Об устойчивости решений системы дифференциальных уравнений второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Тулегенов Б.

• Тулегенов Б.
• 1949

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об устойчивости решений системы дифференциальных уравнений второго порядка»

В диссертации рассмотрены вопросы устойчивости решения системы диференциальных уравнений второго порядка с переменными коэфициентами. Хорошо известно , ч-го если все характеристичные числа линейной системы диференциальных уравнений положительны , то решение .У,- А - о этой системы устойчиво. Если же среди характеристичных чиоел системы найдется хоть одно отрицательное, то указанное решение неустойчиво. Таким образом,задача об устойчивости или неустойчивости для линейных сиотем связана с вопросом о характернотияных числах этой системы. Если сиотема диференциальных уравнений является линейной системой с постоянными коэфициентами, то вопрос отыскания характеристичных чисел ее решений решается просто. В случаеткогда система диференциальных уравнений есть линейная система с переменными коэфициентами, вопрос отыскания характеристик них чиоел ее решений является до сих пор открытым . Как показал А.М.Ляпунов,отыокание характеристичных чисел оистемы даже о 'периодическими коэфициентами уже требует,

1/ ' вообще говоря, знания ее частных решений. Если связь между коэфициентами системы и ее характеристичными чиолами для линейных систем с постоянными коэфициентами может быть легко установлена, то для линейных сиотем о переменными коэфициентами такая связь ©ообще неустановлена. В нашей работе указаны некоторые условия,которым,должны удовлетворять коэфициенты линейной системы диференциальных уравнений второго порядка о переменными коэфициентами, чтобы имели место устойчивость или неустойчивость решения этой системы. Также даются оценки характеристичных чисел указанной системы.

До работ Ляпунова в исследованиях устойчивости ограничивались рассмотрением лишь только первого приближе -ния. Б подобных случаях,как известно,можно придти к ошибочным утверждениям. Ляпунов,раз вив теорию характеристичных чисел и применив ее к решениям линейной системы с переменными коэфициентами, выделил класс приводимых систем; при помощи которых он разрешил вопрос о том,когда уравнения первого приближения полностью решает задачу

1/ устойчивости.Н.Г.Четаев продолжил исследования Ляпунова в этом направлении и дал полное решение этого вопроса для более общего класоа системы диФеренциа^ьных уравне

3/ ний,тан называемых правильных оистем. Нами показано,что при некоторых услобиях)7 налагаемых на коэфициенты системы первого приближения, уравнения первого приближения полностью решают вопросы устойчивости.При этом мы не всякий раз требуем правильности этих систем,которая необходима в соответствующих теоремах Ляпунова и Четаева.

В своих исследованиях мы основывались на некоторых определениях,которые были даны Ляпуновым и Персидским,а так же на результатах^полученных Ляпуновым и Четаевнм. Поэтому в нашем введении мы приводим те определения и результаты работ указанных авторов,которые нам будут нужны в дальнейшем.

§ 1.Пусть дана система диференциальных уравнений :

П <о* см. где и), ъ = . . . , и") оуть вещественные, непрерывные функции с непрерывными частными производными первого по -рядка относительно величин ос, ^ J области

Н , определенная следующими неравенствами : ьО'. — + Ук б К* и в которых & некоторая постоянная . Причем при

-Хк-Омн будем считать ,что Функции сО* - • •, обращаются в нули , т.е, будем считать ,*тто система имеет решение - у г. - - - ~ в °

Определения.

Будем говорить , что решение

- - - • - У* ~ О системы (1Л устойчиво, если для любого наперед задан -ного чиола £ >о и любого наперед заданного начального значения (Д0 > о, существует такое ^гисло ~ ^ , что любое решение системы (1) оо Ы),. будет удовлетворять неравенству

Ы • • * ^ при воех конечных значениях ! ^ 9 если только начальные значения решения (2^ , удовлетворяют условию:

В противном случае будем говорить , что решение .у,г ¿»в ¿к - о неустойчиво.

Если указанная устойчивость такова , что к тому же решение (2) стремитоя к нулю при t —* оо } т.е.

Ь-* оо то устойчивость называется асимптотической. Если.имеет место устойчивость и при этом указанное число

Х>о можно выбрать независящим от "Ь0 ,то устойчивость назнваетоя равномерной. Еоли неравенство (3) имеет место не для любого решения удовлетворяющего неравенству (4) , а лишь для решений удовлетворяющих еще некоторым дополнительным условиям, то будем говорить, что имеет место частичная или условная устойчивость. Будем рассматривать функцию ТГС"Ь, о*. . . . вещественную и непрерывную в указанной области Н .При этом полагаем , что эта функция обращается в нуль при

• • • « л„*о ь Мы будем говорить , что указанная функция ЯГ ограни-ч е н а, если в области И она удовлетворяет условию: яМ £ и ^ со

Будем говорить, что указанная функция 1Г допускает бесконечно малый высший предел еоли для любого наперед заданного чиола I > о ^найдется такое число ^ >о ,что будет иметь место неравенство

11Г1 ^ если только » г .г

Функция ЯГ называется знакопостоянной, если в области И она принимает значения только одного знака. Знакопостоянную функцию ЯГ С . . Ы* ) , независящую от ^ , будем называть з н а к о о п р е-деленной, если она внутри области И обращав тоя в нуль лишь при .у, - ^ - . - - - ¿„-О

Знакопостоянную функцию \Г (Л ,У,,.х»,. зависящую от "Ь ? будем называть знакоопределенной если она внутри области Н удовлетворяет одному из двух оледующих условий: где . . , «>0 есть знакоопределенная положительная функция ^ не зависящая от t

Выражение

II - —г + — СО. — Ы, + ——: будем называть полной производной функции 1Г в оилу данной системы (1")

С помощью указанной функции \Г , А.М* Ляпунов доказал три основных теоремы , которые являются основой его второго метода.

Первая теорема Ляпунова. Если данная сиотема диференци-альных уравнений (1) такова , что существует такая

- б знакоопределенная функция ЯГ, полная производная которой в силу данной системы диференциальннх уравнений ( 1) есть или тождественный нуль, или знакопостоянная функция ^обратная по знаку о функцией ЯГ ,то решение - = • - • - = о оиотемы (1) устойчив о1/

Если к тому же функция *\Г допуокает бесконечно малнй высший предел, то устойчивость будет равномерной , Боли же функция ЯГ допускает бесконечно малнй высший предел^ а 1Г есть Функция знакоопределенная, то устойчивость

1/ будет равномерной и асимптотической.

Обратимость первой теоремы Ляпунова доказана К¿П.Персидским*

Вторая теорема Ляпунова. Если данная оиотема диференциальннх уравнений (ЗЛ такова, что существует допускающая бесконечно малнй высший предел функция ЯГ 9 полная производная которой ЯГ в силу данной системы диференциальннх уравнений (1Л еоть функция знакоопределенная, и, если при численно сколь угодно малых значениях величин . и при любом сколь угодно большом значении Ь всегда найдется такая точка, в которой 1Г-ЯГ'> 0 } то решение . • = оистемы (1) н е у с т о Йч и в о.1/

Заметим , что при выполнении условий этой теоремы не исключена возможность наличия условной устойчивости , Полная неустойчивость будет иметь место, если например функция ЛГ так же знакоопределенная .

Третья теорема Ляпунова. Если система диференциальных уравнений (1") такова, что существует такая ограниченная функция 1Г; полная производная которой ' в силу данной системы (1) удовлетворяет соотношению

ЯГ'= + где *Х> о постоянная величина, а \/\/ или есть тождественный нуль, или некоторая знакопостоянная положительная функция ; и еоли в последнем случае при численно сколь угодно малых значениях величин . . . } и при околь угодно большом t всегда найдется такая точка^ в которой \л/- > о , то решение = оЧ= • - •

1/ системн (1) неустойчиво/

§ 2. Пусть есть вещественная или комплексная функция непрерывная для всякого \ >, о

Определение. Если существует такое конечное число о^ , что при любом наперед заданном числе £ > о выражение а выражение ci~£Vt l-Pcul-e —> о при t —> оо п , (cutvt lfCt>l- е при t есть Функция неограниченная , то указанное число отбудем называть характеристичным числом функции let) и обозначать cL- p(ii^) Может оказаться , что при любом конечном числе cL внражение е**—♦ 0 при t оо тогдаданная функция не имеет конечно^харак теристичного числа, и мы будем говорить, в таком случав, что характеристичное чиоло этой функции равно + оо Может оказаться , что при любом конечном числе выражение ^ при Ь оо есть функция неограниченная . В этом олучае функция не имеет конечного характеристичного' числа и мы будем говорить , что характеристичное число такой функции равно - . Введя бесконечные характеристичные числа7А.М.Ляпунов доказал , что любая вещественная или комплексная функция -рС-И , непрерывная при воех конечных значениях "Ь ^о , имеет и притом единственное конечное

1/ или бесконечное характеристичное числоНапример, легко видеть ,что если верхний предел при —* оо вещественной чаоти функции {("П равен а, , то характеристичное число функции ^ С равно - (К

По характеристичному числу данной функции ^ бывает возможным судить о ее поведении при "Ь .Именно : если характеристичное число функции строго положительное , то при "Ь —» о© такая функция будет стремиться к нулю. Если характеристичное число функции строго отрицательное, то для такой функции всегда найдется такая по -следовательность значений 1г,. . . , , для

J ' которой модуль функции будет неограниченно возрастать .

Боли же характеристичное чиоло равно нулю, то при"Ь-+о° о поведении функции, исходя только из характеристичного числа, ничего определенного сказать нельзя.

Пусть дана конечная последовательность функций непрерывных при всех "Ь о и пуоть соответствующие характеристичные числа этих функций . Некоторые из этих чисел / или все/ могут и совпадать. Наименьшее число ^ из совокупности . . ¿ж мы будем называть характеристичным числом совокупности функций

ЪоДну . ■ . , • Нч ^

На основании поведения функции при оо в зависимости от знака ее характеристичного числа, имеем: Бели характеристичное число совокупности Функций строго больше нуля, то при —► оо вое функции —► О Если характеристичное число совокупности строго меньше нуля, то по^райнвй мере одна из функций этой оовокуп -ности при t —* о© будет неограниченной. Отметим несколько .свойств характеристичных чисел :

1. Характеристичное число алгебраической суммы конечного числа функций не меньше наименьшего характеристичного числа этих функций и равно наименьшему характеристичному числу, если наименьшим характеристичным числом обладает лишь единственная функция данной совокупности.

2. Характеристичное число произведения конечного чиола функций не менее суммы их характеристичных чисел.

Из этого овойотва нетрудно получить следующее : Если в произведении со. одна из функций -Р, (О или удовлетворяет уоловию = 0 , то характеристичное число произведения - (-■!:) равно сумме их характеристичных чисел. л 1Д+ПГ

3. Пусть ftO= С , где 11= tiU) , тГг nT(t) , суть вещественные функции "t . Тогда ,для того чтобы сумма характеристичных чисел функций *P(t) L и была равна нулю необходимо и достаточно, щи , чтобы существовал предел функции при X оо

Этот предел, взятый о обратным знаком,будет характеристичным числом Функции1^ Li)

4. Пусть есть интегрируемая функция "Ь В интеграле г Г условимся считать ,что ^>=0 }или любому конечному числу "Ь0 , если характеристичное число подинтегральной функции отрицательно или нуль , и оо , если это характернотичное число больше нуля. Тогда характеристичное число интеграла не менее характеристичного числа

1/ подинтегральной функции.

Пусть дана линейная система диференциальннх уравнений

КГ-I где коэфициенты Рьк= для всех t о суть функции непрерывные и ограниченные . Рассмотрим какое либо решение

Л, . , Ли. сиотемы (5) .

Характеристичным числом решения (б) , согласно определению характеристичного числа совокупности функций ,мы называем наименьшее из характеристичных чисел функций^ входящих в это решение.

Известно , что характеристичное чиоло любого решения системы (5) ,отличного от тривиального

1/ имеет конечное значение. Так ®е известно, что еоли для системы диференциальннх уравнений найдена некоторая фундаментальная система решений , и <кх а . . . ^ суть характеристичные числа этих решений , а е!,-»-- есть сумма этих характеристичных чиоел,

1/ тогда имеет место соотношение ' <к ± 6Г т> где $ характеристичное чиоло функции е и 6 характеристичное число функции е

Бели для некоторой фундаментальной системы решений уравнения выполняется условие : любая линейная комбинация с постоянными коэфициентами из этой оистемн решений дает решение^ характеристичное число которого равно наименьшему характеристичному числу из группы комбинируемых решений , -то такая система решений называется нормальной. Иными словами^ сумма характеристичных чисел всех составляющих решений нормальной системы достигает своего наибольшего значения. Нетрудно видеть ,что система допускает беоконечное множество нормальных систем решений, но различные нормальные ои-отемы имеют одинаковые характеристичные числа. Поэтому характеристичным^числомг/данной системы диференциальных уравнений будем называть характеристичные числа соответствующей нормальной системы.

Характеристичные чиола линейной системы диференциальных уравнений (§) удовлетворяют соотношению ^7).Откуда выводим , что с1+ 6 £ О

Если окажется , что

Л + 6 = о 1 то система диференциальных уравнений (£) называется

1/ правильной.

Пусть А» >, «¿1>, - • • ^ сС„ суть характеристичные числа системы (5). К.П,Персидский называет харак -теристичные числа системы (В) у о т о й чи в н м и , если для любого наперед заданного числа В > о найдется такое чиоло Х-ХС€)>о , что характериотичнне числа i « сиотвмн диференциальных уравнений si jtбудут удовлетворять неравенствам

9Ï 1 ds- d'sl < I С . . . „ к) , как только любые , непрерывные на [Oj оо) функции Я Ct) будут удовлетворять уоловию y-su

Ю) С S, le,

Б противном случав характеристичные числа системы (5)

4/ называются неустойчивыми.'

Используя понятие устойчивости характеристичных чисел сиотемн диференциальннх уравнений, К.П. Персидским получены некоторые результативна которых мы основываемся в дальнейшем. Поэтому мы приведем некоторые из этих резуль

4/ татов. Например,им доказаны следующие теоремы :

1. Если характеристичные числа оистемы (5) устойчивы и еоли коэфициенты системы (8> удовлетворяют условию t-+ оо > то характеристичные числа системы (8) равны характеристичным числам сиотемн (5)

2. Если система диференциальных уравнений (5) с постоянг ними коэфшшентами, то ее характеристичные числа устойчивы,.

3. Устойчивость характеристичных чисел системн диферен-циальннх уравнений (5) инвариантна по отношению преобразований

ЯД^'" С к) с ограниченными матрицами и?'

4. Еоли система (б) приводима , то ее характеристичные числа устойчивы.

5. Если коэфициентн Р системн

Ь«с удовлетворяют условию :

Ь ~> ОО то характеристичные числа этой системн устойчивн и равны характеристичным числам системн

Г А * с постоянными коэфициентами .

Допустим, что в системе диференциальннх уравнений можно выделить линейную часть : где = Ряс или постоянные или непрерывные, ограниченные функции t при всех значениях j L%J . . . ^»и члены более высокого порядка малости, Т;,е. при любом t >/о и С*«»,«,. к) где li > о достаточно малое число, они удовлетворяют уоловию

I • + -«■ UhO С * = где —О при к о

Наряду о системой (д) рассмотрим систему (5) , которая получается из системы (1)^ отбрасывая члены более высокого порядка малости . Эту систему называют первым приближе -нием системы С1} .

Характеристичные числа уравнений первого приближения позволяют в некоторых случаях оудить об устойчивости и неустойчивости решения J-% х • . - s - о полной системы С14) „Например^известны следующие теоремы Ляпунова и Четаева , которые были указаны выше. V

Теорема Ляпунова . Если система, диференциальннх уравнений первого приближения есть правильная и если все ее характеристичные чиола положительны, то решение

1 / l* ■ - • г «Ун* 0 полной системы устойчиво /

Теорема Четаева . Если система диференциальннх уравнений первого приближения есть правильная и среди ее характеристичных чисел имеется хотя бы одно отрицательное, то решение - < • = oiu ■= о полной системы диферен циальных уравнений неустойчиво. 3//

§ 3. Пусть 4Ш вещественная или комплексная функция , непрерывная при всех конечных значениях "t ^ о ,, К.П*

Персидский называет функцию tc-O Функцией со с л а

4/ бой вариацией, если для любого наперед заданного как угодно малого числа £ > о и для любого наперед заданного сколь угодно большого числа d существует такое число yfС tJ J.) f чт0 при любых значениях "t >, vaT и *t' ^ хлГ имеет место неравенство ltt")U t , еоли только

Нетрудно видеть , что если при t —> оо функция -Pet) стремится к некоторому конечному пределу , то С±) есть функция со олабой вариацией, а так же/если у функции существует производная, которая отремится к нулю при t-»oo 9 То она есть функция со слабой вариацией. Введя понятие функции со слабой вариацией^К*П*Персидский доказал ряд теорем. Поскольку мы будем пользоваться в дальнейшем этими результатами, то мы приведем некоторые из них.4/

Теорема 1 . Если в системе диференциальннх уравнений (5) коэфициенты Ряс-РяД^ . «О суть ограниченные функции со слабой вариацией и если >о наперед заданное число

Тогда существует такая ограниченная матрица н ^и < . . к:», к« . (с,

•-».и

К». »Скъ . . . с ограниченными матрицами и ус^ мощью замены сиотем« 15) будет приведена к виду : что с по где ла, J , . . ^ 1л и суть вещественные части корней уравнения

11)

Р« ~ ^ Р»1 • • • Р| и Р», 0

Рь, Р**. причем существует такое "достаточно большое число II , что при всех значениях \>, £ будут иметь место не -равенства :

1 ^ * С*,*« «Л, • .

Теорема П. Если характеристичные числа сиотемн (12) устойчивы , то характеристичные чиола системы (5) равны характеристичным числам системы (.12) ,когда в системе С5) коэфициенты суть ограниченные Функций со олабой вариацией.

Теорема 1. Если в системе (5) коэфициенты суть ограниченные функции со слабой вариацией и еоли вещественные части корней уравнения (11) удовлетворяют условиям :

Я >о с . . , н} ,

•V у то решение = - . . - системы (&) равно мерно и асимптотически устойчиво. Устойчивость не на -рущаетоя , если к правым частям оистемы С5)прибавить * члены более высокого порядка малости. Характеристичные числа системы С 5) положительны и не менее величины с* . Формулировки двух теорем?на которых мы основываемся не-пооредственно.мн приводим ниже при доказательстве наших 7 теорем^аналогичных этим теоремам К^П,Персидского.

Теорема 1У. Если система диференциальных уравнений (12) приводима и коэфициенто системы (5)ограниченные функции со слабой вариацией, то характеристичные числа оистемы (5) равны характеристичным числам системы диференциальных уравнений , т.е., равны характеристичным числам функций ее, е

V ? , . . . }

Теорема У . Если вещественные части корней уравнения (Ш удовлетворяют условию :

Ь"» С50 то характеристичные числа системы (5) , когда коэфици-енты суть ограниченные функции со слабой вариацией,равны а., - <4 , . . . ак