Об областях притяжения многомерных устойчивых распределений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Рвачева Е.Л.

• Рвачева Е.Л.
• 1950

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об областях притяжения многомерных устойчивых распределений»

Настоящая работа посвящена некоторым обобщениям предельных закрномерностей для суш независимых случайных г :■<• величин, подробно изложенных в книге Б.В.Гнеденко и А.Н.Колмогорова [э] > на многомерный случай.

Основные? понятия и основные теоремы, для многомерных случайных векторов изложены в работах Б.В.Гнеденко [Ч] , П.Левп [13'] , Г.Крамера ГПД2] .

В § 1-2 обобщены на многомерный случай предельные теоремы для сумм безгранично делимых и произвольно распределенных независимых бесконечно малых слагаемых. Результаты этих §§ не претендуют на новизну, но они, пови— дшяому, публикуются впервые. Доказательство основано на перенесении на многомерные распределения метода Б.В.Гне^ денко, использованного им для изучения предельных зако -номерностей для суш независимых случайных величин [1,3] и построенного на всестороннем использовании безгранично делимых распределений.

В § 3 приведены результаты, относящиеся к устойчивым распределениям, т.е. распределениям, обладающим следующим свойством: каковы бы ни были положительные числа. и

Вд и постоянные векторы я/) , ^я/О » существуют такое положительное число -«В и постоянный вектор Я г/в»*.--, » что для функции распределения

Ох:,,., лч) имеет место соотношение ? (л, ч Г 3., а'&) * £ +а» ^ д^ О, где * означает знак композиции законов. Эт-о определение устойчивых распределений,рассмотренных Леви fis] и Фельд-хеймом fi?] Лшасс так -определенных устойчивых распределений, как показали в одномерном случае А.Н-.Хдкчин ш И.Лева [" 15,ïô] »совпадает с классом распределе ний предельных для нормированиях суш независимых случайных одинаково раог-пр©деленных векторов где постоянные В*>0 ц постоянные векторы Лн-^,,.-,^) надлежаще выбраны.

В § 4 для так:«; образом определенных устойчивых распределений получены области притяжения, т.е. найдены необходимые к достаточные условия того,чтобы для данной последовательности взаимно независимых одинаково распределенных 5 -мерных случайных векторов- кг при надле;ка~ щегл подборе постоянных векторов к полоштелъных постоянных распределения нормированных суш /I/ сходились -к данному устойчивому распределению.Тем сашм обобщены соответствующие результаты А.ЯЛянчина., П.Леш? к В.Феллера /си.,напр., [э] / для нормального, одномерного рае пределешш,. а также результаты Б.В.Рнеденко [2] в В, Дё блина Гю] для остальных устойчивых распределений. Вывод результатов основан на использовании общих тесре?л о сходдшости сух,® не зависимых случайных векторов-, изложенных в § 1-2 .

§ 5 посвящен изучению' Свойств многомерных решетчатых распределений. Получен характеристический признак 5* члерно го решетчатого распределения.•

В § 6 доказана многомерная локальная предельная.тео? рема для общего. случая одинаково распределенных решетчатых, слагаемых для предельных в указанном вше .смысле устойчи вых распределений. Теорема обобщает полученные в последние годы результаты Б.Б.Гнеденко ["5,6,7,8] на многомерный слу* чай, а также результат [l4J ,полученный для нормального а предельного распределения в предположении конечных, дисперсий у слагаемых, на общий случай. Доказательстве) основано на-.обобщении метода Б-.В:.Гнеденко, примененного им в: работе [в]. *

Настоящая работа, доводит до .конца решение- задач., свя^ . занннх с шюгоиернши устойчивыми тэаехфеделэншшн., толькоs. I — в одном направлении. Иаеотся большое число вопросов еще-ожидающих своего решения. Ограничимся указанием-.на-один : нз таких вопросов, который представляется нам первооч-еред-ншл. .

Назовем S -мерное распределение устойчивом в обобщенном сшсле., если, каковы бы ни /были неособенное: матрицы к /ранга 5 /, всегда найдется-неособая/матрица-Л /ранга S /такая, что для функции распределения -?Y>0 = gs) будет выполнено соотношение,

Здесь j^X означает жнейное-преобразование аргументов ос, с помощью мазгрицы . Л

Каков класс распределений,устойчивых в этом смысле ?

Каковы условия притяжения к этим устойчивым законам, если соответствующим образом обобщить также определение области притяжения ?

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф.Б.В^Гнеденко за постановку задачи и ряд ценных указаний цри её решении* а также за постоянный интерес и внимание, оказанное им при выполнении данной работы.

§ I. Многомерные безгранично делимые распределения

Назовем 5 -мерный случайный вектор безгранично делимым, если при любом натуральном п он может быть представлен в виде суммы = + /I/ и. взаимно независимых одинаково распределенные слагаемых * Соответствующую вероятностную функцию назовем безгранично делимой, а характеристическую функцию-безгра-нично делимой характеристической функцией. Это определение, очевидно, равносильно такому: в -мерное распределение вероятностей является безгранично делимым, если его характеристическая функция = при любом натуральном а является п. -ой степенью некоторой характеристической функции.

Известно [18] > что для того чтобы функция УСт) была характеристической функцией некоторого б -мерного безгранично делимого распределения, необходимо и достаточно,чтобы её логарифм мог быть представлен в виде е^тысгг /г/ где I -(Г. т произвольный постоянный вектор; X = (ос,5. ,эс5) - вектор, конец которого находится в ¿Л ; Стг), (ТХ) - скалярное произведение векторов Т и Г , Т и X соответственно; - ^ ~ модуль вектора X ;. <$(и) - вполне аддитивная, неотрицательная функция множества, < .

Представление формулой /2/ единственно„

Если ввести обозначения м " а-* о * то формула /2/ может быть представлена в. виде или в виде ц ^(т) -- сСтп) ,т -/-^ иым) + ■

4/ где вектор . П имеет компоненты .-.

1*г дым). { ^ о}(ым), <\---'Ал., 8)■■ ■

Известны [18] .следующие свойства многомерных безгра нично делимых распределений: .

1, Характериссшчеекшг функция многомерного безгранично делимого распределения не обращается в нуль ни? при каком конечном значении модуля вектора

2. Вероятностная функция суммы конечного числа взаимно независимых безгранично делимых случайных векторов/ безгранично делима.

3. Распределение,предельное для безгранично делимых распределений, безгранично делимо. .

4. фи любом функция ^ (Ъу.-^), где

- характеристическая функция безгранично делимого распределения, является характеристической функцией. о

5. Совокупность безгранично делимых распределений совпадает с совокупность® распределений, являющихся коЕшозпцией конечного чпсла законов Пуассона и предель ных для них, •

Теорема I» Для сходимости последовательности многомерных безгранично делшшх распределений к пре дельному распределении РМ необходимо ж достаточно, чтобы при. °° х. -сдии^дсу), где -2Г - интервалы непрерывности функции." впда ; где сфери ческие координаты,

3, Г„*(Г,О — Т-ГГ,,'

Здесь функции Ц* , % и постоянные - Г* , опре. делены:формулой /2/ для распределений Необхо^шо^ть.- Пусть Р* Ш) Р&*) .Тогда равномерно в каждом конечном интервале ^ / г -модуль вектора Т / .^Ст) > Так как Ч, -т) и Ч (т) ни при. одном Т не обращаются в нуль, то. при-/ п. —-¡»о т)=,((та+] (¿<"11^ ~> откуда . . V 1 :

Покажем, что (м} ограничены в совокупности,Рассио-трим множества■ (с~\32и £<: ='А---,^ :

С; . у? 1 - I р, >-5 •

Очевидно, что; ,

С — I

Для любого.-£>о при достаточно больших а

5. g откуда

Для любого в > о , при достаточно больших п.

- £ Л ( 0,., f С /• ■ ■ ,0) + г ^ ((-Cri t{ ) Q!„ (d м) }

2ÏS <-t) i Откуда g.г»»-) /^(*>-~л->~,о)<<*<+г

Из соотношений /б/ и /7/ следует ограниченность в совокупности« .

По первой теореме Хелли существует подпоследовательность , сходящаяся к предельной функции $ на каждом интервале непрерывности функции Oj, (ж) . Пока -ием, что QjhK(Às)-* Qj,t&s)\

Для этого достаточно показать, что

0J (§>£) = J * 0 /8/

Пусть £ >0 . Для достаточно больших * Для достаточно больших ^ > О

- \с /О -ыл^)^ 0](ым).

Обозначим через .-М-;. ., множества .

Г ? > Я "

Л - = 4 ? ^ УТ

Таким образом.

I г с хс \ ¿±£4£* г^м)

9<С " С О-см^Хс) 41 С^^сым).

Возьмем среднее значение по £<; от обеих частей поел последнего неравенства в интервале . .О.^ЬУ^

Получим „ . 2 V?

Г г, \ ;-н?£ ■ . $¿0 • я *

Л С< - \

Так как подынтегральная функция в левой части при равномерно при стрештея к нулю, то в силу произ-~

ВОЛЬНОСТИ • £ 1

Мс откуда следует /8/.

Тогда в силу обобщенной второй теоремы Хеллн имеем

С другой.стороны

Таким образом- последовательность ^ушёет ' " предел . Г5) . в • силу единственнооти представде нея логарифма характеристической функции безгранично делимого распределения формулой /2/ при лйбогя шборе. под-последовательности ' > :а значит .и . для самой*; по еледо-ватедьностилЛ'•. имеем чем доказана необходимость условия. .

Для доказательства дошаточности условий теореш, надо показать / что Ль Л равномерно в каждом конечном интервале 8 а это следует из однозначности определения вероятностной функции по ее характернее ческой функции- '.[■&} .

Теорема 2. Для того чтобы последовательность безгранично делимых распределений сходиласть при > к-^оо. к предельному распределению Р(~и) необходимо и достаточно, чтобы при

I , Мп С~3)СЗ) на интервалах непрерывности функции Л{М) вида 7 Ч? :> £ ; * Ч", , • • ■ 3 < Ъч) / р 9 - сферические координаты/^;

2. Г„ Г ) 3. ■ ГСтх)% (Ым) +С1^(т) = 0><;Ст);

О*) . • ' функции Х.Л', , Яг'т) и постоянные 1> -.„'Г определяются формулой /4/ для распределений Ви^) и РОл) ' ,

Доказательство этой теоремы следует из второй обобщенной теоремы Хелли и из теоремы I.

§ 2. Суммы произвольно распределенных вешшиов.

Рассмотрим последовательность Б ^мерных случайных векторов % „ ,,*« »> каждый из которых представляет собой сумму некоторого числа взаимно независимых случай-^ ных векторов

К«- + . /|/

Пусть при надаенащем подборе постоянных 5 чаерных векторов Д, - распределения вешарев к * - Л-н сходятся к предельному. Как и в одномерном случае Г9} при решении'общей задачи о природе предельных распределен ний для сумм /1/ представляется разуш-шм принять следую-* щие ограничения: слагаеше (iskzk») н должны быть предельно постоянными*. Это означает,что для случайных векторов è,hk можно подобрать такие постоянные векторы }., ,что при произвольном £>о п п^оо равномерно относительно к [i зк ^к* — о,

Cz-i

Если все достоянные векторы можно заменить вектором O(0j.;o) 5 то есдичкик назовем бесконечно малыми.,

Назовегл медианой постояшшй вектор Jà , ,, координаты которого определяются из соотношений j т(ым) > j ; '

-Л'

Zc^CLi)-

• Лемма ,I.В "качества постоянных ддк предельно пов-стоянных векторов можно взять медианы. =

Действительно, по определению предельного постоянства векторов для. достаточно больших ь.

Р f I 5 > I-*?;

Докажем, что

1 = /

Пусть

С)* ^с, тогда

-С I - / ~ ^ = * >

С-1

Далее ■''.■ р{1и - Д* I?а 1=р

4 •>' . - сия ; ?:- *„1 - -V.! >. •< ? --. с р{! Х^ - - + -I> а { * £ , • что противоречит исходному: лредположенив о предельной постоянстве . Лемма 2. Условие бесконечной малости величин эквивалентно условию 5

Пусть величины - бесконечно мала,-, т.е.;

Р{ /4/ ЙО равномерно относительно, .Тогда

5 —•>•0 з к И

4 Р*^) + Р(

Пусть соотношение /3/имеет Уёсто,.Тогда / тЙ ^ ^ ^ / й,„(м) = 7 о

Таким образом кз соотношения /3/ следует /4/,что дока-:, зквает капе утвераденпэ.

Легко видеть» что условие- цредельного постоянства может быть-записано & виде -I ¿¿р* . где медиана, ^нк (*) - - ■.

Лемма 3. -Для того чтобы случайные векторы к*; л = /,2,. )• были бесконечно малшлн, необходимо чтобы их характеристические функции ^»ч£■*«,равно мерно относительно ./с [! ^ к кИ] -и ± в любом ко-' нечном интервале 't ■Ct^t¿'] сходились к единице. Пусть -бесконечно малы, £>о .Имеем

I иА= л<р // (ес(г*11) Рмк см) I < ^ (о/Л/) + ' (с^).

А: ?<Г£ к

Для произвольного ^>0 . и конечного - t при достаточно малом- £>С .(?<£} г cirO , , . '. sup j le£Cn)-i\ Phk(dM)<i>?. :

Так как бесконечно малы

Suf 2 I П п для больших УЬ к

Деша 4. Если црпнекотором подборе постоянных: •Ar^/.,распределения суш

S* = Ж и, + • - • ~~ независимых предельно постоянных случайных .векторов сходятся к предельному, то существует такое; постоянное С ^.оо. что

J + /Ь/

Х-' Rs Г где -медиана вектора ¿„^ •, -его функция растре .деления. .

Доказа£ет.стЕо^ Обйзнашш .

ОРиь (х)■ и соответствующую характеристически функцию через р С^,. }±$) По УСЛОВИЮ. ЛбМШ'

-¿(тл„) л ССТМьм.) \ где ^- характеристическая функция предельного распределения•Отсюда

Б области £ ¿-ос, И>(±„.3±5)/>0 .Имеем ■ - ^ ■ к.-/

Обозначите

В силу бесконечной малости величин —равномерно относительно /с Г/й/с^Ло,] 1 щш /7-*.*, г таким образом при ^ [Ь имеем .

При достаточно, большом >г ¡ыИк I ^ .Таким образом

Следовательно:, -при £ >0 и ^ р> а*

В силу бесконечной малости для каждого о при достаточно большом п- шлеем

I - С ы (тх) (*))*= ы м). • /7/

Обозначим через % ^ ', ^ области -одна из областей. ^ , Г'" , для которой 5/У7-ЭС,- ^с Л^/'л;^.- о/ ^ М}* С^'Л-Л - •

Для произвольного а? •. цри достаточно больших л. имеем у." с

По неравенству БуияковскоготШварца у. у. ■■ у. х

Из неравенств /б/»./7Д/8/, получаем: х)} ^с/д.^;.

Для достаточно больших п можно выбрать ^<

Тогда

1 /о,

Отсюда где через ^ обозначена, область ('^'1 «'I1 . отсюда I а ^

Далее к

Э/ где через Мс 6 = обозначены мновества

-.Очевидно 5

Из соотношений /З/./Ю/ получаем г г) тй м^ * ¿¿и С*)*'

Ы. °<- ¿-I с = > о ■ что и требовалось доказать.

Леша 5.Если при некотором подборе постоянных Л = распределения суш $„ = + - А независимых бесконечно малых случайных векторов сходятся при п-^ оо к предельному, то существует такое постоянное число С , что к-ь / Л. где вектор Л.кк=) имеет кошоненты

9<г т -произвольное число > о

Доказательство этой леш.щ непосредственно следует из доказательства леммы 4»,

На основании приведенных лемм 1*5 легко получить доказательства следующих теорем.

Теорема 1« Для того чтобы при некотором подборе постоянных векторов ¿А* распределения суш бесконечно малых -независимых случайных векторов сходились к предельно^, необходимо и достаточно, чтобы к предельному распределению сходилась безгранично делишх,логарифмы характеристических функций которых, - ^Съ,.^) даются формулой 5) = ;

СтХ) * Г {+У.Се(гг1/)с/Л, У, где вектор ) шлеет компоненты

С = ] х^^ (х),- - полонителыюе постоянное*. Предельные распределен ния для обеих последовательностей совпадают*

Теорема 2, Для того чтобы распределение РСм) могло быть предельным для ерш независимых в каадой сутте. цр сдельно. постоянных б -мерных случайных векторов, необходимо и достоточно,,чтобЕ. оно. было безгра-нично делимым.

Теорема 3> Для того чтобы при некотором подборе постоянных а*) распределения сумм незавмеишх бесконечно малых 5 -мерннх векторов ■ сходились к предельному,необходимо и достаточногчтобн существовала вполне аддитивная,неотрицательная функция множества , определенная на множествах М (о*м) и неотрицательная квадратичная форма ^ такие, что

I,;На интервалах вида ? ; ™ сферические координаты/* являющихся интервалами, непрерывности функции к г.Ы (ым)-({(тх)Рьк ш))1 иа£(т)

Постоянные ^к можно выбрать по формуле-£ ;

Аг) - 2 №0 Чк(<лм) ~(тг) к.= I т где С Г* ,. ) ^-произвольный постоянный вектор;

-сфера непрерывности yV'Ш) . Логарифм характеристичен ской функции предельного закона определяется формулой /3/ с" функциями iT) и постоянной Г .

Замечание. ® соотношении 2. вместо можно h-^-Oo брать ,' -г» оо

Теорема 4^ Для. того, чтобы, при лектором подборе . постоянных векторов ^ распределения суш "Кы • • ■ * ^>hkh ~ Лп /Л/ независим!«'случайных векторов сходились к нормальному распределению с характеристической функцией

2 = ^ /12/ п слагаемые'л* Ll^k-sJc*] были .бесконечно малы,, необходимо и достаточно выполнение условий ^ ' г

I# Z J PbMM) -> - , к.-/ Ь-^-оо к, /13/ при любом £

Дока за те ль ство». Из условия I имеем max Р 17 !>£.}- ¿па ъс

Отсюда следуете что слагаете Г / бесконечно малы. Из теоремы 8 следует, что для сходимости распределений срлм /II/ к распределению с та* равтерпстической функцией /12/ -необходимо и достаточно чтобы

I "ъ* z i Ък ш) - е-* z оз = о

А:=/ 7 h-ъоо для любого интервала У (?>Я

14/ t-t-0 f><£ Р<£

Покажем эквивалентность, условий /13/ я /14/.Эквивалентность первого условия /18/ первому условию /14/ очевидна ¿.Дала© .для любого • у (о <>?<'£) имеем Z { JCrx/Çjo/^j-r/irxjP^^jj^ c

- . = !-{JCTxfPh^M)lcJ(Tx) Phk(G<M))*j + •■'. +Z { JCnf)*R,JoU<)-(jCT*) Phb(cfM))*j>

Затем

Отсюда заключаем,: что- суммы h-* Оо. . к. =7 ?<£ не зависит, от £ . В шду второго условия, теоремы 3 заключаем», что при любом £ >о существу»®: не только верхний и нижний пределы суммы /15/,но и обыкновенно ный предел»,,Теорема, доказана»

Теорема 5, Для того чтобы для данной последовав те ль нос ти • независимых случайных векторов можно было подобрать . действительные постоянные .ВЪ>0 д постоянные векторы ;, чтобы распределения сумм .

Л» ' ^ /16/ сходились к распределению с характеристической функцией /2/ и слагаемые £ьк ~ были бесконечно малы, необходимо и достаточно существование таких последовательностей постоянных С, и (г„->.о) г чао при . 1пос

• Г -> а к.-! ' -~ Г>с» /17/

2. Ц

С* ?<С ь

Необходимость,В силу предположения о бесконечной шлосте величин о < /< < ы мы'-можем вое» пользоваться предыдущей теоремой, из которой следуем, что для сходимости распределений суш /16/ к распределении с характеристической функцией /12/ достаточно ВЕполненпе условий

I. 2. / —

Н ¡с~ I при любом £ > О

Подберем такуш последовательность(¿„-»о; что при Н ~~> 00

Сту}*/° г^) -г/ ЗД £ /р/^))} -> Я, Сг)

Полонии ¿ь-в*. = Сг . »получаем условия /17/, Достаточность.Пусть выполнены уёловия /17/. Положим Ли ~ ~ . Отсюда Сь~сО.Такшл образом" для любого ¿>0 .

2. I а (¿м) г / Р* Гс/А) —о,

Г . /Л где ^т ^среднее значение ОПг(тх) в силу определения согласно со вторым условием теоремы получаем • ь ¿1 { ОтО* р^сым)-С [ (ТУ) Я ] что и требовалось доказать,

§ 30 Многомерные устойчивые распределения.

Назовем .5 -мерное распределение устойчивым* если каковы бы ни были постояииие векторы Л, ,

Л^ . .н, положительные числа. А , всегда наймется постоянный вектор - Л и положительное число -В такие, что для трех независимых случайных векторов 4 -г К, * К л *пмещих это распределение., случайный вектор является суммой векторов и . Обозначим функцию распределения устойчивого закона через £(х) Тогда указанное свойство устойчивости распределения означает, что для произвольных постоянных ЗЬ,~>о 8 и = з )" <5найдутся постоянная и постоянный вектор (о, такие, что

Рассмотрим последовательность взаимно независимых одинаково распределенных в -мерных векторов Си) / у О-О ^ Сь1 \

Леви было показано Гхз] .»что класс предельных распределений для нормированных суш п ь— ' /а/ где последовательность постоянных векторов и постоянных 3„>о надлежаще выбраны, совпадает с классом определенных выше устойчивых распределений •

Фельдхейм в Леви показали Г13 Д7) , что 5 -мерное распределение устойчиво тогда л только тогда,когда лога-рифы его характеристической функции, - У-бе,,.,^ = / (¿Му-■ / ;. У,^ сферические: координаты/ , - монет быть представлен в виде где

С,(ч>) = к-■ Н&и>у ) € е

Здесь введены обозначения: -Ь -модуль вектора ; ^-СТ^., Уз) постоянный вектор;, ' (т г) - скалярное произведение векторов Т ш Г ;

Н (со) - аддитивная,, неотрицательная функция поверх^ ностн» определенная на единичной сфере; к - положительная постоянная; & - угол мещу вектором Т а направлением ,; интегрирование распрост-г раняется по единичной сфере £ ♦

Число гложет принимать значения ^ ^ 2 а называется характеристическим показателем устойчивого распределения. При •<* = 2. шмееы нормальные распределе ния.Функция С&(<р) в этом случае тождественно равна нулю. С, (ч>) - положительно определенная квадратичная форма от ^ = . црЫ соы*. имеем несобственное распределение.

Непосредственное дифференщфование фор^лы обращения показывает, что все собственные устойчивые расе пределения непрерывны и имевт непрерывные, производные всехчпорядков. Обозначим для дальнейшего плотность соб ствеиного устойчивого, распределения,определенного формулой /3/ , через р(-е-и^.г)

Если в выражении /2/ полознть s. (к.) Л то задача разыскания предельных распределений для нормированных ерш /2/ будет сведена, к общей задаче сум-, шрования независимых случайных векторов», рассмотренной в § 2. Отсюда следует, что устойчивые распределения . являются безгранично делпшмк.

Легко убедиться в том, что в формуле § I, дающей общий вид .дргарпфш- характеристической функции безгранично делимого распределення,дяя невырожденных в -мерных устойчивых распределений следует положить

• I. 'при OL = 9. • т).= ±*с,(ч>) 2» ПрЫ О <0¿ < 2

4/ лн) ; , /5/ где. 3 . означает интервал ^ ($» Я

Леша I, Рост функции И (со) для невырожденного ••• S -мерного устойчивого распределения при ке может сводиться к рост$ аа некотором множестве,принадлежащем диаметральному» сечению единичной s верной сферы.

Доказательство этого предложения основано на еледующем признаке вырождения распределения.

Леша 2. Для того чтобы б -мерное распределен нпе вырождалось в; -мерное распределение, необходимо и достаточно, чтобы ьаддаь- его характеристической функции обращался в единицу.в двух точках /отлпч-них от начала/ (а, , (/зя,,.,/^ , где /3

- иррациональное число.

Назовем такие, точки несоизмеримыш.

Докавем более: точное предложение.

Леша 2. Для того чтоб® Б -верное распределение вырождалось в .5-/ -мерное В; гиперплоскости а,х, = необходимо и: достаточно,чтобы для точки и для некоторого иррационального щгсда-. (3 г ' =

Здесь :№) -характеристическая функция распределения.

Доказ^ат^едаство^ Заметим пренде всего,что,еслп модуль характеристической функции э. -мерного распределения обращается в единицу в точке, отличной от начала, распределение не может быть непрерывным » в • мерном пространстве. Действительно.,пусть в точке Т0= где по крайней мере .одно из чисел -6° отлично от нуля. Тогда имеем . = шли ь.

Отсюда видим,, что монет отличашься от нуля только в точках #распололенннх наснстеш параллельннх гиперплоскостей . где ^ -цронз вольное, целое;.

Докажем теперь достаточность ушв£ий лешш 2.,

Как и выше имеем е . . . ■ РГЫМ) = й ■

5 ' ' ' ' ' . 7 р(ым) = 1.

Отсюда заключаем, что Р&м) монет отличаться от нуля только на общей части дврс систем параллельных гиперплоскостей а,х, +■■■ - Зты -ьЗтгк•

Система« эта совместима только для одной.дары значений /с = и сводится к одному.уравненш

0,0с, +. = Зтгс/.

Необходимость «Пусть распределение сводится к распределению в гиперплоскости'

9, ос, + =

Тогда.

- 9ЯСс(

Л»,,.'., = я.

А также ;

Следствие. -Если модуль характеристической функции Э -мерного распределения равен единице в т парах' точек,несоизмеримых в каждой паре ' +' \ ( + ' \ У" и» I 3 " " ; , ' и таких, что--матрица имеет ранг. ж то распределение' вкрондается в рас-пределенле в пространстве. . измерений.

ДоказатеИз соотношения /5/ следует, что логарифм характеристической функции устойчивого распределения монет быть представлен в виде

К±-,ч>) - ¿.СТГ) -/ / (< - I - Т^М-р^ > /б/

§>>о € . где внутреннее интегрирование проводитсяпо единичной

5 -мерной сфере е . В предположении лемш внутреннее интегрирование- надо проводить по диаметральному сеченш э единичной сферы . € « Обозначим через ¿о' совокупность текущих координат этого сечения. Полошш в левой чести /б/ вместо совокупности координат значения , определящие ортогональное к сечению б- на-правление. При произвольном *>о-'* имеем

Л*;г) = <Сг.г)-1 1 <п1 ММ=, лГ) $>0 5 3 3

Таким образом на. направлении V5 = } найдутся две несоизмеримые точкиж которых модуль характеристической функции равен единице.» В силу леммы 2 распределение выроядается. Лемма I доказана

В дальнейшем нам понадобится следующее предложение.

Лемма 8. Если распределение;: РМ ^предельное -для ерш /2/ независимых бесконечно малых слагаемых где и постоянные 'векторы Л •' надлежаще выбраны, является собственным, то при

Д/

Действительно,пусть существует подпоследовательность . такая,что Пусть тогда И,,. 7 -Ь$) - произвольный вектор-Величины "¿у -б»* при [стремятся к . О'= О . Так как величины бесконечно малы равномерно относительно к Сх^к^п] ,то при

С —0О то есть (^С^,.,*^) 1 = 1 при. любом.И&к^и] ,, Отсюда следует,что при любом .; ts) для характер ристической функции предельного распределения у^.,.;*») имеет место соотношение

В силу леммы Й; § 2 это означает, что предельное распределение Р^) является несобственным, что противоречит ксходаому предположение

§ 4, Области притяжения многомерных устойчивых распределений«. Рассмотрим последовательность взаимно независимых одинаково распределенных в -мерных векторов с вероятностной функцией. Р&ы) . Скажем, что РМ принадлежит области притяжения распределения £(м) ,если при.некотором подборе постоявших чисел ц-вещественных векторов Л* при распределения

Су1.1Га "¡Г 51 4к. ~ сходятся к , йз § 3 следует, что областями притяжения обладают только устойчивые распределения и область притяжения каждого устойчивого распределения не-?-пуста, так как она содержит по крайней мере данное устойчивое распределение.

Теорема 3 § 2 позволяет указать характеристический признак,которому должна удовлетворять вероятностная функция РСм) для того»-'чтобы' она принадлежала области притяжения данного устойчивого распределения» Б одномерном случае признаки,аналогичные приведенным далее в теоремах 1-& , были получены для нормального распределения -независимо А.Я ¿Хи'нчшшм,П.Леви и Феллером [э,15] в 1935 г. и для остальных устойчивых распределений с характеристическим показателем о -с < 2 Б.Б.Гнеденко [2,э] в 1938 г. и другим способом Деблигаш [ю] в 1939 г.

Теорема I. Для того чтобы • Б -мерная вероятностная функция РМ принадлежала области притяжения невырожденного нормального распределения 0/(м) с характеристичен ской функцией, ' т) г ' = ^ /I/ необходимо и достаточно выполнение следующих двух уело

ВИЙ РЫм)

1. е/* —= о-,

2/ ^хт^; ^

2. —--, ~ Л /т„ 1 Стгх}кРЬМ} при произвольных и ,

Доказате^ствэ^ Случай- 1-й: •

5>2 Р(о!м) < оо /з/

Тогда. • • Стх) Р(ым) Я* ' при любом' . Центрируя Р(л) математическими ожиданиями,' полагая = У* , убеждаемся в принадлежности центрированного распределения ~РМ / а значит.и / области притяжения нормального распределения с характеристической функцией /I/, причем

Г) = 1(тх)*Р(ЫМ). :

С друтой .стороны очевидно,, что удовлетворяет условиям теоремы. Таким, образом все распределения с конечными дисперсиями, принадлежат областям притяжения нормальных, распределений. Случай 2-ой:.

Тогда

4/ | ж; ?(ым) ) * = -0-{ / РСЫм)] /5/

Действительно, если зс* р (о!м) < Я* то соотношение /5/• очевидноесли •

РЫМ) ^ ос> . то выберем положительную неограниченно возрастяшщук при э?1=±сх> функций (оср ш такую., что

2£*(ос£) РМ = С ^ ^ .

Имеем Jx¿ РЫМ)J¿*M P(¿M). j ^ PVM) í 5че f<R f-cR

Отсюда следует /5/.

Для доказательства теоремы достаточно показать эквивалентность условий /2/ с условиями /7/ теореш 5 § 2, которые в нашем случае могут быть записаны в виде: Существу «и?- последователь ноет» Сь. (с* и (8н-*о) такне^ что

1. ^./-Р^)—

2. Г (ТХ)*РСс1М) — при любом Т= ,. э

Далее заметим, что »если принадлежит области притяжения некоторого нормального распределения,,то в рассматриваемом.случае при любом Т= . ,отличном от ■ тх)2Р(с(м)

Действительно, в этом случае выполнены условия /6/ £ для некоторого С (/¿¿¿б) ос I '

Полонив во втором условии /б/ ^¿фс О /к фс /, получаем- .

1 У Г ОЛ> /, ) ) . /V -А.-*

С5 * ?>с, о где -коэфпдиент при. ■ в квадратичной, форме ) - Отсюда о и из второго; ус--, ловил /6/ следует /?Л • • ••

Из соотношения /7/ следует,что,ясли для некоторого Об ^ О- •

I^ РСым). = оо и РМ прикадлешт области притяжения невырожденного нормального распределения, то это соотношение имеет 1.1 ее то для всех с (I < ¿^ в) . /Достаточно заметить,.что в силу предположения о невнрождаемости предельного рас* пределения все коэффициенты Сл.з) отлична, оа? нуля /.

Покажем,что из условий /6/ следит условия /2/.

Обозначим

9>& где ^т -среднее значение (т.О • ;

О . ■

Так как , то для всякого сколь угодно большого М05КН0 найти такое п , что С^ ^ £ <

Имеем / СГ*)*Р(ЫМ) = § у Стх)*РСо1м)£

Стх) РЫм) + / (тх)*РСо/м).

С> Л р<с л

Отсюда Е

-7 ^

В силу условий /6/ получаем

---- -О^ откуда следует первое условие /2/.

Пусть теперь Т, и Т^ произвольные векторы,от-: . личные от нулевого. Имеем

•< (с,;т,иуГСь;т,) ъ/л (9. -лТг) )-\>(с*;т;)

Отсюда

------^ -'-^ ----:-:-—

С* -}Тяу+ »у и из второго условия /6/ следует рщроеп условие /2/.

Из условий /2/ следуют условия /б/. Пусть § >0 . произвольно; Т( - вектор .отличный от нулевого. Обо--значим через С*С$) наименьшее £ » для которого

I Госуда рсгвоникл | 'ордена Ленина

I 5.8 8 Р

II йй С и ■■'^НА

Так как ' ь (т, х)2р(ым) = то прд п-^оо „из первого условия

2/ следует, что каково бы ни было £ > о при достаточно больших п отсюда

К^а^Т,) =4- - Г-'Ст,х)*Р(о<м) $ или

Выберем • равным & „- Имёш ■ и/и (Сн(&) ;Т,) > ~ .

Пусть ¿к"> <} •, о С^оо) , для кандого ¿я получим последовательность1 С, Г&с) .Обозначим- • С, = С* ( . Имеем ь у(С„;Т,) ^ 8.м 3. •, «г (с^т,)>г~ . •

Отсюда $ (т,х)*РСЫМ) = еслЧт^ргым) откуда следует первое условие /6/; точно так же имеем

Положим

СщСт,) с-*

Отсюда из второго условия /2/ для всякого Т 5 и 4-' Г

Стх) Р(сил) -^>0.1 Ст\ что и требовалось доказать»

Теореш 2.Для того чтобы в -мерная вероятностная функция Р(м) цриыадлежала области притяжения невк-рожденного 3 -мерного устойчивого распределения,: логарифм! характеристической функции- которого определяется формулой /3/ § 3 с характеристическим показателем <* (ос < 2) й функцией Р (в) , необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий ' Р{9>я] ■■'■■:.

I. -Г = ^

Р{9>/сЛ}

1 л /8/ при произвольном О )

2. ь» fill*/8/ о< в'} Н(е') ' для произвольного: в® -&s.,) н & ) ,ддя ■ которого ■ У ($') .4 о е

Доказательство. Из теорема В § 2 следует,что для принадлежности области притяжения устойчивого распределения /с характеристическим показателем л s функцией ^¿ej /,необходимо и достаточно »чтобы при некотором подборе постоянных. Д, выполнялись соотношения. р ^ для любого £>Р , • /э/

Покажем эквивалентность условий /8/ п /9/.

Из условий /9/'следуют условия /8/.Пусть ч велико.Подберем-столь большое п. ,чтобы при данном ^

Я» Я ^ у < Л*■

Имеем пР{?>аМ 9(?>у) > Р{.р ;■ ••

Отсюда то есть имеет место первое-условие /8/. Далее имеем.

Отсюда,как и вше, получаем ;роарв8 условие /8/.

Из условий /8/ следувт условия /9/; Действительно.,, из /8/ следует, что для таких ' , для которых при любом & ' ■

0{о>я ; *<е') >0. /Ю/

Обозначим через наименьший корень уравнения

В силу /10/ цри . Отсюда из соотношений /8/ следует, что при любом Л ■■

Ч(е')

Н(9

Отсюда п из. /10/ заключаем, что

С 1+0(0). ■ /II/

Покажем теперь, что при любом .отличном от начала .

Гтх) Р(ым)-^ро.

Из условия /8/ следует, что• можно найти такое большое '••; о , что при данном £>0 И * >! С< ' (!~£) ^ О о ^ > 'v . /13/ где I £ $ I £ для 8 = 0,. '-Имеем цри цроиз^ вольном т-(фа) оо - ^ г, 5 = '

РСои,) т ? V 2 * *Л^ Г *5 р ' оа Г

В силу условия /12/ г-1 г=I

Отсюда лО* РГсО/)^ { (.т%)1 РЫм) + Р(?>х0) к*.

14/

1 /+£ Й7

Так как при каждом ^о Р^?>эО>0 и рЯд в последнем-неравенстве расходится» то соотношение /2!2){ доказано.'

Выберем теперь столь большое п. чтобы при данном

ТСФо) что в силу соотношения /II/ возможно. Тогда

2 {ЫУРСым).

Выберем такое 5 > с ,чтобы

• ¿^¿ЛьВ- /15/

Тогда имеем ■• Г СтхУРМ 4 к*с™}Р{кЬв

Л г = /

Т=-0

Б силу /14/ к /15/ •

Отсюда получаем при ' 2 < /

Стх)*РГым) £* Г/«) ii б силу /II/

1 (Эо ■ ■ ' ■ ■ откуда ь» р 1 ШРрьмУ^О.

А так. как л, то теореш доказана.

Для частного случая, когда распределение; Р^) притягивается. к устойчивого распределению с помощью одних нормирующих коэффициентов?/ Лм>0 и случаев, приводящихся к этому, легко указать характеристический признак принадлежности этого распределения области притяжения данного устойчивого распределения- В случае притяжения такого вида в качестве предельных распределенпй могут выступать устойчивые распределения лога-, . рифм характеристической- функции которых .'имеет вид

-ьсСтг) /16/ где определены как в § 3. При /Заметим,, что для невырожденных устойчивых распределений Сь ■ не при одном значении У3,- . Это следует, хотя бы из того, что устойчивые распределе ния безгранично делимы/.

Теорема 3.« Для того чтобы распределение 9(м) принадлежало области прктяяенпя устойчивого распределения с характеристической функцией /16/,необходимо к достаточно выполнение условий

О4 ---■ =

X (г; ^) сОъ)

Необходимость, условий следат с очевидностью) из того факта; что / в силу .лемкн- 3 § .3 / г-».^ . . ¿[о£таточность-. Из второго условия имеем'

Полагая здесь = у5,-^ »получаем,. ■, •

ЯХ (Г;Ч>)ЗС(<Р) ~>У^С( Г; у) % С(Ч>] .

ЩШ

Обозначим- через : наименьший корень уравнения где % —произвольное фиксированное значение «

Имеем

У)ГСг;%) -> ^X гг-; ^; - . . ■ ;

Ис(ч>о)

Отсюда что и доказывает наше-предложение.

Замечание. Все распределения Р(^) принадлежащие областям принадлежности устойчивых распределений с характеристическим показателем ^ ' (о <ы ^ обладают следующим свойством —^

С { г; Ч>)

Это следует немедленно из- того,что . ■

Это замечание нам понадобится в дальнейшем,

§ 5, Многомерный решетчатые распределения« Пусть в .-мерная случайная величина (К, принимает значения только с координатами где /с,- -произвольные целее, ¿¡¿';К->с С^-'Л-^ некоторые постоянные. Изменив для простотн масштабы по осям,' можем ограничиться рассмотрением случая, коз?- . да случайный вектор принимает значения только с целочисленными координатами. Назовем такрй случайиий вектор сС -решетчатшя,если общий наибольший делитель всех определителей порядка $ , составленных из . разностей координат точек> вероятности которых положительны, равен. & .

Не ограничивая общности, будем считать, что координаты возможных значений вектора по каждой оси взаимно просты в совокупности.

Рещетчатые распределения могут быть охарактеризованы следующими свойствами.

Леша I, Модуль характеристической функции с( -решетчатого Э -мерного распределения .обращается в единицу в области ; с =/,2,.^) £ точке отличной от начала, тогда и только тогда,когдд Ы>!

Леша 2. Для того чтобы в -мерное распределение было с1 -решетчатым; необходимо и достаточно, чтобы модуль его характеристической функции обращался в еди--ыщу в таких Б узлах в -мерной решетки' масштаба о Г~ отличных от начала/,которые вместе с началом образуют вершины 5 -мерного симплекса обэема , внутри и на'гранях которого модуль характеристической функции не обращается в единицу.

Дока^атедаство^еьшз^. Пусть рассматриваема случайный вектор 4 принимает с полоштельннми вероятно-»-стямн значения

Х^С*/,.,*,1). Си,,*,.) :

Квадрат модуля характеристической функции дискретного распределения равен

ОС £

Сы с к

Отсюда видна, что !£(*«>••| такого распределения равйй единице тогда и только тогда,когда величины ' Ч,,., ± 5 . удовлетворяют системе уравнений где > уЧ^.» ) произвольные целые.

Рассмотрим систему п -уравнений,вы~ деленнув из систему /I/ н эквивалентную ей

Будем считать, что , так как при п<ъ • распределение выродилось бы в распределение в пространстве с числом измерений равным ♦ /Действительно, в этом случае модуль характеристической функции обращается в единицу в пространстве измерений, а,значит, и в парах несоизмеримых точек с координатами, образующими матрицу ранга ^ ->г , и яаще утверждение следует из следствия!^ леммы 2 § 3/.

Замечание» Если модуль характеристической функции /■Р^,,---, I равен единице в точке ,то он равен единице во всех точках вида

I/

2/ где произвольные целые; где к. -произвольное целое.

Утверждение о) следует непосредственно из вида уравнений /2/. Утверждение &) не менее очевидно: если , то отсюда следует, что отлично от. нуля только на гиперплоскостях вида где ¡су -1,2,.) произвольное целое. Далее имеем е-*®^ ¡¿^"'^^Рш) = 2 ( е**' рсым) = ]рСс1м)=1, так как интегрирование по всему пространству А сводится к интегрированию по гиперплоскостям /3/.

Пусть квадратные унимодулярные матрицы: Л /порядка, п. / ж & /порядка 5- / приводят матрицу Сосф .,5) к каноническому ви^

Полоним джя удобстве, ^ . Из /2/ имеем г'V

Произведем замену по формуле У, \

Умножим /4/ слева на- ^ . Имеем ел

Л/

Отсюда

6/

Рассмотрим систему с 1 а,; £ =0 - / . я* ^ = о ]

Так как матраца Л унимодулярна., то система /7/ разрешима в целых числах. Взяв в качестве в уравнении /б/ это решение, получим значения для

С-1 2 Б ^ и ли, переходя к переменным ^.-э , а затем к получаем точку 27Т ±1 = 17! ' ■ в которой Пусть о( ■» I . Тогда > ' . Так как матрица .В унимодулярна»то, по крайней мере, одно из чисел -ва несоизмеримо с . Уменьшая Числа t,0J.y^£s на кратные 2Л так, чтобы 1±{ \<2Я • , получаем точку, в которой, согласно сделанному замечании, модуль характеристической функции обращается в единицу.

С другой стороны,если , соотношения/5/ в.

6/ показывают, что система /2/ разрешима только в целых числах. Лемма I доказана.

Доказатежстволешы2. Не^бхо^шость.йз леммы I следует, что точками , в которых модуль характеристической функции Ы -решетчатого распределения обращается в единицу, являются точки с координатами вида л . Р. м и. 9тг

С , С=! с% , где -произвольные целые. Отсюда непосредственно выводим, что эти точки лежат на решетке масшта-2 5Г ба . Очевидно * что каковы бы ни были в точек вида /8/, определитель (2тт)%к[ где к -произвольное целое* В то же время, выбирая в качестве решения 5 систем что возможно,ввиду уншлодулярности матрицы ^ ?получим s точек, для которых сгтг)5 П • .2 Я. iss. i ы

Необходимость условий доказана» : ¿остаточность» Обозначим через оС точки, в которых модуль характеристической функции обращается в единицу. Тогда.имеем б соотношений

Р (djj) ='/ (jz/,.,s)

Отсюда выводим, что может отличаться от нуля только в точках, координаты которых являются решением системы

I ул л где произвольные целые« Перенесем начало в точку, определяемую из уравнений и положим - . Система- /Э/ цримет вид у/

- - • ■ ■ ■ ) /10/

Решения системы /10/ имеют вид /п/ где Мс] -минор элемента Ъ/ матрицы . Таким" образом случайный вектор с рассматриваемой характеристик ческой функцией принимает значения с полоштельныш ве^-роятностями только в точках с координатами вида /II/. Определители порядка 5 , составленные из разностей ко*-ординат таких точек* кратны с1 .Действительно, обозначим через, £¿j ^ = >>■■■ А) соотвйшые. разности чисел к-с - к; ~ .Имеем:

С =1 еп.Мп оГ£ 60 л.*

Ми Ми .'Ми

Ы с,*.**»

5-/ со-±0

С другой стороны, из доказательства необходимости следует, что общий, наибольший делитель -.таких определителей равен с/ . Действительно,из обратного предположения следует существование совокупности в точек, расположенных на решетке масштаба меньшего , в которых модуль характеристической функции обращается в единицу. Но тогда в силу сделанного при;; доказательстве леммы I замечания-, внутри каядого симплекса объема с вершина?.® в точках,расположенных на решетке масшта-ба найдутся ■ такие- точки,что противоречит исходному предположению,,

§.6. Многомерная локальная теорема для решетчатых распределений

Пусть дана последовательность взаимно независимых одинаково распределенных случайных 5 -мерных векторов л/ компоненты которых принимают только целочисленные значения. Обозначим через = ос5) вероятность

ТОГО, Ч!РО

Очевидно ,что компоненты вектораД'=2 ¿Смогут принимать тате только целочш!ленкые значения. Пуст(г) -вероятность еого,что компоненты вектора примут значения ы .

Обозначим

ЭГ/ --

А, >■ где у.,я*"/-некоторые постоянные векторы ,в •'••. положительные постоянные и через- : р(х-> У плотностБ устойчивого распределения с характерно- -тпческой функцией ,'определяемой формулойЗ § 3. Отно- ' сительно решетчатых распределений имеет место 'следующее предложение. . - "

Теорема. Для того чтобы дяя одинаково распределен-^ , ннх решетчатых взаимно независимых олучайтшЗвекторов последовательности /I/. при некотором.подборе постоянных вектор¿Яг^'З^й положительных постояпнкх равномерноютносительно ^ .¿¿'в/,.-.,- ь ; -а* < ^ < &>) имело место соотношение л : Л^^М-рСх-Н;*^} /2/

Н-^оо) . ■" необходимо и достаточно,чтобы

1, распределение величин 4 ^ РМ, - принадле-жало области притяжения устойчивого распределения ЯР(м) с плотностью р(х) Н; <*,1г]

2. распределение величин 4 было Х-решеЙчяжам Второе условие равносильно таким эквивалентным меж ду собой условиям: 5 / Общий наибольший делитель объемов э -мерных симплексов, все $+1 вершин которых летт в целояислен них точках, дяя.которых- ,равен .

• / ъ' / Параллелепнпедальная решетка.,порожденная все*г мн Еектораш . ос'.-х" , для которых ^х!) > о , совпадает: с решеткой всех целочисленных точек; 5 верного пространствам ,. / ,

Д.оказате^£ТБр¿Обозначим через . . . . . т„.:.,Ъ)= В г *" = ¿- 2 г 9(*). ■ . ч. (*) . характеристическую функцию-вектора .Тогда характерке ткче.ская функция вектора-суммы будет равна -' ■ • " ; • ■ ■ - ! . . ., ■ • \ е ^ ■■ ТъШгА <тх)

Умножим обе части последнего равенства на , ^ и проптнегрируем по. ^ каждый раз в: пределах • " от -5Г до Л ■: .»Твгда. получим :

• ■ , с17 С77 -и -бСтг;

-и

В силу того,что . - ' ' . имеем ; . ■ •'■■"■ . С1тт)ь % =

-Л -5?

Обозначим имеем

-л -7)

Произведем замену переменных,положив

Находим • С57Г)5 '

-ЭГ.В*

Соотношение, где -характеристическая функция распределения

Г с (тх)дает равенство Таким образом

-71 Ьи -ЛЪ* *

Нагл, необходимо показать,что при равномерно:; в 2 -мерном интервале ~ с*> < < л> разность. . ,

С этой целыэ представим в виде суммы таких , четирех интегралов:■ г л, = J егде -^некоторое постоянное достаточно большое число., которое мы точнее определим позднее и £ . - достаточно малое число,

В силу предположения о принадлежности распределения Р к области притяжения распределения 93. и предельной теоремы относительно последовательности характеристических функций равномерно относительно- £ От- Л)

-1 Ль }, . для произвольного постоянного числа Л . Отсюда при у\->оо равномерно относительно 2 7,—+С

Из леммы I § 3 в силу условия 2 вытекает,чтоЦцля каждого- £>о найдется такое С0 , что при всех в области (£ * )

Отсюда вытекает,что при произвольном £>о , У3-+'о

Выбором достаточно большого Л мошю ^ч сделать как угодно малым. Далее имеем где к определяется неравенствами £Л,£ з^, - сферическое ксорЬинят**.

Выберем I - таким,чтобы при Ш^ё ъ ч>) и

-1.-- X + и I ^ < .Отсюда а из замечания к-теореме 3

§ 4 вытекает,что

111 ; %-я,) I * г ' и ] г . .

А так как до предположению 3е принадлежит области притяжения распределения Ф , в интервале (Л¿Л)

Так как в предположении невыропдения распределения , функция не обращается в нуль ни при каком значен нии своих аргументов, то '

ЪЫИ } е , 7 л

Таким образом, выбрав достаточно большие Л и п. и достаточно малое I »можем интеграл сделать сколь угодно малым.

Достаточность условий теоремы доказана. Необходимость условия ! очевидна. Легко видеть так-• же,что при нарушении условия 2 аснмпшотическое представ ление /2/ не только не имеет силы в смысле равномерной сходимости,но и вообще совершенно непригодно для представления вероятностей 'Улб?) , ибо, очевидно, возможные значения векторной суммы будут иметь систематические пропуски.

Литература» Гнеденко Б.В.

1] 0 сходимости законов распределения сумм независимых слагаемых,ДАЙ СССР, 13,1938,231-234,.

2] К теории областей притяжения устойчивых законов, . Уч. зап. Моск. унив. »30-, 193?, 61-82

3] Предельные законы для сумм независимых случайных величин,Успа® тем»наук,вып.Х,1944,115-116.

4] Элементы теории функций распределения случайных Еекторов,Усп.мл тем.наук,выи.X,1944,230-244. б] 0 локальной цределыюй теореме теории вероятностей У сп. матем .наук, т. 3, выл Л, 1948Д87-194.

6] 0 локальной предельной теореме для случая бесконечной дисперсии,Труды матем.ин-та АН УССР,т.12,1949, 22-30.

7] 0 локальной теореме для предельных устойчивых распределений, Укр.матем.журнал.,№ 4,1949,8-15. б] Об области'притяжения иормального закона,ДАЙ. СССР,. T.7I,Jg 3,1950,425-428. Гнеденко Б.В.и Колмогоров А.Н. :

9] Предельные закономерности для cyiт независимых случайных величин,ГТТИ,Москва-ЛенинградД949. Дёблнн В. FlOl eU ■ fx^'sslhc&g ¿''или .Gxl Ыл ргяььъи ; мм* ,

Крамер Г.

11] Случайные '.величины а распределения вероятностей, Москва, 1947., Ca ёДЭЗУ.

12] Основы математической статистики,Гос Лзд-во шн* , лнт~ры,1949. .

Л'евп П.

13] Theozie de ebdäC+con des \/сиаа&Ы авво^Ыгв^f Paz/'s, /957:

Мейзлер. Д.Р.Л1ашскк 0^С.,?вачева .£.Л».

14] 0 многомерной локальной предельной теореме теории вер о ятно стей г ДАН'. СССР,60,$ 7Д948, II27-II28., Укр.гдатем.журн-. Jê 1,1949,9-20*

Хинчин А.Я. • . is] Предельные- теоремы для сумм независимых случайных величин, ГОНТИ,1938, ". . '

Хинчин А.Я. я. Лева П.ы] W ùi ftaêèey, C.ZJc. Sc. Jaus, J936.

Фельдхенм- Э«

17] Ь-hudz си ta .s^bic ¿л* éWs cU

С TPùise oU 'Zz ^QcuZte' сШ Ваекс&л d^aJU^ JSi^