Объемные сингулярные интегральные уравнения задачи дифракции в резонаторе на локально-неоднородном теле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Цупак, Алексей Александрович

• Цупак, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 0

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цупак, Алексей Александрович

Введение.

1 Дифференциальная и интегральная формулировки задач дифракции.

1.1 Интегро-дифференциальное уравнение.

1.2 Тензорная функция Грина прямоугольного резонатора

1.3 Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок.

1.4 Векторное сингулярное интегральное уравнение.

2 Исследование векторного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции

2.1 Основные положения теории сингулярных интегральных уравнений.

2.2 Анализ интегральных уравнений.

2.3 Обобщенные решения в случае задачи с потерями

2.4 Обобщенные решения в случае задачи без потерь

3 Численный метод решения задачи дифракции

3.1 Метод Галеркина.

3.2 Сходимость метода Галеркина.

3.3 Построение схемы Галеркина.

3.4 Программная реализация численного метода.

3.4.1 Об оптимизации вычисления матрицы СЛАУ

3.4.2 О решении серии задач дифракции на различных телах

3.4.3 Решение задачи дифракции на магнитоэлектрическом теле.

3.5 О выборе кубатурной формулы.

3.5.1 Кубатурная формула прямоугольников

3.6 Численное тестирование метода выделения особенности функции Грина

3.7 Метод решения задачи на многопроцессорных системах

3.7.1 Численные расчеты по методу Галеркина

3.7.2 Статистика расчетов на многопроцессорных чф кластерах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Объемные сингулярные интегральные уравнения задачи дифракции в резонаторе на локально-неоднородном теле»

Задачи дифракции электромагнитных волн на рассеивателях с конечной проводимостью имеют широкий диапазон применений в физике плазмы, микроволновой технике, медицине и в других областях. В качестве примера можно привести задачи проектирования микроволновых печей (как бытовых, так и больших промышленных), обладающих заданными параметрами. Задача дифракции на неоднородном теле произвольной формы имеет тесную связь с вопросами о влиянии электромагнитного излучения на биологические объекты. Решения задач дифракции на анизотропных телах могут быть использованы при исследовании характеристик плазменных образований. В связи с этим важное значение приобретает разработка математических моделей задач дифракции и эффективных численных методов их решения.

Точное решение задачи, представляющее рассеянное поле во всем пространстве в аналитическом виде, удается получить только для весьма узкого класса объектов и при отсутствии экранов. Один из первых результатов представлен в работе [1], где рассматривается двумерная задача возбуждения диэлектрического цилиндра круглого сечения плоской волной. Решение находится методом разделения переменных и представляет собой ряд по тригонометрическим и цилиндрическим функциям (ряд Рэлея), который сходится при всех значениях коИ, где ко = 2тг/Х— волновое число, Л— длина падающей волны, Я— радиус цилиндра. Если ко И « 1, то ряд сходится достаточно быстро. При коИ >> 1 сходимость ряда может быть улучшена при помощи преобразования Ватсона [2]. В резонансном случае (т.е. для цилиндров с диаметром порядка длины волны) ряд Рэлея сходится плохо, и для его суммирования необходимо применять специальные методы [3]. Методом разделения переменных получено решение для диэлектрического шара [4] и для некоторых других тел простой формы. В отдельных случаях этим методом можно получить точные решения и для более сложных конфигураций рассеивателя.

Для большинства задач дифракции получить решение в аналитическом виде не удается, и требуется применение численных методов. Диапазон частот, в котором рассматривается задача, определяет подбор численного метода для ее решения. В задачах, где характерные размеры много больше длины падающей волны (коротковолновый диапазон), находят успешное применение асимптотические методы [5]. Для резонансного диапазона (когда длина волны и характерные размеры суть величины одного порядка) разработан ряд методов, учитывающих специфику решаемых задач (поведение параметров среды, геометрия тела) и допускающих эффективную численную реализацию. Наиболее естественными для решения задач дифракции рассматриваемого диапазона длин волн являются проекционные методы и методы интегральных уравнений.

Проекционные методы типа метода конечных элементов находят применение для численного решения трехмерных задач дифракции. Однако прямое применение метода конечных элементов встречает ряд трудностей. Во-первых, краевая задача для системы уравнений Максвелла не является эллиптической, поэтому "не работают" стандартные схемы доказательства сходимости проекционных методов [15]. Во-вторых, для получения приемлемой точности расчета поля в теле с диэлектрической проницаемостью е ~ 10-ь20ео (например, если тело, в основном, состоит из воды) необходимо выбирать достаточно мелкую сетку, что влечет также выбор мелкой сетки и в объеме вне тела (выбор же сетки разного масштаба внутри и вне тела ведет к неверным результатам). А это, в свою очередь, учитывая трехмерный векторный характер задачи, приводит к разреженным матрицам очень больших порядков в методе конечных элементов. В некоторых случаях эффективность проекционных методов удается повысить посредством выбора специальной системы аппроксимирующих функций. Так, в некоторых задачах, лучше использовать не тригонометрическую систему, а, например, систему локальных сплайнов.

В последнее время метод конечных элементов, а также некоторые другие реализуются в комплексах программ, предназначенных для моделирования микроволновых процессов внутри абсолютно проводящих структур и, в частности, в прямоугольных резонаторах — это учебные ( MAGNA/TDM, ЕМ А 3D, J MAG, CONCEPT II и другие) и промышленные (Agilent HFSS Designer 5.5, ANSYS/EMAG, Microwave Studio 2, EMPIRE 2.2, QuickWave 1.9) пакеты программ. Перечисленные продукты предназначены для решения задач о нагреве тел внутри прямоугольного резонатора с абсолютно проводящей поверхностью. Резонатор возбуждается монохроматической волной СВЧ-диапазона, источник поля - волновод, соединенный с резонатором через отверстие. Тело характеризуется большой относительной диэлектрической проницаемостью (например, рассматривается случай е = 65 + 20г). Список решаемых задач следующий: отыскание собственных частот в присутствие тел с потерями, распределение поля от заданного источника, определение рассеянной энергии поля и коэффициента удельного поглощения. Наиболее распространенными математическими методами для решения этих задач являются метод конечных элементов, метод конечно-разностных схем, метод моментов. Однако, несмотря на достаточно высокую цену предлагаемых программных продуктов, результаты, анонсируемые их производителями, сильно разнятся и не могут считаться надежными [6]. Последнее объясняется, прежде всего, отсутствием до последнего времени интереса у разработчиков ПО к данному кругу задач. Кроме того, указанные пакеты являются лишь модификациями программ для решения задач, связанных с техникой связи, и не имеют хорошего теоретического обоснования.

До недавнего времени для задач дифракции резонансного диапазона не существовало универсального метода решения всех перечисленных выше задач, приемлемого с точки зрения вычислительных ресурсов, и для решения более общих задач приходилось вносить в их постановку различные упрощения, например, считать рассеива-тель телом вращения или заменять непрерывное распределение параметров среды кусочно-постоянным. Впервые объемные интегральные уравнения были выведены в [8]. В работах [9, 10] были приведены объемные сингулярные интегральные уравнения относительно вектора электрического поля, описывающие трехмерные задачи дифракции на неоднородных диэлектрических рассеивателях. К достоинствам этих уравнений следует отнести простоту и универсальность учета неоднородности любого типа, т.е. анизотропии.

В работах А.Б. Самохина [11, 12] эти уравнения получили наиболее подробное исследование. Был построен численный метод [13, 14], позволяющий решать за приемлемое время трехмерные задачи дифракции на неоднородных диэлектрических телах с характерными размерами до нескольких длин волн с использованием персональных компьютеров. Опишем кратко результаты, полученные в этих работах.

Рассмотрен следующий класс задач. Пусть область ф С Г*3, ограниченная поверхностью характеризуется произвольно распределенной тензор-функцией обращающейся вне <3 в скалярную константу £о свободного пространства. Магнитная проницаемость во всем пространстве предполагается постоянной. Требуется определить электромагнитное поле, возбуждаемое в данной среде внешним монохроматическим полем, представляющим собой либо плоскую волну, либо поле заданного стороннего тока. Вводя электрический ток поляризации, применяя известные формулы векторного потенциала и теорему о дифференцировании интегралов со слабой особенностью [22], для рассматриваемой задачи получено [11] следующее векторное интегральное уравнение относительно электрического поля: х) = &(х) -1 рм Е(х) + к11 рм В(у)а(г)Лу+

17.р./ - /) Е(у), дгай ^ дтав, хС(г)(1у, где Сг(г) = ехр{гког)/(47гг) - фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца в свободном пространстве, соответствующее временной зависимости ехр(—гшЬ). При достаточно общих предположениях о компонентах тензора проницаемости, оператор уравнения является ограниченным в пространстве и в [12] получена оценка для его нормы.

Уравнение (1) относится к классу многомерных сингулярных интегральных уравнений, общая теория которых построена в [22]. Оса новные результаты этой теории получены для уравнений на многообразиях без края, поэтому для того, чтобы применить их к (1), необходимо предварительно определить продолжение оператора уравнения в пространство ^(и3). В [11] такое продолжение построено, исследована его взаимосвязь с исходным оператором, и в явном виде выписан символ продолженного оператора. Установлен следующий критерий нетеровости оператора (1).

Теорема В1. Пусть компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны во всем пространстве. Тогда для того, чтобы оператор уравнения (1) был нетеров в 1/2 (<5), необходимо и достаточно выполнения условия Ы х,в,ф 3

М=1 0, (2) где щ{0,ф)— декартовы координаты точек единичной сферы, — компоненты тензора ё в декартовой системе координат.

Отметим, что требование непрерывности компонент тензора диэлектрической проницаемости во всем пространстве является принципиальным при использовании теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, поскольку эти функции входят в выражения для символа оператора (1). С использованием теоремы В1 и факта эквивалентности исходной дифференциальной задачи и системы (1), в [11] получена следующая теорема существования и единственности решения задачи дифракции на неоднородном диэлектрике.

Теорема В2. Пусть декартовые составляющие исходного поля и компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны по Гельдеру во всем пространстве, выполняется условие (2), а тензор ¿¿(¿(ж) — £*(#)) положительно определен почти всюду в Q. Тогда решение системы (1) существует, единственно в L2(Q) и является классическим решением задачи дифракции, т.е. удовлетворяет поточечно уравнениям Максвелла и условиям излучения.

Для изотропной среды требование непрерывности диэлектрической проницаемости во всем пространстве удается снять. В [12] для системы (1) в явном виде построен регуляризующий оператор, и теорема существования и единственности решения задачи дифракции доказана при выполнении неравенства

Ime(x) > Irrte о- (3)

В [11] также проведено исследование системы (1) при минимальном требовании ограниченности компонент тензора диэлектрической проницаемости. При условии ж) - е*{х) - 2ilm£0i) /(2г) > 0, х е Q, обобщающем (3) на анизотропный случай, доказана теорема существования и единственности решения (1) в L>2(Q).

Подробное исследование задачи дифракции в свободном пространстве на сложных диэлектриках с применением метода интегральных уравнений проведено A.C. Ильинским, А.Б. Самохиным и Ю.Ю. Капустиным в работах [30]-[32].

Метод интегральных уравнений находит применение и при решении других классов задач, например - в волноведущих структурах.

В работе Ю.А. Еремина, В.И. Ивахненко [33] рассматривается проблема моделирования царапины на стенке волновода. Исходная дифференциальная задача сводится с использованием тензорной функции Грина к интегральному уравнению, для приближенного решения которого построен и обоснован численный метод.

В работе Карчевского Е.М. [34] метод сингулярных интегральных уравнений успешно применен при исследовании проблемы о собственных модах волновода с размытой границей.

До недавнего времени главной областью применения реальных резонаторов была техника СВЧ. К основным вопросам, рассматривавшимся исследователями, можно отнести следующие: определение собственных частот и волн для резонаторов разной формы; исследование характера волновых процессов в резонаторах; изучение влияния на поля потерь в реальных резонаторах и определение добротности; исследование диэлектрических, оптических и квазиоптических резонаторов. Эти и ряд других вопросов исследованы в монографиях [36], [37], [38].

Наиболее полно математический аппарат для решения задач электродинамики применительно к резонаторам исследован в работах В.В. Никольского [39] - [41].

В [42] рассматриваются следующие задачи.

Исследуется вопрос о свободных колебаниях в полом резонаторе, задача сводится к трехмерному уравнению Гельмгольца. Для прямоугольного и цилиндрического резонаторов выписаны собственные частоты и представлены полные поля собственных колебаний (с.303-310).

Далее автором изучается вопрос о вынужденных колебаниях полого резонатора. Ставится задача найти распределение электромагнитного поля в объеме резонатора при заданных электрических и магнитных источниках (токи и падающая волна). Математическая постановка задачи формулируется в терминах уравнений Максвелла и граничных условий для полей (с. 388). Решение представляется в виде разложения в бесконечный ряд по системам собственных Е- и Н-полей.

В настоящей работе для исследования задачи дифракции в прямоугольном резонаторе используется метод сингулярных интегральных уравнений, который используется и для теоретического исследования задач дифракции, и при построении численных методов. Применение данного метода исследования вызвано спецификой проблем изучаемой задачи. Переход от дифференциальных уравнений к интегральным осуществляется введением токов поляризации с использованием функции Грина или при помощи методов теории потенциала. Граничные условия для решений обеспечивается свойствами специальным способом выбираемых функций Грина, и их проверка не вызывает затруднений. Таким образом, исследование задачи сводится к изучению свойств ядер и символов уравнений с привлечением существующей теории, что является несомненным преимуществом метода интегральных уравнений. Решение задач дифракции численными методами сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Для методов, основанных на интегральных уравнениях, размерность систем получается меньше: 104 — 105 (для метода конечных элементов - 106 — 108), поэтому для решения систем можно использовать даже прямые методы. Кроме того, интегралы вычисляются по области неоднородности, а не по всему объему резонатора, что также можно отнести к преимуществам данного метода. С другой стороны, применение ИУ приводит к заполненным матрицам с более сложным характером их элементов, что существенно сказывается на времени заполнения матрицы СЛАУ.

Данная работа содержит следующие основные результаты

1. Для задач дифракции на неоднородном анизотропном диэлектрическом теле получено объемное векторное сингулярное интегральное уравнение. Исследована функция Грина прямоугольного резонатора. Установлена эквивалентность исходной дифференциальной и интегральной формулировок.

2. Для векторного сингулярного уравнения установлен критерий нормальной разрешимости в пространстве интегрируемых с квадратом функций. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи в случаях, когда диэлектрическая проницаемость является комплексной или вещественной тензор-функцией.

3. Предложен численный метод решения задачи, пригодный для решения задач дифракции в СВЧ-диапазоне волн. Доказана сходимость метода. Исследована возможность оптимизации алгоритма; предложен метод решения задачи на многопроцессорных кластерах.

Работа состоит из введения и трех глав. В первой главе рассмотрены дифференциальная и интегральная формулировки задачи дифракции. Во второй главе проводится исследование объемного векторного сингулярного интегрального уравнения, рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения задачи. Третья глава работы посвящена численному методу решения задачи, его точной формулировке и обоснованию, вопросам оптимизации вычислений и реализации метода для многопроцессорных вычислительных систем. В работе принята сквозная нумерация формул.

В первой главе задача дифракции сформулирована в дифференциальной и интегральной форме, установлена эквивалентность этих формулировок.

В первом пункте проведен формальный вывод интегро-дифференциального уравнения для векторов электрического и магнитного полей с применением теории векторного потенциала и с применением тензорной функции Грина. Сформулировано определение классического решения и получены достаточные условия, при которых любое решение интегро-дифференциального уравнения является классическим решением задачи в дифференциальной формулировке.

В пункте 2 выписана тензорная функция Грина полого прямоугольного резонатора, исследованы ее свойства. Предложен конструктивный метод выделения ее особенности. Доказано представление функции Грина в виде суммы сингулярного и гладкого во всем объеме резонатора слагаемого.

В третьем пункте для решений интегро-дифференциальных уравнений проверяется выполнение условий на стенках резонатора и на границе разрыва сред. Устанавливается эквивалентность интегро-дифференциальной и исходной формулировок задачи дифракции.

В четвертом пункте из интегро-дифференциального уравнения получена система объемных сингулярных интегральных уравнений.

Вторая глава посвящена исследованию объемного интегрального уравнения для электрического поля в пространстве Ь\(0), основанному на теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [22]. Построено продолжение оператора в пространство .С^^3). Доказано, что исходное уравнение и уравнение с новым оператором одновременно являются нормально разрешимыми.

В первом пункте приведены краткие сведения из теории многомерных сингулярных интегральных уравнений: даны определения сингулярного интегрального оператора и его символа. Сформулировано определение фредгольмовости интегрального уравнения и системы уравнений. Приведены несколько достаточных признаков фредгольмовости сингулярного оператора, основанных на свойствах символа.

В пунктах 2 и 3 рассматриваются классические и обобщенные решения задачи дифракции на теле с прозрачной границей - тензор диэлектрической проницаемости является всюду непрерывным. На основе результатов исследования задачи дифракции в свободном пространстве 1 доказываются теоремы о фредгольмовости сингулярного интегрального оператора.

Пункт 4 второй главы посвящен исследованию задачи дифракции на диэлектрике без потерь и с разрывной проницаемостью. Исходная краевая задача рассматривается в обобщенной постановке [17]. На основе результатов исследования краевой задачи в пространстве Ь\(0), 2 используя эквивалентность исходной и интегральной формулировок, доказывается теорема о существовании и единственности решения сингулярного интегрального уравнения.

Третья глава посвящена построению и обоснованию численного метода для отыскания приближенного решения задачи дифракции. Доказывается теорема о сходимости метода Галеркина для решения интегрального уравнения. Выведено достаточное условия сходимости метода, накладывающее ограничение не тензор диэлектрической проницаемости.

1А.Б. Самохин. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. - М.: Радио и Связь, 1998.

2М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. Ьг-теория оператора Максвелла в произвольных областях. //

Успехи математических наук. - 1987. - Т.42. - Вып.6. - С.61-75.

В первом пункте приведены общие сведения из теории проекционных методов: сформулированы определение сходимости метода Галеркина для операторного уравнения и теорема о сходимости метода.

Пункт 2 посвящен исследованию метода Галеркина для объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции. Доказывается теорема о сходимости метода Галеркина для решения интегрального уравнения. Выведено достаточное условия сходимости метода, накладывающее ограничение не тензор диэлектрической проницаемости.

В пункте 3 рассматривается конкретная реализация метода Галеркина в случае, когда тело представляет собой анизотропный неоднородный параллелепипед. Для базисных функций выписаны точные выражения, исследованы их свойства. Для отыскания приближенных решений метод сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений; даны точные формулы для элементов расширенной матрицы этой системы.

Четвертый пункт главы 3 посвящен некоторым аспектам программной реализации численного метода: рассмотрен вопрос оптимизации вычислений за счет симметрии тензорной функции Грина; исследована возможность быстрого решения серии задач дифракции на телах сложной формы и различными значениями диэлектрической проницаемости, а также задач дифракции на магнитных телах.

В пункте 5 исследуется проблема приближенного вычисления шестимерных интегралов в методе Галеркина. Предложено использование квадратурной формулы прямоугольников. Исследуется вопрос о точности вычисления интегралов, а также о влиянии числа узлов квадратуры на сходимость численного метода.

В шестом пункте третьей главы приведены результаты численного тестировании конструктивного метода выделения особенности функции Грина. Исследована область применимости исходных формул для компонент функции Грина. Показано, что предложенный конструктивный метод эффективен при вычислении значений функции Грина, особенно вблизи особых точек, где применение исходных представлений вообще невозможно.

Пункт 7 третьей главы посвящен параллельному методу решения задачи дифракции. Предложена эффективная реализация численного метода на многопроцессорных системах. Получены новые численные результаты решения задачи дифракции в резонаторе. Приведены статистические данные о работе кластеров НИВЦ МГУ, участвовавших в вычислительном эксперименте, подтверждающие высокую эффективность предложенного параллельного алгоритма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цупак, Алексей Александрович, 0 год

1. Lord Rayleigh // Ph.Mag., Sc. Papers, V.36, 1918.

2. Хенл, Мауэ, Вестпфаль. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

3. Воронцов А.А., Мировицкая С.Д. Специальные функции теории задача рассеяния. М.: Радио и связь, 1991.

4. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: И.Л., 1961.

5. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

6. Yakovlev V.V. Commercial ЕМ codes suitable for modelling of microwave Heating a comparative review // Proceedings of the 3rd international workshop. - Berlin, 2001.

7. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

8. Хижняк Н.А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред //Ж. тех. физ. 1958. - Т.28, N7. - С. 1592 - 1609.

9. Livesay Р.Е., Chen К. Electromagnetic fields included indide arbitrary biological bodies // IEEE Trans., V.MTT-22, N12, 1974.

10. Yaghjian A.D. Electric dyadic Green's functions in the source region // Proc. IEEE, V.68, N2, 1980.

11. Самохин А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах // ЖВМММФ, Т.ЗО, N1, 1990.

12. Самохин A.B. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения // ЖВММФ, Т.32, N5, 1992.

13. Самохин A.B. Итерационный метод для интегральных уравнений задач рассеяния на трехмерном прозрачном теле // Дифф. уравнения, Т.ЗО, N12, 1994.

14. Самохин A.B. Метод коллокаций для интегральных уравнений с диссипативным уравнением // Дифф. уравнения, Т.31, N9, 1995.

15. Kress R. Linear Integral Equations. Applied Mathematical Sciences. V.82. Springer-Verlag. New-York Inc., 1989.

16. Самохин A.B. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и Связь, 1998.

17. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. L2-теория оператора Максвелла в произвольных областях // Успехи математических наук. 1987. - Т.42. - Вып.6. - С.61-75.

18. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

20. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991.

21. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих экранах. М.: ИПРЖР, 1996.

22. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М.: Физматгиз, 1962.

23. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.

24. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

25. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и Связь, 1988.

26. Марков Г.Т., Панченко Б.А. Тензорные функции Грина прямоугольных волноводов и резонаторов // Известия Вузов СССР. Радиотехника. 1964. Т. 7, - Вып. 1. - С. 34-41.

27. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. -СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

28. Немнюгин С., Стесик О. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

29. Самохин А.Б. Исследование интегральных уравнений для задач электромагнитного рассеяния на трехмерных прозрачных структурах.// Дифф. уравнения. 2001. Т.37. - N10. - С.1357-1363.

30. Ильинский A.C., Капустин Ю.Ю., Самохин А.Б. Математическая модель задачи дифракции на неоднородном цилиндрическом теле // ЖВММФ. 1998. Т.28. - N9.

31. Ильинский A.C., Капустин Ю.Ю., Самохин А.Б. Метод сингулярного интегрального уравнения для решения задачи дифракции на неоднородном теле // Межв. сб. "Дифракция и распространение радиоволн." М.: МФТИ, 1998.

32. Еремин Ю.А., Ивахненко В.И. Строгие и приближенные модели царапины на основе метода интегральных уравнений // Дифф. уравнения. 2001. Т.37. - N10. - С. 1386-1394.

33. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

34. Гуревич А.Г. Полые резонаторы и волноводы. М.: Мир, 1974.

35. Вайнштейн JI.A. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966.

36. Григорьев А.Д., Янкевич В.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ. М.: Радио и связь, 1984.

37. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967.

38. Никольский В.В., Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983.

39. Никольский В.В. Математический аппарат электродинамики. -М.: Изд-во МИРЭА, 1973.

40. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.

41. Цупак А.А. Метод Галеркина для решения интегрального уравнения в задаче дифракции на локально неоднородном теле в случае if-поляризации // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: НИИММ им. Н.Г. Чеботарева, т.б, 2000, С.240-248.

42. Tsupak А.А. Vector integral equation method for diffraction problem in a cavity resonator // Proceedings and abstracts of 2001 Far-Eastern school-seminar on mathematical modeling and Numerical Analysis, Nakhodka, Russia, 22-28 August, 2001, P.200.

43. Цупак А.А. Метод приближенного вычисления на ЭВМ значений функций Грина задачи дифракции в резонаторе // Материалы XII Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем", Пенза, 15-21 октября, 2001, 4.2, С. 230236.

44. Цупак А.А. Проекционный метод решения интегрального уравнения задачи дифракции в резонаторе // Труды математическогоцентра имени Н.И. Лобачевского. Казань: изд-во Казанского мат. об-ва, Т.17, 2002, С. 194-206.

45. Смирнов Ю.Г., Цупак А.А. Метод Галеркина для решения сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции в резонаторе // Известия Высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки, 2003 N2, С.31-43.

46. Tsupak A.A. Integral equation method for solving the problem of diffraction by a dielectric body located in a rectangular resonator. // Proceedings of The Karlstad Workshop on Applied Mathematics (KWAM'03), Karlstad, Sweden, 7-11 September 2003.

47. Цупак A.A. Метод интегральных уравнений в задаче дифракции. // Труды международного юбилейного симпозиума (АПНО 2003), Пенза, 19-22 ноября, 2003, T.l, С.21-26.