Обобщенная задача прообраза тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Фролкина, Ольга Дмитриевна

• Фролкина, Ольга Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фролкина, Ольга Дмитриевна

Введение.

Глава 1. Обобщенная задача прообраза.

1.1 Введение.

1.2 Постановка.

1.3 Примеры.

1.3.1 "Меры малости" множеств.

1.3.2 Простейшие примеры.

1.3.3 О задаче совпадения Брукса-Брауна.

1.3.4 Более сложные примеры

1.3.5 Взаимосвязи разных задач.

1.3.6 Перенос аппарата при помощи преобразований

1.4 Классы Нильсена.

1.4.1 Поднятия и накрытия Хопфа

1.4.2 Определение, свойства

1.4.3 Классы Нильсена в терминах универсальных накрытий

1.5 Классы Рейдемейстера.

1.5.1 Посредством групп преобразований накрытий

1.5.2 Посредством фундаментальных групп.

1.5.3 Посредством накрытий Хопфа.

1.5.4 ^-множества.

1.5.5 Взаимосвязь классов Нильсена и Рейдемейстера

1.6 Топологическое число Нильсена.

1.6.1 Вспомогательные понятия и результаты.

1.6.2 Определение, простейшие свойства.

1.6.3 Классический случай.

1.7 Индекс, алгебраическое число Нильсена.

1.7.1 Индекс в общем случае.

1.7.2 Случай многообразий.

1.7.3 Алгебраическое число Нильсена.

1.7.4 Число Лефшеца

1.8 Теоремы типа Янга.

1.8.1 Результаты типа Брукса-Брауна.

1.8.2 Основной результат.

1.9 О локальной теории Нильсена.

Глава 2. Минимизация количества классов Нильсена.

2.1 Введение.

2.2 Основная теорема.

2.3 Примеры и следствия.

2.4 Вспомогательные утверждения

2.5 Доказательство теоремы 2.1.

Глава 3. Относительная задача прообраза.

3.1 Введение.

3.2 Задача минимизации

3.2.1 Относительные числа Нильсена.

3.2.2 Минимизационная теорема.

3.3 Точки прообраза на дополнении.

3.3.1 Слабо общие классы.

3.3.2 Описание слабо общих классов в терминах универсальных накрытий.

3.3.3 Поведение слабо общих классов при гомотопии

3.3.4 Числа Нильсена для дополнения.

3.3.5 Теорема одновременной минимизации.

3.3.6 Замечание о минимизации на дополнении.

3.4 Случай неизбегаемого подмногообразия.

3.4.1 Избыточные точки прообраза.

3.4.2 Избыточное число Нильсена.

3.4.3 Теорема минимизации для дополнения.

3.5 Следствия для других задач.

3.5.1 Относительная задача корней.

3.5.2 Относительная задача общего прообраза.

3.5.3 Относительная задача совпадения набора отображений

3.5.4 Относительная задача неподвижной точки.

3.6 Вспомогательные результаты.

Глава 4. Числа типа Лефшеца для отображений сильно многообразно-подобных пространств.

4.1 Введение.

4.2 Сильно многообразно-подобные пространства.

4.3 Числа типа Лефшеца.

4.3.1 Задача прообраза.

4.3.2 Задача пересечения.

4.3.3 Расширение преобразований МакКорда.

4.3.4 Теоремы типа Лефшеца.

4.3.5 Числа типа Лефшеца для других задач.

Глава 5. Общая неподвижная точка коммутирующих отображений отрезка.

5.1 Введение.

5.2 Пилообразные отображения.

5.3 Кусочные отображения.

5.4 Теоремы об общей неподвижной точке.

5.5 Многочлены Чебышева.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенная задача прообраза»

История вопроса и актуальность темы

Одним из разделов теории неподвижных точек является задача минимизации количества неподвижных точек отображения / : X —> X пространства (полиэдра) X в себя в классе отображений, гомотопных данному (см. книги[34], [67], [71]). С. Лефшец в первой из работ цикла [77]—[81], посвященного пересечениям двух подмногообразий многообразия, отметил этот вопрос как основную проблему в изучении отображений. Знаменитое число Лефшеца равно количеству неподвижных точек с учетом их "кратностей", которые могут быть и отрицательны. Таким образом, теорема Лефшеца является теоремой существования. Кроме того, равенство числа Лефшеца нулю, вообще говоря, не является критерием того, что отображение можно "освободить" от неподвижных точек, см. [87], [88]. Первым примером результата существенно иного типа является теорема Нильсена-Брауэра [90], [33] о минимальном количестве неподвижных точек отображения двумерного тора в себя в классе гомотопных данному отображений. Идеи работ Нильсена [90], [91] состояли в том, чтобы разбить множество неподвижных точек на классы (Нильсена), каждому классу приписать некоторый индекс (позднее, с помощью техники работы Хопфа [58], определение индекса распространили на полиэдры [41], [34]) и определить число (Нильсена) iVa(/) как количество классов с ненулевым индексом. Предположение Нильсена о гомотопической инвариантности этого числа было доказано Векеном [104], таким образом, число Нильсена дает нижнюю оценку "геометрического количества" неподвижных точек: Na(f) ^ min | Fix(g)|. Идеи Лефшеца и o~f

Нильсена получили дальнейшее развитие в работах Рейдемейстера [92] и Векена [105], [106]; подробный исторический обзор содержится в [38]. Векен же получил [106] теорему, позже усиленную Янгом [66], о точности этой оценки в случае, когда X является многообразием размерности не менее 3.

Теорема Лефшеца о совпадениях [81] также является теоремой существования. Начала теории типа Нильсена для этой задачи были положены в работах [45], [94], см. обзор [2].

Теория типа Нильсена для задачи корней была развита уже Хопфом [57], однако широкое распространение получила лишь после (независимой) работы Брукса [28], см. также обзор [31], книгу [71].

Позже множеством авторов, посредством аналогичных методов, изучались задачи пересечения [84] и прообраза [40], [65].

Возможно дальнейшее обобщение этих постановок, например, так называемые относительные задачи, когда рассматриваются отображения пар (см. статьи [96], [98] и обзоры [100], [113] для задачи неподвижных точек, работы [63], [64], [56] для задачи совпадения и [109], [110], [39] для задачи корней); статья [101] посвящена задаче неподвижных точек для отображений триад. В относительных задачах, помимо вопроса о минимизации общего числа точек нужного вида (неподвижных, совпадения) при гомо-топиях отображений пар, также исследуется вопрос о минимизации числа таких точек, лежащих на втором пространстве пары или в дополнении к нему [111], [112], [76].

В связи со сказанным возникают следующие вопросы.

Задачи совпадения и корней являются частными случаями задачи прообраза. Они также тесно связаны (см. [86]) с задачей пересечения. Интересно поставить обобщенную задачу прообраза, объединяющую задачи неподвижной точки, совпадения, пересечения, корней, а также их относительные варианты.

Важно рассмотреть относительную задачу прообраза — это позволило бы объединить и обобщить результаты, известные для задач совпадения и корней.

Содержательные результаты об относительных задачах совпадения, корней известны лишь для отображений пар многообразий (о задаче неподвижной точки — полиэдров); кроме того, для совпадений и корней обычно ограничиваются простейшим случаем — равных размерностей отображаемого пространства и пространства-образа, так что рассматриваемое множество точек, вообще говоря, конечно. (Отметим, однако, работы У. Ко-шорке [73], [74], посвященные задаче совпадения при различных размерностях.) Потому и относительную задачу прообраза имеет смысл рассматривать лишь для пар многообразий, при соответствующих размерностных ограничениях. В случае же общих топологических пространств, а также произвольных размерностей, можно поставить, первоначально — для классической (не относительной) задачи прообраза, более простой вопрос: о возможности одновременного "уничтожения" всех топологически несущественных классов Нильсена. Для задач корней и совпадения этот вопрос был рассмотрен Р. Бруксом [30]. Укажем также на работу [47], где (для задачи корней) ставится и изучается вопрос о возможности одновременной минимизации всех классов Нильсена, т.е. о существовании такой го-мотопии, что все классы одновременно достигают своего минимального количества точек (в частности, все топологически несущественные классы одновременно исчезают).

Важным продвижением является объединение и обобщение теорем Брукса, т.е. получение аналогичного результата для задачи прообраза.

Результаты Брукса получены для локально линейно связных пространств. В случае пространств с "плохой" локальной структурой развить теорию типа Нильсена уже не удается. Однако для пары отображений сильно многообразно-подобных пространств (термин введен в диссертации) известно определение числа типа Лефшеца: его отличие от нуля гарантирует существование точки совпадения [4]. Представляет интерес введение аналогичного числа для задачи прообраза. Отметим, что каждая компактная связная конечномерная группа согласно теоремам Понтрягина и Баума [22] является сильно Go-подобной, где Gо — некоторая группа Ли. Другому специальному классу сильно Go-подобных пространств, называемых обобщенными соленоидами, посвящена работа [5].

Вопрос о существовании общей неподвижной точки коммутирующих отображений континуума в себя рассматривается во многих работах, см. статьи [44], [61], [27] для отрезка, работы [62], [53], [54] для деревьев и (А)-дендроидов. Грэй и Смит поставили [54] вопрос о существовании общей неподвижной точки у семейства коммутирующих открытых отображений дендрита в себя. Интересно обобщить известный результат Фолкмана [44] на случай более чем двух отображений, получив тем самым ответ на ослабленный вопрос Грэя-Смита (для отрезка). В такой ситуации важно учитывать динамику отображений, поэтому необходимо применение соответствующих методов.

К исследованиям Ритта [93] восходит перечисление всех пар коммутирующих многочленов, см. [26] (которое позволяет исследовать существование общей неподвижной точки на прямой действительных и плоскости комплексных чисел). Интересно получить "непрерывный" аналог теоремы Ритта о коммутирующих многочленах.

Решению перечисленных вопросов и посвящена данная работа.

В данной работе леммы, предложения, теоремы, следствия и замечания имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер леммы (предложения, теоремы, следствия, замечания) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом.

Обозначения и соглашения Пространства

Для полиэдра X через Х^ обозначается его тг-мерный остов; / — отрезок [0,1]; Е" — n-мерное евклидово пространство; (Dr) — открытый (замкнутый) шар радиуса R в Еп, для R = 1 пишем также Dn (Dn).

Через Хп обозначается произведение п копий пространства X; если А С X, то А А С Хп — образ А при диагональном произведении п вло о жений А м- X. Для подпространства А С X через дА (Л, А, X — А) обозначается граница (замыкание, внутренность, дополнение) А в X.

Говоря о it-сечении подмножества М С X х /, имеем в виду множество [M]t = M Шх {t}.

Символом х(Х) обозначается эйлерова характеристика пространства X.

Отображения

Как обычно, idx — тождественное отображение пространства X; fg — композиция отображений /, д. Символ A{/s} обозначает диагональное произведение отображений семейства {/«}. Через рг^ обозначается отображение проекции произведения топологических пространств, одно из которых X, на X.

Для топологических пространств X, Y через С(Х, У) обозначается множество всех непрерывных отображений X Y, снабженное компактно-открытой топологией.

Гомотопии

Для гомотопии F : X х I Y и числа t 6 I через Ft (а также F(-,t)) обозначается отображение X ->• У, х н> F(x, t).

Символом ~ обозначается гомотопия отображений или гомотопия путей (относительно концов, если не указано другое); [а] — гомотопический класс пути а (относительно концов); а • (3 — композиция путей а, /?; вообще, F • G — "композиция" гомотопий F,G : X х / -» У, где F\ — Go, т.е. отображение, действующее по формуле (х, t) F(x, t) при t € [0, и (,х, t) н- G(x, t) при t G 1].

Опуская отмеченную точку в обозначении (относительных) гомотопических групп, подразумеваем, что соответствующее пространство линейно связно.

Запись 7Ti (Х,А) = 0 означает, что X 1-асферично относительно А [60], т.е. индуцированное вложением оображение тс\(А) -> 7Ti(X) сюръективно.

Для отображения пар / : (X, Хо) (У, Уо) пусть /о — ограничение f\x0 '■ Xq -»■ Yo. Гомотопии вида (X, Хо) х I (У, Уо) называются гомо-топиями отображений пар или относительными гомотопиями, а для относительной гомотопности отображений используется знак Однако, говоря о том, что отображения f,g : (X, Хо) (У,Уо) гомотопны относительно Xq, подразумеваем, что существует такая связывающая их гомото-пия {ht} : (Х,Х0) X I -> (У, lib), что для всех t 6 / имеем {ht)\xQ = f\x0 (в частности, f\x0 = д\х0)

Говоря о гомотопической эквивалентности, гомеоморфизме, диффеоморфизме пар (троек, четверок) пространств, имеем в виду отображение пар (троек, четверок), обладающее обратным в соответствующей категории. %-инвариантность, где % С С(Х X /,У) — некоторое семейство гомотопий, означает инвариантность относительно всех гомотопий из семейства И.

Прочее

Символами N (Z, К) обозначаются множества натуральных (целых, вещественных) чисел (тем же символом Ъ обозначается группа целых чисел).

Через = обозначается гомеоморфизм и диффеоморфизм (из контекста ясно, что именно подразумевается).

Волна над символом пространства означает его универсальное накрытие, над символом отображения — его поднятие в универсальные накрытия; — группа преобразований универсального накрытия рх : X —> X.

Символами Нт (Нт) обозначаются сингулярные (ко)гомологии, а символом Нт — когомологии Чеха (если коэффициентны не указаны, подразумевается группа Z); lim (lim) — предел обратной (прямой) последовательности топологических пространств (групп).

Для подгрупп Gi, G2 группы G через G/(Gr,G2) обозначается множество классов разложения группы G по двойному модулю (Gi, G2).

Через \М\ обозначается мощность множества М.

Другие обозначения также стандартны или приводятся в работе по необходимости.

Соглашения

Предполагается, что все рассматриваемые пространства хаусдорфовы и нормальны, многообразия — без края (как обычно, со счетной базой), отображения непрерывны. Иногда непрерывность подчеркивается специально, но лишь затем, чтобы показать, что от отображения не требуется специальных свойств. По необходимости указывается, являются многообразия гладкими или же топологическими. Говоря, что многообразие М является подмножеством многообразия N (или что (N, М) — пара многообразий), мы всегда подразумеваем, что М есть подмногообразие N (в соответствующей категории).

Краткое содержание работы

В первой главе ставится и исследуется обобщенная задача прообраза, частными случаями которой являются многие известные задачи. Указана связь между этими задачами и задачей совпадения в постановке Брукса-Брауна. Получено новое описание классов прообраза в терминах накрытий и поднятий Хопфа, обобщающее известное описание Брукса и Хопфа классов Нильсена задач корней и совпадения. Доказано свойство инвариантности по гомотопическому типу отображаемых пространств для топологического числа Нильсена Nt(f,B) классической задачи прообраза. Даны разные интерпретации числа Рейдемейстера, либо отсутствующие, либо обсуждаемые вскользь в имеющихся публикациях других авторов. Получены условия типа Янга "равноправности" всех классов Нильсена обобщенной задачи прообраза.

Во второй главе изучается задача минимизации числа классов прообраза, рассмотренная для задач корней и совпадения Бруксом: дано непрерывное отображение f : X ->Y Э В, требуется вычислить или оценить значение выражения

МРС](/, В) = min |{классы Нильсена множества д~г(В)}\.

9~f

Основной результат главы — теорема, объединяющая и обобщающая результаты Брукса. Сформулируем ее:

Теорема 2.1. Пусть f : X —Y D В — непрерывное отображение, причем пространства X, Y связны, локально линейно связны; более того, Y полулокально односвязно; пространство В связно, локально линейно связно и замкнуто в Y, a Y — В линейно связно. Пусть для некоторого целого п ^ 3 пространство X доминируется полиэдром размерности не выше п и 7гт(У, У — В) = 0 для всех 1 ^ т ^ п — 1. Тогда существует такое отображение g ~ /, что все классы прообраза задачи g : X -» У Э В топологически существенны; в частности, их количество равно Nt(f, В), m.e.Nt(f,B) = MPd(f,B).

Третья глава посвящена относительной задаче прообраза: пусть / : (X, Хо) -> (У, Уо) — непрерывное отображение пар топологических пространств, (В, Во = ВПУо) С (У, Уо) — пара подпространств; требуется оценить величину

MPrd(/, B) = min \g~\B)\

9«/ в отличие от классической задачи прообраза, где для отображения / : X —У Э В рассматривается число МР(/,В) = min|g1(B)|, здесь

9~f минимум берется по всем отображениям, относительно гомотопным /, т.е. гомотопия имеет вид / « g : (X, Хо) х / —> (У, Уо)).

В предположении, что X, Хо, У, Уо, В, Во — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия и dim X = dim У — dim В, dim Хо = dim Уо — dim Во, в работе определены относительные числа Нильсена А^ге1,а,а(/, /о> В, Во), #геЦ,а(/, /о, -В, В0), iVrei)+ia(/, /о, В, В0), A^rei,a,t(/, /о, В, Во), Nve\,t,t{f, /о, В, Во), Nxe\,+,t{f,fo,B,Bo), обобщающие классические числа Нильсена N&(f,B) и Nt(f,B) для задачи прообраза (см. статью [40]) и оценивающие снизу число MPrei(/, В). Получена теорема одновременной минимизации на всем многообразии X и на подмногообразии Хо:

Теорема 3.1. Пусть / : (Х,Х0) -> (У,Уо) 3 {В, Во - В ПУ0) — непрерывное отображение, X, Хо, У, Уо, В, Во — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, dimX = dim У — dim Б ^ 3, dimXo 1 - dim^ — dim Во, подмногообразие Хо избегаемо в X, Ха(/о,Во) = МР(/о,Во), dimB ф 1. Тогда существует такое отображение g ~ /, что g-\B)\ = NreUMJo,B,B0) и \доЧВо)\ = ВД0>Б0).

Также определены числа Нильсена для дополнения: Na(f,X — Хо, В), Nt(f, X — Хо, В), N+(f, X - Хо, В), оценивающие снизу число

MPrei(/, X - Хо, В) = min \g~\B) П (X - Х0)|; доказана теорема одновременной минимизации на всем многообразии X и на дополнении к подмногообразию Xq:

Теорема 3.2. Пусть f : (Х,Х0) {Y,Y0) Э {В, Во = В DYq) — непрерывное отображение, x, Y, Yq, В, Во — гладкие ориентируемые замкнутые многообразия, dimX = dim У — dim В ^ 3, dimXo = dimlo — dim Во, подмногообразия Xq и Bq избегаемы в X и Yq соответственно, iVa(/o, Bq) = МР(/о, Bq), dim В ф 1. Тогда существует такое отображение g ~ f, что

Ig-'iB)] = iVrel,a,а(/, /о, В, В0) и \g~\B) П(Х-Х0)\ = iVa(/, X - Х0> В).

Кроме того, доказана теорема о минимизации числа точек прообраза на дополнении к подмногообразию Xq (без предположения о его избегаемое™ в X)] в качестве следствий полученных результатов выведены (с некоторыми отличиями) известные утверждения других авторов.

В четвертой главе рассматриваются отображения сильно многообразно-подобных пространств. Для задач прообраза и пересечения введены числа типа Лефшеца и доказана соответствующая теорема.

В пятой главе доказаны теоремы об общей неподвижной точке коммутирующих отображений отрезка / = [0,1] в себя. Теорема 5.3. Пусть отображение / — кусочное порядка не менее 2, /а — кусочно-монотонные с конечным числом интервалов монотонности, g непрерывно и все они коммутируют. Тогда у f, {fa}, g существует общая неподвижная точка.

Понятие кусочного отображения приведено в диссертации: Определение 26. Функцию /:/—>/ будем называть кусочной, если отрезок / можно так разбить точками 0 = ао < а\ < . < ап = 1, что для каждого г — 0,., п — 1 ограничение /|[ai,ai+1] : ai+i] I является монотонным сюръективным отображением. Число п интервалов монотонности назовем порядком /.

Открытое отображение отрезка в себя является кусочным; таким образом, приведенная теорема обобщает результат Фолкмана и дает частичный ответ на вопрос Грэя-Смита.

В случае наличия в семействе кусочного отображения четного порядка эту теорему можно усилить:

Теорема 5.4. Пусть f — кусочное отображение четного порядка, fa — кусочно-монотонные с конечным числом интервалов монотонности, g непрерывно. Пусть / коммутирует с каждым из отображений {fa}, g■ Тогда у f, {fa}, g имеется общая неподвижная точка.

Подчеркнем, что здесь не предполагается, что отображения fa, д коммутируют между собой.

Кроме того, в пятой главе описаны непрерывные функции, коммутирующие с многочленом Чебышева (здесь имеется в виду ограничение Тп |[i ц :

Следствие 5.4. Если отображение д : [—1,1] [—1,1] коммутирует с многочленом Чебышева Тп степени п ^ 2, то имеет место одно из следующих условий:

1) g — постоянное отображение;

2) п четно и д(х) = Тт(х) для некоторого т;

3) п нечетно и д(х) = Тт(х) для некоторого т;

4) п нечетно и д(х) = —Тт(х) для некоторого т.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на конференциях и семинарах. Перечислим сначала конференции:

• 26-ая и 28-ая конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2004, 2006),

• 5-й международный топологический симпозиум г. Зиген (Германия) "Многообразия и их Отображения" (2005),

• конференция "Колмогоровские Чтения - IV" (Ярославль, 2006),

• международная конференция "Александровские Чтения" (Москва, 2006),

• "Международная конференция по топологии и приложениям-2006" в г. Аэгион (Греция).

Укажем теперь семинары:

• научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова (семинар кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ) под руководством профессоров В.В. Федорчука, Б.А. Пасынкова, В.И. Пономарева и В.В. Филиппова (2001, 2004, 2005, 2006),

• семинар кафедры топологии математического факультета Рурского университета г. Бохум (Германия) под руководством профессоров Г. JIaypeca, Р. Штокера, Г. Вассерманна (2004, 2005),

• семинар кафедры топологии математического факультета университета г. Зиген (Германия) под руководством профессора У. Кошорке (2005).

Тематика работы была поддержана РФФИ (гранты N 00-01-00304, 02-01-06596, 03-01-00705) и DAAD.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в 6 работах автора [114]—[119].

Я выражаю свою глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору С.А. Богатому, который руководит моей работой со второго курса, за постановку интересных задач, постоянную помощь и внимание.

Мне приятно выразить свою признательность всем сотрудникам кафедры общей топологии и геометрии Московского университета за поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фролкина, Ольга Дмитриевна, 2006 год

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. М.: Наука, 1973.

2. Богатый С.А., Гонсалвес Д.Л., Цишанг X. Теория совпадения: проблема минимизации // Труды матем. института им. В.А. Сте-клова. 1999. 225. 52-86.

3. Богатый С.А., Гонсалвес Д.Л., Кудрявцева Е.А., Цишанг X. Минимальное число прообразов при отображениях поверхностей // Матем. Заметки. 2004. 75, N 1. 13-19.

4. Богатый С. А., Скор дев Г. С. Теорема совпадения для М-подобных континуумов // Успехи матем. наук. 2002. 57, N 2. 189-190.

5. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. литературы, 1967. 3-е изд., дополненное.

6. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2001.

7. Прасолов В.В., Шварцман О.В. Азбукаримановыхповерхностей. М.: ФАЗИС, 1999.

8. Садовничий В.А., Григорьян А.А., Конягин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

9. Свитцер P.M. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. М.: Наука, 1985.

10. Спеньер Г.С. Алгебраическая топология // М.: Мир, 1982.

11. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.171 стинрод Н., эйленберг с. Основания алгебраической топологии. Новокузнецк: ИО НФМИ, 1998.

12. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.

13. Ху Сы-ЦЗЯН Теория гомотопий. М.: Мир, 1964.

14. ШарковскиЙ А.Н., МаЙСТРЕНКО Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наук, думка, 1986.

15. Abate М. Common fixed points of commuting holomorphic maps // Math. Ann. 1989. 283, N 4. 645-655.

16. Baum P.F. Local isomorphism of compact connected Lie groups // Pacific J. Math. 1967. 22, N 2. 197-204.

17. Baxter G., Joichi J.T. On functions that commute with full functions // Nieuw. Arch. Wisk. (3). 1964. 12, N 1. 12-18.

18. Bertram E.A. Polynomials which commute with a Tchebysheff polynomial // Amer. Math. Mon. 1971. 68. 650-653.

19. Blakers A.L., massey W.S. The homotopy group of a triad I // Ann. of Math. 1951. 53. 161-205.

20. Block H.D., Thielman H.P. Commutative polynomials // Quart. J. Math. Oxford (2) 1951. 2. 241-243.

21. BOYCE W.M. Commuting functions with no common fixed points // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. 137. 77-92.281 brooks r. Coincidences, roots and fixed points: Doctoral Dissertation. Univ. of California, Los Angeles. 1967.

22. Brooks R. On removing coincidences of two maps when only one, rather then both of them may be deformed by a homotopy // Pacif. J. Math. 1972. 40. 45-52.

23. BROOKS R. On the sharpness of the Д2 and Ai Nielsen numbers //J. Reine Angew. Math. 1973. 259. 101-108.

24. BROOKS R. Nielsen root theory, in: Handbook of Topological Fixed Point Theory, Brown R.F. (ed.) et al., Springer-Verlag, Berlin, 2005. 375-431.

25. Brooks R. B. S., Brown R. F. A lower bound for the A-Nielsen number // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. 143. 555-564.

26. Brouwer L. Uber die Minimalzahl der Fixpunkte bei den Klassen von eindeutigen stetigen Transformationen der Ringflachen // Math. Ann. 1921. 82. 94-96.

27. Brown R.F. The Lefschetz Fixed Point Theorem. Glenview, Illinois: Scott, Foresman and Co., 1971.

28. Brown R.F., Greene R.E., Schirmer H. Fixed points of map extensions // Lecture Notes in Math. 1411. Springer, Berlin, 1989. 24-45.

29. Brown R.F. Wecken properties for manifolds // Contemp. Math. vol. 152. 1993. 9-21.

30. Brown R.F., Jiang В., Schirmer H. Roots of iterates of maps // Topol. Appl. 1995. 66. 129-157.

31. Brown R.F. Fixed point theory, in: History of Topology, I.M. James (ed.), Elsevier Science B.V., 1999. 271-299.

32. Brown R.F., Schirmer H. Nielsen theory of roots of maps of pairs // Topology Appl. 1999. 92, N 3. 247-274.

33. Dobrenko R., Kucharski Z. On the generalization of the Nielsen number // Fund. Math. 1990. 134, N 1. 1-14.

34. Dold A. Fixed point index and fixed point theorem for Euclidean neighborhood retracts // Topology. 1965. 4. 1-8.

35. Dold A., GONgALVES D. Self-coincidence of fibre maps // Osaka J. Math. 2005. 42, N 2. 291-307.

36. Fadell E., Husseini S. Local fixed point index theory for non-simply connected manifolds // Illinois J. Math. 1981. 25. 673-699.

37. FOLKMAN J.H. On functions that commute with full functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1966. 17, N 3. 383-386.

38. Franz W. Mindestzahlen von Koinzidenzpunkten // Wiss, Z. Humboldt-Univ. Berlin Math.-Nat. Reihe 3 (1953/54), 439-443.

39. GONgALVES D.L. Coincidence theory, in: Handbook of Topological Fixed Point Theory, Brown R.F. (ed.) et al., Springer-Verlag, Berlin, 2005. 3-42.

40. GONgALVES D., Aniz C. The minimizing of the Nielsen root classes // Central European J. Math. 2004. 2. 112-122.

41. GONgALVES D.L., Kudryavtseva E., Zieschang H. Roots of mappings on nonorientable surfaces and equations in free groups // Manuscripta Math. 2002. 107. 311-341.

42. GONgALVES D., WONG P. Wecken property for roots // Proc. Amer. Math. Soc. 2005. 133, N 9. 2779-2782.

43. GONgALVES D., Zieschang H. Equations in free groups and coincidence of mappings on surfaces // Math. Z. 2001. 237. 1-29.

44. Gottlieb D.H., Ozaidyn M. Intersection numbers, transfers, and group actions // Topol. Appl. 1994. 55, N 1. 87-100.

45. Granas A., Dugundji J. Fixed Point Theory. Springer-Verlag, New York, 2003.

46. Gray W.J. A fixed-point theorem for commuting monotone functions // Canad. J. Math. 1969. 21, N 2. 502-504.

47. Gray W. J., Smith C.M. Common fixed points of commuting mappings // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. 53, N 1. 223-226.

48. Guo J. Relative and equivariant coincidence theory // Ph. D. Thesis, memorial University of Newfoundland, 1996.

49. Guo J., Heath P.R. Coincidence theory on the complement // Topology Appl. 1999. 95, N 3. 229-250.

50. Hopf H. Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. II. Klasseninvarianten von Abbildungen // Math. Ann. 1929. 102, 4. Heft. 562-623.

51. HOPF H. Uber die algebraische Anzahl von Fixpunkten // Math. Z. 1929. 29. 493-524.

52. Ни S.-T. Cohomology and deformation retracts // Proc. Lond. Math. Soc. (2). 1951. 52. 191-219.

53. Ни S.T. On homotopy and deformation retracts // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1947. 43. 314-320.

54. Huneke J.P. Two commuting continuous functions from the closed unit interval onto the closed unit interval without a common fixed point // Topological Dynamics (Sympos., Colorado State Univ., Ft. Collins, Colo. 1967), Benjamin, N.Y. 1968. 291-298.

55. Isbell J.R. Commuting mappings of trees // Bull. Amer. Math. Soc. 1957. 63. 419.63. jang C.G., Lee S. A relative Nielsen number in coincidence theory // J. Korean Math. Soc. 1995. 32, N 2. 171-181.

56. Jezierski J. The relative coincidence Nielsen number // Fund. Math. 1996. 149, N 1. 1-18.

57. Jezierski J. The Nielsen coincidence theory on topological manifolds // Fund. Math. 1993. 143, N 2. 167-178.

58. Jiang B.J. On the least number of fixed points // Amer. J. Math. 1980. 102. 749-763.

59. Jiang B. Lectures on Nielsen Fixed Point Theory // Contemporary Mathematics, v. 14. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1983.

60. Jiang B. Fixed points and braids // Invent. Math. 1984. 75, N 1. 69-74.

61. Jiang B. Fixed points and braids, II // Math. Ann. 1985. 272, N 2. 249-256.

62. Jiang B. A primer of Nielsen fixed point theory, in: Handbook of Topological Fixed Point Theory, Brown R.F. (ed.) et al, Springer-Verlag, Berlin, 2005. 617-645.

63. KlANG Т.Н. The Theory of Fixed Point Classes. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1989.

64. Lee S.H. A relative Nielsen coincidence number for the complement, I // J. Korean Math. Soc. 1996. 33, N 4. 709-716.

65. Lefschetz S. Continuous transformations of manifolds // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1923. 9. 90-93.78. lefschetz S. Intersections of complexes on manifolds // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1925. 11. 287-289.

66. Lefschetz S. Continuous transformations of manifolds // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1925. 11. 290-292.

67. Lefschetz S. Intersections and transformations of complexes and manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. 28. 1-49.81. lefschetz S. Manifolds with boundary and their transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1927. 29. 429-462.

68. M ardesic S. On covering dimension and inverse limits of compact spaces // 111. J. Math. 1960. 4, N 2. 278-291.

69. Mardesic S., Segal J. e-mappings onto polyhedra // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. 109, N 1. 146-164.

70. McCord C.K. A Nielsen theory for intersection numbers // Fund. Math. 1997. 152, N 2. 117-150.

71. Shields A.L. On fixed points of commuting analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. 15, N 5. 703-706.

72. VlCK J. Homology theory. Graduate Text Math. 145, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1994.

73. Wecken F. Fixpunktklassen, I // Math. Ann. 1941. 117. 659-671.

74. Wecken F. Fixpunktklassen, II // Math. Ann. 1942. 118. 216-234.

75. Wecken F. Fixpunktklassen, III // Math. Ann. 1942. 118. 544-577.

76. Whyburn G.T. Analytic Topology //Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 1963. V. 28.

77. WONG P. A note on the local and the extension Nielsen numbers // Topol. Appl. 1992. 48. 207-213.

78. YANG K.-Y. A relative root Nielsen number // Comm. Korean Math. Soc. 1996. 11, N 1. 245-252.

79. Yang K.-Y. The minimum theorem for the relative root Nielsen number // Comm. Korean Math. Soc. 1997. 12, N 3. 701-707.

80. Zhao X. A relative Nielsen number for the complement // Topological fixed point theory and applications; Lect. Notes Math. N 1411. Berlin: Springer, 1989. 189-199.

81. ZHAO X. Estimation of the number of fixed points on the complement // Topol. Appl. 1990. 37. 257-265.

82. Zhao X. Relative Nielsen theory, in: Handbook of Topological Fixed Point Theory, Brown R.F. (ed.) et al, Springer-Verlag, Berlin, 2005. 659-684.

83. Frolkina О. Sharpness of the Nielsen preimage number // 2006 International Conference on Topology and its Applications, June 23-26, 2006, Aegion, Greece. Abstracts. Municipal Library of Aegion. 71-72.