О задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Гуляев, Денис Анатольевич

• Гуляев, Денис Анатольевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гуляев, Денис Анатольевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Вопросы полноты, минимальности и базис-ности в пространствах Ьр и Ш™

§1 Постановка задачи. Базисность в Ьр

§2 О сходимости спектральных разложений в пространстве ТУ™

Глава 2. Вопросы равномерной сходимости спектральных разложений

§1 О равномерной сходимости спектральных разложений для выделенной, полной и минимальной подсистемы

§2 О равномерной сходимости спектральных разложений по всей системе собственных функций

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр»

Введение

Задачи со спектральным параметром в граничных условиях возникают в ряде математических моделей для уравнений параболического, гиперболического и смешанного типов. Еще С.Д. Пуассон в своем мемуаре [191] решал задачу о продольном движении груза, подвешенного к концу упругой нити. А. Кнезер в работе [190] изучал колебания однородной струны, в некоторых точках которой сосредоточены массы. А.Н. Крылов [108] и С.П. Тимошенко [173] указывали на актуальность задачи о продольных колебаниях стержня в связи с теорией индикатора паровой машины и прочих измерительных приборов. К этой задаче сводится изучение крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода "дрожащих"клапанов и крутильных колебаний шкива с подвешенной на конце массой. Задача подобного плана приобрела особую актуальность еще и в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Аналогичные математические модели возникают в задачах об изучении электромагнитных колебаний в системах с сосредоточенными емкостями, самоиндукциями и задачах о распространении тепла в средах, граничащих с сосредоточенными теплоемкостями,

которые рассматривались A.A. Самарским [169], A.A. Виттом и С.П. Шубиным [35,36]. Недавно интерес к задачам со спектральным параметром в граничном условии возник в связи с теорией осреднения [38].

В основе спектрального метода решения ряда задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа лежат задачи со спектральным параметром в граничных условиях. Начало развитию спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа положили в конце семидесятых - начале восьмидесятых годов двадцатого века работы Е.И. Моисеева [124], С.М. Пономарева [145,146], Т.Ш. Кальменова [65]. Им предшествовали глубокие исследования Ф. Трикоми [176,193], С. Гел-лерстедта [188], М.А. Лаврентьева [111], Ф.И. Франкля [179], И.Н. Веку а [34], A.B. Бицадзе [30,31], Л.В. Овсянникова [143] и других математиков по вопросам классической разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа, причем, как правило, задача сводилась к сингулярному интегральному уравнению на линии изменения типа. В этих работах указывалось на актуальность проводимых исследований по теории эллиптико-гиперболических уравнений, а позднее в работах Я.С. Уфлянда [178], А.Г. Шашкова [184], A.M. Нахушева [137-139], X. Азиза и Э. Сеттари [1] было обращено внимание на математические модели, приводящие к параболо-гиперболическим уравнениям.

Задачи со спектральным параметром в граничных условиях, как правило, несамосопряженные. Большой вклад в науку был

внесен академиком В.А.Ильиным [56-64], получившим фундаментальные результаты по спектральной теории для несамосопряженных дифференциальных операторов. В опубликованной в 1983 г. работе A.A. Шкаликова [183] построена общая теория спектральных задач с параметром в граничных условиях. Им доказаны теоремы кратной базисности, разложения и полноты для выделенных классов краевых задач: для обыкновенных дифференциальных уравнений: регулярных, почти регулярных и нормальных. A.M. Ахтямовым в цикле работ [6-26] предложены алгоритмы решения задач со сложным вхождением спектрального параметра в граничные условия, выписаны соответствующие формулы диагностики механических систем и строительных конструкций.

Общий подход спектральным методом к изучению краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа предложен в работах академика Е.И. Моисеева [124-131]. Им для обоснования представления решений в виде биортогональных рядов установлены тонкие результаты об условиях базисности систем синусов и косинусов.

В работах Е.И. Моисеева и Н.Ю. Капустина [132-134,89-94] изучены вопросы полноты, минимальности и базисности в пространстве Lp,p > 1 систем корневых функций классических задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих в теории параболо-гиперболических уравнений, а также получены условия, обеспечивающие сходимость разложений в

классе непрерывных функций. В цикле работ Н.Ю. Капустина [66-88] спектральным методом рассмотрены вопросы о максимальной гладкости обобщенного решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с начальной функцией из класса суммируемых функций, о корректности постановки смешанной задачи со смешанной производной в граничном условии для оператора теплопроводности, возникающей при описании процесса теплопереноса параболо-гиперболическим уравнением. Изучены: полнота, минимальность и базисность систем корневых функций в задачах с комплекснозначным физическим параметром и квадратичным вхождением спектрального параметра в граничное условие.

В работах З.С. Алиева [3,4], Н.Б. Керимова, З.С. Алиева [103105], Н.Б. Керимова и B.C. Мирзоева [106] рассмотрены вопросы базисности в пространстве Lp,p > 1 систем собственных функций ряда краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка с линейным вхождением спектрального параметра в граничные условия. Доказаны осцилляционные теоремы и получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций. В некоторых случаях используются свойства пространств с индефинитной метрикой. Классические результаты по этим вопросам содержатся в работах А.Ф. Никифорова и В.Б. Уварова [142], Т.Я. Азизова и И.С. Иохвидова [2].

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отме-

тим работы И.Ш. Ахатова и А.М. Ахтямова [5], Ж. Бен Амары [186], Ж. Бен Амары и A.A. Шкаликова [28], Б.Т. Билалова [29], В.Д. Будаева [32,33], В.В. Власова [37], Г.Г. Девдариани [43], Т.Д. Джураева [44], В.П. Диденко [45], В.А. Елеева [46-52], В.И. Жегалова [53], А.Н. Зарубина [54], Н.Ю. Капустина и Т.Е. Моисеева [95-96], А.Г. Костюченко, A.A. Шкаликова [107], А.Г. Кузьмина [109], В.М. Курбанова [110], В.Б. Лидского [113,114], Ж.Л. Лионса [115], И.С. Ломова [116-119], A.C. Макина [120,121], Д.Б. Марченкова [122], C.B. Мелешко [123], В.А. Нахушевой [140], З.А. Нахушевой [141], A.A. Полосина [144],

A.B. Псху [147,148], С.П. Пулькина [149,150], Л.С. Пулькиной [151], O.A. Репина [152-156], O.A. Репина и C.B. Ефимовой [157], Е.М. Русаковского [158], К.Б. Сабитова [159-161], К.Б. Сабитова и Н.В. Мартемьяновой [162], К.Б. Сабитова и Л.Х. Рахмановой [163], К.Б. Сабитова и Э.М. Сафина [164,165],

B.А. Садовничего [166,167], М.С. Салахитдинова [168],

М.М. Смирнова [170], А.П. Солдатова [171,172], Е.А. Уткиной [177], С. Фултона [187], М.М. Хачева [180], A.A. Шкаликова [181,182], М. Розо [192], Ж. Уолтера [194].

Научная новизна полученных результатов. Получены новые результаты по вопросам полноты, минимальности и ба-зисности в пространстве Lp,p > 1 системы собственных функций задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр и коэффициент в этом условии комплексный. Сформулированы условия, обеспечиваю-

щие сходимость соответствующих спектральных разложений в классе У/™. Изучен вопрос о равномерной сходимости на отрезке спектральных разложений по выделенному базису пространства Ь,2 и по всей системе собственных функций. В виде билинейных рядов выписаны решения актуальных краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнений с граничным условием третьего рода на нехарактеристической линии границы области.

Методы исследования. Для изучения вопросов базисности в пространстве Ьр,р > 1 вводится вполне непрерывный оператор на основе выделенной минимальной подсистемы с предварительным построением биортогонально сопряженной системы и выводом асимптотических формул для собственных значений и собственных функций. Сходимость спектральных разложений в классе непрерывных функций, установленная на основе асимптотических формул для функций биортогонально сопряженной системы и учетом граничных условий нелокального характера.

Цели исследования. 1) Изучение полноты, минимальности и базисности в пространстве Ьр,р > 1 системы собственных функций задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр и коэффициент в этом условии, вообще говоря, комплекснозначный; 2)форму-лировка условий, обеспечивающих сходимость соответствующих спектральных разложений в классе И^; 3) изучение вопроса о равномерной сходимости на отрезке спектральных разложений

по выделенному базису пространства 1/2 и по всей системе собственных функций; 4) решение спектральным методом краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнения, приводящих методом разделения переменных к рассматриваемой спектральной задаче.

Практическая и теоретическая значимость результатов. Полученные в диссертации результаты и подходы к исследованиям могут быть использованы при дальнейшем изучении краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнений. Возможно широкое применение этих результатов при математическом моделировании процессов колебаний нагруженных тел, газодинамических процессов, различных физических явлений в теории теплообмена и массообмена в капиллярнопо-ристых средах.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах и конференциях: научно-исследовательский семинар кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ под руководством академика Е.И.Моисеева, конференция МГУ "Ломоносовские чтения"(2012, Москва), 38-я международная конференция " Приложение математики в инженерных науках и экономике"(2012, Болгария).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации изложены в работах автора [40-42].

Структура диссертации.

Сформулируем более подробно основные результаты диссертации.

В параграфе 1 главы 1 излагается постановка спектральной задачи

Х"{х) + ХХ{х) = 0, 0 < ж < 1, (1.1)

Х'(0) = ЬХ{ 0), Х'{1) = dXX{l) (1.2)

с постоянными коэффициентами Ъ ф 0 и d > 0.

Спектральная задача (1.1)-(1.2) не имеет нулевого собственного значения, поэтому общее решение уравнения (1.1) в случае Л ф 0, удовлетворяющее первому граничному условию, можно записать в виде:

6 s ту/Хх гг

x\х) = -7=--1- cos v хх.

\/А

Записав для этой функции второе граничное условие, получим характеристическое уравнение задачи (1.1)-(1.2)

(1 + bd)y/\ sin = (6 - d\) cos VA. (1.3)

Если bd = —1, то уравнение (1.3) имеет один отрицательный корень Л = — 1/d и бесконечное множество положительных корней Л = [7г/2 + 7г(п-1)]2, п = 1,2,3,... В случае bd > -1, Ь > 0, все корни уравнения (1.3) - положительные. При значениях параметров bd < — 1 или bd > — 1, b < 0 также имеется одно

отрицательное собственное значение, а все остальные собственные числа расположены в положительной части действительной оси.

Присвоим нулевой индекс любому собственному значению, а все остальные занумеруем в порядке возрастания. Собственные функции задачи (1.1)-(1.2) определяются по формуле:

Хп(х) = у/2

Ъ БШ у/Х^Х \/%1

+ сое \/\^Х

, 71 = 0,1,2,

(в случае Хп < 0 синус и косинус гиперболические). Функции биортонормированной системы {Фт(х)}, т = 1, 2,3..., к системе {Хп(х)}, п = 1, 2, 3,..., имеют вид:

Фт(ж) =

£ Х1{х)<Ь + ¿х^Х)

(1.4)

Наряду с задачей (1.1)-(1.2) рассматривается спектральная задача

У"(х) + ХУ{х) = 0, 0 < ж < 1, (1.5)

ЬУ'(0) = —ЛУ(0), У(1) = -<№( 1)

(1.6)

для системы {¥п(х)},п = 0,1,2,..., функции которой вычисляются по формуле

-ад

\Ап

Функции биортонормированной системы {</2т(ж)}, т = 1, 2,3,...

к системе (УЦж), п = 1,2,3,...}, имеют вид

4>т{х) =

Ym{0)„, Л , Г Г1 „о, . . 1

Ут(х) ~ ^щ-Уо(ж)

/

+ О)

LJO 0

Системы (Хп(ж)} и {Уп(х)},п = 1,2,3,..., образуют базис в пространстве Lp(0,1),р > 1, а в случае р = 2 даже базис Рисса. В настоящем параграфе доказано общее утверждение для спектральной задачи (1.1)-(1.2) в предположении, что параметр d -любое комплексное число, отличное от нуля, — | < arg\/An < |,п = О,1,2,3,..., Ао - по прежнему, любое собственное значение, а все остальные занумерованы в порядке возрастания их абсолютных величин.

Теорема 1.1. Если

. , , bcosz — zsmz _

d £ {-—:-5-},

bz sm г + zz cos z

где {z} - множество комплексных корней уравнения

(b2 — z2) sin 25 Cos2 2 = 0, (1.7)

г

то система {Хп(ж)}, п — 1, 2, 3,..., собственных функций задачи (1.1)-(1.2) является базисом в пространстве Ьр(0,1 ),р > 1, (базисом Рисса р = 2).

Замечание. Уравнение (1.7) при некоторых значениях параметра Ь, например при Ь = —1/2, имеет решение и на дей-

ствителъной оси.

Можно поставить нелокальную спектральную задачу, описывающую систему {Хп(х)},п = 1,2,3,..., собственных функций локальной задачи (1.1) - (1.2). А, именно, следующую спектральную задачу

Х''(ж) + АХ(ж) = 0,0<ж<1,

Х'(0) = ЪХ( 0),

Х(1) +--=—1—7=-х

d{b sin у Ло + vAo cos v Ло)

x / (bsmy/Xox cos y/\ox)X(x)dx = 0,

Jo

(1 -f bd)VAo sin л/Ло — (b — d\o) cos л/Хо-

В данной задаче граничное условие не содержит спектрального параметра.

В параграфе 2 главы 1 получены условия, обеспечивающие сходимость ряда

£ (^ Д«)Ф„(4)й) Хп(х) (1.11)

в классах Wf^O, 1), где система (Хп(х)}, тг = 1,2,3,..., является подсистемой системы собственных функций задачи (1.1) - (1.2) без любой удаленной собственной функции, которой присвоен нулевой индекс, а собственные значения занумерованы в порядке возрастания. Соответственно функции Ч/П(х),п = 1,2,3,...,

являются элементами биортогонально сопряженной системы.

Теорема 1.2. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

f(x) 6 Wf"(0,1),

/0 (6 sin \/А„г + \/А(| cos л/ао t)f(t)dt п

— J\) /— /— /— — )

d(b sin V Ао + V Ао cos у Ао)

/'(0) = 6/(0),..., /^-«(О) = 6/<2"-2'(0), п > 1, /'(1) + £¡/"(1) = О,..., /С-3>(1) + df{2"~2\l) = 0,П > 2.

Тогда рлд (1.11) сходится в метрике И7!71^, 1). Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

f(x)eWt-\0,1),

J = 0,n> 1, /'(0) = 6/(0),..., /(2п~3)(0) = 6/(2п~4)(0), /'(1) + d/"(l) = О,..., /(^(l) + d/^l) = о,

J = 0,n>2.

Тогда ряд (1.11) сходится в метрике И^п-1(0,1).

В параграфе 1 главы 2 рассмотрен вопрос о равномерной сходимости на отрезке [0,1] разложений по собственным функциям спектральной задачи (1.1) - (1.2). Справедлива следующая

Теорема 2.1. Пусть f(x) € С[0,1]. Ряд Фурье (1.11) схо-

дится равномерно на отрезке [0,1] тогда и только тогда, когда сходится равномерно ряд Фурье для функции

Ub sin y/X0t + л/Ао cos \/А Qt)f(t)dt

j{x) + —--=-J=--=-

d(b sin v Aq + у Aq cos v Ao)

no ортонормированному базису {\/2cos¡inx},n — 1, 2,3,....

Следствие Пусть f(x) - функция из класса Гельдера Са[0,1] с любым положительным показателем а и выполнено условие

/о (Ь sin + л/А0 cos л/Ло t)f{t)dt л d(b sin л/Ао + V^o cos \/Ao)

Тогда ряд Фурье (1-11) сходится равномерно на отрезке [0,1].

В параграфе 2 главы 2 рассматривается вопрос о сходимости спектральных разложений по всей системе собственных функций.

Теорема 2.2. Пусть f(x) - функция из класса Гельдера Са[0,1], а > 0. Тогда она представима в виде равномерно сходящегося на отрезке [0,1] ряда

т = у* df(l)Xn(l) + f¿ f(t)Xn(t)dtx (х) ¿o dXS(l) +/J X*(t)dt

по системе собственных функций задачи (1.1) - (1.2).

В параграфе 3 главы 2 рассматривается смешанная задача

для уравнения теплопроводности

= а2ихх{х,£)

(2.2)

в области В = 0 < ж < 1, 0 < £ < Т} с граничными

условиями

Требуется найти непрерывную в замкнутой области В функцию и(х, £) из класса С1 (Б П {£ > 0}) П С1,2(Б) для уравнения (2.2) с граничными условиями (2.3) и начальными условиями

Лемма 2.1. Решение задачи (2.2)-(2.4) единственно.

На основании результатов теоремы 2.2 и леммы 2.1, установлено следующее утверждение.

Теорема 2.3. Пусть f(x) - функция из класса Гельдера Са[0,1], а > 0. Тогда решение задачи (2.2)-(2.4) можно представить в виде билинейного ряда

= -¿¿£/;(М), МО, ¿>0 (2.3)

и начальным условием

Щх,0) = Кх).

(2.4)

(2.4), /(х) € С[0,1].

ОО г

X

dx2n(i) + [ xl(t)dt

J 0

Xn(x)e

-a2Xnt

(2.5)

Также в этом параграфе рассмотрена краевая задача для уравнения смешанного типа. Введены обозначения:

D = {(x,t) : 0 < ж < t+1, 0 < t^l/2; 0 < х < 2-t, 1/2 < t < 1},

D1 = Dn{x< 1}, = D П {x > 1}. Рассматривается параболо-гиперболическое уравнение

Ut(x, t) = a2Uxx(x, ¿), (x, t) e Du

(2.7)

Пусть требуется найти функцию [/(ж, £) из класса С(1)ПС1(/))П С2,1 (1)1)0(^2), удовлетворяющую уравнению (2.7) и граничным условиям

Ux{0,t) = 6i/(0,t), 0 < i < 1, £/(t + l,t) = 0, 0 ^ t ^ 1/2,

f(x)€Ca[0,1], a>0, /(1) = 0.

(2.8)

Используя обозначение

Гп 1(х)Хп(х)йх

/п = 1° У-, 72 = 0,1,2,...,

II Х1{х)*х + Х1&

в котором система {Хп(х)} - множество решений спектральной задачи (1.1)-(1.2) при в, = 1, решение задачи (2.7)-(2.8) записывается в виде

оо

Щх, *) = £ /пХп(х)е-а(ж, *) е А, (2-9)

п=0

оо

«/(а,*) = £/Л(1)е-а,Л,,(,+1-1), (яг,*) 6 »2.

п=0

Справедлива

Теорема 2.4. Пусть функция f(x) принадлежит классу Гель-дера Са[0,1],а > 0, и /(1) = 0. Тогда решение задачи (2.7) - (2.8) существует, единственно и представимо в виде рядов (2.9).

Глава 1. Вопросы полноты, минимальности и базисности в пространствах Ьр и РГ™

§1 Постановка задачи. Базисность в Ьр

Рассмотрим следующую спектральную задачу

с постоянными коэффициентами 6^0 и й > 0.

Эта задача возникает, например, при решении методом разделения переменных смешанной задачи для волнового уравнения, моделирующей колебательный процесс однородной струны, на одном из концов которой задано условие упругого закрепления, а на другом конце помещена сосредоточенная масса. Такая же спектральная задача возникает и при решении спектральным методом смешанной задачи для уравнения теплопроводности, описывающей процесс распространения тепла в однородном стержне, на одном из концов которого происходит теплообмен

Х'\х) + XX(х) = 0, 0 < а; < 1

(1.1)

Х'(0) = 6Х(0), Х'{1) = (Шф)

(1.2)

с окружающей средой по закону Ньютона, а на другом конце помещена сосредоточенная теплоемкость.

Спектральная задача (1.1)-(1.2) не имеет нулевого собственного значения, поэтому общее решение уравнения (1.1) в случае А ф 0, удовлетворяющее первому граничному условию, можно записать в виде:

ч Ьsin л/Хх г-x ж = -7=--ь cos v хх.

у/Х

Записав для этой функции второе граничное условие, получим характеристическое уравнение задачи (1.1)-(1.2)

(1 + bd)VX sin >/А = (6 — dX) cos у/Х. (1.3)

Если bd = —1, то уравнение (1.3) имеет один отрицательный корень А = — 1/d и бесконечное множество положительных корней А = [7г/2 + тг(п-1)]2, п = 1,2,3,... В случае bd > -1, b > 0, все корни уравнения (1.3) - положительные. При значениях параметров bd < — 1 или bd > — 1, b < 0 также имеется одно отрицательное собственное значение, а все остальные собственные числа расположены в положительной части действительной оси.

Присвоим нулевой индекс любому собственному значению, а все остальные занумеруем в порядке возрастания. Собственные

функции задачи (1.1)-(1.2) определяются по формуле:

Хп(х) = у/2

Ъ вт у/Х^х у/Кь

4- сое у/\пХ

, п = 0,1,2,

(в случае Хп < 0 синус и косинус гиперболические). Функции биортонормированной системы (Фт(х)}, т = 1, 2,3..., к системе {Хп(х)}, п = 1, 2,3,..., имеют вид:

=

Хт(х) - ^гу^о(^)

й ХЦх)<Ь + ¿ХМ 1)

(1.4)

Это легко проверить, если принять во внимание соотношение

[ Хп(х)Хт(х)(1х + ¿Хп{\)Хт{\) = 0, пфт ./о

Наряду с задачей (1.1)-(1.2) будем рассматривать спектральную задачу

У"(х) + ХУ(х) = 0, 0 < х < 1, (1.5)

ЪУ'( 0) = -АУ(0), У{ 1) = -<№( 1)

(1.6)

для системы {Уп(х)},п = 0,1,2,..., функции которой вычисляются по формуле

вд =

К(х)

у/Хп

Функции биортонормированной системы {(рт(х)},т = 1, 2,3,..

к системе {Уп(х),п = 1,2,3,...}, имеют вид

<Рт{х) =

ВД - Шуо1х)

/

и»

Это также легко проверить, если принять во внимание соотношение

" Уп{х)Ут{х)йх + У"(°),У"'(0) =0, пфт.

Знаменатели в дробях для функции Хп(х) и Уп(х) равны. Действительно, имеют место равенства

1 У,(х№п(хЫх = С УЦх'уЬ + ^У„2(0) =

-1 Х'п{х)<1{Хп{х)) + 1 Х'п(0) 'о ^п Ь X

Х'п{\)хп{1) х;(0)х„(0)

А

п

X

п

1 Х'1{х)Хп{х) | ХХ'М 'о ^п Ь Хц

J0 л

X

п

п

= [ Х1(х)йх + йХ2п{ 1). ¿о

По аналогии с рассуждениями из статей [90,93] можно доказать, что каждая из систем {Хп(ж)} и \Уп{х)},п = 1,2,3,...,

образует базис в пространстве Ьр(0,1),р > 1, а в случае р = 2 даже базис Рисса. Здесь будет доказано более общее утверждение для спектральной задачи (1.1)-(1.2) в предположении, что параметр d - любое комплексное число, отличное от нуля, —| < arg\/Añ < = 0,1,2,3,..., Aq - по прежнему, любое собственное значение, а все остальные занумерованы в порядке возрастания их абсолютных величин.

Теорема 1.1. Если

. , г Ьcosz — zsinz Л

d f {т—:-^-},

bz sm 2 + z¿ cos z где {z} - множество комплексных корней уравнения

(Ь2 — Z2) Sin Z COS Z ,99,0

^-J--+ b2 + z2 + 2b COS2 z = 0, 1.7

z

то система {Xn(x)}, n = 1, 2, 3,собственных функций задачи (1.1)-(1.2) является базисом в пространстве Lp(0,1 ),р > 1, (базисом Рисса р = 2).

Доказательство. Найдем условие, при котором появляются кратные корни характеристического уравнения (1.3). Обозначим z = >/Л, перепишем это равенство в виде

(1 + bd)z sin z = (b — dz2) cos z

и запишем равенство для производных

(1 + 6с?)(sin z + z cos х) = —2dz cos z — (b — dz2) sin г.

Выразим параметр d из первого соотношения

. Ь cos z — z sin z d =

bz sin г + z2 cos z

(обращение в нуль знаменателя приводит только к случаю 1 + bd — 0, отмеченному ранее) и подставим во второе: получим равенство

b2 cosz — bz sin z\ ( г sin2/

1 4- ---- I sin z + z cos z Л--

bz sin z + zl cos z J \ cos z

b cos z — z sin z

= — 2zcosz--5-,

bz sin г + cos z

преобразовав которое напишем соотношение

(b2 + z2) cos z(sin z H--—) = (2z2 sin z — 2bz cos z) cos z,

cos z

приводящее в итоге к уравнению (1.7).

Отметим также, что левая часть этого уравнения совпадает, с точностью до множителя, со знаменателем в формуле функций Фп(ж) биортонормированной системы, где в данном случае

формула (1.4) приобрела вид

=

I,1 Х^фх + 1)

Действительно,

Х2п(х)(1х + (1Х2п{ 1) =

= 2

1 ( Ь2 эт2 л/Х^х 2 Ь эт л/Х^х соэ л/Х^х

+2с/

Ап л/Ап

Ъ2 эт2 у/К 2Ь бш у/Хп сое лД

4- сое'

(1х+

X

+

п

п

\/лп

+ сое2 у/Хп I =

Ь2{ 1 - сое2\/Лпх) Ъът2у/\ПХ , пг .

Ч--7=--К (1 + С08 2уЛпх)

Л

п

у/Хп

(1х+

+2

Ь сое \/Хп — \/Хп эш \/Хп (Ь вт + у/Хп сое А,)2 вШ л/Лп. + сое л/Хп Хп

Ь2 ч , Ь2 ^т2\/ГХп Ь , г- .

= (1 + _) + (1 - + ГТ-(1 - С08 2УАП)+

^п ^гг ¿У Лп

у/~ХпХп

■(Ь сое ч/Хп — ч/Хп вт л/Лгг)(6 Бт ч/Лп + л/Хп сое у/\п) =

& + Лп Хп — Ъ2 . д- /- бет2 ч/л.

- Н--=- вт ч/ Л„ сое у Л„ + -

п

X

п

Хпу/Хп

X

п

2

\/ХпХп

(<Ъ2 — Хп) эт ч/Хп сое у/\п + Ьл/Хп(сое2 л/Лп — бш2 ч/Лп)

Ъ + Ап Ь2 - Хп . г- г- , 2Ъ сое2 л/Лп

= —г--1--вш V Ап соэ V Ап Ч----

А п \пу \п Ап

Применяя теорему Руше, можно убедиться, что корней характеристического уравнения на прямоугольнике П = {(х,у) : —7тп < х < 7гп, — а < у < а}, где а - достаточно большое действительное, а п - достаточно большое натуральное число, ровно 2п + 2, т.е. столько, сколько корней у уравнения г2 сое 2 = 0. Точкой сгущения корней является бесконечность. Вид характеристического уравнения

(ЬИ^Л

о — ал

диктует формулу

^ = /хп + ап,

где цп = | + 7г(п — 1),0!п - ограниченная последовательность, которая в свою очередь приводит к соотношению

(1 + Ы)(мп + ап) , .

^ = "37—;-\2—Г- (1-8)

+ апу - 6

Из этого равенства вытекает, что ап - бесконечно малая последовательность, а значит можно написать представление

'П1

tg ап = ап + (Зг

где /Зп = О(а^). Заменив в соотношении (1.8) тангенс, получим

равенство

{ап + (Зп) [d(}in + ап)2 - 6] = (1 + bd)(^n + ап),

откуда вытекает представление

_ 1 + bd 0(ап) Q-n I 2 '

а также и формула

(1 + bd) 1 aiin n6

Таким образом асимптотическая формула для собственных значений будет выглядеть следующим образом

Л/А п = Дп + —+ (1.9)

¡Лп п6

где I = (1 + bd)/d.

Как известно, система {К(я)}, гДе

Vn(x) = \/2cos/ina;, п — 1,2,3,...,

является ортонормированным базисом в L2(0,1). Из формулы (1.9) вытекает оценка

нед-адисм^,

где С\ - положительная постоянная, не зависящая от номера п. Рассматривая функцию двух переменных

и порожденный ею вполне непрерывный оператор К, действующий из пространства Ьр(0,1),р > 1, в пространство С[0,1] по формуле

Заметим, что КУп(х) — Хп(х)—Уп(х) откуда следует что (К+ Е)Уп{х) = Хп(х), где Е тождественный оператор. Докажем, что ядро оператора К + Е - состоит только из нулевого элемента. Предположим противное. Пусть существует не нулевой элемент д Е Ьр(0,1) и пусть (К + Е)д = 0, тогда можно разложить этот элемент в ряд Фурье по системе

оо

к{х, г) = [хп(х) - ад] КМ

п=1

оо

п=1

Рассмотрим частичную сумму

N

этого ряда, для которого верно следующее равенство:

N

(.К + E)gN{x) = апХп(х).

п=1

Умножив это равенство скалярно на функцию Фт(ж) с индексом т ^ N из биортогонально сопряженной системы (1.4), получим

ато = ((А' + £7)^(а;),Фт(а;)). Используя неравенство Коши-Буняковского, заметим что

откуда устремляя N —> оо получим

Ига ||(К + E)gN(x)\\Lp{од) = + S)S||M„,i) = О

/V —>оо

т.е. все коэффициенты Фурье ат элемента д(х) равны 0. Из полученного противоречия следует, что ядро оператора К + Е состоит только из нулевого элемента. А из теории Фредгольма вытекает, что данный оператор в пространстве Lp(0,1) имеет ограниченно обратный оператор (К + Е)~1.

Пусть f(x) произвольный элемент пространства Ьр(0,1 ),р > 1. Тогда определим функцию F{x) = {K+E)~l f{x) и разложим

ее в ряд Фурье по системе п = 1,2, 3,..

оо

F(x) = ^FnVn(x), (1.10)

71=1

где

Fn = (F(x), Vn(x)) = ((К + E)~1f(x), Vn(x) =

= (f(x),((K + E)-1yVn(x),

т.к. оператор (К + имеет сопряженный. Применив к равенству (1.10) оператор К + Е, получим

оо

f(x) = J2 FnXn{x

п= 1

таким образом базисность системы {Хп(х)} доказана.

Докажем базисность Рисса при р = 2. В этом случае верно равенство Парсеваля

оо

П=1

а также справедливы неравенства

ИП^Иадо.ч^И^ + ^-'ЦЦЛ^Цадод,

откуда следует двусторонняя оценка

оо

С2||/(х)||^(од) < J2Fn < С3\У(х)\\ыол),

71=1

которая доказывает базисность Рисса. Отметим здесь работы [27,39,55,93,101,102,135,136]. Теорема доказана.

Замечание. Уравнение (1.7) при некоторых значениях параметра 6 имеет решение и на действительной оси. Рассмотрим функцию

, ч (b2 — х2) sin £ cos £ l9 9 9

j(x) = ----+ b¿ + x¿ + 26 cos x.

x

Предел справа в нуле этой функции равен 2Ь2 + 26. Значение

2 2

в точке х = | равно ^(62 — jg) + б2 + + если 5 = —^ то

Ло+о7^ = "i^Cf) = (!б - Di1 - f) > В силу непрерывности функции j(x) существует значение Xq Е (0, |), для которого

7(жо) = 0. В случае равенства параметра d отрицательному значению

—|cosxo — xosin^o

— \xq sin Xq + Xq COS Xo '

получаем спектральную задачу (1.1) - (1.2) с действительными коэффициентами и кратным собственным значением в положительной части действительной оси.

Можно поставить нелокальную спектральную задачу, описывающую систему {Хп(х)},п = 1,2,3,..., собственных функций локальной задачи (1.1) - (1.2). А, именно, следующую спектраль-

ную задачу

Х"(х) + ХХ(х) = 0, 0 < ж < 1,

Х'(0) = ЬХ(0),

Х(1) + --^ 1 -^-х

d{b sin vAo + у Ло cos V Aq)

x I (b sin у/Х^х cos л/Ао x)X(x)dx = 0, Jo

(1 + bd)VAosin

= (6 — dX0) cos VAo.

Подставим общее решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее первому локальному граничному условию,

b sin у/Хх р-

Х(х) =--=--Н cos V АХ

V Хх

во второе нелокальное граничное условие. Получим соотношение

d(b sin л/Л + VX cos

y/X)(b

sin л/Ао + л/Ло cos \/Ао)+ + / (6 sin л/Аж -f- VA cos sm VAo + \/Л0 cos VXo x)dx = 0

Jo

В силу равенства

1 X(x)XQ(x)dx = [X'(l) - dAoX(l)]

An — Л

нелокальное граничное условие перепишем в виде или

d( А — А0) (6 sin л/А + л/А cos

Л/Л) =

= (b-dXQ)y/X cos Va — (а + dbXo) sin Va

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим характеристическое уравнение (1.3).

db\ sin

Va — <i6A0 sin л/А + (¿Ал/А cos Va — dAo"s/Acos Va =

= Ьл/Л COS Va — dXoVX cos Va — A sin Va — dbXo sin Va. <i6A sin ч/А + dX\ÍXcos = 6л/А cos л/А — A sin л/А.

§2 О сходимости спектральных разложений в пространстве

Здесь будут получены условия, обеспечивающие сходимость ря-

в классах Ж^О, 1), где система {Хп(ж)}, п — 1,2,3,..., является подсистемой системы собственных функций задачи (1.1) - (1.2) без любой удаленной собственной функции, которой присвоен нулевой индекс, а собственные значения занумерованы в порядке возрастания. Соответственно функции Фп(ж),п = 1,2,3,..., являются элементами биортогонально сопряженной системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гуляев, Денис Анатольевич, 2013 год

Литература

1. Азиз X., Сеттари 3. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982.

2. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

3. Алиев З.С. Базисные свойства корневых функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничных условиях. // Доклады РАН. 2010. Т. 433. № 5. С. 583-586.

4. Алиев З.С. Базисные свойства в пространстве Lp систем корневых функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 6. С. 764-775.

5. Ахатов И.Ш., Ахтямов A.M. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

6. Ахтямов A.M. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам одной спектральной задачи // Мат.

заметки. 1992. Т. 51. № 6. С. 137-139.

7. Ахтямов A.M. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирского университета. 1996. № 3(1). С. 12-15.

8. Ахтямов A.M. Единственность восстановления коэффициента дифференциального уравнения 4-го порядка по спектру краевой задачи // Вестник Башкирского университета. 1998. № 3(1). С. 38-40.

9. Ахтямов A.M. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1127-1128.

10. Ахтямов A.M. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Вестник Башкирского университета. 1999. № 1. С. 13-17.

11. Ахтямов A.M. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях // Известия вузов. Математика. 2000. № 2. С.13-18.

12. Ахтямов A.M. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 3. С. 6.

13. Ахтямов A.M. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная

и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 995-1006.

14. Ахтямов A.M. , Николаенко В.В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 92-93.

15. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. Т. 5. № 3. С. 103-110.

16. Ахтямов A.M. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для одной эллиптической задачи с параметром в граничном условии // Мат. заметки.

2001. Т. 69. Вып. 4. С. 622-624.

17. Ахтямов A.M. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики.

2002. Т. 9. Вып. 1. С. 154-155.

18. Ахтямов A.M. Определение моментов инерции вращающихся дисков относительно оси вала // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 3. С. 584-585.

19. Ахтямов A.M. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжкого математического общества. 2003. Т. 5. № 1. С. 214-221.

20. Ахтямов A.M. К единственности решения одной обратной

спектральной задачи // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 8. С. 1011-1015.

21. Ахтямов A.M. К решению обратной статической задачи // Электронный журнал "Исследовано в России ". 2003. 49.

С.567-573 (. 2003. 49. С.567-573 (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/20i

22. Ахтямов А. М. Диагностирование нагруженности механической системы // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 6. С. 60.

23. Ахтямов A.M. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

24. Ахтямов A.M. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 137-147.

25. Ахтямов A.M. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Мат. заметки. 2004. Т. 75. Вып. 4. С. 493-506.

26. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся условий закрепления // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 7. С. 51-52.

27. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. // Уч. зап. МГУ. 1951. Вып. 148. С. 69-107.

28. Бен Амара Ж., Шкаликов A.A. Задача Штурма-Лиувилля

с физическим и спекиральным параметрами в граничном условии. // Мат. заметки. 1999. Т. 66. Вып. 2. С. 163-172.

29. Билалов Б.Т. Базисность некоторых систем экспонент, косинусов и синусов. // Дифференциальные уравнения. 19906. Т.26. № 1. С. 10-16.

30. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа,- М.: АН СССР, 1959.

31. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.: Наука, 1981.

32. Будаев В.Д. Некоторые свойства корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка. // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. № 8. С. 1454-1456.

33. Будаев Б.Д. О необходимых условиях безусловной базис-ности систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. // Доклады РАН. 1993. Т.329. № 4. С. 396-399.

34. Векуа И.Н. Обощенные аналитические функции,- М.: Физ-матгиз, 1959.

35. Витт A.A. Неоднородная нагруженная антенна. // Журнал прикладной физики. 1928. Т. 5. Вып. 1. С. 3-21.

36. Витт A.A., Шубин С.П. О тонах мембраны, закрепленной в конечном числе точек. // Журнал технической физики. 1931. Т. 1. Ж0- 2-3. С. 163-176.

37. Власов B.B. Кратная минимальность части системы корневых векторов пучка М.В. Келдыша. // Доклады АН СССР. 1982. Т.263. № 6. С. 1289-1293.

38. головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник O.A., Соболева Т.С. О собственных колебаниях струны с присоедененной системой. // Сибирсикй математик Ж. 1988. Т.29, №5, С. 70-81.

39. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965.

40. Гуляев Д.А. О равномерной сходимости спектарльных разложений для спектральной задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр. //Дифференц. уравнения, 2011, Т.47, №10, С. 1503-1507

41. Гуляев Д.А. О сходимости в классе WJ1 спектральных разложений для спектральной задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр. //Дифференц. уравнения, 2012, Т.48, №10, С. 1450-1454

42. Гуляев Д.А. Об одной смешанной задаче для уравнения теплопроводности, приводящей к спектральной- задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр //Сборник молодых ученых факультета ВМК МГУ, №9, 2012

43. Девдариани Г. Г. О базисности одной тригонометрической системы функций. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. Xе 1.

С. 168-170.

44. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979.

45. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости задачи Три-коми. // Украинский Математический Журнал. 1973. Т. 25. № 1. С. 14-24.

46. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для одного вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 1. С. 24-33.

47. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 1. С. 46-58.

48. Елеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С. 56-63.

49. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных парабол о-гиперболических уравнений. / / Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 41-53.

50. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. X9

1. С. 59-73.

51. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо-параболического уравнения с одновременным вырождением типа и порядка. // Доклады АН СССР. 1980. Т. 253. № 4. С. 796-799.

52. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами. // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 1. С. 58-72.

53. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. // Уч. Зап. Казанского университета. 1962. Т. 122. № 3. С. 3-16.

54. Зарубин А.Н. Прямая и обратная задачи для дифференциального уравнения диффузии. // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 10. С. 1431-1433.

55. ЗигмундА. Тригонометрические ряды. Т.1. М.: Мир, 1965.

56. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991.

57. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисно-сти подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. // Доклады АН СССР. 1976. Т. 227. № 4. С. 796-799.

58. Ильин В.А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора. // Труды Математ. института им. В.А. Стеклова. 1976. Т. 142. С. 148-155.

59. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисно-сти и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 771-794.

60. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисно-сти и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 980-1006.

61. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисно-сти в Ьр и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. // Доклады АН СССР. 1983. Т. 273. № 4. С. 789-793.

62. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка. // Доклады АН СССР. 1983. Т. 273. № 5. С. 1048-1053.

63. Ильин В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции. // Дифференц. уравнения. 1985.

Т 21. № 3. С. 371-379.

64. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 9. С. 1516-1529.

65. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. С. 1718-1725.

66. Капустин Н.Ю. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения. // Доклады АН СССР. 1984. Т. 274. №. 6. С. 1294-1298.

67. Капустин Н.Ю. О существовании и единственности Ь2 -решения задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения. // Доклады АН СССР. 1986. Т. 291. №. 2. С. 288-292.

68. Капустин Н.Ю. О разрешимости в классе Ь2 задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 1. С. 60-66.

69. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболическог уравнения с вырождающейся гиперболической частью. I. // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С.72-78.

70. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболическог

уравнения с вырождающейся гиперболической частью. II. // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 8. С. 1379-1386.

71. Капустин Н.Ю. О Ь2 разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1. С. 50-59.

72. Капустин Н.Ю. О новом подходе к изучению краевых задач с обобщенными Ь2 решениями. // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 6. С. 975-982.

73. Капустин Н.Ю. О однозначной разрешимости в классе Ь2 задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с младшими членами. // Доклады АН СССР. 1990. Т. 313. № 4. С. 790-795.

74. Капустин Н.Ю. Об одном свойстве обобщенных аналитических функций. // Доклады РАН. 1992. Т. 322. № 3. С. 465-468.

75. Капустин Н.Ю. Единственность решения задачи Франкля и некоторые вопросы теории обобщенных аналитических функций. // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 5. С. 876-884.

76. Капустин Н.Ю. Априорные оценки решения двух задач для обобщенного параболо-гиперболического уравнения. // Доклады РАН. 1995. Т. 341. № 5. С. 585-587.

77. Капустин Н.Ю. Об однозначной разрешимости в классе Ь2 задачи Трикоми с нелокальным условием на линии изменения типа. // Доклады РАН. 1995. Т. 341. № 6. С. 740-743.

78. Капустин Н.Ю. О спектральных задачах, возникающих в теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности. // Доклады РАН. 1996. Т. 349. № 6. С. 736-739.

79. Капустин Н.Ю. К теории обобщенного параболо-гиперболичесю уравнения теплопроводности. // Дифференц. уравнения. 1996.

Т. 32. № 3. С. 375-383.

80. Капустин Н.Ю. Осцилляционные свойства решений одной несамосопряженной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1024-1027.

81. Капустин Н.Ю. О спектральной задаче из математической модели процесса крутильных колебаний стержня со шкивами на концах. // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1413-1415.

82. Капустин Н.Ю. О точной в Ьр оценке решения задачи распространения тепла в стержне с сосредоточенными тепло-емкостями на концах. // Доклады РАН. 2006. Т. 409. № 3. С. 310-311.

83. Капустин Н.Ю. Априорная оценка решения одной смешанной задачи для уравнения теплопроводности. // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 10. С. 1375-1379.

84. Капустин Н.Ю. Об одной спектральной задаче в теории оператора теплопроводности. // Дифференц. уравнения. 2009.

Т. 45. № 10. С. 1509-1511.

85. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости ряда Фурье для спектральной задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1504-1507.

86. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости в классе С1 ряда Фурье для спектральной задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С. 1394-1399.

87. Капустин Н.Ю. О спектральной задаче, возникающей при решении одной смешанной задачи для уравнения теплопроводности со смешанной производной в граничном условии. //Дифференц. уравнения, 2012, Т.48, №5, С. 1694-1699

88. Капустин Н.Ю. О классической задаче с комплекснознач-ным коэффициентом и спектральным параметром в граничном условии. //Дифференциальные уравнения, 2012, Т.48, №10, С. 1361-1367

89. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральной задаче из теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности. // Доклады РАН. 1997. Т. 352. № 4. С. 451-454.

90. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 1. С. 115-119.

91. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. Об одной спектральной задаче для оператора Лапласа на квадрате со спектральным параметром в граничном условии. Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 662-667.

92. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О сходимости спектральных разложений функций из класса Гельдера для двух задач со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 8. С. 1069-1074.

93. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О базисности в пространстве Ьр систем собственных функций, отвечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1357-1360.

94. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 8. С. 1599-1604.

95. Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е. О спектральной задаче со спектральным параметром в граничном условии в теории уравнения радиального распространения тепла. // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 10. С. 1382-1386.

96. Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е. Об одной спектральной задаче для уравнения Бесселя нулевого порядка. // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1135-1137.

97. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнения смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1991. Т. 317. № 5. С. 1048-1052.

98. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении проблемы единственности обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля. // Доклады АН СССР. 1991. Т. 321. № 6. С. 11511154.

99. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1 С. 60-68.

100. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении проблемы единственности решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина. // Успехи матем. наук. 1991. Т. 46. Вып. 6. С. 151.

101. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов М.: Физматгиз, 1958.

102. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

103. Керимов Н.Б., Алиев З.С. Некоторые спектральные свойства одной краевой задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Доклады РАН. 2006. Т.411. № 6. С. 741-744.

104. Керимов Н.Б., Алиев З.С. О базисных свойствах одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Доклады РАН. 2007. Т. 412. № 1. С. 18-21.

105. Керимов Н.Б., Алиев З.С. О базиености системы собственных функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 7. С. 886-895.

106. Керимов Н.Б., Мирзоев B.C. О базисных свойствах одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. № 5. С. 10411045.

107. Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. К теории самосопряженных квадратичных пучков операторов. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1983. № 6. С. 40-51.

108. Крылов А.Н. Вибрация судов. М.-Л.: ОНТИ НКТП. 1936.

109. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа. Л.: Изд-во ЛГУ. 1990.

110. Курбанов В.М. О базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений дифференциального оператора 2п-го порядка. // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 7. С. 1279-1280.

111. Лаврентьев М.А., Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1950. Т. 70. № 3. С. 373-376.

112. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической фи-

зики. М.: Наука. 1987.

113. Лидский В.Б. О полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператора. // Доклады АН СССР. 1956. Т. 110. № 1. С. 172-175.

114. Лидский В.Б. Несомосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром. // Труды Моск. матем. общества. i960. № 9. С. 45-79.

115. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987.

116. Ломов И.С. Сходимость биортогональных разложений функций на отрезке для дифференциальных операторов высокого порядка. // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 5. С. 632-646.

117. Ломов И.С. О различных характеристиках, влияющих на скорость сходимости биортогональных рядов, связанных с обыкновенными дифференциальными операторами. // Доклады РАН. 2010. Т. 430. № 6. С. 743-746.

118. Ломов И.С. Зависимость оценок скорости локальной сходимости спектральных разложений от расстояния внутреннего компакта до границы. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. N2 10. С. 1409-1420.

119. Ломов И.С. Негладкие собственные функции в задачах математической физики. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47.

№ 3. С. 358-365.

120. Макин A.C. О базисности системы собственных функций одной нелинейной спектральной задачи. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 612-618.

121. Макин A.C. Об одной задаче на собственные значения для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. // Доклады РАН. 2004. Т. 399. № 2. С. 161-164.

122. Марченков Д.Б. Базисность в пространстве Lp(0,1) системы собственных функций, отвечающей задаче со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. m 2. С. 143-152.

123. Мелешко C.B., Покорный Ю.В. Об одной вибрационной задаче. // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 8. С. 1466-1467.

124. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988.

125. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов. // Доклады АН СССР. 1984. Т. 275. № 4. С. 794-797.

126. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов. // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 177-179.

127. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 7. С. 1160-1172.

128. Моисеев Е.И. О безусловной базисности систем собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов первого порядка в пространстве вектор-функций. // Mathematics Slovaca. 1990. Т.40. № 3. С. 325-336.

129. Моисеев Е.И. Об одной задаче Лионса. // Доклады АН СССР. 1991. Т. 316. № 6. С. 1306-1311.

130. Моисеев Е.И. О дифференциальных свойствах разложений по системе синусов и косинусов. // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 3. С. 389-393.

131. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовых пространствах. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 3. С. 359-369.

132. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об особенностях корневого пространства одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Доклады РАН. 2002. Т.385. № 1. С. 20-24.

133. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об оценке решения одной задачи для параболо-гиперболического уравнения с помощью рядов Фурье. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 656-662.

134. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Уточнение априорной оценки решения одной известной задачи для параболо-гиперболического уравнения. // Доклады РАН. 2009. Т. 427. № 5. С.591-592.

135. Моисеев Е.И., Прудников А.П., Седлецкий A.M. Базис-ность и полнота некоторых систем элементарных функций. М.: ВЦ РАН, 2004.

136. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

137. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

138. Нахушев A.M. К теории краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. // Доклады АН СССР. 1977. Т. 235. № 2. С. 273-276.

139. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 66-73.

140. Нахушева В.А. Смешанные краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений. // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1998. Т. 3. № 2. С. 12-15.

141. Нахушева З.А. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С. 1452-1465.

142. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.

143. Овсянников Л.В. О задаче Трикоми в одном классе обоб-

щенных решений Эйлера-Дарбу. // Доклады АН СССР. 1953. Т. 91. № 3. С. 457-460.

144. Полосин A.A. О расположении спектра и отсутствии свойства базисности у системы корневых функций задачи с наклонной производной с переменным углом наклона. // Дифферент уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С. 1466-1473.

145. Пономарев С.М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Доклады АН СССР. 1977. Т. 233. № 1. С. 39-40.

146. Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях. // Доклады АН СССР. 1979. Т. 246. № 6. С. 1303-1305.

147. Псху A.B. Задача Франкля для гиперболо-параболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 1. С. 105112.

148. Псху A.B. Задача Франкля для одного гиперболо-параболичеа уравнения. // Доклады АМАН. 1999. Т. 4. № 1. С. 26-30.

149. Пулькин С.П. Задача Трикоми для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Доклады АН СССР. 1958. Т. 118. № 1. С. 38-41.

150. Пулькин С.П., Ежов A.M. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1970. Т. 193. № 5. С. 978-980.

151. Пулькина Л.С. О разрешимости в пространстве Н1 задачи Франкля для уравнения смешанного типа. // Тезисы докладов XVI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Н. Новгород. 1991. С. 184.

152. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов : Изд-во Саратовского университета, 1992.

153. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа. // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 173-178.

154. Репин O.A. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 110113.

155. Репин O.A. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова. // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 10. С. 1412-1417.

156. Репин O.A. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 638-644.

157. Репин O.A., Ефимова C.B. Нелокальная краевая задача для парабологиперболического уравнения с нехарактеристи-

ческой линией изменения типа. // Вестник Самарского госуд. техн. Университета. Серия "Физико-математические науки". 2002 Т.16. С. 10-14.

158. Русаковский Е.М. Операторная трактовка граничной задачи со спектральным параметром, полиномиально входящим в граничные условия. // Функц. анализ и его приложения. 1975. Т.9. № 4. С.91-92.

159. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. // Мат. заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 273-279.

160. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа. // Доклады АМАН. 2009. Т. 11. № 1. С. 66-73.

161. Сабитов К.Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1468-1478.

162. Сабитов К.Б., Мартемьянова Н.В. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа. // Известия вузов. Математика. 2011. № 2. С. 71-85.

163. Сабитов К.Б., Рахманова Л.Х. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 9. С. 1175-1181.

164. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. // Доклады РАН 2009. Т.429. № 4. С. 55-62.

165. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. // Известия вузов. Математика. 2010. № 4. С. 55-62.

166. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов A.M. Аналоги теоремы единственности Борга в случае нераспадающихся краевых условий // Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 6. С. 739-741.

167. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов A.M. О корректности обратной задачи Штурма-Лиуввиля с нераспадающимися краевыми условиями // Доклады РАН. 2004. Т. 395. № 5. С. 592-595.

168. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент.: ФАН. 1975.

169. Самарский A.A. Об одной задаче распространения теп-ла.1. // Вестник МГУ. 1947. № 3. С. 85-102.

170. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. 1970.

171. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи А.В.Бицадзе. // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 2. С. 143146.

172. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории

ч

функций со смещениями. // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 2. С. 143-152.

173. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементарных конструкций. М.: Наука, 1975.

174. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972.

175. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

176. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. JL: Гостехиздат. 1947.

177. Уткина Е.А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 4. С. 600-604.

178. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука. 1968.

179. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973.

180. Хачев М.М. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области. // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 8. С. 1123-1127.

181. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора. // УМН. 1979. Т. 34. № 5. С. 235-236.

182. Шкаликов А. А. О базисиости собственных функций квадратичных операторных пучков. // Мат. заметки. 1981. Т. 3. С. 371-385.

183. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 1983. Т. 9. С. 190-229.

184. Шашков А.Г. Системно-структурный анализ процессов теплоообмена и его применение. М.: Энергоатомиздат. 1983.

185. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principla for a class of hyperbolic equations and aplications to equations of mixed elliptic-hyperbolic tipe. // Communs Pure and Appl. 1953. V. 6. № 4. P. 455-470.

186. Ben Amara J. Fourth order spectral problem with eigenvalue in the boundary conditions. //Functional analysis and its aplications: Proc. of the int. conf.,dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach, Lviv National University, Lviv, Ukraine, May 28-31, 2002/ Ed Kadets V. Amsterdam, 2004 (North Holland Math. Stud.; V. 197). P. 49-58.

187. Fulton C.T. Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1977. V. 77A. P. 293-308.

188. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de tipe mixte. Thesis.

Upsala.1935.

189. Morawetz C.S. A uniqueness theorem for the Francl problem. // Communs Pure and Appl. 1954. V. 7. № 4. P. 697-703.

190. Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Andwendung in der mathematichen Physik. 1922. SS. 191-197.

191. Poisson M. Sur la maniéré d'experimer les fonctions par des series de quantités périodiques, et sur l'usage de cette transformation dans la resolution de diiïerents problèmes. 18eme cahier. V. XI. Paris: l'Ecole Politechnique de Paris, 1820.

192. Roseau M. Vibrations in mechanical systems. Berlin, 1987.

193. Tricomi F. Ulteriori richerche sull'equazione yzxx + zyy = 0. // Rend. Circolo Math. Palermo. 1028. T. 58. P. 63-90.

194. Walter J. Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions. // Math. Z. 1973. V. 133. P. 301-312.