О строении окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости, допускающей первое приближение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Мычка, Евгений Юрьевич

• Мычка, Евгений Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мычка, Евгений Юрьевич

Введение

Глава 1. Пространство ЛДС и пространства класса Асеи(Х)

1.1 Определение ЛДС.

1.2 Пространства класса Асеи{Х).

1.3 Построение пространства Z класса Асеи(Х) по ЛДС.

1.4 Построение ЛДС по пространству Z класса Асеи(Х).

1.5 Взаимно однозначное соответствие между пространствами Я{Х) и Асеи(Х).

1.6 Гомеоморфизм между пространствами и Асеи(Х)

Глава 2. О строении окрестности ИСТ ЛДС на плоскости

2.1 Предварительные определения и замечания.

2.2 Построение сечения.

2.3 Параболический сектор.

2.4 Гиперболический сектор.

2.5 Эллиптический сектор.

2.6 Правильные параболические и гиперболические секторы

2.7 Правильные окрестности

Глава 3. О строении окрестности ИСТ ЛДС на плоскости, допускающей первое приближение

3.1 Введение.

3.2 Замена переменных в проколотой окрестности.

3.3 Предварительные утверждения.

3.4 Случай центра и фокуса пространства Zoa

3.5 Случай устойчивых параболических секторов пространства

3.6 Случай, когда, пространство ^оо является пространством решений двумерной системы уравнений у' = Ау

Глава 4. Об асимптотике решений ЛДС, допускающих первое приближение

4.1 Доказательство утверждения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О строении окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости, допускающей первое приближение»

Диссертация подготовлена на кафедре общей топологии и геометрии Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к общей топологии, к качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также к асимптотическим методам в теории ОДУ и систем уравнений.

Актуальность темы. В настоящей диссертации применяется аксиоматический метод к исследованию окрестности изолированной стационарной точки (ИСТ) локальной динамической системы (ЛДС) на плоскости. Исследование ведется в рамках аксиоматической теории ОДУ, предложенной В. В. Филипповым и развитой в работах [1-6].

Теория В. В. Филиппова работает в основном с более широкими объектами, однако некоторые объекты этой теории исследовались еще раньше такими известными математиками как М. Бебутов, В. В. Немыцкий, Б. К. Zaremba, Е. А. Барбашин, А. Ф. Андреев, Ю. С. Богданов и др. Отметим относительно недавний результат, полученный Л. С. Сугаиповой в [7], который говорит о том, что аксиоматики Zaremba и Е. А. Барбашина задают равносильные объекты.

Аксиоматический подход В.В.Филиппова расширяет область применения своргх результатов. Введенное понятие "сходимости пространств решений" позволяет изучать зависимость решений от параметров в правой части уравнений, исследовать асимптотические свойства решений в окрестности ИСТ при £ —> оо, включая свойство устойчивости но первому приближению, а также другие свойства решений в случаях, не охватываемых классической теорией (см. [8, стр. 265]).

Известная монография [9] А.Ф.Филиппова посвящена дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью. Подобные уравнения возникают в задачах механики, электротехники, теории автоматического управления и в других областях науки. Ввиду наличия такого большого числа прикладных задач и связанных с ними дифференциальных уравнений с разнообразными особенностями, развитие аксиоматического метода является особенно актуальной задачей.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие: Построен гомеоморфизм "между пространством Л?(Х) ЛДС и пространством Лсеи(Х).

Дано полное описание строения окрестности ИСТ ЛДС на плоскости в том случае, когда все сектора являются правильными. Построен гомеоморфизм окрестности ИСТ на окрестность ИСТ некоторой стандартной системы.

Доказано утверждение о том, что если в пространстве являющимся первым приближением пространства Z, все параболические сектора устойчивы, то окрестности исследуемой точки фазовых плоскостей пространств Z и Z0о устроены одинаково, т. е. количество, тип и порядок следования секторов совпадают. В классическом случае для двумерной системы линейных дифференциальных уравнений условие устойчивости параболических секторов выполняются автоматически. Также показано, что если пространство решений в окрестности ИСТ допускает первое приближение, то параболические и эллиптические сектора являются правильными, а гиперболические сектора являются простыми.

Доказано утверждение об одной асимптотической оценке решений ЛДС, допускающей первое приближение.

Методы исследования. В работе используются методы общей топологии, теории линейно упорядоченных связных множеств, качественной теории ОДУ, а также результаты селекционной теоремы Майкла.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории динамических систем и качественной теории ОДУ.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались автором на семинаре кафедры общей топологии и геометрии Механико-математического факультета МГУ (2008, 2009, 2010гг.), а также на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничсго (2009 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [10], [11], [12].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 77 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 22 наименование.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мычка, Евгений Юрьевич, 2010 год

1. В. В. Филиппов. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений // -М.: Изд-во МГУ, 1993, 336 с.

2. В. В. Филиппов. Топологическое строение пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук,- т. 48.- №1, 1993, с. 103-154.

3. V. V. Filippov. Basic topological structures of the theory of ordinarydifferential equations // Topology in Nonlinear analysis, Banach center publications, 35, 1996, p. 171-192.

4. V. V. Filippov. Basic topological structures of ordinary differential equations // Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1998.

5. V. V. Filippov. Topological structures of ordinary differential equations // Open problems in Topology II, Elsevier B.V., 2007, p.561-565.

6. В. В. Федорчук, В. В. Филиппов. Общая топология. Основные конструкции. // Москва, Издательство МГУ, 1988.

7. Л. С. Сугаипова Применение аксиоматического метода для исследования автономных систем на плоскости // Москва: Дисс. на соискание ученой степени канд. физ-мат. наук, 2002, 69 с.

8. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения // Под ред. В.А.Треногина, А.Ф.Филиппова. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. -464 с.

9. А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // -М.:Наука, 1985.

10. Е. Ю. Мычка Пространство локальных динамических систем ^f(X) и пространство В.В. Филиппова Асеи(Х) // -Дифференциальные Уравнения, 2010, т. 46, №4, с. 499-505.

11. Е. Ю. Мычка О строении окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости // -Дифференциальные Уравнения, 2011, т. 47, №2, с. 195-208.

12. Е. Ю. Мычка Исследование окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости по первому приближению // МГУ Москва, 2010, -23с., ил. -Библиогр.:5 назв. -Рус. Деп. в ВИНИТИ 20.12.10 № 712-В2010.

13. О. Hajek. Dynamical Systems in the Plane // Academic Press, London and New York, 1968.

14. Л. С. Сугаипова Исследование предельных множеств траекторий на плоскости аксиоматическим методом. // Вестн. моек, ун-та. сер.1, математика. механика. №4 2003. 13-16 с.

15. Л. С. Сугаипова Исследование особой точки аксиоматическим методом. // Вестн. моек, ун-та. сер.1, математика, механика. №5 2004. 3-6 с.

16. Taro Ura. Local Isomorphisms and Local Parallelizability in Dynamical Systems Theory // Math. Syst. Theory, 3, (1969), 1-16.

17. Taro Ura. Local Determinacy of Abstract Local Dynamical Systems // Theory of Computing Systems, Volume 9, Number 2, Июнь 1975 г.

18. P. Энгелькинг Общая топология. // M.: Мир. 1986.- с. 752.

19. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: Мир, 1970.

20. В. В. Степанов, В. В. Немыцкий // Качественная теория дифференциальных уравнений -М.; Л.:Гостехиздат, 1949.

21. В. В. Филиппов Об асимптотике решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // -Дифференциальные Уравнения, 1992, т. 28, №10, 1747-1751.

22. A. L. Cauchy "Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. Première partie: Analyse algébrique", Gallica-Math, Œuvres complètes sér. 2, 3.