Обеспечение работоспособности транспортных средств путем уточнения метода расчета несущих конструкций при их проектировании и ремонте тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.22.10, кандидат технических наук Токарева, Марина Афанасьевна

• Токарева, Марина Афанасьевна
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Токарева, Марина Афанасьевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

I АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Состояние проблем надежности и металлоемкости при ремонте рамных конструкций автомобилей и других транспортных машин

1.2 Общие положения метода исследования сопротивления усталости сварных станин прессов

1.3 Обоснование выбора метода решения поставленной задачи

1.3.1 Обзор существующих численных методов прикладной теории упругости для расчета пластин

1.3.2 Основные соотношения метода Ритца

1. 3.2.1 Координатные функции

1.3.2.2 Алгоритм метода Ритца для ЭВМ

1.4 Постановка задач исследования

II МЕТОДИКА И АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ, СОСТОЯЩИХ

ИЗ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Методика расчета на прочность пространственных конструкций, состоящих из плоских элементов

2.1.1 Общие положения

2.1.2 Плоская задача

2.1.3 Определение перемещений

2.1.4 Пластины

2.1.5 Схемы к расчету напряжений

2.2 Алгоритмическая и программная реализация составления и

решения системы конечно-разностных уравнений

2.3 Заключение

III ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ ЭКСПЛУАТАЦИИ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА "ПЛОСК"

3.1 Учет особых условий задачи

3.2 Построение матрицы системы конечно-разностных

уравнений

3.2.1 Ввод данных по областям

3. 2. 2 Подготовка исходных данных для областей А

3. 2.3 Подготовка исходных данных для областей Б

3. 2.4 Ввод значений весовых коэффициентов для областей А

3.2.5 Ввод значений весовых коэффициентов для областей Б

3.2.6 Ввод дополнительных уравнений или замещение ранее сформированных

3.2.7 Ввод дополнительных членов в ранее сформированные уравнения

3. 3 Запись групп свободных членов

3.4 Решение системы

3.5 Подготовка исходных данных для печати перемещений

и напряжений

3.6 Подготовка исходных данных для счета реакций

3. 7 Пример составления исходных данных

3.7.1 Схема и кодировка областей

3.7.2 Точки совмещения областей

3.7.3 Корректировка сформированных уравнений

3.7.4 Внешние силы, действующие в конструкции

3.7.5 Подготовка исходных данных для решения

примера

3. 8 Поставка программного обеспечения,

подготовка к работе комплекса "ПЛОСК"

3.9 Порядок работы с комплексом "ПЛОСК"

3.10 Результаты счета

3.11 Заключение

IV ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА "ПЛОСК"

4.1 Расчет на прочность локальной модели рамы тракторного прицепа ОЗТП-9554

4.1.1 Нумерация и кодировка точек областей

4.1. 2 Совмещение областей

4.1. 3 Точки закрепления

4.1.4 Определение свободных членов

4.1.5 Ввод дополнительных неизвестных

в сформированные уравнения

4.1.6 Уравнения для сложных совмещений

4.1.7 Оценка результатов расчета

4.2 Расчет на прочность верхней поперечины листоштамповочного пресса

4.3 Заключение

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обеспечение работоспособности транспортных средств путем уточнения метода расчета несущих конструкций при их проектировании и ремонте»

ВВЕДЕНИЕ

Развитие и становление транспортной инфраструктуры России, формирование парка подвижного состава обусловили необходимость разработки научной стратегии системы поддержания его работоспособности в условиях постиндустриального общества. Это требует решения комплекса научных и технических задач, в частности, создания методических основ разработки, оценки, прогнозирования с применением высоких информационных технологий при восстановлении работоспособности транспортных средств, а также разработки методов их использования и реализации, в том числе создания встроенных подсистем проектирования в производстве и ремонте технических средств.

Работоспособность несущих систем, как базовых деталей транспортных машин, определяет безопасность их использования, долговечность, потребление трудовых и материальных ресурсов, сокращение длительности пребывания в ремонте и другие технико-экономические показатели. Эти вопросы в настоящее время являются недостаточно изученными.

При ремонте пространственных несущих металлоконструкций различного функционального назначения необходимо учитывать состояние конструкции на момент ремонта, а также возможность замены ее элементов с учетом вариации таких параметров как геометрические формы и размеры, свойства материала. При возможном изменении этих параметров конструкция, подвергшаяся ремонту, должна обладать достаточной, как правило регламентируемой, безотказностью и долговечностью при требуемых показателях материалоемкости без многократного повторения различных видов испытаний доработанных или

модернизированных вариантов. Таким образом, возникает задача уточнения методики расчета на прочность такой конструкции с возможностью варьирования указанных параметров.

Перспективным направлением повышения надежности несущих конструкций транспортных средств, является автоматизация их расчета с применением методов теории упругости и строительной механики машин и сооружений, позволяющая на стадии проектирования выбирать рациональные по критериям прочности и технологичности конструкции, что значительно сокращает сроки их разработки и доводки.

Работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедр "Автомобильный транспорт" (тема 01860056217 "Совершенствование организации и разработка технических процессов эксплуатации, ремонта и производства автомобилей") и "Информационные системы в экономике" (тема 01980008143 "Автоматизация расчета на прочность пространственных конструкций, состоящих из плоских элементов") Оренбургского государственного университета.

В диссертационной работе поставлена цель обеспечить работоспособность транспортных средств путем уточнения метода расчета элементов несущих конструкций при их проектировании и ремонте.

Поставленная цель определяет следующие основные задачи диссертационной работы:

- исследовать факторы, определяющие работоспособность элементов несущих конструкций транспортных средств в эксплуатации и установить основные пути обеспечения надежности при ремонте и модернизации;

- разработать метод, позволяющий оперативно оценить статические нагрузки, что позволяет выбрать из множества конструктив-

ных вариантов несущих систем приемлемый конструктивно-технологический вариант, удовлетворяющий требованиям прочности и материалоемкости;

- разработать методику расчета на прочность, позволяющую учитывать произвольную конфигурацию плоского элемента;

- разработать алгоритм и комплекс программ для автоматизированного построения систем линейных алгебраических уравнений общего вида и решения этих систем в упакованном виде с контрольными точками для расчета на статическую прочность объемных конструкций, которые состоят из плоских элементов произвольной формы;

- исследовать эффективность применения уточненного метода и автоматизации расчета по предлагаемым алгоритмам для обеспечения надежности при производстве и ремонте пространственных систем, в том числе несущих конструкций транспортных средств.

Методика исследования - комплексная, сочетающая современные исследования с привлечением методов теории упругости, численных методов анализа, методов программной оптимизации.

Научная новизна результатов заключается в следующем:

- предложена уточненная методика расчета на прочность, учитывающая геометрическую конфигурацию плоского элемента;

- разработан алгоритм автоматизации составления системы конечно-разностных уравнений по предлагаемой методике;

- реализована упаковка матрицы системы с учетом оптимизации памяти и возможность прерывать решение после контрольной точки.

Практическая ценность результатов работы состоит в разработке алгоритмов и комплекса программ, реализующих методику расчета, которая учитывает различные виды геометрической конфигурации плоского элемента. При этом возможно решение больших систем за

значительно меньшее время по сравнению с известными методиками (приблизительно в 3-4 раза) за счет использования алгоритма упаковки с учетом оптимизации памяти.

Полученные результаты адекватны экспериментальным данным, полученным другими исследователями.

Результаты работы реализованы во внедрении программного комплекса "Плоек" в ОАО "ОЗТП-Сармат" (Орский завод тракторных прицепов) позволило сократить сроки НИОКР по созданию новых конструкций несущих систем, продолжительность доводочных испытаний в 1,5-2 раза, снизить трудоемкость и энергоемкость испытаний, материалоемкость изделий.

По разработанному программному комплексу произведен расчет более ста станин прессов в объединении "Гидропресс", что дало возможность снизить затраты металла и устранить необходимость экспериментальных механических разрушений станин прессов, а также в институте "ОренбургПромстройНИИпроект" для автоматизированного расчета на прочность строительных конструкций различного функционального назначения.

Программный комплекс используется в учебном процессе для решения студентами задач по курсу "Сопротивление материалов" в Оренбургском государственном университете и его филиалах.

Подтвержденный экономический эффект от внедрения программного комплекса "Плоек" в объединении "Гидропресс" составляет 105,4 млн.руб. на январь 1997 г., в институте "ОренбургПромстройНИИпроект" - 80 млн.рублей по курсу апреля 1997 г., в ОАО "ОЗТП-Сармат" - 316 млн. по курсу декабря 1997 г.

Основные результаты диссертационной работы обсуждались на III международной технической конференции "Концепции развития и

высокие технологии производства и ремонта транспортных средств в условиях постиндустриальной экономики" (г. Оренбург, ОГУ, март 1997 г.); на II международной конференции "Методы и средства управления технологическими процессами" (г. Саранск, Мордовский ордена Дружбы народов государственный университет им. Н. П. Огарева, декабрь 1997 г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Прочность и разрушение материалов и конструкций" (г.Орск Оренбургской обл., июнь 1998 г.).

По материалам диссертационной работы и результатам исследований опубликованы 8 печатных работ.

Диссертационная работа состоит состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 142 страницах, включая 41 рисунок, 29 таблиц, а также библиографического списка использованной литературы из 122 наименований и трех приложений.

I АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

В технологических процессах, связанных с производством или ремонтом пространственных конструкций различного функционального назначения, наиболее актуальными являются вопросы прогнозирования их статической прочности и усталостной долговечности, а также металлоемкости. Достаточно точную оценку прочности и долговечности можно получить по результатам испытаний натурных конструкций в условиях моделирования схемы эксплуатационного нагружения.

Однако имеется целая группа деталей (станины, рамы, корпуса, картеры и др.), для которых стоимость, габариты, ограниченные серии изготовления или сложность создания нагружающих устройств затрудняют проведения натурных испытаний. При этом требуется изыскание других способов получения информации, необходимой для прогнозирования эксплуатационно-технологических показателей таких конструкций.

1.1 Состояние проблем надежности и металлоемкости при ремонте рамных конструкций автомобилей и других транспортных машин

Сформулированный в работе /12/ тезис о необходимости широкого использования наукоемких и информационных технологий в ремонте транспортных средств в условиях постиндустриальной экономики требует проведения анализа и классификации таких технологий с целью последующего эффективного отбора и реализации программы их прогрессивного развития. Приведенная на рисунке 1 классификация технологий /12/ позволяет вести их планомерный отбор и адаптацию для

Рисунок 1 - Классификация постиндустриальных технологий ремонта.

совершенствования производственного процесса ремонта по критериям качества, послеремонтной долговечности, экологической чистоты. Под адаптацией понимается совокупность НИР и ОКР, которые необходимо выполнить для подготовки эффективного внедрения новой технологии. Решаемые в настоящей работе задачи нашли свое отражение в автоматизированной системе технологической подготовки процесса ремонта в качестве встроенной подсистемы проектирования, выделенной на рисунке 1.

Предъявляемые к надежности транспортных средств в эксплуатации требования предусматривают обеспечение определенного уровня долговечности их несущих систем, что объясняется важностью выполняемых ими функций.

Рама является базовой конструкцией, обеспечивающей взаимное расположение ряда узлов и агрегатов и выполнение машиной транспортных функций. От свойств рамы зависят такие важные характеристики машины, как плавность хода, устойчивость, управляемость и вибронагруженность /87/. Разрушение рамы полностью приводит машину к отказу в работе и необходимости в проведении трудоемких и дорогостоящих ремонтных работ, связанных с полной или частичной разборкой машины. Поэтому рама должна иметь долговечность, равную ресурсу транспортного средства до капитального ремонта или списания, но вместе с тем не иметь излишнего запаса прочности, сказывающегося на металлоемкости.

Решению рассматриваемых научно-технических проблем посвящены работы российских и зарубежных исследователей: Бондаренко В.А., Боровских В.Е., Гасснера Е., Галлагера Р., Гусева A.C., Демьянуш-ко И.В., Дмитриченко С.С., Закса M.Н., Когаева В.П., Миркитанова В.И., Почтенного Е.К., Серенсена C.B., Щурина К.В. и других.

Среди машин транспортного назначения наиболее широким диапазоном режимов эксплуатации характеризуются автомобили, тракторы и их прицепной состав. Рамы этих машин часто разрушаются задолго до истечения срока их службы и обладают значительно меньшей долговечностью, чем другие агрегаты, не являющиеся базовыми.

Практически все режимы, а в особенности движение по грунтовым дорогам и вне дорог, создают в элементах машин циклические нагрузки, приводящие к накоплению усталостных повреждений, являющихся основной причиной отказов.

Значительная доля усталостных повреждений автомобилей приходится на их несущие системы. Результаты обследования около 400 грузовых автомобилей ГАЗ, ЗИЛ и МАЗ, поступивших в капитальный ремонт, показали, что не менее 80% автомобилей имели трещины и повреждения рам, при этом 64-93% повреждений носили усталостный характер /52/. Для несущих систем полупрцепов ОдАЗ эта цифра выше - 90% /19/.

Появление усталостных трещин в элементах и узлах несущих систем приводит к существенному увеличению их нагруженности. Например, после разрушения только одной заклепки напряжения в опасном сечении поперечины возрастают на 120% /91/.

Дальнейшее развитие усталостного повреждения можно описать следующими стадиями /20/: разрушение одного элемента без нарушения работоспособности несущей системы; частичное нарушение работоспособности несущей системы и связанных с ней агрегатов; полное разрушение несущей системы. Однако еще до полного разрушения несущей системы наличие усталостных трещин в узлах может привести к чрезмерному снижению ее угловой жесткости и далее - к потере устойчивости транспортного средства в экстремальных условиях экс-

плуатации /17/.

Недостаточная долговечность приводит к большому объему восстановительных работ по раме при капитальном ремонте автомобилей /24, 54/. Кроме того, обеспечить межремонтный ресурс восстановленной рамы, близкий к ее ресурсу по усталостной прочности в до-ремонтном периоде, оказывается чрезвычайно сложным.

Анализ надежности сельскохозяйственных машин транспортного назначения дает сходную картину. Здесь наиболее характерными из отказов являются усталостные трещины в соединениях лонжеронов и поперечин, инициируемые преимущественно поверхностными дефектами сварки, деформации и трещины лонжеронов и поперечин, дышла, бортов и рам поворотного круга.

Важным резервом повышения работоспособности конструкций рам является применение рациональных видов сварных соединений, обеспечивающих достаточную долговечность, высокие показатели технологичности и низкую материалоемкость. Эти качества могут быть получены путем различных конструктивных решений, окончательный выбор которых должен быть сделан с учетом.факторов производства и ремонта несущих систем /89/.

Наряду с низкой надежностью несущие системы большегрузных тракторных прицепов имеют металлоемкость на 20-30% выше, чем у зарубежных аналогов /88/, что в современных условиях рынка при обострении конкуренции среди производителей транспортных машин и постоянного повышения цен на металл и топливо является недопустимым.

Регулирование жесткости рам достигается различными конструктивными решениями /7/: вставкой усилителей в лонжероны, применением закрытых лонжеронов и поперечин и увеличением их числа, вы-

бором оптимальных жесткостей соединений лонжеронов и поперечин (узлов). Основные принципы рационального конструирования узлов рам включают в себя следующие основные положения /89/:

Рисунок 2 - Конструктивные варианты узлов рам.

- необходимость рационального распределения материала с целью выравнивания напряжений в лонжеронах, поперечинах и соединительных деталях;

- недопущение резких изменений жесткости по длине элементов и в их соединениях;

- узлы должны обеспечивать высокую жесткость рамы при изгибе, а при кручении конструкция узлов должна минимально препятствовать депланации концевых сечений;

- соединительные и усилительные элементы должны крепиться в зонах минимальных напряжений сечений лонжеронов и поперечин.

Основные конструктивные варианты узлов рам прицепов /89/ приведены на рисунке 2.

Подбор профилей для изготовления лонжеронов и поперечин производится на основании проектного расчета рам, учитывающего два вида нагружения: изгиб лонжеронов в вертикальной и горизонтальной плоскостях и кручение лонжеронов и поперечин при действии косо-симметрических нагрузок. Расчет элементов рамы на изгиб и кручение производится известными методами строительной механики.

Если заводские детали автомобиля почти не имеют напряжений, то и после ремонта в них не должно быть пиков напряженности. Но это возможно только в том случае, если вид и способ соединения при ремонте выбраны таким образом, что вновь возможен силовой поток, соответствующий первоначальному. Путем продуманно расположенных сварных соединений можно предотвратить опасность местного перенапряжения /25/.

Материалы, применяемые в конструкциях рам, должны обладать определенными свойствами: высокими характеристиками прочности и сопротивления усталости, хорошей штампуемостью, свариваемостью.

Снижение металлоемкости и повышение долговечности рам требует применения улучшенных низколегированных сталей с пределами текучести бт=550-800 МПа для лонжеронов и бх=400-500 МПа для поперечин /29/.

Существующая технология восстановления рамных несущих систем разделкой и заваркой трещин или применением различного вида накладок, вставок и усилителей не обеспечивает требуемой долговечности после ремонта и стабильности качества ремонта /4,24/. Основными недостатками существующих конструкций ремонтных деталей является неадекватность нагрузкам их геометрических форм - решающих факторов при передаче усилий с одного элемента на другой, а существующих способов ремонта - значительное повышение концентрации напряжений, изменение структуры материала и появление остаточных напряжений. Кроме того, применение накладок и вставок снижает жесткость и разупрочняет несущие конструкции /76/.

Таким образом, устранение каждого из вышеперечисленных недостатков является самостоятельной задачей, решаемой в настоящее время экспериментально на стадии доводки конструкции сравнением либо характеристик выносливости различных конструктивных вариантов, либо значений долговечности, найденных по результатам стендовых испытаний.

1.2 Общие положения метода исследования сопротивления усталости сварных станин прессов

Отказы сварных станин прессов обусловлены процессом образования и развития усталостных трещин, которые распространяются в опасных зонах, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание

напряжений и исходных локальных повреждений.

Метод исследования сопротивления усталости сварных станин на стадии отработки конструкции /72/ предусматривает оценку напряженного состояния станин путем тензометрирования геометрических моделей; определение сопротивления усталости опасных локальных зон станины путем испытания локальных моделей; определение срока службы станины с учетом статистического характера процесса усталости в числах нагружений, соответствующих повреждению усталостными трещинами наиболее опасных зон; предварительный расчет для выбора приемлемого конструктивно-технологического варианта сварной станины по результатам испытаний геометрических и локальных моделей; уточненный расчет срока службы станины по результатам тензометрирования и ультразвуковой дефектоскопии опасных зон при типовых приемо-сдаточных испытаниях машин.

Целью тензометрирования моделей является количественная оценка напряжений в опасных в смысле усталости зонах для выбора приемлемого варианта конструкции станины. Геометрическая модель должна быть изготовлена в соответствии с чертежами станины в меньшем масштабе из материала станины и подвергнута той же термической обработке, что и станина. Нагружение геометрической модели должно осуществляться на специальном стенде по схеме нагружения станины с воспроизведением всех действующих нагрузок и учетом масштаба подобия при выборе сил и моментов. Число точек регисра-ции деформаций и напряжений должно быть достаточным для воспроизведения эпюр напряжений в опасных сечениях станин.

Целью испытания локальных моделей является оценка в вероятностном плане /74/ сопротивления усталости наиболее опасных локальных зон сварной станины. Локальные модели должны иметь форму

вырезки из натурной конструкции и изготавливаться в натуральном масштабе из материала опасной зоны с полным воспроизведением технологии изготовления станины.

Предварительный расчет выполняется для определения зависимостей вероятности неразрушения станин от числа циклов при максимальных эксплуатационных напряжениях с целью выбора приемлемого технологического решения и базируется на следующих положениях: напряженное состояние геометрической модели эквивалентно напряженному состоянию станины; сопротивление усталости локальных моделей эквивалентно сопротивлению опасных в смысле усталости зон станины. Базовые положения проверялись путем сравнения результатов тензометрирования натурных конструкции и ее моделей, а также контрольными усталостными испытаниями геометрических моделей и локальных моделей их опасных зон. Проверка показала достаточную точность принятых базовых положений /72/.

При необходимости повышение долговечности может быть достигнуто за счет снижения как напряженности, так и исходной степени повреждения опасных зон. Поиск вариантов с пониженной напряженностью ведется на геометрических моделях, а с уменьшенной исходной степенью повреждения - на локальных. Для анализа и выбора конструктивно-технологического варианта станины используются суммарные графики зависимостей вероятности неразрушения от числа нагружений для исследованных вариантов решений.

Наряду с этим оцениваются другие технико-экономические характеристики анализируемых вариантов: жесткость, технологичность, стоимость и т.п. Приемлемый вариант выбирается с учетом всех значимых технико-экономических характеристик анализируемых вариантов.

При изготовлении станины опытного образца машины опасные зо-

ны должны подвергаться контролю с целью оценки исходной степени повреждения. Испытания опытного образца машины должны предусматривать тензометрирование опасных зон. По результатам оценок степени повреждения и напряжений в этих зонах определяется зависимость вероятности неразрушения от числа нагружений для принятого конструктивно-технологического варианта станины. Исходя из полученной зависимости, принимается решение о дальнейшей доработке или о серийном изготовлении станин /72/.

1.3 Обоснование выбора метода решения поставленной задачи

Поскольку объектом исследования являются пространственные системы, состоящие из плоских элементов, возникает вопрос о выборе методов теории упругости для решения поставленной задачи.

1.3.1 Обзор существующих численных методов прикладной теории упругости для расчета пластин

По исследованию пластин методами теории упругости имеются обширные литературные данные. Однако быстрые темпы технического прогресса обусловливают необходимость решения более сложных задач.

В последнее время изменение конструкций машин и сооружений идет по двум путям: снижения их веса за счет создания равнопрочных элементов и замены во многих случаях сборных конструкций монолитными. Так, в авиа- и ракетостроении конструкторы стремятся уменьшить относительную толщину крыльев и рулевых поверхностей, выполняя их в виде пластин переменной жесткости.

Точные решения задач об изгибе пластин переменной толщины получены только для частных случаев. Наиболее полно исследован изгиб дисков. При толщине диска, зависящей от радиуса h=h(r), и осесимметричной или циклически симметричной нагрузке дифференциальное уравнение равновесия диска есть уравнение в обыкновенных производных. Оно выведено Пихлером /114/ и в несколько иной форме - А.И.Лурье /55/. При некоторых законах изменения толщины и жесткости это уравнение удается точно проинтегрировать в элементарных или специальных функциях. Так, в работе /114/ это сделано для жесткости D=D0ra. Ольсон решил задачу для экспоненциального закона изменения жесткости /111/, а Бишоп дал решение для диска конического профиля /96/. Задача об изгибе дисков особенно широко рассмотрена в работе /47/, где для законов изменения жесткости выведены формулы, включающие многие параметры. В этой же работе исследована задача о симметричном изгибе диска линейно-переменной толщины, приведены таблицы, облегчающие расчет. Ряд частных задач решен также Конуэем /98-100/.

Отметим, что для прямоугольных пластин переменной толщины точных решений получено значительно меньше, чем для круглых пластин. Задача решена в рядах методом Леви для случаев изменения жесткости только по одному направлению. Для линейного закона это сделал Ольсон /112/, а для экспоненциального закона - Конуэй /101/ и Менсфилд /109/.

Секториальная пластина переменной толщины, жесткость которой изменяется вдоль радиуса по квадратичному закону, рассмотрена в работе А.Я.Аронсона /5/, где дано решение в рядах для случая обобщенного свободного опирания на радиальных краях.

Метод расчета прямоугольных свободно опертых по всем сторо-

нам пластин с жесткостью D=D(x,у) предложен в работе /109/. В этой работе дифференциальное уравнение равновесия преобразовано в интегральное уравнение Фредгольма II рода, решение которого сведено к бесконечной системе неоднородных линейных алгебраических уравнений. Элементами матрицы и правой части системы являются интегралы по площади пластины от функций жесткости, ее вторых производных и поперечной распределенной нагрузки, умноженных на тригонометрические функции. Только при весьма редких частных формах функций D(x, у) и Р(х,у) такие интегралы можно представить в виде замкнутых формул, удобных для вычислений. Эти интегралы, как правило, приходится определять приближенно. Недостаток метода - необходимость введения в расчет вторых производных от жесткости, а также необходимо отметить, что данный метод дает решение лишь для пластин, свободно опертых по контуру.

Точное решение задачи о свободных колебаниях пластин известно только для прямоугольной пластины со свободно опертыми противоположными краями при любых условиях (свободный край, свободное опирание, жесткое закрепление) на двух других краях /6,82/ и для дисков. В общем случае, когда жесткость - функция двух координат и отсутствует свободное опирание на противоположных сторонах, сложность разрешающих уравнений и граничных условий вынуждает применять приближенные методы.

Одним из широко используемых методов решения краевых задач является метод сеток. По этому методу дифференциальное уравнение приводят к системе алгебраических уравнений, которую получают при замене частных производных по всем независимым переменным конечно-разностными формулами. Точность решения обычно возрастает с уменьшением шага сетки. Метод сеток применительно к изгибу плас-

тин наиболее полно развит в монографии П.М.Варвака. Имеется ряд работ, в которых методом сеток рассчитаны прямоугольные пластины с линейным изменением толщины в одном направлении /13, 23,44/. Косоугольные пластины рассмотрены В. С. Гуменюком /22/. Формулы, необходимые для решения задачи об изгибе секториальных пластин, выведены в работе /56/.

Однако несмотря на простоту метода сеток и возможность приложения его к пластинам с произвольной жесткостью D(x, у) при любых условиях закрепления и нагрузке, фактически в таких задачах его используют сравнительно редко. Это вызвано следующим /86/.

В качестве исходных данных требуется вводить в расчет не только жесткость, но и пять типов производных от нее, которые при табличном задании функции D вычисляются приближенно, что уменьшает точность решения. Так как дифференциальное уравнение равновесия имеет переменные коэффициенты и шаг сетки должен быть меньше, чем при D=const, то значительно увеличивается количество подлежащих составлению и решению алгебраических уравнений. Матрица системы получается плохо обусловленной, большой по объему, но имеет мало отличных от нуля элементов. Это требует разработки специальных программ решения системы. Программа составления системы также усложняется формулами, вытекающими из краевых условий. В последнее время трудности, связанные с программированием в значительной мере преодолены.

Удобную для расчета пластин со свободными и жестко закрепленными частями контура форму метода сеток предложил Фанг /102/. Основываясь на данных работы /117/, он вывел систему двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно двух функций напряжения, значения которых на свободном

краю пластины легко определить по контурной нагрузке. Такая формулировка граничных условий на свободном краю значительно проще, чем по Кирхгофу, и позволяет применить для решения задачи метод релаксации. Однако расчет этим методом все же трудоемкий.

В середине 30-х годов появился новый разностный метод решения краевых задач для уравнений в частных производных - метод прямых. Его особенность состоит в том, что конечными разностями заменяют частные производные только по одному направлению. При этом получают систему дифференциальных уравнений в обыкновенных производных, общее решение которых можно найти для некоторых частных случаев функции D(x,у). Основы метода прямых заложены в работах Л.В.Канторовича /39,40,42/ и М.Г.Слободянского /80,81/. Для уравнений Лапласа, Пуассона и уравнения теплопроводности Фурье данный метод развит в работе /83/. Применительно к некоторым задачам теории упругости метод прямых изложен в монографии /16/, где приведены уравнения для прямоугольных и секториальных пластин и показаны способы их решения; метод обобщен для решения пространственной задачи теории упругости.

Основные преимущества метода прямых перед методом сеток: повышение точности решения, уменьшение количества уравнений, возможность представить результаты в аналитической форме. Этим методом решен ряд задач об изгибе пластин с толщиной или жесткостью, линейно изменяющимися в одном направлении /30,70,71/. Получить такое решение системы дифференциальных уравнений методом прямых можно только при изменении толщины по простым законам. В общем случае этого сделать не удается, поэтому для отыскания решения необходимо использовать один из численных методов интегрирования. Если значения жесткости заданы в табличной форме, возникает ис-

точник дополнительной погрешности - неточность значений производных от жесткости, которые приходится определять приближенно. Недостатком метода прямых является необходимость составления и решения системы алгебраических уравнений для удовлетворения краевым условиям на противоположных концах прямых при любых способах закрепления пластины. Когда одна из сторон пластины свободна, эти уравнения получаются сложными.

Приведенная краткая характеристика конечно-разностных методов показывает, что применение их для расчета платин, которые имеют переменную жесткость и свободные края, возможно, хотя и связано с преодолением ряда трудностей.

Для решения задач об изгибе и колебаниях консольных пластин в работе /115/ предложено использовать вариационный принцип Рейс-снера /116/. В отличие от метода Ритца, когда моменты вычисляют после того, как определен прогиб, при пользовании принципом Рейс-снера одновременно отыскивают прогиб и все моменты, представляемые, так же как и прогиб, в виде конечных сумм произведений неопределенных параметров на заданные функции. Координатные функции моментов выбирают так, чтобы они были равны нулю на свободных сторонах пластины. Расчетные формулы и машинный алгоритм метода Рейсснера сложнее, чем метода Ритца.

Метод З.В.Власова использован для вывода дифференциального уравнения изгиба прямоугольной пластины с жесткостью, изменяющейся в одном направлении по экспоненциальному закону /69/. Так как в этом случае прогиб представляется в виде произведения искомой функции от одного аргумента на одну заданную функцию от другого аргумента, точность решения зависит от выбора заданной функции; при изменяющейся в двух направлениях жесткости такое уравнение

получить нельзя.

Для расчета пластин постоянной толщины с опертыми краями широко применяют метод Бубнова-Галеркина. При переменной толщине расчет этим методом значительно усложняется. Основным недостатком метода является необходимость подчинения координатных функций всем граничным условиям, в том числе условиям на свободных сторонах пластины. Последнее обстоятельство препятствует использованию на практике метода наименьших квадратов.

Уместно отметить еще метод коллокаций, который состоит в следующем. Прогиб пластины представляется в виде конечного ряда заданных функций, умноженных на параметры. Для вычисления параметров строится система алгебраических уравнений из условия, что уравнение равновесия и граничные условия удовлетворяются в ряде точек пластины. Метод коллокаций дает хорошие результаты, если заданные функции удовлетворяют уравнению равновесия или граничным условиям. В общем случае подобрать такие функции сложно.

Применение численных методов математического анализа, связанных с операциями над дискретными величинами, к объектам с непрерывной структурой связано с соответствующей идеализацией исходного объекта. Метод конечных разностей, дискретный по своей структуре, лишен ряда преимуществ, присущих другим дискретным методам, так как его применение к сложным по конфигурации областям связано с индивидуальным подходом к каждой из них.

В этом отношении значительно большими возможностями обладает метод конечных элементов. В основу этого метода положено расчленение рассматриваемой области на отдельные элементы простой геометрической конфигурации, причем достаточно широкие возможности открываются уже при введении в расчет элементов прямоугольной и

треугольной формы. Сочленение элементов осуществляется в узлах, в которых полностью удовлетворяются условия равновесия и неразрывности перемещений /20/. Разрезание рассматриваемой области приводит к кажущемуся нарушению условий неразрывности перемещений на участках между узлами, в значительной степени компенсируемому предположением о линейном законе изменения напряжений в любом сечении элементарного элемента. Это обусловливает наложение на деформации элемента сильно ограничивающих их связей, которые, с одной стороны, имеют тенденцию улучшить условия соблюдения неразрывности деформации, а с другой, - не вызывает концентрации напряжений в узловых точках.

Отсюда следует, что членение системы на элементы заданной конфигурации отнюдь не связано с получением отдельных частей, на которые разрезается конструкция. Фактически конечные элементы представляют собой упругие элементы особого типа, на деформации которых наложены связи, заставляющие их изменяться по определенной форме, так чтобы по возможности сохранилась деформация расчетной модели. Повысить точность расчета можно за счет увеличения в расчетной модели числа конечных элементов, что приводит к точному удовлетворению условий неразрывности перемещений в большем числе точек.

Большое распространение в инженерной практике получает суждение о точности приближенного метода путем оценки его сходимости по мере увеличения числа вкладываемых в рассматриваемую область конечных элементов. Если по мере увеличения числа узловых точек решение стремится к определенным результатам, то это в определенной мере служит гарантией возможности достижения нужной точности.

Метод Ритца впервые был применен в решении задачи о колеба-

ниях квадратной пластины со свободными краями и широко развит в трудах /51,53,61,75/. В работах /104,120,122/ получены значения частоты колебаний для прямоугольных пластин постоянной толщины с различными комбинациями условий закрепления. Процедура расчета таких пластин облегчается наличием готовых таблиц интегралов от произведений балочных координатных функций и высокой скоростью сходимости собственных чисел.

Иначе обстоит дело с непрямоугольными пластинами. Так, при исследовании колебаний косоугольных пластин /93/ из-за плохой сходимости собственных чисел было вычислено всего по две частоты и формы, а в работе /92/ получены две симметричные и антисимметричные формы колебаний треугольной пластины с жестко закрепленным основанием. Для консольной трапециевидной пластины в работе /97/ приводится только основной тон колебаний, вычисленный по методу Ритца. Высшие частоты и узловые линии получены экспериментальным путем.

Метод Ритца имеет простую схему расчета и позволяет исследовать при различных условиях закрепления пластины, жесткость которых изменяется по произвольному закону. Основным препятствием, затрудняющим получение данных о частоте и форме колебаний пластин сложных конфигураций в плане или об их изгибе, была большая трудоемкость расчетов по этому методу. Однако при вычислении на ЭВМ выявлены существенные преимущества метода.

При расчете пластин по методу Ритца прогиб пластины представляют в виде конечной суммы произведений параметров на заданные (координатные) функции. Для определения параметров на основе начала Лагранжа составляют неоднородную систему линейных алгебраических уравнений. Элементы матрицы этой системы представляют со-

бой интегралы по площади пластины от жесткости, умноженной на квадратичные комбинации координатных функций и их производных. В формулу для элемента матрицы не входят производные от жесткости, что значительно упрощает матрицу; она получается положительно определенной и хорошо обусловленной. Процесс вычисления элементов матрицы можно автоматизировать и сделать независимым от вида координатных функций. Программа для ЭВМ не связана с краевыми условиями и может быть использована для расчета пластин с различными условиями закрепления, которые вполне определяются системой координатных функций /85/. Для решения многих важных для практики задач достаточно, чтобы координатные функции удовлетворяли только геометрическим граничным условиям, записываемым относительно функции и ее первой производной по нормали к контуру пластины. Это позволяет просто рассчитывать пластины, имеющие свободные участки края. Все указанное обосновывает разработку машинного алгоритма метода Ритца и применение его для решения задач об изгибе и колебаниях пластин.

1.3.2 Основные соотношения метода Ритца

Рассматривая изгиб и колебания пластин переменной толщины, исходим из обычных допущений технической теории тонких упругих пластин в условиях малых деформаций. Полагаем, что материал пластины изотропный и подчиняется общему закону Гука; наибольшая толщина пластины значительно меньше ее размеров в плане, а прогиб ^ - меньше толщины. Принимаем гипотезу о неизменяемости нормального элемента и предположение о том, что на площадках, параллельных срединной плоскости пластины, нормальными напряжениями можно пре-

небречь. Полагаем также, что толщина пластины есть функция, симметричная относительно срединной плоскости, а распределенная поперечная нагрузка р(х,у) перпендикулярна к ней.

При указанных предположениях потенциальная энергия деформированной пластины

1

V = - ¡¡д[(АЮг-а-У)1(У,у)]йз, 2

(1.1)

Ей3

где Б - изгибная жесткость,

Б = - .

12-(1-т;2)

Потенциал внешней поперечной нагрузки

и = //р^гйэ .,

а кинетическая энергия

1 >2

Т =--//1ш2(1з.

2 ё

(1.2)

(1.3)

Для расчета пластин, имеющих в плане форму прямоугольника (рисунок 3), удобно использовать декартовы координаты, в которых операторы А^ и определяются соотношениями:

32№

ддо = — + —

Эх2 Эу2

у) = 2

г 3^ ■ Э2¥

Эх2 Эу2

3^2 ЗхЭу,

(1.4)

толщина Ь. = П(х,у), элемент площади срединной плоскости йз=йхс1у. В полярных координатах

Э2 ¥ 1 = - + ~

Эг2 г

Зэд Эг

1

+ -

-.2

д2т Эг2

( 1

V г

Эг

1

+ -

Э2№ Э02

Э2¥ Э02

Заключение диссертации по теме «Эксплуатация автомобильного транспорта», Токарева, Марина Афанасьевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе концепции развития высоких технологий в условиях постиндустриальной экономики разработан метод, реализующий часть концепции, связанную с развитием информационных технологий производства и ремонта транспортных средств.

2. Разработан метод, позволяющий оперативно оценить статические нагрузки, что позволяет выбрать из множества конструктивных вариантов узлов несущих систем приемлемый конструктивно-технологический вариант, удовлетворяющий требованиям прочности и материалоемкости.

3. В результате аналитического обзора методов решения задач о расчете реакций и напряжений обосновано преимущество использования конечно-разностной схемы, полученной из вариационного принципа Ритца.

4. Разработана методика расчета на прочность, основанная на положениях вариационного принципа Ритца, учитывающая различные виды граничных точек и предоставляющая возможность полнее характеризовать особенности конструкции.

Оценка точности результатов расчета на прочность по разработанной методике, основанная на сравнении с данными испытаний, показала, что результаты расчета на прочность по разработанной методике хорошо согласуются с экспериментом и позволяют с высокой точностью получить информацию о напряженно-деформированном состоянии несущих конструкций транспортных средств.

5. По предложенной методике разработан алгоритм и комплекс программ "Плоек", который позволяет автоматизировать составление системы линейных алгебраических уравнений, полученной из конечноразностной схемы принципа Ритца, и решить эту систему в упакованном виде с контрольными точками, получая на выходе значения напряжений, перемещений, реакций; представлено полное описание программного комплекса и подробные инструкции по эксплуатации.

6. Автоматизированный расчет на прочность пространственных конструкций различного функционального назначения, состоящих из плоских элементов позволяет уменьшить объем испытаний на статическую прочность, и, кроме того, оценить величину предела выносливости при динамических испытаниях при любом коэффициенте асимметрии цикла.

4.3 Заключение

1. Оценка точности результатов расчета, выполненная на решении ряда контрольных задач, а также на сравнении с данными испытаний, позволяет сделать вывод, что результаты расчета на прочность по предложенной методике и с применением описанного программного комплекса "ПЛОСК" достаточно точны и хорошо согласуются с экспериментом.

2. По результатам автоматизированного расчета на прочность пространственных конструкций различного функционального назначения, состоящих из плоских элементов, представляется возможным оперативно оценить статические нагрузки, что позволяет уменьшить объем испытаний, и, кроме того, оценить величину предела выносливости при динамических испытаниях согласно эмпирически выведенным зависимостям, связывающим предел выносливости для симметричного цикла и предел прочности для различных материалов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Токарева, Марина Афанасьевна, 1998 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Автоматизация расчета на прочность пространственных конструкций, состоящих из плоских элементов: Отчет о НИР (заключ.) / Оренбургский государственный университет (ОГУ); Руководитель: К.В.Щурин.- N ГР 01980008143, ИНВ. N 02980005181,- М.,1998,- 503 е.: ил, - Отв. исполн. М.А.Токарева.

2. Андреев А.Г., Лысенко Б.М. Расчет на прочность лопасти низконапорной поворотнолопастной гидротурбины. -М.:Энергомашиностроение, 1961.

3. Андреев А. Г., Филиппов А. П. Изгиб консольной секторной пластины переменной жесткости // Сб. тр. Лаборатории гидравлических машин АН УССР,- Киев: Изд-во АН УССР, 1961.

4. Андреев В.А. Повышение долговечности рам большегрузных тракторных прицепов при их производстве и ремонте: Автор, дис. ... канд. тех. наук, - М.: ГОСНИТИ, 1988,- 16 с.

5. Аронсон А. Я. Расчет секториальной плиты переменной толщины // Гидротурбостроение. -М. :Машгиз, 1955.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний.-М.:"Наука", 1965.

7. Баловнев Г.Г. Сварные рамные конструкции сельскохозяйственных транспортных машин.- М.: ЦНИИ ТЭИтракторсельхозмаш, 1974,- 64 с.

8. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости к решению инженерных задач.- М.: "Высш. школа", 1974.

9. Белоцерковский И. Д. Колебания прямоугольных плит переменной жесткости // Теория пластин о оболочек. - Киев: Изд-во

АН УССР, 1962.

10. Беркман Б. А. Об учете искривленности лопасти поворотно-

лопастной гидротурбины при расчете ее на прочность.-М.:Энергомашиностроение, 1962.

И. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз,1961.

12. Бондаренко В.А. Концепция и технологические основы ремонта транспортных средств в условиях постиндустриальной экономики. Дисс. в виде научн. доклада ...докт. тех. наук.- Оренбург, 1996.- 52 с.

13. Варвак П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок, ч.I,II.-Киев:Изд-во АН УССР, 1952.

14. Варвак П. М. Консольные пластины переменной толщины// Труды Киевск. автодор. ин-та.-Киев: Госстройиздат, 1960.

15. Васильев А. А. Напряжения в лопасти поворотнолопастной гидротурбины // Проблемы прочности в машиностроении.-М.: Изд-во АН СССР, 1959.

16. Винокуров Л. П. Прямые методы решения пространственной и контактной задачи для массивов и фундаментов.- Харьков: ХГУ,1956.

17. Волохов Г.М. Разработка методики сравнительного анализа конструкций узлов рам большегрузных автомобилей по критериям массы и усталостной долговечности: Автор, дис. ... канд. тех. наук,-М., 1989,- 17 с.

18. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем,- М.: Физматгиз, 1963.

19. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ.- М.:Мир, 1984.

20. Горин Э.А. Опыт повышения долговечности и снижения металлоемкости прицепов // Автомобильная промышленность. 1994.-N12.- С. 5-7.

21. Григоренко Я. М. Про антисиметричну деформац1ю кругло1 пластинки зм1нно1 товщини.-Киев:Изд-во АН УССР, 1962.

22. Гуменюк В. С. Расчет косоугольных пластинок переменной толщины методом сеток//Сб. тр. Ин-та строит, мех. Ан УССР.-Киев: йзд-во АН УССР, 1954.

23. Гуменюк В. С. Розрахунок прямокутних пластин зм1нно1 товщини методом с1ток,- Киев: Прикладна механ1ка, 1955.

24. Гурман В.С. Ремонт автомобильных рам.- М.: Транспорт, 1967.- 100 с.

25. М.Даннер, Ф.Мауер. Ремонт кузова после аварии. Современные материалы, оборудование, технология. Перевод с нем. - М: "За рулем"-"Евротакс", 1991.- 280 с.

26. Дейнеко К. С., Леонов М. Я. Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня// ПММ.-М., 1955.- Вып. 6.

27. Дугинджи, Гариб. Чисто изгибный флаттер стреловидного крыла в потоке жидкости высокой плотности, текущей с малыми ско-ростями//Ракетная техника.-М., 1965,- Вып. 6.

28. Дымарский Я. С. и др. Справочник программиста, 1.-Ленинград: Судпромгиз, 1963.

29. Емельянов Н.Я. Исследование прочности несущих систем седельных тягочей и самосвалов. Дисс. ... канд. техн.наук.-М. ,1979.-181 с.

30. Зверев К. Д. Об изгибе тонкой плиты переменной толщины// Тр. Моск. энерг. ин-та,- М.: Госэнергоиздат, 1955.

31. Каландия А. И. Об одной смешанной задаче изгиба упругой пластинки//ПММ.- М., 1952.-Вып. 3.

32. Каландия А. И. Об одной смешанной задаче изгиба упругой пластинки//ПММ.- М., 1952.-Вып. 5.

33. Кантор Б. Я. Згин пластини зм1нно товщини, яка маэ форму кругового прямокутника 1 закр1плена по меншому дуговому краю.-Киев: Прикладна механ1ка, 1960.

34. Кантор Б. Я. Программирование задач об изгибе пластин для машины "Стрела"//Сб. тр. Лаборатории гидравлических машин АН УССР.- Киев.: Изд-во АН УССР, 1961.

35. Кантор Б. Я. Исследование изгиба пластин переменной толщины: Дисс. ... канд. техн. наук: ХИСИ, 1963.

36. Кантор Б. Я. Расчет лопастей высоконапорных поворотноло-пастных гидротурбин на машине "Стрела".- М.: Энергомашиностроение, 1963.

37. Кантор Б. Я., Марченко Г. А. Динамический и статический расчет пластин на быстродействующей цифровой машине,- В кн.: сб. тр. Лаборатории гидравлических машин АН УССР, 12.- Киев: Изд-во АН УССР, 1962.

38. Кантор Б. Я., Филиппов А. П. Расчет изгиба секторной пластины переменной толщины, защемленной по части дугового края, на быстродействующей счетной машине.- Изв. АН СССР, ОТН, 1962, 1.

39. Канторович Л. В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла// Изв. АН СССР, VII серияМ. ,1933.

40. Канторович Л. В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных.- ДАН СССР, 1934.

41. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.- М.: Физматгиз, 1962.

42. Канторович Л. В., Фрумкин П. И. О применении одного метода приближенного решения уравнений в частных производных к за-

даче о кручении призматических стержней// Тр. Ленингр. ин-та пром. стр-ва.- Ленинград: ОНТИ, 1937.

43. Качанов Л. М. Расчет прочности лопасти водяной турбины// Вопросы прочности лопасти водяной турбины.- Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1954.

44. Киреева С. В. Розрахунок прямокутних, зал1зобетонних плит зм1нно1 товщини.- Киев: Прикладна механ1ка, 1958.

45. Ковалев Н. Н. и др. Исследование давлений на лопасти рабочего колеса Нарвской ГЭС.- М.: Энергомашиностроение, 1959.

46. Ковалев Н. Н. Гидротурбины (конструкция и вопросы проэк-тирования).- М.:Машгиз, 1962.

47. Коваленко А. Д. Пластины и оболочки в роторах турбома-шин.- Киев: Изд-во АН УССР, 1955.

48. Когаев В. П. Определение частот и форм собственных колебаний пластинок переменной толщины (типа лопаток): Дисс. канд. техн. наук - М., 1952.

49. Когаев В. П. Теоретическое определение частот о форм собственных колебаний лопастей поворотнолопастных гидротурбин// Колебания в турбомашинах.- М.: Изд-во АН СССР, 1956.

50. Крылов Н.М.Избранные труды.-Киев:Изд-во АН УССР, 1961.

51. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.-М.: Гостехиздат, 1951.

52. Кушуль М. Я. Об изгибе консольных пластин, очерченных кусочногладкими кривыми// Изв. АН ССР.- М.,1958,- Вып. 10.

53. Лейбензон Л. С. Собрание трудов. Т 1.- М.: Изд-во АН СССР, 1959.

54. Л.М.Лельчук, Г.Н. Сархошьян, М.М.Кобрин и др. Испытания и ремонт автомобильных рам. - М.: Транспорт, 1974.- 224 с.

55. Лурье А. И. К задаче о равновесии плиты переменной толщины// Тр. Ленингр. индустр. ин-та. Раздел физ.-матем. наук,- Ленинград: ОНТИ, 1936.

56. Лысенко Б. М., Кантор Б. Я. Расчет на изгиб круглых, кольцевых и секторных пластин переменной жесткости методом се-ток//Сб. тр. Лаборатории гидравлических машин АН УССР.-Киев: Изд-во АН УССР, 1961.

57. Манджавидзе Г. Ф. Об одном сингулярном интегральном уравнении с разрывным коэффициентами и его применении в теории упругости// Изв. АН СССР,- М.:1951.- Вып 15.

58. Меерович И. И. Колебания консольной прямоугольной плоской пластинки//Динамика авиадвигателей.- М.: Оборонгиз, 1952.

59. Миткевич В. М. Применение метода Ритца к задаче об изгибе консольной секторной плиты// Сб. тр. Лаборатории гидравлических машин АН УССР.- Киев: Иэд-во АН УССР, 1961.

60. Михлин С.Г. По поводу метода Ритца. - М.: Изд-во АН СССР,

1956.

61. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Гостехиздат, 1957.

62. Михлин С.Г. Замечания о координатных функциях// Изв. вузов.- М.: Изд-во АН СССР, 1958.- Вып. 5.

63. Михлин С.Г. Об устойчивости метода Ритца// Изв. АН СССР. -М.: i960. - Вып. 5.

64. Михлин С.Г. Некоторые условия устойчивости метода Ритца// Вестник ЛГУ, - Ленинград, 1961.- Вып. 13.

65. Михлин С. Г. О рациональном выборе координатных функций в методе Ритца// Вычисл. матем. физ, - М. ,1962.- Вып. 2.

66. Мовчан A.A. Устойчивость лопатки, движущейся в газе//

ПММ.- М. , 1957.- Вып. 10.

67. Мовчан А. А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе// ПММ. - М., 1956. - Вып. 2.

68. Палечек Е.М. Напряжения и деформации в деталях и узлах машин.- М.: Машгиз, 1961.

69. Палечек Е. М. Изгиб пластин и призматических оболочек переменной толщины//Изв. вузов. -М.: Машиностроение, 1959.-Вып. 9.

70. Петров Ю. П. Расчет на изгиб пластин с линейным изменением толщины дискретным методом//Труды Харьковск. авиац. ин-та. -Харьков: Изд-во ХГУ, 1961.

71. Петров Ю. П. Расчет на изгиб косозащемленной консольной пластины переменной толщины дискретным методом// Теория пластин и оболочек. - Киев: Изд-во АН УССР, 1962.

72. Почтенный Е.К. Прогнозирование долговечности и диагностика усталости деталей машин,- Мн.: Наука и техника, 1983.- 246 с., ил.

73. Почтенный Е.К., Журавель А.И., Щурин К.В. и др. Вероятностная оценка долговечности рам транспортных средств. Оперативно-информационные материалы.- Минск, ИНДМАШ АН БССР, 1985.-39 е., ил.

74. Почтенный Е.К. и др. Надежность крупных сварных деталей,- Вестник машиностроения, 1972, N11, с. 13-17.

75. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике. - М.:Гостехиздат, 1948.

76. Рассоха В.И. Расчетно-экспериментальная методика стендовых испытаний на усталость рамных металлоконструкций транспортных средств: Дис. ... канд. тех. наук, - Оренбург: ОГУ, 1996.-165 с.

77. Семенов Н. С. Применение вариационного метода проф. Канторовича к решению задач об изгибе тонких прямоугольных пластин// ПММ,- М., 1959.- Вып. 4.

78. Свинарев Г. А. Влияние характера потока в рабочей камере на кавитационные и энергетические показатели осевой гидротурби-ны//Сб. тр. Лаборатории гидравлических машин АН УССР.- Киев: Изд-во АН УССР, 1958,- Вып. 6.

79. Смирнова Т. Н. Полиноминальный прораб на электронную вычислительную машину "Стрела"//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -М., 1961.- Вып. 1.

80. Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости// ПММ, новая серия.- М., 1939.-Вып. 3.

81. Слободянский М. Г. Пространственные задачи теории упругости для призматических тел//Уч. зап. МГУ.-М.:Механика, 1940.-Вып.9.

82. Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле,- М.: Физматгиз, 1959.

83. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам//Тр. матем. ин-та АН СССР.-М., 1949.

84. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М. : Физматгиз, 1960.

85. Филиппов А.П. и др. Численные методы в прикладной теории упругости.- Киев: "Наукова думка", 1968.

86. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для втузов - 9-е изд., перераб.- М.: Наука, 1986.

87. Школьник Д.И. Моделирование и расчет рам грузовых автомобилей: Автор, дис. ... канд. техн. наук. М., 1989,- 17 с.

88. Щурин К.В. Долговечность сварных рам большегрузных полуприцепов: Дис. ... канд. тех. наук.- Минск: ИНДМАШ, 1985.-180 с.

89. Щурин К.В. Прогнозирование и повышение усталостной долговечности несущих систем сельскохозяйственных транспортных средств: Дис. ...докт. тех. наук. - Оренбург: ОрПтИ, 1994,- 423 с.

90. Щурин К.В., Чепасов В.И., Токарева М.А. Автоматизированный расчет на прочность пространственных конструкций, состоящих из плоских элементов: Учебное пособие.- Оренбург: ОГУ, 1998. - 240 с.

91. Эйдельман A.JI. Исследование нагруженности и сопротивляемости разрушению автомобильных рам в'стендовых условиях: Автор, дис. ... канд. техн. наук. - М.: МАДИ, 1975,- 27 с.

92. Andersen В. W. Vibration of triangular cantlever plates by the Ritz method.- J. Appl. Mech., 1954.

93. Barton M. V. Vibration of rectangular and skew cantilever plates. - J. Appl. Mech., 1951,.

94. Beck M. Die Knicklast des einseitig eingespannten tangential gedruckten Stabes.- Zeitschr. angew. Math. Phys., 1962.

95. Bisplinghoff R. L. Aeroelasticity.- Appl. Mech. Rev.,

1968.

96. Bisshopp К. E. Lateral bending of symmetrically loaded conical discs.- Quart. Appl. Mech., 1944.

97. Cadambe V., Kumaraswamy M. P., Kaul R. K. Transverse vibration of thin cantilever piates of trapezoidal and triangular plan form.- J. Inst. Engnrs, 1965.

98. Conway H. D. The bending of symmetrically loaded circular plates of variable thickness.- J. Appl. Mech., 1948.

99. Conway H. D. Axially symmetrical plates with linearly

varying thickness.- J. Appl. Mech., 1951.

100. Conway H. D. Closed-form solution for plates of variable thicknese.- J. Appl. Mech., 1953.

101. Conway H. D. Levy-type solution for rectangular plate.-J. Appl. Mech., 1958.

102. Fung Y. C. Bending of thin elastic plates of varible thickness. - J. Aeronaut. Sci., 1953.

103. Gustafson P. N., Stokey W. F., Zorowski C. F. An Experimental study of natural vibrations of cantilevered triangular plates.- J. Aeronaut. Sci., 1953., May.

104. Iguchi S. Die Eigenwertsproblems fur die elastishe rechteckige Platte. - Memoirs of the Facultu of Engineering Hokkaido Imperial University, 1938.

105. Iguchi S. Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vi-ereitig freien rechteckigen Piatte. - Ing.-Arch., 1953.

106. Kacner A. Bending of semi-infinite plate strips, with discontinuous boundary conditions. - Arch. Mech. Stos., 1960.

107. Kurata M. Bending of simply supported rectangular plates wuth clamped portions along arbitrary sections of the edges.-Ing. - Arch., 1960.

108. Mansfield E. H. On the analysis of elastic plates of variable thickness. - Quart. J. Mech., 1962.

109. Masurkiewicz Z. The problem of deflection surface of rectangular isotropic and non-homogenous plate. - Bull. Acad. Po-lon. Sci., Ser. Sci. techn., 1960.

110. Olesiak Z. Some cases of infinite isotropic plates with mixed doundary conditions. - Arch. Mech. Stos., 1960.

111. Olsson G. R. Biegung kreisformiger Platten von radial

veränderlicher Dicke. - Ing. - Arch., 1937.

112. Olsson G. R. Biegung der rechteckplatte bei liner, veränderlicher Biegungssteifigkeit.- Ing.- Arch., 1934.

113. Ota T., Hamada M. Bending and Vibration of a simply supported but partially clamped rectangular plate.- Proc. 8th Japan Nat. Congr. Appl. Mech., 1958.

114. Pichler 0. Die Bending kreissymetrischer Platten von veränderlicher Dicke. Berlin, 1928.

115. Plass H. T., Gaines J. H., Newson C. D. The application of Reissner's variational principle to the problems of bending and vibrations of cantilever plate.- J. Appl. Mech., Trans. ASME, ser. E, 1962.

116. Reissner E. On a variational theorem in elasticity.- J. Math, and Phys., 1950.

117. Southwell R. V. Biharmonic analysis as applied to the flexure and extension of flat elastic plates.- Phil. Trans., 1941.

118. Stodola A. Dampf-und Gasturbinen, 5 Auff., Berlin, 1922.

119. Szmelter J., Sulikowski T., Lipinski J. Bending of a rectangular plate clamped at one edge.- Arch. Mech. Stos., 1961.

120. Warburton G. B. The vibration of rectangular plates.-Proc. Inst. Mech. Engnrs., 1954.

121. Wegner U. Ein Beitrag zur Losung von Balken-und Plattenproblemen, Beton - und Stahlbetonbau, 1961.

122. Young D. Vibration of rectangular plates by the Ritz method.- J. Appl. Mech., 1950.