О существовании решений с заданным числом нулей у уравнений типа Эмдена-Фаулера высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Рогачев Владимир Викторович

• Рогачев Владимир Викторович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Рогачев Владимир Викторович

Оглавление

Введение

1 Определения, обозначения, предварительные результаты

2 Уравнения с постоянным потенциалом. Существование решений с конечным и счётным числом нулей

2.1 Уравнения третьего и четвёртого порядка

2.2 Уравнения порядка п >

3 Уравнения с переменным потенциалом. Существование решений с конечным числом нулей

3.1 Уравнения с регулярной нелинейностью

3.2 Уравнения с сингулярной нелинейностью

4 Уравнения с переменным потенциалом. Существование решений со счётным числом нулей

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О существовании решений с заданным числом нулей у уравнений типа Эмдена-Фаулера высокого порядка»

Общая характеристика работы

Работа представляет собой исследование в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Цели и задачи работы

Цель диссертационной работы — изучение свойств колеблющихся решений уравнений типа Эмдена — Фаулера высокого порядка, доказательство существования нетривиальных решений, имеющих заданное число нулей (конечное, счётное или континуум) на заданном отрезке или полуинтерале.

Объект и предмет исследования

Исследуется уравнение типа Эмдена — Фаулера

У(п) = Ро\у\кsign у, (0.1)

где п ^ 3, к Е (0,1) U (1, то), р0 = 0, и уравнение

у<"> + p(t,y,y',..., у <"-1>)|у | \ sign у = 0, (0.2)

где п ^ 3, к Е (0,1) U (1, то), функция р непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по переменным у,у',...,у(п-1 и

для некоторых чисел т,М > 0 удовлетворяет условию 0 <т < p(t, у, у',..., у(n~l)) < М <

Определение 0.1. Уравнения вида (0.1), (0.2) называются уравнениями с регулярной нелинейностью, если к £ (1, то), и уравнениями с сингулярной нелинейностью, если к £ (0,1).

Определение 0.2. Нетривиальные решения, имеющие бесконечную последовательность нулей (ограниченную или неограниченную), будем называть колеблющимися.

Задача: исследовать поведение колеблющихся решений уравнения и доказать существование нетривиальных решений этих уравнений, определённых на заданном отрезке или полуинтервале и имеющих на этом множестве заданное число нулей (конечное, счётное или континуум).

Актуальность темы исследования

Изучение уравнений типа Эмдена — Фаулера началось с работы Р. Эмдена [1], где уравнение вида

у'' +\у\k~ly = 0.

описывало распределение плотности в зависимости от расстояния

W ТЛ W

до центра массы в политропной модели звезды. Большой вклад в изучение этого уравнения внёс Р. Х. Фаулер ([2]). Впоследствии уравнение Эмдена — Фаулера и его обобщения исследовались целой плеядой учёных — не только из-за его физических приложений (например, уравнение Томаса — Ферми у" = ^

применяется при изучении распределения электронов в атоме, а уравнение у')' = 1°ур используется в моделях "реакция — диффузия"), но и из-за того, что различные обобщения уравнения Эмдена — Фаулера представляют собой интересный пример уравнений с модельной нелинейностью, методы исследования которого можно применять к изучению других нелинейных уравнений.

Впервые систематическое исследование асимптотических свойств решений уравнения Эмдена — Фаулера у" = ±1°ут приведено в монографии Р. Беллмана [3], посвящённой теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Беллман получил асимптотическую классификацию решений такого уравнения в зависимости от знака правой части и значений параметров а, т. Впоследствии появился ряд публикаций об асимптотических свойствах решений уравнений второго порядка с потенциалом в виде произвольной непрерывной функции. Вопрос о том, при каких условиях существуют колеблющиеся решения таких уравнений, был рассмотрен Ф. Аткинсоном [4]. В своей работе он доказал следующий критерий колеблемости решений уравнения второго порядка.

Теорема. [4] Пусть /(£) — непрерывная и положительная при £ ^ 0 функция. Пусть к Е N и к > 1. В таком случае все решения уравнения

у" + / (%2*-1 = 0

колеблются тогда и только тогда, когда

Г + ТО

/ tf (t)dt = то.

J о

За этой работой последовал ряд других работ, обобщающих этот результат на случай уравнений более общего вида ([5], [6], [7], [8], [9], [10]), в частности, в работе И. Т. Кигурадзе [6] критерий Аткинсона был распространён на уравнение чётного порядка вида у(п) = f (i)|y|Asignу. В монографии И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия ([11]) приводятся различные признаки колеблемости и неколеблемости — как для всех, так и для некоторых решений — для уравнений вида у(п) = f(t)\y|Asignу, где Л £ (0,1) U (1, то), а функция f (t) — локально интегрируемая на полупрямой, и исследуются свойства колеблющихся решений уравнений высокого порядка. В работе [12] доказан критерий колеблемости для квазилинейного уравнения с двучленным линейным оператором. В работе И. В. Асташовой [13] было получено обобщение критерия колеблемости решений для квазилинейного уравнения высокого порядка.

Теорема. [13, следствие 3.3.1] Пусть в уравнении чётного порядка п

п—1

У(п) + Е Яз (t)yш +Р(Шкsign У = 0,

J=0

где p(t) и qj (t) — непрерывные функции, функция p(t) положительна, а функции qj(t), j = 0,... ,п — 1 удовлетворяют

условиям

tn-J-1\Qj(t)\dt < то. Тогда следующие условия равносильны:

*то

LH— 1

tn-i\p{t)\dt = то.

't

• Все определённые в окрестности +то решения дифференциального уравнения — колеблющиеся.

Стоит также отметить работы об условиях колеблемости решений И. В. Каменева [14], T. Kusano и М. Naito [15], G. Butler [16], D. Lovelady [17], Т. А. Чантурия [18], Taylor W.E. [19], Bartusek M. и Dosia Z. [20].

В работах И. В. Асташовой ([13, глава 7], [21], [22], [23], [24], [25], [26]) получена полная асимптотическая классификация решений уравнений типа Эмдена — Фаулера третьего и четвёртого порядков, в частности, описано поведение колеблющихся решений. В работах [27], [28], [29] для уравнений типа Эмдена — Фаулера с постоянным потенциалом доказано существование квазипериодических решений.

Свойства колеблемости и неколеблемости решений линейных дифференциальных уравнений изучались, начиная с конца 19 века. Классический в этой области результат — теорема Штурма [30]. В. А. Кондратьев ([31], [32]) дополнил результат Штурма, доказав следующие теоремы:

Теорема. [31, теор. 1.1] Пусть функция p(t) непрерывна, знакопостоянна и не равна нулю ни в какой точке. Тогда

на отрезке, образованном двумя последовательными нулями какого-либо решения уравнения у'" + р(Ъ)у = 0 лежит не более двух нулей любого другого нетривиального решения этого уравнения.

Теорема. [31, теор. 2.1] Пусть функция д(£) непрерывна и д(£) > 0. Тогда между двумя последовательными нулями одного решения уравнения у1У + д(Ъ)у = 0 лежит не более четырёх нулей любого другого нетривиального решения этого уравнения.

Теорема. [31, теор. 2.2] Пусть функция д(£) непрерывна и д(£) < 0. Тогда между двумя последовательными нулями одного решения уравнения у1У + д(Ъ)у = 0 лежит не более трёх нулей любого другого нетривиального решения этого уравнения.

При этом в [32] показано, что для уравнений вида У{п) + р(р)у = 0 при п ^ 5 аналогичных теорем нет — каким бы не выбрано число Б Е М, всегда существует такая непрерывная 'р(Ь) > 0, что между двумя последовательными нулями одного решения у{и) + р{Ъ)у = 0 лежит более Б нулей другого нетривиального решения этого уравнения.

Также В. А. Кондратьевым [32] получены критерии колеблемости и неколеблемости для линейных уравнений высокого порядка у{п) + р{Ъ)у = 0. Метод исследования колеблемости решений линейных уравнений с младшими членами предложен в работах Т. А. Чантурия ([33], [34]). Частота появления нулей решения линейного дифференциального уравнения изучалась в [35]. В [36] найдены условия существования одного или нескольких нулей у решений

уравнения у(п) + р(Ъ)у = 0, ^ 0, определённого на отрезке [0,1].

При этом вопрос о существовании решений с заданным числом нулей на заданном отрезке, решённый для линейных уравнений, для нелинейных уравнений высокого порядка оставался открытым.

Исследование вопроса о существовании решений с заданным числом нулей на заданном отрезке или полуинтервале актуально в связи с тем, что этот вопрос тесно связан с вопросами существования решений двухточечных и многоточечных краевых задач (см., напр., [37], [38], [39]).

Научная новизна

Основные результаты (теоремы 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.10, 0.11, 0.12, 0.13) полностью новые. При доказательстве результатов главы 2 используется аппарат, разработанный в [13]. Доказательство результатов глав 3, 4 потребовало нового аппарата исследования, разработанного автором.

Методы исследований

Использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

• Для любого натурального числа Б и любого отрезка существует нетривиальное решение уравнения типа Эмдена — Фаулера (0.1) порядка п ^ 3 с постоянным потенциалом,

имеющее Б нулей на заданном отрезке, равное нулю в его концах.

• Для любого полуинтервала вида [а,Ь) существует нетривиальное решение уравнения типа Эмдена — Фаулера (0.1) порядка п ^ 3 с постоянным потенциалом и регулярной нелинейностью, имеющее счётное число нулей на заданном полуинтервале и равное нулю в точке а.

• На любом отрезке у уравнения типа Эмдена — Фаулера (0.1) порядка п ^ 3 с постоянным потенциалом и сингулярной нелинейностью существует нетривиальное решение со счётным количеством нулей на этом отрезке и нетривиальное решение с континуумом нулей на этом отрезке.

• Для любого натурального числа Б и любого отрезка существует нетривиальное решение уравнения типа Эмдена — Фаулера (0.2) порядка п ^ 3 с переменным ограниченным знакопостоянным потенциалом, имеющее Б нулей на заданном отрезке и равное нулю в его концах.

• Для любого полуинтервала [а,Ь) существует нетривиальное решение уравнения типа Эмдена — Фаулера (0.2) порядка п ^ 3 с переменным ограниченным знакопостоянным потенциалом и регулярной нелинейностью, имеющее счётное число нулей на заданном полуинтервале и равное нулю в точке а.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные методы исследования могут быть полезны при исследовании математических моделей, в основу которых положены многоточечные краевые задачи.

Апробация работы

Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих научных семинарах и научных школах:

• Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений при кафедре дифференциальных уравнений Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова под руководством проф., д.ф.м.н. Асташовой И.В., проф. д.ф.м.н. Боровских А.В., проф. д.ф.м.н. Розова Н.Х., проф. д.ф.м.н Сергеева И.Н., 2013 и 2017 г.

• Межвузовский научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений (МГУ имени М.В. Ломоносова, МГТУ имени Н.Э.Баумана, РЭУ имени Г.В. Плеханова) под руководством проф., д.ф.м.н. Асташовой И.В., проф., д.ф.м.н. Филиновского А.В., многократно.

• V Международная школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", Иркутск, Россия, 20-25 июня 2016 г.

• Воронежская весенняя математическая школа "Современные Методы в Теории Краевых Задач. Понтрягинские Чтения — 28", Воронеж, Россия, 3-9 мая 2017.

• Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XXVII", Воронеж, Россия, 3-9 мая 2016.

• Czech-Georgian Workshop on Boundary Value Problems 2017. On the occasion of 80s birthday of Ivan Kiguradze. January 10 - 13, 2017, Brno, Czech Republic, Брно, Чехия, Чехия, 10-13 января 2017.

• "Понтрягинские чтения XXVI" в рамках XXIX Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач", г. Воронеж, Воронежский госуниверситет, Россия, 3-9 мая 2015.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• International conference on differential and difference equations and Applications 2019 (ICDDEA 2019), Лиссабон, Португалия, 1-6 июля 2019.

• XVIII Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям "Еругинские чтения — 2018", Гродно, Беларусь, 15-18 мая 2018.

• Международная конференция "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения — XXIX", посвященная 90-летию В. А. Ильина, МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, Россия, 2-6 мая 2018.

• "Differential Equations and Applications", Institute of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Brno University of Technology, Чехия, 4-8 сентября 2017.

• Conference on Differential and Difference Equations and Applications 2017, Jasna, Slovac Republic, 26-30 июня 2017.

• XVII Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям "Еругинские чтения — 2017", Минск, Беларусь, 16-20 мая 2017.

• XXIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов — 2017", МГУ имени М.В.Ломоносова, Россия, 20 апреля 2017.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2016", МГУ им. М.В. Ломоносова, Россия, 11-15 апреля 2016.

• Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения — СамДиф 2015", Самара, Россия, 1-3 июля 2015.

• CDDEA 2014 — International Conference of Differential and Difference Equations and Applications, Jasna, Slovac Republic, 2014.

• Международная математическая конференция "Краевые задачи, теория функций и их применение", Славянск, Украина, 2014.

• Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Самара, Россия, 29 июня - 3 июля 2013.

Публикации, личный вклад автора

По результатам научно-исследовательской работы автором опубликовано 25 работ, из них 5 ([44], [45], [49], [43], [50]) входят в журналы, индексируемые в системах Scopus ([44], [45], [49]), WoS ([44], [45]), RSCI ([43], [50]).

В журналы перечня ВАК входят 3 статьи ([44], [43], [50]).

Всего в соавторстве опубликовано 3 работы, из них 1 ([49]) входит в список статей, индексируемых в Scopus, WoS и RSCI.

Личный вклад автора в работу [52] — теоремы 1-5, И.В. Асташовой принадлежат методы исследования и постановка задач. В работах [49], [51] автору принадлежат доказательства теорем под номерами 1-5, Асташовой И.В. принадлежит постановка задачи, метод исследования и теоремы 6,7,8. Все выносимые на защиту положения — новые, и получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы на 67 наименований. Объём диссертации — 110 страниц.

Краткое изложение содержания работы. Формулировки

основных результатов

В первой главе описывается изучаемое уравнение и даются основные определения. В работе изучается нелинейное уравнение типа Эмдена — Фаулера высокого порядка

У(п) = sign у, (0.1)

где п ^ 3, к Е (0,1) U (1, то), р0 = 0, и уравнение

у(п) +p(t ,у, у',..., 1))|у | ksign у = 0, (0.2)

где п ^ 3, к Е (0,1) U (1, то), а функция p(t ,у, у',..., у(п-1)) — потенциал уравнения.

Определение 0.3. Будем говорить, что p(t, £2,...,£п) принадлежит классу рп, если р непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по переменным &,..., £п и для некоторых чисел т,М > 0 верны неравенства

0 <т < p(t, £i,&,...,£п) <М < +то.

Введём обозначение (t)k := |i|ksign t.

Набором чисел y0, у1,...,уп-1 обозначаются начальные данные задачи Коши у(а) = у0, у'( а) = у1,..., у(п-1^(а) = уп-1 для этих уравнений.

У колеблющегося решения последовательностью tо,t1, t2,... обозначается последовательность нулей этого решения, а последовательностью t0, t[, 12,... обозначается последовательность точек локальных экстремумов решения. Будет показано, что все эти нули однократные, и между

соседними нулями есть только один экстремум. Через Li = ti — ti-i обозначим расстояние между соседними нулями решения, а через ^ — расстояния от точки а до tj.

Уравнение с сингулярной нелинейностью не удовлетворяет условиям классической теоремы о существовании и единственности решения, поэтому приводится следующая теорема.

Теорема 0.1. [13, теор. 7.7] Пусть к Е (0,1), а функция p(t,^i,^2, ~',£п) непрерывна по t и удовлетворяет условию Липшица по Тогда для любого набора

чисел t0,y°,y0,... ,y°—i, у которого не все у° равны нулю, соответствующая уравнению (0.2) задача Коши

У (to) = Уъ, y'(to) = У°, ..., У (n—i)(to) = У0—i имеет единственное решение.

Вторая глава посвящена уравнению вида

У(п) = Poly lksign у. (0.1)

В ней рассматриваются уравнения третьего, четвёртого и порядка п > 4 с постоянным потенциалом. Доказательства результатов этой главы используют асимптотическую классификацию решений уравнений третьего и четвёртого порядков, полученную в [13], [23] и асимптотический вид колеблющегося решения уравнения высокого порядка с постоянным коэффициентом, найденный в [29] и [28].

Лемма 0.1 ([13, глава 6, лемма 6.1]). Если у(t) — решение

(0.1), А, В, С — константы, причём |А| = Вт-,В > 0, то г(Ъ) = Ау(В£ + С) — тоже решение (0.1).

С помощью этой леммы доказываются основные результаты этой главы для уравнений третьего и четвёртого порядка (доказательства опубликованы в работах автора [49], [51], [52]):

Теорема 0.2. При п = 3 для любых к £ (1, то), р0 = 0, [ а, Ь] С М и целого Б ^ 2 существует решение уравнения (0.1), определенное на отрезке [ а, Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке ровно Б нулей.

Теорема 0.3. При п = 3 для любых к £ (1, то), р0 > 0, ( а, Ь] С М существует нетривиальное решение уравнения (0.1), определенное на полуинтервале (а, Ь], равное нулю в точке и имеющее на этом полуинтервале счетное число нулей. При п = 3 для любых к £ (1, то), р0 < 0, [ а, Ь) С М существует нетривиальное решение уравнения (0.1), определенное на полуинтервале [ а, ), равное нулю в точке а и имеющее на этом полуинтервале счетное число нулей.

Теорема 0.4. При п = 3 для любых к £ (0,1), р0 = 0, [ а, Ь] С М и целого Б ^ 2 существует решение уравнения (0.1), определенное на отрезке [ а, Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке ровно Б нулей. Также существует нетривиальное решение, равное нулю в точках а, и имеющее на этом отрезке счетное число нулей, и нетривиальное решение, равное нулю в точках а, и имеющее на этом отрезке множество нулей мощности континуум.

Теорема 0.5. При п = 4 для любых к Е (0,1) и (1, то), р0 = 0, [а, Ь] С М и целого Б ^ 2 существует решение уравнения (0.1), определенное на отрезке [а,Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке ровно Б нулей.

Теорема 0.6. При п = 4 для любых к Е (0,1), р0 < 0, [а,Ь] С М и целого Б ^ 2 существует решение уравнения (0.1), определенное на отрезке [а,Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке ровно Б нулей. Также существует нетривиальное решение, равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке счетное число нулей, и нетривиальное решение, равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке множество нулей мощности континуум.

Теорема 0.7. При п = 4 для любых к Е (1, то), р0 < 0, [а,Ь] С М существует нетривиальное решение уравнения (0.1), определённое на полуинтервале [а,Ь) (полуинтервале (а,Ь\), равное нулю в точке а (точке Ь) и имеющее на полуинтервале счетное число нулей.

Далее рассматривается нелинейное уравнение порядка п > 4 с постоянным коэффициентом. Доказаны следующие основные результаты для уравнения высокого порядка.

Теорема 0.8. Для любого целого Б ^ 2, целого п > 4, к Е (0,1) и (1, то), [а,Ь] С М и р0 Е М такого, что р0 < 0 при чётном п и р0 = 0 при нечётном п, существует решение уравнения (0.1), определённое на отрезке [а,Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на отрезке ровно Б нулей.

Теорема 0.9. Для любого целого Б ^ 2, целого п > 4,

к Е (0,1), [а,Ь] С М и р0 Е М такого, что р0 < 0 при чётном п и р0 = 0 при нечётном п, существует нетривиальное решение уравнения (0.1), определённое на отрезке [а,Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на отрезке счётное число нулей. Также существует определённое на [а, Ь] нетривиальное решение с множеством нулей мощности континуум.

Теорема 0.10. Для любого целого п > 4, к Е (1, то), р0 < 0, [а,Ь) С М существует нетривиальное решение уравнения (0.1), определённое на полуинтервале [а,Ь), равное нулю в точке а и имеющее на полуинтервале счётное число нулей.

Теорема 0.11. Для любого нечётного п > 4, к > 1, р0 > 0, (а,Ь] С М существует нетривиальное решение уравнения (0.1), определённое на полуинтервале (а,Ь], равное нулю в точке Ь и имеющее на полуинтервале счётное число нулей.

Доказательство использует лемму 0.1 и опирается на результаты [29, теор. 1], [28, теор. 3].

В третьей главе рассматривается уравнение

уЫ + р(1,у,у',..., у <"-1>)|у |*8щп У = 0, (0.2)

где п ^ 3, к Е (0,1) и (1, то), а потенциал р принадлежит классу Рп.

Доказан основной результат (доказательства опубликованы в работах автора [45], [46]).

Теорема 0.12. Для любого целого п ^ 3, к Е (0,1) и (1, то), [а,Ь] С М, р Е рп и целого Б ^ 2 существует решение уравнения

(0.2), определенное на отрезке [ а, Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке ровно Б нулей.

Из-за переменного потенциала лемма 0.1 неприменима, нужен новый подход. Доказываются:

Лемма 0.2 (Обобщение леммы 7.1 из [13, глава 7]). Пусть ) — решение (0.2) (на уравнение налагаются условия теоремы 0.12). Пусть в некоторой точке £ 0 выполнены неравенства

у(Ц) > 0, у'(Ц) > 0, у"(1 о) ^ 0, ..., у(п-1)(Ц) ^ 0.

Тогда решение достигнет локального максимума в некоторой точке £ 0 > £ 0, причём

к—1

¿0 - г о ^ (ру'^ о))-к+--1,

2/(0 > (ру'(Ь))^,

где р > 0 — константа, зависящая только от п, к, т, М.

Лемма 0.3 (Обобщение леммы 7.2 из [13, глава 7]). Пусть у(1 ) — решение (0.2) (на уравнение налагаются условия теоремы 0.12). Пусть в некоторой точке ¿0 выполнено неравенство

У(и0) >0, у'а0) ^0, ..., 2,<п-1)(д ^ 0.

Тогда решение обратится в ноль в некоторой точке £ 0 > £ 0, причём

10 - ¿0 < (ру(10))-к-1, у'(Ц) < -(ру(О)к+-,

где /> 0 — константа, зависящая только от п, к, т, М.

Лемма 0.4 (Обобщение леммы 7.3 из [13, глава 7]). В условиях лемм 0.2, 0.3, для любого ^ > £ 0, при котором у(Ъо) = 0, у(Ъ 1) = 0, верно неравенство

1У'а 1)1 >яу(1 о)|,

где Q > 1 — константа, зависящая только от к,т,М.

При п = 3 доказательства трёх последних лемм содержатся в [13]. Из этих лемм следует, что любое решение с положительным набором данных Коши — колеблющееся. Ключевую роль для доказательства играет следующая лемма (доказательство приведено в работах автора [45], [50]).

Лемма 0.5. Пусть с Е Б, где В — связная область в М п. Пусть В С Ми+1 — такая связная область, что при каждом значении с Е В существует некоторый отрезок [0,хс], такой, что [0, хс] х {с} С В. Пусть /(х, с) : В ^ М — непрерывная функция, имеющая непрерывную производную по х. Пусть при каждом значении с Е В выполнены следующие условия.

• 1(0, с) = 0.

• Существует такое число х1(с) Е (0,хс), что /(х1(с), с) = 0 и /(х, с) = 0 при х Е (0, х1(с)

jх (х, С)

= 0, /х(х, с)

х=0

= 0.

х=х\(с)

Тогда х1 (с) : В ^ М — непрерывная функция.

В разделе "Уравнения с регулярной нелинейностью"

доказывается теорема 0.12 в случае, когда к > 1.

В разделе "Уравнения с сингулярной нелинейностью"

теорема 0.12 доказывается при к £ (0,1).

Идея доказательства аналогична случаю к > 1, но при доказательстве использовалась теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от начальных данных и правой части, которая при к £ (0,1) неприменима. Её заменяют следующие результаты (доказательство опубликованы в работе автора [50]).

Лемма 0.6. Пусть целое п ^ 3, к £ (0,1), р £ рп, а у — решение задачи Коши

У(п) +р(1 ,у,у',..., у(п-1))Ы= />(¿0) = Уг, ¿ = М-Г,

определённое на отрезке [ , ], и на отрезке выполняется неравенство \у'\ ^ ш > 0, где ш — некоторая константа. Тогда существует такая V £ М+, что на любом отрезке I = [£0, £ *] С [а, Ь], где \1\ < V, для любого £ > 0 существует такое 6 > 0, что если для некоторых д £ рп, ^ £ М, г = 0,п - 1 выполнены неравенства

\p-ql <6, \^ - уг\ <5, 1 = 0,п - 1,

то решение г задачи Коши

г(п) + д(г ,г,г',..., ^(п-1))\^\к = 0, = ъ, г = 0,п - 1,

продолжается на отрезок I, и на этом отрезке

|^ )(г) - у(г)(г)\ <£, { = 0,п -1.

Лемма 0.7. Пусть целое п ^ 3, к Е (0,1), р Е рп, а у — решение задачи Коши

У(п) +р(1 ,у, у',..., у(п-1) )Ы *ВД = 0, </%„) = Уг, ¿ = 0^-1,

определённое на отрезке [а, с], у имеет на отрезке не более чем конечное число нулей, и все эти нули — первого порядка. Тогда для любого > 0 существует такое > 0, что если для некоторых д Е рп, ^ Е М, г = 0,п — 1 выполнены неравенства

\p-ql <6, \гг - уг\ <6, г = 0,п - 1,

то решение г задачи Коши

г(п) + , z) ?!,.., z(n-1))|z|k= 0, = Ъ, г = М-1,

продолжается на отрезок [а, с], и на этом отрезке

\^) - у(г)(г)\ < е, г = 0/0-1.

С помощью этих лемм теорема 0.12 доказывается при к Е (0,1).

В.. ,_>

четвертой главе, как и в третьей, рассматривается

уравнение (0.2). Доказан основной результат (опубликован в работах автора [43], [44]).

Теорема 0.13. Для любого целого п ^ 3, [а, Ь\ С R, к G (1, +œ>) и р G рп существует определённое на полуинтервале [ а, Ь) нетривиальное решение уравнения (0.2), имеющее на полуинтервале счётное множество нулей и равное нулю в точке а.

В этой главе используются новые обозначения. Пусть y(t) — решение специальной задачи Коши для уравнения (0.2) с начальными данными

у(а) = 0, у(г )( а) = уг> 0, г = 1,...,п - 1.

Через X С Rn-1 обозначим множество всех данных Коши, удовлетворяющих следущим условиям:

X = {(а, yi,.. .,yn-i), а G R, yi > 0,..., Уп-i > 0}.

Пусть ti — i-й по счёту от точки а ноль решения y(t). Введём обозначение I i = t i - а. В таких обозначениях ^ будет функцией 1 i : X ^ R. Заметим, что ^ = а+li, 10(х) = 0, и U+1(x) > li(х) > 0. Доказывается

Лемма 0.8. При любом х G X последовательность {I¡(х)}, г G N, имеет конечный предел I*(х). Также верны оценки

k—1 ~• ~ |k+i - 1 il < ДЬ;(а)|-^Qг, г G N, Q G (0,1), (0.3)

k—1

l* < Ъ^у'(а)|-kk-т, b> 0, (0.4)

где константы Д, b и Q зависят только от п, к, m, М. И ключевая для этой главы

Лемма 0.9. Функция I*(х) непрерывна.

Также используются следующие леммы.

Лемма 0.10. Для каждых Н > 0 и а Е М существуют такие у1,..., уп-1 > 0, что

I*(а, у1,... ,уп-1) > Н

Лемма 0.11. Для каждых К > 0 и а Е М существуют такие у1,..., уп-1 > 0, что

I*( а, у1,.. .,уп-1) < К.

Они позволяют доказать основную теорему этой главы — теорему 0.13.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Асташовой Ирине Викторовне за постановку задачи, ее обсуждение, полезные советы, конструктивную критику, терпение, постоянную поддержку и разработку замечательных методов исследования. Автор выражает благодарность сотрудникам кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова за внимание к работе и ценные замечания.

Глава 1. Определения, обозначения, предварительные результаты

В работе изучается нелинейное уравнение типа Эмдена — Фаулера высокого порядка:

У(п) = Ро\у\кsign у, (1.1)

где п ^ 3, к Е (0,1) U (1, то), р0 = 0, и уравнение

у(п) + p(t, у, у',..., у{п-1))\у\ksignу = 0, (1.2)

где п ^ 3, к Е (0,1) U (1, то), а функция p(t ,у, у',..., у(п-1)) — потенциал уравнения.

Определение 1.1. Будем говорить, что p(t, &,..., £п) принадлежит классу рп, если р непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по переменным &,..., £п и для некоторых чисел т,М > 0 верны неравенства

0 <т < p(t, £i,&,...,£п) <М < +то.

Введём обозначение (t)к := \t\ksignt.

Определение 1.2. Уравнения вида (1.1), (1.2) называются уравнениями с регулярной нелинейностью, если к Е (1, то), и уравнениями с сингулярной нелинейностью, если к Е (0,1).

Набором чисел у0, у1,...,уп-1 обозначаются начальные

данные задачи Коши у(а) = у0,у'(а) = у1,..., у(п-1^( а) = уп-1 для этих уравнений.

Множеством X (оно будет использоваться в главе 4) обозначим множество параметров, задающих следующую задачу Коши

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рогачев Владимир Викторович, 2019 год

Список литературы

[1] Emden R. Gaskugeln: Anwendungen der mechanischen Warmetheorie auf kosmologische und meteorologische Probleme. Leipzig ; Berlin : Teubner, 1907.

[2] Fowler R.H. Further studies of Emden's and similar differential equations // Quart. Journ. Math. — 1931. — V. 2, no. 2. — P. 259-288.

[3] Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Иностранная литература. — 1954.

[4] Atkinson F. V. On second order nonlinear oscillations // Pacif. J. Math. 5 — 1955. No. 1. — P. 643-647.

[5] Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР — 1962. — Т.144, №1, — C. 33-36.

[6] Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений уравнения dmu/dtm + a(t)lu\nsignu = 0 // Мат. сб., — 1964. — Т. 28, №2 — С. 172-187.

[7] Waltman P. Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations. // Pacif. J. Math, 18 — 1966 — P. 385-389.

[8] Wong J. S. W. On second-order nonlinear oscillation // Funk-cialaj Ekvacioj — 1968. — Vol. 11 — P. 207-234.

[9] Belohorec, S. On Some Properties of the Equation у"(х) + f(x)ya(x) = 0, 0 < a < 1 // Matematicky casopis — 1967. — no. 17.1. — P. 10-19.

[10] Изюмова Д. В. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения — 1966 — Т.11, №12 — P. 1572-1586.

[11] Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990, 432 с.

[12] Кигурадзе И. Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения — 1992. — Vol. 28, №2. — C. 207-219.

[13] Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа. Под ред. И. В. Асташовой. С. 22-288. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

[14] Каменев И. В. Критерии колеблемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго

порядка, связанные с осреднением // Дифференц. уравнения

— 1974 — Т. 10, №2. — P. 246-252.

[15] Kusano T., Naito M. Nonlinear oscillation of fourth-order differential equations // Canad. J. Math., — 1976. — V. 28, No. 4, — P. 840-852.

[16] Butler G. J. On the oscillatory behaviour of a second order non-lineaar differential equations // Ann. Mat. pure de appl. — 1973.

— V. 105, — P. 73-92.

[17] Lovelady D. L. An oscillation criterion for a fourth-order integrally superlinear differential equation // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. — 1975. — V. 8.58, No. 4, — P. 531-536.

[18] Чантурия Т. А. О существовании сингулярных и неограниченных колеблющихся решений дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера // Дифференц. уравнения

— 1992. — Т.28, №6 — C. 1009-1022.

[19] Taylor W. E, Jr. Oscillation criteria for certain nonlinear fourth order equations // Internat. J. Math., — 1983. — V. 6, No. 3. — P. 551-557.

[20] Bartusek M., Dosla Z. Asymptotic problems for fourth-order nonlinear differential equations // Boundary Value Problems — 2013. — vol.89.

[21] Astashova I. On asymptotic classification of solutions to nonlinear regular and singular third- and fourth-order differential equations with power nonlinearity // Differential and Difference Equations with Applications. — Vol. 164 of Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. — Springer International Publishing, 2016. — P. 191-204.

[22] Асташова И. В. Асимптотическая классификация решений сингулярных уравнений типа Эмдена-Фаулера четвертого порядка с постоянным отрицательным потенциалом // Труды семинара имени И.Г.Петровского. — 2016. — Т. 31. — С. 3-21.

[23] Astashova I. On Asymptotic Classification of Solutions to Fourth-Order Differential Equations with Singular Power Non-linearity // Mathematical Modelling and Analysis — 2016. — V.21 no.4 — P. 502-521.

[24] Astashova I. On Qualitative Properties and Asymptotic Behavior of Solutions to Higher-Order Nonlinear Differential Equations // WSEAS Transactions on Mathematics. — 2017. — V. 16, no. 5 — P.39-47.

[25] Astashova I. On asymptotic classification of solutions to nonlinear regular and singular third- and fourth-order differential equations with power nonlinearity. // Differential and Difference Equations with Applications, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. Springer International Publishing. — 2016. — V. 164 — pages 191-204.

[26] Асташова И. В. Асимптотическая классификация решений уравнений типа Эмдена-Фаулера четвертого порядка // Неклассические уравнения математической физики. Тр. междунар. конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. Новосибирск, Изд-во института Математики, 2007. С. 41-55.

[27] Astashova, I. V. Asymptotic behavior of singular solutions of Emden-Fowler type equations // Differential Equations. — 2019.

— Vol. 55, no. 5. — P. 581-590.

[28] Astashova I. V. On the asymptotic behavior of solutions of differential equations with a singular nonlinearity // Differential Equations — 2014. — V.50, no.11. — P.1551-1552.

[29] ASTASHOVA I. V. On quasi-periodic solutions to a higher-order Emden-Fowler type differential equation. Boundary Value Problems. — 2014. — no. 2014:174. — P. 1-8. [ DOI: 10.1186/s13661-014-0174-7 ]

[30] Sturm Р.С. Memoire sur la resolution des equations numeriques. In: Pont JC. (eds) Collected Works of Charles Francois Sturm. Birkhauser Basel — 2009.

[31] Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядка // Труды ММО.

— 1959. — Т. 8, — С. 259-281.

[32] Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения У(га) +р(х)у = 0 // Тр. ММО. - 1961. - Т. 10. - С. 419436.

[33] Чантурия Т. А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. I // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т.16:3 — С. 470-482.

[34] Чантурия Т. А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. II // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т.16:4 — С. 635—644.

[35] Сергеев И. Н. Свойства характеристических частот линейного уравнения произвольного порядка // Труды семинара имени И.Г.Петровского. — 2013. — Т. 29. — С. 414-442.

[36] Коршикова Н. Л. О нулях решений одного класса линейных уравнений n-го порядка // Дифференциальные уравнения — 1985. — Т. 21, №5 — C. 757-764.

[37] Naito M, Naito Y. Solutions with Prescribed Numbers of Zeros for Nonlinear Second Order Differential Equations // Funkcialaj Ekvacio j, — 1994. — V.37, — Р.505-520.

[38] Ch. I. de Vallée-Poussin. Sur l'equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d'une integrale par deux valeurs

assignees. Extension aux equations d'ordre n. // Journ. Math. Pur. et Appl., 1929. — V. 9, no. 8 — P. 125-144.

[39] Ronto M., Ronto A., Shchobak N. On boundary value problems with prescribed numbers of zeroes of solutions // Miskolc mathematical notes. — 2017 — V. 18, no. 1, — P. 431-452.

[40] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит. Т.1 1953; Т.2 1954.

[41] Зорич В.А. Математический анализ: Учебник. Ч. II. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 640 с.

[42] Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. — 240 с.

[43] Рогачев В. В. Существование решений с заданным числом нулей у регулярно нелинейного уравнения типа Эмдена-Фаулера произвольного порядка // Дифференциальные уравнения, издательство Наука (М.),— 2018. — Т. 54, № 12, — С. 1638-1644.

[44] Rogachev V.V. Existence of Solutions with a Given Number of Zeros to a Higher-Order Regular Nonlinear Emden-Fowler Equation // Differential Equations, издательство Maik Nau-ka/Interperiodica Publishing (Russian Federation) — 2018. — том 54, № 12. — P. 1595-1601. (импакт-фактор 0.659)

[45] Rogachev V. V. On the existence of solutions to higher-order regular nonlinear Emden-Fowler type equations with given number of zeros on the prescribed interval. // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics (Georgia). — 2018. — V.78.

— P. 123-129. (импакт-фактор 0.426)

[46] Rogachev V. V. On existence of solutions to higher-order singular nonlinear Emden-Fowler type equation with given number of zeros on prescribed interval. // Functional Differential Equations.

— 2016. — V.23 no. 3-4, — P. 141-151.

[47] Рогачев В.В. О существовании решения с заданным числом нулей на заданном отрезке для нелинейного уравнения типа Эмдена-Фаулера высокого порядка // Дифференциальные уравнения. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 857-858. (импакт-фактор 0.959)

[48] Rogachev V. V. On existence of solutions with prescribed number of zeros to third order Emden-Fowler equations with singular nonlinearity and variable coefficient // International Workshop QUALITDE - 2016, December 24 - 26, 2016. — A. Razmadze Mathematical Institute of I. Javakhishvili Tbilisi State University Tbilisi, Georgia, 2016. — P. 189-192.

[49] Astashova V. I., Rogachev V. V. On the number of zeros of oscillating solutions of the third- and fourth-order equations with power nonlinearities // Journal of Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 205, no. 6. — P. 733-748. [ DOI ] (импакт-фактор 0.562)

[50] Рогачев В.В. О существовании решений с заданным числом нулей у регулярного нелинейного уравнения типа Эмдена -Фаулера третьего порядка с переменным коэффициентом // Вестник Самарского государственного университета. — 2015.

- Т. 6, № 128. — С. 117-123. (импакт-фактор 0,269)

[51] Асташова И. В, Рогачев В. В. О числе нулей осциллирующих решений уравнений третьего и четвертого порядков со степенной нелинейностью // Нелшшш коливання ISSN 1562-3076 (the Ukrainian for "Nonlinear Oscillations"). — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 16-31.

[52] Асташова И. В., Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей для уравнений типа Эмдена-Фаулера третьего и четвертого порядков // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 11.

— С. 1509-1510. (импакт-фактор 0.959)

[53] Rogachev V. V. On existence of solutions to high-order Emden-Fowler type equations with prescribed number of zeros // Book of abstracts "International Conference on Differential and Difference Equations and Applications, 2019 ". — Academia Militar Lisboa, Portugal, 2019. — P. 98.

[54] Рогачев В. В. О существовании определённых на отрезке решений со счётным числом нулей для сингулярных уравнений типа Эмдена-Фаулера третьего порядка / / Материалы XVIII международной научной конференции по диференциальным уравнениям "Еругинские чтения-2018",

часть 1. — Институт математики НАН Беларуси, 2018. — С. 55-56.

[55] Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей на отрезке для сингулярных уравнений типа Эмдена-Фаулера третьего порядка // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции, посвящённой 90-летию Владимира Александровича Ильина (2-6 мая 2018 г., Москва) . Понтрягинские чтения - XXIX. — Материалы Международной конференции, посвященной 90-летию В.А.Ильина (2-6 мая 2018 г.). — МАКС Пресс Москва, 2018. — С. 191.

[56] Rogachev V. V. On existence of solution to odd-order nonlinear Emden-Fowler type equation with given number of zeroes on prescribed interval // Abstracts of Czech-Georgian Workshop on Boundary Value Problems 2017. On the occasion of 80s birthday of Ivan Kiguradze. January 10 - 13, 2017, Brno, Czech Republic. — http://users.math.cas.cz/~sremr/wbvp2017/abstracts. — Brno, Czech Republic, 2017.

[57] Rogachev V. V. On solutions with prescribed number of zeros to a fourth-order regular Emden-Fowler type equation with negative potential // Abstracts of The conference Differential Equations and Applications. — http://diffeqapp.fme.vutbr.cz/abstracts/astashova.pdf Brno, Czech Republic, 2017. — P. 1.

[58] Rogachev V. V. Solutions with prescribed number of zeros to Emden-Fowler type equations with positive and negative potentials // Conference on Differential and Difference Equations and Applications. Jasna, Slovak Republic, June 26-30, 2017. Abstracts. CDDEA 2017. — Publishing House of Poznan University of Technology Poznan, Poland, 2017. — P. 50.

[59] Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей на заданном отрезке нелинейного уравнения типа Эмдена-Фаулера высокого порядка с переменным коэффициентом // Современные методы теории краевых задач. Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения - XXVIII. — Изд. дом ВГУ Воронеж, 2017. — С. 194-195.

[60] Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей нелинейного уравнения типа Эмдена-Фаулера высокого порядка // Материалы Международного молодежного научного форума ЛОМОНОСОВ-2017. — МАКС Пресс Москва, 2017.

[61] Рогачев В. В. О существовании решения с заданным числом нулей у нелинейного уравнения высокого порядка типа Эмдена-Фаулера с положительным потенциалом // XVII Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения - 2017): Тезисы докладов Международной научной конференции,

Минск, 16-20 мая 2017 г. — Т. 1. — Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2017. — С. 34-35.

[62] Rogachev V. V. On existence of solutions with prescribed number of zeros to third order Emden-Fowler equations with singular nonlinearity and variable coefficient // Procedings of International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations "QUALITDE - 2016"Dedicated to the 100th birthday anniversary of Professor A. Bitsadze December 24 - 26, 2016, Tbilisi, Georgia. — http://rmi.tsu.ge/eng/QUALITDE-2016/ workshop_2016.htm. — Razmadze Institute Tbilisi, Georgia, 2016. — P. 189-192.

[63] Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера с переменным коэффициентом // Современные методы теории краевых задач. Материалы Междунар. конф.: Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения -XXVII"(3-9 мая 2016 г.). — Воронеж: Воронеж, 2016. — С. 225-226.

[64] Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей у сингулярно-нелинейного уравнения Эмдена-Фаулера с переменным коэффициентом // V Международная школа-семинар Нелинейный анализ и экстремальные задачи. Тезисы. — Научно-организационный отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН Иркутск, 2016. — С. 44.

[65] Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей уравнений типа Эмдена-Фаулера / / Современные методы теории краевых задач. "Понтрягинские чтения-XXVI". — Материалы Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая 2015 г.). — ВГУ Воронеж Воронеж, 2015. — С. 169-170.

[66] Rogachev V. V. On existence of solutions with given number of zeros to high order Emden-Fowler type equation // Abstracts of International Conference on Differential and Difference Equations and Applications. — Jasna, Slovak Republic, 2014. — P. 41-42.

[67] Рогачев В. В. О существовании решений с заданным числом нулей уравнения типа Эмдена-Фаулера третьего порядка // Сборник трудов СамДиф-2013 (Всероссийская научная конференция Дифференциальные уравнения и их приложения, 2013, Самара.) — 2013. — С. 69-70.