Обобщение стандартной модели атмосферы Земли с учетом нелинейного электрического поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Абакумов, Сергей Юрьевич

• Абакумов, Сергей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абакумов, Сергей Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 НЕЛИНЕЙНОЕ ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЫ, ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ

1.1 Стандартная модель атмосферы, электрические явления в атмосфере Земли и методы их исследования

1.2 Нелинейное обобщение модели стандартной атмосферы

1.3 Численный метод поиска оптимальных значений неизвестных параметров обобщения модели стандартной атмосферы

1.4 Комплекс программ для применения нелинейного обобщения модели стандартной атмосферы

1.5 Выводы

Глава 2 ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИОНОСФЕРЫ

2.1 Свойства областей Е и Б ионосферы Земли

2.2 Применение предложенного обобщения для моделирования области Б ионосферы

2.3 Применение предложенного обобщения для моделирования области Е ионосферы

2.4 Выводы

Глава 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРОПОСФЕРЫ, СТРАТОСФЕРЫ, МЕЗОСФЕРЫ

3.1 Свойства тропосферы, стратосферы, мезосферы

3.2 Моделирование тропосферы, стратосферы и мезосферы

3.3 Выводы

НА ВЫСОТЕ ОТ 1000 ДО 2000 КМ

4.1 Свойства атмосферы Земли в интервале высот от 1000 до 2000 км

4.2 Моделирование атмосферы Земли в интервале высот от 1000 до 2000 км

4.3 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщение стандартной модели атмосферы Земли с учетом нелинейного электрического поля»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Для математического моделирования земной атмосферы широко применяется стандартная модель, описывающая ее равновесное состояние под действием внутреннего давления и гравитационной силы. Численные расчеты, проведенные на основании этой модели, показали, что на высотах более 150 км над поверхностью Земли наблюдаются существенные отклонения от экспериментальных данных. В связи с этим в работе предложено обобщение стандартной модели, учитывающее действие электрического поля, и рассмотрено его применение для моделирования состояния атмосферы Земли.

Исследования атмосферного электричества началось еще в 18 веке, тогда основное внимание уделялось грозам. В начале 20 века в исследованиях проводимых Я.И. Френкелем [1] рассматривались электрические явления в тропосфере Земли. С развитием радиотехники начали проводить исследования вышележащих слоёв атмосферы при помощи наземных радаров. С развитием космонавтики появляется возможность прямых исследований атмосферы Земли на больших высотах.

В конце 20 века был обнаружен ряд световых явлений, происходящих в атмосфере на высотах в несколько десятков километров. Перечислим их названия: спрайт, красный спрайт, эльф, джет и др. [2]. Предполагают, что эти явления являются разновидностями молний. В работе [3] рассматривается их взаимосвязь с электрическим полем в атмосфере Земли.

Существуют как косвенные, так и прямые свидетельства, подтверждающие существование в атмосфере Земли значительных объемных зарядов и электрических полей. Так в статье выдающегося исследователя атмосферного электричества И.М. Имянитова [4, 5] приводятся следующие факты:

• Измерения напряженности электростатических полей вблизи поверхности Земли показывают, что как значения этой напряженности, усредненной за

значительные интервалы времени, так и мгновенные ее значения могут испытывать заметные изменения во время полярных сияний. Данный факт подтверждает предположение, что в высоких слоях атмосферы существуют большие разности потенциалов и большие объемные заряды.

• Все основные теории полярных сияний (Биркеланда и Штермера, Чепмэна, Ферраро и Мартина, Альфвена) либо постулируют, либо предполагают существование сильных электрических полей в ионосфере.

Важно также отметить, что согласно результатам бортовых измерений, космические аппараты, движущиеся как на низких, так и на высоких околоземных орбитах, могут заряжаться до потенциалов порядка 1 - 10 кВ [6]. При размере космического аппарата порядка нескольких метров находим, что внутри него напряженность электрического поля может достигать величин порядка нескольких кВ/м.

С другой стороны, космический аппарат должен заряжаться до тех пор, пока его собственное электрическое поле не станет равным по величине и противоположным по направлению внешнему электрическому полю около него. Поэтому из результатов бортовых измерений в космических аппаратах следует, что электрическое поле в атмосфере может достигать величин порядка нескольких кВ/м.

Об этом же говорят и исследования, проведенные на орбитальной станции «Мир», располагавшейся в области Б ионосферы на высоте около 390 км. Они показали, что на данной высоте напряженность электрического поля может достигать значений до 10 кВ/м [7].

Следует также сказать, что в результате ракетных исследований в нижней ионосфере, были обнаружены сильные электрические поля, причем их происхождение до сих пор остается необъясненным фактом [8, 9].

В тропосфере Земли также могут присутствовать значительные электрические поля. Согласно [10] на фюзеляже самолетов - лабораторий, проводящих исследования атмосферы на высотах 5-6 км, также наблюдается электрическое поле с напряженностью, достигающей величины 10 кВ/м.

В [11] приведены сведения о том, что в ясную погоду в горной местности напряженность электрического поля может достигать величин порядка нескольких кВ/м.

Все приведенные выше факты говорят о важности применения новых моделей для описания электрических явлений в атмосфере.

Цель и задачи исследования. Цель работы - исследовать нелинейное обобщение стандартной модели атмосферы, учитывающие действие электрического поля, для ионосферы, более точно соответствующее экспериментальным данным.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Получить обобщение модели стандартной атмосферы, которое кроме силы давления и силы тяжести, имеющие место в стандартной модели, также учитывает действие электрического поля. В атмосфере Земли, и особенно в сильно ионизированной ионосфере, как было упомянуто выше, напряженность электрического поля может достигать значительных величин. Поэтому для его описания будем применять модель, основанную на нелинейном обобщении уравнения электрического поля в рамках классической теории Янга-Миллса.

2. Разработать численный метод для определения оптимальных значений неизвестных параметров модели.

3. Разработать и реализовать комплекс программ, позволяющий проводить моделирование атмосферы Земли в рамках предложенного обобщения. Его основными блоками являются: блок численного решения системы дифференциальных уравнений, блок определения оптимальных значений неизвестных параметров модели. Также в состав комплекса программ входит ряд вспомогательных блоков, необходимых для его работы.

4. Провести численное моделирование распределения плотности массы по высоте для тропосферы, стратосферы, мезосферы, областей Е и Р ионосферы. Полученные результаты сопоставить с данными эмпирической модели М818-Е-90. А также получить распределение плотности массы в

интервале высот от 1000 до 2000 км. В связи с тем, что распределение плотности в атмосфере зависит от широты и долготы, а также даты и времени суток, моделирование провести для ряда случаев с различными значениями этих параметров.

5. По результатам проведенного численного моделирования, распределения плотности массы по высоте, получить распределение плотности заряда по высоте для интервала высот от 0 до 2000 км. Применяя предложенное нелинейное обобщение, вычислить напряженность электрического поля в области Б ионосферы. Полученное значение сопоставлено с имеющимися экспериментальными данными.

Объект исследования - атмосфера Земли; предмет исследования -нелинейная модель атмосферы Земли, численный метод определения её параметров и комплекс программ, необходимый для применения нелинейной модели.

Методы исследования. Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе, является вычислительный эксперимент с применением численного решения нелинейных дифференциальных уравнений предложенной модели и оптимизацией ее параметров.

Новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые предложена математическая модель атмосферы, учитывающая действие сильного электрического поля, описываемого в рамках нелинейного обобщения стандартной теории на основе классической теории Янга-Миллса. Предложенная модель представляет собой обобщение широко применяемой модели стандартной атмосферы.

2. Разработан и реализован комплекс программ, позволяющий применять предложенное обобщение для численного моделирования характеристик атмосферы Земли.

3. Впервые проведены численные расчеты распределения плотности массы по высоте на основе предложенной модели. Полученные результаты находятся в хорошем согласии с эмпирическими данными, в то время как распределение

плотности, определенное по стандартной модели, существенно отклоняется от них на высотах выше 150 км. Данные выводы могут служить серьезным аргументом в пользу предложенной модели.

Теоретическая значимость работы заключается в получении обобщения модели стандартной атмосферы Земли, учитывающей действие электрического поля, описываемого в рамках нелинейной теории Янга-Миллса, и разработке численного метода определения неизвестных параметров предложенного обобщения.

Практическая значимость работы состоит в получении нелинейное обобщение модели стандартной атмосферы, учитывающее действие сильного электрического поля. Для описания этого поля выбрана модель, основанная на классической теории Янга-Миллса, являющейся нелинейным обобщением стандартной линейной теории. Разработана программная реализация предложенного обобщения, позволяющая исследовать электрические поля в 'атмосфере Земли.

Приведены результаты применения предложенного обобщения для получения распределения плотности массы по высоте. Результаты численного моделирования оказались в хорошем соответствии с эмпирическими данными. Это говорит в пользу применимости предложенной модели для описания атмосферы Земли, а также свидетельствует в пользу применимости нелинейной теории Янга-Миллса для описания электрического поля в атмосфере Земли.

Следует отметить, что данные об электрических полях в атмосфере Земли применяются в теориях полярных сияний, теории магнитных бурь, при определении областей вторжения заряженных частиц. Сведения об этих электрических полях также необходимы для ответа на один из главных вопросов науки об атмосферном электричестве - причине сохранения отрицательного заряда Земли.

Отметим, что распространенная точка зрения, согласно которой отрицательный заряд Земли поддерживается по средствам гроз, подвергается критике [12]. Показана недостаточность количества гроз, действующих на Земле в

некоторый момент времени, для поддержания её заряда.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными, полученными при помощи космических аппаратов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях.

1. XVII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Украина, Алушта, 2011.

2. Научная конференция МГУПИ «Актуальные проблемы приборостроения, информатики и социально-экономических наук», Россия, Москва, 2011.

3. XIV Международная научно-практическая конференция, посвященная 75-летию МГУПИ «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики», Россия, Москва, 2011.

4. XV Всероссийская научно-техническая конференция «Новые информационные технологии», Россия, Москва, 2012.

5. Международная конференция по теоретической физике, Россия, Москва, МГОУ, 20-23 июня 2011.

6. XLVIII Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, Россия, г. Москва, 15-18 мая 2012 г.

7. Семинар "Вычислительные методы и математическое моделирование", Россия, г. Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 16 января 2012г.

Личный вклад автора. Автор участвовал в разработке предложенного обобщения модели стандартной атмосферы, полностью разработал и реализовал комплекс программ, необходимый для проведения моделирования. Автор лично проводил все расчеты, результаты которых использованы в диссертации, наравне с другим соавтором участвовал в написании работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Физическая и математическая постановка задачи по численному моделированию атмосферы Земли при учете действия сильного электрического поля описываемого в рамках нелинейной теории Янга-Миллса.

2. Реализация комплекса программ, позволяющего определять неизвестные параметры предложенного обобщения стандартной модели и с его помощью проводить исследование атмосферы Земли.

3. Результаты численного моделирования распределения плотности массы по высоте для тропосферы, стратосферы, мезосферы, областей Е и Б ионосферы, а также атмосферы в интервале высот от 1000 до 2000 км для ряда случаев с различными значениями географических координат, даты и времени суток.

В первой главе предложена математическая модель, обобщающая стандартную модель атмосферы Земли. Описан созданный комплекс программ, позволяющий проводить численные расчеты по этой модели, и описан разработанный численный метод поиска её неизвестных параметров.

Предложенное обобщение стандартной модели атмосферы Земли для различных ее слоев имеет следующий вид:

где р=р(г) - давление в атмосфере на расстоянии г от центра Земли, г0 - радиус Земли, р= р(г) - плотность атмосферы в зависимости от радиуса г при заданной широте и долготе, g - ускорение свободного падения около поверхности Земли, Е=Е(г) ~ напряженность электрического поля на расстоянии г от центра Земли и 0= <д(г) - плотность заряда, которая может быть определена по формуле

где х ~ коэффициент пропорциональности между плотностью заряда и плотностью массы, являющийся постоянным внутри атмосферного слоя.

Фí л2

- ■ Гг°Ь-0£ = 0,

(1)

(2)

Формула (2) является проявлением стационарности слоя атмосферы. Из нее вытекает, что при возникшем равенстве входящей и выходящей масс газа в некотором произвольном объеме атмосферного слоя, будет также соблюдаться и равенство в нем входящего и выходящего количеств заряда.

Отметим, что два первых слагаемых уравнения (1) представляют собой хорошо известную модель стандартной атмосферы. Ее обобщение получается добавлением третьего нелинейного слагаемого, описывающего действие электрического поля.

Перейдем теперь к описанию модели электрического поля. Принимая во внимание, что в атмосфере Земли, и особенно в ионосфере, могут скапливаться значительные заряды, будем применять более сложную модель электрического поля. Модель такого типа была предложена в работе [13] на основании точного стационарного сферически симметричного решения уравнений Янга-Миллса с Би(2) симметрией, которое затем было обобщено в работе [14] на нестационарный случай и подробно исследовано в монографии [15].

Как известно, уравнения Янга-Миллса с 811(2) симметрией играют важную роль в описании электрослабых взаимодействий. Нелинейные уравнения Янга-Миллса описывают три физических поля, характеризуемых четырьмя потенциалами, тогда как в теории Максвелла такое поле только одно. При этом выражения для энергии и импульса полей Янга-Миллса имеют большую степень сходства с аналогичными выражениями для поля Максвелла. Если же, второе и третье поле отсутствуют, то первое поле будет описываться линейным уравнением Максвелла. Поэтому нелинейная теория Янга-Миллса является вполне естественным обобщением теории Максвелла.

В найденном в работе [13] решении уравнений Янга-Миллса электрическое поле Е на расстоянии г от центра заряженного сферического источника описывается формулой

Г

4эфф<>) = ^т

(4)

V К ,

где д(г) - заряд источника поля внутри сферической области радиуса г и К -некоторая константа.

В вышеупомянутых работах рассмотрено применение формул (3) и (4) к объяснению явления шаровой молнии и получена связь между константой К и максимальным диаметром шаровой молнии. Выбор для него известного из наблюдений значения -100 см приводит к следующей оценке константы К:

К~\07 Кл = 3-1016ед.СГСЭ. (5)

Из формулы (4) видно, что при | д / К | « 1 величины дЭфф и д будут практически совпадающими. Поэтому находим из оценки (5), что формула (3) может отклоняться от классического выражения для электрического поля только при весьма больших значениях заряда д.

Принимая во внимание вышеуказанные соотношения, запишем уравнение (1) в виде следующего интегро-дифференциального уравнения:

Ф00 /><Л2 . ч ХР(Г)К . (л~"г Л

+ Р{г)~ 2 51П

с1г I г

^)(*гУ*

0.

(6)

п

Отметим, что нижней и верхней границам каждого слоя атмосферы отвечают следующие условия:

<?(>!) = 0, 5(Г2) = 2тг, (7)

где д(г) - аргумент синуса в уравнении (6). Тогда над поверхностью г=г\ электрическая сила, действующая на ионы, будет направлена вверх, а под ней -вниз, что разделяет рассматриваемый слой и располагающийся ниже слой. Аналогично, при выполнении (7) под поверхностью г=г2 на ионы будут действовать электрическая сила, направленная вниз, а над ней - вверх, что разделяет рассматриваемый слой и располагающийся выше слой.

I

u(r)= jp(r)r2dr,

а-Ж м

г

х =

го

(8)

(9)

(10)

Ч Ч и\х) и (х)

х2а'(х) + gr0 yK . (4пх , Л

2--— н—--sm ——и(х)

ха(х) r0xa(x) v К

= 0.

(И)

Ввиду этих соотношений уравнение (6) примет вид

} rtv vV f А™ \

X

Используя формулы (8) и (10), запишем для функции и(х) условия на нижней границе рассматриваемого сферического слоя г=г\.

и{х 0 = 0,

-ZL — ,

.3 Ч 2

(12)

и\хх) = г0р{гх)хх.

Таким образом, имеем дифференциальное уравнение второго порядка (11) с начальными условиями (12) относительно неизвестной функции и(х), которое описывает атмосферу Земли при различных значениях широты и долготы. Полученное уравнение содержит два параметра, зависящих от географических координат, даты и времени суток: константу К, приближенная оценка которой приведена в (5), и коэффициент пропорциональности между плотностью заряда и плотностью массы

Далее рассмотрен разработанный эвристический численный метод, применяющийся для поиска оптимальных значений неизвестных параметров предложенной модели. Отметим, что для области Р ионосферы к двум упомянутым выше параметрам добавляется еще и третий - высота начала этой области. Критерием выбора параметров было обеспечение наилучшего согласия с экспериментальными данными. Для этого будем решать задачу минимизации

функции трех параметров Д(К, %, Г]), представляющую собой максимум абсолютной величины отклонения вычисленного значения плотности от ее экспериментального значения.

Блок-схема алгоритма эвристического численного метода представлена на рисунке 1. Пунктирными линиями выделены границы каждого шага алгоритма. Блок-схема содержит следующие обозначения: р[Г| - ьй набор параллелепипедов, рИОД - ,]-й параллелепипед из ьго набора, <31 - количество итераций основной части алгоритма, О^Р - количество наборов параллелепипедов, О^Р - количество первых параллелепипедов в наборе. Отметим, что этот эвристический численный метод содержит следующие параметры: N (количество параллелепипедов на которое делится исходный параллелепипед), С^Р, С>1. Разберем этот численный метод по шагам с конкретными значениями его параметров, которые были определены из численных расчетов.

На первом шаге этого метода в трехмерном пространстве точек (К, п) выберем достаточно большой параллелепипед, разделим его на Ы=105 одинаковых параллелепипедов. Упорядочим эти параллелепипеды по увеличению значения функции А в их центрах и выберем (2РР=10 первых.

На втором шаге каждый из выбранных параллелепипедов разделим на N одинаковых параллелепипедов и упорядочим эти параллелепипеды по увеличению значения функции А в их центрах. В каждом параллелепипеде, полученном на предыдущем шаге, выберем 10 первых, имеющих минимальное значение функции А в своих центрах. Таким образом, мы уже имеем 100 параллелепипедов. Повторим второй шаг еще - 1 = 4 раза.

На третьем шаге упорядочим все полученные параллелепипеды в порядке убывания значения функции А в их центрах и выберем первый из них, который будет содержать наилучшее значения неизвестных параметров среди всех рассмотренных.

Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма эвристического численного метода

Рисунок 2 - Схема разработанного комплекса программ

Далее описан комплекс программ, разработанный и реализованный для проведения численных расчетов по предложенной модели, его схема представлена на рисунке 2. Реализация была проведена на языке С++ с применением объектно-ориентированного подхода. Рассмотрим основные блоки программного комплекса.

Блок ввода начальных данных отвечает за ввод начальных параметров нелинейной модели атмосферы. К таким параметрам относятся: высота верхней и нижней границы моделируемой области, максимально допустимое отклонение вычисленного значения плотности от ее эмпирического значения, шаг метода Рунге-Кутта, пути к файлам с данными эмпирических моделей.

Блок обработки и доступа к данным эмпирических моделей преобразует и интерполирует данные эмпирических моделей, инкапсулирует эти данные и алгоритмы их интерполяции. Предоставляет доступ с произвольным шагом только к тем эмпирическим данным, которые необходимы для проведения моделирования.

Блок определения оптимальных значений параметров модели содержит разработанный эвристический численный метод описанный выше.

Блок получения данных эмпирических моделей из файлов считывает из файлов данные моделей М818-Е-90 и 1Ш-2007. Считанные текстовые данные обрабатываются и преобразуются в числовой формат, затем они сохраняются в таблице. В дальнейшем конкретные значения получают из этой таблицы.

Блок численного решения системы дифференциальных уравнений содержит реализацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, которая описывает предложенную модель. На каждом шаге этого метода используются данные эмпирических моделей (молярная масса, температура, плотность массы). Данный блок позволяет моделировать атмосферу Земли, используя два способа с ростом высоты (снизу вверх) и с убыванием высоты (сверху вниз).

Блок формирования и вывода результатов расчетов. В этом блоке производится преобразование полученных результатов для дальнейшего анализа. Преобразование заключается в следующем: данные численного моделирования, дополненные необходимыми начальными данными и данными эмпирических моделей, организуются в удобочитаемой табличной форме.

Вторая глава посвящена исследованию областей Б и Е ионосферы Земли при помощи предложенной нелинейной модели.

В начале главы рассматриваются основные свойства областей Б и Е ионосферы Земли необходимые для проведения исследования, такие как: высота нижней и верхней границы рассматриваемой области, химический состав, температура и т.д.

Проводится моделирование распределения плотности по высоте в рассматриваемой области Б ионосферы. Определяются неизвестные параметры предложенной модели. Проводится сопоставление полученных результатов с эмпирическими данными и данными, полученными по стандартной модели.

Моделирование проводилось для ряда случаев с различными географическими координатами, датой и временем суток. Значения этих параметров для трех выбранных случаев приведены в таблице 1.

Случай № Дата Время (иТС), час. Широта Долгота

1 01.06.2000 12.0 55° 45°

2 01.01.2009 1.5 55° 45°

3 01.05.2001 1.5 80° 150°

Отметим, что к двум неизвестным параметрам предложенной модели для области Р ионосферы добавляется еще и третий - высота начала этой области. Высота этой области зависит от географических координат, даты и времени суток и, как известно, примерно равна 130-140 км.

При помощи разработанного комплекса программ была проведена большая серия численных расчетов для определения значений параметров уравнения. В таблице 2 приведены значения полученных параметров.

Таблица 2 - Значения параметров модели для выбранных случаев

X, ед. СГСЭ К, ед. СГСЭ Высота начала области Б ионосферы, км '

Случай 1 750 2.8-1016 124

Случай 2 540 2.8-1016 130

Случай 3 800 3.1-1016 140

Из таблицы 2 можно сделать вывод, что полученные значения константы К соответствуют оценке (5), и высота нижней границы рассматриваемой области Б ионосферы находится в согласии с имеющимися эмпирическими данными.

На рисунке 3 и в таблице 3 показано распределение плотности массы по высоте в области Б ионосферы для первого случая, полученное на основе предложенной нелинейной модели, в сравнении с данными стандартной модели атмосферы и данными эмпирической модели М818-Е-90.

случая 1

Высота, км Плотность по экспериментальным данным Плотность по предложенной нелинейной модели Плотность по модели стандартной атмосферы

124 1.154-Ю"11 1.150-Ю"11 1.128-Ю'11

130 6.653-10'12 6.613-Ю"12 6.431-Ю"12

145 2.476-10"12 2.476-1 о;12 2.329-Ю"12

160 1.220-10"12 1.225-Ю"12 1.122-Ю"12

175 6.936-10"13 6.971-Ю"13 6.255-Ю"13

190 4.301-10"13 4.318-Ю"13 3.812-Ю"13

205 2.824-Ю"13 2.830-Ю"13 2.465-Ю"13

220 1.930-Ю"13 1.930-Ю'13 1.662-Ю"13

235 1.358-10"13 1.357-Ю"13 1.156-Ю"13

250 9.781-10"14 9.761-Ю"14 8.238-Ю"13

265 7.174-Ю"14 7.155-Ю"14 5.986-Ю"14

280 5.343-Ю"14 5.326-Ю"14 4.419-Ю"14

295 4.030-Ю"14 4.017-Ю"14 3.306-Ю'14

310 3.077-Ю"14 3.063-Ю"14 2.502-Ю"14

325 2.369-Ю"14 2.359-Ю"14 1.913-Ю"14

340 1.840-Ю"14 1.833-Ю"14 1.476-10"14

355 1.440-Ю"14 1.435-Ю"14 1.148-Ю'14

370 1.135-Ю"14 1.131-Ю"14 8.990-Ю"15

385 9.004-10"15 8.974-Ю"15 7.087-Ю"15

400 7.182-Ю"15 7.160-Ю"15 5.619-Ю"15

450 3.497-Ю"15 3.490-Ю'15 2.684-Ю"15

500 1.776-Ю"15 1.773-Ю"15 1.338-Ю"15

550 9.304-Ю"16 9.292-Ю"16 6.886-Ю"16

600 4.990-Ю"16 4.987-Ю"16 3.632-Ю'16

650 2.730-Ю"16 2.730-Ю"16 1.955-Ю"16

700 1.520-Ю"16 1.520-Ю"16 1.071-Ю"16

750 8.608-Ю"17 8.616-Ю"17 5.979-Ю"17

800 4.965-Ю"17 4.972-Ю"17 3.402-10"17

850 2.924-Ю"17 2.929-Ю"17 1.978-Ю"17

900 1.704-Ю"17 1.768-Ю'17 1.180-Ю"17

950 1.095-Ю"17 1.098-Ю"17 7.253-Ю"18

1000 7.032-Ю"18 7.053-Ю'18 4.617-Ю"18

1000 900 — 800 — 700 600 — 500 400 — 300 200 100

Т 5

—I |

6

20 + 1д/э

~Г 7

+ экспериментальные данные

-расчетные данные

----стандартная атмосфера

Г

8

Рисунок 3 - Графики зависимости плотности в области Р ионосферы от высоты

для случая 1

Проводится моделирование распределения плотности по высоте в области Е ионосферы при помощи предложенной модели, осуществляется определение неизвестного параметра модели и приводится сравнение полученных результатов с эмпирическими данными.

Так как высота нижней границы рассматриваемой области Е ионосферы может быть определена исходя из распределения температуры в ней, то математическая модель, применяемая для описания распределения плотности в этой области, содержит два параметра. Параметр К уже был определен при моделировании области Б ионосферы. Таким образом, остается определить только один неизвестный параметр %.

При помощи разработанного программного комплекса были проведены серии расчетов, которые позволили определить неизвестный коэффициент пропорциональности % между плотностью заряда и плотностью массы, а также получить распределение плотности массы по высоте для рассматриваемой

области. Критерием выбора неизвестного параметра было наилучшее соответствие полученного распределения плотности эмпирическим данным.

В таблице 4 для каждого рассматриваемого случая приведены найденные значения параметра % и высота начала области Е ионосферы.

Таблица 4 - Значения параметра ^ для области Е ионосферы и высота ее начала

ед. СГСЭ Высота начала области Е ионосферы, км

Случай 1 18.3 89

Случай 2 88.9 99

Случай 3 29.5 92

Полученное распределение плотности для первого случая приведено на рисунке 4.

+ экспериментальные данные -расчетные данные

Рисунок 4 - Графики зависимости плотности в области Е ионосферы от высоты

для случая 1

В третьей главе проводится моделирование распределения плотности по высоте в тропосфере, мезосфере и стратосфере.

Рассматриваются свойства тропосферы, стратосферы и мезосферы, применяемые в процессе моделирования.

Тропосфера - это приземный слой атмосферы Земли, простирающийся до высоты примерно 16,3 км в тропиках, около 9 км в полярных широтах и около 11 км в умеренных широтах. Повсюду в этом слое температура убывает с высотой с вертикальным градиентом в среднем 6,5 градусов Цельсия на 1 км. Убывание температуры происходит вплоть до тропопаузы - пограничного слоя тропосферы и стратосферы, в котором градиент температуры обращается в нуль.

Состоит тропосфера из трех основных газов: азота (78%), кислорода (21%) и аргона (1%). Вплоть до высоты порядка 100 км эти газы находятся примерно в постоянном соотношении. Два основных газа: азот и аргон сравнительно инертны в радиационном и химическом отношениях.

Тропосфера содержит более 80 % всей массы атмосферного воздуха. В тропосфере происходят основные процессы преобразования энергии Солнца в кинетическую энергию атмосферных движений, в скрытое тепло водяного пара. Здесь протекают основные фазовые переходы влаги, формируются облака и осадки.

Над тропопаузой расположена стратосфера, верхняя граница которой находится на высоте около 50 км. В этом слое температура незначительно изменяется до высоты около 35 км. Вплоть до этой высоты осуществляются только очень слабые вертикальные движения и перемешивания, что является, в частности, важным для распределения в стратосфере малых газовых примесей. Выше 35 км температура заметно повышается до высоты около 50 км, где она принимает значение около 0 градусов по Цельсию. Температура остается постоянной до высоты порядка 55 км. Эта область постоянной температуры называется стратопаузой.

Одной из важнейших малых газовых примесей является озон, образующийся при соединении молекулы кислорода и атома кислорода. Большая его часть

находится именно в стратосфере с максимумом концентрации на высоте 20 - 26 км. На больших высотах содержание озона быстро убывает. Оно зависит от сезона, географических координат, переноса озона воздушными течениями и др. Озон заметно поглощает радиацию с длиной волны 9,6 мкм. Он может влиять и на температуру стратосферы.

Над стратопаузой располагается мезосфера протяженностью до высоты 80 -90 км. Верхняя граница этой области носит название мезопаузы. Она является переходным слоем между мезосферой, характеризующейся падением температуры, и термосферой, характеризующейся ростом температуры. Температура в мезосфере убывает с высотой от 260 - 280 К у ее основания до 170 - 200 К вблизи мезопаузы. В северном полушарии зимняя мезосфера в среднем на 20 - 40 К теплее летней. В высоких широтах летние температуры могут быть ниже зимних на 40 - 60 К или даже более. В этом слое химический состав в основном определяется турбулентным перемешиванием, поэтому он остается практически таким же, как и в нижележащих слоях, состав которых не значительно отличается от состава у поверхности Земли.

В мезосфере начинает возникать повышенная ионизация. Поэтому эта область уже относится к ионосфере и носит название О-слоя. Данный слой довольно изменчив в течение дня и сезона и сильно зависит от активности Солнца.

Для прямых исследований эта область атмосферы является довольно сложной. Воздух здесь слишком разрежен, чтобы поддерживать самолеты или аэростаты. На высоте 50 км плотность на три порядка меньше, чем над уровнем моря. Напротив, для движения искусственных спутников воздух слишком плотен на столь низкой для них орбите. Прямые исследования мезосферы проводятся в основном с помощью метеорологических ракет. В целом мезосфера изучена хуже других слоев.

Проводится моделирование тропосферы, стратосферы и мезосферы на основе предложенной модели атмосферы Земли. Для каждой рассматриваемой области определяется неизвестный параметр модели.

\

л

Таблица 5 - Высота верхней границы тропосферы, стратосферы и мезосферы в

выбранных случаях

Случай № Высота верхней границы, км

тропосфера стратосфера мезосфера

1 17 47 89

2 13 47 99

3 12 48 92

Использование предложенной нелинейной модели позволяет определить распределения плотности массы по высоте для трех рассматриваемых областей. Эта модель содержит два параметра К и х- Константа К была определена ранее. Поэтому, для каждой из исследуемых областей требуется определить только коэффициент пропорциональности % между плотностью заряда и плотностью массы.

Применяя разработанный программный комплекс, была проведена серия расчетов для каждой из трех рассматриваемых областей. В результате для них было определено значение неизвестного параметра х и получено искомое распределение плотности. В таблице 6 приведены значения параметра х Для тропосферы, стратосферы и мезосферы в трех выбранных случаях.

Таблица 6 - Значение параметра^ в тропосфере, стратосфере и мезосфере для

выбранных случаев

Случай № X, ед. СГСЭ

тропосфера стратосфера мезосфера

1 3,747-10"5 3,537-Ю"4 2,468-Ю"2

2 3,941-Ю'5 2,263-Ю"4 3,509-Ю"2

3 4,471-10"5 2,095-Ю"4 3,282-Ю"2

Четвертая глава посвящена моделированию атмосферы Земли в области высот от 1000 до 2000 км. В ней описано применение предложенной математической модели для получения распределения плотности по высоте в данной области.

Исследуются параметры рассматриваемой области, необходимые для проведения моделирования. К этим параметрам относятся: температура и концентрации химических элементов.

Сведения по температуре могут быть получены из эмпирической модели ионосферы 1М-2007, позволяющей определить ее значения до высоты 2000 км. По данным этой модели температура, начиная с 500 км, не меняется с ростом высоты, вплоть до 2000 км. В то же время, в зависимости от географических координат, даты и времени суток температура сильно меняется: ее значения могут различаться в полтора раза.

Теперь рассмотрим некоторые данные об ионном составе моделируемой области. Под действием космических лучей, ультрафиолетового и рентгеновского излучения Солнца, атмосферные газы ионизуются. На высоте около 1000 км отношение концентраций заряженных и нейтральных частиц близко к единице, с ростом высоты возрастает и ионизация.

Приведем данные по концентрациям ионов из модели ГО1-2007. На нижней границе рассматриваемой области основными ионами являются 0+, Н+, Не+ и "КГ+. На высоте 1000 км преобладают ионы кислорода, концентрация которых с ростом высоты убывает. Концентрация ионов водорода и гелия увеличивается с ростом высоты, а концентрация ионов азота составляет не более 10% и с ростом высоты убывает.

Теперь необходимо получить концентрации химических элементов, содержащихся в рассматриваемой области. В связи с тем, что надежных экспериментальных сведений о концентрациях химических элементов выше 1000 км нет, проведем их экстраполяцию. Учитывая, что температура в рассматриваемой области постоянна, предполагаем, что выполняется

»1 I

барометрическая формула. Следовательно, концентрация заряженных частиц изменяется по экспоненциальному закону.

На высоте 1 ООО км основными нейтральными компонентами являются атомы кислорода, водорода и гелия, с увеличением высоты быстро растет относительная концентрация легких газов. Поэтому при моделировании будем учитывать только эти три газа.

Проводятся численные расчеты распределения плотности в рассматриваемой области высот, основанные на нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка (11) с начальными условиями (12) для ряда различных случаев.

Как показали проведенные расчеты, область Б ионосферы может продолжаться и до высот существенно выше 1000 км. Поэтому, для коэффициента пропорциональности между плотностью массы и плотностью заряда х в рассматриваемой области высот от 1000 до 2000 км, выбираем значение ранее определенное для области Б. Так как, константа К не зависит от высоты, то заданы все необходимые параметры предложенной модели для исследуемой области.

1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

20 + 1 ёр

-расчетные данные

Рисунок 5 - Графики распределения плотности в области ионосферы на высотах

1000 - 2000 км для случая 1

На основе разработанного комплекса программ было проведено моделирование распределения плотности в интервале высот от 1000 до 2000 км. Результаты моделирования для случая 1 приведены на рисунке 5.

В заключении рассмотрены основные результаты, полученные в данной работе, перечислим их:

1. Предложена нелинейная математическая модель для описания атмосферы Земли, представляющая собой обобщение стандартной модели.

2. Разработан численный метод для определения неизвестных параметров предложенной модели.

3. При помощи предложенной модели проведено исследование областей Е иБ ионосферы с учетом данных спутниковых исследований и определены характеристики этих областей. Полученное для областей Е и Б ионосферы распределение плотности по высоте находится в согласии с экспериментальными данными.

4. На основе предложенной модели проведено моделирование распределения плотности по высоте для тропосферы, стратосферы и мезосферы, согласующееся с данными ракетных исследований.

5. Проведено моделирование распределения плотности в атмосфере Земли на высотах от 1000 до 2000 км с использованием предложенной модели.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Абакумов, Сергей Юрьевич

4.3 Выводы

В данной главе, при помощи предложенной модели, проведено моделирование изотермической области в интервале высот от 1000 до 2000 км для ряда различных случаев. Все необходимые параметры предложенной модели были получены ранее, но сложностью в проведении расчетов стало отсутствие необходимых эмпирических данных. Для их получения была применена экстраполяция по экспоненциальному закону.

Для проведения моделирования применялся разработанный комплекс программ. В результате моделирования было получено распределение плотности массы по высоте для рассматриваемого интервала высот. Также определена величина вертикальной составляющей напряженности электрического поля на различных высотах внутри рассматриваемой области. Все полученные результаты приведены на рисунках и в таблицах.

Результаты численного моделирования, приведенные в данной главе, также отражены в работах [42].

117

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Широко распространенная стандартная модель атмосферы Земли позволяет достаточно точно описать атмосферу до высоты около 150 км, выше нее наблюдаются существенные отклонения от эмпирических данных. В связи с этим, в диссертационной работе рассмотрено нелинейное обобщение модели стандартной атмосферы Земли, учитывающее влияние сильного электрического поля. В качестве модели электрического поля выбрана модель, основанная на нелинейной теории Янга-Миллса.

Предложенная модель атмосферы содержит ряд неизвестных параметров, для определения которых разработан эвристический численный метод поиска их оптимальных значений.

Для проведения моделирования атмосферы Земли в рамках предложенной модели, разработан и реализован комплекс компьютерных программ. В него входит: непосредственно сама нелинейная модель, эвристический численный метод, а также набор вспомогательных программных блоков, необходимых для проведения моделирования. Для удобства использования, разработанный комплекс программ имеет графический интерфейс пользователя. Все расчеты, приводимые в работе, выполнены при помощи разработанного комплекса программ.

Характеристики атмосферы Земли сильно зависят от географических координат, даты и времени суток. В связи с этим, моделирование было проведено для ряда случаев, имеющих различные значения упомянутых параметров. Для каждого случая было проведено моделирование тропосферы, стратосферы, мезосферы, области Е и Б ионосферы, а также области в интервале высот от 1000 до 2000 км.

В первую очередь, было проведено моделирование сильно ионизированной и наиболее протяженной области Р ионосферы. В результате моделирования было показано для каждого рассмотренного случая соответствие полученного распределения плотности эмпирическим данным. В то время как, распределение 1 плотности, полученной по модели стандартной атмосферы, показывает существенное отклонение от эмпирических данных.

Затем было получено распределение плотности массы для области Е ионосферы, мезосферы, стратосферы, тропосферы и области высот от 1000 до 2000 км. Полученные результаты также достаточно точно соответствуют эмпирическим данным.

Отметим, что согласие выполненных расчетов с эмпирическими данными говорит о применимости предложенной нелинейной модели для моделирования атмосферы Земли. Также полученные результаты говорят о возможности использования нелинейной теории Янга-Миллса для описания электрических процессов и явлений в атмосфере Земли.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абакумов, Сергей Юрьевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного электричества. - М.: КомКнига, 2007. 160 с.

2. Бекряев В.И. Молнии спрайты и джеты. Монография. - СПб.: Изд. РГГМУ, 2009. 96 с.

3. Кузнецов В.В. Атмосферное электрическое поле: факты, наблюдения, корреляции, модели. // Сборник трудов III международной конференции «Солнечно-земные связи и электромагнитные предвестники землетрясений». ИКИР, 2004. Т. I.e. 165-196.

4. Имянитов И.М. Измерение электростатических полей в верхних слоях земной атмосферы // Успехи физических наук, 1957. т. 63. № 1. с. 267-282.

5. Имянитов И.М., Шифрин К.С. Современное состояние исследований атмосферного электричества. // Успехи физических наук, 1962. с. 593-642.

6. Вавилов С.А., Колесников Е.К. Некоторые вопросы динамики сильно заряженных тел в космическом пространстве // Динамические процессы в газах и твердых телах и газах. Физическая механика, вып. 4, под ред. Б.В. Филиппова. - Ленинград: ЛГУ, 1980. с. 168-180.

7. Пушкин Н.М., Медников Б.А., Машков А.С., Лапшинова О.В. Измерение фоновых электростатических и переменных электрических полей на внешней поверхности модуля «Квант» орбитальной станции «Мир» // Космич. Исслед, 1994. Т. 32. № 3. с. 140-142.

8. Брагин Ю.А., Кочеев А.А., Кихтенко В.Н. и др. Электрическая структура стратосферы и мезосферы по данным ракетных исследований // Распространение радиоволн и физика ионосферы. - Новосибирск: Наука, 1981. с. 165-183.

9. Rakov V.A., Uman М.А. Lightning: Physics and Effects. - Cambridge: Cambridge University Press, 2003. p. 10.

10. Михайловский Ю.П. Об измерении электрических полей в атмосфере в области крайне низких частот // Материалы V Всероссийской научной

конференции (Муром, 26-28 июня 2012 г.) - Муром: Изд.- полиграфический центр МИ ВлГУ, 2012. с. 142-146.

11. Ulanowski, Z., Bailey, J., Lucas, P. W., Hough, J. H., and Hirst, E.: Alignment of atmospheric mineral dust due to electric field, Atmos. Chem. Phys., 7. 2007. p. 6161-6173.

12. Кузнецов B.B. Физика Земли. Учебник-монография. Глава 20. Атмосферное электричество [Электронный ресурс]. Режим доступа: URL: http://www.vvkuz.ru/books/ch_20.pdf

13. Рабинович А.С. О нелинейной электродинамике с уравнениями Янга-Миллса//Вестник РУДН. сер. Физика, 2005. № 13. с. 68-77.

14. Rabinowitch A.S. Yang-Mills Fields of Nonstationary Spherical Objects with Big Charges // Russian Journal of Mathematical Physics, 2008. Vol. 15. No. 3. p. 389-394.

15. Rabinowitch A.S. Nonlinear Physical Fields and Anomalous Phenomena. -New York: Nova Science Publishers, 2009.

16. Virtual Ionosphere, Thermosphere, Mesosphere Observatory (VITMO) MSIS-E-90 Atmosphere Model [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://omniweb.gsfc.nasa.gov/vitmo/msis_vitmo.html

17. Virtual Ionosphere, Thermosphere, Mesosphere Observatory (VITMO) International Reference Ionosphere - IRI-2007 [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://omniweb.gsfc.nasa.gov/vitmo/iri vitmo.html

18. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля. - 8-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 536 с.

19. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н., Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория: учебное пособие. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 736 с.

20. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля: Бозонные теории: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: КомКнига, 2005. 296 с.

21. Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 784 с.

22. Райдер JI. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1987. 512 с.

23. Вайнберг С. Квантовая теория поля. Т. 2. Современные приложения. Пер. с англ.; Под ред. В.Ч. Жуковского. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 528 с.

24. Садовский М.В. Лекции по квантовой теории поля. Часть I. Институт электрофизики УрО РАН. Екатеринбург, 2000. 206 с.

25. Богуш A.A. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий. Изд. 2-е, стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2003. 360 с.

26. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. 6-е изд., стер. -СПб.: Издательство «Лань», 2004. 528 с.

27. Алексеева Е.В., Кутненко O.A., Плясунов A.B. Численные метода оптимизации: учеб. Пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2008. 128 с.

28. Аоки М. Введение в методы оптимизации. Перев. с англ., главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука". - М.: 1977. 344 с.

29. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. 583 с.

30. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002. 824 с.

31. Гилл Ф., Мюррэй У. Численные методы условной оптимизации. - М.: Издательство "МИР", 1977. 297 с.

32. Гончаров В.А. Методы оптимизации: учебное пособие. - М.: Высшее образование, 2009. 191 с.

33. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации: Учеб. Пособие. - М.: Физматлит, 2005. 304 с.

34. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 384 с.

35. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967. 509 с.

36. Калиткин H.H. Численные методы: учебное пособие. - 2-е. изд., исправленное. - СПб.: БХВ - Петербург, 2011. 592 с.

37. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. -М.: издательство «Мир», 1969. 367 с.

38. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 352 с.

39. Шлее М. Qt 4.5. Профессиональное программирование на С++. -СПб.: БХВ-Петербург, 2010. 896 с.

40. Буч Гради, и др. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений, 3-е изд.: Пер. с англ. - М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2008. 720 с.

41. Каррано Ф.М., Причард Дж. Дж. Абстракция данных и решение задач на С++. Стены и зеркала. 3-е издание.: Пер с англ. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. 848 с.

42. С.Ю. Абакумов Нелинейная модель атмосферы Земли на высотах от 1000 до 2000 км // Вестник МГОУ. Сер. «Физика - Математика», 2012. №3. с. 63-67.

43. A.C. Рабинович, С. Ю. Абакумов. Нелинейная модель атмосферы Земли с учетом ракетных и спутниковых данных // Вестник РУДН. сер. Математика. Информатика. Физика, 2012. № 3. с. 129-137.

44. A.C. Рабинович, С.Ю. Абакумов Исследование нелинейной модели верхней ионосферы Земли с учетом данных космических аппаратов // Вестник МГОУ. Сер. «Физика - Математика», 2012. №3. с. 56-63.

45. A.C. Рабинович, С.Ю. Абакумов. Применение нелинейной теории электрического поля для описания ионосферы // в кн. A.C. Рабинович «Математические основы малоизученных аномальных физических явлений: Нелинейная электродинамика. Ядерная физика. Общая теория относительности. Космология. М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2013. с. 39-

46. A.C. Рабинович, С.Ю. Абакумов. Нелинейная модель ионосферы Земли // Сборник трудов XV Всероссийская научно-техническая конференция «Новые информационные технологии». М.: МГУПИ, 2012. с. 49-54.

47. A. S. Rabinowitch, S. Yu. Abakumov. Nonlinear Model of the Ionospheric Region F Based on Yang-Mills Theory // Научные труды Российской конференции, посвященной 100-летию со дня рождения проф. Я.П. Терлецкого. М.: РУДН, 2012. с. 30-33.

48. A.C. Рабинович, С.Ю. Абакумов. Исследование ионосферы на основе нелинейной модели электрического поля // «Актуальные проблемы приборостроения, информатики и социально-экономических наук». Сборник трудов научной конференции, посвященной 75-летию МГУПИ. М.: МГУПИ, 2011. с. 37-45.

49. A.C. Рабинович, С.Ю. Абакумов. Нелинейная модель области F ионосферы // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. М.: МАИ-ПРИНТ, 2011. с. 611-613.

50. A.C. Рабинович, С.Ю. Абакумов. Нелинейная модель верхней области ионосферы с учетом данных спутниковых исследований // «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики»: Сборник научных трудов по материалам XIV Международной научно-практической конференции. М.: МГУПИ, 2011. с. 101-106.

51. A. S. Rabinowitch, S. Yu. Abakumov A New Model of the Earth Atmosphere with Strong Electric Fields Described by Means of the Yang-Mills Theory // Теоретическая физика: материалы Международной конференции. М.: МГОУ, 2012. с. 94-103.

52. Ратклифф Дж.А. Введение в физику ионосферы и магнитосферы. -М.: Мир, 1975. 296 с.

53. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2006. 576 с.

/f24>

54. Чен Ф. Введение в физику плазмы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. 398 с.

55. Мишин Е.В., Ружин Ю.Я., Телегин В.А. Взаимодействие электронных потоков с ионосферной плазмой. - Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 264 с.

56. Ерухимов Л.М. Ионосфера Земли как космическая плазменная лаборатория // Соровский образовательный журнал, 1998. № 4. с. 71-77.

57. Кринберг И.А., Тащилин A.B. Ионосфера и плазмосфера. - М.: Наука, 1984. 178 с.

58. Брюнелли Б.Е., Намгаладзе A.A. Физика ионосферы. - М.: Наука, 1988. 528 с.

59. Седунов Ю.С. Атмосфера. Справочник. Справочные данные, модели. -Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 509с.

60. Матвеев Л.Т. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1965. 874 с.

61. Мааров М.Я., Колесниченко A.B. Введение в планетную аэрономию. -М.: Наука, 1987. 456 с.

62. Дымович Н.Д. Ионосфера и ее исследование. - М. - Л.: Издательство «Энергия», 1964. 40 с.

63. Альперт Я.Л. Распространение электромагнитных волн и ионосфера. -М.: изд-во «Наука», 1972. 563 с.

64. Харгривс Дж.К. Верхняя атмосфера и солнечно-земные связи. - Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 353 с.