Обобщение эйконального разложения амплитуды упругого процесса и описание пространственной структуры области рождения частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Солдатенко, Ольга Николаевна

• Солдатенко, Ольга Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Солдатенко, Ольга Николаевна

Введение

Глава I. Обобщение эйконального разложения на случай малых прицельных параметров и больших углов рассеяния

1.1 Классическое описание прицельного параметра.

1.2 Квантование компонент вектора максимального сближения di

1.3 Реализация алгебры 50(2.1) в пространстве перпендикулярного импульса

1.4 Простейшие модели профильной функции

1.5 Унитарность амплитуды упругого рассеяния.

1.6 Простейшая феноменологическая модель профильной функции согласованная с условием унитарности.

1.6.1 Полное поглощение.

1.6.2 Полное отражение

1.6.3 Комбинированная модель абсолютного поглощения и отражения.

1.6.4 Комбинированная модель с учетом "серости" диска . . 40 Выводы.

Глава II. Одночастичные состояния с определенным пространственным параметром вылета в формализме алгебры 50м(2.1)

2.1 Алгебра 50м(2.1).

2.2 Плоские волны на группе 50м(2.1).

2.3 Пространство Фока на группе 50Д2.1).

2.4 Сечения процессов с рождением частицы в состоянии из 50м(2.1)

Выводы.

Глава Ш. Связь между дифференциальным сечением по поперечному импульсу и функцией распределения по параметру вылета детектируемой частицы

3.1 Дифференциальное сечение по поперечному импульсу частицы С.

3.2 Дифференциальное распределение по параметру вылета Д вц.м. частиц А и В.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщение эйконального разложения амплитуды упругого процесса и описание пространственной структуры области рождения частиц»

Проблемы физики высоких энергий представляют собой важную часть современного естествознания и порождаются быстрым развитием экспериментальной базы. Осенью 2008 года предполагается запуск LHC (Большой адронный коллайдер) при энергии л/s ~ 14 Tev и позже ILC (международный линейный коллайдер).

Диссертация посвящена важным разделам этих проблем, связанных с исследованием энергетической зависимости сечений (упругих, неупругих и полных) при сверхвысоких энергиях, характеристик множественности рождения, а также с описанием пространственной структуры области рождения частиц.

Одним из основных методов изучения структуры и взаимодействия частиц высоких энергий является описание упругих процессов рассеяния ад-ронов на языке "эйкональной фазы" [1], [2]. Основой для понимания физики явлений в этой области энергий и передач является тот экспериментальный факт, что дифференциальное сечение имеет явно выраженный пик "вперед", т.е. da/dt ~ exp(R2t), где R2 ~ 10-т-17 (Gev//zc) Это означает, что характерные размеры пространственной области, где происходит взаимодействие имеют порядок R ~ 1 F. В то же время, длина волны Де-Бройля сталкивающихся адронов А ~ (ОАтт/рс) F при рс > 1 Gev становится малой по сравнению с размерами области взаимодействия. Поэтому можно ожидать, что в этой области передач и энергий могут быть эффективно использованы оптические методы, развитые в применении к проблемам ядерной физики

3].

Успешное применение эйконального подхода к упругим процессам основано на конструктивном использовании условия унитарности S-матрицы

4] - [6]. На рисунке (1) схематически изображено условие унитарности для упругого процесса.

Пунктирные вертикальные линии на рисунке означают "сечение" диаграммы, после чего промежуточные состояния соответствуют реальным ча

Рис. 1. Условие унитарности стицам на массовой поверхности. Соотношение, соответствующее диаграмме (рис.1) обладает одним замечательным свойством - оно диагонализиру-ется по относительному орбитальному моменту / сталкивающихся адронов и превращается в алгебраическое соотношение. После этого для амплитуды F(9) будем иметь:

F(q, в) = ^(2/ + 1 )ai(q)Pi(cose), (1)

1=0 где ai(q) - парциальная амплитуда, удовлетворяющая условию унитарности:

2)

Imal(q) = q\al(q)\2+l ^

Aq '

Решение этого уравнения дает выражение для ai{q): e2iSi(q) i aiiq) =

2 iq где 5[(q) - фаза рассеяния

Si(q) = 6i + -xi(q), xM) = 2Im 6i(q), связанная с коэффициентом неупругости r]i{q) соотношением: тц(д) = 0 < rji(q) < 1

3)

4)

5)

Границы области изменения rji(q) соответствуют абсолютно упругому рассеянию (r]t(q) = 1) и абсолютному поглощению (r)i(q) = 0). Случай rji(q) = 1 соответствует пренебрежению неупругими вкладами в мнимую часть амплитуды упругого процесса. Окончательно для ai(q) имеем: щет> - 1 a,(q) = "ИГ" (б)

Такое представление парциальной амплитуды щ(q) автоматически приводит к тому, что F(q,9) удовлетворяет условию унитарности. Учитывая, что упругое сечение оо

F(q,6)\2dQ = 4тг^(2/ + \)\щ{4)\2 (7) о а также соотношение унитарности (2) получим оптическую теорему: т F(q, 0 = 0) = -р- • atot,

4тг (8) atot = °ei{q) + сг inei(q) где

4-тг^ 1

9)

4 /=о

Это хорошо известная [7] квантово-механическая феноменология учета неупругих вкладов в амплитуду упругого процесса. Важным для нас является переход от представления (1) (9) к эйкональному представлению, т.е. переход от парциальной фазы 5i(q) к фазе 5(q, b), где b - прицельный параметр.

Эйкональная фаза x(Q> b) = 2ilm5(q, b) однозначно связана с неупругой функцией перекрытия Ginei{q, b):

Gineiiq, b) = i(l - e"W)) = q • {Ima^q, b) - q\aM, b)|2} (10)

Именно эта функция определяет пространственную структуру области столкновения. Она равна нулю в области энергий, меньших пороговой энергии открытия неупругих каналов. Изучению функции Ginei{q, b) посвящено много обзорных и оригинальных работ [8] - [21]. Одним из основных результатов является утверждение, что среднее число частиц, рожденных при прицельном параметре Ь, пропорционально неупругой функции перекрытия: n(q, b)) = const(q) • Ginel(q, b) (11)

Все вышеизложенное относительно эйконального представления основано на квазиклассическом приближении М ~ qb и асимптотическом соотношении:

Pi(cos9) ~ J0(bq±), q± = qsind, при в ~ 0, bq~> 1 (12)

При этом представление амплитуды (1) переходит в эйкональное представление [1]: оо

F(q, 9) = 2q2 J a(q, b)J0(bq±)bdb (13) о

Считается, что профильная функция a(q, b) удовлетворяет соотношению унитарности (2), и следовательно, имеет представление (3). Однако, проблема, возникающая при этом, заключается в том, что эйкональная амплитуда (13) с профильной функцией a(q, b) перестает удовлетворять уравнению унитарности. Причиной является то, что на физическом интервале значений поперечного импульса функции Бесселя /о (bk±) не образуют ортогональной системы, т.е. я

J J0 (М±) k (bik±) k±dk± ф б (b\ — b2) . о

Кроме того, как следует из (13), профильная функция a(q,b) определяется через амплитуду F(q, 9) обратным преобразованием оо a(q, = ^ J F(q, 9)J0(bq±)q±dq± (14) о

При этом интегрирование происходит как по физической области углов, так и по нефизической (—оо < cos9 < 1) [22]. Если предположить полиномиальную ограниченность F(q,9) при cos9 —> — сю, например, F(q,9) ~ taR{

Редже-поведение), то это автоматически приведет к сингулярности амплитуды a(q, b) при b —> 0, а именно: что противоречит условию унитарности. Эта сингулярность отмечалась многими авторами (например, в работах [23]-[27]), хотя последовательного решения этой проблемы в этих работах не проводится.

Эта проблема решается в рамках теоретико-группового обобщения прицельного параметра. В диссертации предложен формализм описания амплитуды упругого процесса в терминах профильной функции на группе 50(2.1), являющейся аналогом парциальной амплитуды щ(ц) [28]. При этом, формализм не предполагает перехода к квазиклассическому пределу больших прицельных параметров и малых углов рассеяния. Это позволяет корректно описать область малых прицельных параметров, определяющих в основном рассеяние в заднюю полусферу [29].

Другой важной проблемой физики высоких энергиях является изучение пространственной структуры области столкновения частиц (пучков). Например, в RHIC (коллайдер тяжелых релятивистских ионов, Брукхевен) при энергиях сталкивающихся ядер золота y/s ~ 200 Gev на 1 протон рождается порядка 1200 частиц [30]. Эволюция рождения этих частиц до асимптотически свободного состояния предположительно проходит от стадии кварк-глюонной плазмы (если реализуется механизм деконфайнемента) до стадии адронизации. Детектируемая частица, вылетающая из этой области, несет определенную информацию о физическом состоянии области ее рождения. С другой стороны, экспериментально измеряются лишь энергетические и угловые распределения этой частицы, и необходим определенный способ (метод) извлечения информации о пространственной структуре по данным эксперимента.

В диссертации, в рамках теоретико-группового подхода удается построить одно-частичное пространство Фока, в котором в роли динамической переменной, характеризующей частицу, выступает параметр "вылета". Он характеризует радиус рождения этой частицы, а функция распределения по этому параметру является естественной физической характеристикой пространственной структуры области столкновения [29], [31]-[34].

В диссертации получена точная связь между функцией распределения по параметру вылета и дифференциальным сечением по поперечному импульсу детектируемой частицы.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена обобщению эйконального разложения амплитуды упругого процесса в рамках группы 50(2.1).

Во второй главе построен одночастичный базис пространства Фока, соответствующий состоянию с определенным параметром вылета детектируемой частицы. Это позволяет получить сечения процесса, в котором одна из частиц рождается в состоянии с определенным параметром вылета.

В третьей главе получена связь углового распределения детектируемой частицы в упругих и квазиупругих процессах с распределением по параметру вылета.

В четвертой главе дано обобщение связи между сечениями в с.ц.м. и л.с.к. в секторах, соответствующих рассеянию частицы в переднюю и заднюю полусферы по отношению к направлению импульса падающей частицы. Эта глава носит характер приложения, позволяющего провести моделирование экспериментальных данных в с.ц.м. по соответствующим данным в л.с.к.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Солдатенко, Ольга Николаевна

Выводы

Таким образом нами получено единое аналитическое выражение связывающее дифференциальные сечения в процессах А+В—>C+D в лабораторной системе частицы В с сечением этого процесса в системе центра масс частиц А и В.

Основная трудность получения такого соотношения связана с наличием сигнатуры, определяющей рассеяние в переднюю и заднюю полусферы. Эта сигнатура не является Лоренц-инвариантным квантовым числом и учет этого факта связан с определенными трудностями.

При этом мы учитываем, что рассеяние в л.с.к. и рассеяние в с.ц.м. частиц А и В с экспериментальной точки зрения представляют собой два различных процесса. Экспериментальные ошибки в этих системах могут иметь принципиально различную природу и не иметь между собой связей, диктуемых преобразованиями Лоренца. По этой причине переход между системами для сечений мы называем моделированием дифференциального сечения в с.ц.м. по экспериментальным данным соответствующего сечения в л.с.к.

Заключение

Диссертация посвящена последовательному анализу структуры области взаимодействия сталкивающихся частиц при высоких энергиях. Рассмотрены и проанализированы следующие проблемы.

В первой главе получено последовательное обобщение эйконального разложения амплитуды упругого процесса на основе теоретико-группового определения прицельного параметра двух сталкивающихся частиц. После стандартной процедуры квантования удается построить волновую функцию квантово-механического состояния с определенным значением прицельного параметра. Эта система функций оказывается функциями конуса, полнота которых исследована ранее в работах Фока. Это позволяет получить разложение упругой амплитуды как функции на группе прицельного параметра 50^(2.1), и таким образом выразить амплитуду упругого процесса через профильную функцию аналог парциальной волны ai(p). Важной особенностью этого разложения является диагонализация условия унитарности. Другой особенностью такого разложения является проявление сигнатуры, соответствующей рассеянию в переднюю или заднюю полусферы. В рамках простейшей модели на профильную функцию (р) дан анализ зависимости отношения сечений crei/&tot от соотношений радиуса области полного отражения Rre[i(p) и дифракционного радиуса R(p). Показано, что отношения сечений <Jei/atot эффективно определяется параметрами r}inei и Rrefi- Изменение этих параметров позволяет получить всю область изменения значений иei/(Jtot- Показано также, что предел унитарного насыщения, когда aei!аш -»• 1 наступает при Rrefi(p) R(p) и r)inei = 0.

Во второй главе показано, что алгебра генераторов группы Пуанкаре содержит подалгебру, которая при реализации ее на поверхности q2 = const представляет собой алгебру 50(2.1). Генераторы этой алгебры d\ , d2 , /3 имеют точную физическую интерпретацию. Квантовые числа состояний, построенных на этой алгебре, определяют координаты эффективной области рождения частицы. В соответствии с этим, построен вектор пространства Фока, описывающий одночастичиое состояние с определенным параметром вылета Д. Получено разложение этого вектора по одночастичным состояниям с определенным импульсом, что позволяет вычислить полное сечение любого эксклюзивного процесса, в котором одна из частиц рождается с определенным параметром вылета р.

В третьей главе получено соотношение между дифференциальным сечением по импульсу детектируемой частицы С и функцией распределения по пространственному параметру вылета этой частицы из области взаимодействия. Эта функция описывает распределение вещества в мишени и позволяет понять природу ее составных частей на адронных масштабах. Эта связь существенно различна в системе центра масс частиц А и В, и лабораторной системе частицы В. В простой модели рассеяния на бесструктурной точечной мишени, в рамках одночастичного t- канального обмена показано, что область взаимодействия разделяется на зоны рождения и поглощения частиц С. Аналогичный результат получается при обработке экспериментальных данных дифференциальных сечений по угловому распределению (реакция 7 + р —> 7г° + р).

Четвертая глава носит характер приложения. В ней получено единое аналитическое выражение связывающее дифференциальные сечения в процессах А+В—>C+D в лабораторной системе частицы В с сечением этого процесса в системе центра масс частиц А и В.

Перспектива дальнейших исследований связана с анализом известных теоретических моделей амплитуд упругих и квазиупругих процессов и с последовательной обработкой экспериментальных данных конкретных реакций на широком интервале энергий сталкивающихся частиц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Солдатенко, Ольга Николаевна, 2008 год

1. RJ. Glauber, Lectures in Teoretical Physics, v.l, New York, 1959, p.345

2. F.Zachariasen, Theoretical models of diffraction scattering, Phys.Reports, v.2C, 1, 1971

3. V.Barone, E.Predazzi,"High-Energy Particle Diffraction", Phys.Rept.359 1 (2002)

4. О. V. Selyugin, J.R. Cudell, E. Predazzi, Analytic properties of different unitarization schemes, arXiv:0712.0621vl hep-ph] 4 Dec 2007

5. О. V. Selyugin, J.R. Cudell, E. Predazzi, Analytic properties of different unitarization schemes, arXiv:0712.062lv2 hep-ph] 7 Jan 2008

6. S.M. Troshin, Comment on the "extended eikonal"unitarization, arXiv:0712.3359vl hep-ph] 20 Dec 2007

7. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. -664с.

8. Т.Т. Chou, C.N. Yang, Phys. Lett. 128B (1983) 457;

9. Т.Т. Chou, C.-N. Yang, International Journal of Modern Physics A, 6 (1987) 1727.

10. T.T. Chou, C.N. Yang, Adv. Ser.Direct. High Energy Phys. 2 (1988) 510

11. T.T. Chou, C.N. Yang, Phys. Rev., 1973, v.D8, p.2063

12. T.P. Cheng, L.-F. Li, Phys. Rev. Lett 80 (1998) 2789

13. L. Van Hove, Phys. Lett. B118 (1982) 138.

14. L. Van Hove, Rev.Mod.Phys., 1964,v.36, p.655

15. L. Van Hove, Nuovo Cimento, 1963,v.28, p.798

16. Harsen P.H., Krisch A.D. Phys.Rev., 1977, v.D15, p.3287

17. Alcoch J.W. et al. Nucl.Phys, 1973, v.B67, p.445

18. Pamplin T. et al. Phys.Rev., 1974, v.DIO, p.2918

19. Cappela A., Chen M.S., Phys.Rev., 1973, v.D8, p.2097

20. Кайдалов А.Б., ЯФ, 1972, т. 16, c.389

21. Amaldi U., Proc.Int.Conf. on Elementary Particles, Aix-en-Provence, 1973

22. P.Carruthers, F.Zachariasen, Rev.Mod.Phys.55, N1, (1983), 283

23. Hohler, H.P.Jakob. Zs.Phys., 261, 371, 1973

24. T.Adachi, T.Kotani. Progr.Theor.Phys.(Kyoto), 35, 576, 1966

25. M.M. Islam. Nucl.Phys., B104,511, 1976

26. F.Elvekjaer, J.L. Petersen. Preprint, TH, 1971-CERN, 3 February 1975

27. O.N.Soldatenko, A.N.Vall, A.A.Vladimirov, Unitarization of elastic amplitude on SOM(2.1) group, arXiv:0805.2296vl hep-ph] 15 May 2008r.

28. Балл A.H., Солдатенко O.H., Владимиров А.А. Теоретико-групповое описание пространственной области столкновения частиц. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2008, т. 51, № 3, с. 92-96.

29. Sorensen P.R., Kaon and Lambda Production at Intermediate рт'. Insights into the Hadronization of the Bulk Partonic Matter Created in Au+Au Collisions at RHIC, University of California Los Angeles, arXiv: nucl-ex/0309003 v2 9 Sep 2003.

30. M.V.Polyakov, O.N.Soldatenko, A.N.Vail, A.A.Vladimirov Spatial image of hadrons from scattering I: 50^(2.1) algebra formalism, arXiv:0708.2857vl hep-ph] 21 aug. 2007r.

31. Валл А.Н., Солдатенко О.Н., Владимиров А.А. Пространственная структура области столкновения частиц и ее связь с угловым распределением детектируемой частицы // Известия высших учебных заведений. Физика. 2008, т. 54, № 6, с.33-37.

32. Фок В.А. ДАН СССР, 1943, 39 N7, c.279-283

33. Валл A.H., Макеев Н.А. Группа прицельного параметра и ее реализациям/Ядерная физика, 1978, Т.27, вып.2, С.558-564

34. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп Наука, 1965.

35. Виленкин Н.Я. Смородинский Я.А. ЖЭТФ, 1964, Т.46, вып.5.

36. Бейтман Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, Наука, 1973, т. 1

37. Bateman Н. and Erdelyi A. Higher Transcendental Functions 1953, vol.2 McGraw-Hill, New York

38. P.D.B.Collins, An Introduction to Regge Theory and High-Energy Physics //Cambridge University Press, 1977, Cambridge

39. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Гос. Изд-во физико-мат. литературы, 1963.

40. Hobson Е. W. //The theory of spherical and ellipsoidal harmonics, Cambridge at the University Press, 1931

41. V.A.Petrov, A.V.Prokudin, S.M.Troshin, N.E.Tyurin, J.Phys.G 27, 2225, 2001

42. J.B.Kogut and D.E.Soper,Phys.Rev.Dl 2901 (1970).

43. J.D. Bjorken, J.B. Kogut, D.E. Soper, Phys.Rev.D (1972)

44. Hofstadter R., McAllister R.W., Phys.Rev.98, 1955.-p.217-222.

45. Goeke K., Polyakov M.V., Vanderhaeghen M., Prog.Part. Nucl.Phys.47, 2001. -p.401 arXiv:hep-ph/0106012]

46. Diehl M., Phys.Rept.388, 2003. -p.41 arXiv:hep-ph/0307382]

47. M.Diehl, Eur.Phys.J.C25 223 (2002), hep ph/0205208, Erratum ibid.to appear.

48. Belitsky A.V., Radyushkin A.V., Phys.Rept.418, 2005. -p.l arXiv:hep-ph/0504030]

49. Burkardt M., Phys.Rev.D62, 071503, 2000, hep-ph/0005108

50. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский B.K., Квантовая теория углового момента, "Наука" 1975.

51. А.А.Андрианов, /Теоретическая и математическая физика-17,1973.-с.407-421

52. M.Huszar, Nuovo Gim., 31 А, 297, 1976.

53. Radyushkin A.V., Phys.Rev.D58, 114008, 1998

54. Diehl М, Feldmann Т., Jakob R., Kroll P. /Eur.Phys.J. C8, 409, 1999.

55. Балл A.H. Плоские волны на группе прицельного параметра 50(2.1) //Ядерная физика, 1978, Т.28, вып.4(10), С.1091-1097.

56. В.Г.Кадышевский, Р.М.Мир-Касимов, Н.Б.Скачков, ЭЧАЯ, 2,3, 1972.

57. И.С.Шапиро, ДАН СССР, 106, 647, 1956.

58. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в квантовую теорию полей, 4-е изд.-М.: Наука, 1984.

59. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. -Т.П. М.: Наука, 1988. -509с.

60. Е. Byckling , К. Kajantie Particle Kinematics, JOHN WILEY AND SONS , London New York-Sydney - Toronto , 1973

61. Gradshtein I. S. and Ryzhik I. M., Tables of Integrals, Series and Functions, Pergamon, New York, 1964.

62. Гольданский В.И., Никитин Ю.П., Розенталь И.Л. Кинематические методы в физике высоких энергий. М.: Наука, 1987 - 199с.