Об оценках меры иррациональности некоторых значений логарифмической функции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Башмакова, Мария Геннадьевна

• Башмакова, Мария Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Башмакова, Мария Геннадьевна

Оглавление

1 Введение

: .1.1. .Основные идеи и методы

1.2 Вспомогательные утверждения

.1,3 Результаты диссертации

2 Рациональные приближения значений гипергеометрической

, ■ функций 2^(1,

2.1 Общая интегральная конструкция

2.2 Основной интеграл и его свойства

2.3 Оценка меры иррациональности \/31п (2+УЗ)

2.4 Оценка меры иррациональности л/21п

2.5 Оценка меры иррациональности чисел вида л/к агс1ап

2.6 Оценка меры иррациональности агс1ап

3 Интегральные конструкции Р.Марковеккио и Ю.В. Несте-ренко и их соответствие

3.1 Интеграл Р.Марковеккио

3.2 Интегральная конструкция Ю.В.Нестеренко

3.3 Симметризация используемой интегральной конструкции

4 Оценка мер иррациональности чисел

вида уЪкТТ

4.1 Основная интегральная конструкция

4.2 Исследование асимптотики

4.3 Оценки знаменателей

4.4 Оценка показателя иррациональности \/31п(2 + у/3)

4.5 Построение оценок при к — 21

4.6 Оценка показателя иррациональности у/Ъ 1п ^^

4.7 Оценка показателя квадратичной иррациональности числа

л/бЬ^- • " ' ' • • • ■ • ' ' • • • ■ • • •••••• • • • • • •

Литература

Приложение г

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оценках меры иррациональности некоторых значений логарифмической функции»

Введение

1.1 Основные идеи и методы

Одним из направлений теории диофантовых приближений является изучение арифметических свойств значений аналитических функций, в частности, приближение их рациональными дробями. Для всякого иррационального числа можно определить количественный показатель, характеризующий меру его близости к рациональным.

Определение 1 Мерой иррациональности (или показателем иррациональности) /¿(7) вещественного числа 7 называется нижняя граница чисел ¡1 таких, что для любого е > 0 существует <7о(£) > 0, такое, что неравенство

Г)

V

7 - ~ Ч

выполняется для всех целых чисел р, д при д >

Аналогичным образом можно определить меру квадратичной иррациональности числа ¡12(7), которая фактически описывает приближение данного числа 7 квадратичными иррациональностями.

Определение 2 Мерой квадратичной иррациональности /¿2(7) вещественного числа 7 называется нижняя граница чисел рь таких, что для любого е > 0 существует до(е) > 0. такое, что неравенство

-¡1-Е

\l-U\>q~»

выполняется для всех чисел U, являющихся корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами, не превосходящими по модулю q, при q>q0{e).

Точная величина показателя иррациональности известна для немногих чисел, для ряда чисел найдены только оценки сверху для /¿(7). В данной работе рассматриваются два новых метода построения таких оценок для некоторых значений гипергеометрической функции Гаусса:

гг.7 ьV ШЬК»- Г^ I ^ - ^'b"ldt ( ' ' ' n!(c)n -r(b)r(c-b)J (1 -zty ~

п-и 0

при выборе а=1,6=|,с=|. Заметим, что [4, формула (16), с. 110],

ZP/1 1 3 2ч 1,1 + 2

Fil, -, -; z ) = — ln-.

v '2'2' ' 2г 1-z

Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различными методами, начиная с работы К.Зигеля 1929 г. [44]. Современное состояние теории диофантовых приближений в той части, которая имеет отношение к данной работе, определяется работами Ф. Аморозо и К. Виолы[27], А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ваананена[35]-[36], Л.В. Данилова[5], Дж. Рина[40]-[41], М. Хата[32]-[34], М. Хуттнера[37]-[38], Г.В. Чудновского[30]-[31], Р. Марковеккио[39], Ю.В. Нестеренко[10], В.Х. Салихова[15]-[17] и др. Примерно с 80-х г. прошлого века основным

способом получения оценок мер иррациональности стало построение на основе интегральных конструкций малых линейных форм, имеющих "хорошие" оценки знаменателей коэффициентов. Поведение коэффициентов линейных форм и интегралов исследовалось при помощи асимптотических методов, знаменатель коэффициентов линейных форм оценивался с использованием различных схем сокращения простых чисел.

В настоящей работе применяется эта же схема, такие асимптотические методь1 как метод Лапласа, метод перевала и стандартная схема сокращения простых чисел, использовавшаяся в работах Г.В.Чудновского, Е.А.Рухадзе и М.Хата. В основу работы положены интегральные конструкции В.В.Зудилина и К.Виолы [46], Р.Марковеккио [39], Ю.В.Нестеренко [10]. Важной особенностью рассматриваемых интегральных конструкций является инвариантность интегралов относительно замены параметра х на К В интегральной конструкции К.Виолы и В.В.Зудилина это свойство изначально присутствовало, и применяемая модификация этого интеграла, улучшившая арифметические свойства, сохранила его. В интегральной конструкции Р.Марковеккио и соответствующем интеграле Ю.В. Нестерен-ко именно внесение этого свойства позволило получить новые результаты.

Симметризованные интегралы и ранее использовалась разными авторами, например, в работе Дж.Рина [40], но особенно повлияла идея симметричности на результаты работ В.Х. Салихова[15]-[16] и работавших под его руководством Е.С.Сальниковой[18]-[20] и Е.Б.Томашевской[21]-[23]. Ими использовались интегральные конструкции вида

Р

Я(х)(1х, где Я(2а — х) — Н(х).

а

Хорошие арифметические свойства таких интегралов позволили улучшить множество предыдущих результатов, как в вещественном, так и в комплексном случаях. Так, в статье В.Х.Салихова [16] была получена оценка числа 7г, наилучшая до настоящего времени: /л(-7г) < 7.6063... В данной работе используется симметричность другого вида.

Метод исследования, применяемый в первой части настоящей работы, использует идею К.Виолы и В.В.Зудилина. В 2008-м году в работе этих авторов [46] была приведена интересная интегральная конструкция, инвариантная относительно замены параметра х на ^ и позволяющая строить оценки меры иррациональности для чисел вида 1п , Ь € С.

В работе К.Виолы и В.В'.Зудилина был рассмотрен интеграл

гг. , } х2а(1 - х)ь(1 + х)ь 7 , ,

= 2 } (1.1)

о

1 Г (а + |)Г(6 + 1) _ / 1 1 3 1

Д2с+2 Г(а+Ь+|) ^ '2' 2' А2/'

где а, 6 > 0, с > 0-целые числа, А- алгебраическое число, |А| > 1. Как было показано, данный интеграл представляется в виде линейной формы с

рациональными коэффициентами от 1 и 1п ^—-. Был также отмечен тот

А ~Ь 1

интересный факт, что при определённом соотношении параметров линейная форма будет иметь рациональные коэффициенты даже при некоторых иррациональных А. Справедливо включение [46, формула (43)]

(12а24Ь+2(\ + \Л2 - 1 )2ШН{Ъ - а, 2а, 26; А + лЛ2 - 1) € Ъ 1п -- + Ъ,

А + 1

здесь и далее в,м означает наименьшее общее кратное чисел 1,.., М.

Данная интегральная конструкция, тем не менее, не давала новых результатов при оценке мер иррациональности, так что в неё потребовалось внести некоторые усовершенствования. Рассмотрим интеграл вида

1

1п(г,г1,г2,г3]Ь) = ! ¡п(Ъ,х)(1х, (2.1)

о

где

1п{Ь, х) =

х2ггп^х2___ _ х2^2гп-2г1П-2г2п-2г3пу2гп+2г2П+гзп+1

(¿2 _ я2)2гп+1 _ '

Г,п = 1,2,3; г1 + г2+г3<г, пеК, Ъ е С, |6| > 1. (2.2)

В подынтегральную функцию интеграла (1.1) здесь введены два дополнительных множителя. Множитель (х2 — р)2г2П улучшает арифметические свойства интеграла, поскольку не только гарантирует малость функции в окрестности нуля, но при специальном выборе Ь служит для компенсации некоторых множителей, возникающих в знаменателе. Множители (ж2 — 1)2гзП и х2г1П оказались менее значимыми и, как показало исследование, не улучшали результатов. По этой причине для получения оценок использовался частный случай интеграла (2.1) при г\ = г3 = 0, который

оказался проще по форме и более эффективен:

( "Р) -(2-10>

О

где г, б е М, г, й- чётные, г > з. Справедливо представление

/п(6) = Ёп(Ъ + 1) + А1п(Ь + 1) 1п

£ которое будет доказано в параграфе 2.1. На основе

этого представления при различном выборе Ь получены оценки значений меры иррациональности чисел у/к 1п ^^ и у/к arctan к £ М, к > 1. Ряд оценок усиливает предыдущие результаты. Отметим также, что интегралы (2.1), (2.10) в отличие от интеграла (1.1), не могут быть приведены заменой переменной к виду гипергеометрической функции Гаусса.

Во второй части работы используются интегральные конструкции Р.Марковеккио и Ю.В.Нестеренко. В 2009 г. в работе Р.Марковеккио[39] была получена новая оценка меры иррациональности числа 1п2, улучшившая результат Е.А.Рухадзе [14], остававшийся лучшим в течение 20 лет, и предложен способ оценки показателей иррациональности и квадратичной иррациональности чисел вида 1п—-—,а € N. Метод Р.Марковеккио

а + 1

имеет в своей основе двукратный несобственный комплексный интеграл. Подобная конструкция уже использовалась М.Хата, применившим такой интеграл в работе [34]. Следует отметить, что кратные интегралы в связи с диофантовыми приближениями изучаются достаточно давно. Более подробно ознакомиться с этим вопросом можно, например, в диссертационной работе С.А.Злобина [7].

Для точной оценки знаменателей Р.Марковеккио применял групповой метод Дж.Рина и К.Виолы [42]-[43], а для исследования асимптотик, также как и М.Хата [34], использовал метод перевала в С2, который оказался довольно сложным. Некоторое время спустя результат Р.Марковеккио для 1п2 был подтверждён Ю.В.Нестеренко [10] более простым способом, следующим в основном методу доказательства иррациональности числа ((3) работы [11]. Ю.В.Нестеренко использовал однократный комплексный

интеграл, что облегчило исследование асимптотики и не потребовало применения группового метода. Незначительная симметризующая модификация интегральной конструкции Р.Марковеккио и соответствующего интеграла Ю.В.Нестеренко позволила использовать в качестве параметра и некоторые иррациональные числа.

Рассмотрим интеграл вида

-ка+1 Г / \ 3

где

п = + 0 - 2а)п\ и + (6 - а)п\ А + Ьп\ _ (Ь-Ла)п )\ (Ь — 2а)п )\ Ъп ) ~ {я + 2ап + !)...(<? + (6- 2а)п) (д + ап + 1)...(<г + (Ь- а)п) {<; + 1)..,(<? + Ьп) ((6 — 4а)п)! {{Ъ-2а)п)\ [Ьп)\

¿-вертикальная прямая вида = С, — (6 — 2а)п < С < —2ап — 1, проходимая снизу вверх, х > 0, х ф 1, п-натуральное число, а, Ь Е М, такие что Ь > 4а, Ьп + 1—чётно.

Этот интеграл отличается от интеграла Ю.В.Нестеренко в частности

Ьп+1 1

множителем х 2 ) симметризующим его относительно замены х на -, по-

скольку, как будет доказано в главе 3, справедливо равенство Y(x) = ^(j)-Имеет место следующее представление

Y(x) = —Pix) 1п2ж + д(ж)1пж- ]-R{x) ~тгг(Р{х) Inx-Q{x)),

где Pix) = Pix + Qix) = (x - i)Q(x + R(x) = R{x + ¿), P{x),Q(x), R{x) E Q(a:), так что в качестве х можно использовать некоторые квадратичные иррациональности. Исследование линейных форм

7Г

= -P(X)\RX + Q(X)\ (4.1)

3

Ых- ЩУ{х)) = -Р{х)-Ь*х + -Щх). (4.2)

7г 2 2

позволяет строить приближения для Ых.

При выборе

к

этим методом было получено несколько новых результатов для показателя иррациональности чисел вида

к + 1 - л/2к + 1 г--Т1 у/2к + 1 + 1

У2ГП1п —^-= л^П 1п = 2^(1, ¡, |; ¿т),

в частности, улучшен показатель иррациональности числа л/51н , а также получена оценка меры его квадратичной иррациональности.

Следует отметить, что одним из классических разделов теории трансцендентных чисел является более общая задача получения оценок снизу для линейных форм от произвольного числа логарифмов алгебраических чисел с алгебраическими коэффициентами. Более подробно с современным состоянием данной проблемы можно ознакомиться, например, в работах Е.В.Матвеева [8],[9]. Оценки, полученные в настоящей диссертации более точные, чем те, которые можно получить общими методами.

1.2 Вспомогательные утверждения

Сформулируем далее коротко вспомогательные результаты и методы, которые понадобятся для исследования. Стандартным приёмом, который используется при построении рациональных приближений, является конструирование линейных форм и исследование поведения коэффициентов этих линейных форм при значении параметра, стремящемся к бесконечности.

Используя этот способ, будем опираться на две леммы, которые принадлежат М.Хата.

Лемма 1.1 [33, лемма 2.1] Пусть n <Е N, 7 G R, ln — qnl + Рп, где Qn,Pn £ 7— иррационально;

lim — In\qn\ = er, limsup — ln |/n| < — т, т > 0.

71 >00 П 7i—>00 П

Тогда ß(-y) < 1 + -.

T

Для оценки меры квадратичной иррациональности существует аналогичное утверждение, также доказанное М.Хата.

Лемма 1.2 [34, лемма 2.3] Пусть ^-вещественное иррациональное число, не являющееся квадратичной иррациональностью, РтЧп^гп £ Z, qn ^ 0 для любого 71 6 N. Обозначим еп = gn7 — = д„72 — rn. Пусть

lim — 1п|<?п| = er, max f lim sup — ln |en|, lim sup — ln |5n| J < —r,

n—>oc TT, у n—»oо n—>00 /

(7

при сг,т > 0. Тогда /¿2(7) < —■

r

В оригинале данное утверждение сформулировано в несколько более общем виде, но для дальнейшей работы достаточно приведённой формулировки.

Для исследования асимптотического поведения интегралов в работе

будут применяться такие методы как метод Лапласа и метод перевала.

Приведём основные идеи этих методов (см.[25]).

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

ь

F(X) = [ f(x)exs{x)d х, (1.2)

где S(x)— вещественнозначная функция. Л— большой положительный параметр, f(x) может принимать и комплексные значения. Пусть /— некоторый интервал, С[1]— класс непрерывных на / функций, Сг[/]— класс г раз непрерывно дифференцируемых на I функций, Se — сектор

|argA| <\~e<\i (е>0)

в комплексной плоскости А.

Теорема 1.1 [25, теорема 1.5, с.41] Пусть I — [а, Ь]-конечный отрезок и выполнены условия:

1. f(x),S(x)eC{I]

2. Максимум S(x) достигается только в точке Xq, а < xq < Ъ\

3.f{x) е С[/],5(х) е С3[ж0 -5,ж0 + (5], 5 > 0 и S"{x0) -ф 0.

Тогда при А —> со, A G SE (для сколь угодно малого е) справедлива формула

Fw - f5k/WeASW

Аналогичное свойство будет выполнено и в случае, если максимум подынтегральной функции достигается на конце отрезка интегрирования. Теорема 1.2 [25, теорема 1.4, с.41] Пусть I = [а, Ь]-конечный отрезок и выполнены условия: 1 .f(x),S(x)eC[l]

2. Максимум S(x) достигается только в точке xq = а;

3 .f(x),S(x) £ С°°[х 0,х0 + 5], Ь0« S"(x о) ^ 0.

■Тогда при А —> со, A G S£ имеет место асимптотическое равенство:

Метод Лапласа является частным случаем более общего метода исследования асимптотики комплексных интегралов - метода перевала. Рассмотрим интеграл

F(A) ^/(ф^^г,

7

где

А\ : 7-кусочно-гладкая кривая в комплексной плоскости 2, А-2 : функции /(;?), 5(2:) голоморфны в окрестности кривой 7 Л3 : При А > 0 выполнено условие

7

Определение 3 Точка го называется точкой перевала функции Б (г), если ¿''(го) = 0. Порядок точки перевала равен п > I, если

Б'(г0) = ... = 5(п)(го) = 0, о) 'ф 0.

Лемма 1.3 [25, лемма 1.2. с. 166] Пусть го-точка перевала порядка п функции Б (г). В малой окрестности V точки го линия уровня №£(г) = ^(¿о) состоит из п + 1 аналитических кривых, которые пересекаются в точке го и разбивают V на 2п + 2 секторов с углами при вершине. В соседних секторах знаки функции — ¿>(го)] различны.

Теорема 1.3 [25, теорема 1.3, с.170] Пусть тахЗ^Й'(г) достигается только в точке го, которая является внутренней точкой контура 7, простой точкой перевала функции 5(г) и выполнено условие Ао : В окрестности точки перевала го контур 7 проходит через два различных сектора, в которых Ш3(г) < о).

Тогда при А —> +оо

/ оо

7 к=О

Это асимптотическое разложение можно дифференцировать любое число раз.

Главный член асимптотики

а остаточный член имеет вид 0(А~2)еЛ5(г°). Выбор ветви корня при этом такой, что arg y/—S"(zo) равен углу между положительным направлением касательной к 7 в точке zq и положительным направлением вещественной оси.

Для уменьшения знаменателей коэффициентов линейных форм мы будем пользоваться стандартной схемой сокращения простых множителей, впервые использованной М.Хата. Справедливо следующее утверждение Лемма 1.4 [10, лемма б/Пусть и, v-действительные числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < и < v < 1. Тогда

lim — V In р = ip(v) — 1р(и),

71—> ОО fl -'

U<{*}<V

Г(ж)

гдеф(х) = ———-логарифмическая производная гамма-функции, а сумми-Г(ж)

рование ведётся по всем простым числам р, с условием, что дробная часть удовлетворяет неравенствам, указанным под знаком суммы.

1.3 Результаты диссертации

Оценки показателя иррациональности для чисел, являющихся значениями гипергеометрической функции Гаусса были получены многими авторами. В 1987 г. Дж. Рин в работе [40] получил оценку для 2F-(1,|,|;|) = л/3ln(2 + л/3), составившую д(л/31п(2 + УЗ)) < 17.207... В статье 1994 г. А.Хеймонена, Т.Матала-Ахо и К.Ваананена [36] был предложен способ получения оценок меры иррациональности значений F( 1, 1 + z) и приведено много конкретных оценок, послуживших ориентиром для дальнейших исследований. В ней также был получен р—адический аналог этих результатов. Заметим, что этой тематикой занимается широкий круг специалистов, см. например [26],[29].

13 1 2 л/2 1

В частности, для F(l,-,-;-) = л/2 In—j=- в работе [36] было

2 2 8 2у2 — 1

л/2 In —- I < 41.032... Оба указанных результата были

улучшены в 2008 г. Е.С. Сальниковой [19], которая доказала следующие

неравенства: ¡л

л/2 In г < 12.356... и /¿(л/31п(2 + л/3)) < 15.659... В своей работе Е.С.Сальникова использовала интеграл с симметричной подынтегральной функцией приведённого выше вида.

Тем же способом, то есть с помощью комплексного интеграла от сим-

метризованной функции, Е.Б.Томашевской [22] была получена оценка для

„,13 1 , 1ч „ „о

числа F(1, —, —; — —) = arctan-, составившая /¿(arctan-) < 6.63... 2 2 9 3 3

Применение интегральной конструкции (2.10) при различном выборе b позволило получить новые оценки меры иррациональности этих чисел.

При Ь — у/к + у/к — 1, к € N исследуются числа числа вида

гт, у/к + 1 13 1,

7ГГ1 = 2-

Справедливы следующие утверждения, которые будут доказаны во второй главе диссертации.

Лемма 2.3 Для любого к £ М, к > 1,6 = у/к + у/к — 1, существуют р(к),а{к) €Е такие что

1 = + А^ 1п вп, Лп е 2.

2у/к п" у/к-V

Лемма 2.4 Пусть чётные, г > в; к е М, к > 1; ¿/(/с) опреде-

ляется в соответствии с леммой 2.3 и выполнено: —К — 1пМ > О,

/ 1 \г"6' 1

где М = тах 4 - 1 - - - /- * ,-, , ,

V г/ \,2\/А;/ {у/к + у/к^1у+8 \

К = г + и(к) 1п2.

ТЬг^а справедливо неравенство:

^ + (г + 5) 1п(УА; + у/к - 1)

¡л

у/к 1п .— < 1-

у/к-1)~ К+ 1пМ

Применение леммы 2.4 позволяет получить следующие результаты: Теорема 1.4 Справедливы следующие оценки меры иррациональности:

1./1(уД\п (2 + л/3)) < 12.451818... 2.а (л/21П2у^ + 1 ) < 11.650036...

2уД-1) ~

Улучшение результатов произошло при тех значениях Ь, при которых выражения (Ь + 1)^ и (Ь — 1)к делятся на максимальную степень числа 2, поскольку в этих случаях сокращается большая часть знаменателя.

При Ь — т + у/т2 — 1, т € М, т > 1 можно строить оценки для

логарифмов рациональных чисел, так как в представлении интеграла (2.1)

6+1 1, т + 1

--= - ш-

6-1 2 т-1

результаты оказались хуже предыдущих. Так, выбор т = 3 даёт возмож-

, 1 _ ,0-1-1 i. rati имеем b + j = 2т и m --- = — In--, но в этих случаях полученные

ность оценить меру иррациональности числа 1п2. Однако, перебор параметров г,гг, г = 1,2,3 не дал лучшего результата чем 1п2) < 4.1344..., что хуже уже имеющихся оценок, наилучшая из которых на данный момент /л(1п2) < 3.5745... принадлежит Р.Марковеккио[39].

При т — 2 была получена оценка /¿(1пЗ) < 15.115.., что намного уступает лучшему результату для этого числа, полученному В.Х. Салихо-вым[15] дг(1п3) < 5.125... при помощи симметризованного интеграла.

5

При т-= 4 результат составил ц(\п -) < 7.5779.., тогда как в работе

о

5

Е.С.Сальниковой [18] было доказано неравенство /л(1п -) < 5.651... Резуль-

О

тат Е. С.Сальниковой обусловлен специализированной конструкцией инте-

2^ + 1

грала, позволяющей более точно приближать именно числа вида 1п —г--.

2 1

з

При т — Ъ была доказана оценка /¿(1п -) < 3.458..., а результат

3

/¿(1п-) < 3.331.. получен в [35], где авторы, используя аппроксимации Паде

¿Л

для гипергеометрической функции, доказали общую теорему об оценках меры иррациональности логарифмов рациональных чисел.

В качестве Ъ можно взять и комплексное значение. Использование интегральной конструкции (2.10) при выборе Ъ = (у/к + 1 + у/к)г позволяет доказать следующие утверждения.

Лемма 2.7 Для любого к Е М, Ь = (у/к + 1+у/к)1 существуют и(к),а(к) Е

такие, что

1 -Х(Ъ) ■ дгп= ах<Лап ^г + Вт А1п, Вп е

гу/к ГП у/к у/к

Лемма 2.8 Пусть к € М, к > 1; г, я € М, чётные, г > е. такие что ■? > и выполнено: —К — 1п М > О,

где М = — ' ^ ~ г + и(к) 1п 2, ¡у(к) определяет-

ся в соответствии с леммой 2.7. Тогда справедливо неравенство: ( пг , К + (г+ з) 1п{у/к + 1 + у/к)

у/к аг^ап —1 <1 V у/к) ~ К + ЫМ

Выбор Ь — (3 + л/10)г в этом случае позволяет получить оценку, усиливающую приведённый выше результат Е.Б.Томашевской. Теорема 1.5 Справедлива следующая оценка:

¿¿(аг^ап^) < 6.199967...

о

Прочие результаты, полученные с использованием леммы 2.8, оказались не столь интересными, например при Ъ — (у/7 + у/8)г оценка составила /¿{у/7 агс!ап < 4.48028..., что несколько хуже предыдущего результата /¿{у/7агсйап^) < 4.0298..., приведённого в статье [36]. Доказательство теорем 1.4,1.5 будет рассмотрено в главе 2 диссертации.

Во второй части работы применён метод, использующий интегральную конструкцию Р.Марковеккио и её более простой вариант, предложенный Ю.В.Нестеренко. В главе 3 подробно объясняется соответствие этих двух методов, а в следующей главе интегральная конструкция Ю.В. Не-

стеренко применяется для значений параметра вида (4.3), что позволяет получить несколько новых оценок меры иррациональности.

Исследование линейных форм (4.1)(4.2) даёт следующие результаты: Теорема 1.6 Справедлива следующая оценка меры иррациональности:

fjt(V31п(2 + л/3)) < 11.91852...

Теорема 1.7 Справедлива следующая оценка меры иррациональности:

fi{V51п^+ < 3.71331...

/j

Доказательство этих неравенств будет приведено в главе 4. Первая из оценок, получаемая при к = 1, усиливает приведённую выше и получаемую в главе 2. Улучшение происходит благодаря сокращению знаменателей, которого не было в предыдущем случае.

Вторая оценка при к = 2 оказалась наиболее значимой для данного метода. Оценки для показателя иррациональности числа у/5 ln^ti были получены многими авторами. Так, А.К.Дубицкасом [6] было доказано

/i(V51n(1 + ^)) < 4.5, а М.Хата [33] получил /¿(VEln(1 + < 4.4937... 2 2

Последний результат был улучшен в работе Е.С.Сальниковой [19] и составил ——)) < 4.4562... Заметим, что оценку данного числа можно получить и с помощью интегральной конструкции (2.10), при b = 2+л/5, но она оказалась несколько хуже: 4.8173...

Следует отметить, что параметры, при которых достигаются обе приведённых в теоремах 1.6.1.7 оценки: b = 7, а = 1, совпадают с параметрами, для которых Ю.В.Нестеренко доказана оценка для In 2.

Другие результаты, полученные с помощью интегральной конструк-

ции (3.21), оказались не столь значимыми. Так как дополнительный мно-

Ьп+1 ,

житель х г при увеличении к существенно ухудшает асимптотику, то дальнейшие оценки значительно уступают уже имеющимся. Для к = 6 наилучший результат был получен при а = 4, Ь = 37 и составил

и, (\/131п 1 ) < 11.286..., лДЗ-1/ "

а для к = 8 при а = 4, 6 = 39 получим

/л | \/171п 1 1 < 18.937..., >/17-1/ ~

и с увеличением к результаты быстро ухудшаются. Между тем, метод рассмотренный в статье [35] для оценки значений ^(1, |; даёт неравенство п < 3.86..., и с увеличением параметра я (при нечётных з) значения оценок, напротив, убывают.

При нечётных к > 1 применение рассматриваемого метода оказалось невозможным из-за больших знаменателей. Заметим, что при к = 4 можно получить результат Р.Марковеккио для 1п2.

Применяемая интегральная конструкция позволяет также оценить меру квадратичной иррациональности 1пж, как это было сделано в [39], [13]. Для параметра х указанного вида оценка меры квадратичной иррациональности была получена только при к — 2, т.е. для числа х/Мп^-к При Ъ = 91, а = 10 имеем

Теорема 1.8 Справедлива оценка меры, квадратичной иррациональности:

ц2 I л/51п 1 ] < 33.0094...

Мера квадратичной иррациональности для этого числа ранее не оценивалась. Для остальных чисел вида (4.3) меру квадратичной иррациональности оценить этим способом не удалось, поскольку знаменатели дробей оказываются слишком велики.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [1]-[3], [28].

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В.Х. Са-лихову за интересную тему и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Башмакова, Мария Геннадьевна, 2011 год

Литература

[1] Башмакова М.Г. О приближении значений гипергеометричеекой функции Гаусса рациональными дробями. // Матемаические заметки. 2010. Т.88. №6. С.823-835.

[2] Башмакова М.Г. Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения". // Чебышевский сборник. 2010. Т.Н. №1. С.47-53.

[3] Башмакова М.Г. Два подхода к оценке мер иррациональности значений гипергеометрической функции с полуцелыми параметрами.//Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. №2. С.114-120.

[4] Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Изд-во "Наука". 1973. 296 с.

[5] Данилов Л.В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках.// Математические заметки. 1978. Т. 24. №4. С.449-458.

[6] Дубицкас А.К. Приближения логарифмов некоторых чисел. // Ди-офантовы приближения. 4.2 М.: Изд-во Московского университета. 1986. С.23-34.

[7] Злобин С.А. Кратные интегралы и обобщённые полилогарифмы. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова. 2005. 135 стр.

[8] Матвеев Е.В. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел.// Известия РАН. Сер. матем. 1998. Т.62. №5. С.81-136.

[9] Матвеев Е.В. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. II// Известия РАН. Сер. матем. 2000. Т.64. №6. С.125-180.

[10] Нестеренко Ю.В. О показателе иррациональности числа In 2.// Математические заметки. 2010- Т.88. №4. С.550-565.

[11] Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о С(3)-//Математические заметки. 1996. Т.59. №6. С.865-880.

[12] Полянский A.A. О квадратичном показателе иррациональности In 2.// Дипломная работа. Московский Государственный университет им. М.В.Ломоносова, мех.-мат. каф."Теория чисел". 2010.

[13] Полянский A.A. О квадратичном показателе иррациональности In 2.//Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика. 2011. № 1. стр. 3-8.

[14] Рухадзе Е.А. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами.//Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика. 1987. № 6. С.25-29.

[15] Салихов В.Х. О мере иррацональности 1пЗ.// Доклады академии наук РФ. 2007. Т.417. № 6. С. 753-755.

[16] Салихов В.Х. О мере иррациональности числа 7г.// Успехи математических наук. 2008. Т.бЗ. №3. С.163-164.

[17] Салихов В.Х. Сальникова Е.С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения."// Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 1. С.111-119.

[18] Сальникова Е.С. Диофантовы приближения к^2 и других логарифмов. // Математические заметки. 2008. Т.83. №3. С.428-438.

[19] Сальникова Е.С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса.// Чебышевский сборник. 2007. Т.8. № 2. С.88-96.

[20] Сальникова Е.С. Оценка снизу приближения \og2 квадратичными ир-рациональностями.// Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. №2. С. 109-114.

[21] Томашевская Е.Б. О диофантовых приближениях числа 7г числами из поля <СН\/3).// Математические заметки. 2008. Т.83. №6. С.912-922.

[22] Томашевская Е.Б. О мере иррациональности числа 1п5+| и некоторых других чисел.//Чебышевский сборник. Т.8. №2. С.97-108.

[23] Томашевская Е.Б. Совместные приближения 1п2 и агс!ап|.// Вестник Брянского государственного технического университета. 2006. №4. С.126-130.

[24] Уитеккер Э.Т.,Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. 4.2, Трансцендентные функции. М.: Изд-во Физматгиз. 1963. 516 стр.

[25] Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Изд-во "Наука". 1977. 368 с.

[26] Чирский В.Г. Метод Зигеля-Шидловского в р—адической области.// Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. №6. С.619-625.

[27] Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers.// Ann. Scuola normale superiore (Pisa). 2001. Vol. XXX. P.225-249.

[28] Bashmakova M.G. Estimates for the exponent of irrationality for certain values of hypergeometric functions.// Moscow Jour, of Combinatorics and Number theory. 2011. Vol. 1. P.67-78.

[29] Bundschuh P. Zur Approximation gewisser p-adischer algebraischer Zahlen durch rationalen Zahlen.// J. Reine Angew. Math. 1974. Vol. 265. S.154-159.

[30] Chudnovsky G.V. Hermite-Pade approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of 7Г.// Lecture Notes in Mathematics. 1982. Vol. 952. P. 299-322.

[31] Chudnovsky G.V. On the method of Thue-Siegel.// Ann. of Math. 1983. Vol.117. №2. P.325-382.

[32] Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions. // Acta Arithm. 1992. Vol. LX. №4. P.335-347.

[33] Hata M. Rational approximations to 7r and some other numbers.// Acta Arithm. 1993. Vol. LXIII. №4. P. 335-349.

[34] Hata M. C2-saddle method and Beukers' integral. //Trans. Amer. Math. Soc. 2000. Vol.352. №1-2. P.183-202.

[35] Heimonen A.,Matala-Aho T., Väänänen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function.// Manuscripta Math. 1993. Vol.81. P.183-202.

[36] Heimonen A.,Matala-Aho T., Väänänen К. An application of Jacobi type polinomias to irrationality measures. // Bulletin of the australian mathematical society. 1994. Vol.50. №2. P. 225-243

[37] Huttner M. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques.// J.Number Theory. 1987. Vol.26. P.166-178.

[38] Huttner M. On linear independence measures of some abelian integrals.// Kyushu J. Math. 2003. Vol. 57. №1. P.129-157.

[39] Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for In 2.// Acta Aritm. 2009. Vol. 139. №2. P.147-184.

[40] Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité. // Progr. in math. 1987. Vol.71. P.155-164.

[41] Rhin G. Sur l'approximation diophantienne simultanée de deux logarithmes de nombres rationnels.//Progr. in math. 1983. Vol.31. P.247-258.

[42] Rhin G., Viola C. On a permutation group related to ((2).//Acta Arithm. 1996. Vol.77. № 1. P.23-56.

[43] Rhin G., Viola С. The group structure for C(3).//Acta Arithm. 2001. Vol.97. № 3. P.269-293.

[44] Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen.// Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys., Math. Kl. 1929-1930. №1. S.l-70.

[45] Viola С. Hypergeometric functions and irrationality measures.// Analitic number theory (Kyoto).1996. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 247. Cambrige Univ. Press. Cambrige (1997). P.353-360.

[46] Viola C.,Zudilin W. Hypergeometric transformations of linear forms in one logarithm. // Funct. Approx. Comment. Math. 2008. Vol.39. № 2. P.211-222.