Обобщенная модель процесса восстановления в теории надежности использования информационных технологий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Шмидт, Ольга Олеговна

• Шмидт, Ольга Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шмидт, Ольга Олеговна

1 Теория надежности использования информационных технологий

1.1 Информационные технологии.

1.2 Надежность информационных технологий

1.2.1 Надежность аппаратных средств.

1.2.2 Надежность программных средств.

1.3 Процесс восстановления.

1.4 Модели процессов восстановления.

1.4.1 Пуассоновский процесс

1.4.2 Простой процесс восстановления.

1.4.3 Модель (рл) несовершенного восстановления

1.4.4 Модель функционирования восстанавливаемых объектов с виртуальным возрастом.

1.4.5 Процесс восстановления порядка (^1,^2)

1.5 Стратегии использования информационных технологий

2 Обобщенная модель процесса восстановления с учетом затрат и эффективности

2.1 Затраты на восстановления.

2.2 Эффективность работы.

2.3 Процесс восстановления порядка (&1, А^) , учитывающий стоимости восстановлений.

2.4 Затраты на восстановление для процесса восстановления порядка (Ат,/^).

2.4.1 Интегральное уравнение для функции затрат

2.4.2 Интегральные представления функции затрат

2.4.3 Асимптотическое поведение функции затрат

2.5 Функция эффективности для процесса восстановления порядка

2.5.1 Интегральное представление функции эффективности.

2.5.2 Интегральное уравнение для функции эффективности.

2.6 Выводы.

3 Вычисление характеристик обобщенной модели процесса восстановления порядка (к\, А^)

3.1 Операционный метод.

3.1.1 Функция восстановления процесса восстановления порядка (1,1) , образованного функцией

3.1.2 Функция затрат

3.2 Представление характеристик в виде обобщенного степенного ряда.

3.3 Метод конечных сумм нахождения характеристик модели 83 3.3.1 Описание метода.

3.4 Метод Монте-Карло.

3.5 Выводы

4 Задачи оптимизации стратегий использования информационных технологий

4.1 Стратегии восстановления.

4.1.1 Примеры решения задач оптимизации для стратегии восстановления блоками.

4.2 Порядок замены объектов при стратегии только аварийных восстановлений

4.2.1 Порядок замен без учета стоимостей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенная модель процесса восстановления в теории надежности использования информационных технологий»

Актуальность. В связи с информатизацией всех сфер деятельности человека проблема обеспечения высокой надежности использования информационных технологий (ИТ) является одной из наиболее значимых в развитии научно-технического прогресса. Надежность использования ИТ определяется надежностью ее взаимодействующих компонент - программного обеспечения, аппаратных устройств и методов их применения.

Применительно к надежности аппаратных составляющих ИТ используются методы классической теории надежности, изложенные в работах Б.В.Гнеденко, И.А.Ушакова, Д.Кокса, Р.Барлоу, В.Смита, Ф.Байхельта, Е.Ю.Барзиловича и других авторов [2, 18, 95, 62, 25, 23]. В этих работах процесс функционирования обьекта рассматривается как процесс восстановления, при котором функции распределения наработок на отказ после каждого восстановления не изменяются.

Для аппаратных компонент ИТ характерны различные способы восстановлений, которые связаны с изменяющимися затратами и приводят объект в различные состояния. Таким образом, приходим к моделям процессов восстановления с изменяющимися функциями распределения наработок на отказ, затратами на восстановления и эффективностями заменяемых объектов. Обобщающие модели процесса восстановления были предложены М.Броупом и Ф.Прошаном, М.Кийама и У.Сумита, К.Дорадо и другими авторами [58, 65, 77, 72, 73]. Однако эти модели не вполне достаточны для описания процессов функционирования аппаратных средств в теории надежности использования ИТ.

Вопросам надежности использования ИТ применительно к программным компонентам посвящены работы Г.Майерса, Р.Гласса, Т.Тейера, В.В.Липаева, В.В.Шуракова, И.Б.Герцбаха [31, 33, 17, 40, 29, 30]. В этих работах надежность рассматривается как" внутреннее свойство программы. Наиболее известными математическими моделями надежности программного обеспечения являются модели Шумана, Джелинского-Моранды, Шика-Вольвертона, Вайса, Коркорена, Нельсона и другие [31, 40, 96, 71, 78, 90, 101, 60, 85]. Предполагается, что исходное число ошибок в программе постоянно и может уменьшаться по мере того, как ошибки исправляются. В большинстве случаев рассматривается экспоненциальный закон распределения наработок на отказ с неизменяющейся интенсивностью отказов в процессе восстановления.

Следует отметить, что отказы программных компонент возникают не только из-за ошибок, заложенных в коде программы, но и в связи с ее некорректным использованием, а также с изменением взаимодействующих с программой компонент ИТ в процессе использования. Так же, как и в моделях процессов восстановления для аппаратных средств, после восстановлений изменяются функции распределения наработок на отказ программных средств, эффективность использования программ и затраты на восстановления.

Так как основные показатели надежности закладываются на этапах разработки, проектирования и тестирования, то одной из возможностей поддержания характеристик надежности при использовании ИТ на требуемом уровне является применение оптимальных стратегий восстановления, например, когда наряду с аварийными проводятся профилактические восстановления. Здесь также следует учитывать специфику ИТ.

Таким образом, необходимость обеспечения высокого уровня показателей надежности приводит к построению обобщенных моделей процессов восстановления и стратегий эксплуатации в теории надежности использования ИТ.

Целью работы является исследование процессов восстановления в теории надежности использования информационных технологий.

Исходя из поставленной цели были определены следующие задачи исследования:

1. Разработка обобщенной модели процесса восстановления применительно к теории надежности использования информационных технологий.

2. Нахождение и исследование характеристик надежности использования информационных технологий на основе моделей процессов восстановления.

3. Разработка и исследование стратегий восстановления в теории надежности использования информационных технологий.

Основные научные результаты, выносимые на защиту

1. Разработана и обоснована модель процесса восстановления в теории надежности использования информационных технологий, обобщающая известные модели процессов восстановления, учитывающая изменяющиеся в результате восстановлений функции распределения наработок на отказ, затраты на восстановления и эффективность заменяемых I элементов.

2. Получены и обоснованы методы нахождения характеристик обобщенной модели процесса восстановления с различными •законами распределения наработок на отказ. Получена асимптотическая оценка функции затрат.

3. Разработаны модели стратегий восстановления в теории надежности использования ИТ при проведении аварийных и профилактических восстановлений.

Теоретическая значимость. В рамках диссертационной работы получены теоретические результаты по построению и обоснованию обобщенной модели процесса восстановления в теории надежности использования информационных технологий.

Практическая значимость. Работа имеет практическую направленность. Результаты могут быть использованы для прогнозирования, планирования и оптимизации использования информационных технологий.

Достоверность результатов. Достоверность результатов определяется учетом особенностей работы компонент информационных технологий, корректным применением математических методов при решении рассматриваемых задач. Все результаты работы снабжены строгими доказательствами.

Методика исследования. В диссертационной работе использовались теоретические основы информационных систем и технологий, методы математической теории надежности, теории восстановления, теории вероятностей и случайных процессов, теории интегральных уравнений, теории информации.

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии" (Красноярск, 2003), Всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2005), Всероссийской научно-методической конференции "Повышение качества высшего профессионального образования" (Красноярск, 2007),

Международной научной школе "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (Санкт-Петербург, 2007), Всероссийской конференции "Финансово-актуарная математика и смежные вопросы" (Красноярск, 2007), на семинарах кафедры прикладной математики Сибирского федерального университета (Красноярск, 2003-2007).

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, из них 5 статей, в том числе одна в периодическом издании по перечню ВАК. Основные результаты диссертации получены лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Текст изложен на 125 страницах, дополнен 9 иллюстрациями. Библиография включает 104 наименования.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Шмидт, Ольга Олеговна

3.5 Выводы

Разработаны методы приближенного вычисления п -кратных сверток функций распределения с оценкой погрешности. Приближенные методы решения интегральных уравнений, содержащих свертки функций распределения, что позволило получить приближенные формулы для нахождения характеристик обобщенного процесса восстановления порядка (&1, А^) •

Для закона распределения Вейбулла-Гнеденко, наиболее характерного для наработок компонент информационных технологий, получены и обоснованы формулы представления характеристик обобщенного процесса в виде рядов.

Для случаев обобщенного процесса восстановления порядка (2,1), (3,1), (1,2) получены явные формулы для функции затрат при экспоненциальном распределении наработок.

Глава 4

Задачи оптимизации стратегий использования информационных технологий

Основные характеристики надежности компонент информационных технологий закладываются на этапах проектирования, разработки и тестирования. Одной из возможностей поддержания надежности в процессе эксплуатации объекта является выбор оптимальных стратегий эксплуатации. Оптимизация может проводиться по различным критериям, таким как минимум функции восстановления, максимум коэффициента готовности, минимум интенсивности затрат и другие.

В стратегиях восстановления с проведением, наряду с аварийными, профилактических восстановлений, как правило предполагается, что стоимость как профилактических, так и аварийных восстановлений не изменяется при очередных восстановлениях [48, 54, 47]. На практике это не всегда имеет место.

В данной главе рассматриваются две стратегии восстановления, учитывающие стоимость восстановлений, в случае обобщенной модели процесса восстановления порядка (^1,^2) - стратегия восстановления блоками (с проведением профилактических восстановлений) и стратегия только аварийных восстановлений. Также рассматриваются стратегии проведения оптимальной последовательности замен в случае, когда возможно несколько вариантов замены отказавшего элемента - новыми элементами с различными стоимостями восстановлений и с различными функциями распределения наработок на отказ.

4.1 Стратегии восстановления

Рассмотрим стратегию восстановления блоками [2] для процесса восстановления порядка (^ьА^) с учетом стоимости восстанавливаемых объектов. В этом случае аварийные восстановления образуют процесс восстановления порядка (^1,^2) , а в фиксированные моменты времени т, 2т,. проводятся профилактические восстановления. В результате каждой профилактики заново начинается рассматриваемый процесс восстановления, то есть независимо от того, сколько произошло до этого аварийных восстановлений, объект восстанавливается с функцией распределения и стоимостью с\ , а далее продолжается процесс восстановления порядка А;2) .

Таким образом, процесс эксплуатации разбивается на стохастически эквивалентные циклы пт, (п + 1)т, п = 0,1,. [2].

О Т 2т Зт

Рисунок 4.1. Стратегия восстановления блоками

Тогда интенсивность эксплуатационных затрат будет выражаться следующей формулой

I(t) = S(t)/t, 0 < г < со.

Для данной стратегии С\ - стоимость профилактических работ, а q, г > 2 - стоимости аварийных замен.

Рассмотрим стратегию только аварийных восстановлений. В этом случае профилактические восстановления не проводятся ( т = оо ).

Интенсивность затрат 1а является предельным значением /(г) при г —» оо . Таким образом,

Ia = lim 1(т) = lim т —►оо т—> оо Т

Учитывая выведенную формулу асимптотического поведения S(t) (2.55), получаем

1а=шт= т—> оо т

Е dify + с*,.! + ^ - Е ( i t M(Y3) lim ---—^—-- ' r—>oo fc2

Ей

Z = 1

При выборе оптимальной стратегии восстановления по минимуму интенсивности затрат приходим к задаче минимизации функции 7(т) , то есть нахождению величины т = т* (времени проведения профилактических работ), при которой 1(т) принимает наименьшее значение.

Если значения минимума функции интенсивности затрат стратегии восстановления блоками меньше интенсивности затрат стратегии аварийных восстановлений, то проведение профилактик целесообразно, в противном случае следует ограничиться только аварийными восстановлениями.

На рисунке 4.2. приведены графики функций эффективности затрат для двух моделей процессов восстановления.

В случае а, рассматривается процесс восстановления порядка

3.1) с наработками, распределенными по закону Вейбулла-Гнеденко с параметрами : /Зх = 0.5, в\ = 1, С\ = 10; (32 = 0.5, #2 = 1; С2 = 1; Рз — 1-5, = 1, С1 = 1 . Интенсивность затрат в стратегии восстановления блоками при всех £ больше интенсивности затрат при только аварийных восстановлениях. В этом случае предпочтение отдается стратегии только аварийных восстановлений.

В случае Ь, рассматривается процесс восстановления порядка

3.2) с наработками, распределенными по закону Вейбулла-Гиеденко с параметрами: (3\ — 2, 0\ = 1, с\ — 10; = 8,02 = 1, с2 = 1; & = 16, 03 = 1, с3 = 1; /?4 = 32, 0з = 1, С\ = 1 . В этом случае интенсивность аварийных затрат имеет единственный минимум в точке т* « 1.607, /(т*) «

0.307 . Предпочтение отдается стратегии восстановления блоками - проведение профилактических восстановлений в фиксированные моменты времени т*, 2т*, Зт*, .

Случай а

Случай Ь

Рисунок 4.2. Поведение интенсивности затрат. (Сплошная линия соответствует функции интенсивности затрат стратегии восстановления блоками, пунктирная линия -стратегии только аварийных восстановления)

При вычислении функции интенсивности затрат использовались выведенные формулы приближенного вычисления функции затрат (3.61)

4.1.1 Примеры решения задач оптимизации для стратегии восстановления блоками

Пусть все наработки имеют экспоненциальный закон распределения. Рассмотрим процесс восстановления порядка (1,1) . Имеем

Fi{t) = F(t) = 1 - e~at, cä = c, г = 1,2,---

Согласно представлению функции затрат в виде ряда (2.8) оо

S(t) = с + c^F(n)(t) = с + cHF(t), п=о где HF(t) - функция восстановления процесса восстановления порядка (1,1) . В рассматриваемом случае [2] ■ ^

HF{t) = at и

J(r) = - + c, т > 0. (4.1) т

Так как 1(т) > 1а при всех г > 0 , то проведение профилактических восстановлений нецелесообразно, так как они лишь увеличивают интенсивность эксплуатационных затрат при стратегии только аварийных восстановлений.

Рассмотрим процесс восстановления порядка (2,1). В соответствии с интегральным представлением функции затрат(2.42) t

S(t) = ci + c2Fi(i) + c2 j HF2(t - x)dFi(x), о

F2(t) = a2t.

После непосредственного интегрирования получаем

S{t) = Cl + c2a2t + (с2 - c2g (1 - e~ait) и

Cl + c2oi2t + (02 - c2f\ (1 - e-°*r) I(r) =-v , lJ-• (4.2) т

Приравняем к нулю производную I(r) , C2ttl i1 - §f) e~aiTr - Cl - C2 (l - g) (1 - e—n

I'(t) =-^--1-^-^--1-= 0. 4.3)

T"

Введем функцию

2/(7-) = C2«! (l - - Cl - c2 (1 - (1 - e~a*T).

Имеем lim y(r) = —ci < 0,

T—>0 lim y(r) = -ci - c2( 1 - —), r—>+00 CKi y'(r) = -a?c2(l i

При a2 < a\ у'(т) < 0 - функция у(т) монотонно убывает и, так как т/(0) < 0 , то у{т) < 0 . При т G [0, + оо) уравнение (4.3) не имеет корней.

При а2 > di у'(т) > 0 - функция у(т) монотонно возрастает. Требуя еще, чтобы у{+оо) > 0 , то есть

7 < £~ ^

С2 Qt\ заключаем, что в этом случае функция у (г) имеет единственный корень т — т* (кривая у (г) один раз пересекает ось От ). Очевидно, что функция 1{т) в этой точке имеет минимум.

Докажем, что при т = т* интенсивность затрат 1{т) принимает наименьшее значение. Имеем lim/(г) — +оо, т—> О lim /(т) = С2«2 > 0. т—>+оо

Предположим /(т*) > с2а2 ■ Так как т* - точка минимума 1(т) , то для выполнения lim /(т) = с2а2 > 0 необходимо, т—>+оо чтобы у 1(т) была еще и точка максимума, но у 1{т) , как доказано, одна точка экстремума. Таким образом, /(т*) < с2а;2 и /(г*) - наименьшее значение функции /(г) . Заметим, что в рассматриваемом случае fiy — ^ , di — с2 и /а = 020:2 > 1(т*) .

Окончательно получаем, что в случае выполнения неравенства (4.4), целесообразно проводить профилактические восстановления в моменты времени г*, 2т*, . Если же неравенство (4.4) не выполняется, то профилактические восстановления проводить нецелесообразно.

4.2 Порядок замены объектов при стратегии только аварийных восстановлений

В процессе использования информационных технологий возникают задачи выбора оптимальной последовательности замен отказавших элементов на фиксированном интервале времени [0, Т] . В качестве критерия оптимальности можно использовать минимум числа отказов или минимум затрат, связанных с восстановлениями на данном интервале.

Пусть даны две группы объектов - с функциями распределения наработок на отказ ., , образующими непериодическую часть процесса восстановления, и с функциями ^ (£), (£),., +/Г2! (£) , образующими периодическую часть процесса восстановления. С восстановлениями объектов первой и второй группы связаны затраты С2,., скх-\ и ск1,ск1+1,. •, ск1+к2-1 , соответственно.

Значения функций Н{1) и зависят от порядка замен элементов в первой и второй группе. Меняя порядок замен объектов в периодической и непериодической частях процесса восстановления, получаем — 1)!&2! вариантов его реализаций.

4.2.1 Порядок замен без учета стоимостей

Рассмотрим задачу выбора оптимальной, по минимуму среднего числа отказов, последовательности замен объектов без учета затрат на восстановления.

Для экспоненциального распределения эта задача рассмотрена в работе [12, 14]. В этом случае минимум достигается, если заменять объекты в порядке убывания их средних наработок.

Для других случаев решение задачи осуществляется с помощью вычисления функции восстановления для различных реализаций процесса и выбора реализации, для которой функция восстановления па заданном интервале имеет наименынеее значение.

На рисунке 4.3. приведен пример решения задачи для процесса порядка (2,2) на интервале от 0 до 1 со следующими функциями распределения: = 1 — е~2ь (экспоненциальное), =

1 — е~£8 (Вейбула-Гнеденко), ^з(^) = 1 — е~2ь (Эрланга). к=0

Из рисунка видно, что во втором случае количество отказов на промежутке от 0 до 1 на 18% больше, чем в первом. Следовательно, для этого интервала оптимальная последовательность замен имеет вид F1(t),F2(t),F3(t).

Hi (() (процесс восстановления Fi (t\ F2 (t), Fi (/))

H2 (t) (процесс восстановления Fi (t), Fs (t), Fi (/))

Рисунок 4.3. Порядок замен без учета затрат на восстановления

Рассмотрим решение задачи оптимизации порядка замен по минимуму затрат для процесса восстановления порядка (3,1) , если наработки распределены по экспоненциальному закону. В соответствии с (2.42), функция ¿>(£) имеет вид t

S(t) = ci + c2Fx + c3F^{t) + c3 J HF3{t - x)dF{-2\x). (4.5) 0

Как видно из (4.5), порядок записи функций Fi,F2 с соответствующими стоимостями Ci, с2 влияет на S(t) только через первые два слагаемых.

Обозначим ¿>1,2 — сумма первого и второго слагаемых в (4.5) при последовательности функций распределения Fi(t),F2(t) , а ¿>2,1 (¿) ~ при последовательности функций распределения F2(t),Fl(t) .

Введем функцию f) = slt2(t) - s2,i(t) = Cle-a2i - c2e~ait, t > 0.

Очевидно,

0) = ci - c2, /(oo) = 0. (4.6)

Функция f(t) обращается в 0 в единственной точке t* =-. (4.7) а2 - аг

Из (4.6), (4.7) следует, что если с\ > с2 и а\ < а2 , то значение t* > 0 и t < t* , оптимальна последовательность F2(t), -Fi(i) , при t > t* оптимальна последовательность F\(t), F2(t) . Если С\ > с2 и ах > а2 , значение £* < 0 , для всех t > 0 оптимальна последовательность F2(t), F\{t) .

Заключение

1. Разработана и обоснована обобщенная модель процесса восстановления в теории надежности использования информационных технологий, учитывающая изменяющиеся функции распределения наработок па отказ, затраты на восстановления, показатели эффективности заменяемых объектов. Определены характеристики процесса восстановления, имеющие важное значение при использовании информационных технологий - функция восстановления, функция затрат и функция эффективности. Получены представления в виде рядов для функции затрат и функции эффективности.

2. Введен и обоснован процесс восстановления порядка (Ат,/^) , учитывающий изменяющиеся затраты на восстановления и показатели эффективности. Для функции затрат и функции эффективности этого процесса получены интегральные уравнения Вольтерра второго рода, а также интегральные представления через функцию восстановления процесса восстановления порядка (1,1) , образованного сверткой функций распределения, образующих периодическую часть процесса восстановления.

3. Предложены методы и выведены формулы нахождения приближенных значений основных характеристик обобщенной модели процесса восстановления для любых законов распределения наработок на отказ. Получены явные формулы функции затрат для частных случаев процессов восстановления. Доказана теорема об асимптотическом поведении функции затрат.

4. Доказана теорема о сходимости ряда для функции восстановления процесса восстановления порядка (1,1), образованного функцией распределения, равной -кратной свертке распределений Вейбулла-Гнеденко с произвольными параметрами. Доказанная теорема обосновывает возможность непосредственного интегрирования в интегральных представлениях для получения функции затрат, функции эффективности, функции восстановления в виде рядов.

5. Получены формулы приближенного вычисления п -кратных сверток и их производных. Доказана теорема об оценке погрешности вычисления п -кратной свертки. Разработаны формулы решения интегральных уравнений для функции восстановления, функции затрат и функции эффективности.

6. Рассмотрены модели стратегий использования информационных технологий. Выведены формулы интенсивности затрат для стратегии только аварийных восстановлений и стратегии восстановления блоками (с проведением профилактических восстановлений в фиксированные моменты времени). Решена задача оптимизации по минимуму интенсивности затрат для процесса восстановления порядка (2,1) в случае экспоненциального распределения наработок. Решена задача о порядке проведения замен по минимуму затрат на восстановления для процесса восстановления порядка (3,1) при экспоненциальном распределении первых двух наработок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шмидт, Ольга Олеговна, 2008 год

1. Афанасьева, е. Оценивание моделей логистических процессов транспорта на базе интенсивных компьютерных методов статистики: автореф. промоционной работы / Афанасьева Елена. - Рига, 2006. - 52 с.

2. ВАЙНШТЕЙН И. И. Оптимизация стратегии восстановления с проведением профилактических работ и с учетом стоимости затрат. / И.И.Вайнштейн, О.О.Шмидт // Тр. VI Всеросс. ФАМ конф., ч. 1. Красноярск.: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, 2007. - С. 32-39.

3. ВАЙНШТЕЙН И. И. Надежность и восстановление остаточных знаний /И.И.Вайнштейн, О.О.Шмидт // Повышение качества высшего профессионального образования: мат. Всеросс. науч.-метод. конф. с межд. участием. Красноярск, 2007. - С. 82.

4. ВАЙНШТЕЙН, И. И. Представление функции восстановления в виде степенных рядов и их сходимость / И.И.Вайнштейн, О.О.Шмидт / / Электронный журнал "Исследовано в России". 2008. - Т. 48. - С. 549-554. -http: / / zhurnal.ape.relarn.ru/articles /2008/048.pdf.

5. ВАСИЛЬЕВА, А. Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, А. Н. Тихонов. М.: Изд-во МГУ, 2002. - 160 с.

6. ГАЙДАМАКИН, Н. А. Автоматизированные информационные системы, базы и банки данных / Н. А. Гайдамакин. М.: Гелиос АРВ, 2002. - 368 с.

7. ГЛАСС, Р. Руководство по надежному программированию / Р. Гласс. М.: Финансы и статистика, 1982. - 256 с.

8. ГНЕДЕНКО, Б. В. Математические методы в теории надежности / Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. М.: Наука, 1965. - 524 с.

9. ЗОРИН, В. В. Надежность систем электроснабжения / В. В. Зорин, В. В. Тисленко, Ф. Клеппель, Г. Адлер. Киев: Высшая школа, 1984. - 192 с.

10. КАЛЯНОВ, Г. Н. CASE-структурный системный анализ (автоматизация и применение) / Г. Н. Калянов. М.: ЛОРИ, 1996. - 242 с.21. канер, С. Тестирование программного обеспечения / С. Канер, Д. Фолк, Е. К. Нгуен. М.: Dia Soft, 2001. - 543 с.

11. КАРИМОВ, Р. Н. Анализ потока технических инцидентов в системе газораспределения / Каримов Р. Н., Мочалов В. В., Рейтер А. А. // Интернет журнал «Нефтегазовое дело». 2006.- 9 с. http://www.ogbus.ru/04200600005/0036.

12. КОЗЛОВ, Б. А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики / Б. А. Козлов, И. А. Ушаков.- М.: Советское радио, 1975. 472 с.

13. КОЗЛОВ, В. В. Оптимальное обслуживание восстанавливаемых систем / В. В. Козлов, А. Д. Соловьев. // Техн. Кибернет. Изв. АН СССР. - 1978. - Т.З. - С. 79-84.

14. КОКС, Д. Теория восстановления / Д. Кокс, В. Смит. М.: Советское радио, 1967. - 300 с.

15. КОЛМОГОРОВ, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. -М., Наука, 1976. 496 с.

16. КРАСНОВ, М. П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. / М. П. Краснов. М.: Изд-во УРСС, 2006. - 304 с.

17. КРЕДЕНЦЕР, Б. П. Прогнозрфовапие работы систем с временной избыточностью / Б. П. Креденцер. Киев: Наукова думка. -1978. - 272 с.

18. ЛИГ1АЕВ, В. В. Надежность программного обеспечения АСУ / В. В. Липаев. М.: Энергоиздат, 1981. - 240 с.

19. ЛИПАЕВ, В. В. Надежность программных средств. / В. В. Липаев. М.: СИНТЕГ, 1998. - 232 с.

20. ЛОНГБОТТОМ, Р. Надежность вычислительных систем / Р. Лонгботтом. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 288 с.

21. МАЙЕРС, В. Надежность программного обеспечения / В. Майерс. М.: Мир, 1980. - 360 с.

22. МАНЖИРОВ, А. В. Методы решения интегральных уравнений: Справочник / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. М.: Факториал, 1999. - 272 с.

23. Фихтенгольц, Г. Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления: т. 2 / Г. Н. Фихтенгольц. М.: Наука, 1969. - 800 с.44. черкесов, Г. H. Надежность технических систем с временной избыточностью / Г. Н. Черкесов. М.: Советское радио, 1974. -296 с.

24. Шмидт О. О. Оценка рисков при эксплуатации технических систем / О.О.Шмидт //Тр. Межд. Науч. Школы МАБР-2007. -СПб., 2007. С. 399-402.

25. ШУРАКОВ, В. В. Надёжность программного обеспечения систем обработки данных / В. В. Шураков. М.: Финансы и статистика, 1987. - 272 с.

26. Abdel-Hameed, M. Optimum replacement of a system subject to shocks / M. Abdel-Hameed // Journal of Applied Probability. -1986. Vol. 23, N 1. - P. 107-114.

27. Agrafiotis, G. K. A translated renewal model with cost optimization applications / G. K. Agrafiotis, M. Z. Tsoukalas // European Journal of Operational Research. 2006. - Vol. 174, N 3. - P. 16851693.

28. Ascher, H. E. Evaluation of repairable system reliability using 'bad-as-old' concept /Н. E. Ascher // IEEE Transactions on Reliability. 1968. - Vol. R-17. - P. 103-110.

29. COLE, G. Estimating drive reliability in desktop computers and consumer electronics systems / G. Cole // Seagate personal storage group Longmont. Colorado. 2000. - Technical Report TP-338.1

30. COX, D.R. Renewal Theory / D. R. Cox. London: Methuen LTD, 1962. - 151 p.

31. Cox, D. R. The statistical analysis of dependencies in point processes /D.R. Cox / / Stochastic point processes. New York: Wiley, 1972. - P. 55-66.

32. HJORT, N. L. The association in time of a Markov process with application to multistate reliability theory / N. L. Hjort, B. Natvig,

33. E. Funncmark // Journal of Applied Probability. 1985. - Vol. 22, N 2. - P. 473-479

34. KlJlMA, M. A useful generalization of renewal theory: counting processes governed by non-negative Markovian increments / M. Kijima, U. Sumita // Journal of Applied Probability. 1986. - Vol.23. - P. 71-88.

35. KlJlMA, M. Periodical replacement problem without assuming min" imal repair / M. Kijima, H. Morimura, Y. Suzuki // European Journal of Operational Research. 1988. - Vol. 37, N 2. - P. 194-203.

36. KlJlMA, M. Some results for repairable systems with general repair / M. Kijima // Journal of Applied Probability. 1989. - Vol. 26. -P. 89-102.

37. Modern software engineering. Foundation and current perspectives / Ed., Ng P. A., Yeh R. T. New York: Van Nostrand Reinhold, 1990. - 675 p.

38. Muller, M. A. E. Probalistic analysis of repairable redundant systems : thesis of PhD : systems engineering / M. A. E. Muller. -University of Pretoria, 2006. 165 p.

39. MWANGA, A. Y. Reliability modelling of complex systems : thesis of PhD : systems engineering / A. Y. Mwanga. University of Pretoria, 2006. - 130 p.

40. NATVIG, B. Multi-state reliability theory : statistical research report N 1 / Dept. of Math., University of Oslo; B. Natvig. Oslo, 2007. -lip.

41. Rau, J. G. Optimization and probability in systems engineering / J. G. Rau. Princeton: Von Nostrand, 1970. - 403 p.

42. S li ao, J. Modelling a shared-load k-out-of-n:G system / J. Sliao, L. R. Lamberson // IEEE Transactions on Reliability. 1991. - Vol. 40. - P. 205-209.