пример фотографий планшета с микобактериальной культрой в ходе ре-зазуринового теста (предоставлены М.З. Догонадзе, СПб НИИФ), показывающих изменение цвета от синего до пурпурного в процессе роста бактерий: день 1 (слева), день 4 (в середине) и день 8 (справа). Самый левый столбец, который остается синего цвета, соответствует контролю (без бактериальной культуры).

Рис. А.2. Примеры одной предварительно обработанной колонки планшета для анализа резазурина в сравнении с контрольной колонкой для разных дней наблюдения: 1 (слева), 3 (в середине), 7 (справа).

два набора представлены образцами: для контрольных лунок и для самых правых (ряд, ближайший к контрольному ряду на рисунке А.2). Парный выбор лунок обусловлен возмущениями, которые неизбежно возникают из-за неравномерного освещения планшета. Следовательно, необходимо иметь контроль, который учитывает не только однородность выделенных областей, но и их расположение на пластине. Однако в рассматриваемом случае, когда освещенность поддерживается относительно равномерной, а снимки сделаны вертикально, разброс интенсивности и яркости цвета между разными изображениями имеет тот же порядок, что и внутри каждого из них. Таким образом, можно усреднить интенсивность цветового канала по всем восьми изображениям.

Рис, А.З. Изменение во времени средней интенсивности цветовых каналов (сплошные .пинии) относительно контроля (пунктирные .пинии). Цветовые каналы соответствуют цветам соответствующих .пиний

Результат как функция времени показан на рисунке А.З. Рассчитанные средние показатели цвета для лунок, содержащих микобактерии, показаны в виде звездочек, а соответствующие величины для контрольных лунок обозначены пустыми кружками. Различные пунктирные линии, которые соединяют соответствующие маркеры, добавлены для визуального руководства.

Можно четко отметить главную особенность цветового поведения, соответствующего переходу от резазурина к окисленной форме рез-оруфину. Верхний набор временных диаграмм, представляющих синий канал, демонстрирует практически постоянные значения, слегка изменяющиеся в течение всего эксперимента. Кроме того, содержание синего практически одинаково для лунок с бактериями и контрольных лунок. Напротив, зеленый и красный каналы демонстрируют довольно разное поведение. Особенно это видно (что вполне ожидаемо) для красного ка-

нала.

Между контрольными лунками наблюдается некоторое повышение индекса красного цвета между первым и четвертым днями, что, вероятно, может быть связано с некоторыми эффектами освещения, так как соответствующий индекс для лунок, содержащих бактерии, демонстрирует большой скачок. Таким образом, существует четкое (практически в два раза) различие в интенсивности значений в канале красного цвета в том случае, когда бактериальное дыхание вызывает переход от синего резазурина к красному резоруфину. В то же время, как видно на рисунках А.1, А.2, истинное изменение цвета имеет тенденцию не к чисто красному, а к некоторому пурпурному цвету. Соответственно, зеленый канал также должен быть принят во внимание. Данное предположение подтверждается: после четвертого дня видно снижение индекса зеленого цвета. Более того, в этом случае наблюдается некоторая дополнительная динамика интенсивности зеленого цвета в последние дни наблюдения, которая не обнаруживается для синего и красного каналов. Отметим, в то же время, что разница между показателями зеленого цвета в бактериосо-держагцих и контрольной лунках не так велика, как для индекса красного цвета, но определенно больше, чем для индекса синего цвета. Это естественно, поскольку зеленый цвет не относится к основной окраске индикаторного вещества.

Таким образом, даже первичная проверка трех цветовых каналов дает возможность сделать вывод, что изучение цветового содержания простых фотографических изображений позволяет различать случаи наличия и отсутствия индикации красителем бактериального дыхания. Однако, так как контрольные цветовые индексы демонстрируют определенную вариацию значений от изображения к изображению из-за условий фотосъемки, необходимо учитывать этот эффект до перехода к количе-

Рис, А,4, Изменение во времени относительной средней интенсивности цветовых каналов относительно контроля (верхняя панель) и соответствующей снектрофотомет-рической кривой роста (нижняя панель). Все кривые нормированы на единицу в первый день измерений.

ственным оценкам. Самый простой способ рассмотреть относительные цвета по отношению к контрольным изображениям отдельно для каждого дня наблюдения. Соответствующие данные показаны на рисунке А.4 (верхняя панель). Кроме того, данные были нормированы на относительное значение, рассчитанное для первого дня эксперимента. Такая нормализация упрощает расчет популяциошюго роста бактериальной культуры относительно исходного количества микроорганизмов. После проведения данной процедуры видно, что интенсивность синего канала остается практически постоянной (с очень слабым линейным затуханием в ходе эксперимента). Наоборот, можно наблюдать большой скачок интенсивности красного канала во второй половине продолжительности эксперимента и немонотонное изменение интенсивности зеленого канала.

Для сравнения на рисунке А.4 (нижняя панель) показана спектро-фотометрпческая кривая с той же нормализацией к значению в начале эксперимента. В дополнение к основному росту интенсивности флуоресценции можно отметить также небольшое затухание в течение последнего интервала, с 7-го по 8-й день, и его визуальное соответствие аналогичному признаку красного и зеленого (более явно выраженный, но обратный по магнитуде) цветовых каналов на рисунке А.4 (верхняя панель).

Таким образом, можно искать количественное отображение между колориметрическими данными и данными о флюоресценции в виде трех-канального

= во + £ в, С, (А.1)

з=к,с,в

или двухканального

^ = во + ^ 9,С,, (А.2)

З=к,с

приближения, где С, обозначают интенсивности цветовых каналов с весовыми коэффициентами, а и ^{2,3} являются соответствующими ин-тенсивностями флуоресценции. Кроме того, было рассмотрено среднее значение: ^ = (^2 + ^3) /2.

Чтобы найти весовые коэффициенты применялся обычный метод наименьших квадратов, использующий обучающий набор данных для к = 1,3, 7,8 дней, оценка которых проводилась с использованием встроенной процедуры МАТЬАВ, 9 = Е^\Ет1т', где ^ 1 и Г™-1 гп- - массивы данных измеренных значений флуоресценции и данных цветовых каналов, соответствующих уравнениям (А.1)-(А.2) сопоставляются с единичным массивом, соответствующим коэффициенту 90.

Получены относительные веса для уравнения (А.1)

и

# = 0.69, f = -1.64;

0r

7# = о.25, ^ = -о.43, ^ = -0.81 ^0 ^0 ^0

для уравнения (А.2). Можно видеть сильную прямую корреляцию с красным каналом и обратную корреляцию с зеленым каналом, что соответствует визуально обнаруженному поведению на рисунке А.4. Для трех-каналыюго приближения также существует антикорреляция с интенсивностью синего канала, что также соответствует затуханию соответствующей интенсивности цвета во время перехода резазурин-резоруфин.

Коэффициенты, представленные выше, был использованы в уравнениях (А.1)-(А.2); результаты для двух- и трехканалыюго приближений, а также и их среднее значение показаны на рисунке А.5 Видно, что оба (трех- и двухканальные) колориметрические приближения воспроизводят кривую флюоресценции с довольно хорошей точностью. Двухканаль-ное приближение дает большие отклонения на конечной стадии процесса, тогда как трехкаиальное приближение приводит к некоторой недооценке. Pix усредненная последовательность выводов является наиболее точной и может быть использована для практического использования.

Таким образом, можно сделать вывод, что колориметрический анализ динамики изменений резазурина во времени приводит к количественным результатам, точность которых сопоставима с результатами спек-трофотометрических исследований, обычных для современных микробиологических и клинических исследований. В то же время колориметрическая фотометрия намного дешевле, поскольку, как показано в настоящей работе, она смещает фокус с аппаратной обработки данных на программную, тогда как первичные данные для последующего анализа

Spectrophot. vs. color-based fit (with respect to the first day)

0

2 4 6 8

Day

Рис. A.5. Аппроксимация данных снектрофотометриноского роста (черные квадраты, соединенные сплошными .пиниями дня наглядности) с использованием взвешенной комбинации колориметрических данных: все три (RGB) капана (желтые кружки, соединенные сплошными линиями дня наглядности), два (RG) капана (голубые звездочки, соединенные сплошными .пиниями дня видимости), и среднее значение этих двух приближений (пурпурные точки, соединенные сплошными .пиниями дня видимости).

"О

(D

|> 300

со §,200

(D

| 100 СО _с о

со

0

1 1 .00 ❖ 0 i i о 0 0<*>0 0° i i i О О о 0<>0<Ъ 1 1 о°°оо% 1 1 О Оо О

О • ' г 0ó ° O¿Ó О °оо о

- 0G¿<¿ QO ОсР о со 00 -

г^ОаРО ОО i i Ад А д

Нш $+ i i 1 1 1 х+ X + х+ X + ++ + 1 1 $

^ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 ^ t, hours

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 о

о ° О °°° о ° о о оО°° о° о оо о

о°о ° °о О 1 1 1 1 1 1 1 1 1

■о

I3

о ^

аЗ о

с ¿

с

аз

_с

о

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

t, hours

Рис. А.6. Колориметрические данные, полученные для растущей культуры H37Rv М. tuberculosis на основе цифровой камеры iPhone. Верхняя панель: динамика 256 цветов, проиндексированных цветовых каналов: красный (культура бактерий: круги; контроль: х-сы), зеленый (культура бактерий: треугольники; контроль: плюсы) и синий (культура бактерий: ромбы; контроль: точки). Нижняя панель: красный канал -динамика относительно контроля, нормированная на начальное значение.

могут быть получены с использованием вполне обычных фотоаппаратов и даже смартфонов.

Простой пример, который может быть достигнут с помощью камеры iPhone 5 для визуализации микропланшетов, показан на рисунке А.6 (верхняя панель), где приведены данные выделения интенсивно-стей по цветовым каналам на основе фотоизображений, предоставленных А.И. Лавровой (СПб НИИФ). В отличие от рисунка А.1, снимки были сделаны со смартфона, установленного вручную, непосредственно в лаборатории, без перемещения планшета из защищенной зоны биологической

опасности, что позволило более часто получать изображения в течение первых четырех дней эксперимента. Хотя это привело к большему количеству разбросанных данных (цвета в формате RGB были идентифицированы с помощью бесплатного программного обеспечения Just Color Picker 5.1 и разнице в средней интенсивности цвета в заселенных бактериями и контрольных лунках из-за наклона освещения, можно ясно увидеть среднюю стабильность контроля и явный рост интенсивности красного канала, соответствующего переходу резазурин-резоруфин. Рисунок А.6 (нижняя панель) демонстрирует это в нормированном представлении относительно изменений освещенности, обеспечиваемых делением на контрольные значения индекса красного цвета в те же моменты времени и относительно начала эксперимента. Ясно виден рост примерно в три раза за 100 часов наблюдений, что свидетельствует о перспективности подобного подхода для дальнейшей разработки. В частности, он может быть практически полезен для микробиологических исследований вдали от крупных хорошо оборудованных медицинских центров в городах.