О свойствах задач и алгоритмов разметки точечных конфигураций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Дорофеев, Николай Юрьевич
- Специальность ВАК РФ01.01.09
- Количество страниц 76
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дорофеев, Николай Юрьевич
Введение
1 Формализация, разрешимость и регулярность задач разметки точечных конфигураций
1.1 Окрестности, разметки, метрики.
1.2 Аксиомы разметки.
1.3 Разрешимость и регулярность.
2 Вопросы полноты
2.1 Полнота семейств и моделей алгоритмов
2.2 Критерии полноты.
3 Программный стенд 51 Заключение 66 Список иллюстраций 68 Список литературы
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дискретная математика и математическая кибернетика», 01.01.09 шифр ВАК
Элементы алгебраической теории синтеза обучаемых алгоритмов выделения трендов2003 год, кандидат физико-математических наук Чехович, Юрий Викторович
Алгебраические методы синтеза алгоритмов классификации элементов временных рядов2010 год, кандидат физико-математических наук Сарапас, Владимир Викторович
Проблемно-ориентированные модели распознавания и оценивания состояний сложных объектов2011 год, доктор технических наук Колесникова, Светлана Ивановна
Предикатное описание дополнительных ограничений в задачах распознавания образов2007 год, кандидат физико-математических наук Таханов, Рустем Серикович
О специальных представлениях метрических конфигураций2005 год, кандидат физико-математических наук Майсурадзе, Арчил Ивериевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах задач и алгоритмов разметки точечных конфигураций»
Настоящая работа выполнена в рамках алгебраического подхода к проблеме синтеза алгоритмов распознавания. Основные идеи и конструкции алгебраического подхода были сформулированы академиком РАН Ю. И. Журавлёвым в конце 70-х годов прошлого века [12-15] и в последствии развивались его учениками. К тому времени накопилась существенная потребность решения задач обработки информации, которые возникали в различных плохо формализованных областях, для которых, как правило, отсутствовали удовлетворительные математические модели. Примерами таких задач могут послужить задачи анализа социально-демографических и экономических временных рядов, геологической разведки, оценки привлекательности заёмщиков при выдаче кредитов и многие другие.
Идея, послужившая отправной точкой для формирования алгебраического подхода заключается в следующем: в случае, когда отсутствует как адекватная математическая модель, описывающая исследуемую ситуацию, так и модель того, как схожие задачи решает человек, можно строить алгоритмы, осуществляющие требуемое преобразование информации, исходя из имеющихся эмпирических данных и соображений здравого смысла. Чаще всего в таких задачах математическая модель заменялась прецедентной информацией — множеством пар вида «входная информация — ответ». Постепенное накопление примеров удачно решённых прикладных задач послужило практическим доказательством того, что решение плохо формализованных задач, для которых отсутствуют адекватные математические модели реальных процессов, возможно на основе ряда общих информационных принципов. С накоплением алгоритмов решения различных практических задач стало заметно, что различные задачи решают алгоритмы, устроенные сходным образом. Это наблюдение позволило постепенно перейти от принципа «прикладная задача — алгоритм-решение», к принципу «семейство алгоритмов — прикладная задача»: возникли достаточно общие параметрические семейства алгоритмов, называемые моделями алгоритмов распознавания, а решение практических задач сводилось к выбору параметров, которые выделяли из этих параметрических семейств алгоритмы, решающие конкретную задачу оптимальным образом. Эти модели, обычно, возникают в результате формализации некоторых интуитивных представлений о том, как устроены зависимости между входными и выходными данными в задаче, поэтому их ещё называют эвристическими информационными моделями. Решение задач распознавания на основе параметрических семейств получило ряд обоснований, в основе которых лежало принятие различных гипотез метрического, статистического и комбинаторного характера [2,3,19,20,24-26,33]. Работы в первом направлении проводились непосредственно Ю. И. Журавлёвым и его последователями, в то время как исследования второго типа осуществлялись академиком РАН В. Л. Матросовым [27-32]. Третье направление развивает д.ф.-м.н. К. В. Воронцов [4-7].
Однако использование фиксированных параметрических семейств алгоритмов несло в себе некоторое противоречие. С одной стороны для поиска решения следовало выбрать по возможности наиболее «богатое» семейство, так как оно с большей вероятностью содержит алгоритм, дающий наилучший результат. С другой стороны «богатые» семейства обычно достаточно сложно устроены, что приводит к возникновению сложных, а порой неразрешимых, оптимизационных задач и необходимости довольствоваться приближёнными методами. При этом локальный экстремум, найденный в рамках «богатого» семейства, может оказаться хуже, чем глобальный оптимум, найденный в более «бедном», но зато просто устроенном семействе. Основной приём алгебраического подхода, направленный на разрешение этого противоречия, состоит в том, что из эвристических семейств некоторым образом выбираются алгоритмы, использующиеся в качестве базовых операторов, а оптимальный алгоритм-решение для конкретной задачи строится путём применения к ним подходящих корректирующих операций над алгоритмами исходного семейства [1,12-14]. При применении корректирующих операций реализуется естественная идея совместно использовать различные эвристические алгоритмы с целью компенсировать недостатки одних за счёт других. Одним из наиболее распространённых подходов к заданию корректирующих операций, является определение их как операций над пространством ответов исходных эвристических алгоритмов. Однако, вид и структура пространства возможных ответов алгоритмов (финальных информации) задаются из содержательных требований к виду допустимых ответов и потому оно далеко не всегда является удобным для задания на нём корректирующих операций. В связи с этим ещё одним важным приёмом алгебраического подхода стало введение промежуточного по отношению к пространствам начальных информации (входные данные) и финальных информации (ответов) пространства оценок. Алгоритмы при этом строятся в виде суперпозиций алгоритмических операторов, осуществляющих отображение входных данных в пространство оценок, и решающих правил, дающих ответ, на основании полученных оценок. Корректирующие операции, в свою очередь, применяются к оценкам, полученным с помощью алгоритмических операторов. Использование описанных приёмов позволило перейти от принципа «семейство алгоритмов — прикладная задача» к принципу «прикладная область — модель алгоритмов».
Универсальность конструкций алгебраического подхода в случае недостаточно точной постановки задачи даёт возможность получать формально правильные результаты, являющиеся при этом бессмысленными с содержательной точки зрения. Недостаточность для многих задач одной лишь прецедентной информации привела к созданию членом-корреспондентом РАН К. В. Рудаковым теории универсальных и локальных ограничений [18,34-39]. Результаты К. В. Рудакова существенно дополнили имеющуюся базу алгебраического подхода и расширили границы его применимости. Прежде всего в рамках полученной теории была уточнена постановка задачи синтеза алгоритмов распознавания за счёт включения в эту постановку дополнительных по отношению к прецедентным ограничений на алгоритмы, которые могут считаться решением задачи. Следующим важным результатом стало получение общих критериев разрешимости и регулярности задач классификации, которые для отдельных систем универсальных ограничений сводились к наборам условий, которые можно легко проверить на практике. В рамках теории универсальных и локальных ограничений были получены критерии полноты моделей алгоритмов как в общем виде, так и для отдельных семейств. В силу того, что в рамках алгебраического подхода алгоритмы строятся в виде суперпозиций алгоритмических операторов, корректирующих операций и решающих правил, полученные критерии полноты моделей алгоритмов позволили вывести отдельные критерии полноты для моделей алгоритмических операторов и семейств корректирующих операций. Наличие отдельных критериев позволило исследовать различные части конструкций алгебраического подхода независимо друг от друга.
Таким образом, теория универсальных и локальных ограничений расширила область приложения идей алгебраического подхода до уровня общих задач построения алгоритмов преобразования информации.
Объектом изучения в алгебраическом подходе являются семейства алгоритмов и операции над ними, поэтому решением задачи в рамках алгебраического подхода являются не конкретные ответы на некоторые практические вопросы, а алгоритмы, которые дают такие ответы. Разработку конкретной проблемно-ориентированной теории при использовании алгебраического подхода можно условно разделить на два шага. На первом шаге задаётся класс задач, для решения которых ищется алгоритм: фиксируются входы и выходы алгоритма (пространства начальных и финальных информации соответственно), набор прецедентов и дополнительные ограничения, которым должен удовлетворять искомый алгоритм (в совокупности представляющие собой структурную информацию). Уже на первом шаге можно определить условия, обеспечивающие разрешимость (существование решения) и регулярность рассматриваемых задач. Под регулярностью понимается свойство более сильное, чем разрешимость: задача называется регулярной если она разрешима и разрешимы все задачи, близкие к ней в некотором смысле. С определением понятия регулярности задачи становится возможным определить понятие полноты семейства алгоритмов. Семейство алгоритмов называется полным, если оно содержит решение для всякой регулярной задачи. Критерии полноты этих семейств также определяются на первом шаге. Второй шаг заключается в построении эвристических моделей алгоритмов (алгоритмических операторов), осуществляющих отображение из пространства начальных информации в пространство оценок, и выборе семейств корректирующих операций. Алгоритмические операторы и корректирующие операции выбираются таким образом, чтобы удовлетворять уже полученным на предыдущем шаге критериям полноты, что гарантирует возможность построения с их помощью корректных алгоритмов для всякой разрешимой или регулярной задачи.
Основным объектом исследования в данной работе являются конечные плоские конфигурации (КПК) — конечные множества точек на плоскости в заданной системе координат. Это может быть множество объектов, представленных в виде точек на плоскости, или, скажем, временной ряд. Примеры конечных точечных конфигураций можно увидеть на рисунках, приведённых ниже. . ■ . ■ * ■ .
20 40 60 80
2800 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1ЭОО
1945 1950 1955 1960
Рис. 1. Пример КПК: множество точек на Рис. 2. Пример КПК: временной ряд. плоскости.
Наиболее распространённым примером КПК может служить временной ряд. Временной ряд это последовательность значений, обычно измеренных через равные последовательные промежутки времени. Примеры временных рядов встречаются повсеместно: финансовые индексы, показания различных датчиков в динамических системах, акустические сигналы и многое другое. Задача анализа временных рядов возникла достаточно давно и хорошо исследована [48]. Одним из частых промежуточных шагов в процессе исследования временного ряда является выделение внутри ряда так называемых трендов. Строгого определения тренда не существует, но обычно под трендом подразумевается участок временного ряда или аппроксимирующей его кривой, который не содержит экстремумов. В работах члена-корреспондента РАН К. В. Рудакова и к.ф.-м.н. Ю. В. Чеховича [40, 41, 45, 46] задача выделения трендов была сведена к задаче классификации точек в плоских точечных конфигурациях. Это позволило использовать хорошо исследованные методы распознавания и классификации, развивавшиеся школой Ю. И. Журавлёва. К задаче разметки точек в КПК как к задаче с теоретико-множественными ограничения нельзя было непосредственно применить теорию универсальных и локальных ограничений, разработанную К. В. Рудаковым. Поэтому в рамках работ [42-44] была разработана специализация этой теории, предназначенная для решения задач с теоретико-множественными ограничения, частным случаем которых являются задачи выделения трендов. Были получены критерии разрешимости и регулярности этих задач, а также критерии полноты моделей алгоритмов выделения трендов. Теоретическое и экспериментальное исследование конкретных примеров моделей, решающих поставленную задачу, было проведено в работах к.ф.-м.н. В. В. Сарапаса [51]. В дальнейшем теоретические результаты, полученные Ю.В. Чеховичем и К. В. Рудаковым были успешно применены в работах к.ф.-м.н. Д. С. Коваленко [21-23] для решения задачи синтеза обучаемых алгоритмов распознавания нештатного поведения динамических систем. Построенные семейства алгоритмов характеризовались высокой устойчивостью к искажениям фазовых траекторий нештатных режимов работы по сравнению с известными аналогами.
Следует отметить, что полученные в работах [40-46] критерии опирались на понятия сдвиг-эквивалентности конфигураций и сдвиг-эквивалентности окрестностей, в которых конфигурации и окрестности считались эквивалентными, если они совпадали с точностью до сдвига. Неразрешимыми в этом случае считались задачи, в которых эквивалентным конфигурациям и окрестностям соответствовали различные разметки.
2800
2700 - , •
• 8 .
2600 - * » • •
2500 - •
2400
2300
2200 • * 8
2100
2000
1900'-'-1-1-1
1940 1945 1950 1955 1960
Рис. 3. Зашумлённая конфигурация.
Особенностью использования отношения сдвиг-эквивалентности является высокая чувствительность к изменениям конфигураций. Так, даже незначительные изменениях одной из сдвиг-эквивалентных конфигураций, например, как следствие шумов в данных, приводит к потере сдвиг-эквивалентности. Конфигурация, представленная на рис. 3 была получена из конфигурации, которая была приведена ранее на рис. 2, в результате измерения значений в восьмой, двенадцатой и шестнадцатой точках конфигурации с погрешностью (исходные значения обозначены красными выколотыми точками).
Эксперт, скорее всего, заметит, что эти конфигурации идентичны, но с точки зрения отношения сдвиг-эквивалентности эти конфигурации различаются, а следовательно, могут иметь сколь угодно разные разметки.
Таким образом, набор прецедентов, содержащий эту пару конфигураций с различными разметками, формально не будет считаться противоречивым, в то время как на самом деле является таковым.
Одним из возможных путей решения этой проблемы является более грубое измерение данных. Снижение точности измерений может помочь избежать шума, однако приведёт к потере информации. С другой стороны можно постараться изменить способ сравнения конфигураций так, чтобы ситуации, схожие с описанной, влекли за собой противоречивость прецедентной информации.
В настоящей работе изучаются вопросы локальной разрешимости и локальной регулярности задач разметки точечных конфигураций в условиях модифицированного отношения эквивалентности конфигураций. Для решения проблемы чувствительности отношения сдвиг-эквивалентности было предложено найти способ оценить схожесть конфигураций, близость меток и соотнести эти величины. Это, в свою очередь, позволит реализовать естественную идею потребовать, чтобы «похожим» окрестностям сопоставлялись «похожие» метки.
Первая часть работы посвящена формализации предметной области с учётом дополнительных требований, налагаемых на алгоритмы разметки. В этой же части получены и доказаны критерии разрешимости и регулярности описанных задач [8,9,11].
Вторая часть работы посвящена исследованию вопросов полноты моделей алгоритмов выделения трендов. В ней получены критерии полноты как для моделей алгоритмов в целом, так и для семейств алгоритмических операторов, семейств корректирующих операций и решающих правил по отдельности (при соблюдении определённых условий на остальные части суперпозиции) [10,11,49].
В третьей части работы содержится описание программного стенда и результатов вычислительных экспериментов, проведённых с его помощью.
Благодарности
Автор глубоко признателен своему учителю к.ф.-м.н. Юрию Викторовичу Чеховичу за постановку задачи и неизменную помощь и поддержку на протяжении всего времени работы, члену-корреспонденту РАН Константину Владимировичу Рудакову за внимание и советы, а также аспирантам и сотрудникам кафедры Математических методов прогнозирования факультета ВМК МГУ и коллегам из других организаций, чья помощь, советы и критические замечания помогли завершить эту работу.
Похожие диссертационные работы по специальности «Дискретная математика и математическая кибернетика», 01.01.09 шифр ВАК
Выбор оптимальных метрик в задачах распознавания с порядковыми признаками2010 год, кандидат физико-математических наук Иофина, Галина Владимировна
Конструктивизация моделей классификации конечных объектов: концепция, методы и компьютерная реализация2013 год, доктор физико-математических наук Калядин, Николай Иванович
Алгебраические замыкания обобщённой модели алгоритмов распознавания, основанных на вычислении оценок2009 год, доктор физико-математических наук Дьяконов, Александр Геннадьевич
Локальные базисы в алгебраическом подходе к проблеме распознавания1999 год, кандидат физико-математических наук Воронцов, Константин Вячеславович
Теория регуляризации сдвигом и ее приложения2013 год, доктор физико-математических наук Назимов, Акбар Багадурович
Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Дорофеев, Николай Юрьевич
Заключение
Важным направлением дальнейшего развития алгебраического иод-хода является создание проблемно-ориентированных теорий, которые позволят применять результаты алгебраического подхода в конкретных практических областях. В работах Ю. В. Чеховича и К. В. Рудакова была создана такая теория для задач разметки конечных точечных конфигураций, которые рассматривались как задачи с теоретико-множественными ограничениями. К задачам разметки КПК могут быть сведены такие практические задачи, как задача выделения трендов, задача поиска паттернов во временных рядах и др. В работе исследуется расширение теории, созданной в [40,41,45,46], основанное на переходе от дискретного словаря к непрерывному пространству разметки и введении согласованных метрик на пространствах начальных и финальных информаций, что позволяет применить полученные результаты к существенно более широкому кругу практических задач.
В работе был формализован переход к континуальным разметкам, приведены примеры метрик, которые могут быть использованы для оценки схожести конфигураций, и предложен способ сравнения разметок, основанный на погружении исходного конечного словаря разметки в метрическое пространство. Для введённой формализации были получены критерии разрешимости и регулярности задач разметки элементов точечных конфигураций, что позволяет определить корректность задания основных сущностей, определяющих конкретную задачу: набора прецедентов, системы аксиом и метрик в пространствах окрестностей и меток. Наличие подобных критериев даёт возможность установить целесообразность поиска решения для конкретной задачи или класса задач в имеющейся постановке (то есть при текущем выборе метрик, аксиом и прецедентов) ещё до этапа поиска конкретного решения. Было доказано, что в полученной при введении дополнительных требований задаче разрешимость эквивалентна существованию непрерывной функции из пространства окрестностей в пространство меток, что, фактически, позволяет осуществить переход от дискретной задачи разметки конфигураций к непрерывной.
В последующих главах было описано расширение исходно рассматривавшейся задачи разметки точечных конфигураций, как задачи с теоретико-множественными ограничениями. Были исследованы вопросы полноты семейств алгоритмов разметки точечных конфигураций при замене дискретного пространства финальных информаций на непрерывное. В результате были получены соответствующие критерии полноты: П-полноты семейств решающих правил, ЗЯ1-П-полноты семейств корректирующих операций и 5г-9Я1-П-полноты моделей алгоритмических операторов.
Для экспериментальной проверки полученных теоретических результатов был разработан программный стенд. С помощью стенда на примере реальных данных было показано, что разрешимость задачи существенно зависит от того, как был сформирован набор прецедентов, какие были выбраны метрики и каков набор правил разметки. Незначительные изменения разметки окрестностей, входящих в набор прецедентов, и, возможно, исключение некоторых неоднозначных прецедентов нередко позволяет получить разрешимую задачу из задачи исходно разрешимой не являвшейся. Был проведён ряд вычислительных экспериментов, подтвердивших наблюдения и выводы, которые были сделаны в предшествующих главах.
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дорофеев, Николай Юрьевич, 2012 год
1. Айзенберг Н. Н., Журавлев Ю. И., Пилюгин С. В. Применение свер-точных алгебр для построения корректных распознающих алгоритмов // ЖВМиМФ. —1987. — Т. 27, №6.-С.912-923.
2. ВапникВ.Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов.— М.: Наука, 1974.-418 С.
3. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.-448 С.
4. Воронцов К. В. Оптимизационные методы линейной и монотонной коррекции в алгебраическом подходе к проблеме распознавания // ЖВМиМФ. 2000. - Т. 40, № 1. - С. 166-176.
5. Воронцов К. В. Комбинаторные обоснования обучаемых алгоритмов // ЖВМиМФ.-2004.-Т.44, №11.-0.2099-2112.
6. Воронцов К. В. Комбинаторный подход к оценке качества обучаемых алгоритмов // Математические вопросы кибернетики / Под ред. О. Б. Лупанов —М.: Физматлит, 2004.-Т. 13.-С.5-36.
7. Воронцов К. В. Точные оценки вероятности переобучения // ДАН. — 2009. Т. 429, №1.-С. 15-18.
8. Дорофеев Н. Ю. Разрешимость и регулярность задач нечёткой разметки точечных конфигураций // Математические методы распознавания образов: Тез. докл. 14-й Всероссийской конф. — Суздаль, 2009.-С. 29-32.
9. Дорофеев Н. Ю. Критерии полноты моделей алгоритмов нечёткой разметки точечных конфигураций // Интеллектуализация обработки информации (ИОИ-2010): Тез. докл. 8-й Междунрародной конф. — Республика Кипр, г. Пафос, 2010. — С. 35-38.
10. Дорофеев Н. Ю. Критерии полноты алгоритмов нечёткой разметки точечных конфигураций // ЖВМиМФ. — 2012. — Т. 52, №8.— С. 1551-1568.
11. Дорофеев Н. Ю. О свойствах задач и алгоритмов разметки элементов точечных конфигураций // Интеллектуализация обработки информации (ИОИ-2012): Тез. докл. 9-й Междунрародной конф. — Черногория, г. Будва, 2012. — С. 63-66.
12. Журавлёв Ю.И. Корректные алгебры над множествами некорректных (эвристических) алгоритмов. Часть I // Кибернетика. — 1977. — №4.-С. 5-17.
13. Журавлёв Ю.И. Корректные алгебры над множествами некорректных (эвристических) алгоритмов. Часть II // Кибернетика. — 1977. — №6.-С. 21-27.
14. Журавлёв Ю. И. Корректные алгебры над множествами некорректных (эвристических) алгоритмов. Часть III // Кибернетика. — 1978. — №2. — С. 35-43.
15. Журавлёв Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и классификации // Проблемы кибернетики. — 1978. — Т.33-С. 5-68.
16. Журавлёв Ю.И. Локальные алгоритмы вычисления информации. Часть I // Кибернетика —1965 г. — № 1. — С. 12-19.
17. Журавлёв Ю. И. Локальные алгоритмы вычисления информации. Часть II // Кибернетика-1966 г. — №2. — С. 1-11.
18. Журавлев Ю. И., Рудаков К. В. Об алгебраической коррекции процедур обработки (преобразования) информации // Проблемы прикладной математики и информатики.—М.: Наука, 1987. — С. 187-198.
19. Зуев А. Ю. Вероятностная модель комитета классификаторов // ЖВМиМФ. -1986. Т. 26, № 2. - С. 276-292.
20. Зуев А. Ю. О статистических свойствах принятия решений большинством голосов в задачах классификации // ДАН СССР. — 1986. — Т.288, №2.-С.320-322.
21. Коваленко Д. С., Костенко В. А., Васин Е. А. Исследование применимости алгебраического подхода к анализу временных рядов // Методы и средства обработки информации. — Изд. факультета ВМиК МГУ, 2005.-С.553-559.
22. Коваленко Д. С. Метод автоматического построения алгоритмов распознавания участков фазовых траекторий // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16, № 4. — С. 6-21.
23. Кочетков Д. В. Распознающие алгоритмы, инвариантные относительно преобразований пространства признаков. Часть I // Распознавание, классификация, прогноз. —М.: Наука, 1989. — С. 82-113.
24. Кочетков Д. В. Распознающие алгоритмы, инвариантные относительно преобразований пространства признаков. Часть II // Распознавание, классификация, прогноз. — М.: Наука, 1989. — С. 178-206.
25. Кукулиев Б. М., Матросов В. Л. Оценка прогнозирующей способности решения задачи обучения распознаванию образов // Математические методы распознавания образов: Тез. докл. Всесоюзн. конф. — Рига: МИПКР-РиС при СМ ЛатвССР, 1989. С. 43-45.
26. Матросов В. Л. Корректные алгебры ограниченной ёмкости над множествами некорректных алгоритмов // ДАН СССР. —1980.— Т. 253, №1, —С. 25-30.
27. Матросов В. Л. О критериях полноты модели алгоритмов вычисления оценок и её алгебраических замыканий // ДАН СССР. —1981. — Т. 258, №4.-С. 791-796.
28. Матросов В. Л. Оптимальные алгоритмы в алгебраических замыканиях операторов вычисления оценок // ДАН СССР. — 1982.—Т. 262, №4. -С. 818-822.
29. Матросов В. Л. Емкость алгебраических расширений модели алгоритмов вычисления оценок // ЖВМиМФ. —1984. — Т. 24, №11.— С. 1719-1730.
30. Матросов В. Л. Нижние границы ёмкости многомерных алгебр алгоритмов вычисления оценок // ЖВМиМФ. —1984.—Т.24, №12.— С.1881-1892.
31. Матросов В. Л. Ёмкость алгоритмических многочленов над множеством алгоритмов вычисления оценок // ЖВМиМФ. — 1985.—Т. 25, №1.- С. 122-133.
32. Рудаков К. В. О числе гиперплоскостей, разделяющих конечные множества в эвклидовом пространстве // ДАН СССР.— 1976.— Т.231, №6.-С. 1296-1299.
33. Рудаков К. В. О симметрических и функциональных ограничениях для алгоритмов классификации // ДАН СССР. —1987.—Т.297, № 1. — С. 43-46.
34. Рудаков К. В. Универсальные и локальные ограничения в проблеме коррекции эвристических алгоритмов классификации // Кибернетика. -1987. № 2. - С. 30-35.
35. Рудаков К. В. Полнота и универсальные ограничения в проблеме коррекции эвристических алгоритмов классификации // Кибернетика. -1987. № 3. - С. 106-109.
36. Рудаков К. В. О некоторых универсальных ограничениях для алгоритмов классификации // ЖВМиМФ. — 1988. — Т. 26, №11.— С. 1719-1729.
37. Рудаков К. В. О применении универсальных ограничений при исследовании алгоритмов классификации // Кибернетика. — 1988. — № 1. — С. 1-5.
38. Рудаков К. В. Об алгебраической коррекции процедур обработки (преобразования) информации // Распознавание, классификация, прогноз. М.: Наука, 1989. - С. 176-201.
39. Рудаков К. В., Чехович Ю. В. О проблеме синтеза обучаемых алгоритмов выделения трендов (алгебраический подход) // Прикладная математика и информатика. — 2001. — № 8. — С. 97-113.
40. Рудаков К. В., Чехович Ю. В. Алгебраический подход к проблеме синтеза обучаемых алгоритмов выделения трендов // ДАН. — 2003. — Т. 388, №1,-С. 33-36.
41. Рудаков К. В., Чехович Ю. В. Критерии полноты моделей алгоритмов и семейств решающих правил для задач классификации с теоретико-множественными ограничениями // ДАН. — 2004. — Т. 394, №4.-С.459-461.
42. Рудаков К. В., Чехович Ю. В. Критерии полноты семейств корректирующих операций и моделей алгоритмических операторов для задач классификации с теоретико-множественными ограничениями // ДАН. 2004. - Т. 395, № 6. - С. 749-750.
43. Рудаков К. В., Чехович Ю. В. Критерии полноты для задач классификации с теоретико-множественными ограничениями // ЖВ-МиМФ. 2005. - Т. 45, № 2. - С. 344-353.
44. Чехович Ю. В. Об обучаемых алгоритмах выделения трендов // Искусственный интеллект (научно-теоретический журнал HAH Украины). 2002. - № 2. - С. 298-305.
45. Чехович Ю.В. Мощности окрестностей в задачах выделения трендов // Математические методы распознавания образов: Тез. докл. 11-й Всероссийской конф. — Пущино, 2003. — С. 215-216.
46. Berndt D., Clifford J. Using dynamic time warping to find patterns in time series // AAAI Workshop on Knowledge Discovery in Databases. — 1994.-pp. 229-248.
47. BoxG., Jenkins G. Time series analysis: forecasting and control — Holden-Day, 1976.
48. Doropheev N. Yu. The Criteria for Completeness of Algorithms of Fuzzy Marking of Point Configurations // Pattern Recognition and Image Analysis. 2010. - Vol. 20, № 4. - pp. 419-426.
49. SakoeH., ChibaS. Dynamic programming algorithm optimization for spoken word recognition // Transactions on acoustics, speech, and signal processing. -1978. Vol. 26, № 1. - pp. 43-49.
50. Sarapas V. V. Experimental study of synthesis methods of algorithms of trends allocation // Pattern Recognition and Image Analysis.— 2010. — Vol.20, №2.-pp. 145-151.
51. Wang K., Gasser Th. Allignment of curves by dynamic time warping // The annals of statistics. —1997. — Vol. 25, №3. — pp. 1251-1276.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.