Об оценках плотности нетривиальных нулей дзета-функции Римана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Авдеев, Иван Федорович

  • Авдеев, Иван Федорович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2007, Москва
  • Специальность ВАК РФ01.01.06
  • Количество страниц 82
Авдеев, Иван Федорович. Об оценках плотности нетривиальных нулей дзета-функции Римана: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел. Москва. 2007. 82 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Авдеев, Иван Федорович

Введение.

Глава 1 Новое доказательство теоремы Ингама.

§1 Вспомогательные утверждения.

§2 Нижняя оценка среднего значения короткого отрезка ряда Дирихле.

§3 Основная верхняя оценка среднего значения модуля дзетовой суммы.

§4 Завершение доказательства теоремы Ингама.

Глава 2 Плотностные оценки количества нулей дзета-функции Римана в критической полосе правее прямой о - 0,75.

§1 Сведение доказательства утверждения теоремы к оценке среднего значения полинома Дирихле.

§2 Вспомогательные утверждения.

§3 Оценка среднего значения полинома Дирихле для «больших» значений длины промежутка суммирования.

§4 Выделение основного промежутка изменения длины полинома Дирихле.

§5 Применение неравенства Халаша-Монтгомери.

§6 Применение формулы обращение для дзетовой суммы.

§7 Сглаживание полинома Дирихле.

§8 Завершение доказательства основной теоремы.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оценках плотности нетривиальных нулей дзета-функции Римана»

Настоящая диссертация посвящена оценкам количества нулей дзета-функции Римана £(s) в критической полосе комплексной плоскости, лежащих 1 правее критическои прямой Re s = о =—.

С тех пор, как в 1859 году Б. Риман в своем знаменитом мемуаре1 «О числе простых чисел, не превышающих данной величины » связал задачу исследования распределения простых чисел в натуральном ряде с проблемой расположения нулей дзета-функции Римана в критической полосе, изучение свойств дзета-функции Римана превратилось в центральное направление аналитической теории чисел.

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел.

Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течение последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел.

Плотностные теоремы - общее название теорем, которые дают оценку сверху для числа N{a,T,%) нулей p = p+iy Z-функций Дирихле, где s = a+it, х{п,к)~ характер Дирихле по модулю к, в прямоугольнике -j<cr</?< 1, <Т. В случае к=1 получается плотностная теорема для числа нулей N(a,T) дзетафункции Римана ((s) = ^n~s.

И=1

1 В. Riemann Ueber die Anzahl der primzahlen unter einer gegebenen Grope // Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859.

Первые существенные результаты в доказательстве плотностных теорем об оценке нулей дзета-функции Римана получены в начале XX века в работах Г. Бора и Э.Ландау [10], Ф.Карлсона [11]. В дальнейшем оценкой величины N(cx,T) занимались Дж. Литтлвуд [12] , А.Э. Ингам [1], [2], Е.К. Титчмарш [3],

А. Сельберг [13], Ю.В. Линник, Э. Бомбьери [14] и другие математики.

В 1930 году Г. Гогейзель [9] установил связь плотностных теорем с проблемой оценки расстояния между соседними простыми числами, что еще больше повысило их значимость. В последние десятилетия вопросам, связанным с оценкой N(a,T), были посвящены работы М.Н. Хаксли [17],

Г. Монтгомери [8], А. Ивича [4], М. Ютилы [19], Д.Р. Хиз-Брауна [20], А.А. Карацубы [6], К. Рамачандры [17] и других известных специалистов.

Изложение доказательств теорем об оценках величины n(cj,t) содержится во многих известных монографиях и учебниках по аналитической теории чисел, включая книги Е.К. Титчмарша [3], К. Прахара [15], Э. Дэвенпорта [7], Г. Монтгомери [8], А.А. Карацубы [6], А.А. Карацубы и С.М. Воронина [5], А. Ивича [4] и др.

Современная постановка проблемы оценки плотности нулей дзета-функции Римана правее критической прямой, то есть оценка величины N(a,T), обычно формулируется как задача нахождения новых значений показателя А (сг), для которого выполняется оценка

N{a,T)«ETA^-a)+E, V*>0. (1)

В 1937 году А.Э. Ингам получил оценку (1) с значением 3

Л(сг)= А1 ((т) = --. Несколько позднее эту оценку он уточнил, заменив в ней величину Т£ на множитель Zf, где L = \nT и с> 0 некоторая постоянная. Но новых степенных понижений в оценке (1), справедливой при всех сг>0,5, не было получено до настоящего времени. Наилучшее значение параметра с = 5 указано в монографии А. Ивича.

Утверждение о том, что оценка (1) справедлива при всех сг >0,5 с значением А(сг) = 2 называют плотностной гипотезой. Из неё следует, что для количества x(x+/i)-x(x) простых чисел на промежутке (x,x+h) при h х°'5+е h справедлива асимптотическая формула я(х+к)-ж{х)--, Если же

In X использовать значение А{р)-а>2, то указанная асимптотика будет выполняться лишь при п X .

В 1972 году М.Н.Хаксли получил плотностное неравенство (1) с 3 значением А(<т) = А2(а) = ---, <т>0,5. Вместе с результатом Ингама для величины А(а) это дало значение А(а)= 2,4 = А, (0,75) = А2 (0,75). Тем самым асимптотическая формула для разности ж(х+/г)-я(х) была доказана для 7 значений h»£xn .

Заметим, что нахождение новых значений # = sup А (сг) прежде всего аг 0,5 связано с получением новых оценок сверху для величины А(а) в окрестности <т = 0,75. Но до настоящего времени это удалось сделать только в правой полуокрестности этой точки, то есть для значений а > 0,75.

Последний результат в этом направлении был получен А. Ивичем. Он может быть сформулирован в следующем виде

AJcr) = —-— при <те 3V J 7(7-4 F

3 13 4' 17

При больших значениях а в настоящее время получены ещё более точные оценки величины N(a,T), но нами этот промежуток не рассматривается. В

77 13' 101*17 диссертации доказывается, что на промежутке Д =

N{a,T)«eTA{a){x-aY£, Vf >0 оценка выполняется для значений A(<j)=~. Поскольку при сгеД выполняется 51 3 неравенство —4' то данный результат является улучшением соответствующей оценки А. Ивича Vae А.

Следует отметить, что ряд работ известных математиков — Г. Монтгомери [8], М.Н. Хаксли [16], К. Рамачандры [17], Ф. Форти и С. Виолы [18], М. Ютилы [19], Д.Р. Хиз-Брауна [20] — был посвящен вопросу расширения границ при А0=((Г,,1], с<0,75, для которых выполняется оценка

А (сг) <2. Наилучший результат ах =j-j-, получен М. Ютилой [19].

Что же касается значений а, лежащих в левой окрестности точки сг0 = 0,75, то здесь наилучшей оценкой остается теорема Ингама в том смысле, что к настоящему времени удалось лишь уменьшить значение показателя степени в логарифмическом множителе L° в этой оценке, доведя его, как уже было отмечено, до значения с = 5.

Следует сказать, что за время, прошедшее после первого опубликования результата А.Э. Ингама, предложено много других схем доказательства, которые очень различаются.

В диссертации предложена новая модификация доказательства теоремы А.Э. Ингама. Её существенным моментом является вывод нижней оценки суммы модуля очень короткого начального отрезка ряда Дирихле, распространенной на все нули p = f3+iy дзета-функции Римана £{s), лежащих в прямоугольнике /3><т, |/j<7\ При этом нами в прямом виде не используется идея Г. Бора в модификации Ф. Карлсона, состоящая в рассмотрении произведения Mx(s)£(s), где Mx{s)^ju(n)n~s представляет собой «короткую» п< X частичную сумму формального ряда Дирихле для функции £(s)~l.

Первая глава диссертации посвящена изложению нового доказательства теоремы Ингама. Эта теорема доказывается в следующей формулировке.

Теорема 1.1. Пусть N{cr,t) обозначает число нулей дзета-функции Римана, лежащих в области Res>a>^, |lmsj<7\ Тогда при любом е>0 и 3

А (а)--справедлива оценка

2-е

N(a,t)«ea тА^-а)*е.

Доказательство теоремы опирается на новую оценку снизу среднего значения модуля «короткой» частичной суммы ряда Дирихле функции £(s).

Оно начинается со стандартного сведения оценки величины N(a,T) к оценке величины TV,, равной количеству нулей р функции £(s) в прямоугольнике Р вида Res ><7, Imse rT ■ с условием, что ординаты разных нулей отличаются между собой по крайней мере на единицу.

Затем значение ((s) = 0 в точке s = p записывается через приближенное функциональное уравнение Харди-Литтлвуда для функции g(s) в критической полосе ap)=0=i±+z(p) I +R[P). (2)

2 лу ia

Здесь \R{p)\«y'cr + T2yl-a«T2yl-\ z(p)«T2^ Значение параметра у з ч\

2^0,55 ^4(2-а) определим равенством У ~ mln ч /

Положим = = X ~Т7- В этих и<и ft ту/ м обозначениях равенство (2) записывается в виде

Q = Il+£2+R(p),

Положим « = 0,1 и разобьём суммирование в сумме £ , на две части. Получим

X,=Z»+X»= 1»-'+ I »-'. n<Ta Ta<n<y

В результате приходим к неравенству вида G<Fl+F1+Fi, где G^XlXn^)' р z |х u о» )Н= ад.^=хм • р р р

Следующие леммы первой главы устанавливают оценки G, Fl,F2,F3,

Лемма 1.4. Оценка величины G. Обозначим через h >100 произвольное натуральное число. Тогда для величины G справедлива оценка снизу вида

-ifg

G?>hNxT h . Лемма 1.5. Оценка величины Fx

Существует натуральное число т с условием 2<т<\\, для которого ьJL 1+1 з выполняется неравенство Fx<£ Nx 2тТ 2m L m, где A(cr) =-и £ = ЬГ.

2-е

Лемма 1.6. Оценка величины F2.

Имеет место следующее неравенство F2 «с NxT2~2<7l}2.

Лемма 1.7. Оценка величины Справедливо неравенство

F3 N{T .

Для завершения доказательства далее рассматриваются две возможности: fx > f2 и fx < f2. В первом случае приходим к оценке вида

N(a,T)«e TAW]~a)+\

Отсюда вытекает справедливость утверждения теоремы в первом случае, когда

В случае fx < f2 имеем

N{a,T)«e Т2{]-а)+£« тА{а){1-°)+£.

Это значит, что требуемая оценка справедлива и во втором случае; тем самым доказательство теоремы завершается.

Вторая глава посвящена выводу новой оценки функции N(a,T) для значений параметра <т, лежащего на промежутке Д =

И11

101'17

Основной целью является вывод неравенства вида N((7,T)<s:eTA^ где = - = 2,2173913., <теД и £ >0 сколь угодно мало.

Как было отмечено выше, наилучшей из известных к настоящему времени оценок подобного рода для данного промежутка является оценка А. Ивича, приводимая, в частности, в его монографии «The Riemann zeta-function» [4]. Она имеет тот же вид, что и приведенная выше оценка, но со

3 13 значением А (а) < А1 (<т) = --- при сге — v/ v У 7<J-4 ^ (4 17.

Сравнивая приведенную выше оценку А. Ивича с нашей оценкой, получаем, что разность л \ л( \ 51 51 21(13-17сг) . d(а) = А, (сг)--=---= —-^->0 к ' к ' 23 7с-4 23 23(7<т-4) при всех

13 ^

1=0.

17

Это означает, что результат, полученный в диссертации, является улучшением оценки А. Ивича при всех значениях а из интервала Д = Основная теорема второй главы сформулирована следующим образом. f 77 13N

101'17

Теорема 2.1. Обозначим через N{p,T) количество нулей дзета-функции

Римана C(s) в прямоугольнике Р вида Res^cr, 0<|1ш5,|<Г.

77

Тогда при а><у2 =— = 0,76237623762. выполняется оценка вида

101

N((7,T)«£T а(ст)(\-о)+е

51 где Л(<г) = —= 2,2173913. и е>0 сколь угодно мало.

Заметим, что при доказательстве теоремы 2.1. в лемме 2.1. получен новый результат, касающийся оценки остатка в формуле обращения для отрезка ряда Дирихле. Приведем формулировку этой леммы.

Лемма 2.1. Пусть s = <7+it, причем Res = <re (0,1). Тогда, при />10 и

1 < х0 < х < справедливо равенство

22 xn<k<x t t п

-<n<

2кх 2кхп

Здесь z(s) = T fl-s^ Г v2y

Г0'5 =

2яТ"-°'5 'И v ' /

1 + 0 И)

0,5-а u\x{s)\«f

С помощью данной леммы отрезок формального ряда Дирихле функции ^(s) в критической полосе выражается с некоторой погрешностью через другой отрезок того же ряда, но с заменой значения аргумента s на значение 1-5 с коэффициентом /(s).

Обычно эта лемма используется при выводе приближенного функционального уравнения для функции £(s) в критической полосе, то есть в полосе вида 0 < Re 5 < 1.

Наше доказательство, наоборот, опирается на приближенное функциональное уравнение. Это позволяет получить остаточный член, который уже не допускает понижения своего порядка.

Диссертация состоит из введения, двух глав, библиографии (25 наименований). Общий объем диссертации составляет 82 с.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Авдеев, Иван Федорович, 2007 год

1. 1.gham, А.Е. On the difference between consecutive primes Текст./ A.E. Ingham// Quart. J. Math., 8 (1937), P. 255-266.

2. Ingham, A.E. On the estimation of N(cr,T) Текст./ A.E. Ingham// Quart.J. Math., 11 (1940), P. 291-292.

3. Титчмарш, E.K. Теория дзета-функций Римана Текст./ Е.К.Титчмарш — М.: Издательство иностранной литературы. 1953.

4. Ivic, A. The Riemann zeta-fimction. The theory of the Riemann zeta-function with applications Текст./ Aleksandar Ivic. University of Belgrade. — Yugoslavia, 1985.

5. Воронин, C.M. Дзета-функция Римана Текст./ С.М.Воронин, А.А.Карацуба — М.: Физ-мат. лит., 1994. — 376 с.

6. Карацуба, А.А. Основы аналитической теории чисел Текст./ А.А. Карацуба — М.: Наука, 1983. — 240 с.

7. Дэвенпорт, Г. Мультипликативная теория чисел Текст./Г. Дэвенпорт -М.: Наука. 1971.-200 с.

8. Монтгомери, Г. Мультипликативная теория чисел Текст./ Г. Монтгомери — М.: МИР, 1974.-160 с.

9. Hoheisel, G. Primzahl probleme in der Analysis Текст./ G. Hoheisel// Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. 1930. -P.580-588.

10. Bor, H. Sur les zeros de la function f(s) de Riemann Текст./ H. Bor,E. Landau//C.R. Acad. Sci., 158,106-110,1914.

11. Carlson, F. Uber die Nullstellen der Dirichletschen Reihen und der Riemannschen f -Funktion Текст./ F. Carlson — Arkiv for Mat. Astr. och Fysik, 15 (№20) 1920.

12. Littlewood, J.E. On the zeros of the Riemann zeta-fiinction Текст./ J.E. Littlewood// Proc. Cambr. Phil. Soc., 22,295-318,1924.

13. Selberg, A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function Текст./A. Selberg//Arch, for Math, og Naturv. B, 48 (№5), 1946.

14. Bombieri, E., Density theorems for the zeta function Текст./ E. Bombieri// Proceedings of the Stony Brook Number Theory Conference, 1969, American Mathematical Society, Providence, to appear.

15. Прахар, К. Распределение простых чисел Текст./ К. Прахар — М.: МИР, 1967.

16. Huxley, M.N. Large values of Dirichlet polynomials Текст./ M.N. Huxley// Acta. Arith. 26,435-444,1975

17. Ramachandra, К Some new density estimates for the zeros of the Riemann zeta-function Текст./ К. Ramachandra// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1, 177-182,1975.

18. Forti, F.Density estimates for the zeros of L-functions Текст./ F. Forti, C. Viola//Acta Arith. 23, 379-391, 1973.

19. Jutila M. Zero-density estimates for L-functions Текст./ M. Jutila// Acta. Arith. 32, 52-62, 1977.

20. Heath-Brown, D.R. Zero-density estimates for the Riemann zeta-function and Dirichlet L-functions Текст./ D.R. Heath-Brown // J. London Math. Soc. 19(2), 221-232, 1979.

21. Авдеев, И.Ф. Об оценках снизу функции Чебышева в методе Гельфонда-Шнирельмана Текст./ И.Ф.Авдеев// Чебышевский сборник. — 2006. — Том 7, вып. 2. — С. 144-154.

22. Авдеев, И.Ф. О плотностной теореме Ингама для нулей дзета-функции Римана Текст./ И.Ф. Авдеев// Чебышевский сборник. —2006. — Том 7, вып. 4(20). — С.3-17.

23. Авдеев, И.Ф. О плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе Текст./ И.Ф, Авдеев// Вестник Московского университета. — Серия 1, Математика. Механика. —2007. —№6. —С.3-5.

24. Авдеев, И.Ф. Об оценках количества нетривиальных нулей дзета-функции Римана Текст. — Орел: Издательство Орловского государственного университета, 2007. — 57 с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.