О задаче Коши и формулах Карлемана для комплекса Дольбо над пространствами распределений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Федченко, Дмитрий Петрович

• Федченко, Дмитрий Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федченко, Дмитрий Петрович

Введение

1 Формула Мартинелли—Бохнера—Коппельмана в пространствах распределений

1.1 Комплекс Дольбо над стандартными функциональными пространствами.

1.2 Пространства Соболева с отрицательными показателями гладкости.

1.3 Следы на границе нормальной и касательной составляющих комплексных дифференциальных форм.

1.4 Формула Мартинелли-Бохнера-Коппельмана в пространствах распределений.

2 Задача Коши для системы Коши—Римана

2.1 Задача аналитического продолжения

2.2 Обобщенная постановка задачи Коши для системы Коши-Римана в пространстве Лебега Ь2 в области.

2.3 Критерий разрешимости задачи Коши.

2.4 Формулы Карлемана для областей специального вида

2.5 Формулы типа Карлемана в цилиндрических областях

3 Задача Коши для комплекса Дольбо в положительных степенях

3.1 Задача Коши для комплекса Дольбо в стандартных пространствах Соболева.

3.2 Задача Коши для комплекса Дольбо в пространствах распределений

3.3 Задача Коши для комплекса Дольбо в пространстве Лебега

Ь2 в области.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О задаче Коши и формулах Карлемана для комплекса Дольбо над пространствами распределений»

Интегральные представления в комплексном анализе решают классическую задачу восстановления голоморфной функции в некоторой области из п-мерного комплексного пространства по ее значениям на границе или на части границы этой области. Например, интегральное представление Мартинелли-Бохнера задействует значения функции на всей границе, а интегральное представление Коши для поликруговых областей -только значения на остове. Еще со времен Адамара [33] известно, что эта задача, вообще говоря, является некорректно поставленной, а именно, в случае задания значений на произвольном подмножестве границы, может не быть непрерывной зависимости решения задачи от ее начальных данных. С другой стороны, если множество, на котором заданы данные Коши, достаточно массивно, то теорема единственности для голоморфных функций гарантирует, что задача Коши имеет не более одного решения, что, в свою очередь, позволяет надеяться на возможность построения подходящего интегрального представления для решения задачи. В этом случае некорректность задачи означает, что в данном интегральном представлении будет содержаться предельный переход или интегрирование будет вестись по некомпактному множеству. Одна из первых формул, восстанавливающих голоморфную функцию в области одного специального вида по ее значениям на части границы, была предложена Кар-леманом [30], а формулы подобного рода стали называться формулами Карлемана. После этой пионерской работы появилось множество других, связанных как с одномерными, так и с многомерными формулами Карлемана (Голузин-Крылов [5], Лаврентьев [10], Фок-Куни [17], Ярму-хамедов [24]). Все эти и многие другие формулы, а также их приложения представлены в монографии Айзенберга [1]. Многомерные формулы Карлемана стали появляться в 90-х годах ХХ-го столетия (Айзенберг-Кытмаиов [3]). Уместно отметить, что данные исследования были глубоко мотивированы с точки зрения приложений (гидродинамика, теория передачи сигнала, геологоразведка и т.д.), по этой причине данная тематика остается актуальной (см. [26], [28], [46], [41]).

Однако, в ходе изучения задачи аналитического продолжения для голоморфных функций многих переменных, стало ясно, что правильнее рассматривать более общую задачу: задачу Коши для многомерной неоднородной системы Коши-Римана (см. [47], [46]). В случае одного комплексного переменного эти задачи эквивалентны во многих естественных функциональных пространстствах (например, в пространствах Гёльдера или Соболева), но для многих переменных, чтобы доказать эквивалентность, требуется информация о разрешимости системы Коши-Римана или, другими словами, о когомологиях комплекса Дольбо на первом шаге [18] над различными функциональными пространствами, а значит, такая эквивалентность не имеет места для областей, не обладающих некоторыми свойствами выпуклости относительно оператора Коши-Римана.

Как оказалось, результаты, полученные для системы Коши-Римапа, естественным образом могут быть обобщены на случай общих эллиптических переопределенных систем [51]. С другой стороны, многомерный оператор Коши-Римана, продолженный на комплексные дифференциальные формы, порождает соответствующий комплекс совместности, называемый комплексом Дольбо, который играет важную роль во многих вопросах комплексного анализа. Итак, задача Коши для комплекса Дольбо представляет другое важное обобщение классической задачи Коши для голоморфных функций, активно изучаемое в последние годы (Андреотти-Хилл [27], Бринкшульте-Хилл [29], Кытманов-Мысливец [9]). Особую ценность эта задача приобрела после представления Хансом Лсви [40] примера дифференциального уравнения без решений, построенного с помощью касательного оператора Коши-Римана, тесно связанного с задачей Коши для комплекса Дольбо. Ясно также, что эта задача Коши может стать хорошим модельным примером для изучения задачи Коши для более общих эллиптических комплексов.

Кроме того, несмотря на обилие работ по тематике, вопрос о том как находить простые формулы для решения задачи Коши (даже для случая системы Коши-Римана) в каждой конкретной ситуации, остается открытым. Поэтому каждая новая конструктивная формула Карлемана представляет отдельный интерес.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Федченко, Дмитрий Петрович

Основные результаты диссертации состоят в следующем: доказано существование следов на границе области касательной и нормальной составляющих комплексных дифференциальных форм с коэффициентами в подходящих пространствах распределений конечного порядка сингулярности в данной области, что позволило рассмотреть задачу Коши в обобщенной постановке; построены эллиптические аналоги классических гиперболических формул д'Аламбера, Кирхгофа, Пуассона для решения задачи Коши для неоднородного уравнения Лапласа в цилиндрических областях и описано их применение для построения формул Карлемана для системы Коши-Римана; найдены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Коши для комплекса Дольбо в пространствах распределений в терминах гармонического продолжения интеграла типа Мартинелли-Бохнера-Коппельмана из меньшей области в большую; построены формулы Карлемана задачи Коши для комплекса Дольбо в областях специального вида.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федченко, Дмитрий Петрович, 2010 год

1. JI. А. Айзенберг, Формулы Карлемапа в комплексном анализе. Первые прилоэ1сения: Новосибирск: Наука. 1990.

2. Л. А. Айзенберг, Ш. А. Даутов, Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства, Новосибирск: Наука. 1975. 114 с.

3. Л.А. Айзенберг, A.M. Кытманов, О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на куске ее границы. Мат. Сб., 182:4 (1991), 490-507.

4. Л. А. Айзенберг, А. П. Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Новосибирск: Наука, 1979.

5. Г. М. Голузин, В. И. Крылов, Обоби^енная формула Carleman'a и ее приложение к аналитическому продолжению функций, Мат. Сб., 40:2 (1933), 144-149.

6. Ю. И. Егоров, М. А. Шубин, Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории, Итоги науки и техники. Сер. современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 30, ВИНИТИ, М., 1988, 264 с.

7. В.Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Физматлит, 2001. 576с.

8. А. М. Кытманов, Интеграл Бохнера Мартинелли и его применения, Новосибирск: Наука, 1992.

9. А. М. Кытманов, С. Г. Мысливец, Об условиях д-замкнутости дифференциальных форм, Сиб. матем. журн., 50:6 (2009).

10. М. М. Лаврентьев, О задаче Коши для уравнения Лапласа, Известия АН СССР. Сер. Мат., 20 (1956), 819-842.

11. М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский, Некорректные задачи математической физики и анализа, М.: Наука, 1980.

12. В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных производных., М.: Наука, 1976.

13. С. Ремпель, Б. В. Шульце, Теория индекса эллиптических краевых задач, Мир, М., 1986.

14. С. Л. Соболев, Введение в теорию кубатурных формул, М.: Наука, 1974.

15. Н. Н. Тарханов, Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов, Новосибирск: Наука, 1990.

16. Н. Н. Тарханов, Ряд Лорана для решений эллиптических систем, Новосибирск: Наука, 1991.

17. В. А. Фок, Ф.М. Куни, О введении гасящей функции в дисперсионные соотношении, Докл. АН СССР 127 (1959), 1195-1198.

18. Г. М. Хенкин, Метод интегральных представлений в комплексном анализе, Комплексный анализ многие переменные - 1, Итоги науки и техники. Сер. современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 7 ВИНИТИ, М., 1985, 23-124.

19. Е. М. Чирка, Аналитическое представление СЛ-функций, Мат. сб., 98 (1975), 591-623.

20. И. В. Шестаков, О задач,е Коши в пространствах Соболева для операторов Дирака, Изв. вузов. Матем., 7 (2009), 51-64.

21. И. В. Шестаков, О задаче Коши для когомологий Дольбо, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Красноярск, 2009.

22. А. А. Шлапунов, О задаче Коши для уравнения Лапласа, Сиб. мат. журнал, 33:3 (1992), 205-215.

23. A.A. Шлапунов, H.H. Тарханов, О задаче Коши для голоморфных функций класса Лебега L2 в области, Сиб. мат. журнал, 33:5, (1992), 914-922.

24. Ш. Ярмухамедов, О задаче Коши для уравнения Лапласа, Матем. заметки, 18:1 (1975), 57-61.

25. R. A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press. Inc., Boston et al., 1978.

26. L. Aizenberg, A. Vidras, On Carleman Formulas and on the class of holomorphic functions representable by them, Math. Nachr. 237 (2002), 5-25.

27. A. Andreotti, C. D. Hill, E. E. Levi convexity and the Hans Lewy problem. Part 1: Reduction to vanishing theorems, Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, 26:3 (1972), 325-363.

28. L. Baratchart, J. Leblond, F. Seyfert, Constrained extremal problems in the Hardy space H2 and Carleman's formulas, arXiv:math.FA/0911.1441, 2009, 1-50 pp.

29. J. Brinkschulte, С. D. Hill, On the Cauchy problem for the д operator, Ark. Mat. 46 (2008), 1-11.

30. T. Carleman, Les fonctions quasianalytiques, Paris: Gauthier-Villars. 1926.

31. R. Courant, D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik //, 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin et al., 1968.

32. К. O. Friedrichs, The identity of weak and strong extension of differential operators, Trans. AMS, 55:1 (1944), 132-151.

33. J. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Yale Univ. Press, New Haven-London, 1923.

34. L. Hörmander, L2-estimates and existense theorems for the д operator, Acta Math., 113:1-2 (1965), 89-152.

35. N. Kerzman, Holder and LP-estimates for solutions of du = /, Comm.Pure and Appl.Math, 24:3 (1971), 301-379.

36. J.J. Kohn, Subellipticity of the д-Neumann problem on pseudo convex domains: sufficient conditions, Acta Math, V. 142, N. 1-2 (1979), 79122.

37. W. Koppelman, The Cauchy integral for differential forms, Bull. AMS, 73:4 (1967), 554-556.

38. J. Leray, Probleme de Cauchy, I-IV, Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 389-439; 86 (1958), 75-96; 87 (1959), 81-180; 90 (1962), 39-156.

39. H. Lewy, Neuer Beweis des analytischen Charakters der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Math. Ann. 101 (1927), 609-619.

40. H. Lewy, An example of a smooth linear partial differential equation without solution, Ann. Math., 66 (1957), 155-158.

41. K. 0. Makhmudov, О. I. Makhmudov, N. Tarkhanov, Equations of Maxwell type, arXiv:math.AP/0910.1224, 7 Oct 2009, 17 pp.

42. M. Nacinovich, B.W. Schulze, N. Tarkhanov, On С arleman formulas for the Dolbeault cohomology. Ann. Univ. Ferrara, Sez.VII, Sc. Mat., Suppl. Vol. XLV (1999), 253-262.

43. Ya. A. Roitberg, Elliptic boundary value problems in spaces of distributions. Dordrecht NL: Kluwer Academic Publishers. -Dordrecht: Kluwer AP, 1996.

44. M. Schechter, Negative norms and boundary problems, Ann. Math, 72:3 (1960), 581-593.

45. H. S. Shapiro, Stefan Bergman's theory of doubly-orthogonal functions. An operator-theoretic approach. Proc. Roy. Ac. Sect. 79:6 (1979), 49-56.

46. I.V. Shestakov, A.A. Shlapunov, Negative Sobolev Spaces in the Cauchy Problem for the Cauchy Riemann Operator, Журнал СФУ. Математика и физика, 1 (2009), 17-30.

47. A. A. Shlapunov, On the Cauchy problem for the Cauchy Riemann operator in Sobolev spaces, Contemporary Math. 445 (2008), 333-347.

48. A. A. Shlapunov, N. Tarkhanov, Duality by reproducing kernels, International Jour, of Math, and Math. Sc., 2003:6 (2003).

49. A. A. Shlapunov, N. Tarkhanov, Green's Formulas in Complex Analysis, Journ. of Math. Sciences, 2004. - V. 120 (6).

50. Б. J. Straube, Harmonic and analytic functions admitting a distribution boundary value, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, CI. Sci. (4), 11:4 (1984), 559-591.

51. N. Tarkhanov, The Cauchy problem for solutions of elliptic equations, Akademie Verlag, Berlin, 1995.Работы автора по теме диссертации

52. Д. П. Федченко, А. А. Шлапунов, О задаче Коши в пространствах Гёлъдера для многомерной системы Коши-Римана, Вестник Крас-ГУ. Серия физ.-мат. науки, Вып. 9 (2006), 101-110.

53. Д. П. Федченко, А. А. Шлапунов, О задаче Коши для многомерного оператора Коши-Римана в пространстве Лебега L2 в области, Матем. сб., 199:11 (2008), 141-160.

54. Д. П. Федченко, О задаче Коши для комплекса Дольбо в пространствах Соболева, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2:4 (2009), 506516.

55. D.P. Fedchenko, On а Сarleman formula for lunes, Complex Variables and Elliptic Equations, принята к печати, arXiv:malh.CV/1001.1233, 8 Jan 2010, 4 pp.

56. D. P. Fedchenko, N. Tarkhanov, Hyperbolic Formulas in Elliptic Cauchy Problem, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 3:4 (2010), 419-432, arXiv:math-ph/1003.3606, 18 Mar 2010, 16 pp.